MODELACIÓN MATEMÁTICA DE SISTEMAS...
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1 MODELACIÓN MATEMÁTICA DE SISTEMAS TERRESTRES Dr. Ismael Herrera Revilla Instituto de Geofísica, UNAM http://www.mmc.igeofcu.unam.mx/iherrera/
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MODELACIÓN MATEMÁTICA DE SISTEMAS TERRESTRES Dr. Ismael Herrera Revilla Instituto de Geofísica, UNAM http://www.mmc.igeofcu.unam.mx/iherrera/
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PREFACIO
La Predicción Científica
La necesidad de entender su entorno y anticiparse a los acontecimientos, tiene raíces muy
profundas en el ser humano. Desde la prehistoria, el hombre trató de predecir a la
naturaleza, pues de ella dependía su supervivencia, para lo cual inicialmente nuestros
antepasados utilizaron a la brujería, así como el pensamiento mágico y el religioso. Sin
embargo, el medio más efectivo para predecir el comportamiento de la naturaleza es el
método científico y es por eso que este anhelo humano ancestral, a través de la Historia, ha
sido motor de la Ciencia.
En el ámbito mundial, la capacidad que existe en la actualidad para predecir el
comportamiento, tanto de los sistemas naturales como de los creados por los seres
humanos, es tan impresionante que es apropiado describirla como una de las maravillas del
Siglo XXI, aunque esta capacidad tuvo un desarrollo paulatino que se consolidó en la
segunda mitad del Siglo XX. La maduración y el progreso de la predicción científica es, sin
duda, el resultado del avance general de la Ciencia, pero además ha habido elementos
catalizadores esenciales sin los cuales esto no hubiera sido posible, porque la predicción
científica, además de ser científica, es matemática y computacional. En la actualidad,
cuando deseamos predecir el comportamiento de un sistema, los conocimientos científicos
y tecnológicos se integran en modelos matemáticos los cuales se convierten en programas
de cómputo que son ejecutados por las computadoras electrónicas.
Aunque el sólo hecho de poseer esta capacidad nos llena de satisfacción y orgullo, sin
embargo, aún más trascendente es el hecho de que ella también es la base de una gran parte
del extraordinario progreso material que la humanidad ha experimentado en épocas
recientes. En efecto, nuestra facultad para predecir es una herramienta muy poderosa de la
ingeniería, de la tecnología y de la ciencia misma la cual, entre otras muchas cosas, nos ha
permitido ampliar la disponibilidad de los recursos naturales y utilizarlos con mayor
eficiencia. Pero ésta solamente es una pequeña ilustración de los grandes beneficios que la
capacidad de predecir del comportamiento de los sistemas naturales, los medios de
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producción, las obras civiles, y, en fin, de todos los sistemas de interés para los seres
humanos y la sociedad, ha proporcionado a los seres humanos. Porque ella es fundamental
para controlarlos y así aprovecharlos mejor. En realidad, este propósito de controlar los
sistemas de interés para el ser humano, constituye el objetivo fundamental de la ingeniería
y la tecnología, el cual se efectúa a través de sus operaciones básicas:
1. El diseño racional,
2. La operación óptima,
3. Previsión de los fenómenos naturales,
4. La administración científica,
5. Etcétera.
Por otra parte, la importancia de la predicción científica en el avance de la ciencia misma
no debe soslayarse, pues ella es fundamental para alcanzar una comprensión más profunda
de los fenómenos; también es esencial en el diseño, comprobación e interpretación de los
experimentos científicos.
La diversidad de los sistemas de interés
En términos muy generales, los sistemas que son importantes para los seres humanos
pertenecen al ámbito físico, otros al biológico, algunos más al social, y también los hay que
son una combinación de ellos. En lo que sigue el foco de nuestra atención se centra en los
sistemas que pertenecen al ámbito físico. De entre los sistemas que interesan a la sociedad
se ha seleccionado la siguiente lista para ilustrar su diversidad y complejidad.
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Ríos
Acuíferos
Lagos
Océanos
Ambientales
Infraestructura
Obras Civiles
Presas
Suelos
Industriales
Petroleros
Geotérmicos
Transporte Terrestre
Comunicaciones
Eléctricos
Sísmicos
Atmosféricos
Clima
Biomédicos
Aeronáuticos
Mecánicos
Si a la gran diversidad de los sistemas de interés agregamos su extraordinaria complejidad,
las dificultades para desarrollar metodologías efectivas para la predicción de su
comportamiento parecerían insuperables. Sin embargo, con el concurso de una multitud de
mentes brillantes y a través de un largo proceso de perfeccionamiento, superando metas
cada vez más ambicionas, se ha llegado a establecer en el ámbito mundial una metodología
que reúne las siguientes características: claridad, generalidad y sencillez. De ellas,
llamadas paradigmas del pensamiento matemático, se derivan grandes ventajas. La
claridad de pensamiento da seguridad. Al abordar sistemas tan diversos como los que
intervienen en las actividades humanas, la generalidad permite una gran economía de
esfuerzo. Y la sencillez, que es la magia de convertir lo complicado y difícil en sencillo y
fácil, al simplificar el tratamiento de los sistemas complicados abre la puerta para abordar
los aún más complejos. Así, los paradigmas del pensamiento matemático son
evidentemente características de enorme valor y son ellos los que han permitido abordar
con eficacia el extraordinario reto al ingenio humano, que representa la predicción
científica. Por otra parte, estos paradigmas debido a su potencia como instrumentos
metodológicos pueden parecer quiméricos e inalcanzables. Sin embargo, la ciencia
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internacional ha establecido procedimientos que aplicados sistemáticamente periten
lograrlos. Ellos son métodos de pensamiento:
1. El método de la claridad es la precisión en el lenguaje y el rigor en el pensamiento;
2. El método de la generalidad consiste en identificar lo que es común en lo
aparentemente diverso e incorporarlo en conceptualizaciones abstractas; y
3. El método de la sencillez consiste en identificar lo que es esencial en los problemas
y en los modelos. La experiencia, que muchos han vivido, consistente en enfrentar
un problema aparentemente complicado y difícil hasta que, súbitamente, un cambio
de punto de vista da lugar a que la estructura complicada se derrumbe y de sus
escombros surja „la figura nítida y sencilla que es su esencia‟. Ésta es sin duda una
experiencia estética, de gran belleza, pero además las simplificaciones alcanzadas
de esta manera suelen ser muy útiles.
Estos tres paradigmas están presentes y se les reconoce como de gran valor en la llamada
matemática pura. No es frecuente, sin embargo, que se les mencione y menos aún que se
reconozca su importancia en la matemática aplicada. Por eso es necesario destacar que su
uso permanente es el procedimiento más eficaz para introducir y desarrollar metodología de
la predicción científica, el cual permite establecer bases para una formación ambiciosa y
avanzada tanto del profesional como del investigador de los diferentes campos de la
ciencia, la ingeniería y la tecnología. Y ese es el enfoque con el que se desarrollan las
presentes notas de “Modelación Matemática y Computacional de la Ciencia y la
Ingeniería”.
Para alcanzar la generalidad se establece un objetivo suficientemente amplio: desarrollar
la capacidad para predecir el comportamiento de los sistemas de interés en ciencia e
ingeniería. Este objetivo general no solamente es relevante, sino fundamental, pues las
operaciones básicas de la ingeniería y la tecnología, tales como el diseño y la operación de
los sistemas se vuelven fáciles cuando se dispone de esta capacidad. Escogerlo de esta
manera implica en sí, un ejercicio de abstracción. Se ha identificado algo que es común en
actividades aparentemente diversas: el diseño de una estructura, la explotación óptima de
un yacimiento petrolero, un plan de saneamiento de un acuífero contaminado, minimizar el
hundimiento de la Ciudad de México cuando se extrae el agua subterránea de su subsuelo,
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el diseño de una escollera, etc. Para la predicción científica se adopta un método también
muy general: la modelación, la cual consiste en utilizar modelos de los sistemas de interés.
Aquí, se entiende por modelo a un sustituto del sistema original, de cuyo comportamiento
es posible derivar el del sistema de interés. En particular, se estudiarán modelos
matemáticos de los sistemas de interés en ciencia e ingeniería. Es oportuno observar que la
mayor parte de los sistemas de interés en ciencia e ingeniería, en particular todos los de la
lista que se incluyó en el texto anterior, aunque son sistemas físicos, no son susceptibles de
ser modelados utilizando la Mecánica Cuántica. Esto se debe a que dichos sistemas
pertenecen a la „física macroscópica‟, mientras que la Mecánica Cuántica proporciona una
metodología apropiada para el estudio de la „física microscópica‟. La diferencia
fundamental entre estas dos ramas de la Física es que la física microscópica estudia a las
partículas que forman una molécula o un átomo, mientras que la física macroscópica
estudia los sistemas físicos que están formados por una cantidad enorme, innumerable, de
moléculas. Así, la atmósfera, el océano, una estructura, un río, un yacimiento petrolero,
geotérmico, o un acuífero, etc., son sistemas físicos macroscópicos.
Los fundamentos de la física macroscópica los proporciona la „Teoría de los Medios
Continuos‟. En este curso, con base en ella se introduce una formulación clara, general y
sencilla de los modelos matemáticos de los sistemas continuos. Esta formulación es tan
sencilla y tan general, que los modelos básicos de sistemas tan complicados y diversos
como la atmósfera, los océanos, los yacimientos petroleros, o los geotérmicos, se derivan
por medio de la aplicación repetida de una sola ecuación diferencial: „la ecuación
diferencial de balance‟. Ducha formulación también es muy clara, pues en el modelo
general no hay ninguna ambigüedad; en particular, todas las variables y parámetros que
intervienen en él, están definidos de manera unívoca. En realidad, este modelo general de
los sistemas continuos constituye una realización extraordinaria de los paradigmas del
pensamiento matemático. Con las ideas simplificadoras pasa lo mismo que con „el huevo de
Colón‟: tienen siempre el riesgo de ser menospreciadas. Para apreciarlas adecuadamente es
necesario intentar resolver los problemas sin su auxilio. El descubrimiento del hecho de que
los modelos matemáticos de los sistemas continuos, independientemente de su naturaleza y
propiedades intrínsecas, pueden formularse por medio de balances, cuya idea básica no
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difiere mucho de los balances de la contabilidad financiera, fue el resultado de un largo
proceso de perfeccionamiento en el que concurrieron una multitud de mentes brillantes [ ].
Aunque la capacidad para formular los modelos matemáticos de sistemas complicados y de
gran diversidad, es sin duda una contribución fundamental para el avance de la ciencia y
sus aplicaciones, tal contribución quedaría incompleta y, debido a ello, sería poco fecunda,
si no se hubiera desarrollado simultáneamente su complemento esencial: la computación
electrónica. Los modelos matemáticos de los sistemas continuos son ecuaciones
diferenciales, las cuales son parciales para casi todos los sistemas de mayor interés en la
ciencia y la ingeniería, o sistemas de tales ecuaciones. Salvo para los problemas más
sencillos, no es posible obtener por métodos analíticos las soluciones de tales ecuaciones,
que son las que permiten predecir el comportamiento de los sistemas. En cambio, la
diversidad y complejidad de problemas que pueden ser tratados con métodos numéricos es
impresionante. Sin embargo, la cantidad de cálculos aritméticos que requiere la aplicación
de esta clase de métodos, aún para ecuaciones diferenciales relativamente sencillas, está
muy por encima de la capacidad humana para realizarlos.
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CAPÍTULO 1.
MÉTODO SISTEMÁTICO PARA LA FORMULACIÓN DE LOS MODELOS
La técnica general que se utiliza para realizar la predicción es la modelación. Es decir, en
ella se construyen modelos y con ellos se predice el comportamiento del sistema que
interesa.
1.1 Los Modelos
Un modelo de un sistema es un sustituto de cuyo comportamiento es posible derivar el
correspondiente al sistema original. Los modelos matemáticos, en la actualidad, son los
utilizados con mayor frecuencia y también los más versátiles. En las aplicaciones
específicas están constituidos por programas de cómputo cuya aplicación y adaptación a
cambios de las propiedades de los sistemas es relativamente fácil. También, sus bases y las
metodologías que utilizan son de gran generalidad, por lo que es posible construirlos para
situaciones y sistemas muy diversos.
Los modelos matemáticos son entes en los que se integran los conocimientos científicos y
tecnológicos, con los que se construyen programas de cómputo que se implementan con
medios computacionales. En la actualidad, la simulación numérica permite estudiar
sistemas complejos y fenómenos naturales que sería muy costoso, peligroso o incluso
imposible de estudiar por experimentación directa. En esta perspectiva la significación de
los modelos matemáticos en Ciencias e Ingeniería es clara, porque la modelación
matemática constituye el método más efectivo de predecir el comportamiento de los
diversos sistemas de interés. En nuestro país, ellos son usados ampliamente en la industria
petrolera, en las ciencias y la ingeniería del agua, en la industria automotriz y en muchas
otras.
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En este curso, estudiaremos las bases de la modelación matemática y computacional de
sistemas físicos macroscópicos. Una gran parte de los sistemas de la ingeniería y tecnología
son de esta clase. La física macroscópica incluye, por ejemplo, las estructuras de la
Ingeniería Civil, los suelos, los problemas de la Hilología, tanto superficial como
subterránea, la mecánica de los yacimientos petroleros, la propagación de las ondas
sísmicas, la dinámica de los océanos y de la atmósfera, etc.
1.2 Física Microscópica y Física Macroscópica
La materia, cuando se le observa en el ámbito ultramicroscópico, está formada por
moléculas y átomos. Estos a su vez, por partículas aún más pequeñas como los protones,
neutrones y electrones. La predicción del comportamiento de estas partículas es el objeto de
estudio de la mecánica cuántica y la física nuclear. Sin embargo, cuando deseamos predecir
el comportamiento de sistemas tan grandes como la atmósfera o un yacimiento petrolero,
los cuales están formados por un número extraordinariamente grande de moléculas y
átomos, su estudio resulta inaccesible con esos métodos y en cambio el enfoque
macroscópico es apropiado. Por eso en lo que sigue distinguiremos dos enfoques para el
estudio de la materia y su movimiento. El primero -el de las moléculas, los átomos y las
partículas elementales- es el enfoque microscópico y el segundo es el enfoque
macroscópico. Al estudio de la materia con el enfoque macroscópico, se le llama Física
Macroscópica y sus bases teóricas las proporciona la Mecánica de los Medios Continuos.
Cuando se estudia la materia con este último enfoque, se considera que los cuerpos llenan
el espacio que ocupan, es decir que no tienen huecos, que es la forma en que los vemos sin
el auxilio de un microscopio. Por ejemplo, el agua llena todo el espacio del recipiente
donde está contenida; nuestro escritorio de trabajo es un continuo de materia perfectamente
delimitado. Este enfoque macroscópico está presente en la física clásica. La ciencia ha
avanzado y ahora sabemos que la materia está llena de huecos, que nuestros sentidos no
perciben y que la energía también está cuantizada. A pesar de que estos dos enfoques para
el análisis de los sistemas físicos, el microscópico y el macroscópico, parecen a primera
vista conceptualmente contradictorios, ambos son compatibles, y complementarios, y es
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posible establecer la relación entre ellos utilizando a la Mecánica Estadística. La Teoría de
los Sistemas Macroscópicos es aplicable no solamente a sistemas físicos, sino también a
sistemas químicos y a algunos sistemas formados por seres vivos. Así, en algunos casos es
posible predecir el movimiento y evolución de poblaciones formadas por seres vivos
microscópicos. Para ello, se ignora a los individuos microscópicos y se les considera
distribuidos en todo el espacio de estudio.
Muchos sistemas de la Ingeniería y de las Ciencias Aplicadas se estudian con la Mecánica
de los Medios Continuos. Entre los sistemas que requieren de la aplicación de la Teoría del
Continuo para realizar la predicción de su comportamiento, están las estructuras, los suelos,
las cimentaciones, y la corteza y el interior profundo de la Tierra; el flujo sanguíneo, el
sistema mecánico de los huesos, los depósitos de recursos naturales como el petróleo o el
agua subterránea, la atmósfera y el estado del tiempo. Intentar, por ejemplo, predecir el
estado del tiempo simulando cada una de las partículas de la atmósfera es una tarea
monumental completamente imposible de realizar, por ahora y en el futuro previsible, a
pesar de los grandes recursos computacionales a nuestro alcance.
1.3.- Cinemática de los sistemas continuos En la Teoría de los Sistemas Continuos, los cuerpos llenan todo el espacio que ocupan. Y
en cada punto del espacio físico hay una y solamente una partícula. Así, definimos como
sistema continuo a un conjunto de partículas. Aún más, dicho conjunto es un subconjunto
del espacio Euclidiano tridimensional. Un cuerpo es un subconjunto de partículas que en
cualquier instante dado ocupa un dominio, en el sentido matemático, del espacio físico; es
decir, del espacio euclidiano tridimensional. Denotaremos por ( )B t a la región ocupada por
el cuerpo B , en el tiempo t . Donde t puede ser cualquier número real; es
decir t . Frecuentemente, sin embargo, nuestro interés de estudio se limitará a un
intervalo finito de tiempo. Dado un cuerpo B , todo subdominio BB ~
, constituye a su
vez otro cuerpo; en tal caso, se dice que BB ~
es un subcuerpo de B . De acuerdo con lo
mencionado antes, una hipótesis básica de la teoría de los sistemas continuos es que en
cualquier tiempo, ( , )t , y en cada punto, )(tBx , de la región ocupada por el
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cuerpo, hay una y solo una partícula del cuerpo B . Como nuestro estudio incluye no
solamente la estática (es decir, los cuerpos en reposo), sino también la dinámica (es decir,
los cuerpos en movimiento), un primer problema de la cinemática de los sistemas continuos
consiste en establecer un procedimiento para identificar a las partículas cuando están en
movimiento.
, en el espacio físico,
Sea X una partícula y ,p X t el vector de la posición que ocupa, en el espacio físico,
dicha partícula en el tiempo t . Una forma, pero no la única, de identificar a la partícula, X ,
es asociándole la posición que ocupa en un instante determinado. Tomaremos en particular
el tiempo 0t . En tal caso
,0p X X (1.1)
A las coordenadas del vector 1 2 3, ,X X X X , se les llama las coordenadas materiales de
la partícula. En este caso, las coordenadas materiales de una partícula son las coordenadas
del punto del espacio físico que ocupaba la partícula en el tiempo inicial, 0t . Desde
luego, el tiempo inicial puede ser cualquier otro, si así se desea. Sea B el dominio ocupado
por un cuerpo en el tiempo inicial, entonces X B si y solamente si la partícula X es del
cuerpo. Es decir, B caracteriza al cuerpo. Sin embargo, debido al movimiento, la región
ocupada por el mismo cambia con el tiempo y será denotada por ( )B t . Ver Figura 1.
Formalmente, para cualquier ( , )t , ( )B t se define por
3( ) ,B t x R X x p X t B (1.2)
El vector de posición, ( , )X tp , es función del vector (tridimensional) X y del tiempo. Si
fijamos el tiempo t , ( , )X tp define una transformación del espacio euclidiano 3R en sí
mismo y la ecuación (1.2) es equivalente a (B, )B t tp . Una notación utilizada para
representar esta familia de mapeos es ( , )tp . De acuerdo a la hipótesis de los sistemas
continuos: En cualquier tiempo ( , )t y en cada punto )(tBx de la región ocupada
por el cuerpo hay una, y solo una, partícula del cuerpo B para cada t fijo. Es decir,
( , )tp es un mapeo biunívoco, por lo que existe el mapeo inverso 1
, tp. Ver Figura 2.
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Si se fija la partícula, X , en la función ( , )X tp y se varía el tiempo t , se obtiene su
trayectoria. Esto permite obtener la velocidad de cualquier partícula, la cual es un concepto
central en la descripción del movimiento. Ella se define como la derivada con respecto al
tiempo de la posición cuando la partícula se mantiene fija. Es decir, es la derivada parcial
con respecto al tiempo de la función de posición, ( , )X tp . Por lo mismo, la velocidad
como función de las coordenadas materiales de las partículas, está dada por
( , ) ( , );p
V X t X tt
(1.3)
B B(t)
t
x
tiempo incial
X
,p X t
1,p x t
B B(t)
t
x
Coordenadas materiales
tiempo incial
X
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1.4.- Propiedades intensivas y sus representaciones En lo que sigue estudiaremos funciones definidas, para cada tiempo, en cada una de las
partículas de un sistema continuo. A tales funciones se les llama „propiedades intensivas‟.
Las propiedades intensivas pueden ser funciones escalares o funciones vectoriales. Por
ejemplo, la velocidad, definida por la Ec.(1.3), es una función vectorial que depende de la
partícula X y del tiempo t . Una propiedad intensiva con valores vectoriales es equivalente
tres escalares, correspondientes a cada una de sus tres componentes. Hay dos formas de
representar a las propiedades intensivas: la representación euleriana y la representación
lagrangiana. Los nombres son en honor a los matemáticos Leonard Euler (1707-1783) y
Joseph Louis Lagrange (1736-1813), respectivamente. Frecuentemente, el punto de vista
lagrangiano es utilizado en el estudio de los sólidos, mientras que el euleriano se usa más
en el estudio de los fluidos.
