Modelamiento Numerico de la Din´ amica de la Capa de Hielo ...

Facultad de Ciencias

Escuela de Ciencias

Profesor Patrocinante: Dr. Marius Schaefer

Instituto de Ciencias Fısicas y Matematicas


Profesora Informante: Dra. Carolina Dominguez



Profesor Informante: Dr. Wilhelm Gerber



Modelamiento Numerico de la Dinamica de la Capa de Hielo

Mocho-Choshuenco

Seminario de Graduacion presentado

como parte de los requisitos para optar

al Grado de Licenciado en Ciencias

Mencion Fısica.

EDUARDO ELIAS FLANDEZ GUERRERO

VALDIVIA-CHILE

2017

Agradecimientos

Al Fondo Newton-Picarte RCUK-CONICYT, proyecto MR/N026462/1 “Glacial Hazards in

Chile: Processes, Assessment, Mitigation, and Risk Management Strategies”por el financiamiento.

Al Dr. Marius Schaefer del Instituto de Ciencias Fısicas y Matematicas de la UACh, por ser

mi profesor guıa, y por su apoyo durante mis estudios de pregrado, ası como permitirme colabo-

rar en varios terrenos cientıficos de glaciologıa. Tambien al Dr. Ralf Greve del Institute of Low

Temperature Science, Hokkaido University, Sapporo, Japon, por ofrecerme trabajar con su modelo

SICOPOLIS y su buena disposicion para resolver mis consultas. Al Dr. Pablo Iribarren del Instituto

de Ciencias de la Tierra UACh, por la ayuda con el modelo de elevacion digital. A Pablo Paredes

por su ayuda con Matlba, a Jorge Hernandez, Sebastian Cisternas y Thomas Loriaux por compartir

material de glaciologıa para estudiar.

Del Instituto de Ciencias Fısıcas y Matematicas UACh, a mis profesores informantes, la Dra.

Carolina Dominguez y el Dr. Willy Gerber. Tambien quiero agradecer de manera especial a la Dra.

Judit Lizoni por su constante apoyo, y al Dr. Sourya Ray por ensenarme a perseverar.

A la Dra. Susan Hess, Directora de la Escuela de Ciencias, por permitirme ingresar a esta her-

mosa carrera y su constante apoyo durante mis estudios.

A Tere, por ser mi companera, contenerme y darme su apoyo.

A mis hermanas Inge y Javi, por creer en mı.

Finalmente a Marta, mi madre por regalarme el libro del sistema solar y sus juegos creativos

que fueron despertando en mi el interes por la ciencia.

II

Resumen

El estudio de los glaciares es importante, ya que estos son indicadores de cambio climatico. La

dinamica de los cuerpos de hielo no solo es influenciada por factores climaticos, la topografıa del

lecho juega un rol fundamental. En este trabajo se busca simular el espesor y la extension de la

Capa de Hielo Mocho-Choshuenco.

Primero, se basa en las ecuaciones de conservacion de la masa y momentum de la mecanica

de fluidos. Posteriormente se estudian los principios fısicos de los cuerpos de hielo, los esfuerzos

y deformaciones, la fluencia del hielo, para llegar a la ecuacion de continuidad integrada vertical-

mente, el perfil de velocidades, y finalmente la ecuacion de evolucion del espesor de hielo.

Se utiliza la Aproximacion de hielo delgado (SIA), la cual facilita los calculos numericos, y

considera el glaciar como una loza de hielo infinito, despreciando el esfuerzo cortante en la super-

ficie. Se utiliza el codigo SICOPOLIS (SImulation COde for POLItemal Ice Sheets), que se basa

en el metodo de las diferencias finitas. Se realizan 6 simulaciones, en las que se varıa la altitud de

la lınea de equilibrio (ELA) y la parametrizacion del deslizamiento basal.

Se observa que al aumentar la ELA, el area de la capa de hielo y su espesor medio disminuyen.

Permitiendo el deslizamiento basal de la capa de hielo se observo que la simulacion reproducıa de

manera similar el espesor real, en particular la simulacion con un ELA a 2000 metros sobre en nivel

del mar [msnm], pero con un mayor volumen del real.

Finalmente basado en las proyecciones climaticas para la region, se espera que la ELA aumente,

y con ello las dimensiones de la capa de hielo se reduzcan. A su vez, se concluye que el desliza-

miento basal juega un rol fundamental en su dinamica, al redistribuir la masa hacia las zonas de

menor altitud, contribuyendo de esta manera a los procesos de ablacion.

III

Abstract

The study of glaciers is important, as these are indicators of climate change. The dynamics of

the ice bodies is not only influenced by climatic factors, the topography of the bedrock plays a

fundamental role. In this work we seek to simulate the thickness and the extension of the Mocho-

Choshuenco Ice Cap.

First, it is based on the conservation equations of the mass and momentum of fluid mechanics.

Subsequently, the physical principles of ice bodies, stresses and deformations, ice creep are studied

to arrive at the vertically integrated continuity equation, the velocity profile, and finally the equa-

tion of evolution of the thickness of ice, which is the equation to solve in this work.

The Shallow Ice Approximation (SIA) is used, which yield the numerical calculations, and con-

siders the glacier as an infinite ice slab, neglecting the shear stress on the surface. The SICOPOLIS

code (SImulation COde for POLItemal Ice Sheets) is used, which is based on the finite difference

method. Six simulations are carried out, in which the altitude of the equilibrium line (ELA) and the

parameterization of the basal slip are varied.

It is observed that when increasing ELA, the area of the ice cap and its average thickness de-

crease. Allowing the basal slide of the ice cap it was observed that the simulation reproduced in a

similar way the real thickness, in particular the simulation with an ELA at 2000 meters above sea

level masl, but with a greater volume of the real one.

Finally based on the climate projections for the region, it is expected that the ELA will increase,

and with this the dimensions of the ice cap will be reduced. At the same time, it is concluded that

the basal sliding plays a fundamental role in its dynamics, by redistributing the mass towards the

lower altitude zones, contributing in this way to the processes of ablation.

IV

Indice general

1. Introduccion 1

1.1. Planteamiento del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. La Fısica las Ciencias de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Modelamiento de glaciares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3. Los glaciares y el cambio climatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.4. Balance de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.5. Glaciares de la region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.6. Capa de hielo Mocho-Choshuenco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2. Marco teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1. Deformacion del hielo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.2. Ley de Glen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.3. Esfuerzos de conduccion y resistentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.4. Perfil vertical de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2.5. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2.6. Ecuacion del espesor del hielo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.2.7. Aproximacion hidrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.2.8. Aproximacion de hielo delgado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2. Hipotesis y Objetivos 39

2.1. Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

V

INDICE GENERAL VI

3. Material y metodos 41

3.1. Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2. SICOPOLIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3. Mapa del lecho rocoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4. Transformacion sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5. Grilla C de Arakawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6. Discretizacion de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.6.1. Velocidad horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6.2. Velocidad vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6.3. Evolucion de la superficie del hielo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.7. Esquema sobre implıcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4. Resultados 52

4.1. Descripcion de la simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1.1. Parametros constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1.2. Parametros variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2. Estabilidad de la capa de hielo simulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.1. Tiempo de simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.2. Resolucion espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3. Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3.1. Variacion de la ELA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3.2. Simulaciones con deslizamiento basal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.3. Variacion del volumen total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5. Discusion 65

5.1. Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

A. Glosario 71

INDICE GENERAL VII

B. Metodo de diferencias finitas 75

B.1. Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

B.1.1. Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

B.1.2. Metodo de Euler implicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

B.1.3. Metodo de Cranck Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

B.2. Regla del trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

B.3. Cuadratura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

C. Ecuacion de continuidad para fluidos incompresibles 84

Bibliografıa 85

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Planteamiento del Problema

1.1.1. La Fısica las Ciencias de la Tierra

El planeta Tierra esta conformada por capas con propiedades fısicas distintas: corteza, manto,

un nucleo externo lıquido y un nucleo interno solido. Esto se sabe gracias al trabajo de Inge Leh-

man, quien trabajando con ondas sısmicas descubrio la discontinuidad que lleva su nombre, la cual

separa el nucleo externo del nucleo interno (Lehmann, 1936).

La Tierra tiene una edad aproximada de 4.600 millones de anos durante los cuales el clima ha

cambiado, han transcurrido perıodos frıos en los cuales la Tierra ha estado cubierta por grandes

extensiones de hielo, conocidos como perıodos glaciales, y tambien perıodos de temperaturas mas

calidas, los perıodos interglaciales, como en el que nos encontramos en la actualidad. Fue el ma-

tematico Milutın Milanvovic, quien pudo relacionar los cambios de larga duracion del clima en el

ultimo millon de anos, con variaciones de la orbita terrestre alrededor del sol (Milankovitch, 1930).

La fısica se define como la ciencia natural que estudia la materia, la energıa, el tiempo y el

espacio (Tipler, 2005), permite a traves del uso de la logica, las matematicas y ciertos principios

fundamentales de la naturaleza, entender como funciona el universo. Esto por cierto, tiene aplica-

ciones a las ciencias de la tierra, de la atmosfera y el universo.

1

1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 2

1.1.2. Modelamiento de glaciares

La importancia de hacer modelamiento numerico de los fenomenos naturales, esta en que nos

permite encontrar la solucion de algun problema, cuando la solucion analıtica no existe o esta

requiere de un desarrollo complejo. Cuando analizamos los resultados de un modelo, hay que con-

siderar que no estamos tratando con el objeto real, sino que con un objeto teorico, sobre el cual

hemos hecho caso omiso de algunas variables, para ası poder abordar de manera simplificada cier-

tos problemas.

La era moderna de los estudios de glaciares se origino en el perıodo de 1950 a 1970 gracias a los

trabajos de Nye, Glenn, Hutter, Paterson, (por mencionar algunos); al integrar los principios fısicos

con la evidencia experimental, los analisis explicaron muchos aspectos de la forma, la temperatura,

el flujo, la evolucion y la dinamica de los glaciares (Cuffey and Paterson, 2010).

Una caracterıstica comun de los cuerpos de hielo es que fluyen por causa de la gravedad, lo

que se denomina flujo glacial, sostenido por el lecho rocoso subyacente. Esto conduce al adelgaza-

miento y a la dispersion horizontal, esencialmente compensada por la acumulacion de nieve en las

areas mas altas (interiores), y fusion y desprendimiento (o calving) en las areas inferiores. Cual-

quier desequilibrio de este balance dinamico conduce a las masas de hielo a crecer o a encogerse

(Greve and Blatter, 2009).

El hielo fluye como un fluido viscoso, cuya velocidad es mayor en la parte central y disminuye

progresivamente hacia cada lado, y se mueve mas rapidamente en la superficie que en la profun-

didad. Por otro lado los vectores de velocidad no son paralelos a la superficie del glaciar, mas

bien estos se inclinan ligeramente hacia abajo en las partes superiores del glaciar como muestra

la figura1.1, donde la nieve se acumula y ligeramente hacia arriba en los tramos inferiores para

compensar el hielo perdido por fusion (Cuffey and Paterson, 2010).

1.1.3. Los glaciares y el cambio climatico

La parte de la superficie de la Tierra donde el agua se encuentra congelada se denomina Crios-

fera. Esta incluye: nieve, glaciares, capas de hielo, el hielo marino, campos de hielo, el permafrost,

y los casquetes polares de Groenlandia y Antartica (Greve and Blatter, 2009).

Nieve: es una precipitacion en forma de hielo de agua cristalina, que consiste en una multitud


Figura 1.1: Vista esquematica de vectores de velocidad en un glaciar de montana (Cuffey and

Paterson, 2010)

de copos de nieve, que se acumulan en el suelo a una densidad aparente significativamente menor

que la del hielo (Bishop et al., 2011).

Casquete de hielo polar (ice sheets): son masas de hielo cuya superficie es superior a 50.000

km2, que yace sobre lecho rocoso firme (Cuffey and Paterson, 2010).

Hielo marino (ice shelves): por otro lado los consiste en hielo flotante en los oceanos polares,

nutrido por el flujo de hielo de una capa de hielo adyacente, nevadas, y recongelamiento de hielo

marino desde abajo, y que es tıpicamente estabilizado por grandes bahıas (Bishop et al., 2011).

Capa de hielo (Ice cap): se define como grandes masas de hielo con una superficie inferior a

50.000 km2 que estan alojadas sobre lecho rocoso. Son esencialmente las enormes masas de gla-

ciares que casi sumergen la topografıa subyacente (Bishop et al., 2011).

Glaciar: es una masa de hielo que se origina en la superficie terrestre por acumulacion, compac-

tacion y recristalizacion de la nieve, mostrando evidencias de flujo en el pasado o en la actualidad

Cuffey and Paterson (2010), limitado por caracterısticas topograficas (por ejemplo, un valle de

montana) (Greve and Blatter, 2009).

Permafrost: es el suelo que permanece congelado a 0◦C por al menos dos anos consecutivos

(Bishop et al., 2011).

Tanto los casquetes polares, plataformas de hielo, capas de hielo y glaciares tienen en comun

que muestran un flujo de fluencia impulsado por la gravedad (“flujo glacial”), sostenido por la tierra

subyacente (Greve and Blatter, 2009).


Segun Hooke (2005), los cuerpos de hielo tambien se clasifican por sus caraterısticas termicas:

1. Frıos o polares: su temperatura esta por debajo de la temperatura de fusion del hielo en

todas partes, excepto posiblemente en el lecho. A su vez estos se subdividen en Tipo I que

son aquellos que estan congelados en su base, y como Tipo II aquellos que presentan agua de

deshielo en la base. Estos responden de manera mas lenta a los cambios climaticos.

2. Politermales o subpolares: son glaciares que tienen un regimen termico basal mixto. Estos

glaciares tienen hielo temperado (a 0◦C) en su interior donde el hielo es grueso y se calienta

hasta el punto de fusion de presion, y hielo frıo (por debajo de 0◦C) alrededor de sus margenes

donde el hielo es delgado y en su superficie (Bishop et al., 2011).

3. Temperados: aquellos que estan a la temperatura de fusion (a 0◦C) en todo momento. Es-

tos son mas sensibles y responden rapido a cambios climaticos y tambien a cambios en la

dinamica del hielo. Ejemplos son la capa de hielo del volcan Mocho-Choshuenco y glaciares

de la Patagonia.

Por otro lado, segun el Quinto Informe (AR5), capıtulos 2,3, y 4 del Panel Intergubernamental

de Expertos sobre el Cambio Climatico (IPCC), contribucion del Grupo de Trabajo I (Stocker et al.,

2013), el calentamiento del sistema climatico es inequıvoco, y desde la decada de 1950 muchos de

los cambios observados son sin precedentes durante decadas o milenios. La atmosfera y el oceano

se han calentado, las cantidades de nieve y hielo han disminuido, el nivel del mar ha aumentado y

las concentraciones de gases de efecto invernadero han aumentado. Algunas conclusiones de este

informe son:

• A nivel atmosferico las ultimas tres decadas han sido mas calidas que cualquiera de las ante-

riores desde 1850. El promedio combinado de temperatura terrestre y oceanica global, mues-

tra un calentamiento de 0,85 ◦C para el perıodo comprendido entre 1880 a 2012.

• El aumento de la temperatura superficial del oceano (75 m) fue de 0,11 ◦C por decada durante

los anos 1971 a 2010.


• La tasa promedio de perdida de hielo de los glaciares en todo el mundo, excluyendo los

glaciares en la periferia de las capas de hielo, fue de 226 gigatoneladas por ano (desde ahora

Gt a−1) durante el perıodo de 1971 a 2009.

• La tasa de aumento del nivel del mar desde mediados del siglo XIX ha sido mayor que la tasa

media durante los dos milenios anteriores. Durante el perıodo 1901 a 2010, el nivel medio

global del mar aumento 0,19 m.

Los glaciares tienen un rol importante como indicadores de cambio climatico. Segun Jacob et al.

(2012) entre los anos 2003 a 2010, a nivel global las contribuciones al aumento del nivel del mar

por parte glaciares y capas de hielo fue de 0,41± 0,08 milımetros por ano (desde ahora mma−1), el

aporte de Groenlandia fue de 0,61 ± 0,02 mma−1 y de Antartica una tasa de 0,46 ± 0,20 mma−1.

Por otro lado, el quinto informe del IPCC, AR5 (Fifth Assessment Report), capıtulo 13, estima

una contribucion de los glaciares y capas de hielo de 0,76 ± 0,37mma−1, luego para Groenlandia

una tasa de 0,43 ± 0,09 mma−1, y finalmente para Antartica 0,27 ± 0,11 mma−1 (Church et al.,

2013).

