Modelo atmico de Schrdinger

Modelo atmico de Schrdinger

Densidad de probabilidad de ubicacin de un electrn para los primeros niveles de energa.

El modelo atmico de Schrdinger es un modelo cuntico no relativista se basa en la solucin de la ecuacin de Schrdinger para un potencial electrosttico con simetra esfrica, llamado tambin tomo hidrogenoide.

El modelo de Bohr funcionaba muy bien para el tomo de hidrgeno. En los espectros realizados para otros tomos se observaba que electrones de un mismo nivel energtico tenan energas ligeramente diferentes. Esto no tena explicacin en el modelo de Bohr, y sugera que se necesitaba alguna correccin. La propuesta fue que dentro de un mismo nivel energtico existan subniveles. La forma concreta en que surgieron de manera natural estos subniveles, fue incorporando rbitas elpticas y correcciones relativistas. As, en 1916, Arnold Sommerfeld modific el modelo atmico de Bohr, en el cual los electrones slo giraban en rbitas circulares, al decir que tambin podan girar en rbitas elpticas ms complejas y calcul los efectos relativistas.

Caractersticas del modelo

El modelo atmico de Schrdinger conceba originalmente los electrones como ondas de materia. As la ecuacin se interpretaba como la ecuacin ondulatoria que describa la evolucin en el tiempo y el espacio de dicha onda material. Ms tarde Max Born propuso una interpretacin probabilstica de la funcin de onda de los electrones. Esa nueva interpretacin es compatible con los electrones concebidos como partculas cuasipuntuales cuya probabilidad de presencia en una determinada regin viene dada por la integral del cuadrado de la funcin de onda en una regin.

El modelo atmico de Schrdinger predice adecuadamente las lneas de emisin espectrales, tanto de tomos neutros como de tomos ionizados. E igualmente predice adecuadamente la modificacin de los niveles energticos cuando existe un campo magntico o elctrico (efecto Stark). Adems, con ciertas modificaciones semiheursticas el modelo explica el enlace qumico y la estabilidad de las molculas. Cuando se necesita una alta precisin en los niveles energticos puede emplearse un modelo similar al de Schrdinger, pero donde el electrn es descrito mediante la ecuacin relativista de Dirac en lugar de mediante la ecuacin de Schrdinger.

Sin embargo, el nombre de "modelo atmico" de Schrdinger puede llevar a confusin ya que no explica la estructura completa del tomo. El modelo de Schrdinger explica slo la estructura electrnica del tomo y su interaccin con la estructura electrnica de otros tomos, pero no explica como es el ncleo atmico ni su estabilidad.

Solucin de la ecuacin de Schrdinger

Las soluciones estacionarias de la ecuacin de Schrdinger en un campo central electrosttico, estn caracterizadas por tres nmeros cunticos (n, l, m) que a su vez estn relacionados con lo que en el caso clsico corresponderan a las tres integrales del movimiento independientes de una partcula en un campo central. Estas soluciones o funciones de onda normalizadas vienen dadas en coordenadas esfricas por:

donde:

a0 es el radio de Bohr.

son los polinomios generalizados de Laguerre de grado n-l-1.

es el armnico esfrico (l, m).

Los autovalores son:

Para el operador momento angular:

Para el operador hamiltoniano:

donde:

es la constante de estructura fina con Z=1.