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Congreso Internacional de Energías Renovables y Mantenimiento Industrial 2012

Universidad Tecnológica de Bahía de Banderas 282

Modelado dinámico de un aire acondicionado basado en una

estrategia electro-térmica

Juan Miguel González López1 Efraín Villalvazo Laureano1 Julio C. Rosas Caro2

Lorenzo Ortiz Cortes1, Francisco Javier Hernandez1

1 Universidad Tecnológica de Manzanillo – Camino hacia las humedades S/N Col.

Salagua, Manzanillo Colima, 28869. México [email protected]

2 Instituto Tecnológico de ciudad Madero – Calle Juventino Rosas esq. Urueta Col.

Mangos, Cd. Madero Tamaulipas México [email protected]

Resumen

En este artículo se simula el comportamiento de un aire acondicionado mediante un

modelado de un circuito electro-térmico, este modelo no solo predice su consumo de

energía, sino que además proporciona las temperaturas dentro del lugar acondicionado

por el equipo. La metodología usada proporciona un sistema de ecuaciones

diferenciales que representan el lugar a acondicionar mediante variables que son

obtenidas por las características físicas de las casas-habitación.

Palabras claves

Aire acondicionado (AA), Leyes de Corrientes de Kirchoff (LCK), Ley de Voltajes de

Kirchoff (LVK), Ley de Ohm, máquina de Carnot.

1. Introducción

Los gobernantes de todo el mundo están buscando mejores estrategias y políticas que

regulen el consumo de la energía para la mayoría de los equipos de refrigeración y aire

acondicionado. La mayoría de las manufactureras están buscando alternativas para

mejorar los materiales que puedan ser usados como aislantes y así mejorar la eficiencia

en el consumo de energía.



En la literatura se puede encontrar simulaciones numéricas y técnicas de

optimización no solo para reducir los procedimientos de pruebas y prototipos, la

mayoría de ellos tienen limitaciones tanto en términos físicos como en el esfuerzo

computacional. Más aún, muchos de estos modelos requieren mucha información que

dependen métodos complejos para determinar la entalpía del gas refrigerante por

ejemplo.

En los años 80s se realizaron los primeros modelos matemáticos, el cual estaba

enfocado a las bombas de calor y a los sistemas de aires acondicionados [1-11]. Todos

estos requerían de un gran esfuerzo computacional. En [12] se realizó uno de los

primeros estudios dinámicos para modelar el comportamiento de refrigeradores y

congeladores domésticos con la finalidad de predecir los tiempos de encendido y

apagado del compresor.

En [13] se propuso una metodología para predecir el consumo de energía en

refrigeradores con una buena exactitud, pero también con un gran esfuerzo

computacional, al igual que en [14].

El proceso de aire acondicionado es una carga controlable muy importante no

solo en algunas de las regiones de México sino del mundo, ya que contribuye a los

picos de consumo de energía que se registran en los centros nacionales de control y

energía, y que a finales de cuenta se ven reflejados en las emisiones de gas

contaminantes de las centrales eléctricas. Por estas razones se ha motivado al

desarrollo de novedosas estrategias, que a la misma vez sean simples en su modelado,

y que puedan predecir el consumo de energía eléctrica con el fin de optimizar su

funcionamiento.

Este artículo presenta algunos avances previos de simulaciones para un

proyecto de investigación enfocado a la obtención de modelos matemáticos con el fin

de optimizar el consumo de energía eléctrica de un aire acondicionado mediante la



construcción de un controlador inteligente. La primera etapa de este proyecto es la que

se presenta en este artículo.

2. Desarrollo

La operación de un aire acondicionado se basa en un cambio de fase del fluido

refrigerante: la evaporación ocurre con la absorción de calor en el evaporador, y la

condensación con la producción de calor para realizar el intercambio de calor hacia el

medio ambiente, el cual lo hace ideal para ser modelado mediante circuitos electro-

térmicos.

Modelo electro-térmico

El análisis del compartimiento del aire acondicionado se realiza mediante el modelado

de las características físicas de la casa-habitación. La Fig. 1 muestra un circuito

bidimensional que representa la resistencia térmica de las paredes, y ventanas, además

de las capacitancias térmicas que representan al aire dentro de la habitación, la

temperatura del medio ambiente y las cargas internas dentro de la casa-habitación.