Considere una propiedad intensiva escalar, la cual en el tiempo, t , toma el valor, ),( tX ,
en la partícula X . Entonces, de esta manera se define una función 1: R B , para cada
,t , a la que se denomina representación lagrangiana de la propiedad intensiva
considerada. Ahora, sea ( , )x t el valor que toma esa propiedad en la partícula que ocupa
la posición x , en el tiempo t . En este caso, para cada ,t se define una función
1: B t R , a la cual se denomina representación euleriana de la función considerada.
Estas dos representaciones de una misma propiedad están relacionadas por la siguiente
identidad:
( , ) ( ( , ), );X t p X t t (1.4)
Note también que aunque ambas representaciones satisfacen la Ec.(1.4), las funciones
( , )X t y ( , )x t no son idénticas. Sus argumentos X y x son vectores tridimensionales
(es decir, puntos de 3R ); sin embargo, si tomamos x X , en general
, ,X t X t (1.5)
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La expresión de la velocidad de una partícula dada por la Ec.(1.3), define a su
representación lagrangiana, por lo que utilizando la Ec.(1.4) es claro que
, ( , ) ( ( , ), )p
X t V X t p X t tt
v (1.6)
donde ( , )x tv es la representación euleriana de la velocidad. Por lo mismo
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( , ) ( ( , ), );x t V p x t t
v (1.7)
Esta ecuación tiene la interpretación de que la velocidad en el punto x del espacio físico, es
igual a la velocidad de la partícula que pasa por dicho punto en el instante t . La Ec.(1.7) es
un caso particular de la relación:
1
( , ) ( ( , ), );x t p x t t
(1.8)
de validez general, la cual es otra forma de expresar la relación de la Ec.(1.4) que existe
entre las dos representaciones de una misma propiedad intensiva.
La derivada parcial con respecto al tiempo de la representación lagrangiana, ( , )X t , de
una propiedad intensiva, de acuerdo a la definición de la derivada parcial de una función, es
la tasa de cambio con respecto al tiempo que ocurre en una partícula fija. Es decir, si nos
montamos en una partícula y medimos a la propiedad intensiva y luego los valores así
obtenidos los derivamos con respecto al tiempo, el resultado final es ( , ) /X t t . En
cambio, si ( , )x t es la representación euleriana de esa misma propiedad, entonces
( , ) /x t t es simplemente tasa de cambio con respecto al tiempo que ocurre en un punto
fijo en el espacio. Tiene interés evaluar la tasa de cambio con respecto al tiempo que ocurre
en una partícula fija, cuando se usa la representación euleriana. Derivando con respecto al
tiempo a la identidad de la Ec.(1.4) y la regla de la cadena, se obtiene
3
1
( , )( ( , ), ) ( ( , ), ) ,i
i i
pX tp X t t p X t t X t
t t x t
(1.9)
Se acostumbra definir el símbolo /D Dt por
3
1
/ / /i i
i
D Dt t x
v (1.10)
o, más brevemente,
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/ /D Dt t v (1.11)
Utilizando esta notación, se puede escribir
( , )
/ ( , ), / ( , ),X t
D Dt p X t t t p X t tt
v (1.12)
Por ejemplo, la aceleración de una partícula se define como la derivada de la velocidad
cuando se mantiene a la partícula fija. Aplicando la Ec.(1.11) se tiene
/ /D Dt t v v v v (1.13)
Una expresión más transparente se obtiene aplicando la Ec.(1.11) a cada una de las
componentes de la velocidad. Así, se obtiene
/ /i i iD Dt t v v v v (1.14)
Desde luego, la aceleración, en representación Lagrangiana es simplemente
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2, ,V X t p X t
t t
(1.15)
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1.5.- Propiedades Extensivas En la sección anterior se consideraron funciones definidas en las partículas de un cuerpo;
más precisamente, funciones que hacen corresponder a cada partícula y cada tiempo un
número real, o un vector del espacio Euclidiano tridimensional, 3 R . En ésta, en cambio,
empezaremos por considerar funciones que a cada cuerpo, B , de un sistema continuo, y a
cada tiempo , t , le asocia un número real o un vector de 3 R . A una función de este tipo,
,E tB , se le llama „propiedad extensiva‟ cuando esta dada por una integral:
, ( , ) ;B t
E t x t d x B (1.16)
Observe que, en tal caso, el integrando define una función ( , )x t y, por lo mismo, una
propiedad intensiva. En particular, la función ( , )x t es la representación Euleriana de esa
propiedad intensiva. Además, la Ec.(1.16) establece una correspondencia biunívoca entre
las propiedades extensivas y las intensivas, porque dada la representación Eulereana,
( , )x t , de cualquier propiedad intensiva, su integral sobre el dominio ocupado por
cualquier cuerpo, define una propiedad extensiva. Finalmente, la notación empleada en la
Ec.(1.16) es muy explicita, pues ahí se ha escrito ,E tB para enfatizar que el valor de la
propiedad extensiva corresponde al cuerpo B . Sin embargo, en lo que sucesivo, se
simplificara la notación omitiendo el símbolo B ; es decir, se escribirá E t en vez de
,E tB .
Hay diferentes formas de definir a las propiedades intensivas. Como aquí lo hemos hecho,
es por unidad de volumen. Sin embargo, es frecuente que se les defina por unidad de masa
[Allen, Herrera & Pinder]. Es fácil ver que la propiedad intensiva por unidad de volumen es
igual a la propiedad intensiva por unidad de masa multiplicada por la densidad de masa (es
decir, masa por unidad de volumen), por lo que es fácil pasar de un concepto al otro,
utilizando la densidad de masa. Sin embargo, una ventaja de utilizar a las propiedades
intensivas por unidad de volumen, en lugar de las propiedades intensivas por unidad de
masa, es que la correspondencia entre las propiedades extensivas y las intensivas es más
directa: dada una propiedad extensiva, la propiedad intensiva que le corresponde es la
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función que aparece como integrando, cuando aquélla se expresa como una integral de
volumen. Además, del cálculo se sabe que
0 0
( , )( )
( , ) lim lim ;B t
Vol Vol
t dE t
x tVol Vol
(1.17)
La Ec.(1.17) proporciona un procedimiento efectivo para determinar las propiedades
extensivas experimentalmente: se mide la propiedad extensiva en un volumen pequeño del
sistema continuo de que se trate, se le divide entre le volumen y el cociente que se obtiene
es una buena aproximación de la propiedad intensiva.
El uso que haremos del concepto de propiedad extensiva es, desde luego, lógicamente
consistente. En particular, cualquier propiedad que satisface las condiciones de la
definición de propiedad extensiva establecidas antes es, por ese hecho, una propiedad
extensiva. Sin embargo, no todas las propiedades extensivas que se nos pueden obtener de
esta manera son de interés en la mecánica de los medios continuos. Una razón básica por la
que ellas son importantes es porque el modelo general de los sistemas continuos se formula
en términos de ecuaciones de balance de propiedades extensivas, como se verá más
adelante.
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1.6. Balance de Propiedades Extensivas e Intensivas Los modelos matemáticos de los sistemas continuos están constituidos por balances de
propiedades extensivas. Por ejemplo, los modelos de transporte de solutos (los
contaminantes transportados por corrientes superficiales o subterráneas, son un caso
particular de estos procesos de transporte) se construyen haciendo el balance de la masa de
soluto que hay en cualquier dominio del espacio físico. Aquí, el término balance se usa,
esencialmente, en un sentido contable. En la contabilidad que se realiza para fines
financieros o fiscales, la diferencia de las entradas menos las salidas nos da el aumento, o
cambio, de capital. En forma similar, en la mecánica de los medios continuos se realiza, en
cada cuerpo del sistema continuo, un balance de las propiedades extensivas en que se basa
el modelo.
1.6.1 Ecuación de balance global
Para realizar tales balances es necesario, en primer lugar, identificar las causas por las que
las propiedades extensivas pueden cambiar. Tomemos como ejemplo de propiedad
extensiva a las existencias de maíz que hay en el país. La primera pregunta es: qué causas
pueden motivar su variación, o cambio, de esas existencias. Un análisis sencillo nos
muestra que dicha variación puede ser debida a que se produzca o se consuma. También a
que se importe o se exporte por los límites del país (fronteras o litorales). Y con esto se
agotan las causas posibles; es decir, esta lista es exhaustiva. Producción y consumo son
términos similares, pero sus efectos tienen signos opuestos, que fácilmente se engloban en
uno solo de esos conceptos. De hecho, si convenimos en que la producción puede ser
negativa, entonces el consumo es una producción negativa. Una vez adoptada esta
convención, ya no es necesario ocuparnos separadamente del consumo. En forma similar, la
exportación es una importación negativa. Entonces, el incremento en las existencias, E ,
en un período, t , queda dado por la ecuación
E P I (1.18)
Donde a la producción y a la importación, ambas con signo, se les ha representado por P e
I , respectivamente.
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Similarmente, en la mecánica de los medios continuos, la lista exhaustiva de las causas por
las que una propiedad extensiva de cualquier cuerpo puede cambiar, contiene solamente
dos motivos:
i. Por producción en el interior del cuerpo; y
ii. Por importación (es decir, transporte) a través de la frontera.
Esto conduce a la siguiente ecuación de “balance global”, de gran generalidad, para las
propiedades extensivas:
( ) ( , ) ( , ) ( , )B t B t t
dEt g x t d x q x t d x g x t d x
dt
(1.19)
Donde ( , )g x t es la generación en el interior del cuerpo, con signo, de la propiedad
extensiva correspondiente, por unidad de volumen, por unidad de tiempo. Además, en la
Ec.(1.19) se ha tomado en cuenta la posibilidad de que haya producción concentrada en la
superficie t , la cual está dada en esa ecuación por la última integral, donde ( , )g x t es
la producción por unidad de área. Por otra parte, ,q x t es lo que se importa, o transporta,
hacia e interior del cuerpo a través de la frontera del cuerpo ( )B t ; en otras palabras, es el
flujo de la propiedad extensiva a través de la frontera del cuerpo, por unidad de área, por
unidad de tiempo. Puede demostrarse, con base en hipótesis válidas en condiciones muy
generales, que para cada tiempo, t , existe un campo vectorial ,x t tal que
, , ,q x t x t n x t (1.20)
donde ,n x t es normal exterior a B t . En vista de esta relación, la ecuación de balance
se puede escribir como
( ) , , , ( , )B t B t t
dEt g x t d x x t n x t d x g x t d x
dt
(1.21)
La relación (1.21) se le conoce con el nombre de “Ecuación de Balance Global”. A la
función ,g x t se le denomina el generación interna y al campo vectorial ,x t , el
campo de flujo [ ]. A la Ec.(1.21) se le denomina “Ecuación General de Balance Global” y
es la ecuación básica de los balances de los sistemas continuos.
21
1.6.2 Condiciones de Balance Local
Los modelos de los sistemas continuos están constituidos por las ecuaciones de balance
correspondientes a una colección de propiedades extensivas. Así, a cada sistema continuo le
corresponde una familia de propiedades extensivas, tal que, el modelo matemático del
sistema está constituido por las condiciones de balance de cada una de las propiedades
extensivas de dicha familia. Sin embargo, las propiedades extensivas mismas no se utilizan
directamente en la formulación del modelo, en su lugar se usan las propiedades intensivas
asociadas a cada una de ellas. Esto es posible porque las Ecuaciones de Balance Global son
equivalentes a las llamadas Condiciones de Balance Local, las cuales se expresan en
términos de las propiedades intensivas correspondientes. Las Condiciones de Balance Local
son de dos clases: “las Ecuaciones Diferenciales de Balance Local” y “las Condiciones de
Salto”. Las primeras son ecuaciones diferenciales parciales, que se deben satisfacer en cada
punto del espacio ocupado por el sistema continuo, y las segundas son ecuaciones
algebraicas que las discontinuidades deben satisfacer donde ocurren; es decir, en cada
punto de . Cabe mencionar que las Ecuaciones Diferenciales de Balance Local son de uso
mucho más amplio que las Condiciones de Salto, pues estas últimas solamente se aplican
cuando y donde hay discontinuidades, mientras que las primeras en todo punto del espacio
ocupado por el sistema continuo. Y, hay que decirlo, solamente en problemas de carácter
especial es necesario introducir modelos en que las propiedades intensivas son
discontinuas. Los llamados „choques‟, ampliamente conocidos en el flujo supersónico de
fluidos compresibles –no-viscosos-, son cambios muy rápidos tanto en la presión como en
otras propiedades del fluido, los cuales en los modelos en que se desprecia la viscosidad, se
simulan en como discontinuidades de dichas propiedades del fluido.
Una vez establecidas las ecuaciones diferenciales y de salto del balance local, e incorporada
la información científica y tecnológica necesaria para completar el modelo (la cual por
cierto se introduce a través de las llamadas “ecuaciones constitutivas”), el problema
matemático de desarrollar el modelo y derivar sus predicciones se transforma en uno
correspondiente a la Teoría de la Ecuaciones Diferenciales, generalmente parciales, y sus
Métodos Numéricos.
22
1.6.3 Las Ecuaciones de Balance Local.
En lo que sigue se supone que las propiedades intensivas pueden tener discontinuidades, de
salto exclusivamente, a través de la superficie t . Se entiende por „discontinuidad de
salto‟, una en que el límite por ambos lados de t existe, pero son diferentes.
Se utilizará en lo que sigue un resultado matemático que se da a continuación.
Teorema 6.1.- Para cada t –se supondrá 0t -, sea 3B t R el dominio ocupado por un
cuerpo, como se le definió en este Capítulo. Suponga que la „propiedad intensiva‟, ,x t
es 1C , excepto a través de la superficie t . Además, sean las funciones son ,x tv y
,x tv , esta última definida para x t solamente, las velocidades de las partículas y
la de t , respectivamente. Entonces
B t B t
ddx dx ndx
dt t
v v v (1.22)
Demostración. Su demostración se da en el Apéndice.
Teorema 6.2.- Considere un sistema continuo,. Entonces, la “Ecuación de Balance
Global”, (1.21), se satisface para todo cuerpo del sistema continuo, si y solamente si, se
cumplen las condiciones siguientes:
i. La ecuación diferencial
gt
v (1.23)
vale en todo punto 3x R , de la región ocupada por el sistema.
ii. La ecuación
n g v v (1.24)
vale en todo punto, x . A las ecuaciones (1.23) y (1.24), se les llama “Ecuación
Diferencial de Balance Local” y “Condición de Salto”, respectivamente.
Demostración. Su demostración se da en el Apéndice.
23
Desde luego, el caso más general que se estudiará se refiere a situaciones dinámicas; es
decir, aquéllas en que las propiedades intensivas cambian con el tiempo. Sin embargo, los
estados estacionarios de los sistemas continuos son de sumo interés. Por estado estacionario
se entiende uno en que las propiedades intensivas son independientes del tiempo. En los
estados estacionarios, además, las superficies de discontinuidad t se mantienen fijas (no
se mueven). En este caso, / 0t y 0 v . Por lo mismo, para los estados
estacionarios, la Ecuación de Balance Local y la Condición de Salto se reducen a
g v (1.25)
que vale en todo punto 3x R , y
n g v (1.26)
que se satisface en todo punto de la discontinuidad, t , respectivamente. Solamente en
algunos problemas de carácter bastante especial 0g , como en el tratamiento de
problemas con punto de burbuja variable de la Ingeniería Petrolera [ ].
1.6.4 Ejemplos de Condiciones de Balance Local.
Una de las aplicaciones más sencillas de las Condiciones de Balance Local, es para
formular restricciones en el movimiento. Aquí ilustramos este tipo de aplicaciones
formulando condiciones que se deben cumplir localmente cuando un fluido es
incompresible. La afirmación de que un fluido es incompresible significa que todo cuerpo
conserva el volumen de fluido en su movimiento. Entonces, se consideraran dos casos: el
de un „fluido libre‟ y el de un „fluido en un medio poroso‟. En el primer caso, el fluido llena
completamente el espacio físico que ocupa el cuerpo, por lo que el volumen del fluido es
igual al volumen del dominio que ocupa el cuerpo. Asi:
f
B t
V t d x (1.27)
Aquí, fV t es el volumen del fluido y B t es el dominio del espacio físico (es decir, de
3R ) ocupado por el cuerpo. Observe que una forma mas explicita de esta ecuación es
24
1 f
B t
V t d x (1.28)
Porque en la integral que aparece en la Ec.(1.27) el integrando es la función idénticamente
1. Comparando esta ecuación con la ecuación (1.16), vemos que el volumen del fluido es
una propiedad extensiva y que la propiedad intensiva que le corresponde es 1 .
Además, la hipótesis de incompresibilidad implica
( ) 0fdV
tdt
(1.29)
Esta es el Balance Global de la Ec.(1.21), con 0g g y 0 , el cual a su vez es
equivalente a las Ecs.(1.23) y (1.24). Tomando en cuenta ademas que 1 , la Ec. (1.23)
se reduce a
0 v (1.30)
Esta es la bien conocida condición de incompresibilidad apar un fluido libre
Además, aplicando la Ec. (1.24) donde haya discontinuidades, se obtiene 0n v . Esto
implica que si un fluido libre es incompresible, la velocidad de sus partículas es
necesariamente continua.
El caso en que el fluido se encuentra en un „medio poroso‟, es bastante diferente. Un medio
poroso es un material sólido que tiene huecos distribuidos en toda su extensión (Fig. ).
Cuando los poros están llenos de un fluido, se dice que el medio poroso esta „saturado‟.
Esta situación es la de mayor interés en la práctica y es también la más estudiada. En
muchos de los casos que ocurren en las aplicaciones el fluido es agua o petróleo. A la
fracción del volumen del sistema, constituido por la „matriz sólida‟ y los huecos, se le
llama „porosidad‟ y se le representara por ' ' . Así
0
, limV
Volumen de huecos x t
Volumen total
(1.31)
25
Aquí hemos escrito ,x t para enfatizar que la porosidad generalmente es función tanto
de la posición como del tiempo. Las variaciones con la posición pueden ser debidas, por
ejemplo, a heterogeneidad del medio y los cambios con el tiempo a su elasticidad; es decir,
los cambios de presión del fluido originan esfuerzos en los porosos que los dilatan o los
encogen.
Cuando el medio esta saturado, el volumen del fluido ( fV ) es igual al volumen de los
huecos del dominio del espacio fisico que ocupa. Así,
,fB t
V t x t dx (1.32)
En vista de esta ecuación, la propiedad intensiva asociada al volumen de fluido es la
porosidad, ,x t , por lo que la condición de incomprensibilidad del fluido contenido en
un medio poroso, esta dada por la ecuación diferencial
0t
v (1.33)
Que la divergencia de la velocidad sea igual a cero, Ec.(1.30), como condición para que un
fluido en su movimiento libre conserve su volumen, es ampliamente conocida. Sin
embargo, este no es el caso de la Ec.(1.33), como condición para la conservación del
volumen de los cuerpos de fluido contenidos en un medio poroso. Finalmente, debe
observarse que cualquier fluido incompresible satisface la Ec. (1.30) cuando se mueve en el
espacio libre y la Ec.(1.33) cuando se mueve en un medio poroso. Cuando un fluido efectúa
un movimiento en el que conserva su volumen, al movimiento se le llama „isocorico‟. Es
oportuno mencionar que si bien cierto que cuando un fluido tiene la propiedad de ser
incompresible, todos sus movimientos son isocoricos, lo inverso no es cierto: un fluido
compresible en ocasiones puede efectuar movimientos isocoricos.
Por otra parte, cuando un fluido conserva su volumen en su movimiento satisface las
condiciones de salto de Ec.(1.24), las cuaales paraa este caso son:
0n v v (1.34)
26
En aplicaciones a Geohidrlogía y a Ingeniería Petrolera, las discontinuidades de la
porosidad están asociadas a cambios en los estratos geológicos y por esta razón están fijas
en el espacio; así, 0 v y la Ec.(1.34) se reduce a
0n v (1.35)
o, de otra manera
n+ n-v v (1.36)
Aquí, la componente normal de la velocidad es n nv v y los subíndices más y menos se
utilizan para denotar los límites por los lado más y menos de , respectivamente. Al
producto de la porosidad por la velocidad se le conoce con el nombre de velocidad de
Darcy (U ). Es decir
U v (1.37)
Utilizándola, las Ecs.(1.35) y (1.36) son
0U n y U Un+ n- (1.38)
Es decir, l
La Ec.(1.36) es ampliamente utilizada en el estudio del agua subterránea (Geohidrología).
Ahí, es frecuente que la porosidad sea discontinua en la superficie de contacto entre dos
estratos geológicos diferentes, pues generalmente los valores que toma esta propiedad
dependen de cada estrato. En tal caso, , por lo que n+ n-v v , necesariamente.
27
1.7 Los Modelos de los Sistemas Continuos Para poder abordar este tema con una generalidad adecuada, es necesario empezar por
revisar el concepto de mezcla y fase.
