Modelo dinámico de ecuaciones diferenciales
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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO DE TRUJILLO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS MODELO DE SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS DE GRADO UNO CURSO: DINÁMICA DE SISTEMAS DOCENTE: Dr. SANTIAGO CONTRERAS ARANDA CICLO – SECCIÓN: V – A. GRUPO: GRUPO Nº 01. INTEGRANTES: CONTRERAS ULLOA, SHIRLEY ASUNCIÓN. DUQUE ESCOBAR, DAVID. GONZÁLEZ TORRES, CRISTHIAN. LOYOLA DÍAZ, JHON ALEXANDER. QUIROZ REVOREDO, JOHANNA VALENCIA VARAS, KAREN ALEXIS.
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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO DE TRUJILLO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS
MODELO DE SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS DE GRADO UNO
CURSO:
DINÁMICA DE SISTEMAS
DOCENTE:
Dr. SANTIAGO CONTRERAS ARANDA
CICLO – SECCIÓN:
V – A.
GRUPO:
GRUPO Nº 01.
INTEGRANTES:
CONTRERAS ULLOA, SHIRLEY ASUNCIÓN.
DUQUE ESCOBAR, DAVID.
GONZÁLEZ TORRES, CRISTHIAN.
LOYOLA DÍAZ, JHON ALEXANDER.
QUIROZ REVOREDO, JOHANNA
VALENCIA VARAS, KAREN ALEXIS.
VILLEGAS SÁNCHEZ, EMILI PAMELA.
TRUJILLO – PERÚ
2009
ÍNDICE GENERAL
ÍNDICE DE CONTENIDOS
ÍNDICE GENERAL.......................................................................................................................... II
ÍNDICE DE CONTENIDOS.............................................................................................................. II
CAPÍTULO I – DEFINICIONES PRELIMINARES........................................................................1
1.1. ECUACIONES DIFERENCIALES..............................................................................21.2. ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN............................21.3. ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES......................................................21.4. ECUACIONES HOMOGÉNEAS.................................................................................31.5. ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN.....................................................3
CAPÍTULO II – MODELO DE LA “ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA DE GRADO
UNO”................................................................................................................................................. 4
2.1. TÍTULO........................................................................................................................52.2. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA:...............................................................................52.3. DEFINICIÓN DE OBJETIVOS:..................................................................................52.4. DEFINICIÓN DE VARIABLES:................................................................................52.5. IMPLEMENTACIÓN EN STELLA.............................................................................62.6. GRÁFICA EN STELLA MODELO.............................................................................72.7. ESTRUCTURA MATEMÁTICA DEL MODELO “LOTKA VOLTERRA”...............7
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CAPÍTULO I
–
DEFINICIONES PRELIMINARES
Modelo “Ecuación Diferencial Homogénea de Primer Orden”
CONTRERAS & DUQUE & GONZÁLEZ & LOYOLA & QUIROZ & VALENCIA & VILLEGAS
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS
1.1. ECUACIONES DIFERENCIALES
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen
derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de
variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones
diferenciales se dividen en:
Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen
derivadas respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen
derivadas respecto a dos o más variables.
1.2. ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación
diferencial ordinaria dónde intervienen derivadas de primer orden
respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su
condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:
o en su forma implícita:
1.3. ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES
Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar la ecuación
diferencial en la siguiente forma:
Se dirá que es una ecuación diferencial de variables separables. De
este modo, en cada miembro de la ecuación se tendrá una única
variable. Para resolver este tipo de ecuaciones basta con integrar en
cada miembro:
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Modelo “Ecuación Diferencial Homogénea de Primer Orden”
CONTRERAS & DUQUE & GONZÁLEZ & LOYOLA & QUIROZ & VALENCIA & VILLEGAS
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1.4. ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x, y) es
fraccionaria y además el grado de los polinomios de numerador y
denominador son los mismos. Por ejemplo:
Sería homogénea ya que todos los términos de ambos polinomios son
de grado 3. Así se procede dividiendo tanto numerador como
denominador por x3 o y3 en función de qué cambio haga más simple
su resolución. Llegados a este caso según la elección se puede optar
por uno de los dos cambios análogos, que son:
o bien
Así se simplifica enormemente y suele quedar separable. Para finalizar
solo resta deshacer el cambio, sustituyendo las u(x,y) por su valor
como función que se ha establecido.