Rc

Rw Rw

Cw CiTamb Qs Qac

Qin

TinTw

S(t)

Figura 1. Modelo bidimensional termo-eléctrico de una casa-habitación.

donde:

𝑇𝑎𝑚𝑏 Temperatura en el ambiente en ℃ 𝑇𝑊 Temperatura en el paredes de la casa-habitación en ℃

𝑇𝑖 Temperatura en el interior de la casa-habitación en ℃ 𝑅𝑐 Resistencia térmica de las ventanas J/oC

𝑅𝑊 Resistencia térmica de las paredes, techo y piso J/oC

𝐶𝑊 Capacitancia térmica de las paredes, techo y piso J/oC



𝐶𝑖 Capacitancia térmica en el interior de la casa-habitación J/oC

𝑄𝑆 Radiación solar en Watts

𝑄𝑖𝑛 Calor producido por lámparas, computadoras, personas en Watts

𝑄𝑎𝑐 Calor extraído por el aire acondicionado en Watts

S(t) Es un valor 0 o 1 que representa la decisión del termostato

Rw

CwTamb

Qs

Tw

Q1 Q2

Rw

QCw

Rw

CwQs

Tw Rw

-

+

-

+

+ -

Rw

CwTamb

Qs

Tw Rw

-

+

-

+ + -

Ci

a) LCK b) LVK c) LVK

Figura 2. Análisis en el nodo Tw del circuito bidimensional electro-térmico.

El análisis de la Fig. 1 se realiza mediante las bien conocidas leyes de Ohm y

leyes de Kirchoff [15], con el fin de encontrar un sistema de ecuaciones diferenciales

que representen el comportamiento dinámico del aislamiento térmico en las casas

habitación y por lo tanto el funcionamiento del aire acondicionado.

Este análisis se realiza en cada uno de los nodos eléctricos del circuito, en la Fig.

2 se muestra el análisis en el nodo Tw y el procedimiento algebraico con gran detalle

para encontrar una de las ecuaciones diferenciales del sistema. Aplicando la LCK en la

Fig. 2 a) en el nodo Tw se obtiene la siguiente ecuación:

𝑄𝑆 + 𝑄1 = 𝑄𝐶𝑊 + 𝑄2 (1)

En la ecuación (1) se necesita encontrar Q1 y Q2, por lo que aplicando la LVK en

la Fig. 2 b) se obtiene la siguiente ecuación:

𝑇𝑊 − 𝑇𝑎𝑚𝑏 + 𝑅𝑤𝑄1 = 0 (2)

Despejando 𝑄1de la ecuación (2)

𝑄1 =𝑇𝑎𝑚𝑏 −𝑇𝑊

𝑅𝑊 (3)

De la misma forma para encontrar 𝑄2 se aplica LVK en la Fig. 2 c) y se obtiene:

−𝑇𝑊 + 𝑇𝑖 + 𝑅𝑤𝑄2 = 0 (4)

Despejando 𝑄2de la ecuación (4)



𝑄2 =𝑇𝑊−𝑇𝑖

𝑅𝑊 (5)

Sustituyendo las ecuaciones (3) y (5) dentro de la ecuación (1):

𝑄𝑆 +𝑇𝑎𝑚𝑏 −𝑇𝑊

𝑅𝑤= 𝑄𝐶𝑊 +

𝑇𝑊−𝑇𝑖

𝑅𝑊 (6)

Por definición sabemos de fundamentos de circuitos eléctricos que la corriente

en un capacitor es:

𝑖 𝑡 = 𝐶𝑑𝑉 𝑡

𝑑𝑡 (7)

Por lo tanto el calor en el capacitor del circuito térmico de la Fig.1

𝑄𝐶𝑊 𝑡 = 𝐶𝑊𝑑𝑇𝑊 𝑡

𝑑𝑡 (8)

Sustituyendo la ecuación (8) en la ecuación (6) y despejando la derivada nos lleva a:

𝑑𝑇𝑊

𝑑𝑡=

𝑄𝑆

𝐶𝑊+

𝑇𝑎𝑚𝑏

𝑅𝑊𝐶𝑊+

𝑇𝑖𝑛

𝑅𝑊𝐶𝑊−

2𝑇𝑊

𝑅𝑊𝐶𝑊 (9)

De forma similar al procedimiento anterior se obtiene la siguiente ecuación

diferencial aplicando la ley de Ohm y LCK y LVK en el nodo Ti:

𝑑𝑇𝑖

𝑑𝑡=

𝑄𝑖𝑛−𝑄𝑎𝑐 𝑆 𝑡

𝐶𝑖−

𝑇𝑖

𝐶𝑖

1

𝑅𝑊+

1

𝑅𝐶 +

𝑇𝑊

𝑅𝑊𝐶𝑖+

𝑇𝑎𝑚𝑏

𝑅𝑐𝐶𝑖 (10)

El sistema de ecuaciones diferenciales obtenidas en las ecuaciones (9) y (10)

describen el comportamiento térmico de una casa-habitación.