1.7.1 Sistemas Continuos de una y Varias Fases
Dos conceptos relacionados, utilizados en el estudio de los sistemas continuos, son el de
„fase‟ y „componente‟. La diferencia entre mezcla y disolución (o solución), la cual es
ampliamente conocida, puede ayudar a motivar estos conceptos. Por ejemplo, si disolvemos
sal de mesa (cloruro de sodio) en agua pura y aumentamos la sal disuelta por encima de la
concentración de saturación el exceso de sal se separa. Entonces, esa sal no disuelta puede
mezclarse, por ejemplo, utilizando un mecanismo revolvedor, hasta formar una mezcla
relativamente homogénea. Sin embargo, si esa mezcla se deja en reposo al poco tiempo
veremos que la sal que no se disolvió se mueve hacia la base del recipiente. En este caso
podemos distinguir dos fases, la fase liquida y la fase sólida. Además, la fase liquida y la
fase sólida se mueven con diferentes velocidades, pues la fase liquida esta en reposo,
mientras que la fase sólida (la sal no disuelta) se mueve hacia el fondo del recipiente.
En la teoría de los sistemas continuos, los modelos para procesos como el que se acaba de
describir, se conceptualizan como se explica a continuación. Se considera que hay dos
fases: la fase liquida (el agua con la sal disuelta) y la fase sólida (la sal no disuelta). En cada
punto del espacio físico ( 3R ) hay una partícula de cada una de las fases y cada una de ellas
se mueve con su propia velocidad. Por lo mismo, cada dominio de 3R define dos cuerpos,
que son los formados por los conjuntos de partículas correspondientes a cada una de las
fases. Además, en cada punto tenemos definidas dos velocidades, que en general pueden ser
diferentes, por lo que los dos cuerpos que en un tiempo ocupan el mismo dominio de 3R ,
en general en otros tiempos ocupan dominios que no coinciden. En el caso que nos ocupa
es posible hacer el balance de masa o de otras propiedades extensivas, aplicando la
Ec.(1.21) o las Ecs.(1.25) y (1.26), pero en ellas debe utilizarse la velocidad asociada con la
fase que corresponda.
28
1.7.2 Forma General de los Modelos de los Sistemas Continuos
A continuación se explica como se construyen los modelos de los sistemas continuos. En
realidad, es más apropiado llamarlos modelos de los procesos que tienen lugar en dichos
sistemas, pues más que los sistemas mismos, se modelan sus procesos; por ejemplo: el
transporte de solutos contenidos en un fluido. Como ya se dijo, se identifica a un conjunto
finito, o familia, de propiedades extensivas (una, dos, tres, etc.); como se verá, en el caso
del transporte de un soluto la única propiedad extensiva que se considera es la masa de
dicho soluto. A cada una de las propiedades extensivas de esa familia se les impone la
condición de satisfacer el Balance Global de la Ec.(7.4), en cada cuerpo del sistema
continuo, lo cual es equivalente a la ecuación diferencial de Balance Local y a la Condición
de Salto. Es interesante mencionar, que esta forma de proceder se aplica no solamente a
sistemas continuos de una sola fase, sino también a sistemas de varias fases como los
yacimientos petroleros y los geotérmicos.
1.7.3 Ecuaciones Básicas de los Modelos Continuos
La discusión y resultados presentados anteriormente, se aplican a continuación para derivar
una forma muy general de los sistemas de ecuaciones que gobiernan a los modelos de los
sistemas continuos. Sea M el número de fases que integran a un sistema continuo.
Denotaremos por N el número de propiedades extensivas, asociadas con la fase
= 1,...,M . Suponga además, que para 1,..., N y =1,...,M , la propiedad
intensiva asociada a la extensiva E
es
, de manera que
,B t
E t x t dx
(1.39)
Aplicando las ecuaciones de balance, Ecs.(1.23) y (1.24) se obtiene
gt
v 1,..., N y = 1,...,M (1.40)
y las condiciones de salto
n g
v v 1,..., N y = 1,...,M (1.41)
29
Estas son las ecuaciones básicas que gobiernan a una gran diversidad de sistemas
continuos. Sin embargo, ellas no constituyen modelos completos. Decimos que el modelo
de un sistema continuo es completo si define un problema bien planteado. Se dice que un
problema de valores iniciales y de frontera es bien planteado si se cumple que:
a) Existe una y sólo una solución, y
b) Esta depende de manera continua de las condiciones iniciales y de frontera del
problema.
Para obtener modelos completos, además de las ecuaciones básicas, (1.40) y (1.41), es
necesario evaluar la generación interna, determinada por las funciones ,g x t y
,g x t
, y el campo de flujo, ,x t
, en términos de funciones conocidas de las
propiedades intensivas asociadas. A través de estas funciones, llamadas “ecuaciones
constitutivas”, se integra el conocimiento científico y tecnológico en los modelos
matemáticos, el cual es proporcionado por las ciencias y las tecnologías. Ellas pueden ser la
Física, la Química, la Biología, las Ingenierías, etc.; todo depende de la clase de procesos
involucrados. Por ejemplo, al estudiar el transporte de un soluto producido por una reacción
química, la rapidez con que se produce el soluto depende de la concentración de él y de las
demás sustancias que participen en la reacción, por lo que el ´suministro externo´, ,g x t ,
sería una función de esos parámetros. En este caso, a través de esta función se integraría el
conocimiento químico en el modelo. Observe que en este caso el ´suministro externo´
proviene del interior del sistema en estudio, pero se origina en alguna otra, u otras
componentes que son ajenas, o „externas‟, a aquélla a la que se le hace el balance. Al
estudiar la distribución de seres vivos en los océanos, los conocimientos que se integran
incluyen hechos biológicos.
En resumen, los modelos de los sistemas continuos están constituidos por:
Una colección de propiedades intensivas o, lo que es lo mismo, extensivas;
El conjunto de ecuaciones de balance local correspondientes (diferenciales y de salto),
en cada una de las cuales la velocidad de las partículas es la de la fase correspondiente;
Suficientes relaciones que liguen a las propiedades intensivas entre sí y que definan a
g , y v en términos de éstas, las cuales se conocen como leyes constitutivas; y
Condiciones iniciales y de frontera que deben satisfacer las propiedades intensivas.
30
1.8 Ecuaciones Diferenciales Parciales Cada una de las ecuaciones de balance da lugar a una ecuación diferencial parcial -u
ordinaria, en el caso en que el modelo depende de una sola variable independiente-, la cual
se complementa con las condiciones de salto, en el caso de los modelos discontinuos. Por lo
mismo, los modelos de los sistemas continuos están constituidos por sistemas de
ecuaciones diferenciales cuyo número es igual al número de propiedades intensivas que
intervienen en la formulación del modelo básico.
Los sistemas de ecuaciones diferenciales se clasifican en elípticas, hiperbólicas y
parabólicas. Es necesario aclarar que esta clasificación no es exhaustiva; es decir, existen
sistemas de ecuaciones diferenciales que no pertenecen a ninguna de estas categorías. Sin
embargo, casi todos los modelos de sistemas continuos, en particular los que han recibido
mayor atención hasta ahora, si están incluidos en alguna de estas categorías. Muchos de los
sistemas continuos que se estudian en la monografía presente dan lugar a ecuaciones de
segundo orden de las clases mencionadas. Al examinar el transporte conservativo de
solutos, tanto en fluidos libres como en medios porosos, nos encontraremos con algunas
ecuaciones de primer orden. Además, tanto los modelos de los sólidos elásticos, los fluidos
libres, como de los yacimientos petroleros, están constituidos por sistemas de ecuaciones
diferenciales parciales.
1.8.1 Clasificación
Es importante clasificar a las ecuaciones diferenciales parciales, y a los sistemas de tales
ecuaciones, porque muchas de sus propiedades son comunes a cada una de sus clases. Así,
su clasificación es un instrumento para alcanzar el objetivo de unidad conceptual que nos
hemos propuesto en este curso. La forma mas general de abordar la clasificación de tales
ecuaciones, es estudiando la clasificación sistemas de ecuaciones. Sin embargo, aquí
solamente abordaremos el caso de una ecuación diferenciadle segundo orden, pero
utilizando un método de análisis que es adecuado para extenderse a sistemas.
Con este propósito utilizaremos la notación para un dominio en Rn. La forma general
de un operador diferencial lineal de segundo orden es
31
2
1 1 1
n n n
ij i
i j ii j i
u uu a b cu
x x x
L (1.42)
Considere la ecuación homogénea asociada a este operador:
0u L (1.43)
Además, sean x un punto del espacio Euclideano y una vecindad V x de ese punto.
Sea una función, u , definida en V x y con la propiedad de que existe una variedad (o
superficie), de dimensión 1n , cerrada y orientada , tal que la función u satisface la
ecuación ( ) en V x . Se supone además, que salvo un conjunto de medida cero (a.e.),
un vector unitario, n , que apunta en la direccion positiva (único) está definido en .
Además, la función u y sus derivadas de primer orden son continuas a través de ,
mientras que los límites de las segundas derivadas de u existen por ambos lados de . Sea
x tal que
2
0i j
ux
x x
para alguna pareja , ,...,i j i n . Entonces, decimos que la función u es una solución débil
de esta ecuación ( ) en x .
Teorema 8.1.- Una condición necesaria para que existan soluciones débiles de la ecuación
homogénea ( ) en un punto x es que
1 1
0n n
ij i j
i j
a n n
Prueba.-
Lemma 8.1.- Si 0u , en , entonces
i
i
u un
x n
Prueba.- Sea 1,..., ne e sea un vector tangente a , entonces
1
0n
i
i i
ue
x
32
Esto implica
i
i
un
x
Además, interpretando esta ecuación como una igualdad entre vectores y multiplicándola
por el vector n , se obtiene
u
n
Lemma 8.2.- Si 0i
uu
x
, en , entonces
2 2
2 i j
i j
u un n
x x n
Prueba.- Aplique el Lemma 7.1, reemplazando u por i
u
x
, entonces
2
2j j j i
j i i i
u u u un n n n
x x n x x n n
Volviendo al Teorema vemos que
2 2
21 1 1 1
0n n n n
ij ij i j
i j i ji j
u ua x a n n
x x n
Si 2
20
u
n
, entonces
2 2
20i j
i j
u un n
x x n
para cada eleccion de ,i j y se llega a
una contradicción. Luego, 1 1
0n n
ij i j
i j
a n n
.
Necesariamente hay una eleccion de ,i j para la que 0i jn n , porque 2
1
1n
i
i
n
.
Definición 8.1.- Defina la matriz ijA a y observe que
1 1
n n
ij i j
i j
n A n a n n
33
Cuando todos los eigenvalores de la matriz A son distintos de cero y
1. Además del mismo signo, entonces se dice que el operador es elíptico,
2. Además 1n de ellos tienen el mismo signo, entonces se dice que el operador es
hiperbólico.
Cuando uno, y solamente uno, de los eigenvalores de la matriz A es igual a cero, entonces
se dice que el operador es parabólico.
Corolario 8.1.- Para el caso de dos dimensiones 2n , el operador diferencial es:
2Eliptico 0b ac
2Hiperbolico 0b ac
y
2Parabolico 0b ac
Demostración.- Queda como ejercicio.
Teorema 8.2.- Cuando la ecuación es elíptica, no existen soluciones débiles. Cuando es
hiperbólica en un punto, las normales a los posibles planos tangentes en ese punto definen
un cono (o hipercono). Cuando es parabólica no hay más que un plano tangente posible.
Demostración.- Queda como ejercicio.
1.8.2 Formas Canónicas de los Diferentes Tipos
A las ecuaciones diferenciales
2
2
0
0
0
u
uu
t
uu
t
(1.44)
se les conoce con los nombres de ecuación de Laplace, Ecuación de Onda y Ecuación del
Calor, respectivamente. Cuando se considera la primera de estas ecuaciones, se entiende
que u es una función del vector 1,..., nx x x , mientras que cuando se considera
cualquiera de las otras dos, u es una función 1,..., ,nx x x t . Así, en estos últimos casos el
34
número de variables independientes es 1n y los conceptos relativos a la clasificación y
las demás nociones discutidas con anterioridad deben aplicarse haciendo la sustitución
1n n e identificando 1nx t .
Para el caso del operador Laplaciano, 2
21
n
i i
uu u
x
L , la matriz
ij ija . Los valores
propios de esta matriz son todos positivos e iguales a 1. Es decir, el Laplaciano es un
operado elíptico. En el caso de la ecuación del calor, el operador diferencial asociado es
2 2 2
2 2 21 1
n
i i n
u u uu u
t x x
L y la matriz ija en este caso esta definida por
ij ija ,
cuando , 1,...,i j n . Además, 1, 0n ja siempre que 1j n , mientras que
1, 1 1n na .
Luego el operador de onda es un operador hiperbólico. Finalmente, para el caso de la
ecuación del calor, la matriz ij ija , cuando , 1,...,i j n . Además,
1, 0n ja siempre que
1j n , mientras que 1, 1 0n na . Luego el operador del calor es un operador parabólico.
A estas ecuaciones se les conoce como las formas canónicas de las ecuaciones elipticas,
hiperbólicas y parabólicas, respectivamente.
1.8.3. Problemas bien Planteados para las Ecuaciones Canónicas
En general las ecuaciones diferenciales parciales tienen muchas soluciones, por lo que es
necesario complementarlas con condiciones de frontera y/o iniciales. A las condiciones de
frontera también se les llama de „borde‟. Como ya se mencionó, un problema se dice que es
„bien planteado‟ cuando tiene una y solamente una solución, y además ella depende de
manera continua de las condiciones de frontera e iniciales, si es que las hay.
Los problemas de condiciones de frontera, o borde, se consideran formulados en un
dominio y las condiciones de frontera se imponen en su frontera exterior (Fig. ).
Cuando en la ecuación diferencial interviene el tiempo, como en la ecuación de onda o la
del calor, generalmente se incluyen condiciones iniciales. Sin embargo, las llamadas
condiciones iniciales, son en realidad un tipo de condiciones de frontera, pues si hace la
35
identificación 1nx t , las condiciones iniciales pueden interpretarse como condiciones de
frontera en un dominio del espacio Euclideano 1nR (o espacio-tiempo).
El tipo más general de condiciones de frontera, lineales, corresponde a las llamadas
condiciones de Robin, en las cuales se prescribe una combinación lineal de la función y su
derivada normal en cada punto de la frontera . Así,
u
u gn
, en (1.45)
Aquí, g es la función prescrita en la frontera exterior. Para eliminar casos irrelevantes, se
supone que los números y satisfacen la condición 2 2 1 . En el caso más
general, y pueden ser función de la posición en . Casos particulares muy
importantes son 0 y 1 , para el cual la Ec.(1.45) se reduce a las llamadas
condiciones de Dirichlet:
u g , en (1.46)
Otro caso muy importante son las condiciones de Neuman:
u
gn
, en (1.47)
que corresponde a 1 y 0 .
A. Ecuación de Laplace
Para la ecuación de Laplace consideraremos condiciones del tipo Robin. En particular,
condiciones de Dirichlet y condiciones de Neuman. Sin embargo, en este último caso, la
solución no es única pues cualquier función constante satisface la Ecuación de Laplace y
también la Ec.(1.47) con 0g .
B. Ecuación de Onda
Un problema general importante consiste en obtener la solución de la Ecuación de Onda, en
el dominio del espacio-tiempo 0,T , que satisface para cada 0,t T una condición
de frontera de Robin en y las condiciones iniciales
0,0u x u x y 0,0u
x v xt
, x (1.48)
36
Aquí, 0u x y 0v x son dos funciones prescritas. El hecho de que para la ecuación de
onda se prescriban los valores iniciales, de la función y su derivada con respecto al tiempo,
es reminiscente de que en la mecánica de partículas se necesitan las posiciones y las
velocidades iniciales para determinar el movimiento de un sistema de partículas. Esto no es
casual, pues como se verá posteriormente, la ecuación de surge como un modelo de
sistemas dinámicos sencillos.
C. Ecuación del Calor
También para la Ecuación del Calor un problema general importante consiste en obtener la
solución de la Ecuación de Onda, en el dominio del espacio-tiempo 0,T , que
satisface para cada 0,t T una condición de frontera de Robin en y ciertas
condiciones iniciales. Sin embargo, en este caso en ellas sólo se prescribe a la función
0,0u x u x x (1.49)
37
CAPÍTULO 2.
SISTEMAS CONTINUOS DE LA CIENCIA Y LA INGENIERÍA
2.1 Algunos Sistemas de la Ciencia y la Ingeniería Para aprovechar e ilustrar las ventajas del método unificado de formulación de los modelos
de los sistemas continuos, en este curso se introducen algunos de los modelos de sistema
continuos mas utilizados en la Ciencia y la Ingeniería. Específicamente, los modelos que se
discutirán son los que se enlistan a continuación.
i. Transporte de solutos en fluidos.
a. Cuando el fluido está libre, y
b. Cuando el fluido está restringido a moverse en un medio poroso;
ii. Transporte de energía
iii. La dinámica de los fluidos, cuando están restringidos a moverse en un medio
poroso; y
iv. La dinámica de sólidos: bases generales de la elasticidad lineal; y
v. Dinámica de fluidos libres.
Todos los sistemas anteriores son sistemas de una sola fase, por lo que la velocidad de las
partículas que interviene en la formulación de los modelos es única. Además, se considera
un modelo de varias fases:
vi. Dinámica de Yacimientos Petroleros. Se estudiará el „Modelo Beta‟ o de „Petróleo
Negro‟.
En este Capítulo, utilizando la metodología general que se ha introducido, se derivan las
ecuaciones básicas, exclusivamente, dejando para capítulos posteriores su tratamiento con
mayor detalle.
2.2 Transporte de Solutos en un Fluido Libre Se supone que el fluido ocupa todo el espacio físico. La familia de propiedades extensivas
que constituyen el modelo consta de un solo miembro: la masa del soluto. Además, se trata
de un sistema continuo constituido por una sola fase, por lo que la velocidad de las
38
partículas esta definida de manera única en cada punto del espacio y en cada tiempo. El
sistema de condiciones de balance da lugar a una sola ecuación diferencial y a una
condición de salto. Es costumbre llamar concentración, ,c x t , a la masa de soluto por
unidad de volumen del fluido. Como el fluido ocupa todo el espacio físico, en este caso
,c x t también representa la masa de soluto por unidad de volumen del espacio físico, por
lo que la expresión para la masa del soluto contenida en un cuerpo de fluido, SM t , es
,SB t
M t c x t dx (2.1)
Así, la propiedad intensiva asociada a la masa del soluto es la concentración, ,c x t . En
vista de las Ecs.(7.2) y (7.3), el Transporte de un Soluto en un fluido libre está gobernado
por la Ecuación Diferencial
c
c gt
v (2.2)
y por las Condiciones de Salto
0c n v v (2.3)
Aquí, como en las aplicaciones que siguen se ha supuesto que no hay fuentes concentradas;
es decir, se ha tomado 0g en la Ec.(6.7) del Capítulo 1. Además, para los estados
estacionarios la Ec.(2.2) se reduce a
c g v
(2.4)
En el caso más general de transporte puede haber generación de masa en el interior, la cual
puede ser debida, por ejemplo, a reacciones químicas que sinteticen el soluto o a
decaimiento radioactivo. En tales casos, , 0g x t
; aun mas, , 0g x t
, cuando hay
decaimiento radioactivo. En la mayor parte de los casos de interes, , 0x t
. Esto se debe
a procesos difusivos originados por movimientos Brownianos que ocurren a nivel
microscopico y que en los modelos macroscopicos se incorporan como un flujo de soluto a
traves de la frontera de los cuerpos de fluido. A este fenómeno se le conoce como difusión
molecular.
39
2.3 Transporte en Fluidos en Medios Porosos De acuerdo con lo que se explicó en la Subsección 6.4 del Capítulo 1, cuando un fluido
satura un medio poroso la fracción del espacio físico ocupada por fluido es igual a la
porosidad, ,x t . Así, en este caso, la Ec.(2.1) no es aplicable. En su lugar se tiene
, ,SB t
M t x t c x t dx (2.5)
En este caso, la propiedad intensiva asociada a la masa del soluto es el producto de la
porosidad por la concentración: , ,x t c x t . En vista de las Ecs.(7.2) y (7.3), el
Transporte de un Soluto cuando el fluido se encuentra en un medio poroso está
gobernado por la Ecuación Diferencial
c
c gt
v (2.6)
y por las Condiciones de Salto
0c n v v (2.7)
Además, para los estados estacionarios la Ec.(2.6) se reduce a
g v (2.8)
Para el transporte de solutos por un fluido contenido en un medio poroso, el origen de
0g es el mismo que en el caso de transporte en fluidos libres. Sin embargo, merece
mención un fenómeno, que es un caso particular de reacción química, que es muy
importante en geohidrología. Este fenómeno es la adsorción del soluto por la matriz sólida.
Por otra parte, la difusión, 0 , tiene dos orígenes, pues además de la difusión molecular
existe lo que se conoce con el nombre de „difusión mecánica‟. Esta es motivada por la
distribución aleatoria de los poros y canales en la matriz sólida.
