MN DiferenciacionIntegracion OK
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Mtodos Numricos
Tema: Diferenciacin e integracin numrica
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin
Contenido
1. Diferenciacin numrica basado en la serie de Taylor
2. Diferenciacin numrica basado en el polinomio de Lagrange
3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes
4. Integracin numrica por cuadratura de Gauss
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin
Contenido
1. Diferenciacin numrica basado en la serie de Taylor
2. Diferenciacin numrica basado en el polinomio de Lagrange
3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes
4. Integracin numrica por cuadratura de Gauss
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 1. Diferenciacin basado en la serie de Taylor
Objetivo
1. Aproximar la derivada de una funcin slo a partir de los valores de la funcin
2. Aproximar la derivada de una funcin si se conoce la funcin slo en algunospuntos
Importancia:
1. Se usa la derivacin numrica, si la derivada analtica no es disponible o difcilde determinar (por ejemplo en la implementacin de un algoritmo que usa laderivada de una funcin)
2. Se conoce la funcin slo en algunos puntos ( est dada en forma tabulada),sin embargo se necesita saber cmo cambia.
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 1. Diferenciacin basado en la serie de Taylor
Aproximacin de la derivada: idea
Se usa la serie de Taylor
f(x+ h) = f(x) + h f (x) +h2
2f ((x,x+h))
Resolviendo la ecuacin para f (x) se obtiene una aproximacin de la derivada:
f (x) f(x+ h) f(x)
h
y su error:
error=h
2
f ((x,x+h)) h2max{|f (y)| |y (x, x+ h)}.
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 1. Diferenciacin basado en la serie de Taylor
Aproximacin de la primera derivada
Para mejorar el error de la frmula, se usa el desarrollo de Taylor de oreden 2 enlos puntos x+ h y x h:
f(x+ h) = f(x) + h f (x) +h2
2f (x) +
h3
3!f (3)((x,x+h))
f(x h) = f(x) h f (x) +h2
2f (x)
h3
2f (3)((xh,x))
Restando las dos ecuaciones:
f(x+ h) f(x h) = 2h f (x) +h3
3!f (3)((x,x+h)) +
h3
3!f (3)((xh,x))
y resolviendo para f (x) se obtiene:
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 1. Diferenciacin basado en la serie de Taylor
Aproximacin de la primera derivada (continuacin)
Aproximacin de la primera derivada:
f (x) f(x+ h) f(x h)
2h
Estimacin del error:
error=
h212 f (3)((xh,x)) + h2
12f (3)((x,x+h))
h26 max{f (3)(y) |y (xh, x+h)}.
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 1. Diferenciacin basado en la serie de Taylor
Ilustracin
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 1. Diferenciacin basado en la serie de Taylor
Ejemplo 1. La derivada de senx y su aproximacin
La funcin senx tiene como derivada cosx .
En el siguiente grco se muestra la derivada nmerica con diferentes valores deh.
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
h = 0,25pi h = 0,1pi h = 0,01pi
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 1. Diferenciacin basado en la serie de Taylor
Aproximacin de la segunda derivada
De manera anloga, para la segunda derivada se usa el desarrollo de Taylor hastael orden 4 en los puntos x0 + h y x0 h
f(x+ h) = f(x) + h f (x) +h2
2f (x) +
h3
3!f (3)(x) +
h4
4!f (4)((x,x+h))
f(x h) = f(x) h f (x) +h2
2f (x)
h3
2f (3)(x) +
h4
4!f (4)((xh,x))
y se suman las dos ecuaciones:
f(x+h)+f(xh) = 2 f(x)+h2 f (x)+h4
4!f (4)((xh,x))+
h4
4!f (4)((x,x+h))
y resolviendo para f (x) se obtiene:
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 1. Diferenciacin basado en la serie de Taylor
Aproximacin de la segunda derivada (continuacin)
Aproximacin de la segunda derivada:
f (x) f(x+ h) 2 f(x) + f(x h)
h2
Estimacin del error:
error =
h24! f (4)((xh,x)) + h2
4!f (4)((x,x+h))
h212 max{f (4)(y) |y (xh, x+h)}.
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 1. Diferenciacin basado en la serie de Taylor
Ejercicio
1. La funcin senx tiene como segunda derivada la funcin -senx.
Determinar la segunda derivada numrica y comparar.
2. Desarrollar una frmula para aproximar la tercera derivada. Comparar la terceraderivada numerica de la funcin senx con su tercera derivada verdadera.
