INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CELAYA

Dinámica de sistemas

Fluidos Hidráulicos

Daniel Cruz Téllez

Alan Emmanuel Ibarra Martínez

Jose Carlos Gonzalez Figueroa

Jhovan Anibal Mancera Vazquez

18 de Febrero de 2015

1 Introducción

Como el mas versátil de los medios de la trans-misión de señales y de potencia, los �uidos, yasean gases o líquidos, tiene un extenso uso en laindustria. Los líquidos y los gases pueden difer-enciarse básicamente por sus incompresibilidadesrelativas y el hecho de que un liquido puede teneruna super�cie libre, en tanto que un gas se ex-pande para llenar su recipiente. Cabe mencionarque muchos de los sistemas hidráulicos son nolineales, sin embargo algunas veces es posible lin-ealizar sistemas no lineales de modo que se re-duzca su complejidad y se obtengan solucionesque sean su�cientemente exactas para muchospropósitos.

2 Propiedades de los �uidos

hidráulicos

2.1 Presión

Un concepto bastante importante en el estudio de�uidos es el de presión, la cual se divide en dostipos: La presión manométrica, que se re�ere aaquella presión que se mide con respecto a la pre-sión atmosférica. La presión absoluta es la sumade las presiones manométrica y barométrica (pre-sión atmosférica).

2.2 Densidad y volumen especi�co

La densidad de masa ρ de una sustancia es sumasa por unidad de volumen. Las unidadescomúnmente usadas son kg/m3, lb/ft3, slug/ft3.El volumen especí�co υ es el reciproco de la den-sidad ρ. Es el volumen ocupado por unidad demasa.

2.3 Peso y densidad especi�ca

El peso especí�co γ de una sustancia es su pesopor unidad de volumen. Las unidades común-mente usadas son N/m3, kgf/m

3. La densidad

especi�ca de una sustancia es la relación de supeso con respecto al peso de un volumen igualde agua a la presión atmosférica y temperaturaestándar.

2.4 Viscosidad

La viscosidad, es sin duda la propiedad más im-portante del �uido hidráulico, es una medida dela fricción interna o de la resistencia del �u-ido. La resistencia causada por un �uido almovimiento relativo de sus partes se llama vis-

cosidad dinámica o absoluta. Es la relación de suesfuerzo cortante a la razón de cambio en la de-formación cortante de un �uido. El coe�ciente deviscosidad dinámica o absoluta µ es la resistenciacausada por una lámina de �uido al movimientoparalelo a esa lamina u otra lámina del �uido auna distancia unitaria a ella, con una velocidad

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relativa unitaria. Las unidades del SI para laviscosidad dinámica son N − s/m2 y kg/m − s.Las unidades BES de viscosidad dinámica sonlbf − s/ft2 y slug/ft − s. La viscosidad cin-emática v es la viscosidad dividida entre la den-sidad de masa o

v =µ

ρ

donde ρ es la densidad de masa del �uido. Launidad en el SI de la viscosidad cinemática esm2/s y en el BES es ft2/s.

3 Leyes básicas del �ujo de �ui-

dos

3.1 Número de Reynolds

La relación adimensional de la fuerza de inerciacon respecto a la fuerza viscosa se llama número

de Reynolds. Así pues, un número de Reynoldsgrande indica el predominio de la fuerza de in-ercia y un número pequeño el predominio de laviscosidad. El numero de Reynols R esta dadopor

R =ρυD

µ

donde ρ es la densidad de masa del �uido, µla viscosidad dinámica, υ la velocidad promediodel �ujo y D una longitud característica. Parael �ujo en tubos, la longitud característica es eldiámetro interior del tubo.

3.2 Flujo laminar y �ujo turbulento

El �ujo dominado por la fuerza de viscosidad sellama �ujo laminar. Esta caracterizado por unmovimiento del �ujo suave, según lineas parale-las. Para R < 2000, el �ujo es siempre laminar.Para R > 4000, el �ujo es usualmente turbulentoexcepto en casos especiales. En general el �ujoen un tubo es laminar si la sección transversaldel conducto es comparativamente pequeña y/ola longitud del tubo es relativamente grande. Deotro modo resulta el �ujo turbulento.

3.3 Ecuaciones de continuidad

Las ecuaciones de continuidad se obtienen apli-cando el principio de conservación de la masa del

�ujo. Este principio establece que la masa den-tro de un sistema permanece constante con eltiempo. De�niendo las descargas Q1 y Q2 como

Q1 = A1V1, Q2 = A2V2

podemos escribir las ecuación de continuidadcomo

A1V1 = A2V2

donde V1 y V2 son las velocidades promedio, A1

y A2 las secciones transversales de los conductos.