Como se explicó anteriormente la variable 𝑄𝑎𝑐 representa el calor extraído por el

aire acondicionado. La Fig. 3 muestra una la representación de una máquina de Carnot

[16] donde 𝑄𝑖𝑛 es el calor extraído por el evaporador dentro del espacio a acondicionar

en (BTU), 𝑄𝑜𝑢𝑡 es el calor cedido al medio ambiente por la unidad condensadora en

(BTU), 𝑊𝑖𝑛 = 𝑄𝑎𝑐 es el consumo de energía eléctrica principalmente debido al

compresor del aire acondicionado en (Watts) y EER por sus siglas en ingles "Energy

Efficiency Ratio" valor de eficiencia energético de la unidad. Estos valores pueden ser

fácilmente obtenidos de la placa de datos de la unidad o de su guía de especificaciones

técnicas, la ecuación (11) describe el comportamiento de esta representación.

𝐸𝐸𝑅 = 3.1412𝑄𝑖𝑛

−𝑊𝑖𝑛= 3.1412

𝑄𝑖𝑛

− 𝑄𝑖𝑛 +𝑄𝑜𝑢𝑡 (11)



Qout

Qin

EERWin

Figura 3. Representación de una máquina de Carnot para un aire acondicionado.

Valores térmicos de variables

A continuación se describen las ecuaciones para encontrar tanto las resistencias

térmicas como las capacitancias térmicas del circuito mostrado en la Fig.1

La capacitancia térmica es obtenida mediante la siguiente ecuación [17]:

𝐶 = 𝜌𝐶𝑝𝑉 (12)

donde:

C Es la capacitancia térmica en J/oC

𝜌 Densidad del material 𝐾𝑔 𝑚3 𝐶𝑝 Calor especifico del material J/kgoC

V Volumen m3

El valor tanto de 𝜌 como de 𝐶𝑝 son fácilmente obtenidos mediante tablas

dependiendo del tipo de material utilizado, mientras que V es totalmente dependiente

de las dimensiones de la casa-habitación.

La resistencia térmica se calcula:

𝑅 =1

𝑈𝐴 (13)

Donde

R Es la resistencia térmica en oC/W UA Conductancia térmica del material W/oC

En la ecuación (13) U también es obtenida de tablas, A es usada para

representar el área de las paredes o de las ventanas.



3. Implementación en Simulink

En las herramientas computaciones existentes, Matlab-Simulink es un software versátil,

de fácil uso, probado en muchas aplicaciones no solo en ingeniería, además bastante

completo y por ende es uno de los más usados tanto por ingenieros en diseño como

investigadores. La Fig. 4 muestra la programación de las ecuaciones (8) y (9) que

representan el sistema de ecuaciones diferenciales en este software.

WC

1

WWCR

1

WWCR

1

WWCR

2

+

+

+

-

s

1

iC

1

CWi RRC

111

iW CR

2

+

+

+

-

s

1iC

1

iCCR

2

Iinst

+

Tiempo (s)Te

mp

era

tura

Ra

dia

ció

n

so

lar

Tiempo (s)

24 +-

Termostato

1er ecuación diferencial

2a. ecuación diferencial

Figura 4 Modelado del sistema en Simulink.

Termostato

El calor extraído de la casa-habitación es controlada por la apertura y cierre del

interruptor de la Fig. 1 correspondiente a la condición del termostato mostrado en la Fig.

5. En esta figura, Thi y Tlo son los limites de temperatura que el termostato permite

oscilar alrededor del set point (temperatura deseada).



Set point

ThiTlo

On

Off

Figura 5. Termostato (Relay)

4. Resultados

La Figura 6 y 7 son usadas como una representación típica de la temperatura en el

medio ambiente y la radiación solar, respectivamente. Por otro lado, un aire

acondicionado de 12000 BTU es utilizado en una casa habitación de 4x4x2m con un

aislamiento térmico de fibra de vidrio, con el fin de realizar un análisis de su

comportamiento bajo diferentes condiciones de trabajo, específicamente de confort, y

para predecir el consumo de energía bajo estas condiciones.

Figura 6 Temperatura en el medio ambiente. Figura 7. Radiación solar.

Condiciones de referencia

En primer lugar el set point del termostato es ajustado a 23oC, posteriormente este set

point se cambia alrededor de este valor con el fin de analizar el consumo de energía,

además se realiza un análisis de termostatos programables "inteligentes" junto con sus

límites máximos y mínimos en donde el termostato puede fluctuar alrededor del set

point.

