MIR INTENSIVO - T01_S03

8/14/2019 MIR INTENSIVO - T01_S03

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BIOESTBIOESTADISTICAADISTICA

Seccin 3

AUTORES

Dra. MAR GARCIA ARENILLASDr. EMILIO VARGAS CASTRILLON*

Facultativos Especialistas de AreaServicio de Farmacologa Clnica

Hospital Clnico Universitario San CarlosMadrid

*Profesor asociado FarmacologaEscuela Universitaria de Enfermera de la UCM

DC =Q3-Q1

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http://menu.pdf/http://indice.pdf/


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Captulo I. ESTADISTICA DESCRIPTIVA YESTIMACION

Estadstica y metodologacientfica

Concepto y tipos de estadstica

Conceptos estadsticos bsicosEstadstica descriptivaDistribuciones de frecuencia ms utili-

zadas en medicinaEstimacin de parmetros

Captulo II. ESTADISTICA ANALITICA

Comprobacin de hiptesisPruebas paramtricas y no paramtricasContrastes de hiptesis bivariantesContrastes variable categrica/ categ-

ricaContraste variable categrica/ cuantita-

tivaContraste variable cuantitativa/ cuanti-

tativaAnlisis de supervivencia

BIBLIOGRAFIAINDICE DE MATERIAS

INDICE

BIOESTBIOESTADISTICAADISTICA


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Estadstica y metodologa cientfica

Concepto y tipos de estadstica

Conceptos estadsticos bsicos

Estadstica descriptiva

Distribuciones de frecuencia ms utilizadas en me-

dicina

Estimacin de parmetros

ESTESTADISTICAADISTICADESCRIPTIVDESCRIPTIVA YA Y

ESTIMAESTIMACIONCION

Captulo I

Indice

ESTADISTICA Y METODOLOGIA CIENTIFICA

El conocimiento biomdico, como otros conocimientos emp-

ricos, se basa en la observacin y en la experimentacin. Laobservacin permite elaborar modelos tericos que intentanexplicar los distintos fenmenos biolgicos, y la experimenta-cin pretende aceptar o rechazar el modelo propuesto. Aunquela ciencia mdica ha realizado grandes avances sin herramien-tas estadsticas, el uso de estos mtodos por investigadoresbiomdicos ha producido importantes resultados, y en la ac-tualidad prcticamente no es posible ningn estudio sin unacorrecta metodologa estadstica.

CONCEPTO Y TIPOS DE ESTADISTICA

La estadstica es un sistema de razonamiento que proporcio-na un conjunto de herramientas matemticas que permiten elmanejo e interpretacin de datos. Los datos que utiliza tienen

como caracterstica principal la variabilidad, es decir, puedentomar valores diferentes entre distintos individuos, o inclusodentro del mismo individuo si el dato se obtiene en momentos

diferentes. Dentro de la estadstica podemos considerar dosgrandes apartados: Estadstica descriptiva: pretende la organi-zacin y presentacin de los datos. Su papel principal se en-contrara en las fases observacionales del ciclo cientfico. Es-tadstica analtica: intenta evaluar la probabilidad con que elazar es responsable de una determinada distribucin de datos.Es tambin llamada estadstica inferencial o deductiva.

CONCEPTOS ESTADISTICOS BASICOS

Poblacin

Es el conjunto total de elementos sobre los que se quiere

estudiar un determinado fenmeno. Cada uno de estos ele-mentos recibe el nombre de individuos. Las poblaciones pue-den ser finitas (conocemos el nmero de elementos que la for-

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man) e infinitas (no podemos conocer cuntos elementos laforman).

Muestra

Es un subconjunto de elementos de la poblacin que quere-mos estudiar. Se considera que una muestra es representativade una poblacin cuando el mtodo para elegir sus elementoses aleatorio (realizado al azar), es decir, cuando la probabilidadque tienen todos los elementos de la poblacin de estar en lamuestra es la misma.

Los procedimientos para obtener una muestra representativade una poblacin se denominan tcnicas de muestreo. Cuandose estudian caracteres numricos, se consideran muestrasgrandes aquellas que incluyen 30 o ms individuos. Cuando seestudian caracteres cualitativos, se consideran grandes mues-tras aquellas en las que la proporcin del carcter menos fre-

cuente multiplicado por el nmero de individuos es 5.

