MMII_CV_c2: Condiciones necesarias de primer y segundo orden del

modelo bsico y mtodos de integracin de la ecuacin de Euler.

Guin:

En esta clase se realiza una aproximacin distinta para obtener las cn10(ol),

as como se justifican las condiciones necesarias de segundo orden de ptimo

local.

La segunda parte de la clase se dedica a los mtodos de integracin del

modelo bsico del Clculo de Variaciones (CV).

Bibliografa recomendada: Adems del Elsgortz para esta leccin se debe

consultar el libro de problemas Clculo Variacional de Krasnov, Makarenko y

Kiseliov, tambin de la Editorial Mir.

Ejercicio recomendado: Opt. 2

2

1

( ) '(1 ')J y y x y que pase por los puntos:

A(1,3) y B(2,5).

______________________________________________________________________

Estas notas son solo una ayuda, que ni pretender ni pueden sustituir a la asistencia a

clase, donde se desarrollan los conceptos, se aclararn las dudas y se subsanaran

posibles erratas, y a la consulta de la bibliografa recomendada.

OBTENCIN DE LAS CN10(OL) MEDIANTE EL ANLISIS FUNCIONAL

Las cn10(ol) equivalen a que la derivada de Gateaux del funcional, en el

supuesto de existir, debe ser nula: 0

( ) 0,d

J J y h h Vd

lo que se puede poner,

2

1

0( , , ' ' ) 0,

x

x

df x y h y h h V

d

derivando, 2

1

' ' 0,

x

y y

x

f h f h h V , que enlaza con la aproximacin utilizada

en la clase anterior para definir las condiciones necesarias de primer orden de

mnimo local.

CONDICIN NECESARIA DE SEGUNDO ORDEN PARA MNIMO LOCAL

Definiciones de mnimo local/global, fuerte o dbil:

y mnimo local dbil (mld): ' a prximo ' ; a prximo ; ', yyyyVyyJ 10

y mnimo local fuerte (mlf): ' ; a prximo ; ', yyyVyyJ 10

y mnimo global (mg): 1J 0 y,y ' V

Fijarse que para obtener en estas y en las definiciones siguientes condiciones para el mximo local (Ml) es suficiente con cambiar el signo de las desigualdades. Vimos que un mnimo local se poda expresar como:

2 3

1 2 ( ) 0,J J J o h V

J 0 , h V cn1o(ol)

2 J 0 h V cn2o(ml)

Las variaciones de segundo orden vimos estn definidas por:

2

1

2 2

2 ' ' '2 ' ' 0 x

yy yy y yx

J h f hh f h f h V

2 2

2

11 1

x xx2 2

yy' yy ' x yy ' 1 2x x

2hh' f h f h f ' , pues h(x ) h(x ) 0 , ya que h V

0

Vhfhffhx

xyyyyyy ')'( ''' 0

2

1

22

El tercer trmino, se demuestra que, tiene mayor peso cuando las pertubaciones tienden a cero, con lo que obtenemos la cn20(ml), tambin

llamada Condicin de Legendre (CL): 210 xxxf yy , ''

Condicin necesaria de 2 orden de mnimo local (cn2o(ml)): los extremales que verifiquen la condicin de Legendre son candidatos a mnimo local.

Mtodos de integracin del modelo bsico:

1. f depende solo de x e y: ),( yxf

cn1o(ol): 0),( yxf y ecuacin que determina )(xy , que no tiene porqu

cumplir las condiciones de contorno solucin del problema de

contorno, salvo que de la casualidad que las condiciones de contorno

verifiquen la sol.

Ejemplo 1:1

1

2( )x

xJ x y ; 2( ) 0 ,yf x y y x no existe solucin,

salvo que las condiciones de contorno se establezcan justo en dicha recta.

2. f depende solo de y: )'(yf

1 2

y'y' y 'y ' iy ' y 'y '

i 2

y '' 0 y C x C d

f (y ') 0 Races de f : y ' kf (y ') 0 f y '' 0dx

y k x C incluidos en el caso anterior

21 CxCy :Solucin

Ejemplo 2: 2

1

21x

xyJ ' ; es el funcional distancia en el plano, cuyo

extremal sabemos que es la recta. La solucin es: 21 CxCy .

3. f depende solo de x e y: )',( yxf

y' y' y' 1

df ' f (x,y ') 0 f C

dx Integral primera

Ejemplo 3: 2

1

22 xyJ '

Resolvemos por dos mtodos: usando la integral primera y sin usarla:

a) 2 1y' 1 2

Cf 2y ' x C y C , x 0

x

Si las condiciones de contorno fueran: )()(

)(

xy

y

y 112

12

01

b) 02402 22 ''')''( yxyxxy edo de 2, que conduce al mismo

resultado, slo que el camino puede ser ms largo.

4. f depende solo de y e y: )',( yyf

10 Cfyffyfdx

dff yyyy ''' '')'( Integral primera, veamos:

0''''''''''''''' ''''''''' yffyfyyfyyfyfyfyfyfyfdx

dyyyyyyyyyyyyy

Ejemplo 4: 4

0

22/

)'( yyJ ; 10)(y ; 224 /)/(y

Tenemos dos mtodos, como antes:

a) 122

1

22 2 CyyCyyyyfyf y '''' ' . Completar como ejercicio.

b) xCxCyyyyyff yy sencos'')''()'( ' 210022

con las cond cont: xyCCy

Cycos

///)/(

)(

02222224

10

22

1

Si las cond cont fueran: 221

1

1

10CxCxy

Cy

Cy, sencos

)(

)(

es decir, existen infinitas soluciones.

Si las condiciones de contorno fueran: y(0) 1

soluciny( ) 1

5. f lineal en y: '),(),( yyxByxAf

' ( ) ' ' ' 'y y y y x y y xA B y B A B y B y B y A B

5a) y xA B : Estamos en el caso considerado cuando f(x,y).

5b) ( ') ( ) ( )y xA B fdx A By dx Adx Bdy d u , o la integral no

depende del camino y el modelo del CV carece de sentido (o existen infinitas

soluciones todas con el mismo valor).

Ejemplo 5: Opt. 'xyy : Ay = 0 Bx = y. solucin .

Ejemplo 6: Opt. 'y xy : Ay = 1 = Bx : f = y dx + xdy =d(xy) soluciones