La Tabla 1 muestra una serie de simulaciones del AA bajo diferentes condiciones

de confort desde 22oC hasta 26oC con variaciones en sus límites de ±0.5 a ±1.5 oC para

0 5 10 15 20 2520

25

30

35

Tiempo (s)

Te

mp

era

tura

(o C

)

0 5 10 15 20 250

200

400

600

800

Tiempo (s)

Ra

dia

cio

n s

ola

r (W

)



cada uno de los casos, la última columna corresponde a la predicción del consumo de

energía eléctrica.

Tabla 1. Comportamiento del AA a 23oC

Set Point oC

Temp. Max. oC

Temp. Min oC

Potencia kWatts

1 22 22.5 21.5 10.86

2 22 23 21 10.73

3 22 23.5 20.5 10.67

4 23 23.5 22.5 8.96

5 23 24 22 8.96

6 23 24.5 21.5 8.55

7 24 24.5 23.5 7.29

8 24 25 23 7.03

9 24 25.5 22.5 7.02

10 25 25.5 24.5 5.69

11 25 26 24 5.43

12 25 26.5 23.5 5.17

Se puede observar en la Tabla 1 que mientras más calor se desea extraer del

espacio acondicionado mayor es el consumo de energía, tal y como era de esperarse,

por otro lado no existen cambios importantes con solo cambiar el ancho de banda

(limites de operación) del termostato, por ejemplo los renglones 7-9 el set point es de

24oC con un rango de operación de ±0.5 a ±1.5 oC y se observa que la potencia

consumida es aproximadamente 7 kWatts.

La Fig. 8 muestra el comportamiento de la temperatura dentro del espacio

acondicionado con un set point de 23oC, también se muestra los pulsos de potencia que

representan los encendidos y apagados del aire acondicionado controlados por el

termostato.



Figura 8. Comportamiento del AA a 23oC con límites de ±1 oC.

La Figura 9 muestra el comportamiento del set point programable para el

termostato. De las 00:00 hasta las 7:00am el set point es puesto a 25oC, de las 7:00am

a 15:00 la temperatura de referencia es cambiada a 23oC y de 15:00 a 21:00

nuevamente el set point es puesto a 25oC, todos con un ancho de banda de ±1 oC.

En la Figura 9 también se observa el comportamiento de la temperatura dentro

del espacio acondicionado, también se muestra el consumo de potencia del AA bajo

estas condiciones de trabajo. La potencia consumida al final del día es de 7.12kWatts

que puede ser comparable con los renglones 7-9 de la Tabla 1. Claramente se observa

un ahorro de energía con el solo hecho de programar el termostato considerando el

caso base de 23oC.

0 5 10 15 20 250

5

10

15

20

25

Tem

pera

tura

( o

C )

y P

ote

ncia

(1*1

0 2

Watt

s)

Tiempo (s)

Temperatura o C

Watts 1*102



Figura 9. Comportamiento del AA con un termostato programable con límites de

temperatura de ±1 oC.

4. Conclusiones

Este artículo presentó un análisis dinámico de un aire acondicionado. La metodología

fue implementada en matlab-simulik, se realizó un análisis en el consumo de energía de

acuerdo con las preferencias de confort y programación de la temperatura. Los

resultados obtenidos muestran claramente que existe un ahorro de energía cuando se

cuenta con un control programable. El modelo estudiado en este artículo tiene la

intención de investigar otros modelos matemáticos utilizados con el fin de optimizar el

consumo de energía eléctrica, tomando en cuenta las condiciones climatológicas y las

preferencias del usuario. Este método puede ser empleado para determinar la

capacidad adecuada de un aire acondicionado, considerando el volumen del espacio a

acondicionar y el consumo de energía con el fin de tener un ahorro de energía por el

uso de este equipo.

Referencias

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Lafayette (IN, USA): Purdue University.

[2] Chi J, Didion D. (1982). A simulation model of the transient performance of a heat

pump.

0 5 10 15 20 250

5

10

15

20

25

30

Tem

pera

tura

( o

C )

y P

ote

ncia

(1*1

0 2

Watt

s)

Tiempo (s)

Room Temp. (o C)

Set Point (o C)

Potencia 1*102 kWatts



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compression refrigeration system. ASHRAE

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state simulation of household refrigerators.

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[15] William H. Hayt. Análisis y circuitos en Ingeniería Mc Graw Hill

[16] Yunus A. Cengel. Termodinámica Tomo I y II Mc Graw Hill

[17] Richard J. Gran. Numerical Computing with simulink Vol 1. SIAM Society for

Industrial and Application Mathematics

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