Relacin entre muestra y poblacin

La poblacin en la que se quiere estudiar el fenmeno reci-be el nombre de poblacin diana (poblacin objeto, poblacinobjetivo, poblacin de referencia, poblacin blanco). Sin em-bargo, no todos los pacientes de la poblacin diana son accesi-bles, ya que existen factores que limitan la posibilidad de quese incluyan en el estudio. El conjunto de elementos que real-mente puede ser incluido recibe el nombre de poblacin infe-rencial (poblacin marco, poblacin de muestreo, poblacin ac-

cesible, poblacin de estudio). Sobre esta poblacin es sobrela que se realiza el muestreo, y lgicamente la muestra es re-presentativa de la poblacin inferencial, no sindolo siemprede la poblacin diana. En otras palabras, la extrapolacin deresultados a la poblacin inferencial es directa, mientras quela extrapolacin a la poblacin diana no es directa y debe justi -ficarse que los factores limitantes para la inclusin no influyenen los resultados encontrados.

Variables

Una variable es cada uno de los caracteres o aspectos quese miden en los individuos. Segn el tipo de escala de medida

podemos diferenciar:

Variables cualitativas (categricas)

Sus valores son nominales (sexo, nacionalidad, medicamen-to utilizado, estado civil, etc.). La nica operacin que puederealizarse con ellas es la de igualdad/desigualdad. Aquellasvariables que pueden presentar nicamente dos valores se lla-man dicotmicas, las que pueden presentar varios valores sedenominan policotmicas.

Variables ordinales

Sus valores son tambin nominales, pero pueden ordenarse(gravedad: leve/moderado/severo; estadio de un tumor, etc.).Las operaciones que pueden realizarse con ellas son igual-

dad/desigualdad y menor/mayor. En muchas ocasiones las va-riables ordinales se representan con nmeros, pero no por ellodeben considerarse variables cuantitativas.

Variables cuantitativasSus valores pueden medirse numricamente y pueden cuan-

tificarse. Con ellas pueden realizarse operaciones de igual-dad/desigualdad, cuantificando diferencias. Dentro de ellaspodemos diferenciar las continuas (tensin arterial, colestero-lemia), que pueden adoptar todos los valores del intervalo demedida (hasta la capacidad del instrumento de medicin utili-zado), y las discretas que nicamente pueden adoptar algunosvalores (nmero de hijos, nmero de ingresos hospitalarios).

Existen otros trminos que se utilizan con frecuencia al refe-rirse a las variables. Variable dependiente/independiente, ha-

ce referencia principalmente a modelos en los que se valora lainfluencia de una o varias variables (independientes) sobreotra (dependiente), sugiriendo una relacin causal. Tambincon mucha frecuencia, especialmente en diseos experimenta-les, se utiliza la terminologa variable controlada/aleatoria, enreferencia a aquella variable cuyo valor depende del investiga-dor (controlada) y aquella que no (aleatoria).

Segn el nmero de variables que se incluyan simultnea-mente en el anlisis, podemos diferenciar tcnicas univarian-tes, tcnicas bivariantes y tcnicas multivariantes.

Estadsticos y parmetros

Un parmetro es un valor que resume los valores de una de-terminada variable en una poblacin. Un estadstico expresalos valores de una variable en una muestra. Los estadsticossuelen utilizarse como estimadores de los parmetros, pero l-gicamente para que la estimacin sea buena, las muestras uti-lizadas deben ser representativas.

ESTADISTICA DESCRIPTIVA

Tabulacin y presentacin grfica de la informacin

La estadstica descriptiva intenta condensar y sumarizar unconjunto de medidas realizadas en un gran nmero de indivi-duos. El primer paso de una descripcin es la tabulacin, ope-racin que permite realizar un resumen de los datos, indicandoel nmero de veces (frecuencia) con que se repite un determi-nado valor de una variable. El resumen de los datos se presen-ta como una tabla de frecuencias. Las tablas de frecuencias sepueden utilizar con cualquier tipo de variable, sin embargo enlas variables cuantitativas la informacin debe agruparse enintervalos (especialmente en las continuas), que tengan un l-mite superior e inferior. Al tratarse de valores continuos la pro-babilidad o frecuencia en cada punto sera muy pequea.

La frecuencia puede presentarse en forma absoluta (nmerode veces que se repite un valor) o relativa (frecuencia absolu-ta/nmero de observaciones). Con variables cuantitativas y con

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ESTADISTICA DESCRIPTIVA Y ESTIMACION


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ordinales puede tener inters diferenciar la frecuencia simple(nmero de veces que se repite un valor) y la frecuencia acu-mulada (nmero de veces con que la variable puede tomar unvalor igual o inferior a uno determinado).

Las tablas de frecuencia pueden representarse grficamentede diversas maneras (fig. 1). Las ms frecuentemente utiliza-das son:

Diagrama de barras

Utiliza barras de la misma anchura para cada valor, que tie-nen una altura proporcional a la frecuencia. Se usa para varia-bles cualitat ivas y cuanti tat ivas discretas. Su util izacin en va-riables continuas no es razonable, ya que al estar las barrasseparadas unas de otras, sugieren una falta de continuidad.