3.4 Ecuación de Bernoulli

Para un �ujo estable, sin fricción (signi�ca que el�ujo tiene viscosidad despreciable) e incompresi-ble, la ecuación de Euler de movimiento en �ujoestable

υdυ +dp

ρ+ gdz = 0

puede ser integrada para obtener

υ2

2+p

ρ+ gz = constante

dividiendo ambos lados entre g, tenemos

υ2

2g+p

γ+ z = constante

donde γ = ρg. Esta ecuación se llama ecuación

de Bernoulli. Cada uno de sus términos tiene ladimensión de longitud. Esta ecuación muestraque a lo largo de un tubo de corriente la sumade la velocidad υ2/2g, la presión p/γ y la alturapotencial z es constante. Si la velocidad en al-guna sección se incrementa, la presión de alturamás la altura potencial deben decrecer y vicev-ersa; esto es, la altura total en todas las seccioneses constante.

3.5 Relación presión-altura

Una relación muy importante para el modeladode sistemas hidráulicos es la relación que se en-cuentra entre la presión P y la altura h. Estarelación establece que

R =dP

dQ

por la relación de presión manométrica P = ρghpara una diferencia de presiones P1 − P2 = h1 −h2. Esto solo se cumple si los tanques contienenel mismo �uido.

2

4 Analogía con sistemas eléctri-

cos

4.1 Resistencia

La resistencia de un elemento físico (ya semecánico, eléctrico o hidráulico) puede de�nirsecomo el cambio en potencial requerido para pro-ducir un cambio unitario en la corriente, razón de�ujo o velocidad. En los sistemas hidráulicos lasválvulas o cambios de diámetro en las tuberíasrepresentan los elementos resistivos mas impor-tantes y por concepto son: cambio en la presióndiferencial necesaria para hacer un cambio uni-tario en la razón de �ujo.

R =dP

dQ

4.2 Capacitancia

La capacitancia de un elemento físico puedede�nirse como el cambio en la cantidad de mate-rial o distancia requerida para producir un cam-bio unitario en potencial. En un sistema llenode líquido, la cantidad de material puede ser elvolumen del liquido, y el potencial puede ser, yasea la presión o la altura. En este caso se toma elárea de la base del tanque como la capacitancia.

4.3 Inertancia

Los términos de inertancia, inercia e inductan-

cia se re�eren al cambio de potencial necesariopara producir una razón de cambio unitaria enla razón de �ujo, la velocidad o la corriente.1

5 Elaboración de modelos

matemáticos para sistemas

de nivel de líquido

En este ejemplo se busca una ecuación que rela-cione la altura h1 con el �ujo de entrada qi,

1Al obtener modelos matemáticos de tanques llenos

de líquido conectados por tubos con ori�cios, válvulas,

etcétera, solo la resistencia y la capacitancia son impor-

tantes, y los efectos de la inertancia del �ujo líquido

pueden ser despreciables. Tal inertancia del �uido se hace

importante sólo en casos especiales. Por ejemplo en la vi-

bración transmitida a través del agua.

tomando en cuenta el modelo esquemático pre-sentado en la �gura 1.

Figura 1: Diagrama esquemático

Como primer paso se considera la ecuación decontinuidad de volumen

V = qi − qo

donde

V = Adh

dt= qi − qo

Debido a que existe una oposición al �uido porla válvula en el �ujo de salida

qoR = P1 − P2

Por ser líquidos iguales en ambas presiones sepuede decir que

P1 − P2 =��ρgh1 −��ρgh2

P1 − P2 = h1 − h2

Pero P2 es la referencia 2, por lo tanto es cero, yse obtiene

qoR = hi

qo =h1R

De esta manera se obtiene una ecuación en tér-minos de cambio de altura hi

Adhidt

= qi −1

Rhi

2En la mayoría de los casos de estudio de sistemas

hidráulicos la presión atmosférica se toma como referencia

(0).

3

Recordando la analogía con circuitos eléctricos,se sustituye A por C (área de la base del tanquepor capacitancia)

Cdhi(t)

dt+

1

Rhi(t) = qi(t)

Para este ejemplo se tendría el circuito análogoque se observa en la �gura 2.

Figura 2: Circuito análogo

6 Bibliografía

Ogata, K. (1987).Dinámica de sistemas. México:Prentice-Hall Hispanoamericana.

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