1.1.4. Balance de masa

Cada ano un glaciar (y los otros cuerpos de hielo) gana hielo de las nevadas pero tambien

pierde hielo por derretimiento y otros procesos. Si las ganancias y las perdidas no son iguales,

el tamano del glaciar (sus dimensiones y la masa de hielo que contiene) cambiara con el tiempo

(Cuffey and Paterson, 2010). El balance de masa es un concepto muy importante, permite evaluar

dichos cambios y buscar una comprension de los procesos involucrados. En terminos sencillos es

el cambio en la masa de un glaciar, o parte de este, durante un lapso de tiempo establecido (Cogley,

2011). Los procesos involucrados son la acumulacion de masa y la ablacion.

Acumulacion: Representa una entrada o ganancia de masa (Cogley, 2011), y segun (Bishop et al.,

2011) suministro de masa principalmente por deposicion de nieve. Dentro de los procesos que

influyen en la acumulacion estan la precipitacion de nieve (la cual aumenta con la elevacion),

la redistribucion de nieve por viento (mas importante en cuerpos de hielo pequenos que en los


grandes), redistribucion de nieve por avalancha, y recongelamiento, el cual puede llegar a ser de

un 60 % en la zona de acumulacion (Cuffey and Paterson, 2010).

Ablacion: Involucra todos los procesos que reducen la masa del glaciar. Los principales procesos

de ablacion son el derretimiento y el desprendimiento o “calving”. Tambien contribuyen la erosion

por viento, y avalanchas (Cogley, 2011).

Cuando la acumulacion es mayor que la ablacion se habla de un balance de masa positivo, por

el contrario cuando la ablacion predomina ante la acumulacion hablamos de un balance negativo.

El balance de masa en un punto en especıfico tambien depende del flujo de hielo. El flujo de

hielo redistribuye la masa en un glaciar. Mirando la figura 1.2 el balance de masa de la zona A, no

solo depende de los intercambios de masa sumados a la zona, sino tambien de la transferencia de

masa por flujo. La zona A pierde masa por flujo glaciar abajo, mientras que la zona B gana masa

por flujo desde arriba.

Al aumentar el flujo de glaciar hacia abajo, este se expande hacia la zona de bajas altitudes

donde la fusion es mas fuerte y como consecuencia se pierde masa (Cuffey and Paterson, 2010).

Figura 1.2: Flujo de hielo desde la zona A hacia la B. La X representa una columna vertical de

hielo de area horizontal unitaria (Cuffey and Paterson, 2010)

.

Observado nuevamente la figura 1.2, la letra X que aparece, indica una columna vertical de area

horizontal unitaria. Los intercambios de masa que ocurren en la superficie, dentro del glaciar, y

en su base aumentan o disminuyen la masa en la columna. Este cambio de masa por unidad de


superficie es lo que se conoce como balance de masa especıfico.

Balance de masa especıfico (B): representa el cambio de masa por unidad de area, se mide en

kg/m2. En un punto especıfico del glaciar, el balance de masa local designa la suma de acumula-

cion y ablacion . El balance de masa local (especıfico) puede ser positivo si domina la acumulacion,

o negativo si domina la ablacion. El signo del balance de masa especıfico determina completamente

el cambio local de espesor de hielo o el cambio local de masa en una columna vertical a traves del

glaciar. Esto se debe a que el balance de masa especıfico se puede compensar, por la entrada/perdida

de masa debido a un gradiente del flujo de hielo horizontal (Cuffey and Paterson, 2010).

Tasa de balance de masa especıfico (B): es el balance de masa especıfico dividido por ano (a),

sus unidades son (kg/m2a) (Cuffey and Paterson, 2010).

Es comun utilizar como sinonimos tasa de balance especıfico y balance especıfico, ya que en

ocasiones el balance de especıfico se mide durante un ano, (pero no necesariamente).

El balance especıfico de la columna X se puede dividir como:

B = Bs + Be + Bb

donde Bs es el balance superficial, Be es el balance intraglacial y Bb es el balance basal. En la

practica muchas veces solo se mide el Bs, haciendo la aproximacion B ≈ Bs.

Balance de masa superficial (Bs) : Domina en balance de masa en la mayorıa de los glaciares,

seguido por el calving. Esta dado por:

Bs = as + aa − ms + ar − s+ aw

donde as representa las nevadas, aa deposicion por avalanchas, ms el derretimiento, ar el reconge-

lamiento de agua, s la sublimacion, y aw la deposicion por viento (Cuffey and Paterson, 2010).

En la mayorıa de los glaciares montanosos fuera de los tropicos, el balance superficial varıa

considerablemente a lo largo de las estaciones, dominado por la acumulacion en invierno y la

ablacion en verano (Cuffey and Paterson, 2010).


Gradiente de balance de masa m0: se espera que el balance de masa vaya aumentando con la

elevacion, debido a que las temperaturas disminuyen y las precipitacion solida aumenta.

Mediante el balance de masa local se pueden identificar dentro de un glaciar la zona de abla-

cion, la zona de acumulacion y la lınea de equilibrio. El ano hidrologico comienza en marzo/abril,

y corresponde al perıodo de tiempo en que se mide el balance de masa.

Zona de acumulacion: La parte del glaciar donde la acumulacion excede la ablacion en mag-

nitud, es decir, donde el balance de masa acumulada con relacion al inicio del ano de balance de

masa es positivo (Cogley, 2011).

Zona de ablacion: la parte del glaciar donde la ablacion excede a la acumulacion en magnitud,

es decir, donde el balance de masa acumulativo relativo al inicio del ano hidrologico es negativo

(Bishop et al., 2011).

Lınea de equilibrio: la lınea de equilibrio, marca el area o zona en un glaciar que separa la

zona de acumulacion de la zona de ablacion y representa donde la acumulacion anual y la ablacion

son iguales durante un perıodo de un ano (Cuffey and Paterson, 2010).

Figura 1.3: Variacion estacional del balance superficial especıfico, a traves de un glaciar (Cuffey

and Paterson, 2010)

La altitud de la lınea de equilibrio (desde ahora ELA), esta determinada por las condiciones

climaticas locales, pero tambien es un buen indicador del clima regional debido a que las fluctua-

ciones del balance de masas de los glaciares se correlacionan fuertemente con las distancias a 500


km (Bishop et al., 2011). Mucha superficie en la ELA implica que el balance de masa del glaciar

es mas sensible a cambios de temperatura.

El Balance de masa superficial (Bs), se define como la diferencia entre la precipitacion de nieve

(acumulacion) y fusion (ablacion). Se emplea una parametrizacion simple con tres parametros, el

balance de masa superficial maximo (S0), gradiente altitudinal del balance superficial (m0) y la

altitud de la lınea de equilibrio (ELA) como muestra la figura (1.4) (Greve and Blatter, 2009).

Bs (h, t) = min [S0 (t) ,m0 (h− ELA (t))] (1.1)

“Ecuacion del balance de masa superficial”

Figura 1.4: Parametrizacion del balance de masa superficial como una funcion de la elevacion de

la superficie h. Los tres parametros son: el balance de masa superficial maximo S0, el gradiente

altitudinal del balance de masa superficial m0 y la altura de la lınea de equilibrio ELA. (Greve and

Blatter, 2009)

Por otro lado, uno de los metodos que se utilizan para medir el balance de masa, es el Metodo

Glaciologico el cual consiste en la instalacion de una red de balizas (estacas) en el glaciar per-

forandolo con un taladro a vapor “heucke steam drill”(Heucke, 1999), las cuales sirven para medir

la diferencia de elevacion de superficie de nieve o hielo a traves del tiempo. A su vez se cava un

pozo estatrigrafico o calicata, en el cual se extraen muestras de nieve para calcular la densidad de

esta (Hubbard and Glasser, 2005). Para el balance de masa se utiliza la unidad metros equivalentes


de agua (meter water equivalent, desde ahora m w.e.). Ası 1 m w.e significa que si se derrite dicha

cantidad de nieve, se obtiene un metro cubico de agua.

1.1.5. Glaciares de la region

Desde el siglo pasado los glaciares de la Patagonia, han experimentado una drastica recesion

respecto al area (Masiokas et al., 2009). Un ejemplo ilustrativo es el glaciar San Rafael cuyo re-

troceso muestra la figura 1.5. Esto se condice con las tendencias lineales de los registros anuales

y estacionales de temperaturas y precipitaciones promediados a nivel regional en Patagonia que

indican un calentamiento significativo y una disminucion de la precipitacion entre 1912 y 2002

(Masiokas et al., 2008).

Segun Rignot et al. (2003) la contribucion de los glaciares de la Patagonia al aumento del nivel

del mar durante el perıodo 1968/1975 - 2000 fue a una tasa de 0,042± 0,002 milımetros por ano

[mma−1]. Por otro lado, segun Jacob et al. (2012) la tasa fue de 0,06 mma−1, entre 2003 a 2010.

Es probable que la diferencia entre ambos trabajos sea por los distintas fuentes de informacion uti-

lizadas, (Rignot et al., 2003) utilizo datos de STRM (Shuttle Radar topography mission), mientras

que (Jacob et al., 2012) utilizo informacion de la mision satelital GRACE (Gravity Recovery and

Climate Experiment), y por otro lado a los diferentes intervalos de ambos estudios.

Las proyecciones de balance de masa para Campos de hielo norte, NPI (Northern Patagonian

Ice Field), muestran un fuerte aumento en la ablacion a partir de 2050 y una reduccion de la precipi-

tacion solida a partir de 2080, debido a temperaturas mas altas (Schaefer et al., 2013). Suponiendo

que no existan cambios significativos de perdida de masa por desprendimientos (calving), se estima

una perdida total de masa de 617 ± 50 gigatoneladas [desde ahora Gt] de hielo en el siglo 21, lo

cual podrıa corresponder a un aumento en el nivel del mar de 1,71 ± 0,14 mm (Schaefer et al.,

2013).

1.1.6. Capa de hielo Mocho-Choshuenco

La Capa de hielo delVolcan Mocho-Choshuenco se ubica en la ladera suroeste del volcan

homonimo (39◦55′S, 72◦02′W ) cercano a las localidades de Neltume y Choshuenco, en la XIV

Region de los Rıos, Chile (ver figura1.6), y esta conformado por hielo temperado segun extraccio-


Figura 1.5: Retroceso del Glaciar San Rafael, (Andres Rivera, www.glaciologia.cl)


nes de testigos de hielo (Kohshima et al., 2008).

El glaciar principal del volcan esta situado en el flanco sureste del cono, con una superficie total

de 4,8 km2. La temperatura media anual en un nunatak del Glaciar Mocho a una elevacion de ±

2000 m, fue de +2,6 ◦C en 2006-15 y la precipitacion media anual en Puerto Fuy (13 km del glaciar,

a una altitud de 600 m) fue de 4000 mm durante el mismo perıodo (Schaefer et al., 2017).

Figura 1.6: Ubicacion del area de estudio y delimitacion de cuenca monitoreada desde 2003 (Schae-

fer et al., 2017)

En el ano 2003 hubo una reduccion del 40 % de la superficie original de 28,4 km2 que habıa en

el ano 1976. Se observo una disminucion del area a una tasa de 0,45 km2a−1 entre 1987 y 2003.

Con el fin de analizar la respuesta de los glaciares a las condiciones climaticas que afectan a esta

region, se inicio en 2003 un programa mensual de balance de masa y se han realizado mediciones

continuamente hasta la fecha.

El promedio de los balances anuales de masa del glaciar medidos en los cuatro anos hidrologi-

cos 2009/10 - 2012/13 fue de -0,90 m w.e. a−1 ano. La simulacion del balance de masa anual

promedio del glaciar entre 2006/07 - 2014/15 fue de -1,05 m w.e. a−1. La ablacion distribuida ob-

1.2. MARCO TEORICO 13

servada muestra una clara dependencia altitudinal mientras que la acumulacion esta determinada

por patrones de deriva de nieve (Schaefer et al., 2017).

Por lo anteriormente expuesto, en este seminario contribuire al entendimiento de la dinamica

del glaciar Mocho-Choshuenco, simulando la variacion temporal del espesor del hielo glaciar, para

comprender los impactos de los futuros climas mas calidos proyectados para la Region de los Rıos.

1.2. Marco teorico

En un glaciar de valle el hielo fluye gobernado por una ley basica: fluye hacia abajo por causa

de la gravedad. La friccion en la base y a los lados intentan mantener el hielo en su lugar, y este

contraste de fuerzas es el origen de tensiones internas que desencadenan una deformacion plastica,

que se traduce en grietas (Oerlemans, 2001). La forma en que el flujo redistribuye la masa determina

la forma de un glaciar, y tambien la rapidez con la que los glaciares responden al cambio climatico.

El flujo ademas redistribuye la energıa interna del glaciar y por tanto afecta la distribucion de

temperatura (Hooke, 2005). Segun Oerlemans (2001), en la descripcion del flujo glacial se pueden

distinguir dos tipos de movimientos:

1. Deformacion interna, que involucra el desplazamiento contınuo de cristales entre sı. En los

glaciares mas grandes, el tipo de deformacion se aproxima a un flujo cortante simple, en el

cual la velocidad del hielo es mas o menos paralela al lecho y aumenta con la altura sobre

el lecho y con la distancia desde las paredes del valle (ver figura 1.7). La deformacion de

capas de hielo paralelas (ficticias) induce esfuerzos de corte en la interfase de las capas. Este

esfuerzo cortante debe aumentar con la profundidad, ya que tiene que mantener mas y mas

hielo en equilibrio (la columna entera de hielo sobre la que la fuerza del cuerpo, la gravedad,

esta actuando).

2. Deslizamiento sobre el lecho. Debido al tamano finito y a las irregularidades presentes en el

lecho, el deslizamiento tambien implica deformacion del hielo, de lo contrario el glaciar no

podrıa mantener su forma.

Tambien el hielo deforma el lecho.


En glaciares templados se estima que las contribuciones del deslizamiento y de la defor-

macion de la columna de hielo, al flujo total de masa son comparables.

Figura 1.7: Incremento de la velocidad , desde el lecho hacia la superficie libre y desde las paredes

del valle hacia el centro del glaciar (Oerlemans, 2001).

1.2.1. Deformacion del hielo

Cuando se aplica un esfuerzo sobre el hielo, este se comporta como un fluido viscoso defor-

mandose lenta y continuamente, bajo un proceso llamado fluencia (creep) (Cuffey and Paterson,

2010). Esto explica el flujo dentro del hielo, y su deslizamiento sobre el lecho rocoso (bedrock). De

esta manera existe una “relacion de fluencia”, tambien llamada “ley de flujo”, la cual es un tipo de

relacion constitutiva que relaciona la deformacion con el esfuerzo.

Si la relacion de fluencia entre el esfuerzo y la deformacion es lineal, el fluido se denomina

“viscoso newtoniano”.

La “plasticidad perfecta” es un caso lımite de fluencia, en el que al aumentar el esfuerzo gra-

dualmente no se produce deformacion hasta un valor crıtico, el lımite elastico, y comienza la defor-

macion. El esfuerzo nunca puede exceder el lımite elastico, pero la deformacion puede continuar

de todos modos. La fluencia del hielo glacial sigue una ley que se encuentra entre los dos ejemplos

anteriores, la viscosidad newtoniana y la plasticidad perfecta (Cuffey and Paterson, 2010).

Considerando un cuerpo de hielo deformandose continuamente como un fluido. Definiendo el

vector de velocidad del flujo del hielo como v cuyas componetes son [u, v, w]. El gradiente espacial


de velocidad determina la tasa de deformacion, descrita por el tensor tasa de deformacion εxz de la

siguiente forma:

εxz =1

2

[∂u

∂z+∂w

∂x

](1.2)

εxx =∂u

∂x(1.3)

Ası se obtiene una matriz de 9 elementos, donde las componentes diagonales εxx, εyy, εzz des-

criben el estiramiento (positivo) o compresion (negativo) paralela a los ejes.

La suma εxx + εyy + εzz da la tasa fraccional de cambio de densidad del hielo deformado. Este

numero se llama primer invariante de ε, simbolizado por εI .

Como el hielo glaciar se asume incompresible, la ecuacion de continuidad de masa

∂ρ

∂t+∇ · (ρv) = 0 (1.4)

para fluidos incompresibles es

∇ · v = 0 (1.5)

Luego, el primer invariante de ε es

εI =∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= 0 (1.6)

La figura 1.8 ilustra la proyeccion de un bloque de hielo en el eje x− z, inicialmente cuadrado,

el cual se deforma cuando se mueve en un glaciar al lado de un lımite rıgido. Dos situaciones im-

portantes se muestran en el plano xz. El primero solo implica compresion y extension y se conoce

como cizallamiento puro; esto significa εxx = −εzz y εxz = εzx = 0. El segundo es cizallamiento

simple, para el cual εxz = εzx 6= 0, pero εxx = εzz = 0 (Cuffey and Paterson, 2010).