40
2.4 Flujo de Fluidos en Medios Porosos El modelo del flujo de fluidos en medios porosos está basado también en el balance de
solamente una propiedad extensiva: la masa del fluido. En este caso
, ,B t
M t x t x t dx (2.9)
Aquí, ,x t es la densidad del fluido; es decir, masa del fluido por unidad de volumen del
fluido. La propiedad intensiva asociada a la masa del fluido, es el integrando en esta
ecuación; es decir, , ,x t x t . Aplicando la ecuación diferencial de balance (7.2), se
obtiene
gt
v (2.10)
Cuando el fluido que fluye en el medio poroso es agua, como en Geohidrología, y también
para muchos otros fluidos, la difusión de su propia masa es insignificante en las
condiciones que se presentan en la mayor parte de las aplicaciones, lo que motiva tomar
0 . Además, las aplicaciones más frecuentes son a fluidos conservativos, en cuyo caso
no se crea ni se destruye la masa del fluido. Sin embargo, en aplicaciones al estudio del
agua subterránea, cuando hay muchos pozos distribuidos en una región es frecuente que su
extracción también se distribuya en ella y la eliminación de masa correspondiente se
incorpore a través de un término , 0g x t . En tales casos la ecuación diferencial de
balance es
gt
v (2.11)
La condición de salto es
0n v v (2.12)
Es importante mencionar que un elemento esencial en los modelos del flujo de un fluido en
un medio poroso, es que la velocidad está determinada por la Ley de Darcy. Sin embargo,
ésta no se discutirá hasta el Capítulo correspondiente.
41
2.5 Ecuaciones de balance de la mecánica de sólidos y fluidos La mecánica de los medios continuos, en cierto sentido es clásica, pues fue la primera que
se desarrolló, incluye los modelos del movimiento de los sólidos y los fluidos. La familia
de propiedades extensivas en que se basa su modelo general del movimiento está
constituida por las siguientes: masa, momento lineal, momento angular y energía. Si
tomamos en cuenta que tanto el momento lineal como el momento angular son vectores, y
que cada propiedad cuya expresión es vectorial es equivalente a tres propiedades escalares,
vemos que esta familia en realidad está constituida ocho propiedades extensivas escalares.
Así, asociada a ella hay una familia que consta de ocho propiedades intensivas escalares.
2.5.A.- Conservación de Masa (Ecuación de Continuidad)
Un principio general en que se basa la mecánica de sólidos y fluidos es que la masa ni se
crea ni se destruye. Otra hipótesis general de la mecánica de sólidos y fluidos, que
generalmente se incorpora de manera tácita, es que la materia que forma los cuerpos no está
sujeta a procesos difusivos. Por lo mismo, el balance de masa se aplica con 0g y 0 .
La masa, tanto de un sólido como de un fluido libre, es igual a la integral sobre el volumen
del cuerpo, de la densidad. Así:
, ;B t
M t x t d x (2.13)
Aquí, M t es la masa del cuerpo. Por lo mismo, la masa de los cuerpos constituye una
propiedad extensiva cuya propiedad intensiva asociada es la densidad, ,x t . Aplicando
la ecuación (7.2), con 0 , 0g y se obtiene
0t
v (2.14)
Esta ecuación diferencial asociada a la conservación de masa, es conocida con el nombre de
Ecuación de Continuidad, sobre todo en Mecánica de Fluidos. Además, para la
conservación de masa, la condición de salto es
0n v v (2.15)
O en otra forma
42
n n v v v v (2.16)
Es decir, la expresión n v v , que puede interpretarse como el producto de la
densidad del fluido por la velocidad relativa de las partículas con respecto al frente de
discontinuidad, también conocido como „choque‟, toma el mismo valor en ambos lados de
la discontinuidad.
2.5.B.- Balance de Momento Lineal
El momento lineal, tM , de un sólido o de un fluido, se define por la ecuación
B t
=t x,t x,t d xM v (2.17)
Así, el momento lineal es una propiedad extensiva cuya propiedad intensiva asociada es:
( , ) , ,x t x t x t v . Desde luego, en este caso, tanto la propiedad intensiva como la
extensiva son cantidades vectoriales. Cada una de ellas tiene tres componentes escalares.
Así, 1 2 3ρ , ρ , ρ v v v v y 1 2 3, ,M M M M , con
1 1
B t
2 2
B t
3 3
B t
t = ρ x,t d x
t = ρ x,t d x
t = ρ x,t d x
M
M
M
v
v
v
(2.18)
Desde luego, cada componente del momento lineal es a su vez una propiedad extensiva,
cuya propiedad intensiva asociada es la componente respectiva del vector
1 2 3ρ , ρ , ρ v v v v .
En este caso el Balance Global, de la Ec.(6.4), con i v , ig b , i y 0g ,
toma la forma
( ) , , , , , 1, 2,3iii
B t B t
dt x t b x t d x x t n x t d x i =
dt
M
(2.19)
O, con notación más compacta,
43
( ) , , , ,B t B t
dt x t b x t d x x t n x t d x
dt
M
(2.20)
A 1 2 3, ,b b b b se le conoce como la „fuerza de cuerpo‟ por unidad de masa, y al tensor
1 2 3, , , como el tensor de esfuerzos. La tracción, en la superficie del cuerpo, se
define como T n y representa a la fuerza por unidad de área que otros cuerpos ejercen
sobre la frontera del cuerpo considerado. Un ejemplo muy conocido de fuerza de cuerpo, es
la fuerza de la gravedad, en cuyo caso ˆb g , donde g es el vector de aceleración de la
gravedad. Desde luego, la fuerza de cuerpo puede tener otros orígenes. Así, por ejemplo,
podrían ser eléctricas, cuando se estudian fluidos o sólidos con propiedades
electromagnéticas.
El Balance Global, de la Ec.(2.20), establece que la derivada, con respecto al tiempo, del
momento lineal de un cuerpo es igual a la fuerza total que se ejerce sobre el cuerpo. La
Mecánica Clásica establece esta relación para cualquier sistema finito de partículas, por lo
que la Ec. (2.20) constituye una generalización de ese resultado para sistemas continuos y,
por lo mismo, con un número infinito de partículas. A su vez, el miembro derecho de esa
ecuación se interpreta como la descomposición de la fuerza total que actúa sobre el cuerpo,
en dos partes: la fuerza que ejercen en su interior las acciones a distancia, o fuerzas de
cuerpo, y las fuerzas de contacto, o tracciones, ejercidas por otros cuerpos en su superficie.
El balance de momento lineal proporciona tres ecuaciones escalares. Aplicando la Ec. (6.6)
sucesivamente con i v , ig b y i , i = 1,2,3 , se obtiene
iii ib
t
vv v , i = 1,2,3 (2.21)
Al vector 1 2 3, ,b b b b y al tensor 1 2 3, , ij , se les denomina fuerza de
cuerpo por unidad de masa y tensor de esfuerzos, respectivamente. Un forma más breve de
escribir la Ec.(2.21) es
bt
vvv (2.22)
Utilizando la Ecuación de Continuidad, esta ecuación se puede simplificar:
44
1 bt
vv v (2.23)
o, utilizando la derivada material,
1 D
bDt
v
(2.24)
Las condiciones de salto correspondientes al balance del momento lineal son
0n v v v (2.25)
O en otra forma
n n v v v (2.26)
Observe que la expresión n v v está bien definida en , en vista de la Ec.(2.16).
2.5.C.- Ecuaciones de Balance de Momento Angular
La definición del momento angular, es
a
B t
M t x d x v (2.27)
y la propiedad intensiva asociada x v . Por lo anterior, la ecuación de balance
global, Ec. (6.4), se aplica con g x b ; y x :
a
B t B t
dM t x b d x x nd x
dt
(2.28)
La ecuación de balance local es
; D x
x x x b x B tDt
vv v (2.29)
Desarrollando la derivada material en el término izquierdo resulta:
D x v Dv D x
x v x v vDt Dt Dt
(2.30)
Agrupando el factor x v resulta
D x D D
x xDt Dt Dt
v vv v (2.31)
como 0D
Dt
v por conservación de masa, entonces la Ec.(2.29) se reduce a:
45
;D
x x x bDt
v
(2.32)
Desarrollando el miembro derecho resulta:
;D
x x x x bDt
v
(2.33)
Si sacamos factor común x y agrupamos, se obtiene:
0;D
x b xDt
v (2.34)
pero como 0D
bDt
v
por la Ec. de balance de momento lineal, entonces
resulta finalmente:
0;x (2.35)
Como x I es la matriz identidad, entonces la ecuación anterior se puede escribir en
notación tensorial usando el símbolo de Levi –Civita como:
3 3
, , 1 , , 1
0; 1 2 3ijk jl lk ijk jk
j k l j k l
i , ,
(2.36)
Esto es un vector con las componentes
23 32 31 13 12 21, , 0; (2.37)
lo cual implica que
23 32 31 13 12 210; 0; 0; (2.38)
que es equivalente a decir que el tensor de esfuerzos es simétrico y se expresa como:
;T
(2.39)
Para beneficiarnos de la sencillez de este resultado, en lo sucesivo, los modelos tanto de la
mecánica de sólidos como los de la de fluidos, estarán basados solamente en las ecuaciones
de balance de la masa, el momento lineal y la energía, pero siempre se supondrá que el
tensor de esfuerzos satisface la ecuación (2.39).
46
2.5.D.- Ecuaciones de Balance de Energía.
Ecuación de Blance Global. La propiedad extensiva es la energía:
212
B t
t E d x vE (2.40)
Así, la propiedad intensiva es 212
E v , donde E es la energía interna por unidad
de masa. Además, g h b v y q v . Aquí, h son las fuentes de calor por
unidad de masa; q es el vector de flujo de calor, por lo que q n representa al flujo de calor
a través de la frontera, debido a conducción térmica, por unidad de área por unidad de
tiempo. También, conviene observar que b v es el trabajo por unidad de tiempo por
unidad de volumen realizado por las fuerzas de cuerpo; y que n n T v v v
es el trabajo por unidad de área, por unidad de tiempo, realizado por las fuerzas de tracción
(o, tracciones). Entonces
B t B t
dt h b d x q nd x
dt
E v v (2.41)
Ecuación de Blance Local.
Ecuación diferencial de balance de Energía:
1 12 2
; D
E E q h b x B tDt
v v v v v v v (2.42)
Las condiciones de salto son:
12
0; E q n x
v v v v v (2.43)
En el modelo de la mecánica clásica de sólidos y de fluidos, es posible sustituir la Ec.(2.42)
por una ecuación diferencial más sencilla. Desarrollando el término de la derivada material
resulta:
121 1
2 2
DD DE DE E
Dt Dt Dt Dt
v vv v v v (2.44)
Sustituyendo (2.44) en el miembro izquierdo de la ecuación (2.42) se obtiene:
1 1
2 212
D DDE D DEE
Dt Dt Dt Dt Dt
v v v vv v v (2.45)
47
ya que 0D
Dt
v por conservación de masa, resultando:
12
DDEq h b
Dt Dt
v vv v (2.46)
Si tenemos en cuenta la identidad:
: v v v (2.47)
y que
1
2D D
Dt Dt
v v vv (2.48)
entonces al sustituir (2.47) y (2.48) en (2.46) obtenemos:
:DE D
b q hDt Dt
vv v (2.49)
Si tenemos en cuenta que 0D
bDt
v
por la ecuación de balance del momento
lineal, finalmente se tiene:
:DE
q hDt
v (2.50)
donde 3 3
1 1
: iij
i j jx
vv . Que generalmente es utilizada en lugar de la Ec.(2.42).
Las condiciones de salto también pueden simplificarse. Así, la ecuación
; E n q n x
v v v (2.51)
puede utilizarse en vez de la Ec.(2.43).
48
2.5.E.- Resumen de la mecánica de sólidos y fluidos
TABLA DE ECUACIONES BÁSICAS DE LA
MECÁNICA DE SÓLIDOS Y FLUIDOS
No. Propiedad
Extensiva
Propiedad
Intensiva
g
Ecuación de Balance
1
Masa
M t
0
0
0D
Dt
v
2
Momento
Lineal
tM
v
b
0D
bDt
v
3
Momento
Angular
taM
x v
x
x b
T
4
Energía
tE
212
E v
q v
h b v
:DE
q hDt
v
49
2.6. Mecánica de Yacimientos Petroleros Los yacimientos petroleros están constituidos por medios porosos, generalmente de origen
sedimentario, en cuyos poros se almacenan fluidos los cuales contienen hidrocarburos.
Frecuentemente, en los poros de un yacimiento petrolero coexisten varias fases. En
particular, dos fases líquidas y una gaseosa. Por lo mismo, el espacio de los poros es
compartido por estas tres fases. Con los símbolos ,w o gS S y S representaremos la fracción
del volumen de los poros ocupada por las fases agua, petróleo líquido y gas. En lo que
sigue, supondremos que estas tres fases fluidas llenan completamente los poros del
yacimiento, que es la situación más frecuente en las aplicaciones a la Ingeniería Petrolera.
Por lo mismo, estudiaremos yacimientos „saturados‟ exclusivamente. En este caso
1w o gS + S + S (2.52)
Una de las fases líquidas, es la „fase agua‟ y la otra es la llamada „fase de petróleo
líquido‟. El agua contenida en fase agua, puede contener diversas sustancias disueltas, pero
no hidrocarburos, porque el petróleo no es soluble en agua. La fase de petróleo líquido
contiene hidrocarburos que clasificaremos en dos grupos: hidrocarburos „no volátiles‟ y
„gas disuelto‟ (hidrocarburos volátiles). La fase gas, está formada principalmente por
hidrocarburos en estado gaseoso (cuya composición química es la misma que la del gas
disuelto).
Modelo Beta o de Petróleo Negro.
Algunas de las hipótesis básicas de este modelo son las siguientes [ ]:
I. Hay tres fases fluidas en el yacimiento; dos líquidas y la fase gaseosa. Las líquidas
son la fase del agua y la fase del petróleo líquido
II. El yacimiento está saturado por los fluidos
III. Los hidrocarburos no son solubles en el agua
IV. Hay dos clases de hidrocarburos: volátiles y no volátiles
V. La fase gaseosa está formada por hidrocarburos volátiles, exclusivamente
VI. La fase del petróleo líquido contiene hidrocarburos volátiles y no volátiles
VII. Hay intercambio de hidrocarburos volátiles entre la fase del petróleo líquido y la
fase gaseosa
50
VIII. No hay procesos difusivos de masa
A los hidrocarburos volátiles contenidos en la fase del petróleo líquido frecuentemente se
les llama „gas disuelto‟. Además, la notación que se utiliza es
oo
o
m
V y
dg
dg
o
m
V (2.53)
Aquí, oV es el volumen de la fase petróleo líquido, mientras que om y dgm son las masas
de los hidrocarburos no volátiles y del gas disuelto (hidrocarburos volátiles),
respectivamente, contenidas en la fase petróleo líquido. A o y a dg se les llama
„densidad neta del aceite‟ y „densidad neta del gas disuelto‟, respectivamente.
Por lo anterior, tanto la fase agua como la fase gas constan de una sola componente,
mientras que la fase aceite consta de dos: los hidrocarburos no volátiles y el gas disuelto.
Esto da un número total de cuatro componentes. La densidad neta del aceite ( o ) y la
densidad neta del gas disuelto ( dg ), son iguales a la masa por unidad de volumen de la
fase del petróleo líquido de estas componentes. En particular, la densidad de la fase del
petróleo líquido, o masa total de la fase volumen de la fase , satisface
o o dg (2.54)
Finalmente,
dg
S
o
R
(2.55)
que es igual al cociente de la masa de gas disuelto entre la de los hidrocarburos no volátiles.
Este cociente, en forma un poco diferente, se utiliza ampliamente en la práctica en la
Ingeniería Petrolera. En ella se define S S oSTC gSTCR R , donde oSTC y gSTC son,
respectivamente, las densidades del aceite y del gas en las condiciones del tanque de
almacenamiento (stock tank conditions). Sin embargo, para nuestros propósitos, tiene
ventajas adoptar la definición de la Ec.(2.55).
Las propiedades extensivas en que se basa el modelo Beta de yacimientos petroleros, son
cuatro:
1. La masa del agua, en la fase del agua
51
2. La masa de petróleo no volátil, en la fase del petróleo líquido
3. La masa de petróleo volátil (gas disuelto), en la fase del petróleo líquido
4. La masa de petróleo volátil en la fase gaseosa
Sus expresiones integrales son
, ,w w w o o o dg o dg g gB B B Bw gpl pl
M t S dx, M t S dx M t S dx S dx (2.56)
Aquí ,w pl gB B y B son los cuerpos de la fase agua, la fase de petróleo líquido y la fase
gaseosa. Sus velocidades respectivas son w
v , o
v y g
v . Las propiedades intensivas
correspondientes a estas propiedades extensivas son:
,w o dg g
w w o o o dg g gS , S S , S , (2.57)
Las ecuaciones básicas del modelo se obtienen aplicando las Ecuaciones de Balance Local,
Ecs.(7.2) y (7..3), a estas cuatro propiedades intensivas. Las aplicaremos con 0
,
porque se ha supuesto que no hay difusión de las masas de las diferentes componentes. Por
lo que respecta a las fuentes, g , solamente se tomará en cuenta el intercambio de
hidrocarburos volátiles entre la fase gaseosa y la del petróleo líquido. Al respecto, sin
embargo, debe señalarse que en muchas aplicaciones de la Ingeniería Petrolera la
extracción por pozos en el yacimiento se incorpora tomando 0g , en las diferentes
fases, cosa que por ahora no haremos.
Las ecuaciones diferenciales de balance local, Ecs.(7.2), son
0ww w
w w
SS
t
v (2.58)
0oo o
o o
SS
t
v (2.59)
o oo S oo S o g
S RS R g
t
v (2.60)
y
gg g g
g g o
SS g
t
v (2.61)
La Ecs.(2.58) a (2.61) proporcionan las ecuaciones diferenciales básicas del Modelo Beta,
sin embargo para obtener un modelo completo, capaz de realizar predicciones del
comportamiento de yacimientos petroleros, es necesario complementarlo con otras
hipótesis tales como las ecuaciones de estado para los fluidos y la Ley de Darcy para flujo
52
multifásico, como se explicará en el Capítulo correspondiente. Sin embargo, es importante
observar desde ahora que 0o g
g og g , por lo que al sumar las ecuaciones (2.60) y (2.61),
se obtiene
0o S o g g o g
o S o g g
S R SS R S
t
v v (2.62)
Finalmente, las condiciones de salto, implicadas por la Ec.(7.3) son
0w
w wS n
v v (2.63)
0o
o oS n
v v (2.64)
o o
o S o gS R n g
v v (2.65)
y
g g
g g oS n g
v v (2.66)
Es interesante observar que, sin necesidad de hacer hipótesis adicionales, la Ec.(2.62), en
presencia de la Ec.(2.59), implica el siguiente Principio de Conservación de SR . Por
razones que se verán en el Capitulo correspondiente, también se le conoce como Principio
de Conservación del Punto Burbuja.
“En ausencia de la fase gaseosa, las partículas de petróleo líquido conservan su valor
de SR en su movimiento”.
Demostración. Cuando no está presente la fase gaseosa 0gS , por lo que la Ec. (2.62) se
reduce a
0oo S o
o S o
S RS R
t
v (2.67)
Combinando esta ecuación con la Ec.(2.59), se obtiene
0oS
S
RR
t
v (2.68)
Es decir, la derivada material siguiendo las partículas de la fase de petróleo líquido, de SR
es nula. Luego, el valor de SR en las partículas del petróleo líquido no cambia con el
tiempo.
53
CAPÍTULO 3
TRANSPORTE DE SOLUTOS EN FLUIDOS LIBRES
Se considerarán dos clases de modelos de transporte de sustancias disueltas en un fluido:
transporte de solutos en fluidos libres y transporte de solutos en fluidos en medios porosos;
es decir, fluidos cuyo movimiento está restringido al espacio disponible en un medio
poroso. Para poder aplicar los modelos de transporte que se presentarán en éste y en el
siguiente capítulo, es necesario conocer la velocidad de las partículas del fluido, ,x tv ,
como función de la posición y del tiempo. En este respecto, es importante aclarar que una
forma de proceder, que se aplica frecuentemente, consiste en derivar por medio de los
modelos de flujo la velocidad del fluido y después utilizar ésta al aplicar los modelos de
transporte. Los modelos de flujo, para fluidos libres, los proporciona la mecánica de fluidos
clásica y por lo que respecta a los fluidos en medios porosos, ellos se verán en el Capitulo
4, que está dedicado al flujo de fluidos en medios porosos. Sin embargo, para aplicar los
modelos de transporte de solutos, no es indispensable calcular la velocidad del fluido
utilizando los modelos de flujo y, en muchos casos, tampoco es práctico. Por ejemplo, si
queremos modelar el transporte de contaminantes en un río o en la atmósfera, lo más
frecuente es que los datos relativos a las velocidades del fluido provengan de estaciones de
observación (o monitoreo), establecidas con este propósito.