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin
Contenido
1. Diferenciacin numrica basado en la serie de Taylor
2. Diferenciacin numrica basado en el polinomio de Lagrange
3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes
4. Integracin numrica por cuadratura de Gauss
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 2. Diferenciacin numrica basado en el polinomio de Lagrange
Aproximar la derivada de una funcin, usando un
nmero finito de puntos
Idea:
Se interpola la funcin por el polinomio de Lagrange.
Luego se aproxima la derivada por la derivada del polinmio de Lagrange.
Resultado:
Construccin de la frmula para la derivada aproximada, que se basa en lospuntos los valores, donde la funcin st conocido y los valores de la funcin enestos puntos.
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 2. Diferenciacin numrica basado en el polinomio de Lagrange
Desarrollo: Aproximacin por polinomio de Lagrange
Sea f(x) la funcin cuya derivada queremos aproximar. Asumimos que f estconocido en los puntos x0, x1, x2, . . . xn. Usando el polinomio de Langrange, sepude f expresar como:
f(x) =ni=0
f(xi) Li(x) +R(x)
donde las funciones Li estan denidos por
Li(x) =n
j=0,j 6=i
(x xj)(xi xj)
y el residuo R(x) se obtiene por
R(x) =1
(n+ 1)!
nj=1
(x xj) f(n+1)(x)
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 2. Diferenciacin numrica basado en el polinomio de Lagrange
Desarrollo: Derivacin usando el polinomio de
Lagrange
Si se deriva la funcin, expresado com polinomio de Lagrange se obtiene:
f (x) =ni=0
f(xi) Li(x) +R
(x)
que se puede expresar como
f (x) =ni=0
f(xi) Li(x) +
1
(n+ 1)!
n
j=1
(x xj)
f (n+1)(x)
+1
(n+ 1)!
nj=1
(x xj) (f (n+1)(x)
)
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 2. Diferenciacin numrica basado en el polinomio de Lagrange
Desarrollo: Derivada en los puntos conocidos
En el caso de que x es uno de los puntos tabulados x0, x1, x2, . . . xn, digamos x = xk,
desaparece el ltimo trmino de la suma anterior.
Si x = xk, la derivada
0@ nY
j=1
(x xj)1A
=
nXm=0
nYj=1,,j 6=m
(x xj)
se simplifica tambin, y se obtiene:
0@ nY
j=1
(xk xj)1A
=nY
j=1,j 6=k(xk xj)
.
se obtiene la frmula
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 2. Diferenciacin numrica basado en el polinomio de Lagrange
f(xk) =
nXi=0
f(xi) Li(xk) +1
(n + 1)!
nYj 6=i,j=1
(xk xj) f (n+1)(x)
=nXi=0
f(xi) Qn
,j=1,j 6=k,j 6=i(xk xj)Qnj=1,j 6=i(xi xj)
+1
(n + 1)!
nYj 6=i,j=1
(xk xj) f (n+1)(x)
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 2. Diferenciacin numrica basado en el polinomio de Lagrange
Ejemplo 2: Derivada via polinomio de Lagrange para
senx
La gura muestra la primera derivada de la funcin senx y la aproximacin por laderivada del polinomio de Lagrange.
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1Derivada verdadera de fHxL
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1Derivada de Lagrange para fHxL
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 2. Diferenciacin numrica basado en el polinomio de Lagrange
Ejemplo 3: Derivada via polinomio de Lagrange para
una funcin compuesta
-1 -0.5 0.5 1
2
4
6
8
10La funcion original: fHxL
-1 -0.5 0.5 1
-10
-8
-6
-4
-2
2Derivada verdadera de fHxL
-1 -0.5 0.5 1
-2
2
4
6
8
10Polinomio de Lagrange para fHxL
-1 -0.5 0.5 1
-100
-50
50
100
Derivada de Lagrange para fHxL
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 2. Diferenciacin numrica basado en el polinomio de Lagrange
Frmula de (n+ 1) puntos
Aproximacin:
f (xk) =ni=0
f(xi) Li(x)
Error:n
j = 1j i
f (xk) =1
(n+ 1)!
nj=1,j 6=i,
(xk xj) f(n+1)(x)
con Li dado por
Li(x) =
n,j=1,j 6=k,j 6=i(xk xj)n
j=1,,j 6=i(xi xj)
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin
Contenido
1. Diferenciacin numrica basado en la serie de Taylor
2. Diferenciacin numrica basado en el polinomio de Lagrange
3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes
4. Integracin numrica por cuadratura de Gauss
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes
Motivacin
1. Muchos integrales no tiene solucin analtica, por ejemplo: 10ex
2dx,
10ex
senx
xdx,
10
senx
1 + xdx,
10e
1+x2x2 dx.