Para un material incompresible como el hielo, las deformaciones no dependen del esfuerzo

maximo T, sino de las desviaciones del esfuerzo desde un estado isotropico. La magnitud del


Figura 1.8: Cizallamiento puro y cizallamiento simple (Cuffey and Paterson, 2010)

esfuerzo isotropico corresponde al esfuerzo normal medio, simbolizado por

σM =1

3[σxx + σyy + σzz]

La presion P conmunmente indica los valores de σM , siendo positivos para la compresion ; ası

P = −σM . Los σii son las componentes diagonales del tensor de esfuerzos T, donde la matriz de

este tensor es dada por:

T =

σxx σxy σxz

σyx σyy σyz

σzz σzy σzz

(1.7)

Los esfuerzos normales se definen como positivos en tension. Las desviaciones son llamadas

esfuerzo desviador, simbolizados por TD:

TD =

τxx τxy τxz

τxy τyy τyz

τxz τyz τzz

=

σxx − σM σxy σxz

σxy σyy − σM σyz

σxz σyz σzz − σM

Por definicion las componentes normales del desviador de esfuerzos suman cero (Cuffey and Pa-

terson, 2010):

τxx + τyy + τzz = 0 (1.8)

1.2.2. Ley de Glen

El fısico John Glen experimentalmente demostro que al aplicar esfuerzos entre 50 a 150 kPa en

el flujo normal del hielo, la relacion entre el esfuerzo cortante dominante τ y la tasa de deformacion

ε, esta dada por una ley de potencias conocida como “Ley de Glen”:


ε = Aτn (1.9)

donde n es el exponente de fluencia , cuyo valor es constante, pero el parametro de fluencia

“A”, depende de la temperatura y de la composicion del hielo. La forma de esta ley de potencia es

un ajuste empırico de los datos de laboratorio y de campo para las condiciones tıpicas de glaciares

(Glen, 1955).

Se han obtenido diferentes valores para A en diferentes experimentos; a una determinada tension

y temperatura, las velocidades de deformacion medidas difieren en aproximadamente un factor de

diez. Los valores aceptados van de n entre 2 a 4 segun los experimentos, con un promedio de 3

(Weertman, 1983). Debido a que un valor de 3 tambien es mas consistente con los datos de terremo,

para los analisis de la dinamica de los glaciares se asume n = 3. Un valor tan alto para n significa

que el flujo del glaciar difiere marcadamente del de un fluido viscoso newtoniano. Un exponente

n >1 implica que cada componente de tension actua para reducir la viscosidad del hielo y, por

lo tanto, aumenta las velocidades de deformacion de todas las orientaciones (Cuffey and Paterson,

2010).

El analisis de los esfuerzos en glaciares es complejo; el esfuerzo de corte actua combinado con

el esfuerzo normal en tres dimensiones. La relacion de fluencia dada por la ecuacion (1.9) se aplica

a casos simples con solo un componente de esfuerzo aplicado. Para glaciares se debe encontrar

una relacion mas general, basada en las propiedades de tensores de segundo orden (Cuffey and

Paterson, 2010). Mas tarde el fısico John Nye, se enfoco en esta tarea, para ello asumio que el hielo

era incompresible, e isotropico (Nye, 1957).

Asumio que cada componente de la tasa de deformacion εjk es proporcional a su componente

del esfuerzo desviador correspondiente τjk:

εjk = λτjk (1.10)

con j, k = x, y, z. En el hielo isotropico, la viscosidad efectiva no depende de la orientacion de

la deformacion. Por lo tanto, la constante de proporcionalidad λ tiene el mismo valor para todos

los componentes, aunque esta varıa de un lugar a otro dependiendo de factores como el esfuerzo τ

y la temperatura (Cuffey and Paterson, 2010).


Se deduce de las ecuaciones (1.8) y (1.10) que

εxx + εyy + εzz = 0 (1.11)

Ası la ecuacion (1.10) contiene el criterio de incompresibilidad.

Ademas esta constante λ debe ser invariante, ya que la relacion de fluencia no puede ser afectada

por algun cambio en los ejes. Ası, los tensores de segundo orden como τ y ε tienen tres invariantes.

El primer invariante es que la suma de las componentes diagonales de los tensores τ y ε es cero,

ecuaciones (1.6) y (1.8). El segundo invariante es una medida aditiva de la magnitud total, analoga

a la longitud de un vector, llamados segundos invariantes de τ y ε la esfuerzo efectivo τE y la tasa

de deformacion efectiva εE (Cuffey and Paterson, 2010).

ε2E ≡1

2

[ε2xx + ε2yy + ε2zz

]+ ε2xz + ε2xy + ε2yz (1.12)

τ 2E ≡1

2

[τ 2xx + τ 2yy + τ 2zz

]+ τ 2xz + τ 2xy + τ 2yz (1.13)

Una relacion de fluencia para sistemas de esfuerzo complejos debe conectar cantidades que des-

criban el estado general de esfuerzo y la tasa de deformacion. Nye (1957) propuso que el esfuerzo

efectivo y la tasa de deformacion obedecen al comportamiento de una ley de potencia, ecuacion

(1.9), y estarıa dada de manera general por:

εE = AτnE (1.14)

De las ecuaciones (1.10), (1.12), y (1.13) se tiene que

εE = λτE (1.15)

y por (1.14)

λ = Aτn−1E (1.16)

Luego reemplazando λ de la ecuacion (1.16), en la ecuacion (1.10), se obtiene finalmente la

“Ley de Glen generalizada o Ley Isotropica de Nye-Glen”, ası las tasas de deformacion dependen

de los esfuerzos desviatorios segun


εjk = Aτn−1E τjk (1.17)

Eligiendo n = 3, la Ley de Glen generalizada muestra que cada componente de la tasa de

deformacion es proporcional al desviador de esfuerzos y al cuadrado del esfuerzo efectivo (Cuffey

and Paterson, 2010).

La relacion de fluencia se puede escribir de forma inversa como

τjk = 2ηεjk (1.18)

donde η es la viscosidad efectiva. En contraste con un fluido newtoniano, para el cual n = 1 y la

viscosidad no varıa con el esfuerzo, para η el hielo varıa como

η =1

2

[Aτn−1E

]−1 (1.19)

Es decir, el hielo se ablanda a medida que aumenta la magnitud del desviador de esfuerzo.

Esta no linealidad (n = 3) implica que las tasas de deformacion en un glaciar aumentan fuer-

temente a medida que el esfuerzo efectivo aumenta a aproximadamente 100 kPa (ver figura 1.9).

Con este nivel de esfuerzos, los glaciares fluyen lo suficiente como para redistribuir la masa y evitar

que los esfuerzos gravitatorios se eleven mucho mas. Por lo tanto, a veces es util idealizar el hielo

como un material perfectamente plastico, en el que un esfuerzo que aumenta de manera constante

no causa deformacion hasta que τE alcanza un lımite de fluencia “τ 0” (Cuffey and Paterson, 2010).

En este punto el hielo se deforma facilmente el esfuerzo no puede aumentar mas, y la tasa de

deformacion toma un valor determinado por otros factores, como restricciones cinematicas en el

flujo. El lımite elastico τ0 para el hielo es del orden de 100 kPa (este aumenta para hielo mas frıo).

Finalmente podemos ver en la figura 1.9 que la relacion de potencia con n=3, apropiada para el

hielo, es intermedia entre el comportamiento viscoso lineal (n = 1) y perfectamente plastico.

Volviendo al parametro A de la ecuacion (1.17), a cierto esfuerzo dado, un mayor valor de

A, significa mayor deformacion. Las variables que afectan a A son la temperatura, la presion hi-

drostatica, el contenido de agua, la densidad del hielo, el tamano del grano.


Figura 1.9: Comparacion de diferentes tipos de relaciones de fluencia, viscoso lineal y plasticidad

perfecta (Cuffey and Paterson, 2010)

• Temperatura: experimentalmente se ha estimado que A aumenta aproximadamente un fac-

tor de diez entre -30◦C y -10◦C, y luego por otro factor de cinco o diez hasta el punto de

fusion. En todo el rango de temperaturas en el hielo terrestre, A varıa en un factor de 103.

Una sensibilidad tan grande significa que las temperaturas deben conocerse bien para prede-

cir las tasas de deformacion.

Para temperaturas inferiores a -10◦C, la dependencia de temperatura puede ser descrita por

una relacion simple de Arrhenius:

A = A0exp

(− Q−

RTh

)(1.20)

donde Th es la temperatura (en kelvin), ajustada para la depresion del punto de fusion; si

el punto de fusion es menor que el valor estandar 273,15 en una cantidad δTm, entonces

Th = T + Tm. Luego A0 es una constante, y Q− la energıa de activacion a baja temperatura

para la fluencia, que es distinta de la energıa de activacion efectiva por encima de 10◦C, que

llamaremos Q+. Las mediciones en laboratorio dan valor de Q−= 59 kJ mol−1 (Weertman,

1983).

En el rango de -10 a 0 ◦C, los datos de laboratorio pueden aproximarse aumentando la energıa

de activacion aparente a un valor Q+ = 152kJmol−1 (Weertman, 1983). En resumen usando


valores de Q+ en el rango de 80 a 150 kJmol−1 da un rango de valores de A en el punto de

fusion que esta acorde a las mediciones de campo (Cuffey and Paterson, 2010).

• Presion hidrostatica: La presion hidrostatica deprime el punto de fusion del hielo. Para la

presion P (positiva en compresion), el punto de fusion disminuye por PB, donde B = 7 ×

10−8KPa−1. Por lo tanto la ecuacion (1.20) se puede escribir en terminos de la temperatura

real T y la presion P como:

A = A0exp

(−QR

1

[T +BP ]

)El cambio de temperatura BP es de aproximadamente 2 ◦C por debajo de 3 km de hielo,

por lo que una presion alta puede causar un ablandamiento pequeno pero no despreciable del

hielo, a una temperatura determinada, en las capas profundas de hielo (Cuffey and Paterson,

2010).

• Contenido de agua: El agua ablanda el hielo policristalino al facilitar los ajustes entre los

granos vecinos con diferentes orientaciones. Dentro de los glaciares templados, el contenido

de agua varıa debido a las diferencias en la porosidad, la velocidad de fusion y el drenaje.

Ası el porcentaje del contenido de agua W afecta al parametro A

A = [3, 2 + 5, 8W ]× 10−24

unidades [Pa−3s−1] (Cuffey and Paterson, 2010).

• Densidad: Para densidades mas bajas que ρ=830 kg m−3, la porosidad adicional conduce

a un ablandamiento significativo del hielo. Las tasas de deformacion aumentan en un factor

de aproximadamente diez para una disminucion de la densidad de 150 kgm−3 (Cuffey and

Paterson, 2010).

• Tamano del grano: Para el hielo de grano fino, la viscosidad depende del tamano del grano,

especialmente a temperatura muy por debajo del punto de fusion y temperaturas cercanas a

0◦C. Pero la alta sensibilidad de la viscosidad del hielo a la temperatura y a la estructura,

no deja entender claramente cuales son los efectos del tamano de grano en la mayorıa de los

estudios en terreno (Cuffey and Paterson, 2010).


• Acrecentamiento (E): El termino acrecentamiento proporciona una manera conveniente de

hablar sobre las variaciones de la velocidad de deformacion que no se explican por el esfuerzo

y la temperatura, en la relacion de fluencia de Nye-Glen. Para una velocidad de deformacion

medida εm, el acredentamiendo E se define como

E ≡ εmε0

(1.21)

donde ε0 es la tasa de deformacion dada por la ecuacion (1.17) (Cuffey and Paterson, 2010).

Finalmente, las relaciones de fluencia isotropica recomendadas, con T en kelvin, Q en J mol−1,

P en Pa, y R=8,314 J mol−1K−1 son:

εjk = AE∗τn−1E τjk (1.22)

A = A∗exp

(−Qc

R

[1

Th− 1

T∗

])(1.23)

con n=3; T∗=263+7×10−8P ; Th = T × 10−8P ; Qc = Q−1 = 6 × 104 si Th < T∗; y

Qc = Q+ si Th > T∗.

Para valores calibrados se recomienda: A=2,4×10−24Pa−3s−1, a temperaturas de 0◦C,

Q+= 115 kJ mol−1 E∗ ≥ 4.

1.2.3. Esfuerzos de conduccion y resistentes

El hielo fluye principalmente por dos razones:

1. Porque establece gradientes de presion en el glaciar.

2. Porque el glaciar descansa sobre un lecho inclinado (pendiente). En ambos casos actua la

gravedad.

Considerando como primer modelo de un glaciar, una losa de hielo de lados paralelos, espesor H ,

que descansa sobre un plano rugoso inclinado con pendiente α (ver figura 1.24a).

La longitud y el ancho de la losa son mucho mayores en comparacion con el espesor H . Con-

siderando una columna de hielo perpendicular al plano y de area igual a 1. El peso de la columna

tiene una componente ρgHsenα paralelo al plano, donde ρ es la densidad y g la aceleracion de


Figura 1.10: Fuerzas gravitacionales que componen el esfuerzo de conduccion: a) la componente de

pendiente descendente del peso, b) la fuerza del gradiente de presion, y c) la combinacion. (Cuffey

and Paterson, 2010)

gravedad (figura 1.24a). Esta componente es el esfuerzo de conduccion τd.

Por condicion de equilibrio, las fuerzas de resistencia deben equilibrar el esfuerzo de conduc-

cion. La mayor fuerza de resistencia es el arrastre basal, que es el esfuerzo cortante τb a traves de

la base de la columna. Ası

τd = ρgHsenα y τb = f ′τd (1.24)

con f ′ un factor de correccion de orden 1, del cual se hablara mas adelante, ecuacion (1.29) (Cuffey

and Paterson, 2010).

Una mejor representacion de un casquete de hielo o de la zona mas baja de un gran glaciar de

montana, es el de una masa de hielo con una pendiente de superficie α, pero que descansa sobre

un plano horizontal, (figura 1.24b). Consideremos el equilibrio de una columna ABCD de espesor

unitario en la direccion normal al plano xz.

Como el hielo se comporta como un fluido, hay una presion normal que actua sobre AB y CD.

El esfuerzo de corte en el hielo no afecta esta aproximacion, siempre que los planos de corte sean

horizontales. Hay aumento de la presion de cero en B a ρgH en A, donde AB = H . La integracion

de la presion da la fuerza normal en AB, o 12ρgH2. La fuerza normal en CD por lo tanto, asciende

a 12ρgH2 + d/dx

[12ρgH2

]δx. La diferencia entre los dos es una fuerza horizontal hacia la derecha


(el esfuerzo de conduccion), otra vez equilibrado por la resistencia basal:

τd = −ρgH dH

dx= ρgHtanα y τb = f ′τd (1.25)

Estos dos modelos anteriores, no reproducen un glaciar real, pero la formal real influye poco en

la fuerza que impulsa el flujo. En las partes profundas en cualquier glaciar, siempre hay un gradien-

te horizontal de la altura hidrostatica proporcional a−dS/dx = tanα, donde S es la elevacion de la

superficie del hielo y α la pendiente de la superficie. De esta manera una columna vertical siempre

sera empujada por un esfuerzo de conduccion horizontal de magnitud τd = ρgHtanα, indepen-

dientemente de la pendiente del lecho. Ası la gravedad siempre empuja un glaciar horizontalmente,

en la direccion de la pendiente de la superficie hacia abajo. La componente horizontal del arras-

tre basal y otras fuerzas de resistencia deben equilibrar el τd horizontal (Cuffey and Paterson, 2010).

Considerando ahora el equilibrio de fuerzas paralelo al lecho en una seccion en forma de cuna

con lados perpendiculares al lecho del glaciar (figura 1.24c). Supongamos una pequena pendien-

te del lecho, y sea H perpendicular a este. En la direccion descendente, la componente de peso

ρgHsinβδx, se suma a la fuerza del gradiente hidrostatico ecuacion (1.25), −ρgHdH/dx, para

originar una fuerza motriz τdδx. Nuevamente, τd esta equilibrado en parte por la resistencia basal

ascendente τbδx:

[ρgHsinβ] δx− ρgH [dH/dx] δx = f ′τbδx (1.26)

Para angulos pequenos se puede hacer la aproximacion : dH/dx ≈ β − α y senβ ≈ β, luego

[ρgH] (β − β + α) = f ′τb

ρgHα = f ′τb

haciendo la aproximacion tanα ≈ α y por (1.25), finalmente tenemos

τd ≈ ρgHtanα y τb = f ′τd (1.27)

Por lo tanto, siempre que las pendientes sean pequenas, τd es igual tanto para una losa de lados

paralelos como para un lecho plano, siempre que α se refiera a la pendiente de la superficie. Las

pendientes superficiales en los glaciares rara vez exceden los 20◦ y la mayorıa son mucho mas


pequenas (Cuffey and Paterson, 2010).

Esto implica que:

• El esfuerzo de conduccion, y por lo tanto el esfuerzo cortante en el lecho, estan determinados

por la pendiente de la superficie. Por lo tanto, el hielo tiende a fluir en la direccion de la

pendiente maxima de la superficie, incluso si el lecho desciende en la direccion opuesta

(Cuffey and Paterson, 2010).