Por otra parte, en algunos problemas las concentraciones de los solutos son tan altas que
provocan grandes cambios en las densidades del fluido, las cuales a su vez causan
modificaciones en las condiciones del flujo. En tales casos es indispensable resolver
simultáneamente las ecuaciones de flujo y transporte, pues ellas están acopladas. Aunque
aquí solamente se trata el caso en que las ecuaciones del transporte no están acopladas con
las del flujo, los conceptos que se introducen son de todas maneras básicos para la
modelación de los sistemas más complicados.
54
3.1. Ecuación general de transporte en un fluido libre Cuando la velocidad del fluido es conocida, como dato, los modelos que se utilizan para
predecir el transporte de solutos se construyen con base en una sola propiedad extensiva: la
masa del soluto. En el caso de fluidos libres, la propiedad intensiva asociada a la masa del
soluto es la concentración del soluto, ,c x t , la cual se define como la “masa del soluto
por unidad de volumen del fluido”. Esto se debe a que los fluidos libres llenan
completamente el espacio físico que los contiene, cosa que no sucede cuando el fluido está
contenido en un medio poroso, como se verá más adelante, pues entonces el fluido ocupa
solamente una fracción del mismo, constituida por el volumen de los poros de la matriz
sólida. Así, para el transporte de solutos en fluidos libres el volumen del fluido y el del
espacio físico son iguales y, por lo mismo, la masa del soluto, SM t , está dada por:
,S
B t
M t c x t d x (3.1)
Por definición, el integrando en esta ecuación es la propiedad intensiva asociada a la
propiedad extensiva, masa del soluto. Esto demuestra lo que se afirmó un poco antes: la
propiedad intensiva asociada a la masa del soluto es la concentración del soluto, ,c x t .
La ecuación global de balance para la masa de un soluto es:
, ,Sss
B t B t
dMt g x t d x x t nd x
dt
(3.2)
La generación del soluto en el interior de un cuerpo de fluido, ,sg x t , puede ser diferente
de cero por diversos motivos; entre ellos, como se verá más adelante, que el soluto sea
radioactivo y por lo mismo su masa decaiga, o que alguna reacción química entre otras
componentes del fluido den lugar a su síntesis. Por lo que se refiere al flujo de soluto,
,s x t n , a través de la frontera de un cuerpo de fluido, la causa principal por la que éste
puede ocurrir es por „difusión molecular‟.
La ecuación global de balance, Ec.(3.2), es equivalente a dos ecuaciones, que deben
satisfacerse simultáneamente: la ecuación diferencial de balance local:
55
v ; ss
cc g x B t
t
(3.3)
y la condición de salto correspondiente
v v 0; sc n x (3.4)
Esta última se aplica cuando el sistema tiene discontinuidades.
56
3.2. Procesos del transporte Las ecuaciones (3.3) y (3.4) son sumamente importantes pues son la base de los modelos
del transporte de sustancias disueltas en un fluido libre; casos particulares son el transporte
de contaminantes; por ejemplo, en un río, en las aguas que se utilizan para abastecer a
alguna comunidad o conglomerado humano, o los contenidos en la atmósfera, etc. Estas
ecuaciones, propiamente, no son aún un modelo; ellas constituyen solamente el marco
general en el cual es necesario incorporar la información relativa a los procesos específicos
que ocurren en el transporte. Es importante señalar que es posible distinguir tres procesos
que tienen lugar en el transporte de solutos.
3.2.1 Proceso de advección
Siempre que el fluido no está en reposo, hay advección. Es decir, podemos hablar de
advección siempre que la velocidad de las partículas del fluido es diferente de cero, 0v .
Este fenómeno, o proceso, se debe a que la sustancia disuelta es arrastrada por el fluido en
su movimiento; al igual que un vehículo transporta a los pasajeros que se montan en él.
Está caracterizado por la velocidad del fluido, v , la cual como ya se dijo en el modelo aquí
considerado es un dato.
3.2.2 Procesos no conservativos
En general, son aquellos en que hay „fuentes‟ o „sumideros‟, que alteran la conservación de
masa. Es decir, los procesos no conservativos tienen lugar siempre que 0sg en algún
punto de la región ocupada por el sistema que se modela y para algún tiempo del periodo de
modelación. Esto no significa que se viole el principio de conservación de masa, el cual se
cumple en todo sistema cerrado. Lo que sucede cuando 0sg es que la masa del soluto
pasa a alguna otra forma que no está incluida en la contabilidad de “soluto disuelto en el
fluido”. Los orígenes de tales fuentes o sumideros pueden ser diversos y a continuación se
examinan con mayor detalle dos que tienen importancia especial: el decaimiento radiactivo
del soluto y interacción química de éste con otras sustancias disueltas en el fluido. En
particular, consideraremos reacciones irreversibles de primer orden [Grove y Stollenwerk,
1984]. Desde luego en una reacción química, al igual que en el decaimiento radiactivo, no
57
se crea masa solamente se transforma, pero en la ecuación de “balance de la masa del
soluto disuelto en el fluido” da lugar a que 0sg . Para distinguir las fuentes debidas a
decaimiento radiactivo de las producidas por reacciones químicas, escribiremos Qg y drg ,
para unas y otras, respectivamente. Además,
s dr Qg g g (3.5)
3.2.2 A.- Decaimiento Radiactivo
En el decaimiento radioactivo 0drg . El modelo más sencillo y ampliamente utilizado
para el decaimiento radiactivo, corresponde a tomar drg como una función lineal de la
concentración del soluto, ,c x t ; es decir,
, ,drg x t c x t (3.6)
donde es una constante positiva. Esta ecuación constitutiva da resultados muy
satisfactorios para predecir el fenómeno del decaimiento radiactivo y es el modelo que se
estudia en cursos elementales de Física. Si se toma un fluido en reposo, , 0x t v y
cuando no hay difusión, , 0s x t , la ecuación diferencial local de balance (3.3), se
reduce a
, ,c
x t c x tt
(3.7)
La solución de esta ecuación es
0, tc x t c x e (3.8)
donde 0c x es la concentración inicial. Se le llama período de vida media, T , de un
material radiactivo, al tiempo que debe transcurrir en condiciones de laboratorio, en las
cuales el material está en reposo y distribuido homogéneamente (sin difusión), para que la
concentración inicial se reduzca a la mitad. La Ec.(3.8) implica
0 0
1,
2
Tc x T c x c x e (3.9)
58
Es decir, 1
2
Te o ln 2
T
, o en forma equivalente: ln 2
T . Esta ecuación nos permite
expresar en términos de la vida media, cuando esta última se conoce. En términos de la
vida media la Ec.(3.8) es
0 0
1, 2
2
tt
TTc x t c x c x
(3.10)
3.2.2 B.- Reacciones químicas
Cuando la reacción química es irreversible y su rapidez de primer orden , la fuente, Qg ,
está dada por [Crove and Stollenwerk, 1984]:
Qg c (3.11)
3.2.3 Procesos de Difusión
El hecho de que un fluido esté en reposo desde un punto de vista macroscópico, no
significa que las partículas microscópicas que lo forman no se muevan, pues ellas están en
agitación constante. A su movimiento se le llama „movimiento browniano‟ y tiene carácter
aleatorio. Cuando una sustancia está disuelta en un fluido ella es arrastrada por el
movimiento browniano y su concentración tiende a igualarse en todos los puntos del
espacio. Un experimento que pone en evidencia este fenómeno consiste en depositar una
gota de tinta en un recipiente con agua limpia. Inicialmente se le percibe como una mancha
puntual, pero a medida que transcurre el tiempo la mancha se amplía diluyéndose hasta que
desaparece, pues su intensidad disminuye tanto que nuestros ojos son incapaces de
percibirla. En general, cuando observamos un cuerpo de fluido que contiene un soluto este
fenómeno ocasiona que haya un flujo de soluto a través de la frontera de los subcuerpos que
lo forman, que va del lado de mayor concentración al de menor concentración. Este
proceso, conocido como difusión, motiva que en general 0n en la frontera de
cualquier cuerpo de fluido.
En los fluidos libres los movimientos Brownianos debidos a la agitación molecular están
siempre presentes y a los procesos de difusión que motivan se le conoce como „difusión
59
molecualr‟. Es importante señalar, que aunque la difusión molecular, en mayor o menor
magnitud, siempre existe, al modelar algunos sistemas no se le incluye; esto se justifica
cuando su magnitud es tan pequeña que los resultados no se ven alterados
significativamente por su omisión. Un modelo muy sencillo y ampliamente utilizado para la
difusión molecular es la llamada „Ley de Fick‟. Ella modela a s como una función lineal
del gradiente de la concentración del soluto. Observe que tanto s como el gradiente de la
concentración, son vectores tridimensionales. Por otra parte, resultados del Álgebra Lineal
muestran que la transformación lineal más general de un vector tridimensional en otro se
puede expresar como el producto de uno de los vectores por una matriz cuadrada, 3 3 .
Así:
( , )s x t D c (3.12)
Aquí, la matriz D es el „tensor de difusión molecular‟. En fluidos libres la difusión, en
casos habituales, es isotrópica; es decir, el tensor de difusión es un múltiplo de la matriz
idéntica. Generalmente se usa la notación
D DI (3.13)
y al coeficiente escalar, D , se le llama el coeficiente de difusión. Dos condiciones que debe
cumplir la matriz D , es que sea simétrica y positiva definida. Para el caso isotrópico de la
Ec.(3.13), ellas se cumplen si y solamente si 0D .
3.2.4 Las ecuaciones generales del transporte de solutos en fluidos libres
Sustituyendo las Ecs.(3.12) y (3.13) en la Ec.(3.3), se obtiene una forma muy general de la
ecuación que gobierna el transporte difusivo de solutos en fluidos libres. Ella es
s
cc g D c
t
v (3.14)
Cuando solamente se considera procesos no conservativos debidos a decaimiento radiactivo
o reacciones químicas irreversibles de primer orden,
S rd Qg g g (3.15)
Aquí, los términos de fuente están dados por las Ecs.(3.6) y (3.11).
60
La Ec.(3.14) gobierna las procesos no-estacionarios –es decir, dependientes del tiempo- del
transporte difusivo de solutos en un fluido libre. Para estados estacionarios, esta
ecuación se reduce a
sD c c g v (3.16)
La ecuación de transporte no-difusivo corresponde al caso 0D . Entonces la ecuación
diferencial (3.14) se reduce a
, ,c
c g c x tt
v (3.17)
En casos de interés práctico, esta ecuación es aplicable cuando la difusión es tan pequeña
que se obtienen resultados satisfactorios aunque se le desprecie. Además, los estados
estacionarios del transporte no-difusivo satisfacen la ecuación
sc g v (3.18)
3.2.5 Algunas soluciones de especial interés
Para el caso sin fuentes, cuando el fluido está en reposo y 1D , la Ec.(3.14) se convierte
en la ecuación de la difusión del calor:
2 c
ct
(3.19)
Tiene interés considerar esta ecuación para 0t y en un espacio de n dimensiones. Desde
luego, aunque la discusión que sigue puede aplicarse para cualquier 1n , nuestro interés
aquí se centra en los casos 1,2,3n . A la función,
2
24, 4
xn
tFc x t t e
(3.20)
se le conoce con el nombre de „solución fundamental de la ecuación del calor‟.
Pueden comprobarse las siguientes propiedades:
1. La función ,Fc x t satisface la Ec.(3.19), para toda nxR y 0t , excepto que en
el origen cuando 0t , no está definida;
2. Para 0t ,
61
, 1n Fc x t dx R (3.21)
3. Para 0x ,
, 0 0Fc x t cuando t (3.22)
Debido a estas propiedades, la función ,Fc x t puede interpretarse como la distribución de
la concentración de un soluto cuando, en un fluido en reposo, se deposita en el origen del
espacio nR y en el tiempo 0t , una gota de soluto de masa unidad.
En el caso más general en que el coeficiente de difusión 1D , en la ecuación
2 c
D ct
, (3.23)
la función
2
244
xn
DtDt e
(3.24)
da la distribución de la concentración de un soluto cuando, en un fluido en reposo, se
deposita en el origen del espacio nR y en el tiempo 0t , una gota de soluto de masa
unidad. Esto porque dicha función, además de ser solución de la Ec.(3.23), también tiene
las propiedades )i a )iii .
Tiene cierto interés, notar que si v es un vector constante, entonces la función
2
244
x tn
tt e
v
(3.25)
es solución de la Ec.(3.17), con 0sg , y posee las propiedades 1) a 3). Es decir, esta
función puede interpretarse como la distribución de la concentración de un soluto cuando,
en un fluido en movimiento uniforme y con velocidad v , se deposita en el origen del
espacio nR y en el tiempo 0t , una gota de soluto de masa unidad. Conviene señalar que
si el movimiento del fluido no es uniforme la construcción de la solución de este problema
es mucho más complicada.
Los problemas cuyas soluciones se acaban de exhibir, se han planteado en un espacio
infinito. Generalmente, los problemas de interés en la ciencia y la ingeniería se plantean en
62
dominios limitados del espacio físico y en tal caso para obtener problemas bien planteados
es necesario incluir condiciones de frontera e iniciales adecuadas, como se explica a
continuación. De todas maneras debe señalarse que las soluciones de las Ecs.(3.20) y (3.25)
proporcionan en muchos casos valores satisfactorios, para los problemas definidos arriba,
cuando los valores del tiempo son tan pequeños que la influencia de las fronteras del
dominio finito de definición del problema no tiene aún un efecto significativo en los
procesos del transporte.
63
3.3. Modelos completos para el transporte de solutos
Como se vio en el Capítulo 1, un modelo completo es aquél en el cual se incorporan
condiciones iniciales y de frontera que definen, conjuntamente con las ecuaciones
diferenciales de balance local (2.3) y las condiciones de salto (2.4), un problema bien
planteado. Asimismo, las condiciones iniciales y de frontera que son adecuadas cambian
con el tipo de ecuación diferencial que se considere. Las ecuaciones diferenciales asociadas
a los modelos que se utilizan para simular el transporte de solutos por fluidos libres
incluyen a los tres tipos principales: hiperbólicas, elípticas y parabólicas. Cuando los
procesos difusivos se incorporan a través de la Ley de Fick, la ecuación diferencial que
gobierna la evolución del transporte es parabólica, en problemas dependientes del tiempo,
Ec.(3.13), mientras que los estados estacionarios difusivos están gobernados por ecuaciones
elípticas, Ec.(3.14). Cuando los procesos difusivos no se incorporan en el modelo, la
ecuación diferencial es hiperbólica, tanto para modelos que dependen del tiempo, como
para los estados estacionarios, Ecs.(3.15) y (3.16) respectivamente. Por lo que se refiere a
las condiciones de salto, debe mencionarse que en el caso en que no hay discontinuidades,
ni de la solución ni de los coeficientes, ellas se satisfacen automáticamente, lo cual se
supondrá en lo que sigue. Además, se supone que es un dominio del espacio Euclidiano
tridimensional y su frontera. Sin embargo, hay un buen número de aplicaciones en las
cuales el espesor del cuerpo de fluido que se modela es pequeño y el modelo que se adopta
es bidimensional, en cuyo caso es un dominio del espacio Euclidiano bidimensional.
Además, entonces la Ec.(3.14) se aplica en dos dimensiones solamente.
Cuando 0D , un problema bien planteado para el estado estacionario de la Ec.(3.14), de
mucho interés práctico, es uno que se formula en un dominio y se imponen condiciones
de frontera del tipo de Robin, de la Subsección 1.8.3:
2 2, , 1c
c g en n
(3.26)
El problema de Dirichlet ( 0, 1 ), en el cual
,c g en , (3.27)
64
se plantea cuando se conoce la concentración en la frontera del dominio de definición del
problema, , y se le utiliza como dato. En el problema de Neuman, ( 1, 0 ),en el
cual
,c
g en n
, (3.28)
lo que se da como dato es la derivada normal de la concentración, c
n
. Esto es equivalente
a dar como dato el flujo difusivo c
Dn
a través de la frontera del dominio que se modela.
Por lo que respecta a los modelos de problemas dependientes del tiempo, o evolutivos, para
los cuales se aplica la Ec.(3.13), ellos se pueden plantear en el dominio , para cada valor
de t de un intervalo de tiempo 0,T ; es decir, 0 t T . En este caso las condiciones de
frontera de la Ec.(3.26), deben complementarse con las condiciones iniciales
0,0c x c x , x (3.29)
Para el caso del transporte no-difusivo que está gobernado por las Ecs.(3.17) y (3.18), las
cuales son ecuaciones hiperbólicas de primer orden, ellas se pueden reducir a ecuaciones
diferenciales ordinarias (ver, Garabedian), que se satisfacen a lo largo de ciertas curvas,
llamadas características, y los problemas bien planteados son del tipo de los problemas de
condiciones iniciales de „Cauchy‟. Ellos se explican a continuación.
Antes de terminar esta Sección es importante mencionar que los métodos de solución de
ecuaciones diferenciales parciales más robustos, capaces de aplicarse en conjunción con la
capacidad computacional disponible en la actualidad en situaciones más diversas y
complicadas, son los métodos numéricos. Sin embargo, hay muchos aspectos de los
métodos analíticos de solución que conservan interés. Hay un buen número de casos en los
cuales las soluciones analíticas, obtenidas para problemas relativamente sencillos, exhiben
propiedades que se conservan en situaciones mucho más generales y complicadas. Así, por
ejemplo, la solución fundamental dada por la Ec.(3.20) se puede derivar con cierta facilidad
utilizando métodos analíticos [ ]. A su vez, a partir de ella la Ec. (3.25) se establece sin
65
dificultad y aunque no es posible para derivar en forma analítica la solución del mismo
problema para el caso general en que la velocidad del fluido no es uniforme, usándola quién
estudia o investiga esta clase de problemas puede formarse una idea de lo que puede
esperar en ese caso más general.
66
3.4. Método de solución para transporte no difusivo
En la discusión que sigue supondremos que la fuente, g , de las Ecs.(3.17) y (3.18), es una
función de la concentración, c , pero no de sus derivadas. Desde luego, esto incluye el caso
particular en que g es independiente de c , pues conceptualmente un caso particular de
función de una variable es la función constante; es decir, la función cuyo valor es
independiente del valor del argumento.
3.4.1 Método general
Todos los problemas de transporte no difusivo, estacionarios y no estacionarios, son
especialmente adecuados para ser tratados eficazmente utilizando la representación
Lagrangeana de la concentración. La idea básica del método es sencilla y
considerablemente general para ecuaciones de primer orden. Se explica a continuación en
conexión con la Ec.(3.15), la cual puede escribirse en términos de la derivada material en la
forma:
, ,Dc
c g c x tDt
v (3.30)
Aquí, ,c x t es la representación Euleriana de la concentración. Si ,C X t es la
representación Lagrangeana de esa misma propiedad y ,p X t es la posición de la
partícula X en el tiempo t , entonces la Ec.(3.30) es
, , , , , , , ,C
X t C X t p X t t g C X t p X t tt
v (3.31)
Esta ecuación constituye una ecuación diferencial ordinaria para la función ,C X t ,
cuando ,p X t es conocida. Tomando en cuenta que la velocidad ,x tv es una función
dada, dato del problema, la función vectorial ,p X t puede obtenerse resolviendo el
sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
, , ,p
X t p X t tt
v (3.32)
el cual, para problemas en tres dimensiones, está constituido por tres ecuaciones escalares.
67
Una vez conocida la función, ,p X t , es posible integrar la Ec.(3.31), sujeta a condiciones
iniciales adecuadas, para obtener la representación Lagrangeana, ,C X t . Debido a que la
función buscada, ,c x t , es la representación Euleriana de la concentración y ,C X t es
la representación Lagrangeana de la misma propiedad intensiva, una vez conocida
,C X t , se puede aplicar la Ec.(1.4), del Capítulo 1, para obtener:
1, , ,c x t C p x t t
(3.33)
Cuando se aplican métodos numéricos para la integración del sistema de ecuaciones
diferencial de la Ec.(3.31), la obtención de ,p X t , para cada partícula X , es
relativamente fácil, aún en los casos en que ,x tv es una función complicada. Habiendo
obtenido ,p X t , para la partícula X , tampoco es difícil integrar numéricamente la
Ec.(3.31) y obtener ,C X t de esa manera. Sin embargo, en general la obtención de
1,p x t
puede ser más complicada, especialmente en casos en que la velocidad del fluido
depende de la densidad del soluto. Pero en los modelos de transporte que aquí se discuten
se ha tomado como una hipótesis básica que las ecuaciones de flujo del fluido y las de
transporte del soluto no están acopladas y que, por lo mismo, la velocidad ,x tv es
función de la posición, x , y del tiempo, t , exclusivamente; es decir, que la velocidad del
fluido es independiente de la concentración del soluto. En este caso, es posible dar un
procedimiento para obtener ,c x t , para todo punto del espacio físico y del tiempo, de la
región considerada en el problema.