En estos casos se necesita un mtodo numrico conable para resolver elintegral
2. Muchos integrales tiene solucin analtica, pero esta involucra funciones trans-cedentales difciles de evaluar, por ejemplo: 10
1
1 + x4dx =
1
4
2log
x2 +
2x + 1
x2 2x + 1+
1
2
2
arctan
x2 x
+ arctanx
2 + x
En estos casos es preferible tener un mtodo nmerico eciente para la solucin
3. Hay situaciones, donde se se conoce la funcin slo en algunos puntos. Sinembargo se requiere una aproximacin del integral. En esta situacin se dependede un mtodo numrico de integracin.
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes
Interpretacin del integral y aproximaxin
Interpretando el integral como rea por debajo de la curva, se obtienen aproxi-maciones de integral, si se aproxima la funcin por una que sea fcil de integrar.
Integral exacto Integral aproximado
Typeset by FoilTEX 24
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes
Regla trapezoidal
Aproximando la funcin por una lnea recta, se obtiene la aproximacin que seconoce como regla trapezoidal:
ba
f(x) dx b a
2(f(a) + f(b))
Esta aproximacin tiene un error de
(b a)3
12f (2) () , donde (a, b)
El error se obtiene, integrando la frmula de Taylor para f sobre los puntosx (a, b).
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes
Ejercicio
Sea la funcin f denida en el intervalo [0, 1] por f(x) := 4 2x2.
Se pide:
Determinar el integral de la funcin en el intervalo [0, 1], usando la regaltrapezoidalEstimar el error
Solucin:
El intgral con la regla trapezoidal es:
ba
f(x) dx =
10
4 2x2 dx b a
2(f(a) + f(b)) =
1
2(4 + 2)) = 3
El error de acuerdo con la regla es:
error = (b a)3
12f (2) () =
1
124 =
1
3
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes
Integracin numrica compuesta
Se puede mejorar la aproximacin del integral, si se aplica la regal trapezoidal envarios puntos intermedios, como muestra la gura.
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes
Regla trapezoidal compuesta
Aplicano la regla trapzoidal sucesivamente para los puntos a =x0, x1, x2, . . . , xn = b se obtiene
ba
f(x) dx =
ni=1
xixi1
f(x) dx
ni=1
xi+1 xi2
(f(xi1) + f(xi))
y si los puntos son equidistantes ( xi+1 xi = h) se puede simplicar por :
ba
f(x) dx ni=1
h
2(f(xi1) + f(xi)) =
h
2
(f(a) + 2
n1i=1
f(xi) + f(b)
)
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes
Error de la regla trapezoidal compuesta
Se suman los errores de los intervalos, obteniendo:
error=ni=1
(xi xi1) 3
12f (2) (i) , donde i (xi1, xi)
y simplicando, si los puntos son equidistantes:
error=-h3
12
ni=1
f (2) (i) , donde i (xi1, xi)
lo que se puede simplicar para obtener
error=-b a
12h2 f (2) () , donde (a, b)
Typeset by FoilTEX 29
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes
Regla trapezoidal compuesta
en trminos del nmero de intervalos
Considerando que para un nmero de n intervalos, se tiene h =b a
n, se puede
expresar la regla trapezoidal y su error en trminos del nmero de intervalos n.
Aproximacin del integral:
ba
f(x) dx =b a
2n
(f(a) + 2
n1i=1
f(xi) + f(b)
)
Error:
-(b a)
3
12n2f (2) () , donde (a, b)
30
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes
Generalizacin
En el caso de la regla trapecoidal, se usa para aproximar la funcin, la recta quecoincide con la funcin en los puntos a y b; es decir, el polinomio de Lagrange deorden 1.
Se puede generar frmulas ms precisas que aproximan el integral, si se usapolinomios de Lagrange de mayor orden, para interpolar la funcin y se aproximael integral de la funcin por el integral del polinomio
El error de la aproximacin del integral se determina, integrando el error que setiene si se aproxima la funcin por el polinomio de Lagrange.
Usando el polnomio de Lagrange de grado 2 se obtiene la regla de Simpson.
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes
Regla de Simpson
Se usa el polinomio de Lagrange queinterpola la funcin dada en los puntosx0 = a, x1 = a + h, x2 = b, conh = (b a)/2.Aproximando la funcin y integrando elpolinomio de Lagrange se obtiene la si-guiente regla de Simpson. Integrando elerror de interpolacin se obtiene el errorde integracin.