• El esfuerzo de conduccion se puede calcular a partir de las mediciones del espesor H del

hielo y la pendiente α de la superficie, utilizando ρ = 917kgm−3. Los valores tıpicos de τd

son aproximadamente de 100 kPa, con un rango entre 50 y 200 kPa (Cuffey and Paterson,

2010).

• Los esfuerzos de conduccion medidos proporcionan una estimacion aproximada de la resis-

tencia basal τb porque, en la mayorıa de las situaciones, el valor de f ′ esta entre 0, 5 < f ′ <

1, 5, (la excepcion son las plataformas de hielo flotantes, para las cuales f’ ≈ 0.) Debido a

que los valores de τb estimados a partir de τb = τd, estan en el rango de 50 a 200 kPa, se

puede aproximar el flujo lento del glaciar como un proceso de deformacion plastica perfecta,

con τb en todas partes igual a τ0, el lımite de fluencia para el hielo, generalmente ajustado a

τ0=100 kPa (Cuffey and Paterson, 2010).

• Si asumimos plasticidad perfecta podemos asumir:

H =1

f ′τ0ρigα

Si τ0 = 100 kPa y f ′= 1, entonces τ0/ρig = 11 m. Con este valor, se puede tener una esti-

macion rapida del espesor de hielo desde mediciones de la pendiente de la superficie. Esta

ecuacion implica un valor aproximadamente constante para Hα. Por lo tanto, un glaciar es

relativamente delgado donde la superficie es empinada y grueso donde la superficie se aplana.

• Con una densidad constante, el esfuerzo de conduccion τd que actua a una profundidadH−z

dentro del glaciar, aumenta linealmente desde cero en la superficie, hasta τd en la base:

τd(z) = τb

[1− z

H

](1.28)


Para el equilibrio, la suma de las resistencias debe ser igual a la fuerza impulsora, luego

τd = τb + τW + τL

los tres terminos en el lado derecho como esfuerzos de arrastre o de resistencia, donde τW es la

resistencia lateral o de la pared y τL la resistencia longitudinal. Resulta conveniente tomar el factor

de correccion f ′, de τb = f ′τd, tal que

f ′ = 1− τW + τLτd

(1.29)

En la mayorıa de los glaciares montanosos y en amplias regiones de las capas de hielo, f ′ esta

dentro del rango de 0,5 a 1,5 (Cuffey and Paterson, 2010).

La rapidez con la que fluye el glaciar depende entonces de la eficacia con que las fuerzas

resistentes inhiben el movimiento. Un mecanismo de restriccion es la deformacion por fluencia

del hielo, por cizallamiento o corte cerca del lecho del glaciar y por los margenes laterales, y por

estiramiento o compresion a lo largo de la direccion del flujo. Cada una de estas deformaciones

da lugar a esfuerzos desviadores τ de acuerdo con la relacion de fluencia para el hielo. Para una

velocidad de deformacion dada, los esfuerzos desviadores aumentan con la viscosidad efectiva η.

Las deformaciones dadas como tasas de deformacion, corresponden a los gradientes de velocidad

dentro del hielo (ver ecuacion (1.2)) (Cuffey and Paterson, 2010).

El lecho del glaciar tambien restringe el flujo. La magnitud de la resistencia basal, τb, depende

de la velocidad a la que el glaciar se desliza en su lecho ub. Para una magnitud dada de resistencia

basal, el deslizamiento aumenta el flujo total, a veces por una cantidad muy grande.

El hielo es un fluido bastante rıgido, con una viscosidad efectiva de aproximadamente 1014Pas,

a un esfuerzo de 100 kPa y una temperatura de -10 ◦C. El control mas importante sobre el movi-

miento del hielo, es a menudo la naturaleza del lecho (Cuffey and Paterson, 2010).

1.2.4. Perfil vertical de velocidad

Para calcular la velocidad del hielo es necesario relacionar el esfuerzo cortante con la tasa de

deformacion, es decir, necesitamos una ley de flujo. El modelo mas simple asume las deformaciones


del glaciar en el cizallamiento simple; es decir, el unico componente de desviador de esfuerzos

distinto de cero es τxz. Las lıneas de flujo son por lo tanto paralelas, flujo laminar. Se deduce que la

componente vertical de la velocidad w es igual a cero, por lo que la ecuacion (1.2) da (Oerlemans,

2001)

˙εxz =1

2

du

dz(1.30)

La relacion anterior junto con la Generalizacion de Nye (1.17) da:

1

2

du

dz= Aτnxz (1.31)

Segun ecuacion (1.28), se puede asumir un incremento lineal del esfuerzo cortante con la pro-

fundidad, ası τb es el valor de τxz en el lecho, donde z = 0 nos queda

τxz = τb

[1− z

H

](1.32)

sustituyendo ecuacion (1.32) en (1.31)

du

dz= 2Aτnb

[1− z

H

]n(1.33)

Integrando desde el lecho b hacia arriba z, se obtienen las velocidades

u(z) = ub +2A

n+ 1τnb H

[1−

[1− z

H

]n+1]

(1.34)

us = ub +2A

n+ 1τnb H (1.35)

donde us es la velocidad en la superficie, y ub la velocidad en la base, y u(z) es la velocidad a

cierta profundidad H − z (Oerlemans, 2001).

Esto solo da la deformacion dentro del hielo y no da informacion sobre la velocidad de desli-

zamiento us. La ecuacion (1.34) muestra que la velocidad aumenta continuamente con la altura y,

dado que n≈3, la mayor parte del aumento tiene lugar en las capas proximas al lecho.

Una segunda integracion, ahora de la ecuacion (1.34) desde el lecho hasta la superficie, da el

flujo y la velocidad promedio u como:

Q = ubH +2A

n+ 2τnb H

2 = uH (1.36)


El parametro de fluencia A se trato como una constante en este analisis y sera tomado como

valor constante en los calculos posteriores, basado en que los glaciares templados (como el Mocho-

Choshuenco) son por definicion casi isotermicos. En otros glaciares, las temperaturas mas altas,

y por lo tanto los valores mas altos de A, se encuentran en las capas basales. Esto concentra la

deformacion por cizallamiento aun mas cerca de la base que en un glaciar templado. Debido a que

A multiplica la tension elevada a la potencia n ecuacion (1.31), las velocidades son sensibles al

valor de A cerca del lecho, pero insensibles a su valor en la mitad superior del espesor del hielo.

Las velocidades en profundidad se pueden determinar midiendo la velocidad a la cual se inclina

un pozo. La figura 1.11 ilustra varios perfiles de velocidad obtenidos de esta manera. Se compara

las curvas teoricas para n=3 y para n=1 con un perfil medido del glaciar Worthington, Alaska

(Cuffey and Paterson, 2010) . El glaciar de Worthington es templado y por lo tanto casi isotermico.

Como es tıpico para perfiles medidos en glaciares, la curva viscosa lineal (n = 1) encaja mal las

observaciones, y aparecen irregularidades cerca del lecho (Cuffey and Paterson, 2010).

Figura 1.11: Perfil de velocidad de un glaciar temperado, glaciar Worthington (Cuffey and Paterson,

2010).

1.2.5. Condiciones de borde

Se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas, se considera la Tierra como plana, donde los

ejes x e y estan en el plano horizontal, encima del lecho rocoso, y z es positivo hacia arriba. La


superficie libre es dada por la funcion z = h(x, y, t), la base del hielo por z = b(x, y, t). Se asume

que la superficie de la litosfera y la de la base de hielo son iguales (Greve and Blatter, 2009).

Algunos valores considerados como tıpicos para casquetes de hielo son:

Extension horizontal tıpica [L] = 100 km

Extension vertical tıpica [H] = 1 km

Velocidad horizontal tıpica [U ] = 100 ma−1

Velocidad vertical tıpica [V ] = 0,1 ma−1

Presion tıpica [P ] = ρg[H] ≈ 10 MPa

La relacion de aspecto R, se define como la proporcion de extensiones y velocidades verticales

y horizontales, respectivamente

R =[H]

[L]=

[W ]

[U ]= 10−3 (1.37)

Superficie libre

Se considera como una superficie simple, lisa y plana. El flujo de volumen de hielo a traves de la

superficie libre es el balance de masa superficialBs. Los esfuerzos provocados por la atmosfera son

pequenos, en comparacion con los esfuerzos tıpicos en un casquete de hielo. Luego la condicion

libre de esfuerzo es dada por

σ · n = 0 (1.38)

donde n es el vector unitario normal a la superficie y que apunta hacia la atmosfera. Esta es la

condicion de borde dinamica para la superficie libre (Greve and Blatter, 2009).

Base del hielo

El flujo de volumen a traves de la base, es el balance basal Bb, llamado tambien tasa de derreti-

miento basal.

Respecto a los esfuerzos, estos son continuos a traves de la intefaz del hielo, por tanto no se

tiene una condicion lımite para el esfuerzo basal en el hielo. Sin embargo, una ley de deslizamiento

empırica servira como condicion de borde dinamica.

Si la temperatura en la base del hielo Tb es menor que la temperatura en el punto de fusion de


presion Tm, se asume que el hielo esta congelado, y por tanto, no hay deslizamiento basal.

Por el contrario, si la Tb es igual a Tm, se espera que haya deslizamiento basal, y la cantidad de

deslizamiento esta relacionada con la resistencia o arrastre basal τb y el esfuerzo normal basal Nb,

a traves del “deslizamiento de tipo Weertman”, donde la velocidad de deslizamiento basal v b es

dada por:

v b =

0, si Tb < Tm,

−CbτpbNq

b, si Tb = Tm,

(1.39)

donde p y q son los exponentes de deslizamiento basal, Nb es la componente normal del vector

tension, τb es el arrastre basal, y Cb es el coeficiente de deslizamiento basal.

Si se eligen los valores (p, q) = (1, 0) para deslizamiento suave queda:

vb = −Cbτb (1.40)

1.2.6. Ecuacion del espesor del hielo

La descripcion de los cambios que experimenta un glaciar a traves del tiempo en funcion de la

variacion de los factores climaticos es un problema de continuidad de masa (Oerlemans, 2001).

Para grandes casquetes de hielo se puede considerar que la velocidad horizontal es mucho

mayor que la velocidad vertical. El flujo de hielo se puede considerar como cuasi bidimensional, el

cual deberıa ser capaz de describir la evolucion de un casquete de hielo. Un modelo bidimensional

de un casquete de hielo puede ser construido integrando la ecuacion de conservacion de masa, sobre

el eje vertical. El vector velocidad es v, cuyas componentes en x, y, z son respectivamente u, v, w

(Oerlemans and Van Der Veen, 1984).

A modo de ejemplo se puede considerar que el hielo fluye solo en una coordenada horizontal

(eje x), ver la figura 1.12. Por unidad de tiempo, el cambio en el espesor de hielo promedio entre los

puntos x0 y x1 deberıa igualar la diferencia entre el flujo de volumen (Q1−Q0), mas la ganancia o

perdida en la superficie, el balance de masa especıfico B. En el caso ilustrado, la divergencia de la

masa por el flujo de hielo es compensada en parte por la ganancia en la superficie (B > 0).

Para el espesor de hielo H , donde H = H(x, y, t) = h(x, y, t) − b(x, y, t), donde b es la base

del hielo y h es la altura, la evolucion de un glaciar a traves del tiempo t es descrita en terminos de


Figura 1.12: Continuidad en un modelo de flujo de hielo integrado verticalmente, en direccion del

eje x, (Oerlemans, 2001)

una ecuacion diferencial del tipo:∂H(x, y)

∂t(1.41)

donde el termino que aparecera al lado derecho de 1.41 saldra desde la ecuacion de continuidad de

masa integrada verticalmente.

Asumiendo constante la densidad del hielo, podemos escribir la ecuacion de continuidad para

fluidos incompresibles1 en terminos de sus componentes:

∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= 0 (1.42)

integrando desde la base de hielo (z = b) hasta la superficie libre del glaciar (z = h)∫ h

b

∂u

∂xdz +

∫ h

b

∂v

∂ydz +

∫ h

b

∂w

∂zdz = 0 (1.43)

Utilizando la regla integral de Leibniz para diferenciacion bajo el signo integral en las dos

primeras integrales

∂

∂x

∫ h

b

udz =

∫ h

b

∂u

∂xdz + u(h)

∂h

∂x− u(b)

∂b

∂x

⇒∫ h

b

∂u

∂xdz = u(b)

∂b

∂x− u(h)

∂h

∂x+

∂

∂x

∫ h

b

udz (1.44)

1El desarrollo lo puede ver en el Apendice C


similarmente ∫ h

b

∂v

∂ydz = v(b)

∂b

∂y− v(h)

∂h

∂y+

∂

∂y

∫ h

b

vdz (1.45)

y la tercera integral queda ∫ h

b

∂w

∂ydz = w(h)− w(b) (1.46)

Reemplazando las ecuaciones (1.44), (1.45) y (1.46) en la ecuacion de continuidad integrada verti-

calmente (1.43) queda

u(b)∂b

∂x− u(h)

∂h

∂x+

∂

∂x

∫ h

b

udz + v(b)∂b

∂y− v(h)

∂h

∂y+

∂

∂y

∫ h

b

vdz + w(h)− w(b) = 0 (1.47)

Las velocidades en la superficie y en la base son por definicion (Oerlemans, 2001):

w(h) =dh

dt− B =

∂h

∂t+ u(h)

∂h

∂x+ v(h)

∂h

∂y− Bs (1.48)

w(b) =db

dt− B =

∂b

∂t+ u(b)

∂b

∂x+ v(b)

∂b

∂y− Bb (1.49)

donde Bb y Bs son las tasas de balance especıfico en la base (derretimiento) y en la superficie,

respectivamente. Sustituyendo la ecuaciones (1.48) y (1.49) en (1.47) se obtiene

∂h

∂t− ∂b

∂t+ Bb + Bs +

∂

∂x

∫ h

b

udz +∂

∂y

∫ h

b

vdz = 0 (1.50)

Introduciendo el flujo volumetrico Q como la velocidad horizontal integrada verticalmente

(Greve and Blatter, 2009), como

Q =

Qx

Qy

=

∫ hb udz∫ hbvdz

(1.51)

y sutituyendo en (1.50)∂h

∂t= −∂Qx

∂x− ∂Qy

∂y+ Bs − Bb +

∂b

∂t(1.52)

donde la divergencia del flujo volumetrico es dada por:

∂Qx

∂x+∂Qy

∂y= ∇Q (1.53)

ası se obtiene finalmente la “Ecuacion de evolucion del espesor de hielo”

∂h

∂t= −∇Q+ Bs − Bb +

∂b

∂t(1.54)

De este modo, cuando se conocen el balance especıfico y la velocidad media vertical, el cambio

en el espesor del hielo puede calcularse con la ecuacion (1.54). Esta ecuacion se usa en todos los

modelos numericos que calculan la evolucion de las casquetes de hielo (Oerlemans, 2001).


1.2.7. Aproximacion hidrostatica

Se puede tener un sistema simplificado de ecuaciones para la dinamica de casquetes de hielo a

gran escala (Greve and Calov, 2002). Partiendo de la ecuacion del balance del momento

ρdvdt

= ∇ · T + f (1.55)

donde la aceleracion puede despreciarse, y la fuerza de cuerpo f es la gravedad, f = ρg

∂σxx∂x

+∂σxy∂y

+∂σxz∂z

= 0 (1.56)

∂σyx∂x

+∂σyy∂y

+∂σyz∂z

= 0 (1.57)

∂σzx∂x

+∂σzy∂y

+∂σzz∂z

= −ρg (1.58)

Los esfuerzos de corte σzx y σzy en un casquete de hielo son pequenos (≤ 100KPa) en com-

paracion con el esfuerzo normal vertical σzz, que es aproximadamente igual a la presion P , ası

[σzz] ≈ [P ] = ρg[H] ≈ 10MPa (Greve and Blatter, 2009). Por lo tanto despreciando estos esfuer-

zos en la ecuacion (1.58) , ası se reduce a un balance entre el esfuerzo vertical y la gravedad.

∂σzz∂z

= −ρg (1.59)

integrando (1.59)

σzz = −ρg(h− z) (1.60)

evidentemente el esfuerzo vertical normal σzz es hidrostatica.

Con este resultado, la presion P es

P = P − τxx − τyy − τzz = −τxx − τyy − σzz (1.61)

P = ρg(h− z)− τxx − τyy (1.62)

Ası, los esfuerzos normales horizontales σxx y σyy se pueden expresar como

σxx = −P + τxx = 2τxx + τyy − ρg(h− z)

σyy = −P + τyy = 2τyy + τxx − ρg(h− z) (1.63)


Insertando esto en las ecuaciones (1.56) y (1.57)

2∂τxx∂x

+∂τyy∂x− ρg∂h

∂x+∂σxy∂y

+∂σxz∂z

= 0

2∂τyy∂y

+∂τxx∂y− ρg∂h

∂y+∂σxy∂x

+∂σyz∂z

= 0 (1.64)

1.2.8. Aproximacion de hielo delgado

La relacion de componentes del gradiente velocidad es

∂w

∂x/∂u

∂z,

∂w

∂y/∂v

∂z∼ [W ]

[L]/

[U ]

[H]=

[W ]

[U ]

[H]

[L]= R2 ∼ 10−6 (1.65)

ası las derivadas horizontales de la velocidad vertical son insignificantes comparandolas con las

derivadas verticales de velocidad horizontal.