PictogramaUtiliza smbolos de distinto tamao en funcin de la fre-

cuencia. Se usa principalmente para variables cualitativas ycuanti tati vas discretas.

Diagrama de seccin circular

Asigna sectores de un crculo de forma proporcional a la fre-cuencia (tarta, pastel). Se utiliza principalmente para variablescualitativas.

Cartograma

Utiliza mapas geogrficos en los que se indica la frecuenciadel fenmeno en distintas localizaciones.

Histograma

Se utiliza para representar variables continuas. La frecuen-cia de cada intervalo es proporcional a su superficie (amplituddel intervalo por altura). Si la amplitud del intervalo es la mis-ma, sera similar a un diagrama de barras en el que las barrasestuvieran juntas. Cuando la amplitud del intervalo t iende a 0,el histograma representara la funcin de probabilidad de lavariable.

Polgono de frecuencias

Consiste en unir con una lnea los puntos medios de los in-tervalos de un histograma.

Los histogramas y polgonos de frecuencia pueden represen-tar la frecuencia simple o la acumulada.

Medidas de tendencia central

Las variables cualitativas quedan suficientemente descritascon las tablas de frecuencias, y sus correspondientes propor-

ciones y porcentajes. No obstante, las variables cuantitativaspueden ser resumidas con algunos ndices o medidas.

Las medidas de tendencia central intentan indicar el valor

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3

BIOESTADISTICA

1

Cul de las siguientes afirmaciones es falsa?:

1. El t rmino poblacin diana hace referencia al conjunto de indivi-duos accesibles para la realizacin del estudio.2. Un estadstico resume los valores muestrales de una variable.3. Los estadsti cos se uti lizan como estimadores de los parmetros

poblacionales.4. Las muestras obtenidas de forma no aleatoria pueden producir es-

timadores sesgados.5. La moda es el valor de la variable que ms veces se repite.

Cul de las siguientes no es una medida de variabilidad?:

1. Desviacin tpica.2. Distancia entre percentil 25 y 75.3. Recorrido.4. Segundo decil.5. Varianza.

Qu medida de variabil idad no depende las unidades de medida?:

1. Ampl it ud.2. Recorrido intercuartl ico.3. Coeficiente de variacin.4. Desviacin estndar.

5. Desviacin media.

Cul de las siguientes no es una caracterstica de la distribucin normal ti-pificada?:

1. Es simtrica.2. Su media es 0.3. Su desviacin tpica es 0.4. Su varianza es 1.5. Su mediana es 0.

A qu denominamos intervalo de confianza al 95%?:

1. Una zona de la distribucin donde con un 95% de posibilidades seencontrar el parmetro poblacional.

2. Una zona de la distribucin donde con un 95% de posibilidades seencontrara el estimador muestral.

3. Una zona de la distribucin donde slo hay un 5% de posibil ida-des de encontrar el estimador muestral.

4. Una zona de la distribucin donde slo hay un 5% de posibil ida-des de encontrar al parmetro poblacional.

5. Ninguna de las anteriores es correcta.

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3

4

5

RESPUESTAS:1:1;2:4;3:3;4:3;5:1.


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de la variable sobre el que se agrupan las observaciones. Sonfundamentalmente tres:

Moda

Es el valor de la variable que ms veces se repite. Una dis-tribucin puede presentar una o varias modas (distribucionesunimodales, bimodales, trimodales....). La moda puede uti li zar-se en variables cualitativas. En el caso de variables continuasdebe hablarse de intervalo modal.

Mediana

Es el valor que deja por debajo el 50% de l os casos. Es puesel valor central del conjunto ordenado de las observaciones. En

series con un nmero par de casos, la mediana corresponde ala semisuma de los valores centrales. Si nicamente se dispo-ne de datos agrupados la mediana se calcula interpolando enel intervalo correspondiente.

Media aritmtica

Representa el centro de gravedad de la distribucin. La me-dia poblacional suele representarse por , y la muestral por x.Se calcula sumando todos los valores de la variable y dividien-do por el numero total de individuos.

Xix = -

n.individuos

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DIAGRAMA DE BARRAS

Consumo de frmacos al alta

0

N. frmacos

450400350300250200150100

500

Frecuencia

>81 2 3 4 5 6 7

103164

297

419

331

204

111

40 30

SECTOR CIRCULAR

Distribucin de RAM por aparatos y sistemas.