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes
Regla de Simpson
Aproximacin del integral:
ba
f(x) dx h
3(f(x0) + 4f(x1) + f(x2))
Error de la aproximacin:
h5
90f (4) () , donde (a, b)
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes
Regla de Simpson3
8Si se interpola la funcin con el polinomio de Lagrange de orden 3 ( es decir,usando 4 puntos), se obtiene
Aproximacin del integral:
ba
f(x) dx 3h
8(f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3))
Error de la aproximacin:
error=3h5
90f (4) () , donde (a, b)
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes
Ejercicio
Desarrollar la regla de integracin que usa 5 puntos y el error correspondiente.
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes
Regla de Simpson compuestaDado que la regal de Simpson usa 3 puntos del intervalo, podemos extenderla,usando varios intervalos.
Ojo: 2 intervalos vecinos coinciden en 1 punto!, es decir, usamos los puntosx0, x1, . . . xn con n par.
Aplicando sucesivamente la regla de Simpson para los puntos equidistantes a =x0, x1, x2, . . . , xn = b se obtiene:
ba
f(x) dx h
3
f(a) + 2 n2
i =2, par
f(xi) + 4n
i =1,impar
f(xi) + f(b)
donde el error est dado por:
error=b a
180h4 f (4) () , donde (a, b)
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes
Regla de Simpson compuesta
en trminos del nmero de intervalos
Para n intervalos y h =b a
n, se puede expresar la regla de Simpson compuesta
y su error en trminos de n.
Aproximacin del integral:
ba
f(x) dx b a
3n
f(a) + 2 n2
i =2, par
f(xi) + 4n
i =1,impar
f(xi) + f(b)
Error:
error=(b a)
5
180n4f (4) () , donde (a, b)
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin
Contenido
1. Diferenciacin numrica basado en la serie de Taylor
2. Diferenciacin numrica basado en el polinomio de Lagrange
3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes
4. Integracin numrica por cuadratura de Gauss
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 4. Integracin numrica por cuadratura de Gauss
Idea
La regla trapezoidal es una suma ponderada de losa valores de la funcin en los 2puntos extremos del intevalo.
Qu tal usar dos puntos diferentes con otra ponderacin?
Ser que se puede mejorar la aproximacin?
La idea central es determinar la ubicacin de los puntos y la ponderacin de talforma, que el error de la aproximacin es 0 para polinomios de grado ms altoposible.
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 4. Integracin numrica por cuadratura de Gauss
Sistema de ecuaciones
Se quiere determinar los parmetros c0, c1, x0, x1 en la frmula general paraaproximar el integral:
11
f(x) dx c0f(x0) + c1f(x1)
Por eso, genera un sistema de ecuaciones, que se basa en la exigencia que lafrmula debe ser exacta para monmios de diferentes grados:
grado 0 f(x) = 1
11
1 dx = c0 + c1 c0 + c1 = 2
grado 1 f(x) = x
11
x dx = 0 = c0x0 + c1x1 c0x0 + c1x1 = 0
grado 2 f(x) = x3 11
x2 dx = 23 = c0x20 + c1x
21 c0x
20 + c1x
21 =
23
grado 3 f(x) = x3 11
x3 dx = 0 = c0x30 + c1x
31 c0x
30 + c1x
31 = 0
40
-
Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 4. Integracin numrica por cuadratura de Gauss
Sistema de ecuaciones (continuacin)
La solucin de este sistema es:
c0 = 1 ; c1 = 1x0 = 1/
3 ; x1 = 1/
3
Por eso se obtiene la frmula que aproxima el integral, que es exacta parapolinomios de grado 3, conocida como frmula de Gauss-Legendre de 2 puntos :
11
f(x) dx f (1/
3) + f (1/
3)
(para simplicar el desarrollo se usa la integracin de -1 a 1, para cualquier otrointegral se puede ajustar la frmula por cambio de las variables)
41
-
Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 4. Integracin numrica por cuadratura de Gauss
Ejemplo
Determinar
11
p(x) dx para el polinomio p(x) = 5x3 6x2 + 2x 1 por la frmula decuadratura de Gauss-Legendre y comparar con el integral exacto.
Cuadratura de Gauss-Legendre:
11
p(x) dx = p(1/3) + p(1/3) =
= 5 (1/3)3 6 (1/3)2 + 2 (1/3) 1 + 5 (1/3)3 6 (1/3)2 + 2 (1/3) 1 =
= 6 (1/3)2 1 6 (1/3)2 1 = 123 2 = 6.