Esta es una aproximacion hidrostratica simplificada, contiene solo las componentes horizontales

de la velocidad u y v. Una vez calculada la velocidad horizontal, la velocidad vertical se puede

obtener integrando la ecuacion (1.42) desde z = b a z (Greve and Blatter, 2009)

w = wb −∫ z

b

(∂u

∂x+∂v

∂y

)dz (1.66)

Se puede considerar el flujo en los casquetes de hielo como laminar, de corte simple y paralelo

al lecho, excepto en las regiones proximas a la cupula del casquete donde el flujo es vertical hacia

abajo, lo que produce una compresion vertical y una extension horizontal (ver figura 1.13). Ademas

cerca de los margenes, las pendientes superficiales pueden ser grandes, mientras que en el resto de

la superficie del casquete y en la base son pequenas (Hutter, 1983).

De esta manera se pueden hacer simplificaciones adicionales a la de la aproximacion hidrotati-

ca, llamandose esta “Aproximacion de hielo delgado” (SIA: Shallow Ice Approximation) (Hutter,

1983). Todos los esfuerzos normales son iguales a la presion negativa

σxx = σyy = σzz = −P (1.67)

Luego el balance de momento vertical (1.59) queda

∂P

∂z= −ρg (1.68)


Figura 1.13: Regimen de flujo en un casquete de hielo (Greve and Calov, 2002)

integrandola se obtiene la presion hidrostatica

P = Phyd = ρg(h− z) (1.69)

Las componentes horizontales (1.64) se simplifican

∂σxz∂z

=∂P

∂x= ρg

∂h

∂x

∂σyz∂z

=∂P

∂y= ρg

∂h

∂y(1.70)

debido a que las pendientes en la superficie son pequenas, y como no hay esfuerzos en la superficie

P |z=0 = 0, σxz|z=h = 0, σyz|z=h = 0 (1.71)

Integrando (1.70)

σxz = −ρg(h− z)∂h

∂x

σyz = −ρg(h− z)∂h

∂y(1.72)

Las ecuaciones (1.69) y (1.72) indican que en la SIA, lo esfuerzos, cuyos unicos componentes

no despreciables son P, σxz, σyz esta completamente determinado si se conoce la geometrıa del

casquete de hielo (Hutter, 1983). El esfuerzo efectivo τE es definido por

τE =√σ2xz + σ2

yz


sustituyendo segun (1.72)

τE = ρg (h− z)

((∂h

∂x

)2

+

(∂h

∂y

)2)1/2

= ρg (h− z) |∇h| (1.73)

La Ley de Glen generalizada (1.17), se puede escribir como

1

2

(∂u

∂z+∂w

∂u

)= Aτn−1E σxz (1.74)

En este caso se consideraraA constante aunque esta depende de varios factores. Luego sustituyendo

(1.72) y (1.73) en (1.74)

1

2

(∂u

∂z+∂w

∂u

)= −A[ρg(h− z)]n|∇h|n−1∂h

∂x

1

2

(∂v

∂z+∂w

∂y

)= −A[ρg(h− z)]n|∇h|n−1∂h

∂y(1.75)

Considerando los ordendes de magnitud de (1.65), las derivadas horizontales de la velocidad

vertical son despreciables (∂w/∂u = ∂w/∂u ∼= 0).

De esta manera (1.75) queda

∂u

∂z= −2A[ρg(h− z)]n|∇h|n−1∂h

∂x∂v

∂z= −2A[ρg(h− z)]n|∇h|n−1∂h

∂y(1.76)

Para conocer las velocidades horizontales, se debe integrar (1.76) desde la base z = b hasta una

posicion arbitraria z

u = ub − 2A(ρg)n|∇h|n−1∂h∂x

∫ z

b

(h− z)ndz

v = vb − 2A(ρg)n|∇h|n−1∂h∂y

∫ z

b

(h− z)ndz (1.77)

donde ub y vb son las componentes de la velocidad de deslizamiento basal vb (Greve and Blatter,

2009).

Debido a que las pendientes del lecho son del mismo orden de magnitud que las pendientes de

la superficie∂b

∂x,∂b

∂y∼ [H]

[L]= R (1.78)


el plano tangencial en la base y en la superficie son similares.

La resistencia basal τb = tbeσ es dada por

τb = −

σxz|z=bσyz|z=b

= ρgH

∂h∂x

∂h∂y

(1.79)

ası

tb = ρgH |∇h| (1.80)

eσ =1

|∇h|

∂h∂x

∂h∂y

=∇h|∇h|

(1.81)

El esfuerzo normal en la base Nb

Nb = ρgH (1.82)

Sustituyendo (1.79), (1.80), (1.81) , (1.82) en (1.40) queda

vb = −Cb(ρgH∇h)p∇h|∇h|

1

ρgH

ub = −Cb(ρgH)p−1(∇h)p−1∂h

∂x

vb = −Cb(ρgH)p−1(∇h)p−1∂h

∂y(1.83)

Introduciendo el vector de velocidad horizontal

v h =

uv

(1.84)

y la funcion escalar C definida como

C = Cb(ρgH)p−q|∇h|p−1 + 2A(ρg)n|∇h|n−1∫ z

b

(h− z)ndz (1.85)

ası las velocidad horizontal (1.77) se puede expresar comouv

= −C

∂h∂x

∂h∂y

, o vh = −C∇h (1.86)

Ası en la SIA el hielo siempre fluye por la pendiente de la superficie mas empinada, indepen-

dientemente de la topografıa del lecho.

La velocidad vertical esta dada por la ecuacion (1.66)


Para formular la ecuacion de espesor de hielo en la SIA, calculamos el flujo de volumen Q , ver

ecuacion (1.53), con las velocidades horizontales (3.2), integrandoQx

Qy

= −∫ h

b

Cdz

∂h∂x

∂h∂y

(1.87)

llamando D como

D =

∫ h

b

Cdz (1.88)Qx

Qy

= −D

∂h∂x

∂h∂y

(1.89)

donde la funcion D es

D = CbH(ρgH)p−q|∇h|p−1 + 2A(ρg)n|∇h|n−1∫ h

b

(h− z)n+1dz (1.90)

Luego insertando el volumen de flujo (1.89) con la funcion D (1.90) en la ecuacion de espesor de

hielo (1.54), se obtiene

∂h

∂t=

∂

∂x

(D∂h

∂x

)+

∂

∂y

(D∂h

∂y

)+Bs −Bb +

∂b

∂t(1.91)

Matematicamente, esta es una ecuacion de difusion no lineal (porque la funcion D depende

de h). La SIA simplifica drasticamente el problema de flujo de casquetes de hielo a gran escala.

Los esfuerzos estan dados por expresiones analıticas simples (1.69),(1.72), (1.73) y la velocidad

depende unicamente de la geometrıa del casquete de hielo, y temperatura por (3.2) y (1.66), El

trabajo restante es hallar la solucion de la ecuacion de evolucion del espesor de hielo en la forma

(1.91).

Capıtulo 2

Hipotesis y Objetivos

2.1. Hipotesis

Debido a que el flujo de la capa de hielo Mocho-Choshuenco, esta influenciada tanto por facto-

res topograficos como la pendiente y geometrıa del lecho, y por factores climaticos como precipi-

taciones y temperaturas, los cambios del clima pronosticados para el sigo XXI nos hacen esperar,

que el espesor y extension de esta capa de hielo disminuyan durante los proximos 100 anos. La

modelacion del flujo de hielo nos entrega informacion sobre donde estara el glaciar en el futuro, y

cual sera su volumen.

2.2. Objetivo general

Realizar una simulacion numerica de la capa de hielo Mocho-Choshuenco para reproducir su

comportamiento observado, tal como su adelgazamiento y variacion del volumen, utilizando el

codigo SICOPOLIS, (SImulation COde for POLythermal Ice Sheets).

39

2.3. OBJETIVOS ESPECIFICOS 40

2.3. Objetivos especıficos

1. Aprender el lenguaje de programacion fortran que utiliza el modelo SICOPOLIS

2. Obtener datos de balance de masa superficial, del monitoreo mensual de balizas del glaciar

ubicado en la cuenca sureste.

3. Generar un mapa del lecho de la capa de hielo, en base a los datos de espesor obtenidos con

mediciones de radar realizadas en terrenos previos.

4. Calibrar el codigo SICOPOLIS, realizando simulaciones del comportamiento del glaciar,

comparandolas con el comportamiento real que tiene.

5. Estimar el comportamiento de la capa de hielo con los resultados obtenidos, para los proxi-

mos 100 anos.

Capıtulo 3

Material y metodos

3.1. Material

1. Computador portatil: Sony Vaio, modelo PCG − 61911U , Procesador: Intel Core i5-2450,

CPU 2.5 GHz, Memoria RAM: 6 Gb

2. Sistema operativo: GNU/Linux Ubuntu 16.04 lts

3. Sistema de informacion Geografica QGIS version 2.18.7 Las Palmas

4. Modelo de elevacion digital1 (DEM, digital elevation model).

5. GeoTIFF2, con la informacion de las mediciones de radar aereo de 25 MHz y de radar terres-

tre de 9 MHz.

6. Modelo SICOPOLIS (SImulation COde for POLythermal Ice Sheets).

7. NetCDF3 version 4.4.4.1Un modelo digital de elevacion es una representacion visual y matematica de los valores de altura con respecto al

nivel medio del mar, que permite caracterizar las formas del relieve y los elementos u objetos presentes en el mismo.2Metadatos de domino publico que permite que informacion georreferenciada sea almacenada en un archivo de

imagen de formato TIFF3NetCDF es un conjunto de bibliotecas de software y formatos de datos autodescriptivos e independientes de la

maquina, que admiten la creacion, el acceso y el uso compartido de datos cientıficos orientados a arreglos.

41

3.2. SICOPOLIS 42

8. Netcdf View, programa para visualizar archivo .nc.

9. MATLAB version R2017a.

10. Hojas de papel recicladas y lapices.

3.2. SICOPOLIS

El Codigo de simulacion para casquetes de hielo politermales “SICOPOLIS”(SImulation CO-

de for POLythermal Ice Sheets) es un modelo dinamico/termodinamico en tres dimensiones, que

simula la evolucion de casquetes de hielo. Es un software libre de codigo abierto el cual se puede

descargar de manera gratuita desde el sitio http://www.sicopolis.net/. Fue creado por el Dr. Ralf

Greve (Institute of Low Temperature Science, Hokkaido University, Sapporo, Japan) en el ano

1995 en una version para el casquete de hielo de Groenlandia (Greve, 1997). Desde entonces, SI-

COPOLIS se ha desarrollado continuamente y se ha aplicado a problemas de glaciaciones pasadas,

presentes y futuras de Groenlandia (Greve et al., 2011), Antartica (Bernales et al., 2017), todo el

hemisferio norte, los casquetes polares del planeta Marte (Greve, 2006).

El modelo resuelve la ecuacion de evolucion del espesor del hielo, usando la Aproximacion de

hielo delgado (SIA) (Hutter, 1983). Se codifica en lenguaje de programacion Fortran 90, y utiliza

la discretizacion del Metodo de diferencias finitas en una grilla C de Arakawa (Arakawa and Lamb,

1977), cuyos componentes de velocidad se toman entre puntos de grilla. Los datos de entrada del

modelo son: el balance de masa superficial Bs, el lecho rocoso, la temperatura media anual del aire

sobre el hielo, el flujo de calor geotermico. Los datos de salida en funcion de posicion y tiempo

son: la extension y el grosor de la capa de hielo, la velocidad, la temperatura, el contenido de agua

(regiones templadas), la edad del hielo.

3.3. Mapa del lecho rocoso

Para poder modelar el flujo de la capa de hielo, es necesario tener informacion sobre la topo-

grafıa subyacente. Para esto se utilizo un Modelo de elevacion Digital (DEM) y mediciones de

3.4. TRANSFORMACION SIGMA 43

radar4, en formato GeoTIFF, del estudio de la Direccion General de Aguas (DGA) del ano 2014

(DGA, 2014). El DEM entrega informacion de la elevacion a la que se encuentra la superficie del

area en estudio con respecto al nivel del mar, incluye la superficie de la capa de hielo, la topografıa

adyacente, valles, etc. Sin embargo, este no entrega informacion sobre la topogafıa del lecho roco-

so, ya que este esta cubierto por la capa de hielo.

El espesor de hielo es un parametro esencial para determinar el estado actual de los glaciares

y proyectar cambios futuros. El metodo geofısico utilizado para la determinacion del espesor del

hielo utilizado fue el Radio Eco Sondaje (RES) (DGA, 2014).

De esta manera se procedio a restarle al archivo DEM (que contenıa la elevacion de la superfi-

cie) el archivo con datos de radar utilizando la herramienta “calculadora raster” de QGIS.

Finalmente se obtuvo un archivo con la informacion de lecho rocoso subyacente a la capa de

hielo. Este archivo tiene muy alta resolucion (10 m), se bajo la resolucion a grillas de 200 y 100 m

en QGIS en formato ASCII, los cuales fueron llamados: mochoBed200.asc y mochoBed100.asc,

los cuales fueron poteriormente utilizados como datos de entrada en los headers (o archivos de ca-

becera) del modelo SICOPOLIS, para modelar la dinamica de la capa de hielo Mocho-Choshuenco.

3.4. Transformacion sigma

Esta grilla no coincide exactamente con un casquete de hielo. Para evitar estas dificultades, es

conveniente introducir un terreno que siga la transformacion de coordenadas que mapea el espesor

del hielo local a la unidad:

x = ξ, y = ϕ,z − b(x, y, t)H(x, y, t)

= ζ (3.1)

donde (ξ, ϕ, ζ) son las coordenadas curvilıneas transformadas. Esta es conocida como transfor-

macion sigma la cual mapea la superficie de hielo h = h(x, y, t) a ζ = 1 y la base del hielo

b = b(x, y, t) a ζ = 0. En el dominio transformado, una cuadrıcula rectangular regular con espa-

ciamientos ∆ξ,∆ϕ y ∆ζ puede definirse facilmente de tal manera que la capa mas superior de los

puntos de la grilla coincide con la superficie del hielo y la capa mas inferior con la base del hielo

(Greve and Blatter, 2009).4Este radar opera a un frecuencia de 25 MHz

3.5. GRILLA C DE ARAKAWA 44

Figura 3.1: transformacion sigma de las coordenadas del terreno (Greve and Blatter, 2009)

Algunas dificultades de las transformacion sigma son que debido a que esta no cambia las

coordenadas horizontales, es posible que los margenes del hielo no coincidan con los puntos de la

grilla. Ademas en el margen del hielo y fuera del casquete de hielo se asigna un espesor igual a 0,

lo que indefine la expresion 1H

en la ecuacion (3.1).

3.5. Grilla C de Arakawa

Las variables se distribuyen en la grilla de acuerdo con el esquema C de Arakawa (Arakawa

and Lamb, 1977), una grilla tridimensional regular (figura3.2). Las ecuaciones se vuelven a escribir

para cada punto de la grilla reemplazando las ecuaciones diferenciales por diferencias entre puntos

de grilla vecinos (Greve and Blatter, 2009).

Figura 3.2: Grilla tridimensional C de Arakawa para el modelo SICOPOLIS (Greve and Calov,

2002)

3.6. DISCRETIZACION DE ECUACIONES 45

El modelo numerico SICOPOLIS utiliza el metodo de diferencias finitas con discretizaciones:

xi = x0 + i∆x, i = 0(1)imax

yj = y0 + j∆y, j = 0(1)jmax

tn = t0 + n∆t, n = 0(1)nmax

Esto significa que avanza de i a imax dando pasos de tamano igual a 1.

En la grilla de Arakawa las componentes u, v, w de la velocidad estan definidas entre los puntos

de grilla. Por otra parte la superficie del hielo h se toma en los puntos (Ψ) de la grilla (figura 3.2).

De esta manera el modelo calcula tridimensionalmente la evolucion temporal de la extension del

hielo, el espesor, la velocidad del hielo (Greve and Calov, 2002).

La grilla C de Arakawa consta de I + 1 puntos en la direccion ξ, J + 1 puntos en la direccion ϕ

y K + 1 puntos de grilla en la direccion ζ ( i = 0, ..., I, j = 0, ..., J, k = 0, ..., K ). Se asume

que todo la capa de hielo esta cubierta por la grilla, donde el espesor del hielo, las componentes de

la velocidad, y esfuerzos son igual a 0, en i = 0, i = I, j = 0, j = J , ası k = 0 corresponde a la

base del hielo (ζ = 0) y k = K corresponde a la superficie libre (ζ = 1) (Greve and Blatter, 2009).