Otros9,4%

Aparatocardiovascular

28,3%

Aparato digestivo62,3%

Milesdedefunciones/aodeedad

POLIGONO FRECUENCIAS

Milesdedefunciones/aodeedad

Edad en el momento de la defuncin (aos)

HISTOGRAMA

Edad en el momnento de la defuncin (aos)

80

70

60

50

40

30

20

10

0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

80

70

60

50

40

30

20

10

010 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Fig. 1. Tipos de grficos.


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Existen otras medias que se utilizan con poca frecuencia:media geomtrica, media ponderada, media cuadrtica, mediaarmnica.

Medidas de posicinLos percentiles dividen una distribucin en 100 partes igua-

les (el percentil 10 deja por debajo del valor al 10% de los ca-sos). Los deciles dividen la distribucin en 10 partes (el decil 2deja al 20% de los casos por debajo de su valor) y los cuartilesla dividen en 4. El decil 5, el percentil 50 y el cuartil 2 coinci-den con la mediana.

Medidas de variabilidad

Evalan la oscilacin o dispersin de los valores de la varia-ble. Las ms utilizadas son:

Amplitud

Es la diferencia entre el valor mximo y mnimo de la varia-ble. Tambin se denomina rango (por traduccin del ingls ran-ge), y recorrido.

Amplitud intercuartlica

Es la distancia entre el cuartil primero y tercero.

Desviacin media

El promedio de los valores absolutos de las diferencias en-tre la media y los valores de la variable:

Xi - x

DM =

n.de individuos

Varianza (variancia)

Es el promedio de los cuadrados de las diferencias entre lamedia y los valores de la variable. La varianza muestral se re-presenta por S2, y la poblacional por 2

(Xi - x)2 (Xi - x)

2

2 = S2= -n.de individuos n. individuos - 1

Desviacin tpica (desviacin estndar)

Es la raz cuadrada de la varianza.

Coeficiente de variacin

Es la desviacin tpica dividida por la media aritmtica.

Frente a la desviacin tpica, tiene la ventaja de que no depen-de de las unidades de medida utilizadas, y permite comparar ladispersin de dist ribuciones distintas.

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3

BIOESTADISTICA

6

Qu significa que un determinado valor (B) de una variable es el percentil20?:

1. El 20% de los valores de la variable son superiores a B.2. El 20% de los valores son inferiores o iguales a B.3. El 20% de los valores son iguales a B.4. El 80% de los valores son inferiores a B.5. 1 y 4 son verdaderas.

Cul de las siguientes es una medida de apuntamiento?:

1. Amplitud intercuartlica.2. Coeficiente de variacin.3. Kurt osis.

4. Desviacin media.5. M ediana.

Tiene usted una variable de distribucin normal, que ha sido medida en100 pacientes. La media y mediana encontradas son de 6, y la varian-za es de 9. Cul sera aproximadamente el intervalo que contendrael 95% de los valores de esta distribucin?:

1. 5.4 a 6.6.2. 3 a 15.3. 3 a 9.4. 0 a 12.

5. No puede calcularse.

Tiene usted una variable de distribucin normal, que ha sido medida en100 pacientes. La media y mediana encontradas son de 6, y la varian-za es de 9. Cul sera aproximadamente el intervalo que contendrael 68% de los valores de esta distribucin?:

1. 5.4 a 6.6.2. 3 a 15.3. 3 a 9.4. 0 a 12.5. No puede calcularse.

Tiene usted una variable de distribucin normal, que ha sido medida en100 pacientes. La media y la mediana encontradas son de 6 y la va-rianza es de 9. Cul sera aproximadamente el intervalo que conten-dra con un 95% de posibilidades la media poblacional?:

1. 5.4 a 6.6.2. 3 a 15.3. 3 a 9.4. 0 a 12.5. No puede calcularse.

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10

RESPUESTAS:6:2;7:3;8:4;9:3;10:1.


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DISTRIBUCION NORMAL

Media, mediana y moda

Punto de inflexin68,27%

95%

-2s

Representacin de diferentes grados de apuntamiento.

PlaticrticaK < 0

MesocrticaK = 0

(normal)

LeptocrticaK > 0

Representacin de los diferentes tipos de asimetra.

Asimetra negativaS < 0

SimetraS = 0

Asimetra positivaS > 0

-s +s +2s

Fig. 2. Distribucin normal y tipos de medidas de forma.


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Medidas de forma

Las ndices que se utilizan son los de asimetra (skewness) yde apuntamiento (kurtosis). La distribucin normal tiene unosndices de asimetra y apuntamiento de 0 (fi g. 2).

Una distribucin con un ndice de asimetra de:

0: es simtrica. < 0: es asimtrica a la izquierda. > 0: es asimtrica a la derecha.

Una distribucin con un ndice de apuntamiento de:

0: es mesocrtica (normal). < 0: es platicrtica (aplanada). > 0: es leptocrtica (puntiforme.)

