ISBN: 970-32-2137-8

CONGRESO ANUAL DE LA AMCA 2004

Modelado y control PD-Difuso en tiempo real para el sistemabarra-esfera

Floriberto Ortiz R.1, Wen Yu Liu2

CINVESTAV-IPN, Departamento de Control Automático.AP 14-740. Av. IPN 2508. Col Zacatenco, CP07360, México D.F., México.

fortiz@ctrl.cinvestav.mx1, yuw@ctrl.cinvestav.mx2

Abstract

Este trabajo presenta el modelado matemático de unsistema no lineal barra-esfera, la planta es linealizadasobre un punto de operación. Se presenta la imple-mentación en tiempo real de un control PD-Difusoque logra estabilizar al sistema en lazo cerrado. Elcontrol PD-Difuso presenta un error de posición máspequeño que el control clásico PD; el control difusose utiliza como término compensador.

1 Introducción

El sistema barra-esfera de la �gura 1, se presenta enun número importante de aplicaciones académicaspara probar diferentes algoritmos de control. Estesistema mecánico es subactuado y mani�esta algunascaracterísticas no deseables tales como un alto gradorelativo y comportamiento de fase no mínima, lo quehace más difícil su control [20], [19].Para el control del sistema se han elegido contro-ladores PD-Difusos, donde los controladores difusosfuncionan como compensador de dinámicas no lin-eales [18]. Se implementó el control PD-Difuso entiempo real logrando estabilizar al sistema en lazocerrado, presentando niveles de error mínimos en laseñal de salida de la posición de la esfera.

2 Modelado matemático delsistema barra-esfera

El sistema de posicionamiento barra-esfera se mues-tra en la �gura 1.

2.1 Forma Lagrangiana

Se presenta la dinámica del actuador de un motorde corriente continua. Considere el diagrama de la�gura 2.

α

θ

R

L

r

d

mg

θsinmg

z

y N

F

Barra

Ángulo de inclinaciónDe la barra guía

Pivote

Posición de laesfera

Ángulo delengrane

MgA Engrane

Motor

α

θ

R

L

r

d

mg

θsinmg

z

y N

F

Barra

Ángulo de inclinaciónDe la barra guía

Pivote

Posición de laesfera

Ángulo delengraneα

θ

R

L

r

d

mg

θsinmg

z

y N

F

Barra

Ángulo de inclinaciónDe la barra guía

Pivote

Posición de laesfera

Ángulo delengrane

MgA Engrane

Motor

Figure 1: Sistema barra-esfera

Ra La

ia

Tm m

J

Tl

VfceVin+-

Ra La

ia

Ra La

ia

Tm mm

J

Tl

VfceVin+-

Figure 2: Motor de corriente continua

La ecuación diferencial del motor controlado por lacorriente de armadura está dado por:

Ladiadt+ iaRa = Vin � Vfce (1)

En donde Vin es el voltaje de entrada en V olts, ia esla corriente de armadura en Ampers, Ra es la re-sistencia de armadura en Ohms.La constante de tiempo eléctrico La

Raes mucho más

pequeña que la constante de tiempo mecánica JBm,

lo que permite reducir el orden del modelo en ladinámica del actuador. La ecuación diferencial delmodelo del motor está dado por:

RaJ

KmKg

��� +

�RaBmKmKg

+Km

��� = Vin (2)

-213

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Para el modelo del prototipo [14], se tiene: RaJKmKg

=

0:01176; RaBm

KmKg+Km = 0:58823.

El momento de inercia de la esfera está dada por:Iesf =

25mR

2

Donde: m es la masa de la esfera, Iesf es el momentode inercia de la esfera y R es el radio de la esfera.La energía cinética del sistema está dada por:

T = T1 + T2

Donde: T1 y T2 son energías cinéticas de la barray de la esfera, las energías cinéticas incluyen losmovimientos radiales y circulares, la energía cinéticarotacional de la barra es:

T1 =1

2J1

��2

Donde J1 es el momento de inercia de la barra,�� es

la velocidad angular de la barra, la energía cinéticade la esfera está dada por:

T2 =1

2

�mr2

� ��2+1

2m�r2+1

2J2!