3.4.2. Una ilustración sencilla
Como ilustración tomaremos un ejemplo sencillo. Considere la versión unidimensional de
la Ec.(3.30):
, ,Dc
c g c x tDt x
v (3.34)
En una dimensión, la derivada material es: Dc c c
Dt t x
v . Además:
68
, , ,p
X t p X t tt
v (3.35)
Cuando v es constante, independiente de la posición y del tiempo, esta ecuación se integra
fácilmente, para obtener
, op X t p X t v (3.36)
Aquí, op X es la posición de la partícula X en el tiempo 0t . Si las posicione iniciales
de las partículas se utilizan como configuración de referencia, entonces oX p X . En tal
caso,
,p X t X t v (3.37)
Desde luego, este resultado es independiente de cual sea la función , ,g c x t . Esta fórmula,
que vale cuando la velocidad del fluido es constante, permite resolver con facilidad
problemas de condiciones iniciales, por integración de la Ec. (3.31), pues la aplicación de la
Ec.(3.33) es muy fácil debido a la forma tan sencilla de 1,p x t
que implica la Ec.(3.37).
En general, para cada t fija, la función 1,p x t
se obtiene como respuesta a la pregunta:
¿Cuál es la partícula X que ocupa la posición x en el tiempo t ? Cuando p está dada por
la Ec.(3.37), la respuesta obviamente es
X x t v ; es decir 1,p x t x t
v (3.38)
Entonces, aplicando la Ec. (3.33) se tiene
, ,c x t C x t t v (3.39)
Por ejemplo, considere el siguiente problema de condiciones iniciales, el cual consiste en
obtener ,c x t para todo 0t , cuando la distribución inicial de la concentración en el
espacio físico (es decir, para toda x tal que x ) es oc x y el soluto sufre
decaimiento radiactivo; es decir, g c . En esta caso la Ec. (3.31) se reduce a
, ,C
X t C X tt
(3.40)
69
Cuando oC X es la concentración del soluto en la partícula X en el tiempo inicial 0t ,
la solución de la Ec.(3.40) es , t
oC X t C X e . Observe además que o oc X C X ,
pues x X en el tiempo inicial, por la forma en que se eligió la configuración de
referencia. Entonces aplicando la Ec.(3.39) se obtiene
, t
oc x t c x t e v (3.41)
Esta es la solución al problema de condiciones iniciales, cuando hay decaimiento
radiactivo.
3.4.3. Aplicación del método general
Considere el problema de condiciones iniciales para el caso general, el cual consiste en
obtener los valores de la concentración del soluto ,c x t para cualquier posición x del
espacio físico (éste es le espacio Euclidiano tridimensional) y cualquier tiempo 0t ,
cuando sus valores iniciales, correspondientes a 0t , están dados por la función oc x . Se
supone que ,x tv y , ,g c x t son arbitrarias. Dado cualquier tiempo 0t y cualquier
punto del espacio físico, x , a continuación damos un procedimiento general, para
responder a la pregunta: ¿Cuál es el valor de ,c x t ?
Tomaremos como configuración de referencia a la posición de las partículas de fluido en el
tiempo inicial 0t . Es decir, ,0p X X . Entonces, si la partícula X tal que
,p X t x se ha identificado, el problema de obtener ,c x t se reduce a integrar
simultáneamente, en general por un método numérico, las Ecs.(3.19) y (3.20) desde 0 hasta
t , con condiciones iniciales ,0p X X y ,0 oC X c X . Presentamos a continuación
el procedimiento para obtener una X tal que
,p X t x (3.42)
el cual se basa en interpretar esta condición como una condición „final‟, ya no inicial, para
el sistema de ecuaciones (3.21).
70
Dado que ,p X t se conoce, integramos numéricamente la Ec. (3.21) con incrementos de
tiempo negativos desde t hasta 0 , imponiendo la condición ,p X t x . Entonces,
,0p X X . Una vez obtenido X , la integración de la ecuación (3.20), ahora sí hacia
delante, desde 0 hasta t y tomando como condición inicial ,0 oC X c X nos permite
obtener , ,C X t c x t . Esto responde la pregunta formulada al principio de esta
discusión.
Las operaciones que se han explicado aquí tienen una interpretación geométrica sencilla
(ver Fig. ). La partícula X está caracterizada por tener la propiedad de que su trayectoria,
en espacio-tiempo, pasa por el punto de coordenadas ,x t . A su vez, el punto X
corresponde con la posición de esa trayectoria cuando 0t . Observe que la integración de
la Ec. (3.21), hacia atrás, es equivalente a haber seguido la trayectoria desde t hasta 0 .
3.4.4. El problema de Cauchy
También se puede decir que el punto del espacio físico tridimensional de coordenadas X ,
es el punto de intersección de la trayectoria que pasa por el punto ,x t , del espacio-
tiempo, con el hiper-plano 0t . Esta interpretación es útil para resolver el problema más
general de condiciones iniciales, conocido como problema de Cauchy. Por sencillez, lo
formulamos aquí para el caso en que el espacio físico es unidimensional. Creemos que si se
comprende en este caso, su extensión a casos en que el espacio físico tiene dos o tres
dimensiones no presenta grandes dificultades.
Cuando el espacio físico es unidimensional, los puntos correspondientes a todas las
posiciones del eje real y todos los valores reales del tiempo definen un plano –el plano
espacio-tiempo- que se ilustra en la Fig. . Además, sea DS una curva de ese plano.
Entonces, el problema de Cauchy consiste en obtener una solución de la Ec.(3.19), que
toma los valores prescritos ,D D Dc x t en la curva DS del espacio-tiempo. Es decir, la
condición que debe satisfacer la solución es
71
, , , ,D D D D D D D Dc x t c x t x t S (3.43)
Supondremos que la curva DS tiene una tangente bien definida en cada uno de sus puntos y
que su pendiente es diferente a 1 ,D Dx tv en todos los puntos ,D D Dx t S . Esta
condición se impone porque de otra manera los datos no se pueden prescribirse libremente
en la curva DS , debido a la Ec.(3.19).
Dado un punto ˆˆ,x t del espacio-tiempo, el procedimiento para obtener ˆˆ,c x t es
esencialmente el mismo que se explico en la Subsección 3.4.3. Supondremos que cada
trayectoria intersecta en uno y solamente en un punto a la curva DS y se tomará como
sistema de referencia a la posición que ocupa la partícula cuando su trayectoria intersecta
dicha curva. Denotamos con X a la partícula cuya trayectoria pasa por le punto ˆˆ,x t del
espacio-tiempo. Es decir, X satisface
ˆ ˆ ˆ,p X t x (3.44)
Entonces, dado ˆˆ,x t integramos la ecuación
, , ,p
X t p X t tt
v (3.45)
imponiendo la condición ˆ ˆ ˆ,p X t x y llevamos la integración hasta intersectar a la curva
DS . En el punto de intersección ˆ ˆ, Dp X t X . Una vez determinado X , se puede integrar
la Ec.(3.20) imponiendo la condición inicial ˆ , ,D D D DC X t c x t . Entonces
ˆˆ ˆˆ, ,c x t C X t .
Es importante observar, que de acuerdo con la discusión anterior, los problemas de
transporte difusivo se pueden resolver utilizando exclusivamente métodos de solución de
sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. En efecto, para la obtención de la
trayectoria de la partícula en espacio tiempo, es necesario resolver el sistema de ecuaciones
diferenciales ordinarias (3.21), lo que nos da la trayectoria de la partícula en espacio
72
tiempo. Una vez conocida esta trayectoria, la obtención de la concentración como función
del tiempo, para una partícula fija, requiere resolver la ecuación diferencial ordinaria(3.20).
Además, los métodos de solución más versátiles para tratar a los sistemas de ecuaciones
diferenciales ordinarias son los métodos numéricos.
3.4.5 Estados Estacionarios del Transporte no difusivo
Los mismos métodos que se han presentado para el caso del problema transitorio, se
pueden aplicar en el caso del problema estacionario, gobernado por la Ec.(3.16). Lo que es
peculiar es que ahora, para que exista solución, se requiere que xv y ,g c x sean
independientes del tiempo. Sin embargo, las Ecs.(3.21) y (3.20) pueden aplicarse, si en
ellas t se interpreta como un parámetro, puesto tanto xv y ,g c x , como c x son
independientes del tiempo. Para evitar posibles confusiones se utilizará la letra , en lugar
de t , para denotar ese parámetro. Con este entendido, dichas ecuaciones son
, ,p
X p X
v y , , , , , ,
CX C X p X g C X p X
v (3.46)
El problema de Cauchy toma la forma
Dc x c x , 3
xx S R (3.47)
Se supone aquí que los datos se prescriben en el conjunto 3
xS R , del espacio físico.
Además, 3
xx S R la velocidad xv no debe ser paralela al plano tangente de la
hipersuperficie xS en x .
3.4.6 Casos especiales de transporte no-difusivo
Hay ciertos casos particulares para los cuales el método general para transporte no difusivo,
explicado en la Subsección 2.3.1, se simplifica significativamente. Uno, muy importante, es
cuando el fluido es incompresible.
3.4.6.A Flujo incompresible. Los resultados obtenidos con esta hipótesis son aplicables en
muchas situaciones de interés práctico; así, por ejemplo, la compresibilidad del agua es tan
pequeña que en muchos estudios e investigaciones del transporte de sustancias disueltas en
ella, se le considera incompresible. De acuerdo con los resultados del Capítulo1, la
73
condición de incompresibilidad para fluidos libres es: 0 v , por lo que la Ec.(3.30) se
reduce a
, ,Dc
g c x tDt
(3.48)
Esta simplificación es especialmente útil en el caso en que el término, , ,g c x t , debido a
la presencia de fuentes, es independiente de la posición, x , pues la Ec.(3.35) implica
, , ,C
X t g C X t tt
(3.49)
Esta ecuación es una ecuación diferencial ordinaria que se puede integrar de 0 a t , aunque
no se conozcan las trayectorias de las partículas. Esta integración permite expresar, para
cualquier partícula X , la concentración en el tiempo t, en términos de la concentración en
el tiempo inicial, que aquí se toma como 0 . El caso más sencillo en que esta hipótesis se
cumple corresponde al „transporte conservativo‟. Más precisamente, cuando cada cuerpo
de fluido conserva la masa de soluto contenida en él. Es decir,
0SdMt
dt ; con
,S
B tM t c x t d x (3.50)
Desde luego, este es el caso del transporte no-difusivo, 0 , para el cual la Ec.(3.30) se
reduce a
, 0C
X tt
(3.51)
si además los términos de fuentes de anulan, 0g . En vista de la Ec.(3.51), se concluye
que en el transporte conservativo, cuando el flujo es incompresible, “Las partículas
conservan su concentración, durante su movimiento”.
Otro caso interesante es el decaimiento radiactivo, en el transporte no-difusivo, cuando el
flujo es incompresible. Entonces, g c , y la Ec.(3.49) implica
, ,0 tC X t C X e (3.52)
para cada partícula del fluido X . Si se desea este resultado se puede enunciar como un
principio de conservación Así: “En el movimiento de las partículas de fluido se conserva el
74
producto de la concentración por te . Si 0 se recupera el caso del transporte
conservativo.
3.4.6.B Fluido compresible. Los resultados anteriores, se pueden extender a este caso
cuando también el fluido, además del soluto, conserva su masa, lo cual sucede
generalmente en las aplicaciones. La ecuación de conservación de masa del fluido
(ecuación de continuidad) es
0D
Dt
v ; es decir,
DLn
Dt
v (3.53)
Sustituyendo esta ecuación en la Ec.(3.39), con 0g , se obtiene,
0DLn DLnc
Dt Dt
, o 0
DLnc
Dt
, o 0
D c
Dt
(3.54)
Al cociente c , que denotaremos por , se le denomina „fracción de masa‟, pues
representa el cociente de la masa del soluto (por unidad de volumen) entre la masa del
fluido (por unidad de volumen). Así, de la Ec.(3.54) se puede concluir que “cuando el
transporte conservativo, se realiza en un flujo compresible y conservativo, las partículas de
fluido conservan la fracción de masa de soluto”. Note, sin embargo, que para utilizar este
resultado es necesario conocer la densidad del fluido como una función de la posición y del
tiempo.
75
CAPÍTULO 4.
FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS
En este Capítulo se estudian tanto el flujo de un fluido contenido en un medio poroso, como
el transporte por dicho fluido de una sustancia disuelta en el mismo.
4.1 Características del modelo de la dinámica de fluidos en medios porosos Las hipótesis básicas del modelo de flujo en medios porosos que se presenta aquí se
enumeran a continuación:
- El sólido está saturado de fluido. Como se explicó anteriormente, esto significa que
los poros del sólido están llenos del fluido;
- No hay difusión del fluido;
- La matriz sólida está en reposo;
- La matriz sólida es elástica. Más precisamente, se supone que la porosidad del
sólido es función de la presión en el fluido. Así, su porosidad puede variar al
transcurrir el tiempo, a pesar de que el sólido no se mueve;
- El fluido es compresible. En este respecto, se supone que la densidad del fluido es
función de la presión, exclusivamente;
- Las tracciones en el fluido, son siempre perpendiculares a su superficie. Esta
hipótesis es equivalente a suponer que los esfuerzos en el fluido son exclusivamente
presiones;
- La velocidad del fluido está dada por la ley de Darcy, la cual es una ecuación
constitutiva, empírica, que relaciona a la velocidad de las partículas del fluido con
su presión.
76
4.2 El modelo general de flujo de fluidos en medios porosos Se explica a continuación, la forma de aplicar del método sistemático para derivar los
modelos de los sistemas continuos, que se resumió en la Sección 1.7, del capítulo1.
Claramente, el sistema está formado por dos fases; sin embargo, debido a que el
movimiento de la fase sólida es conocido, pues está en reposo, basta tratar solamente la fase
fluida. A su vez, ésta consta de una sola componente. Así, el modelo del flujo se construye
con base exclusivamente en una propiedad extensiva: la masa del fluido. Por la hipótesis
de que el medio poroso está saturado se tiene que la propiedad intensiva asociada es
, ,x t x t , donde es la porosidad (fracción del volumen del espacio físico ocupado
por los poros, el cual, en este caso en que el material poroso está saturado, es igual a la
fracción de volumen ocupado por el fluido). La ecuación diferencial local de balance es la
Ec.(2.10). Por la hipótesis de que no hay difusión de la masa del fluido, esta ecuación se
reduce a
gt
v (4.1)
Por otra parte, las condiciones de salto son
0n v v (4.2)
77
4.3 Efecto de la elasticidad del sistema fluido-sólido Debido a las hipótesis adoptadas, es posible expresar el término t en una forma
ampliamente utilizada en las aplicaciones que aquí desarrollamos. Desarrollando:
t t t
(4.3)
Esta ecuación exhibe que el miembro izquierdo de esta ecuación está integrado por dos
contribuciones, una debida a la compresibilidad del agua y otra a la compresibilidad de la
matriz porosa.
4.3.A. La compresibilidad del agua
Se supone que la densidad del fluido satisface una ecuación de estado de acuerdo con la
cual la densidad del agua es función de su presión, exclusivamente, se tiene
p
t p t t
(4.4)
Al parámetro se le llama compresibilidad del fluido, está definido por la ecuación
1 1 V
p V p
(4.5)
4.3.B. La compresibilidad de la matriz porosa
Para comprender los procesos que motivan y determinan la compresibilidad de la roca,
conviene realizar un análisis de esfuerzos, aunque sea muy sucinto. Parte del esfuerzo total
totp en una superficie del sistema constituido por las dos fases, una sólida y la otra fluida, la
soporta el material sólido (Fig. ). La notación efp se usa para el esfuerzo efectivo, que
soporta directamente la fase sólida y p es la presión de poro, que soporta el fluido. Esta
última es la presión efectiva en el fluido. Entonces
tot efp p p (4.6)
Generalmente la fase sólida es mucho menos compresible que la fase fluida, por lo que la
compresibilidad del sólido se toma frecuentemente como cero.
78
También, totp se supone que no cambia con el tiempo, por lo que cualquier variación de la
presión de poro da lugar a un cambio correspondiente, implicado por la Ec.(4.6), de la
presión efectiva en el sólido. Observe que estos cambios tienen signos opuestos, pues la
suma de los mismos se anula, ya que el miembro izquierdo de la Ec.(4.6), se mantiene
constante. Así, cuando la presión de poro aumenta, la efectiva en el sólido disminuye y el
poro se expande.
Por la definición de la porosidad, se tiene
1h tot s s
tot tot tot
V V V V
V V V
(4.7)
donde totV es el volumen total del sólido, incluyendo los poros, hV es el volumen de los
poros, o huecos, exclusivamente, y sV el volumen de la fase sólida. Tomando la derivada
con respecto a la presión efectiva en el sólido, efp , en la Ec(4.7), se obtiene
1
1s tot stot tot
ef tot tot ef tot
V V V
p V V p V
(4.8)
Aquí, tot es la compresibilidad total del medio poroso, definida por la ecuación:
1 tot
tot
tot ef
V
V p
(4.9)
Tomando en cuenta que los cambios en la presión de poro y en la efectiva son de igual
magnitud pero de signos contrarios, la Ec.(4.8) implica
1tot
efp p
(4.10)
Así,
1tot
p p
t p t t
(4.11)
4.3.C. El coeficiente de almacenamiento
Sustituyendo las Ecs.(4.4) y (4.11) en la ecuación (4.3), se obtiene
79
1 tot
p
t t
(4.12)
El coeficiente de almacenamiento, SS , se define por
ˆ 1S totS g (4.13)
donde ˆ" "g es la constante de la gravedad. Utilizándolo, la ecuación de balance de masa,
Ec.(4.1), es
ˆ ˆS
pS g gg
t
v (4.14)
80
4.4 La Ley de Darcy La Ley de Darcy, es una ecuación constitutiva, empírica, que relaciona a la velocidad de las
partículas del fluido con su presión, la cual fue propuesta por un ingeniero francés, H….
Darcy, en el Siglo XIX, pero que ha servido de base para la modelación del flujo de medios
porosos desde entonces. Para su formulación utilizaremos a la „velocidad de Darcy‟ , U , la
cual se define por la ecuación
U v (4.15)
Observe, que ella tiene la propiedad de que cuando el vector n , unitario, es normal a una
superficie, U n es el gasto volumétrico de fluido que pasa a través de esa superficie.
La ley de Darcy establece que la velocidad U es una función lineal del gradiente de la
presión en ausencia de gravedad. En general, esta se expresa en presencia de gravedad
como:
1
ˆU k p g
(4.16)
Donde g - es el vector de aceleración de la gravedad; además, g es su magnitud;
- es la viscosidad dinámica del fluido;
k - es el ‟tensor de permeabilidad intrínseca‟;
p - es la presión del fluido.
Frecuentemente al tensor de permeabilidad intrínseca, se le llama simplemente
permeabilidad.
Si consideramos a z como la altura respecto a un nivel de referencia dado y la coordenada
3x z , entonces el vector aceleración de la gravedad se puede expresar como:
ˆ ˆg g z (4.17)
Donde g - es la constante de gravedad y 1 2 3
, , 0,0,1z z z
zx x x
. Así, la Ley de
Darcy se puede rescribir como
81
1
ˆU k p g z
(4.18)
La expresión equivalente en notación indicial sería:
ˆ ; 1 2 3ij
i
j j
k p zU g i , ,
x x
(4.19)
Si definimos el nivel piezométrico como:
0
1
ˆ
p
p
dh z
g
(4.20)
y correspondientemente su gradiente resulta
1
ˆh g p z
(4.21)
Entonces la ley de Darcy la podemos rescribir en términos del nivel piezométrico como
ˆ
ˆ
g pU k z K h
g
(4.22)
En Hidrología, la matriz g
K k
es conocida como „el tensor de conductividad
hidráulica‟. En ese caso, desde luego, es la densidad del agua.
Las expresiones de la Ec.(4.22), para el caso de flujo monofásico en medios porosos, son
sumamente generales, pues en ellas se considera que los tensores k y K son en general
anisotrópicos. Sin embargo, se supone que estos tensores son simétricos y positivos
definidos. La última condición proviene de la suposición de que, en ausencia de la
gravedad, nunca la velocidad del fluido puede tener sentido opuesto al gradiente de la
presión. Cuando se estudian fluidos subterráneos, los tensores k y K reflejan propiedades
de los estratos del subsuelo. En particular, es frecuente que estos tensores tengan a la
dirección vertical como una eje de simetría, reflejando el hecho de que dicho eje tiene un
papel singular en los procesos de sedimentación. Desde luego, también hay materiales para
los cuales tanto el tensor de permeabilidad intrínseca como el de conductividad hidráulica
son isotrópicos. En tales casos se adopta la notación:
k k I y K KI (4.23)
82
En la literatura especializada de agua subterránea, la Ley de Darcy se expresa generalmente
en términos de K , mientras que la expresión de la velocidad de Darcy en términos del
tensor de permeabilidad k es más usada en la industria petrolera donde los fluidos de
interés son aceite, gas y agua. La presentación en este capítulo está principalmente
enfocada a aplicaciones en agua subterránea, mientras que el Capítulo 7 está dedicado a las
aplicaciones a la industria petrolera.