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA MASUTILIZADAS EN MEDICINA

Distribucin normal

Es un tipo de funcin de distribucin de variables continuasque se caracteriza porque (fig. 2):

Es simtrica. Media, mediana y moda coinciden, y constituyen su

eje de simetra.

Sus colas son asntotas al eje horizontal. La distancia entre el eje de simetra y el punto de in-

flexin de la curva es de 1 desviacin tpica. El inter-valo comprendido entre estos puntos contiene el 68%de los casos.

Como ocurre con las distribuciones continuas, el rea bajola curva de la distribucin representa una probabilidad. El reatotal bajo la curva incluir la totalidad de los casos (probabili-dad=1), y el rea bajo la curva entre dos puntos representarala probabilidad de que la variable presente valores comprendi-dos entre ellos. Por ello, la probabili dad de distintos intervalosde valores de las variables, que se ajusten a esta distribucin,pueden calcularse fcilmente. Para ello se utilizan las tablasde la distribucin normal reducida (tipif icada), distribucin quese representa por Z. La distribucin normal reducida se carac-teriza porque: su media es 0 y su varianza y desviacin tpicaes 1.

Cualquier distribucin normal puede ser transformada enuna reducida, restando la media a los valores de la variable ydividiendo esta resta por su desviacin tpica. Las funciones deprobabilidad de la normal reducida estn ampliamente di fundi-das.

x - Z=

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BIOESTADISTICA

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Qu tipo de representacin grfica es ms adecuada para variables conti-nuas?:

1. Diagrama de barras.2. Diagrama de seccin circular.3. Cartograma.4. Histograma.5. Ninguno de los anteriores.

Cul de las siguientes afirmaciones es falsa?:

1. La media es una medida de tendencia central que se afecta pocopor los valores extremos.

2. El valor de la mediana se corresponde con el percentil 50.3. La mediana es una medida de tendencia central que se afecta

poco por los valores extremos.4. La moda no suele resultar de gran utilidad cuando manejamosvariables continuas.

5. El decil 25 se corresponde con el primer cuartil.

Cul de las siguientes caractersticas no corresponde a la distribucinnormal?:

1. Es simtrica.2. Su media coincide con su mediana.3. Su mediana coincide con su moda.4. La distancia entre el punto de inflexin de la curva y el eje de si-

metra es de una varianza.

5. Sus colas son asntotas al eje horizontal.

Cul de las siguientes medidas de variabilidad permite comparar distin-tas distribuciones?:

1. Ampl it ud.2. Desviacin media.3. Varianza.4. Coeficiente de variacin.5. Desviacin tpica.

Tiene usted la distribucin de una variable continua obtenida a partir de sumedicin en una muestra de 120 pacientes. La variable oscila entre20 y 300. Su mediana es 40, su media 80, y su desviacin tpica de36. Cul de las siguientes afirmaciones sobre ella es correcta?:

1. El 68% de los valores estarn comprendidos entre 50 y 110.2. La media poblacional de la variable se encontrar con un 95% de

probabilidades entre 20 y 140.3. La media poblacional de la variable se encontrar con un 95% de

probabilidades entre 74.5 y 85.5.4. Todas las anteriores son falsas, ya que esta distribucin es cla-

ramente no normal.5. Unicamente son ciertas 1 y 3.

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RESPUESTAS:11:4;12:1;13:4;14:4;15:4.


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Distribucin binomial

La distribucin binomial es una distribucin de frecuenciaque modeliza una variable dicotmica (factor Rh). Conociendocul es la frecuencia () de ser Rh+ en una zona geogrfica

(70%), permitir calcular cul es la posibilidad de encontrar enuna muestra de npersonas, k personas Rh+.

n!p(k)= k (1- )n-k

k!(n-k)!

Sabiendo cules son los valores de que salgan 1,2,3 .... npersonas Rh+, podramos calcular la probabilidad de cualquiercombinacin.

Distribucin de Poisson

La distribucin de Poisson resuelve problemas similares alos de la binomial, pero nicamente para factores muy pocofrecuentes ( 0,05) y muestras grandes (100).

Otras distribuciones

Las distribuciones de Ji-Cuadrado, distribucin de t de Stu-dent y F de Snedecort, tienen caractersticas que les confierenuna gran uti lidad.

ESTIMACION DE PARAMETROS

La estimacin es el proceso que nos permite conocer un de-terminado parmetro poblacional (media, proporcin, varianza,etc.) a partir de la muestra estudiada, permitindonos obtenerconclusiones sobre la poblacin sin haberla estudiado en sutotalidad. El estimador debe tener las siguientes caractersti-cas:

No sesgado; que coincida con el parmetro poblacio-nal.