Integracin exacta
11
p(x) dx =
11
5x3 6x2 + 2x 1 dx =
=
5x4
4 6 x
3
3+ 2
x2
2 x!11
= 4 2 = 6.
42
-
Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 4. Integracin numrica por cuadratura de Gauss
Integrales con lmites arbitarios: Procedimiento
Se transforma el intervalo[1, 1] al intervalo [a, b] introduciendo la nueva variable xd.La transformacin es lineal, es decir x = 0 + 1xd.
La transformacion debe cumplir a = 0 + 1(1) y b = 0 + 11.Resolviendo se obtiene 0 =
b+a2 1 =
ba2 ; con esto se obtiene x =
b+a2 +
ba2 xd.
Diferenciando se obtiene dx = ba2 dxd y con esto se obtiene ba
f(x) dx =
11
f(b+a2 +ba2 xd)
ba2 dxd
La formula de cuadratura de Gauss se aplica por eso a la funcin f(xd)b a
2y se obtiene
11
f(xd)b a
2dxd
b a2
fb+a2 +
ba2 (1/
3)
+b a
2fb+a2 +
ba2 (1/
3)
=b a
2fb+a2 ba23
+b a
2fb+a2 +
ba2
3
=
b a2
fb+a2 ba23
+ f
b+a2 +
ba2
3
43
-
Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 4. Integracin numrica por cuadratura de Gauss
Integrales con lmites arbitarios: Resultado
Hemos derivado la frmula de Gauss-Legendre para lmites arbitarios del intervalo:
ba
f(x) dx =b + a
2
f
b + a
2 b a
2
3
+ f
b + a
2+
b a2
3
44
-
Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 4. Integracin numrica por cuadratura de Gauss
Ejemplo
Determinar
84
p(x) dx para el mismo polinomio p(x) = 5x3 6x2 + 2x 1 por lafrmula de cuadratura de Gauss-Legendre y compare con el integral exacto.
Cuadratura de Gauss-Legendre:
84
p(x) dx =b a
2
pb+a2 ba23
+ p
b+a2 +
ba2
3
=
=8 (4)
2
p
8+(4)2
8(4)2
3
+ p
8+(4)
2 +8(4)
2
3
=
= 6p2 6
3
+ p
2 + 6
3
= 6
307 1963
+307 + 196
3
= 3684
Integracin exacta
84
p(x) dx =
84
5x3 6x2 + 2x 1 dx = 3684
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Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 4. Integracin numrica por cuadratura de Gauss
Generalizacin: Cuadratura de Gauss-Legendre
con n puntos
Las cuadratura de Gauss-Legendre de n puntos con su respectivos pesos seobtienen, determinando estos parmetros de tal manera que la frmula seacorrecta para los polinomios de grado ms altos posible.
n puntos pesos error grado
2 1/3 1 f (4) () 31/
3 1
3 -0.774597 0.555556 f (6) () 50 0.888889
0.774597 0.555556
4 -0.861136312 0.3478548 f (8) () 7-0.339981044 0.6421452
0.339981044 0.6421452
0.861136312 0.3478548
La tabla muesta los puntos, sus pesos y el orden de la derivada que dene el errory el grado ms alto de los polinomios para que la frmula es exacta.
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Anlisis del error
Grado ms alto de los polinomios para los cuales la frmula es exacta:
Cada punto adicional que se usa en la cuadratura genera 2 prmetros: el valordel punto y el valor del pesode este punto. Por eso se aumenta en 2 el gradomximo de los polinomios para que la frmula es exacta:
La frmula de n puntos es exacta para todos los polinomios de grado 2n1.
Frmula espeica del error:
error=22n+1
(2n+ 1) (2n)!f (2n) ()
donde [1, 1] si se entiende f (2n) con la (2n)sima derivada de la funcin despusde la transformada o
[a, b] si se entiende f (2n) con la (2n)sima derivada de la funcin antes detransformar.
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Ejemplo
Integrar la funcin f(x) = sen(x) en el intervalo [0, pi],usando los mtodos sigientes mtodos:
1. Regla trapezoidal simple
2. Regla trapezoidal compuesta (4 intervalos)
3. Regla de Simpson 1/3
4. Regla de Simpson 1/3 compuesta (4 intervalos)
5. Cuadratura de Gauss-Legendre con 2 puntos
6. Cuadratura de Gauss-Legendre con 3 puntos
7. Cuadratura de Gauss-Legendre con 4 puntos
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