El caso anterior puede generalizarse a una ecuación diferencial de
primer orden de la forma:
Introduciendo la variable u = y/x; la solución de la anterior ecuación
viene dada por:
1.5. ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN
La ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma:
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Modelo “Ecuación Diferencial Homogénea de Primer Orden”
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Y la solución de la misma viene dada por:
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CAPÍTULO II
–
MODELO DE LA “ECUACION
DIFERENCIAL HOMOGENEA DE
GRADO UNO”
Modelo de “Ecuación Diferencial Homogénea de Primer Orden”
CONTRERAS & DUQUE & GONZÁLEZ & LOYOLA & QUIROZ & VALENCIA & VILLEGAS
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2.1. TÍTULO
Modelo de de sistema de ecuaciones diferenciales homogéneas de
grado uno.
2.2. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA:
Se analizara el proceso de solución de una ecuación diferencial
homogénea de grado uno o de primer orden utilizando como medio a
la dinámica de sistemas.
2.3. DEFINICIÓN DE OBJETIVOS:
Encontrar la solución dinámica sistema para la solución de una
ecuación diferencial homogénea de grado uno.
2.4. DEFINICIÓN DE VARIABLES:
Valor numérico asignado al Eje Horizontal.
Valor numérico asignado al Eje Vertical.
Primer Coeficiente de la Ecuación Diferencial DX/DT.
Segundo Coeficiente de la Ecuación Diferencial DX/DT.
Primer Coeficiente de la Ecuación Diferencial DY/DT.
Segundo Coeficiente de la Ecuación Diferencial DY/DT.
Operacionalización del Valor del Eje Horizontal.
Operacionalización del Valor del Eje Vertical.
Nº NOMBRE DE
VARIABLE
DEFINICIÓN DE
VARIABLE
ACRÓNIM
O DE
VARIABLE
TIPO MEDIDA
1 Valor numérico
asignado al Eje
Horizontal.
Es la cantidad
numérica que se le
atribuye al eje
horizontal (X).
X Nivel Unidad.
2 Valor numérico
asignado al Eje
Vertical.
Es la cantidad
numérica que se le
atribuye al eje
vertical (Y).
Y Nivel Unidad.
3 Primer
Coeficiente de
la Ecuación
Diferencial
Es la cantidad
numérica
(coeficiente) de la
Variable X en la
a Auxiliar Unidad/hora
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Modelo de “Ecuación Diferencial Homogénea de Primer Orden”
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DX/DT. ecuación diferencial
dx/dt.
4 Segundo
Coeficiente de
la Ecuación
Diferencial
DX/DT.
Es la cantidad
numérica
(coeficiente) de la
Variable X en la
ecuación diferencial
dx/dt.
b Auxiliar Unidad/hora
5 Primer
Coeficiente de
la Ecuación
Diferencial
DY/DT.
Es la cantidad numérica (coeficiente) de la Variable X en la ecuación diferencial dy/dt.
c Auxiliar Unidad/hora
6 Segundo
Coeficiente de
la Ecuación
Diferencial
DY/DT.
Es la cantidad numérica (coeficiente) de la Variable X en la ecuación diferencial dy/dt.
d Auxiliar Unidad/hora
7 Operacionaliza
ción del Valor
del Eje
Horizontal.
Conjunto de
operaciones
atribuidas a los
coeficientes y las
variables (X).
X1 Flujo Unidad
8 Operacionaliza
ción del Valor
del Eje Vertical.
Conjunto de
operaciones
atribuidas a los
coeficientes y las
variables (Y).
Y1 Flujo Unidad
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2.5. IMPLEMENTACIÓN EN STELLA
2.6. GRÁFICA EN STELLA MODELO
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2.7. ESTRUCTURA MATEMÁTICA DEL MODELO “LOTKA VOLTERRA”
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