22

Donde J2 es el momento de inercia de la esfera,�r

y !2 son velocidades radiales y rotacionales de laesfera, m es la masa de la esfera, donde: J2 = 2

5mR2;

�r = R!2; la energía cinética rotacional de la esfera

es 12

�25m

�r2�; así que:

T =1

2

��J1 +mr

2� ��2+7

5m�r2�

La energía potencial del sistema está dado por laecuación:

P = mgr sin�+MgL

2sin�

Donde M es la masa de la barra, L es la longitud dela barra, r es la posición de la esfera. La ecuacióndel Lagrangiano es:

L = T � P

L =1

2

��J1 +mr

2� ��2+7

5m�r2���mgr +

L

2Mg

�sin�

Puesto que no hay fuerzas externas que actuán sobrela esfera en dirección radial, la ecuación Lagrangianadel movimiento está dado por:

ddt

h@L

@��

i� @L

@� = �

ddt

h@L

@�r

i� @L

@r = 0

Dado que @L@� = �

�mgr + L

2Mg�cos�; @L

@��

=�J1 +mr

2� ��; @L@r = mr

��2� mg sin�; @L

@�r= 7

5m�r:

Se tiene que:�J1 +mr

2� ���+ 2mr

�r��+

�mgr + L

2Mg�cos� = �

75

��r � r ��

2+ g sin� = 0

(3)Que es similar al modelo obtenido en [11]. En estearticulo sólo se considera que únicamente la gravedadafecta a la barra. Este modelo será utilizado en laetapa de simulación y para el análisis de estabilidaddel sistema barra-esfera en lazo cerrado se emplearála forma simpli�cada.

2.2 Forma simpli�cada

La ecuación diferencial del sistema mecánico estádado por:

0:0117��� + 0:588

�� = u (4)

Aplicando la transformada de Laplace se obtiene:

� (s)

u (s)=

1

0:58823s+ 0:01176s2(5)

La aceleración de la esfera está dada por la ecuación:

�r = mg� (6)

Aplicando la transformada de Laplace se obtiene:

r (s)

� (s)=7

s2(7)

Donde m es la masa y g la gravedad, los valores dem = 5=7, g = 9:8m=s2: El modelo en forma sim-pli�cada se utiliza para el análisis de estabilidad delsistema en lazo cerrado [14].

3 Control PD-Difuso

3.1 Análisis de estabilidad del controlPD basado en el modelo simpli�-cado

La con�guración en cascada del control PD se mues-tra en la �gura 3.Sea el control PD para la esfera y el motor:

u = kpm (�� � �) + kdm

�����

��

�(8)

� = kpe (r� � r) + kde

� �r�� �r�

(9)

2

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ControlPD1

Modelodel Motor

Modelo dela esfera

Entrada Salida

ControlPD2

*rrθ*θ

+-

+-

ControlPD1

Modelodel Motor

Modelo dela esfera

Entrada Salida

ControlPD2

*rrθ*θ

+-

+-

Figure 3: Control PD en con�guración cascada

De�niendo: ~� = (�� � �), y�~� =

�_�� � _�

�; el control

para el motor (8), se reescribe como:

u = kpm~� + kdm

�~� (10)

Para la ecuación (9) de control de posición de la es-fera es:

� = kpe~r + kde�~r (11)

Donde: ~r = r� � r; y�~r =

�r�� �r

La función de transferencia del sistema (10) es:

U (s)~� (s)

= kpm + kdms (12)

La función de transferencia del sistema (11) es:

� (s)

~r (s)= kpe + kdes (13)

La función de transferencia para el motor, utilizandoel modelo simpli�cado es:

� (s)

U (s)=

1

0:01176s2 + 0:58823s

Por lo que el control para el motor queda de la sigu-iente manera:

Go1 =U (s)~� (s)

� (s)

U (s)=

kpm + kdms

0:01176s2 + 0:58823s

El sistema en lazo cerrado esta dado por:

Gm =Go1

1 +Go1

Sustituyendo los valores del controlador PD del mo-tor kpm = 5:79; kdm = 0; se tiene:

Gm =5:79

0:01176s2 + 0:58823s+ 5:79(14)

La función de transferencia para el modelo de la es-fera, en su forma simpli�cada es:

r (s)

� (s)=7

s2

-50 -40 -30 -20 -10 0 10

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figure 4: Lugar geométrico de las raíces

Su control PD es:

� (s)

~r (s)= kpe + kdes

Entonces se tiene:

Go2 =� (s)

~r (s)

r (s)

� (s)Gm

Go2 =(kpe + kdes) 7

s2

�5:79

0:01176s2 + 0:58823s+ 5:79

�Desarrollando la expresión anterior:

