MMI - UNIDAD 22 - Pandeo Elástico e Inelástico- Rev1
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Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Equilibrio estático indiferente
F
F
Infinitas posiciones posibles de equilibrio
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
P1
P1
P1
P1
P1
P1
F
Equilibrio elástico estable
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
P2
P2
P2
P2
P2
P2
Equilibrio elástico indiferente P2 P1
F
FF
Posiciones posibles de equilibrio
P2 = Pcrit
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P3
P3
P3
P3
F
Equilibrio elástico inestable P3 Pcrit.
Colapso de la estructura
P3
Equilibrio posible
Columna ideal
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Estabilidad estática y elástica Se entiende por estabilidad, la capacidad de un
elemento de oponerse a grandes perturbaciones () del equilibrio inalterado, como resultado de acciones de perturbación pequeñas (F).
Si la acción de perturbaciones es una variación pequeña de la carga exterior, se puede definir así: El equilibrio de un elemento es estable, si a una
variación pequeña de la carga corresponde una variación pequeña de los desplazamientos.
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Comparación entre estabilidad estática y elástica
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
P PE
PE
L
x
y
critE
EE
PLEI
P
n
nnkL
senkLC
C
Lxxy
kxCsenkxCy
ykds
yd
EIP
kyPds
ydEI
2
2
1
2
21
22
2
22
2
1 para
,.........2,1,0
0
0
paray 0 para 0
cos
0
critE PL
EIP
2
2
P
Una de las posiciones de
equilibrio posibleFórmula de Euler
El primero en determinar esta fórmula fue Leonard Euler (1707-1783), y lo publicó en 1744.
Pequeñas deflexiones
Fórmula de Euler
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Este caso se considera el caso fundamental El Momento de Inercia I es el mínimo El valor de es indeterminado La carga crítica no describe la acción del pandeo La falla se produce por acción del pandeo y es
indefinido el valor de la tensión cuando eso ocurre y las tensiones no son proporcionales a las cargas aplicadas a medida que se produce el pandeo, aún cuando el material actúa elásticamente (con tensiones proporcionales a las deformaciones)
La carga crítica es independiente de la resistencia a compresión del material. Depende de la geometría de la pieza y de la rigidez del material.
Se puede aumentar el Pcrit sin aumentar el área. Aumentando la inercia de la sección
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
xL
nseny
C
L
L
nsenC
yL
x
senkxCy
..
2.
2
para
1
1
1
Casos Teóricos
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
mínimo giro de radio :mecánica Esbeltez
dimensiónmenor ..... :geométrica Esbeltez
minmin
ii
L
aa
l
e
Euler de Hipérbola 2
2
2
22
min22min
2
E
EA
L
iEA
L
EIP
crit
ee
crit
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Curva de Euler
p
pcrit
E
EE
lim
2lim
2
2
2
.
lim
p
crit
2
2
E
crit (Hipérbola de Euler)
Régimen Elástico
Régimen Plástico
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Condiciones de aplicación de la fórmula de Euler
1. Es valida únicamente cuando el valor calculado de crit.resulta menor o igual al límite de proporcionalidad p.
2. La carga de trabajo es axial.3. La longitud de pandeo es compatible con las condiciones
de sujeción del pilar (extremos y puntos intermedios)4. Está limitado el máximo valor de la esbeltez en función
del uso estructural y del material.5. La carga de trabajo (o la tensión de trabajo) se obtiene
aplicando un coeficiente de seguridad (que se recomienda varíe con la esbeltez de la pieza) que depende del posible aumento de la carga P, de los posibles errores del punto de aplicación de la carga, de la desviación inicial de la columna y de las condiciones de los extremos opuestos.
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Tensión de Trabajo - Coeficiente de Seguridad
Depende de: Condiciones de servicio Defectos del material Excentricidad en la aplicación de la carga Desviación inicial de la columna
. 2
2
E
crit
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.y -Pdx
ydIE
R
IEyP
h
IEyP
h
IyP TT
Tt
Ttt
2
2
; . ; . ;
2
2.
Fórmula del Módulo Tangencial (ET) (Engesser)
Ecuacióndiferencial
b
h
P
P
PT
PT PT
TT+
n n
p
y
132
54
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lim
p
crit
2
2
E
crit
Parábola de Euler
2
2
T
T
E
.
2
2
p
TT l
IEP
2
2
T
T
E
ET .