Consistente; cuando aumente el tamao muestral de-be converger hacia el valor del parmetro.

Eficiente; debe tener la mnima varianza. Suficiente; debe usar toda la informacin relevante

sobre el parmetro.

Los estadsticos son en s mismos variables aleatorias quecambian en cada muestra que estudiamos. Sin embargo, cuan-do se realiza una estimacin slo estudiamos una muestra ysugerimos un determinado valor para el parmetro. Este es elprincipal problema de la estimacin - cunto se acerca el es-timador al parmetro? -. Para solucionar este problema, a laestimacin puntual se le aade el denominado intervalo deconfianza (IC). Es decir, un valor mnimo y mximo alrededordel estimador puntual (lmites del intervalo de confianza), quenos determinan la zona donde ms probablemente se encuen-tre el parmetro. Normalmente, el nivel de probabilidad que secalcula es el 95% (IC95%), lo que indicara que slo 5 de cada100 veces el parmetro estara fuera de esos lmites (error al-fa). La forma de calcular el intervalo de confianza es distintaen funcin del tipo de variable que midamos y del tamaomuestral.

Para finalizar este apartado deberamos comentar el signifi-cado del error estndar (SE) y su diferencia frente a desviacinestndar (DE). Ambos valores estn matemticamente relacio-nados, pero representan aspectos conceptualmente distintos.La desviacin tpica de la muestra es una estimacin de la va-riabilidad de la variable que estamos analizando. El error es-tndar de la muestra indica la variabilidad de estimador (no de

la variable) que estamos utilizando, e indicara su precisin.

SE=DE/ n

Como podemos deducir, una muestra mayor, aunque tengala misma variabilidad (igual desviacin estndar) que otra me-nor, mejora la precisin del estimador, ya que reduce el errorestndar. Con muestras grandes en las que puede utilizarse ladistribucin normal el IC95% es x 1,96* SE (el valor de Zpara el 5% es de 1,96), por ello cuanto mayor es el tamaomuestral mas pequeo es el intervalo de confianza.

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Comprobacin de hiptesisPruebas paramtricas y no paramtricasContrastes de hiptesis bivariantesContrastes variable categrica/categrica

Contraste variable categrica/cuantitativaContraste variable cuantitativa/cuantitativaAnlisis de supervivencia

ESTESTADISTICA ANADISTICA ANALITICAALITICA

Captulo II

Indice

COMPROBACION DE HIPOTESIS

Concepto estadstico de hiptesis

Una hiptesis es una idea que construimos a partir de unmarco de conocimiento (produce un medicamento ms cura-ciones que otro?). Para evaluar la verosimilitud de esta ideadesde una perspectiva estadstica, lo que hacemos es determi-nar la denominada Hiptesis nula (H0 - no hay diferencias en-tre ambos medicamentos), y la Hiptesis alternativa (H1 - losmedicamentos se comportan de forma diferente). La verosimili-tud de que la hiptesis nula no sea verdadera, se evala deci-diendo si las diferencias en el nmero de curaciones entre lasmuestras de pacientes tratados con los dos frmacos son ex-plicables por la variabilidad del muestreo. Si las diferenciasencontradas no parecen ser debidas la azar, se rechaza la hi-

ptesis nula y se acepta la alternativa. No rechazar la hipte-sis nula no supone que los tratamientos sean iguales, nica-mente supone que con el nmero de pacientes incluidos no so-

mos capaces de encontrar di ferencias, lo que puede deberse a:que el nmero de pacientes incluidos es pequeo, o que la di-ferencia entre ambos tratamientos es pequea, pero real. Deforma arbitraria se acepta como probabilidad baja aquella que

es inferior al 5%, es decir, siendo la hiptesis nula cierta, larechazaramos en 5 ocasiones de cada 100.

Las pruebas de contraste de hiptesis pueden ser (fig. 3):

Bilaterales

La hiptesis alternativa es que las muestras son diferentes(los medicamentos se comportan de forma diferente - es elmedicamento A mejor que el B, o el medicamento B mejor queel A-).

Unilaterales

La hiptesis alternativa es que una de las muestras es supe-rior a la otra (el medicamento A es mejor que el B), careciendode importancia para el investigador la otra posibil idad.

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Dr. EMILIO VARGAS CASTRILLON


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En general, se suelen utilizar pruebas bilaterales, ya que la

hiptesis unilateral tiene inters nicamente en pocas situa-

ciones.