Go2 =40:53 (kpe + kdes)

0:01176s4 + 0:58823s3 + 5:79s2

El sistema en lazo cerrado es:

G(s) =Go2

1 +Go2

Sustituyendo los valores del controlador PD para losdatos de la esfera kpe = 2:2; kde = 0:8, la funciónde transferencia del sistema en con�guración cascadaestá dado por:

Gs(s) =32:424s+ 89:166

0:0117s4 + 0:588s3 + 5:79s2 + 32:42s+ 89:16(15)

Utilizando el Matlab para obtener las raíces del poli-nomio del denominador:x1 = �39:1055; x2 = �2:7468 + 5:3127i; x3 =�2:7468� 5:3127i; x4 = �5:4206En la �gura 4 se muestra el lugar geómetrico de lasraíces, de la función de tranferencia (15).Donde la parte real de las raíces obtenidas del poli-nomio del denominador se encuentran en la parte

3

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negativa del semiplano complejo, por lo que el sis-tema en lazo cerrado es estable, como se observa enla �gura 4.Sustituyendo nuevos valores al controlador PD delmotor, con kpm = 5:79; kdm = 0; y para la esferakpe = 3; kde = 10: Se obtiene la función de transfer-encia del sistema dado por (16).

Gs(s) =405:3s+ 121:59

0:0117s4 + 0:588s3 + 5:79s2 + 405:3s+ 121:59(16)

Donde el lugar geométrico de las ráices se muestraen la �gura 5.

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figure 5: Raíces del polinomio del denominador

Donde las raíces del polinomio del denominador son:x1 = �53:1414; x2 = 1:5931+25:4285i; x3 = 1:5931�25:4285i; x4 = �0:3013El sistema tiene dos polos en la parte positiva delsemiplano complejo, por lo que el sistema en lazocerrado no es estable, como se observa en la �gura 5.

3.2 Control Difuso

El control difuso se agrega a los controladores PDconvencionales como un término compensador dedinámicas no lineales tales como: fricción, \offset",saturación etc., y otras dinámicas no modeladas. Elcontrol PD más el control difuso será entonces:

u = kpm (�� � �) + kdm

�����

��

�+ �

� = kpe (r� � r) + kde

� �r�� �r�+ �

Donde: � es el control difuso que cumple la funciónde un compensador.Las entradas al sistema son: la posición de la esferaen la barra r, su velocidad _r, la posición angular �

del motor; y su velocidad angular _�: La salida delsistema será la nueva posición de la esfera, en donder = x1; _r = x2; � = x3; _� = x4 [15].Las reglas establecidas para el control difuso del sis-tema barra-esfera son las siguientes:RL1 : SI x1 es positivo y x2 está cerca de cero y x3es positivo y x4 está cerca de cero, ENTONCES ues negativoRL2 : SI x1 es positivo y x2 está cerca de cero y x3es negativo y x4 está cerca de cero, ENTONCES ues mayormente positivoRL3 : SI x1 es negativo y x2 está cerca de cero y x3es positivo y x4 está cerca de cero, ENTONCES ues mayormente negativoRL4 : SI x1 es negativo y x2 está cerca de cero y x3es negativo y x4 está cerca de cero, ENTONCES ues positivoEn el presente trabajo se utilizan funciones de perte-nencia gaussianas. Por lo tanto el control PD-difusopara el sistema está dado por:

uT (x) = (0:1) � uPD (x) + (0:9) � �uPD (x) = uPDmotor (x) + uPDesfera (x)� = uDIFmotor (x) + uDIFesfera (x)

(17)

Donde el sistema difuso es:

� =��

�1 (R1) + �2 (R2) + �3 (R3) + �4 (R4)(18)

donde:

�� = �1 (R1)�Nu (u) + �2 (R2)�PBu (u) +

�3 (R3)�NBu (u) + �4 (R4)�Pu (u)

Por lo que la estructura del controlador difuso quedade la forma (18), donde el fuzzi�cador es de tiposingleton, el motor de inferencia es de tipo productoy el defuzi�cador es de tipo centro promedio.