83
4.5. Incorporación de la Ley de Darcy en el balance de momento lineal Aunque como se ha dicho, la Ley de Darcy se estableció con una base empírica, sin
embargo, tiene cierto interés analizar las hipótesis que ella implica en el marco de la
ecuación de balance de momento lineal del fluido. Aplicando las Ecs. (2.17) y (2.20)
exclusivamente a la fase fluida del sistema poroso, se tiene
B t B t B t
ddx gdx ndx
dt
v (4.24)
Las hipótesis con las cuales el balance de momento de la Ec.(4.24) implica a la Ley de
Darcy, se describen a continuación.
i. Una primera hipótesis es que el movimiento del fluido es casi estático, es decir la
rapidez de cambio del momento es despreciable. Más precisamente, se supone que
el miembro izquierdo de la Ec.(4.24) se anula;
ii. La gravedad está presente, lo que da lugar a una fuerza de cuerpo igual a g ;
iii. El intercambio de momento entre la fase sólida y la líquida tiene dos partes:
La primera parte es equivalente a una fuerza de cuerpo dada por el vector
p ;
Cuando hay flujo del fluido, las paredes de la matriz sólida ejercen sobre la
fase fluida una fuerza, similar a la que ocurre en el flujo laminar en un tubo,
la cual tiene el sentido opuesto al movimiento. Esta fuerza se ejerce en todos
los puntos del espacio ocupado por la fase fluida del sistema poroso y es
equivalente a una fuerza de cuerpo, en el fluido, que se representará por .
Una hipótesis básica es que esta fuerza de cuerpo es una función lineal de la
velocidad del fluido. Tanto la fuerza de cuerpo como la velocidad son
vectores, por lo que esta hipótesis implica que hay una transformación lineal,
que representaremos por ahora con la matriz M , tal que
M v (4.25)
84
iv. El tensor de esfuerzos, para el intercambio de momento lineal de la fase líquida
consigo misma, es isotrópico y su expresión es pI , donde I es la matriz idéntica.
Esta hipótesis significa que pI , en la Ec.(4.24).
Debido a las hipótesis ii) y iii),
ˆg g p M v (4.26)
en la Ec.(4.24). Tomando en cuenta, además, las hipótesis i) y iv), la Ec.(4.24), se reduce a
ˆ0B t B t
g p M dx pndx
v (4.27)
Entonces, aplicando el teorema de Gauss, o de la divergencia, se obtiene
ˆ 0B t
g M U p dx (4.28)
Como esta relación se debe satisfacer en todo subdominio del espacio tridimensional 3R ,
entonces
ˆ 0g M U p (4.29)
Despejando, se obtiene
1
ˆˆ
pU M g z
g
o
ˆ
ˆ
g pU k z K h
g
(4.30)
si definimos
1
k M
(4.31)
85
4.6. Discusión de las hipótesis Por lo que respecta a la hipótesis i), significa que la teoría considera movimientos del
fluido, en que los cambios de la velocidad del fluido ocurren muy lentamente. Respecto a la
ii), no hay mucho que decir; simplemente que la teoría está diseñada para aplicaciones en
que la gravedad esté presente. La hipótesis iii), es consecuente con la suposición de que el
movimiento es casi estático. Se usa la expresión pI para el tensor de esfuerzos, y no
pI , porque la relación entre el área de los poros y el área total del sistema porosos es .
Para analizar las dos componentes de la hipótesis iii), mostraremos en primer lugar que
cuando el fluido está en reposo la fase sólida, debido a que está fija, ejerce una fuerza sobre
la fase fluida, equivalente a una fuerza de cuerpo, por unidad de volumen del sistema
poroso, igual a p . Esencialmente lo que pasa es que el fluido ejerce un empuje sobre la
fase sólida de esa magnitud, pero como en el modelo se ha impuesto la restricción de que la
fase sólida no se mueve, ésta ejerce una reacción de igual magnitud, pero de sentido
opuesto. Este resultado se deriva fácilmente si se acepta que, en ausencia de la gravedad, un
estado isotrópico de esfuerzos, pI , en el fluido con p uniforme ( 0p ), es decir
independiente de la posición, es solución del problema. Para condiciones estáticas, la
Ec.(4.24) es
0B t B t
gdx pndx
(4.32)
Cuando la distribución de la presión p en el fluido es uniforme, esta ecuación es
equivalente a
0g p g p (4.33)
Es decir, g p .
86
4.7. Ecuación diferencial del flujo de fluidos en medios porosos Utilizando la definición del nivel piezométrico se ve que
ˆp h
gt t
(4.34)
Si además la velocidad de Darcy se incorpora en Ec.(4.14), se obtiene
1 1
S
hS g
t
U (4.35)
o
1
S
hS Ln g
t
U U (4.36)
Para fluidos poco compresibles, el término LnU es despreciable por lo que en
muchas aplicaciones, como en la Hidrología subterránea, se utiliza la ecuación
S
hS q
t
U (4.37)
en lugar de la Ec.(4.36). Aquí, 1q g . Finalmente incorporando la Ley de Darcy de la
Ec.(4.22), se obtiene
S
hS K h q
t
(4.38)
Esta ecuación es ampliamente utilizada en Hidrología Subterránea. En esa disciplina el
motivo principal por el que puede ocurrir que 0q , es porque en estudios del agua
subterránea en los que hay un gran número de pozos de extracción se les aglutina y se les
incorpora en los modelos a través de un término 0q . De otra manera 0q , en las
aplicaciones. En el caso en que medio poroso es isotrópico, en que el tensor de
conductividad hidráulica está dado por la Ec.(4.23), esta ecuación de reduce a
S
hS K h q
t
(4.39)
Si además el medio poroso es homogéneo, K es independiente de la posición y
S
hS K h q
t
(4.40)
Esta es una variante de la ecuación del calor.
87
Desde luego, las ecuaciones diferenciales del flujo a través de medios porosos deben
complementarse con las condiciones de salto, Ec.(4.2), las cuales introduciendo la
velocidad de Darcy son
0U n v (4.41)
En las aplicaciones al agua subterránea, es continua y las discontinuidades son inducidas
por discontinuidades en las propiedades físicas de los estratos geológicos. Entonces, las
discontinuidades están fijas en el espacio, por lo que 0 v y la Ec.(4.41) se reduce a
0U n (4.42)
Es decir, al atravesar de un estrato geológico a otro, la componente de la velocidad de
Darcy, en la dirección normal a la superficie que los separa, es necesariamente continua. Es
importante notar, sin embargo, que si las porosidades de los estratos involucrados son
diferentes, en general la velocidad normal del fluido es discontinua. En efecto, la Ec.(4.42)
es
n n v v (4.43)
Cuando esta ecuación se cumple y , entonces n n v v , a menos que las
velocidades se anulen. Aquí, los subíndices se han utilizado para distinguir las propiedades
y velocidades en uno y otro estrato.
4.8. Las ecuaciones diferenciales de los estados estacionarios En muchas aplicaciones los modelos de los estados estacionarios son importantes. Para esas
condiciones del flujo, las ecuaciones (4.38) a (4.40) se reducen a
0
0
0
K h q
K h q
y
K h q
, (4.44)
88
4.9 Problemas bien planteados Las ecuaciones diferenciales que gobiernan los problemas transitorios, Ecs. (4.38) a (4.40),
son hiperbólicas y los problemas bien planteados correspondientes incluyen condiciones
iniciales y de frontera. Los casos más importantes son:
Condiciones iniciales: Se prescribe el valor inicial del nivel piezométrico.
0 0, ; h x t h x x (4.45)
Condiciones de frontera:
a. Condiciones de Dirichlet. Se prescribe el nivel piezométrico en la frontera del
dominio que se modela.
, ; , 0h x t h t x t (4.46)
b. Condiciones de Neuman. Se prescribe el flujo, o gasto, por unidad de área en la
frontera.
, ; , 0K h n q x t x t (4.47)
c. Condiciones de Robin. . Se prescribe una combinación lineal del nivel piezométrico
y el flujo en la frontera.
, , , , , ; , 0x t K h n x t x t h x t x t x t (4.48)
Las ecuaciones que gobiernan los estados estacionarios, Ecs.(4.44), son elípticas y y los
problemas bien planteados correspondientes incluyen condiciones de frontera,
exclusivamente, las cuales pueden ser de los tipos a), b) o c), que se acaban de enumerar.
89
4.10 Flujo cuando la matriz es incompresible En algunas aplicaciones la matriz porosa es tan poco elástica que se le puede considerar
incompresible. Las ecuaciones que gobiernan el flujo en tales casos, de matriz rígida, se
obtienen poniendo 0SS , en las Ecs. (4.38) a (4.40), y son las mismas que las Ecs. (4.44).
Si las condiciones de frontera que se imponen son independientes del tiempo, las soluciones
de estos problemas son las mismas que para los estados estacionarios. Sin embargo, es
frecuente tratar problemas en que, si bien la matriz porosa es rígida, las condiciones de
frontera cambian al transcurrir el tiempo, en cuyo caso la solución también cambia con el
tiempo. En este tipo problemas se dice que „las soluciones están dirigidas por las
condiciones de frontera‟. Con hipótesis bastante generales, es posible probar que, si las
condiciones de frontera a las que están sujetas son las mismas, las soluciones de las Ecs.
(4.38) a (4.40) tienden a las de la Ec.(4.44) cuando 0SS .
4.11 Problemas en una o dos dimensiones espaciales Hasta aquí, todas las formulaciones que se han presentado en este Capítulo, consideran un
espacio físico de tres dimensiones. Sin embargo, hay un buen número de aplicaciones en las
que la dimensión del espacio físico se reduce a dos o una dimensión. La justificación de
esta forma de proceder es diversa, dependiendo del tipo de problema que se trate. Por
ejemplo, en Geohidrología el espesor de los acuíferos generalmente es mucho menor que su
extensión horizontal, lo que motiva que los cambios en la dirección vertical de variables
tales como el nivel piezométrico, no se tomen cuenta y se les considere como funciones de
dos dimensiones y el tiempo. Es claro, que un manejo adecuado de los modelos
simplificados de esta manera requiere conocer el rango de aplicabilidad de tales
simplificaciones. Las herramientas principales para establecer tales rangos de aplicabilidad
son analíticas o empíricas, o una combinación de ambos enfoques. A continuación se
presenta un ejemplo en el que es posible realizar una derivación completa de un modelo
bidimensional utilizando el enfoque analítico.
90
Ejemplo: Modelo bidimensional para flujo en un acuífero confinado
En Geohidrología, un estrato geológico permeable y poroso que está limitado por dos capas
impermeables, se dice que constituye un acuífero confinado.
Considere entonces el acuífero confinado de la Fig.( ), con las siguientes hipótesis:
El espesor es uniforme;
0q en la Ec.(4.37),
El acuífero es verticalmente homogéneo; es decir sus propiedades son
independientes de la coordenada vertical z;
La dirección vertical es un eje de simetría para el tensor de conductividad
hidráulica; por lo mismo, hay un vector propio del este tensor cuya dirección es
vertical.
Entonces, debido a que los estratos que lo limitan son impermeables, se satisfacen las
condiciones
3 0U , en 0z y z b (4.49)
Integrando la Ec.(4.37) con respecto a z, la cual se toma coincidiendo con 3x , se obtiene
2 2
3
1 130 0 0
b b b
s
U U US hdz dz dz
t x x x
(4.50)
Observe que
2 2 2
1 1 10 0 0
b b bU U
dz dz U dzx x x
(4.51)
Además,
b
b
0
Capa impermeable
Capa impermeable
Material poroso
91
2
1
hU K
x
, 1,2 (4.52)
Si definimos a 0
1b
ih hdxb
, entonces, la Ec.(4.50) se escribe como
s
hS K h
t
(4.53)
Ésta es la versión bidimensional de la Ec.(4.38), con 0q . Es fácil ver que esta ecuación
se reduce a las Ecs.(4.39) y (4.40), para los casos correspondientes. Además, la Ec.(4.53) se
puede escribir
h
S T ht
(4.54)
Donde SS bS y T bK son el coeficiente de almacenamiento y la matriz de
transmisividad, respectivamente. Si el acuífero es bidimensional e isotrópico, entonces
2hS T h
t
(4.55)
En lo que sigue, cuando apliquemos estas ecuaciones a acuíferos bidimensionales,
eliminaremos la testa; es decir, escribiremos h en vez de h .
92
4.12 Algunas soluciones especiales En el caso homogéneo, sin fuentes, la Ec.(4.44) se reduce a la ecuación de Laplace:
0h (4.56)
Para cualquier número de dimensiones del espacio físico, n , las funciones
21
2
n
n
x rn
(4.57)
y
1
log2
x r
(4.58)
son soluciones de la ecuación de Laplace. Aquí,
1
22
1
n
i
i
r x
. A estas funciones se les
conoce como soluciones fundamentales de la ecuación de Laplace [Courant & Hilbert,
1962]. Ellas, tienen la propiedad de que
1x dxn
(4.59)
cuando el dominio es una esfera unitaria, con centro en el origen, y la derivada normal
se toma hacia fuera de dicha esfera.
Para nuestra discusión, tiene especial interés el caso en que 2n . Así [de Marsily, 1986],
la llamada fórmula de Dupuit, o Thiem:
log2
Qh x H r
T (4.60)
representa la solución de „un pozo en una isla‟. Más precisamente, h x es el nivel
piezométrico que se observa cuando se explota un pozo, localizado en el centro de una isla
circular, a un gasto Q si el nivel del agua que rodea la isla es H . Aquí, se supone que
acuífero es bidimensional y que T Kb es su transmisividad.
El caso transitorio de este problema, cuando el acuífero es bidimensional e ilimitado, es
sumamente importante por sus aplicaciones en la explotación del agua subterránea
(Geohidrología). Suponga que la producción de un acuífero se inicia en un estado
estacionario 0h x y defina el „abatimiento‟ por
93
0, ,s x t h x h x t (4.61)
Entonces el volumen de fluido extraído de un dominio es ,Ss x t dx . Además, es
fácil ver que la ,s x t satisface la ecuación
2sS T s
t
(4.62)
La función
2
11 4, 4
S x
TtFs x t S Tt S e
(4.63)
tiene la propiedad de que
2
, 1FSs x t dx R (4.64)
Es decir,
2
11 4, 4
S x
TtFs x t S Tt S e
es el abatimiento producido cuando se extrae un
volumen unitario de fluido, del origen del espacio físico, en el tiempo 0t . Luego, cuando
de manera continua se extrae un volumen Q por unidad de tiempo, el abatimiento
producido es
2
0
4
0 0
, ,
,4
t
F
S x
Tt t
F
s x t Qs x t d
Q eQs x d d
T
(4.65)
De aquí, es fácil derivar una expresión ampliamente usada en la práctica, introduciendo la
variable auxiliar 2
4Ttu
x S ,
1
,4 u
Q es x t d
T
(4.66)
La integral de la función exponencial está tabulada. En geohidrología, se utiliza la “curva
de Theis”, la cual se grafica como función de u , y la Ec.(4.66) se escribe
,4
Qs x t W u
T (4.67)
94
En la notación aquí empleada 0Q cuando hay extracción y es negativa cuando hay
inyección. Esta convención cambia con diversos autores. Por ejemplo, de Marsily [1986]
utiliza la convención de signos contraria.
4.13 Transporte en medios porosos La discusión que se presenta a continuación es muy similar a la del transporte de solutos en
fluidos libres, del Capítulo3. Sin embargo, hay algunas diferencias. La primera es que los
fluidos, cuando se encuentran en un medio poroso, no llenan completamente el espacio
físico que contiene al sistema poroso. En efecto, aunque la matriz esté saturada, como se
supone tanto en el Capítulo anterior como en lo que sigue, el fluido ocupa solamente el
volumen de los poros de la matriz sólida, el cual constituye una fracción del mismo. Así, la
masa del soluto, SM t , está dada por:
, ,S
B t
M t x t c x t d x (4.68)
Aquí, ,c x t es la concentración del soluto en el fluido. La propiedad intensiva asociada a
la masa del soluto es el integrando en el segundo miembro de esta ecuación; es decir, el
producto de la porosidad por la concentración del soluto: , ,x t c x t .
La ecuación global de balance para la masa de un soluto es:
, ,Sss
B t B t
dMt g x t d x x t nd x
dt
(4.69)
es equivalente a dos ecuaciones, que deben satisfacerse simultáneamente: la ecuación
diferencial de balance local:
v Ss
cc g
t
(4.70)
y la condición de salto correspondiente
v v 0; sc n x (4.71)
Esta última se aplica cuando el sistema tiene discontinuidades, pues cuando no las hay ella
se satisface automáticamente.
95
4.14 Los procesos del transporte en un medio poroso Son los mismos que para el transporte en fluidos libres, presentados en el Capítulo 3:
advección, procesos no conservativos (es decir, que alteran la conservación de masa) y la
difusión. La advección está asociada a la velocidad de las partículas, v , por lo que a esta
última se le refiere también como „velocidad de advección‟, o „advectiva‟. Esto, para
distinguirla de la velocidad de Darcy, U v , también utilizada en los estudios de fluidos
en medios porosos.
4.14A Decaimiento radiactivo
Para el transporte de solutos en medios porosos se considerarán los siguientes procesos no
conservativos (es decir, aquellos que alteran la conservación de masa de la sustancia
disuelta): decaimiento radiactivo, reacciones químicas y adsorción, del soluto en la matriz
sólida. En el caso del decaimiento radiactivo se tiene
Sg c (4.72)
4.14B Adsorción y reacciones químicas
La adsorción del soluto por la matriz sólida, es un proceso que no existe en el transporte en
fluidos libres, pues la presencia de una matriz sólida solamente se da cuando el fluido está
contenido en un medio poroso. Este proceso, es un tipo de reacción química en la cual el
soluto interactúa químicamente con la matriz del sistema poroso. La forma más precisa y
rigurosa de incorporar en los modelos de transporte de solutos por fluidos en medios
porosos, tanto la adsorción como las reacciones químicas, es considerando el sistema
poroso como un sistema de dos fases y utilizando tres propiedades extensivas. Las fases
son: la matriz sólida y el fluido contenido en ella. Las propiedades extensivas son: la masa
de la matriz sólida; sin contar la masa del soluto contenida en ella, la masa del soluto en la
fase sólida y la masa del soluto en la fase fluida. Ellas están definidas por las siguientes
integrales:
M b
B tM t dx (4.73)
96
Ss b
B tM t dx (4.74)
y
Sf
B tM t cdx (4.75)
Aquí y en lo que sigue se utiliza la siguiente notación:
S es la densidad de la fase sólida;
1b S es la densidad efectiva (“bulk density”) del medio poroso;
es la fracción de masa de contaminante en la fase sólida; y
la constante de la rapidez de la reacción de primer orden.
Las ecuaciones de balance global son:
0MdMt
dt , (4.76)
que corresponde a conservación de masa de la matriz sólida,
sSsf
B t
dMt g dx
dt (4.77)
y
Sf f f
S EB t B t
dMt g g dx ndx
dt
(4.78)
Aquí, 0s f
f sg g . Las Ecs.(4.76) y (4.77) son equivalentes a
0Sb
bt
v (4.79)
y
S sbb fg
t
v (4.80)
respectivamente. Combinándolas se obtiene
Sf s
s f b bg gt t
v (4.81)
Aquí, se supone que 1S
v . Tomando en cuenta solamente adsorción lineal o no-lineal
controlada por el equilibrio, se tiene que la fracción de masa del soluto en la fase sólida, ,
97
es una función de la concentración, c , del soluto en la fase líquida, la cual se expresará
como
c (4.82)
Entonces, la Ec.(4.81) se puede escribir como
f
s b
cg
c t
(4.83)
Si además, la rapidez de la reacción química es de primer orden, se tiene que la fuente, f
Eg ,
está dada por [Crove and Stollenwerk, 1984]:
f
E bg c (4.84)
Tomando en cuenta estos desarrollos, la Ec.(4.56) se puede escribir como
1 1
sO
c LnR c g c
t t
v (4.85)
Aquí, a 1 bRc
se le llama „coeficiente de retardación‟. En particular, cuando la
función c , de la Ec.(4.82), es lineal se tiene que
dKc
(4.86)
Donde dK es una constante, el llamado coeficiente de distribución.
Tiene interés dar una motivación para el término coeficiente de retardación que se acaba de
introducir para R . Para tal fin, consideremos el caso en que el fluido es incompresible, de
manera que
1 0Ln
t
v (4.87)
En tal caso la Ec.(4.85), con 0Og , se reduce a
11
s
cR c R
t
v (4.88)
98
Cuando 1R , esta es una ecuación de transporte con velocidad v , igual a la velocidad de
las partículas del fluido. En cambio, si 1R la velocidad del transporte se reduce a 1R v ;
es decir, el transporte sufre una retardación que es tanto mayor cuanto mayor sea R .
4.14C Los procesos de difusión
Por lo que respecta a los procesos de difusión, hay diferencias fundamentales en este
aspecto entre el transporte en fluidos libres y el que tiene lugar en fluidos contenidos en un
medio poroso. En este último caso del transporte, el carácter aleatorio de la distribución de
los poros en la matriz sólida da lugar a un tipo adicional de difusión que no se presenta en
los fluidos libres. Así, en un medio poroso tienen lugar dos tipos de procesos difusivos:
a) Difusión molecular debido a los movimientos Brownianos, que en el ámbito
microscópico, efectúan las moléculas del soluto y del fluido;
b) Difusión mecánica. Ésta, está asociada al carácter aleatorio del medio poroso.