Tipos de pruebas de hiptesis

Pruebas de conformidad

Verifican hiptesis sobre la forma de distribucin (bondad de

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ESTADISTICA ANALITICA

Prueba unilateral*

Ho: 0 Ha: 0 >

= 0,05

0Z = 1 645

Prueba bilateral**

Ho o = Ha o

/2 = 0,025

= 1,96

El aumento del tamaomuestral disminuye elerror B e incrementa lapotencia

Representacin del riesgo . Efecto del tamao demuestra sobre el valor del riesgo .

0

/2 = 0,025

/2

/2

p

p

H0

H0

H0 H1

= 1,96

Fig. 3. Pruebas de contraste de hiptesis.


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ajuste), o evalan si un determinado valor muestral puede ajus-tarse a una parmetro poblacional. Una de las pruebas de bon-dad de ajuste ms utilizada es la de Kolmogorov-Smirnov, queevala si una distribucin se ajusta a la distribucin normal.

Pruebas de relacin/independencia

Evala la existencia de dependencia entre variables.

Pruebas de homogeneidad

Verifican si dos o ms muestras provienen de la misma po-blacin.

Las diferencias entre pruebas de homogeneidad y las de re-lacin son sutiles, y a veces puede ser difcil diferenciarlas.

Tipos de errores

Al realizar una prueba de contraste de hiptesis se toma unadecisin de rechazo/no rechazo de la hiptesis nula, basndoseen estimaciones obtenidas a partir de muestras. Sin embargo, larealidad en las poblaciones de las que se obtienen las muestraspuede no coindicidir con lo decidido (tabla I, fig. 3).

La posibilidad de que en nuestro estudio concluyamos quelos tratamientos son diferentes, cuando la realidad no es as(aceptar H1 cuando la realidad es H0), recibe el nombre deerror tipo I (error alfa, error de 1.a especie), y corresponde conlo que suele denominarse valor de lapde la prueba estadsticautilizada (puede calcularse). Cuanto mayor nmero de pruebas

de hiptesis realicemos, ms facil es cometer un error tipo I.La posibilidad de que en nuestro estudio concluyamos que lostratamientos son iguales cuando la realidad es que son dife-rentes (aceptar H0 cuando la realidad es H1) recibe el nombrede error tipo II (error beta, error de 2.a especie ). Este ltimo t i-po de error no es directamente calculable, ya que requiere de-terminar a partir de qu tamao de diferencia considerara-mos realmente distintas las posibilidades. Para cada magnitudde la diferencia tendremos un valor distinto de error tipo II. Laprobabilidad complementaria del error tipo II (1-error tipo II) re-cibe el nombre de potencia, y es la probabilidad de detectar di-ferencias entre los tratamientos en nuestro estudio cuando en

la realidad estas diferencias existen (aceptar H1 cuando la rea-lidad es H1).

PRUEBAS PARAMTRICAS YNO PARAMETRICAS

Muchos de los procedimientos estadsticos ms utilizados mtodos paramtricos requieren que las variables a lasque se aplican sigan algn modelo de distribucin (habitual-mente la normal). Sin embargo, en medicina, con frecuenciatrabajamos con variables que no cumplen el requisito de nor-malidad, o sobre las que no sabemos claramente si lo hacen

(con pequeos tamaos muestrales - n < 10 - es muy difcil quepueda descartarse la normalidad, incluso en variables que nose ajustan claramente a esta distribucin). En ocasiones, pode-

135

3

BIOESTADISTICA

16

El error alfa indica:

1. La posibil idad de aceptar la hiptesis nula cuando la hiptesis al-ternativa es cierta.

2. La posibil idad de rechazar la hiptesis nula cuando la hiptesisalternativa es cierta.

3. La posibil idad de aceptar la hiptesis alternativa cuando la hip-tesis nula es cierta.

4. La posibilidad de aceptar la hiptesis alternativa cuando la hip-tesis nula es falsa.

5. La posibil idad de rechazar la hiptesis alternativa cuando la hip-tesis nula es falsa.

Cul de las siguientes afi rmaciones es verdadera?:

1. Las pruebas no paramtricas se uti lizan con variables que tienendistribuciones normales.

2. La prueba de Kolmogorov-Smirnov se util iza para evaluar si ladistribucin de una variable se ajusta a la normalidad.

3. En las muestras pequeas siempre deben utilizarse pruebas para-mtricas.

4. Cuando una variable no sigue la distribucin normal no puedeanalizarse.

5. Los resultados de las pruebas paramtricas y no paramtricasson siempre similares.

Ha recogido usted informacin sobre la motalidad a los 30 das en 16 pa-cientes con intoxicacin por setas. La mitad de los enfermos fuerontratados de forma habitual, y la otra mitad con un nuevo medicamen-to. De los 8 que recibieron el tratamiento habitual 7 murieron y de los8 que en los que se utiliz el medicamento nuevo solamente muri 1.Qu prueba uti li zara para descartar que estas diferencias puedan serdebidas a la casualidad?:

1. La prueba de Ji-Cuadrado con la correccin de Yates para mues-tras pequeas.

2. La prueba exacta de Fisher.3. Un anlisis de supervivencia mediante la tcnica de Kaplam-

Meier.4. La prueba de la t de Student.