Por estabilidad del esquema numerico, la velocidad y el flujo se definen en una grilla secundaria

o grilla escalonada que va entre la grilla principal (figura 3.3). Las lıneas principales de la grilla

son numeradas con numeros enteros , mientras que las lıneas de la grilla escalonada por numeros

semi-enteros (Greve and Blatter, 2009).

El origen del dominio esta dado por ξ0, ϕ0, luego las siguientes posiciones estan dadas por:

ξi = ξ0 + i∆ξ, ϕi = ϕ0 + j∆ϕ, ζk = k∆ζ =k

K

3.6. Discretizacion de ecuaciones

Las ecuaciones anteriormente presentadas son complicadas para resolver analıticamente, por

esta razon resulta muy util utilizar tecnicas del calculo numerico para encontrar soluciones numeri-

cas para dichas ecuaciones. La mayorıa de los modelos de casquetes de hielo utilizan el metodo de

las diferencias finitas


Figura 3.3: Grillas principal y escalonada del esquema C de Arakawa (Greve and Blatter, 2009)

3.6.1. Velocidad horizontal

La velocidad horizontal es:uv

= −C

∂h∂x

∂h∂y

, o vh = −C∇h (3.2)

Solo por simplicidad para que los calculos se vean claros, se puede considerar que el hielo fluye

solo en el plano x− z, y no tomar en cuenta la direccion en y

u = −C∂h∂x

(3.3)

donde C es una funcion escalar dada por:

C =

2A(ρg)n

∣∣∂h∂x

∣∣n−1 ∫ zb

(h− z)ndz, si Tb < Tm

Cb(ρgH)p−q∣∣∂h∂x

∣∣p−1 + 2A(ρg)n∣∣∂h∂x

∣∣n−1 ∫ zb

(h− z)ndz, si Tb = Tm

(3.4)

Aplicando la transformacion sigma de la coordenadas del terreno a (3.3) y (3.4) se obtiene

u = −C∂h∂ξ

(3.5)

y

C =

2A(ρg)n

∣∣∣∂h∂ξ ∣∣∣n−1H ∫ ζ0 (1− ζ ′)ndζ ′, si Tb < Tm

Cb(ρgH)p−q∣∣∣∂h∂ξ ∣∣∣p−1 + 2A(ρg)n

∣∣∣∂h∂ξ ∣∣∣n−1H ∫ ζ0 )(1− ζ ′)ndζ ′, si Tb = Tm

(3.6)


La velocidad horizontal se define en los puntos de la grilla escalonada

ui± 12,k,n (3.7)

La derivada ∂h/∂ξ de (3.6) se aproxima por diferencias centrales, de la siguiente manera,

∂h

∂ξ

∣∣∣∣i,n

∼ hi+1,n − hi−1,n2∆ξ

(3.8)

y la integral de (3.6) se aproxima utilizando la regla trapezoidal∫ ζ

0

A(1− ζ ′)n dζ ′|i,k,n ∼

[1

2A+ A

k−1∑k′=1

(1− k′∆ζ)n

+1

2A(1− k∆ζ)n

]∆ζ (3.9)

Finalmente la velocidad horizontal queda como

ui+ 12,k,n = −Ci+ 1

2,k,n

hi+1,n − hi,n∆ξ

(3.10)

3.6.2. Velocidad vertical

Similarmente la velocidad vertical esta dada por:

w = w|z=b −∫ z

b

(∂u

∂x+∂v

∂y

)dz (3.11)

Nuevamente, considerando por simplicidad que solo fluye en el plano x− z sin considerar el eje y

w = w|z=b −∫ z

b

∂u

∂xdz′

w = u|z=b∂b

∂x−∫ z

b

∂u

∂xdz′ (3.12)

Aplicando la transformacion sigma a las coordenadas del terreno de (3.12)

w = u|ζ=0∂b

∂ξ−H

∫ ζ

0

(∂u

∂ξ−

(1− ζ ′) b,ξ + ζ ′h,ξH

∂u

∂ζ ′

)dζ ′ (3.13)

Abreviando el integrando5 de (3.13) de la siguiente manera

U =∂u

∂ξ−

(1− ζ ′) b,ξ + ζ ′h,ξH

∂u

∂ζ ′(3.14)

5La notacion de coma compacta denota derivados parciales: b,ξ = ∂b/∂ξ


luego este es discretizado por diferencias centrales

Ui,k,n =ui+ 1

2,k,n − ui− 1

2,k,n

∆ξ−(1− k∆ζ) (bi+1,n − bi−1,n) + k∆ζ (hi+1,n − hi−1,n)

2∆ξHi,n

×ui,k+1,n − ui,k−1,n2∆ζ(3.15)

Debido a la geometrıa escalonada de la grilla, la integracion numerica de la ecuacion (3.13) se hace

con la cuadratura Gaussiana, y la velocidad vertical finalmente es

wi,k+ 12,n = ui,0,n

bi+1,n − bi−1,n2∆ξ

−Hi,n

[1

2Ui,0,n +

k∑k′=1

Ui,k′,n

]∆ζ (3.16)

3.6.3. Evolucion de la superficie del hielo

La ecuacion del espesor del hielo describe los cambios en el espesor del hielo y su extension en

el tiempo (Greve and Calov, 2002)

∂h

∂t=

∂

∂x

(Dh

∂h

∂x

)+

∂

∂y

(Dh

∂h

∂y

)+ bs − bb +

∂b

∂t(3.17)

Nuevamente considerando que fluye en el plano x− z

∂h

∂t=

∂

∂x

(D∂h

∂x

)+ bs (3.18)

con la difusividad

D =

∫ h

b

Cdz (3.19)

Aplicando la transformacion sigma de coordenadas a (3.18) y (3.19)

∂h

∂t=

∂

∂ξ

(D∂h

∂ξ

)+ bs (3.20)

D = H

∫ 1

0

Cdζ (3.21)

Luego para la derivada ∂h/∂t de (3.20) se emplea el paso adelante de Euler

∂h

∂t

∣∣∣∣i,n

∼ hi,n+1 − hi,n∆t

(3.22)

Utilizando la regla trapezoidal se calcula la difusividad Di,n

Di,n = Hi,n

[1

2Ci,0,n +

K−1∑k=1

Ci,k,n +1

2Ci,K,n

]∆ζ (3.23)

3.7. ESQUEMA SOBRE IMPLICITO 49

lo cual permite ademas el calculo del flujo de volumen Q

Qi+ 12,n = −Di+ 1

2,n

hi+1,n − hi,n∆ξ

(3.24)

El termino de difusion no lineal en (3.20) se aproxima por diferencias centrales,

∂

∂ξ

(D∂h

∂ξ

)∣∣∣∣i,n

∼ 1

∆ξ

[(D∂h

∂ξ

)∣∣∣∣i+ 1

2,n

−(D∂h

∂ξ

)∣∣∣∣i− 1

2,n

], (3.25)

donde (D∂h

∂ξ

)∣∣∣∣i+ 1

2,n

∼ Di+ 12,n

hi+1,n − hi,n∆ξ(

D∂h

∂ξ

)∣∣∣∣i− 1

2,n

∼ Di− 12,n

hi,n − hi−1,n∆ξ

(3.26)

3.7. Esquema sobre implıcito

Definiendo el siguiente operador de tiempo adelantado

(δth)ni,j =hn+1i,j − hni,j

∆t

y los operadores de espacio central

(δ2xh)n(+1)

i,j=

1

∆x2

((D)ni+ 1

2,j

(hn(+1)i+1,j − h

n(+1)i,j

)− (D)ni− 1

2,j

(hn(+1)i,j − hn(+1)

i−1,j

))(δ2yh)n(+1)

i,j=

1

∆y2

((D)ni,j+ 1

2

(hn(+1)i,j+1 − h

n(+1)i,j

)− (D)ni,j− 1

2

(hn(+1)i,j − hn(+1)

i,j−1

))ademas las difusividades se toman en el tiempo anterior tn y se evaluan como

(D)ni± 12,j =

1

2

((D)ni,j + (D)ni±1,j

)(D)ni,j± 1

2=

1

2

((D)ni,j + (D)ni,j±1

)Podemos ası obtener un esquema general de diferencias finitas como se muestra a continuacion:

(δth)ni,j = ωx(δ2xh)n+1

i,j+(1− ωx)

(δ2xh)ni,j

+ωy(δ2yh)n+1

i,j+(1− ωy)

(δ2yh)ni,j

+(Bs)ni,j−(Bb)

ni,j+

(∂b

∂t

)ni,j

(3.27)


donde los indices toman los valores: i = 1(1)imax − 1, j = 1(1)jmax − 1, n = 0(1)nmax − 1 .

La elevacion de la superficie hni,j es predeterminada para las condiciones de borde i = 0, imax, j =

0, jmax y para el tiempo inicial n = 0.

De esta manera se puede variar las ponderaciones de ωx y ωy. De esta manera si se escoge:

1. ωx = ωy =: ω = 0, el esquema (3.27) es “explicito” (EXPL) 6

2. ωx = ωy =: ω = 1, el esquema (3.27) se vuelve “implicito” (IMPL)7.

3. ωx = ωy =: ω = 0, 5, (3.27) es de tipo Cranck Nicholson8.

4. ωx = 0, ωy = 1 en un paso de iteracion y ωx = 1, ωy = 0 en el paso siguiente, produce un

esquema “implıcito de direccion alternante”, ADI (Alternanting Direction Implicit scheme).

5. ωx = ωy =: ω > 1, esquema “sobre implicito”, OVI (over-implicit) propuesto por Hind-

marsh (2001).

Asumiendo que no hay derretimiento basal Bb = 0, El esquema implıcito queda dado por:

hn+1i,j − hni,j

∆t=

1

2∆ξ2([Dni,j +Dn

i+1,j

] (hn+1i+1,j − hn+1

i,j

)−[Dni,j +Dn

i−1,j] (hn+1i,j − hn+1

i−1,j))

+1

2∆ϕ2

([Dni,j +Dn

i,j+1

] (hn+1i,j+1 − hn+1

i,j

)−[Dni,j +Dn

i,j−1] (hn+1i,j − hn+1

i,j−1))

+(Bs)ni,j +

bn+1i,j − bni,j

∆t

(3.28)

Por otro lado el esquema explıcito es:

hn+1i,j − hni,j

∆t=

1

2∆ξ2([Dni,j +Dn

i+1,j

] (hni+1,j − hni,j

)−[Dni,j +Dn

i−1,j] (hni,j − hni−1,j

))+

1

2∆ϕ2

([Dni,j +Dn

i,j+1

] (hni,j+1 − hni,j

)−[Dni,j +Dn

i,j−1] (hni,j − hni,j−1

))+(Bs)

ni,j +

bn+1i,j − bni,j

∆t

(3.29)

6Para entender de que se trata el metodo ver el Apendice B.1.17Ver Apendice B.1.28Ver Apendice B.1.3


El esquema sobre implıcito, es un esquema de combinacion de las discretizaciones explıcita e

implıcita similar al metodo de Cranck-Nicholson, Sin embargo mientras que en Cranck-Nicholson

se utiliza 0, 5×explicito+0, 5× implicito, el sobre explicito OVI, utiliza 1, 5× implicito−0, 5×

explicito. Este motro ser mas estable incluso que el implıcito y este es el esquema utilizado por

SICOPOLIS (Greve and Calov, 2002).

Capıtulo 4

Resultados

4.1. Descripcion de la simulacion

El paso siguiente en la investigacion, es testear la hipotesis planteada en la seccion 2.1. Para esto

se diseno un conjunto de simulaciones, en las que se vario la altitud de la lınea de equilibrio (ELA) a

1900 2000 y 2100 m.s.n.m, en un primer caso considerando que la capa de hielo no experimentaba

deslizamiento basal, y posteriormente se hicieron las simulaciones considerando deslizamiento ba-

sal. De esta manera algunos parametros se mantuvieron constantes y otros variaron, como muestran

las tablas a continuacion.

4.1.1. Parametros constantes

En las simulaciones se mantuvieron constantes los siguientes parametros:

• Modo isotermico con temperatura del hielo T constante: TEMP − CONST

• Ley de flujo de Glen con exponente de esfuerzo, n=3: FLOW − LAW

• Factor de fluencia: A, en tabla 4.1, se indica el valor base recomendado para hielo de 0◦C

por Cuffey and Paterson (2010).

• Topografıa inicial libre de hielo: ANF −DAT

52

4.1. DESCRIPCION DE LA SIMULACION 53

Campo Parametro Valores Ecuacion

Termodinamicos TEMP − CONST -0.001◦C headers

Ley de flujo FLOW − LAW (1) headers

Ley de flujo A 2, 4× 10−24s−1Pa−3 (1.17)

Condiciones iniciales ANF −DAT (2) headers

Temp. sup y SMB S0 5.0 m a−1 (1.1)

Temp. sup y SMB m0 23.0 m a−1km−1 (1.1)

Salida de datos OUT − TIMES (1) headers

Salida de datos NETCDF (2) headers

Tabla 4.1: Parametros de entrada constantes utilizados en las simulaciones.

• Balance de masa superficial maximo1: S0

• Gradiente altitudinal del balance de masa superficial: m0.

• Salida de tiempos en todos los archivos, en anos SICOPOLIS: OUT − TIMES

• Archivos de division de tiempo en formato netCDF (.nc) y escritura de un archivo de serie

temporal extendida(ser.nc) en formato netCDF: NETCDF

4.1.2. Parametros variables

Estos parametros son:

• Espacio de grilla horizontal en: DX

• Numero de puntos de grilla en la direccion x [i = 0...IMAX]: IMAX + 1

• Numero de puntos de grilla en la direccion y [j = 0...JMAX]: JMAX + 1

• Paso del tiempo en anos para el calculo de la velocidad y la topografıa: DTIME

1Tanto S0 como m0 fueron obtenidos empıricamente de las mediciones en terrenos realizadas por el Dr. Marius

Schaefer en el glaciar ubicado en la ladera sureste de la Capa de hielo Mocho-Choshuenco.

4.1. DESCRIPCION DE LA SIMULACION 54

Campo Parametro Valores Ecuacion

Resolucion espacial DX 0.2, 0.1 km headers

Resolucion espacial IMAX 117, 236 headers

Resolucion espacial JMAX 105, 211 headers

Tiempo DTIME 0.1-0.2 a headers

Tiempo DTIME − SER 0.1-0.2 a headers

Tiempo TIME − END 1000, 300 a headers

Condiciones iniciales ZL0− FILE ’MochoBed200.asc’ ,

’MochoBed100.asc’ headers

Temp. sup y SMB ELA 1.9 , 2.0 , 2.1 km (1.1)

Deslizamiento Basal C − SLIDE 0.0 , 0.0001 m/a× Pa (1.40)

Deslizamiento Basal GAMMA− SLIDE 0.0 , 1.0 K headers

Salida de datos DTIME −OUT 1000 300 a headers

Tabla 4.2: Parametros de entrada variables utilizados en las simulaciones.

• Paso del tiempo en anos para escribir datos en los archivos de series de tiempo: DTIME −

SER

• Tiempo final de simulacion en anos: TIME − END

• Nombre del archivo que contiene la topografıa de la superficie de la listosfera (lecho donde

yace la capa de hielo): ZL0− FILE

• Altitud de la lınea de equilibrio: ELA

• Coeficiente de deslizamiento: C − SLIDE

• Coeficiente de deslizamiento de subfusion: GAMMA− SLIDE

• Paso de tiempo en anos para escribir datos de division de tiempo DTIME −OUT

4.2. ESTABILIDAD DE LA CAPA DE HIELO SIMULADA 55

4.2. Estabilidad de la capa de hielo simulada

4.2.1. Tiempo de simulacion

Se comenzo realizando una simulacion con tamano de grilla de 200 m como dato de entrada,

tiempo de simulacion de 1000 anos. En los datos de serie de tiempo para el espesor maximo de

hielo (Hmax), curva azul en la figura 4.1, se observa que la simulacion se hace estable a partir de

los 100 anos, llegando a un valor de Hmax aproximado de 290 m.

En base a esta observacion se decide acortar el tiempo de simulacion a 300 anos. Al acortar el

tiempo de simulacion se obtuvo un valor de Hmax = 290 m (ver Figura 4.1).

La curva roja indica la variacion del valor del espesor calculado, respecto al valor anterior.

Figura 4.1: Serie de tiempo a 300 anos y su variacion para el espesor maximo de hielo (Hmax)

4.3. SIMULACIONES 56

4.2.2. Resolucion espacial

Como se menciono en la subseccion anterior, la primera simulacion se realizo con una resolu-

cion de 200 m. (ver Figura 4.2a). Luego se cambio el tamano de grilla a 100 m, manteniendo el

resto de parametros igual que en la simuacion previa, se obtiene (ver Figura 4.2b).

La curva gris, indica el borde o frontera de la capa de hielo actual. Se muestra en el eje de las

abscisas la coordenada Este en coordenadas UTM2 WGS 843, y en el eje de las ordenadas el Norte.