4 Aplicación en tiempo real

En este trabajo se propone implementar un controlPD-Difuso en tiempo real para el sistema barra-esfera mostrado en la �gura 6, prototipo ubicadoen el Centro de Servicios Experimentales (CSE)del Departamento de Control Automático (DCA)del CINVESTAV-IPN. La tarjeta de adquisición dedatos de la �gura 7 es la RT �DAC4=PCI, es com-patible con diversos softwares en tiempo real comoson: RT-CON, Real Time Workshop, Real TimeWindows Target y los programas Matlab Ver. 6.5y Simulink Ver. 5.0.2, que se ejecutan en una com-putadora personal con Windows XP. La frecuenciade muestreo es de aproximadamente 10 ms:

4

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Figure 6: Fotografía del sistema barra-esfera

ConectoresDigitales I/O

I/O digitales, PWMDecodificadores,

interrupciones

XILINXFPGA

ConvertidorA/D

SelecciónDe rango

Puente PCIPLX

Gananciasprogramables

16 canalesMux A/D

ConvertidorD/A

BuffersD/A

ch0

ch3

PCI Bus

ConectoresDigitales I/O

I/O digitales, PWMDecodificadores,

interrupciones

XILINXFPGA

ConvertidorA/D

SelecciónDe rango

Puente PCIPLX

Gananciasprogramables

16 canalesMux A/D

ConvertidorD/A

BuffersD/A

ch0

ch3

PCI Bus

Figure 7: Diagrama a bloques de la tarjeta RT-DAC4/PCI

4.1 Control PD

La �gura 8 muestra la salida del control PD que lo-gra estabilizar el sistema en lazo cerrado de la �gura3. Sin embargo como puede observarse presenta unerror de posición en estado estacionario de aproxi-madamente 1 unidad; esto es debido a términos grav-itacionales y otras dinámicas no lineales que no seconsideraron.

4.2 Control PD-Difuso

Cuando se realizan los experimentos en tiempo real,se presenta el efecto de la fuerza de gravedad y dealgunos efectos no lineales, sin embargo al añadir elcontrol difuso como un término compensador de es-tas dinámicas no lineales, el control PD-Difuso lograestabilizar al sistema en lazo cerrado con un errorde aproximadamente 0:1, que es mucho menor que elerror obtenido con el control PD sin término compen-sador. El tiempo en que logran estabilizar al sistemaes similar en ambos casos, así como la magnitud en

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500-4

-3

-2

-1

0

1

2

3Posición de la esfera

Tiempo (ms)

Pos

ició

n

Señal de salidaReferencia

Figure 8: Control PD

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-4

-3

-2

-1

0

1

2Señal de posición de la esfera, compensador difuso

Tiempo (ms)

Pos

ició

n

Señal de salidaReferencia

Figure 9: Control PD-Difuso

el sobretiro que presentan.Estas dinámicas no lineales afectan el desempeño delsistema haciendo necesario añadir un término com-pensador que minimize sus efectos, estas dinámicaspueden ser: la gravedad, \offset" en la señal, satu-ración, fricción, etc. La �gura 9 muestra un nivel deerror mínimo, 10 veces menos que el control PD.

5 Conclusion

Se realizó el modelo matemático del sistema no lin-eal que fue empleado únicamente para simulación.Se obtuvo el modelo linealizado que fue utilizadopara hacer la prueba de estabilidad del sistema barra-esfera en lazo cerrado, utilizando las herramientas deSistemas Lineales.Se realizó un control difuso con únicamente cuatro re-glas lingüisticas y que al implementarlo al modelo, nologra estabilizarlo. Se construyó un control hybridoPD-Difuso teniendo el controlador difuso como tér-mino compensador de efectos gravitacionales y otrasno linealidades.

5

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Se implementarón los controladores PD-Difuso entiempo real y se comparó su respuesta con las en-tregadas por el prototipo del CSE, del Depto. deControl Automático. Observando que el control PD-Difuso presenta un mínimo de error en el objetivo decontrol, estabilizar la esfera en una posición dada,con respecto al control PD sin compensador. El con-trol PD-Difuso que logra el objetivo de estabilizar alsistema en lazo cerrado es:

uT (x) = 0:1uPD + 0:9�

Se muestra el diagrama de control del sistema en la�gura 10.

Target Position

Scope3

Scope2

Scope1

Scope

phi

dphi

U

PD_motor1

r*

r

alpha

PD_ball

Mux

Mux

0.1

Kd1

0.9KdFuzzy Logic

Controller1

Variable Initial ization

Band-LimitedWhite Noise1

Ball-Beam Dynamics

Figure 10: Sistema de control barra-esfera

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