El vector del flujo difusivo está dado por
( , )s x t D c (4.89)
Aquí, D es el tensor de dispersión hidrodinámica, cuya expresión es
v v
vv
i j
ij T ij L T d ijD D D D D (4.90)
A éste se le puede descomponer en dos partes: el tensor de dispersión molecular
m
ij d ijD D (4.91)
y el tensor de dispersión mecánica
v v
vv
i jM
ij T ij L TD D D D (4.92)
Arriba, - es la tortuosidad del medio poroso 1 , TD - es el coeficiente de
dispersividad mecánica transversal y LD - es el coeficiente de dispersividad mecánica
longitudinal. En general, L TD D , como se supondrá en lo que sigue. Observe que m
D es
un tensor isotrópico, mientras que, cuando 0v , M
D es anisotrópico. Puede verse que la
99
dirección del vector velocidad de las partículas del fluido es un eje de simetría para M
D y
que cualquier vector perpendicular a ella es uno de sus vectores propios. Los valores
propios son LD v y TD v , respectivamente. Además, el primero de estos valores propios
tiene una multiplicidad uno, mientras que el segundo tiene multiplicidad dos.
Los resultados que se acaban de mencionar, se pueden verificar como se explica a
continuación:
a) Cuando el gradiente de la concentración es paralelo a la velocidad, vc :
En este caso el gradiente de la concentración se puede escribir como vc , donde
, entonces
2
v vv v
v
v vv v v v v
v
i jM
ij T ij L T j
j
i
T i L T L i L
i
c D D D D
x
cD D D D D
x
(4.93)
b) Cuando el gradiente de la concentración es ortogonal a la velocidad vc
v v
v vv
i jM
ij T ij L T T
j j i
c c cD D D D D
x x x
(4.94)
Una observación interesante resulta si consideramos un punto de la frontera de un cuerpo
de fluido. Entonces:
a) Si la frontera es perpendicular a la velocidad. Entonces, el vector normal a la
frontera es paralelo a la velocidad de las partículas vn , se tiene
vM
mec L
cn n D c D
n
(4.95)
b) Si el vector normal a la frontera es perpendicular a la velocidad de las partículas
vn , entonces
vM
mec T
cn n D c D
n
(4.96)
100
Una propiedad importante, que debe observarse, es que la difusión mecánica crece con la
magnitud de la velocidad. De hecho, sus valores propios son proporcionales a dicha
magnitud. En particular, si el fluido está en reposo ( 0v ) solamente se tiene difusión
molecular, pues la Ec.(4.90) se reduce a
ij d ijD D (4.97)
Observe, que en ausencia de fuentes, la ecuación diferencial que gobierna la difusión, con
el fluido en reposo, es
d
cD c
t
(4.98)
Para un acuífero rígido y homogéneo, esta ecuación se reduce a
d
cD c
t
(4.99)
Como la tortuosidad 1 , esto muestra que el coeficiente de difusión molecular, cuando
el fluido está contenido en un medio poroso, es siempre menor al que se aplica cuando el
fluido está libre.
Finalmente, en términos de la velocidad de Darcy el tensor de dispersión hidrodinámica, se
puede rescribir como:
i j
ij T ij L T d ij
U UD D U D D D
U (4.100)
101
CAPÍTULO 5
MECÁNICA DE SÓLIDOS Y FLUIDOS
La mecánica de sólidos y la de fluidos tienen muchos aspectos en común. Como se explicó
en la Sección 4, del Capítulo2, todos ellos se basarán en el balance de las siguientes
propiedades extensivas: masa, momento lineal y energía, pero siempre se supondrá que el
tensor de esfuerzos es simétrico. Una diferencia fundamental entre fluidos y sólidos radica
en las ecuaciones constitutivas que les son aplicables. Las secciones iniciales de este
capítulo, están dedicadas a sólidos elásticos y posteriormente se estudian algunos aspectos
básicos de la mecánica de fluidos.
5.1 Sólido elástico. Estudiaremos “materiales simples”, los cuales pasamos a definir. En lo que sigue, las
coordenadas materiales, X , se identifican con una posición “inicial” de las partículas del
sólido. Sea
,u x X p X t X (4.101)
el vector de desplazamientos. Entonces la matriz XH u , es la matriz de “deformaciones
unitarias”. Para “materiales simples”, se supone que la matriz de esfuerzos, , es una
función del “estado inicial” y de las deformaciones unitarias. Si definimos
XXF p I u I H (4.102)
en términos más precisos se supone que el tensor de esfuerzos es una función de las
deformaciones unitarias. Así:
S F (4.103)
Podemos observar que el tensor de las deformaciones es función solamente del gradiente de
las deformaciones X u y no depende de la rapidez de la deformación. En el ámbito
internacional se ha estudiado una clase más general de materiales, llamados “materiales
viscoelásticos”, en los cuales el tensor de esfuerzos depende de la rapidez de la
deformación o, para clases aún más generales, de la historia pasada de la deformación. En
este último caso se dice que el material tiene memoria.
102
5.2 El tensor de esfuerzos Cuando el sólido se encuentra en la configuración de referencia, se tiene 0u , por lo que
0XH u y S I . A la matriz S I se le conoce como el esfuerzo residual y por
lo anterior resulta claro que S I representa a la matriz de esfuerzos que existía cuando el
sólido se encontraba en el estado inicial; es decir, en la configuración de referencia. En
particular, 0S I cuando la configuración de referencia corresponde a un estado del
sólido libre de esfuerzos.
Si desarrollamos el tensor de esfuerzos en una serie de Taylor hasta el término lineal
obtenemos:
2
: XS F S I C u O H (4.104)
Aquí, al tensor de cuarto orden ij
pq
SC
F
se le conoce con el nombre de “tensor
elástico”. Sus términos se escribirán como ijpqC , donde , , , 1,2,3i j p q . En la teoría lineal
de la elasticidad, se supone que las deformaciones unitarias son pequeñas; es decir, se
supone que H es pequeña. En dicha teoría, el tensor de esfuerzos es una función lineal de
las deformaciones:
: XC u (4.105)
Esta ecuación es consecuencia de la Ec.(4.104) cuando se supone que la configuración de
referencia está libre de esfuerzos y, como se hace en la teoría lineal de la elasticidad, se
desprecia el término 2
O H por ser de segundo orden en H . La teoría de la elasticidad
lineal, como su nombre lo indica, sólo toma en cuenta términos de primer orden en H .
Por otra parte, la matriz iX
j
uu
X
satisface
: :X x xu u F u I H (4.106)
103
Observe que
1 21: : :x X Xu u F u I H H I H O H
(4.107)
Así que sustituyendo esta ultima ecuación en la Ec.(4.106) se obtiene
2
X xu u O H (4.108)
Con base en este resultado, en la teoría lineal de la elasticidad se utiliza la identidad
x Xu u (4.109)
104
5.3 El tensor de deformaciones unitarias (“strain tensor”) El gradiente de deformaciones es un tensor, que en la teoría de la elasticidad lineal está
dado por
1 1 1
1 2 3
2 2 2
1 2 3
3 3 3
1 2 3
u u u
x x x
u u uu
x x x
u u u
x x x
(4.110)
Como cualquier tensor, se puede expresar como la suma de su parte simétrica y su parte
antisimétrica, las cuales denotaremos por E y W , respectivamente. En tal caso, se tiene
u E W (4.111)
con
1/ 2T
E u u y 1/2T
W u u (4.112)
En notación indicial, con , 1,2,3i j , estas últimas ecuaciones son
1
2
jiij
j i
uuE
x x
y 1
2
jiij
j i
uuW
x x
(4.113)
Al tensor E se le llama “tensor de deformaciones unitarias infinitesimales” („infinitesimal
strain tensor‟). La notación
1
2
jiij
j i
uue
x x
y 3 3
1 1
p
pp
p pp
uE
x
(4.114)
también es frecuente. La función es la traza tanto de la matriz E como de la matriz H ,
y representa el cambio de volumen, por unidad de volumen, con respecto a la configuración
de referencia. Esto motiva que la función se le conozca como la deformación
volumétrica unitaria. Diremos también, que un estado de deformación de un cuerpo es
“isocórico”, o que “conserva el volumen”, cuando 0 .
Dado E , defina
105
ˆ3
V I
, es decir 3
ij ijV
(4.115)
y
ˆ ˆE E V , es decir 1ˆ3
ij ij ijE E (4.116)
Claramente
ˆ ˆE E V (4.117)
Observe que ˆ 0iiE , por lo que el tensor E es isocórico. Además, a un sistema de
deformaciones unitarias, como V , que es múltiplo del tensor idéntico, se le llama
isotrópico. Por lo mismo, la Ec.(4.117) exhibe una descomposición de cualquier sistema de
deformaciones unitarias, como la suma de uno isocórico y otro isotrópico. Es fácil ver que
tal descomposición es única. También que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. Un estado de deformaciones conserva el volumen;
2. 0 ;
3. ˆ 0V ; y
4. ˆE E .
finalmente, es interesante observar que, en la teoría lineal,
t
v (4.118)
106
5.4 Algunas propiedades del tensor elástico Defina
ˆijpq ijpq ij pqC C (4.119)
y
ˆij pqL (4.120)
donde
3
,
1
9rrss
r s
C
(4.121)
Entonces
ˆ ˆC C L (4.122)
donde ˆ ˆC C L . Entonces, si E es isocórico, se tiene
ˆ: :C E C E (4.123)
Un primer examen indicaría que el tensor elástico depende de 4
3 81 parámetros. Sin
embargo este número se reduce considerablemente cuando se toman en cuenta varias
simetrías, las cuales son consecuencia de las siguientes hipótesis.
1.- La condición de balance del momento angular se satisface
Como se ha visto esta condición es equivalente a T
, lo cual obviamente se cumple, si
y sólo si,
ijpq jipqC C (4.124)
2.- Objetividad
El comportamiento mecánico es independiente del sistema de referencia. En este caso,
0C W cualquiera que sea el tensor antisimétrico W . Esto implica que ijpqC sea simétrico
en sus dos últimos índices; es decir,
ijpq ijqpC C (4.125)
107
3.- El proceso es isentrópico
Que un proceso sea isentrópico significa que no hay fuentes de calor (h=0), ni tampoco
flujo de calor (q=0), por lo que el balance de energía de la Ec.(2.50), se reduce a
:DE
Dt v (4.126)
que expresa el intercambio local de energía mecánica y energía interna. Además, a la
energía interna contenida en un cuerpo, la cual es una propiedad extensiva, le corresponde
como propiedad intensiva asociada, el producto E , pues E representa la energía interna
por unidad de volumen. La derivada material de esta propiedad intensiva, en vista de la
Ec.(4.126) y de la ecuación de la conservación de masa, D
Dt
v , está dada por
:D E
EDt
v v (4.127)
o, en vista de la Ec.(4.118)
:D E
EDt t
v (4.128)
Multiplicando esta ecuación por e se obtiene
: :ED Ee
e eDt t
v (4.129)
Desarrollando en serie el exponencial e , se obtiene
:ED Ee
términos de orden mayorDt t
(4.130)
En la teoría lineal se desprecian los términos de orden mayor, por lo que la ecuación que se
utiliza es
: : :E ED Ee
E CDt t t
(4.131)
En el espacio lineal de los tensores E , tomemos una trayectoria cerrada y tomemos la
integral de línea de ambos miembros de la Ec.(4.131). Entonces el miembro de la izquierda,
por ser una diferencial exacta da cero. Esto muestra que
: : 0E
E C dtt
(4.132)
108
para cualquier trayectoria cerrada. Por lo mismo, el tensor elástico, C , posee la siguiente
simetría
ijpq pqijC C (4.133)
Resumiendo, las simetrías del tensor elástico son:
ijpq jipqC C , ijpq ijqpC C y ijpq pqijC C (4.134)
Estas simetrías reducen el número de coeficientes independientes del tensor elástico, de 81
a 21 .
109
5.5 Materiales Isotrópicos Cuando el material es isotrópico, el número de coeficientes independientes se reduce aún
más; de 21 a solamente 2 : las llamadas constantes de Lamé, y . En este caso el tensor
elástico es
ijpq ij pq ip jq iq jpC (4.135)
Otros parámetros que también se usan para expresar este tensor elástico son el módulo de
Young E y la razón de Poisson (frecuentemente se usa , pero nosotros preferimos no
utilizar esta letra porque en nuestra notación es el tensor de esfuerzo). La transformación
entre estos parámetros y las constantes de Lamé se puede realizar por medio de las
siguientes ecuaciones:
1 1 2 2 1
3 2
2
E E
E
(4.136)
Observe que
3 k
E
, donde
2
3 k (4.137)
donde 2
3 k , es el llamado „coeficiente de incompresibilidad‟. Observe que 0k si
y sólo si el módulo de Young se anula.
En este caso, tenemos las siguientes formas alternativas de expresar las relaciones esfuerzo-
deformación:
2 2ij pp ij ij ij ije e e , (4.138)
2p ji
ij ij ij ij
p j i
u uue
x x x
(4.139)
y
Tu I u u (4.140)
110
5.6. Teoría Lineal de la Elasticidad En matemáticas aplicadas hay muchos problemas que dan lugar a ecuaciones no-lineales.
Aunque existen métodos que permitan tratar algunos de esos problemas en forma directa, es
frecuente que el procedimiento de solución consista, como cuando aplica el método de
Newton, en resolver una sucesión de problemas lineales cuya solución converge a la
solución deseada del problema no-lineal. Una forma de pasar del problema no-lineal a un
problema lineal –es decir, un proceso de “linealización”- se explica a continuación. Es
importante aclarar que en algunos casos, como en muchas de las aplicaciones de la
“elasticidad lineal”, la primera aproximación así obtenida proporciona ya una aproximación
satisfactoria, y por lo mismo útil, a la solución del problema original.
5.6.1 El proceso de „linealización‟
Considere una familia de ecuaciones diferenciales parciales, de orden 1n , dependiente
de un parámetro 0 , dada por:
ˆ , , , 0f U x t (4.141)
donde el vector ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., nU u u u . Cuando se usa esta notación, la Ec.(4.141) significa
que la función ˆ , , ,f U x t , además del vector de posición x , el tiempo t y el parámetro
, depende de la función , ,u x t y de sus derivadas parciales hasta orden 1n . Se
supone aquí que ˆ , ,u x t es una función tal que cuando toma valores en un intervalo
0, , 0 , , ,u x t es solución de la ecuación diferencial (4.141). Entonces,
utilizaremos la notación ˆ , ,U x t para el vector ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., nU u u u , cuando
ˆ ˆ , ,u u x t . Observe que ˆku es un tensor de orden k ; sin embargo, para los desarrollos
subsecuentes conviene denotar por ˆlU , 1,2,...l , a las componentes escalares del vector
U , escribiendo 1 2ˆ ˆ ˆ, , ,...U U U . Con esta notación cada ˆ
lU , 1,2,...l , es o la función
misma, o una derivada parcial de algún orden de u . Entonces, derivando la Ec.(4.141) con
respecto a , y poniendo 0 , se obtiene
111
ˆ
ˆ ˆ, ,0 , , ,0 , ,0 , ,0 , , ,0 0i
i i
Uf fU x t x t x t U x t x t
U
(4.142)
Observe que, debido a que en las derivadas parciales el orden de la derivación no afecta el
resultado, se tiene ˆ ˆ
, ,0 , ,0u u
x t x t
, por lo que si definimos
ˆ, , ,0
uu x t x t
,
entonces la Ec.(4.142) es
, , ,i i
i
C x t U x t D x t (4.143)
Aquí,
1 2, ,... , ,...,
ˆ ˆ, , ,0 , , ,0 , , ,0 , , ,0
n
i
i
U U U u u u
f fC x t U x t x t y D x t U x t x t
U
(4.144)
En conclusión, la Ec.(4.143) constituye una ecuación diferencial lineal, inhomogénea, de
orden cuando más n , para la función ˆ
, , ,0u
u x t x t
, cuyos coeficientes son
conocidos cuando la solución ˆ , ,0u x t lo es. Este es el proceso de linealización,
ampliamente usado en el tratamiento de ecuaciones diferenciales no-lineales en
combinación con el método de Newton, o alguna de sus variantes, y que utilizaremos aquí
para derivar las ecuaciones básicas de los modelos de la elasticidad lineal. Para aplicar este
procedimiento de linealización, al cual frecuentemente se le llama método de
perturbaciones, es necesario conocer una solución de la ecuación no-lineal original, puesto
que los coeficientes de la ecuación diferencial (4.143) dependen de la función ˆ , ,0u x t y
sus derivadas. En tal caso se dice que la Ec.(4.141) se ha perturbado alrededor de solución
ˆ , ,0u x t y que la Ec. (4.143), es la ecuación perturbada alrededor de ˆ , ,0u x t .
5.6.2 Modelos Elásticos Lineales
El punto de partida son las ecuaciones de balance presentadas en el resumen de la
Subsección 2.5.E, del Capítulo 2. Sin embargo, la ecuación de balance de momento angular
no se utiliza directamente pues se sustituye por la condición de que el tensor de esfuerzos
sea simétrico, que es equivalente. Por lo que respecta a la condición de balance de energía,
112
se utilizará solamente su versión linealizada la cual de acuerdo con la Sección 5.4 es
equivalente a la simetría del tensor elástico dada por la Ec.(4.133). Así, consideraremos
solamente las ecuaciones de balance de masa y de momento lineal. Además, para distinguir
las variables antes y después de la linealización, utilizaremos la tilde. Así, por ejemplo,
ˆ , ,x t será la densidad antes de la linealización, mientras que ,x t representará a esa
propiedad intensiva después de la linealización. Es decir, en la notación de la subsección
5.6.1, ˆ
, , ,0x t x t
. Con esta notación, las ecuaciones de balance que utilizaremos
son
ˆ
ˆ ˆˆ ˆ 0t
v v (4.145)
y
ˆ
ˆˆ ˆˆ ˆˆ bt
vv v (4.146)
Se supondrá que el sólido está sujeto a la fuerza de cuerpo b b , donde es el parámetro
que se utilizará para perturbar estas ecuaciones alrededor del cero.
Considere un material simple y suponga que la configuración de referencia es libre de
esfuerzos. Entonces una solución del sistema de Ecs.(4.145) y (4.146) cuando 0 y el
proceso es isentrópico, es el sistema de funciones:
ˆ , ,0 .X t Const , ˆ , ,0p X t X y ˆ , ,0 .E X t Const (4.147)
Observe que cuando las ecuaciones (4.147) se satisfacen ˆ , ,0 0u X t , ˆ , ,0 0x t v y .
ˆ , ,0 0x t . Se obtiene,
0ot
v (4.148)
2
2o o
ub
t
(4.149)
Una propiedad importante es que las Ecs.(4.148) y (4.149) no están acopladas. Sin
embargo, en las teorías no-lineales generalmente las ecuaciones de balance de masa y
momento lineal sí están acopladas, en cuyo caso es necesario resolverlas simultáneamente.
113
Por lo que respecta a la Ec.(4.149), de balance de momento, ella puede escribirse también
de varias maneras. Así:
2
0 2: o
uC u b
t
y
2
0 2
p
ijpq o i
j q
uuC b
t x x
i (4.150)
Por lo que respecta al balance de momento una forma conveniente de expresarlo es
2
0 2 o
uu u b
t
(4.151)
En estados de equilibrio, los desplazamientos son independientes del tiempo y las
ecuaciones de la elastodinámica se reducen a la ecuación de la elastostática lineal. Para el
caso general ellas son
p
ijpq o i
j q
uC b
x x
(4.152)
y,
ou u b (4.153)
para materiales isotrópicos. Además, en condiciones de equilibrio, integrando la Ec.(4.148)
se obtiene:
o o u (4.154)
5.6.3 Algunos resultados adicionales para sólidos isotrópicos
Sean ,x t y ,x tv una función y un campo vectorial y defina
, , ,u x t x t x t v (4.155)
Entonces ,u x t satisface el caso homogéneo ( 0b ) de la Ec.(6.13), si
2
2 2
1
t
(4.156)
2
2 2
1
t
vv y , 0x t v (4.157)
114
Aquí,
1
22
y
1
2
, las cuales son conocidas como las velocidades de las
ondas P (o volumétricas) y de las ondas S (de cizallamiento o cortante), respectivamente.
Una representación útil del campo vectorial de desplazamientos, ampliamente usada en
Sismología y en estudios de propagación de ondas elásticas, utiliza un segundo potencial, el
„potencial vectorial ‟. Explícitamente, esa representación es
u (4.158)
Observe que
0 (4.159)
Así que la representación de las Ec. (4.158) corresponde a tomar v . En este caso, la
ecuación (4.156) junto con
2
2 2
1
t
(4.160)
son suficientes para satisfacer el caso homogéneo de la Ec.(4.151). Observe que
u y u (4.161)
En forma similar, con la representación (4.155), la ecuación homogénea de la elastostática
isotrópica (4.153), se satisface cuando
0 y 0 (4.162)