Se concluye que al aumentar la resolucion a 100 m, no hay diferencias significativas en cuanto al

espesor y extension del hielo, solo se aprecian fluctuaciones menores, y la simulacion converge sin

problemas. Por esta razon los seis experimentos se mantendran con una resolucion de 200 m, para

acortar el tiempo de simulacion.

4.3. Simulaciones

4.3.1. Variacion de la ELA

El primer experimento consistio en variar la altitud de lınea de equilibrio (ELA) tomando los

valores de 1900 m.s.n.m , 2000 m.s.n.m y 2100 m.s.n.m, considerando situaciones sin deslizamien-

to basal.

La figura 4.3a muestra la simulacion del espesor de hielo con una ELA de 1900 msnm, vista

desde arriba.

Las zonas de color rojo, indican zonas donde el espesor de hielo es mayor, entre 300 y 350 m.

Las regiones de color azul oscuro indican espesores menores, entre 0 a 50 m de espesor. Tal como

se espera en los margenes de la capa de hielo el espesor es menor, ası como en el cono volcanico

2La sigla UTM ubicada en la esquina superior derecha significa Universal Transverse Mercator; es un sistema de

coordenadas basado en la proyeccion transversa de Mercator. Al lado derecho de UTM aparece 18s, esto hace referencia

al HUSO UTM. Se divide la Tierra en 60 husos de 6 ◦ de longitud, la zona de proyeccion de la UTM se define entre los

paralelos 80◦ S y 84◦ N. Cada huso se numera con un numero entre el 1 y el 60. La letra N se utiliza para el hemisferio

norte y la S para el sur.3WGS84 son las siglas en ingles de World Geodetic System 84 (que significa Sistema Geodesico Mundial 1984)


(a) Grillas de 200 m

(b) Grillas de 100 m

Figura 4.2: Espesor de hielo con ELA a 1900 msnm


(a) ELA a 1900 msnm

(b) ELA a 2000 msnm

(c) ELA a 2100 msnm

Figura 4.3: Espesor de la capa de hielo sin deslizamiento basal


Simulacion ELA S0 M0 C γ

msnm m/a m/a× km m/a× Pa K

1a 1900 5 23 0 0

1b 1900 5 23 0.0001 1

2a 2000 5 23 0 0

2b 2000 5 23 0.0001 1

3a 2100 5 23 0 0

3b 2100 5 23 0.0001 1

Tabla 4.3: Simulaciones. Variacion de ELA asignado por numeros: 1, 2 y 3. Deslizamiento asignado

por letras: (a): caso sin deslizamiento y (b): caso con deslizamiento.

de este.

En la figura 4.3b se muestra la simulacion con ELA a 2000 msnm. Se puede apreciar que el

area de la capa de hielo simulada se aproxima mas al area real de la capa de hielo que la simulacion

con ELA de 1900 m (figura 4.3a).

Con una ELA a 2100 msnm, la simulacion muestra ahora menos area cubierta con hielo.

4.3.2. Simulaciones con deslizamiento basal

Una comparacion muy importante para testear la hipotesis, es considerando una situacion ideal

en que que no hay deslizamiento basal (C = 0 m/a× Pa y γ = 0K), con otra donde si hay des-

lizamiento basal (C = 0,0001 m/a× Pap−q y γ = 1K ). Se realizaron en total seis simulaciones

enumeradas como (1a, 1b, 2a, 2b, 3a, 3b), como muestra la tabla 4.3.

La primera comparacion se realiza con una ELA de 1900 msnm. Al observar la figura 4.4, se

aprecian variaciones en el espesor de la capa de hielo, disminuyendo dicho espesor en la simulacion

con deslizamiento basal (figura 4.4b), lo que se aprecia levemente, por ejemplo, al comparar las

zonas rojas de ambas figuras. Ademas se observa una reduccion en el area para la situacion con

deslizamiento (figura 4.4b).

En las simulaciones con ELA a 2000 msnm se observa algo similar. Menores espesores en el sur


de la capa de hielo en el caso con deslizamiento (figura 4.5b) respecto a lo simulado en la situacion

sin deslizamiento (figura 4.5a). Resultado similar se puede apreciar al observar el caso con una

ELA a 2100 msnm. Si se observa al noroeste del crater del volcan (ver figura 4.6b), se aprecia una

reduccion en el espesor en la situacion que considera deslizamiento basal.


(a) sin deslizamiento basal

(b) con deslizamiento basal

Figura 4.4: Espesor de la capa de hielo con una ELA a 1900 msnm


4.3.3. Variacion del volumen total

Luego se analizaron los valores entregados por las simulaciones, respecto al volumen total

en la serie de tiempo de 300 anos. Un primer analisis importante es ver como varıa el volumen

total de la capa de hielo respecto al aumento de la altitud de la lınea de equilibrio. Luego, para

entender la importancia de la dinamica, se graficaron las situaciones con deslizamiento basal y sin

deslizamiento basal.

Comparando los resultados obtenidos por las simuaciones con y sin deslizamiento. La lınea negra

de la figura 4.7 indica el volumen medido por GEOESTUDIOS en el ano 2014 (DGA, 2014).

Figura 4.7: Variacion del volumen total a distintas ELA, sin deslizamiento basal y con deslizamien-

to basal

Capıtulo 5

Discusion

5.1. Discusion

El hecho de que la capa de hielo sea temperada o frıa es determinante, ya que la presencia de

agua de fusion condiciona los resultados del metodo de Radio Eco sondaje (RES). El agua inhibe

la penetracion de las ondas electromagneticas de radar en el hielo, ya que el agua dentro cuerpos de

hielo temperados como el Mocho, ejerce una mayor aborcion y dispersion de dichas ondas (Lowrie,

2007), (Hubbard and Glasser, 2005).

Por otra parte lo que reproduce la simulacion no es la capa de hielo Mocho-Choshuenco en la

actualidad, sino que una capa de hielo modelada sobre un lecho rocoso libre de hielo, asumiendo

cierto balance de masa superficial. Al termino de las iteraciones, arroja como resultado una capa de

hielo estable, en equilibrio con el clima, basada en los parametros ingresados al modelo (ver tablas

4.1 y 4.2). Por esta razon no debe esperarse que la simulacion coincida a la perfeccion con la capa

de hielo real.

La resolucion de la grilla utilizada para representar la dimension espacial de la capa de hielo,

no influye de manera considerable en su comportamiento durante la simulacion. El aumentar la

resolucion a 100 m, no mostro diferencias significativas respecto a utilizar la grilla de 200 m.

El espesor H del glaciar simulado, se mostro estable en la serie de tiempo despues de 100 anos de

simulacion. De esta manera se ahorra tiempo de simulacion, acortando el tiempo total de simulacion

a 300 anos. En ese sentido la simulacion muestra un buen comportamiento tanto en la resolucion

65

5.1. DISCUSION 66

Area H medio H max Volumen hielo Vol. eq. agua

km2 m m 106m3 106m3

15,22 68,2 262 1038 934

Tabla 5.1: Mediciones de radar obtenidas para la DGA, Vn. Mocho-Choshuenco (DGA, 2014)

espacial como temporal utilizada.

Para conocer que tan real es la simulacion, se debe comparar con los resultados obtenidos de la

mediciones en terreno.

Segun el informe de la DGA, “Estimacion de volumenes de hielo mediante sondajes de radar

en zonas norte, centro y sur”(DGA, 2014), realizado por la empresa Geoestudios LTDA, la tabla

5.1 muestra los resultados para la capa de hielo Mocho-Choshuenco.

Tomando en consideracion el espesor medido con radar aereo, utilizando el metodo de radio

eco sondaje (ver figura 5.1), se puede ver que la simulacion que mas se le asemeja en la cuenca

sureste es la 1.b, que corresponde a una ELA de 1900 msnm y con deslizamiento basal (ver figura

4.4b).

Sin embargo basado solo en los datos tomados en terreno hay que considerar tambien una ELA

de 2000 msnm con deslizamiento basal (ver figura 4.5b), porque cercana a esta altura se encontrarıa

la lınea de equilibrio.

Esto se condice con la teorıa, el factor mas importante sobre el movimiento del hielo es el lecho.

Un glaciar templado como el Mocho-Choshuenco, debe experimentar deslizamiento basal (Cuffey

and Paterson, 2010). Al haber deslizamiento basal, el flujo de hielo hacia las zonas menos elevadas

provoca que dismunuya el espesor H de la capa de hielo. Ademas, al haber mas masa de hielo a

menor altitud, esto puede ocasionar que haya mayor ablacion.

Tanto en las simulaciones con deslizamiento como las sin deslizamiento, al aumentar la ELA,

el espesor y volumen de la capa de hielo disminuyen ( ver figuras 4.3 y 4.7).

Las fluctuaciones en la ELA proporcionan un indicador importante de la respuesta de los gla-

ciares al cambio climatico. Segun Bishop et al. (2011) la ELA esta muy relacionada con el clima

local, particularmente con la precipitacion invernal y la temperatura del aire de verano. Por lo tanto,

las variaciones en la ELA pueden atribuirse a los cambios de estas dos variables. Si el balance de

5.1. DISCUSION 67

Figura 5.1: Espesor medido con Radar Informe DGA DGA (2014)

masa anual de la capa de hielo como un todo es negativo, la ELA aumenta, y cuando el balance es

positivo, la ELA disminuye.

Esto nos hace pensar que dado las proyecciones climatica para los proximos anos (Stocker

et al., 2013), el aumento en la temperatura como la disminucion de las precipitaciones para la zona,

la altitud de la linea de equilibrio aumente. Las simulaciones muestran la sensibilidad del glaciar

ante las variaciones en la ELA. Las simulaciones 3.a y 3.b, dan una idea de donde se encontrara el

glaciar cuando la ELA llegue a los 2100 msnm (ver figura 4.6).

La hipsometrıa1 del glaciar, determina que tan sensible es el glaciar a cambios en el clima.

Mucha superficie en la ELA implica que el balance de masa del glaciar es mas sesible a cambios

en la temperatura.

Por otro lado, es importante considerar que las mediciones de terreno Schaefer et al. (2017), en

la cuenca sureste, para la ELA son cercanos a los 2000 msnm. Esto es una aproximacion, ya que

no se cuenta con mediciones en terrero del balance superficial, en el resto de la capa de hielo, se

esperarıa por tanto, dado que laderas como la norte estan expuestas a la radiacion solar de manera

1Relacion entre el area del glaciar con la altura

5.1. DISCUSION 68

directa, tengan la lınea de equilibrio a mayor altitud.

En la figura 4.5a, se aprecia que la simulacion resultante no muestra espesor de hielo en el

sureste de la capa de hielo, siendo que en el glaciar real, representado por la lınea de color gris, si

hay hielo en esa area. Del mismo modo, la figura 4.5b muestra mayor area sin espesor de hielo.

Esto quiere decir que la simulacion arroja un balance negativo en zonas en que este es positivo. Lo

contrario ocurre en el norte y oeste de la simualacion, esta arroja un balance de masa positivo, en

zonas donde no hay glaciar.

Basado en la teorıa, se presume que esto puede ser debido a que como datos de entrada, se

ingreso a SICOPOLIS el balance de masa superficial maximo S0 , y el gradiente altitudinal del

balance de masa superficial m0 de las mediciones en terreno realizadas en el glaciar ubicado en la

cuenca sureste, y con estos parametros el modelo calculo el balance de masa para el resto de la capa

de hielo, con la ecuacion (1.1). No se cuenta hasta la fecha con mediciones del balance de masa,

del resto de la capa de hielo, por tanto serıa provechoso iniciar el monitoreo en el resto de la capa,

ası ingresar estos nuevos parametros a la simulacion.

Comparando el volumen mostrado en el informe de la DGA, con los resultados de las simula-

ciones mostradas en la figura 4.7, se ve que simulaciones con deslizamiento basal muestran valores

menores a aquellas sin deslizamiento basal. Esto se debe a que al haber deslizamiento basal, el es-

pesor de la capa de hielo disminuye, al estirarse pendiente abajo por efecto de la gravedad. Ademas,

al tener menor espesor, y tener mayor cantidad de masa producto del aumento del flujo, en altitudes

mas bajas, serıa mas sensible al derretimiento.

Si se observa la figura 4.4, en el sureste la simulacion muestra una extension del glaciar Mocho-

Choshuenco, a traves de un valle. Ademas en el norte muestra dos lenguas mas, y en general a lo

largo de todo el perımetro de la capa de hielo. Esta gran pendiente google earth, esfuerzo causante.

Esto significa que, con los valores de los parametros S0 y m0 ingresados, SICOPOLIS calcular un

balance de masa positivo, para estas regiones. Ademas, si se pone atencion en este brazo del glaciar

en el sureste, se puede observar que existen grietas transversales. Segun lo visto en terreno, esta

zona efectivamente es una zona de desprendimiento, de pendiente pronunciada (Figura 5.2. Esto se

5.2. CONCLUSIONES 69

debe a que los esfuerzos de conduccion superan a los esfuerzos resistentes. El modelo toma esta

pendiente, mas el balance de masa y recrea la situacion en la cual el glaciar fluye por ese valle.

Figura 5.2: Zona en la que la simulacion muestra una de las extensiones de glaciar que no existe,

(Google Earth, 2017)

5.2. Conclusiones

Con el fin de comprender la dinamica de la Capa de hielo Mocho-Choshuenco, en este Semi-

nario de Investigacion, se comenzo con los principios de conservacion de la masa y conservacion

del momento de la dinamica de fluidos. El resultado de esto son ecuaciones para el flujo de hielo,

esfuerzos de conduccion y resistentes, el perfil de velocidades, la ecuacion de continuidad integrada

verticalmente, la aproximacion de hielo delgado, para llegar finalmente a la ecuacion de evolucion

del espesor de hielo. La ley de Glen generalizada cuantifica la tasa de deformacion y el esfuerzo de

corte para el hielo. Para poder hacer una simulacion, se deben discretizar las ecuaciones, realizando

una transformacion sigma para las coordenadas del terreno (Greve and Blatter, 2009). Se discretizan

las ecuaciones de velocidad horizontal, vertical y evolucion del espesor del hielo. Posteriormente

se utiliza el metodo de diferencias finitas para resolver numericamente estas ecuaciones utilizando

5.2. CONCLUSIONES 70

el modelo SICOPOLIS. Se realizan seis simulaciones en las cuales se variaron parametros como la

altitud de la lınea de equilibrio, el deslizamiento basal.

Finalmente luego de realizar las simulaciones y analizar los datos obtenidos, se concluye que

la geometrıa del glaciar esta determinada por la altitud de la linea de equilibrio. Como muestra

la figura (4.7), al aumentar la altitud de la lınea del equilibrio, disminuye el volumen total. La

ELA depende de las precipitaciones invernales y la temperatura estival. Teniendo en cuenta los

pronosticos climaticos para la region (Stocker et al., 2013), el aumento en las temperaturas como

la disminucion de las precipitaciones, junto con los resultados obtenidos en la simulaciones, en que

muestran la sensibilidad de la capa de hielo al aumento en la ELA, tanto en su volumen como en el

espesor, se espera que las dimensiones de la capa de hielo Mocho-Choshuenco disminuyan en los

proximos 100 anos.

Sin embargo, no solo los factores climaticos influyen en el balance de masa y en la dinamica

glaciar en general. Uno de los factores mas importantes es la topografıa subglacial. Mayores pen-

dientes, generan mayores esfuerzos de conduccion, y ası a un mayor flujo glaciar, hacia abajo, el

cual provoca que se redistribuya masa hacia altitudes mas bajas, donde los procesos de ablacion

son predominantes. Como se puede ver en los experimentos realizados con deslizamiento basal (ver

figuras 4.4, 4.5 y 4.6), que mostraron menor espesor respecto a los experimentos sin deslizamiento

basal, esto reduce la cantidad de hielo presente en el glaciar. Usando SICOPOLIS se puede estimar

donde se encontrara en glaciar en el futuro.

Finalmente, se considera necesario seguir monitoreando la capa de hielo Mocho-Choshuenco,

y contar con datos de la altitud de la lınea de equilibrio de toda la capa de hielo o utilizar modelos

para esto, el grandiente altitudinal del balance de masa, ası como un mayor rango de tiempo de me-

diciones, para poder ası realizar simulaciones mas fidedignas. Sin embargo con las simulaciones

expuestas en este Seminario de Licenciatura, de este glaciar teorico, nos permiten entender en parte

la dinamica de la Capa de hielo Mocho-Choshuenco.

Apendice A

Glosario

Letra Significado

a ano

A parametro de fluencia ( 2,4×10−24Pa−3s−1 )

aa deposicion por avalanchas

ar el recongelamiento de agua

as representa las nevadas

aw deposicion por viento

α pendiente del lecho rocoso

B tasa de balance de masa especıfico (kg/m2a)

B balance de masa especıfico, se mide en [kg/m2]

Bs balance de masa superficial

Be balance de masa intragracial

Bb balance de masa basal◦C grados celcius

Cb coeficiente de deslizamiento basal

εI primer invariante de la deformacion

εij tasa de deformacion

εE tasa de deformacion efectiva

Sigue en la pagina siguiente.