Pen
dien
te E
Pendiente E T
Fórmula del Módulo Tangencial (Engesser)
Solución de laecuación
diferencial
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Acero Dulce
Pandeo Inelástico – Módulo Tangente
00 100
lim
2,8
0,006
2,8 p
Módulotangent
e
Euler
Euler
E (millones de kg/cm2)
E0,7 1,4 2,1
0,002 0,004 0,008
tn/cm2)tn/cm2)
1,4 1,4
4,2 4,2
5,6 5,6
20 60 140
p
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Acero Inoxidable
Pandeo Inelástico – Módulo Tangente
00 100lim
2,8
0,006
2,8
p
Módulotangent
e
Euler
Euler
E (millones de kg/cm2)
E0,7 1,4 2,1
0,002 0,004 0,008
tn/cm2)tn/cm2)
1,4 1,4
4,2 4,2
5,6 5,6
20 60 140
p
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
l
P
P
e
y
x
Fórmula de la Secante o de Scheffler
12
sec
1cossen2
tg
haciendoy
222
2
2
kle
kxkxkl
e
ekykdx
d
EI
PkePM
AE
P
i
l
i
ce
A
P
kl
i
ce
A
P
I
cM
A
P
klPeM
critcritfl
critfl
2sec
.1
2sec
.1
.2
sec
2
2
maxmax
max
A
Ii
AEP
il
iceA
P
AEP
il
iceA
P
fl
crit
flcrit
.2
sec.
1
.
2sec
.1
2
2
Fórmula de la SecantePara
verificación
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Fórmula de la Secante o de Scheffler
1
0
e=0
critP
P
i
01.0i
e
006.0i
e
001.0i
e
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Fórmula de la Secante o de Scheffler
0
AE
P
i
ce
A
P critcritfl 2
sec.
12
W
A
ki
c
y
1
2
Euler
e = excentricidad
EA
P
W
eP
A
Pfl
.
.
2sec
.
Fórmula paradimensionamiento
fl
A
P
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Excentricidad equivalente
Euler crit
500
1000
2000
2500
0
kg/cm2
20 40 60 80 120100 200140 160 180
1500
crit Excentricidad equivalente
Euler crit
7001,0
yk
e
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Excentricidades propuestas
4114) (DIN 50020
(Basquin) 1000
1,0
(Prichard) 700
1,0
(Salmon) 001,0
(Monorief) 0,6A 15,0
Densen)(Marston; 0,07 a 06,0
extremos losen sarticulada p/columnas 25,0e.c
2
lie
k
e
k
el
e
k
e
k
e
k
e
l
y
y
y
y
y
16075040
4114) (DIN compuestos de perfiles/75040
4114) (DIN llena alma de perfiles/
hlhe
p
lhe
p
pandeo del plano elen
sección la dedimensión h
La “e” aumenta con la longitud de la pieza o con la esbeltez
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Fórmulas empíricas
.- :recta Línea 0 crit
.1
Ranquine -ordon2
0
crG
20 (Johnson) arabólica cP crit
. etmajer 20 baT crit
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Resultados experimentales 2/ cmtn
Area de resultados experimentales
2
2
/9,1
/4,2 :dulce cero
cmtn
cmtnA
p
fl
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Fórmulas usualesChicago Building Code – (p/acero)
Recta Línea 931,41125 12030 crit
2/984 30 cmkgcrit
Euler .
. 120
2
2
E
crit
American Institute of Steel Construction ( AISC )
Rankine-Gordon
180001
1265 120
Parabólica 0341,01200 120
2
2
crit
crit
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Fórmulas usuales
3lim
3
lim1
1
2lim
2
2lim
2
lim
68
3
3
5
21
21
fl
fl
crit
Column Research Council
92,112
23
2
2
222
2lim
2
2lim
lim
fl
fl
crit
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Fórmulas usuales
2 -Euler 000.363.10
105
Parabólica 023,01200 1050
/1200 0
2
2
2
crit
crit
cmkg
NB-14-( acero estructural A36 )
NB-14-( acero fl = 3500 kg/cm2)
2 -Euler 000.363.10
86
Parabólica 0473,01750 860
/1750 0
2
2
2
crit
crit
cmkg
Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Rankine-Gordon
180001
1265 06
1055 06
2
crit
crit
New York Buiding Code
NB-11-( madera )
4 -Euler 3
2
4
40
40
3
11 40
40
2
lim2
2
lim
limlim
ccrit
ccrit
ccrit
E
λλ
Fórmulas usuales