71

72

Letra Significado

E acrecentamiento

η viscocidad efectiva

f fuerza aplicada a un cuerpo

Gt giga toneladas

g aceleracion de gravedad

H espesor del hielo

h altura de la superficie del hielo

K Kelvin

Kg kilogramos

km kilometros

m metros

ms derretimiento

m0 gradiente altitudinal del balance de masa superficial

m.w.e. metros equivalente de agua (meter water equivalent)

mm milimetros

ms derretimiento

m.s.n.m metros sobre el nivel del mar

Nb esfuerzo normal basal

n vector unitario normal a la superficie

n exponente de fluencia (n=3)

∇ operador nabla

P presion

Pa pascal

p, q exponentes de deslizamiento basal

Q flujo del hielo

ρ densidad del hielo ( 830 - 923 kg m−3)

σ componentes del tensor de esfuerzos T

Sigue en la pagina siguiente.

73

Letra Significado

σm esfuerzo normal medio

σb esfuerzo cortante en la base

S0 balance de masa superficial maximo

T tensor de esfuerzos

TD desviador de esfuerzos

τ componentes del tensor desviador de esfuerzos TD

τE esfuerzo efectivo

τd esfuerzo de conduccion

τb resistencia basal

τL resistencia longitudinal

τW resistencia lateral

τ0 limite de fluencia del hielo (100 Kpa)

Th temperatura ajustada para la depresion del punto de fusion

Tb temperatura en la base del hielo

Tm temperatura en el punto de fusion de presion

t tiempo

u, v, w componentes del vector v

us velocidad del hielo en la superficie

ub velocidad del hielo en la base

u(z) velocidad del hielo a cierta profundidad (H − z)

v velocidad del flujo de hielo

vh velocidad horizontal

vb velocidad de deslizamiento basal

x, y, z coordenadas cartesianas

Tabla A.1: Glosario

74

Acronimo Significado

ADI Esquema implıcito de direccion alternante

AR5 Fifth Assessment Report

DGA : Direccion General de Aguas

DEM Modelo de elevacion digital

ELA Altitud de la lınea de equilibrio

EXPL Esquema de Euler explıcito

IMPL Esquema de Euler implıcito

GRACE Gravity Recovery and Climate Experiment

IPCC Panel Intergubernamental de Expertos sobre Cambio Climatico

OV I esquema sobre implıcito

NPI Campos de hielo patagonico norte

RES Radio eco sondaje

SIA Aproximacion de hielo delgado

SICOPOLIS : Simulation code for polythermal glaciers

STRM : Shuttle Radar Topography Mission

Tabla A.2: Acronimos

Apendice B

Metodo de diferencias finitas

B.1. Metodo de Euler

Las ecuaciones del tipody

dx= f (x, y)

son Ecuaciones diferenciales ordinarias (Simmons et al., 1993). La solucion numerica de este tipo

de ecuaciones es de forma general:

Nuevo valor = valor actual + pendiente× tamano de paso

o en terminos matematicos:

yi+1 = yi + φh

Lo anterior quiere decir que, conociendo el valor de la pendiente estimada φ y el valor en el

paso anterior yi, se puede extrapolar el nuevo valor yi+1 en una distancia h . Esta formula se aplica

paso a paso y se traza la trayectoria de la solucion (Chapra et al., 2007). De esta manera en el

metodo de diferencias finitas pasamos de una ecuacionn diferencial a una ecuacion en diferencias

donde se sustituyen derivadas por incrementos.

dy

dx−→ ∆y

∆x

Hay varios metodos que utilizan este principio, y solo difieren en la forma en que se calcula la

pendiente.

75

B.1. METODO DE EULER 76

Figura B.1: Ilustracion grafica del metodo de un paso de la solucion numerica (Chapra et al., 2007)

B.1.1. Metodo de Euler

Uno de estos metodos es el Metodo de Euler, en el que se usa la ecuacion diferencial para

estimar la pendiente. La primera derivada ofrece una estimacion directa de la pendiente en xi (figura

B.2).

φ = f(xi, yi)

Figura B.2: Estimacion de la pendiente utilizando la primera derivada (Chapra et al., 2007)

donde f(xi, yi) es la ecuacion diferencial evaluada en xi y yi. Sustituyendo la estimacion, se

obtiene la formula conocida como metodo de Euler:

yi+1 = yi + f (xi, yi)h

Con el que se predice un nuevo valor de y usando la pendiente (igual a la primera derivada en el


valor original de x) para extrapolar linealmente sobre el tamano de paso h (Chapra et al., 2007).

Como se puede apreciar en la figura B.2 este metodo muestra errores, los cuales pueden ser:

1. Error de truncamiento, el que a su vez puede ser

a) Local: que ocurre por aplicar el metodo mencionado en un paso.

b) Propagado: que resulta de las aproximaciones producidas durante los pasos previos.

La suma de los errores anteriores da el error global

2. Error de redondeo

Se aplica la serie de Taylor para obtener estimaciones exactas del error en el metodo de Euler.

Una forma de reducir el error local y global, es disminuyendo el tamano del paso. Pero al hacer

esto el metodo de Euler, requiere de muchos calculos (mucho tiempo) para obtener niveles de error

aceptables. El metodo dara como resultado predicciones sin error si la funcion que se analiza es

lineal, ya que la segunda derivada de una lınea es cero. Por esta razon se conoce al metodo de Euler

como un metodo de primer orden . Pero a pesar de su ineficiencia, la simplicidad del metodo de

Euler lo hace una opcion extremadamente atractiva para muchos problemas (Chapra et al., 2007).

A modo de ejemplo, consideremos la ecuacion de conduccion del calor dada por:

k∂T 2

∂x2=∂T

∂t(B.1)

la ecuacion de conduccion del calor requiere aproximaciones de la segunda derivada en el es-

pacio, y de la primera derivada en el tiempo. La segunda derivada se representa mediante una

diferencia dividida finita centrada:

∂2T

∂x2=T li+1 − 2T li + T li−1

∆x2(B.2)

los superındices l se utilizan para denotar tiempo.

Una diferencia dividida finita hacia adelante sirve para aproximar a la derivada con respecto al

tiempo∂T

∂t=T l+1i − T li

∆t(B.3)


Sustituyendo las ecuaciones (B.2) y (B.3) en la ecuacion (B.1), se obtiene

kT li+1 − 2T li + T li−1

(∆x)2=T l+1i − T li

∆t(B.4)

de donde resulta

T l+1i = T li + λ

(T li+1 − 2T li + T li−1

)(B.5)

con

λ = k∆t/(∆x)2 (B.6)

Es decir, si conocemos la distribucion de temperatura como una funcion de la posicion en un tiempo

inicial, es posible calcular la distribucion en un tiempo futuro, basada en la ecuacion (B.5).

Convergencia significa que conforme ∆x y ∆t tiendan a cero, los resultados de la tecnica por

diferencias finitas se aproximaran a la solucion verdadera. Estabilidad significa que los errores en

cualquier etapa del calculo no se amplifican, sino que se atenuan conforme avanza el calculo. El

metodo explıcito es convergente y estable si λ ≤ 1/2, o

∆t ≤ 1

2

∆x2

k(B.7)

B.1.2. Metodo de Euler implicito

Las formulaciones explıcitas por diferencias finitas tienen problemas relacionados con la es-

tabilidad. La diferencia fundamental entre los metodos explıcitos y los implıcitos se ilustra en la

figura B.3. En la forma explıcita, aproximamos la derivada espacial para un nivel de tiempo l (figu-

ra B.3a). Cuando sustituimos esta aproximacion en la ecuacion diferencial parcial, se obtiene una

ecuacion en diferencias (B.4) con una sola incognita T l+1i . Ası, podemos despejar explıcitamente

esta incognita como en la ecuacion (B.5). En los metodos implıcitos, la derivada espacial se aproxi-

ma en un nivel de tiempo posterior l + 1. Por ejemplo, la segunda derivada se aproximara mediante

figura B.3b

∂2T

∂x2∼=T l+1i+1 − 2T l+1

i + T l+1i−1

(∆x)2(B.8)

Cuando esta relacion se sustituye en la ecuacion en derivadas parciales original, la ecuacion en

diferencias resultante contiene varias incognitas. Ası, no puede resolverse explıcitamente mediante


Figura B.3: Diferencias fundamentales entre los metodos a) explıcito y b) implıcito (Chapra et al.,

2007)

simples manipulaciones algebraicas, como se hizo al pasar de la ecuacion (B.4) a la (B.5). En lugar

de esto, el sistema completo de ecuaciones debe resolverse simultaneamente. Las formulaciones

implıcitas dan como resultado un conjunto de ecuaciones lineales algebraicas con el mismo numero

de incognitas.

Sustituyendo las ecuaciones (B.3) y (B.8) en la ecuacion (B.1), se obtiene

kT l+1i+1 − 2T l+1

i + T l+1i−1

(∆x)2=T l+1i − T li

∆t(B.9)

que se expresa como

−λT l+1i−1 + (1 + 2λ)T l+1

i − λT l+1i+1 = T li (B.10)

con λ = k∆t/(∆x)2 Esta ecuacion se aplica a todos los nodos, excepto al primero y al ultimo de

los nodos interiores, los cuales deben modificarse para considerar las condiciones de frontera. En

el caso donde estan dados los niveles de temperatura en los extremos de la barra, la condicion de

frontera en el extremo izquierdo de la barra (i = 0) se expresa como

T l+10 = f0

(tl+1)

(B.11)

donde f0(tl+1)= una funcion que describe como cambia con el tiempo la temperatura de la

frontera. Sustituyendo la ecuacion (B.11) en la ecuacion (B.10), se obtiene la ecuacion en diferen-

cias para el primer nodo interior (i = 1):

(1 + 2λ)T l+11 − λT l+1

2 = T l1 + λf0(tl+1)

(B.12)


para el ultimo nodo interior (i = m),

−λT l+1m−1 + (1 + 2λ)T l+1

m = T lm + λfm+1

(tl+1)

(B.13)

donde fm+1

(tl+1)

describe los cambios especıficos de temperatura en el extremo derecho de la

barra (i = m+ 1). Se obtiene un conjunto de m ecuaciones algebraicas lineales con m incognitas.

B.1.3. Metodo de Cranck Nicholson

Ofrece un esquema implıcito alternativo que tiene una exactitud de segundo orden, tanto para

el espacio como para el tiempo. Para alcanzar tal exactitud, se desarrollan aproximaciones por

diferencias en el punto medio del incremento del tiempo (figura B.4). Entonces, la primera derivada

temporal se aproxima en tl+1/2 por∂T

∂t∼=T l+1i − T li

∆t(B.14)

La segunda derivada en el espacio puede determinarse en el punto medio promediando las aproxi-

Figura B.4: Esquema de Cranck-Nicholson (Chapra et al., 2007)

maciones por diferencias al principio (tl) y al final (tl+1) del incremento del tiempo

∂2T

∂x2∼=

1

2

[T li+1 − 2T li + T li−1

(∆x)2+T l+1i+1 − 2T l+1

i + T l+1i−1

(∆x)2

](B.15)

B.2. REGLA DEL TRAPECIO 81

Sustituyendo las ecuaciones (B.14) y (B.15) en la ecuacion (B.1) y reagrupando terminos, se

obtiene

−λT l+1i−1 + 2 (1 + λ)T l+1

i − λT l+1i−1 = λT li−1 + 2 (1− λ)T li + λT li+1 (B.16)

Como en el caso del metodo implıcito simple, se determinan las condiciones de frontera T l+10 =

f0(tl+1)

y T l+1m+1 = fm+1

(tl+1)

para obtener versiones de la ecuacion (B.16) para los nodos inte-

riores primero y ultimo. Para el primer nodo interior,

−λT l+1m+1 + 2 (1 + λ)T l+1

m = λfm+1

(tl)

+ 2 (1− λ)T lm + λT lm−1 + λfm+1

(tl+1)

(B.17)

B.2. Regla del trapecio

Sea la integral

I =

∫ b

a

f (x) dx ∼=∫ b

a

fn (x) dx (B.18)

donde fn(x) = un polinomio de la forma

fn (x) = a0 + a1x+ ...+ an−1xn−1 + anx

n

La regla del trapecio corresponde al caso donde el polinomio de la ecuacion (B.18) es de primer

grado:

I =

∫ b

a

f (x) dx ∼=∫ b

a

f1 (x) dx (B.19)

una lınea recta se puede representar como

f1 (x) = f (a) +f (b)− f (a)

b− a(x− a) (B.20)

El area bajo esta lınea recta es una aproximacion de la integral de f(x) entre los lımites a y b:

f1 (x) =

∫ b

a

[f (a) +

f (b)− f (a)

b− a(x− a)

]dx (B.21)

El resultado de la integracion es la denominada regla del trapecio:

I = (b− a)f (a)− f (b)

2(B.22)

donde a y b son los lımites de integracion y b–a = el ancho del intervalo de integracion. Geometri-

camente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el area del trapecio bajo la lınea recta que

une f(a) y f(b) en la figura B.5.

B.3. CUADRATURA DE GAUSS 82

Figura B.5: Regla del trapecio (Chapra et al., 2007)

B.3. Cuadratura de Gauss

Debido a que la regla del trapecio necesita los puntos extremos, existen casos como el de la

figura B.6a, donde la formula puede dar un gran error.

Ahora, suponga que se elimina la restriccion de los puntos fijos y se tuviera la libertad de evaluar

el area bajo una lınea recta que uniera dos puntos cualesquiera de la curva. Al ubicar esos puntos

en forma inteligente, definirıamos una lınea recta que equilibrara los errores negativo y positivo.

Ası que, como en la figura B.6b, llegarıamos a una mejor estimacion de la integral. Cuadratura de

Gauss es el nombre de una clase de tecnicas para realizar tal estrategia.

El objetivo de la cuadratura de Gauss es determinar los coeficientes de una ecuacion de la forma:

I ∼= c0f (x0) + c1f (x1) (B.23)

donde las c =los coeficientes desconocidos. Sin embargo, a diferencia de la regla del trapecio

que utiliza puntos extremos fijos a y b, los argumentos de la funcion x0 y x1 no estan fijos en los

extremos, sino que son incognitas (figura 22.7). De esta manera, ahora se tienen cuatro incognitas

que deben evaluarse y, en consecuencia, se requieren cuatro condiciones para determinarlas con

exactitud.

B.3. CUADRATURA DE GAUSS 83

Figura B.6: Representacion grafica de la regla del trapecio (Chapra et al., 2007)

Figura B.7: Representacion grafica de las variables desconocidas x0 y x1 para la integracion por

medio de la cuadratura de Gauss.

Apendice C

Ecuacion de continuidad para fluidos

incompresibles

El Principio de Conservacion de la Masa establece que no hay creacion ni destruccion de masa

dentro de un volumen de control, y que si allı hay cambio de masa, estos son la consecuencia de un

flujo a traves de la superficie de control.

Luego de algunas integrales podemos llegar a la ecuacion de continuidad

∂ρ

∂t+∇ · (ρv) = 0 (C.1)

A su vez, por las propiedades de la divergencia la ecuacion (C.1) se puede expresar como:

∂ρ

∂t+∇ρ · v + ρ∇ · v = 0 (C.2)

lo que es igual a:∂ρ

∂t+∂ρ

∂xu+

∂ρ

∂yv +

∂ρ

∂zw + ρ∇ · v = 0 (C.3)

y finalmente,∂ρ

∂t+ ρ∇ · v = 0 (C.4)

Las ecuaciones (C.1) y (C.4) son equivalentes, pero difieren por el punto de vista implıcito en

ellas.

Revisemos ahora la ecuacion de continuidad para un fluido incompresible. Para comenzar,

84

85

la ecuacion de continuidad (C.1) se puede escribir explicitamente en funcion de las componentes

u, v, w del vector velocidad v como:

∂ρ

∂t+∂(ρu)

∂x+∂(ρv)

∂y+∂(ρw)

∂z= 0 (C.5)

Utilizando la regla de la cadena, y factorizando por ρ da

∂ρ

∂t+ u

∂ρ

∂x+ v

∂ρ

∂y+ w

∂ρ

∂z+ ρ

(∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z

)= 0 (C.6)

luego esta ecuacion se puede escribir en forma vectorial como

∂ρ

∂t+ (v · ∇)ρ+ ρ(∇ · v) = 0 (C.7)

o su equivalente donde D/Dt representa la derivada sustancial o total.

1

ρ

Dρ

Dt+ (∇ · v) = 0 (C.8)

Para un medio incompresible, ρ es constante; por consiguiente,

1

ρ

Dρ

Dt= 0 (C.9)

lo cual da finalmente

∇ · v =∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= 0 (C.10)

“Ecuacion de continuidad para un fluido incompresible”.

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