5. Un anlisis de la varianza.

Las pruebas no paramtri cas:

1. Unicamente se utilizan para comparar distribuciones de variablescontinuas.

2. Requieren la comprobacin del requisito de normalidad.3. Originan unos valores de error alfa similares a los que se calculan

mediante pruebas paramtricas.4. Deben util izarse siempre que manejemos muestras de gran tamao.5. No realizan asunciones sobre el tipo de distribucin de la varia-

ble.

RESPUESTAS:16:3;17:2;18:2;19:5.

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18

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mos realizar transformaciones de las variables originales (loga-ritmo, raz cuadrada, etc.) que normalicenla variable; sin em-bargo, con frecuencia resulta til usar otras tcnicas estadsti-cas llamadas no paramtricas (libres de distribucin). En ellasla violacin del supuesto de normalidad no afecta al resultado.Estas pruebas no utilizan los valores de la variable, sino queutilizan el orden de la distribucin de sus valores. Por ello, pue-den utilizarse con variables continuas, discretas y cualitativas

ordinales.

CONTRASTES DE HIPOTESIS BIVARIANTES

La existencia de distintas pruebas de hiptesis dependeprincipalmente del tipo de variables incluidas. En la tabla IIpuede verse cules seran las tcnicas ms frecuentementeutilizadas.

Muchas de estas pruebas pueden realizarse para dos tiposde datos, los datos apareados y los datos independientes. Enlas pruebas de datos independientes la informacin provienede grupos diferentes de individuos (comparar la tensin arte-

rial en un grupo de jvenes frente a un grupo de ancianos); porel contrario, en los pruebas para datos apareados la informa-cin proviene con mucha frecuencia de determinar la mismamedicin en el mismo individuo en momentos distintos (medirla tensin arterial en un grupo de personas jvenes, esperar aque se hagan ancianos y repetir la medicin). Los dos ejemplospropuestos intentaran contestar la misma duda (son diferen-tes las tensiones arteriales de los jvenes que las de los ancia-nos?); sin embargo, el diseo apareado requerira menos indi-viduos, ya que la variabilidad de la tensin arterial dependien-te del individuo se reduce. El ejemplo ms claro de datos apa-reados es el de la repeticin de la medida en el mismo indivi-

duo, pero en algunos otros diseos tambin requieren la utili-zacin de estas pruebas (estudios de gemelos, cuando los ca-sos se aparean por variables importantes, etc.).

CONTRASTES VARIABLECATEGORICA/CATEGORICA

La cuestin que se intenta resolver es si la distribucin delos valores de cada variable se hace homogneamente entrelos valores de la otra, o si por el contrario, cuando una variabletiene un valor en un individuo es ms probable que tenga unvalor determinado en la otra. Por ejemplo, si estamos compa-

rando dos medicamentos hipoglucemiantes, podemos valorarcuntos pacientes normalizan sus cifras de glucemia con cadauno de los medicamentos (tabla III).

Esta forma de presentar la informacin recibe el nombre detabla de contingencia. El nmero de casos en cada casilla sedenomina efectivos observados. El nmero de casos que ha-bra si la distribucin fuese homognea recibe el nombre deefectivos esperados.

El mtodo de contestar estas preguntas depende del nme-ro de categoras de las variables y de los efectivos esperadosen cada una de las casillas de la tabla de contingencia, y de sise trata de datos independientes o apareados.

Si se trata de tablas de contingencia de 2 X 2 (dos variablesdicotmicas) la hiptesis nula puede contrastarse mediante laprueba exacta de Fisher. Esta prueba consiste en calcularexactamentela probabilidad de que aparezcan distribucionestan o ms extremas (ms heterogneas) que la encontrada. Silos efectivos esperados en cada casilla de la tabla excede a 5los resultados de la prueba de Fisher son muy similares a losobtenidos con la prueba de Ji-Cuadrado.

Si se trata de tablas con dimensiones superiores a 2 X 2, elcontraste de la hiptesis nula se realiza calculando la Ji-Cua-drado de la tabla de contingencia. El valor obtenido se compa-ra con el existente en las tablas de esta distribucin, lo que

nos indica su probabilidad. El nmero de grados de libertadque deben aplicarse es de: (nmero de fil as-1) * (nmero decolumnas-1), es decir, se multiplican el nmero de categoras

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TABLA IErrores en las pruebas de contrste de hiptesis

REALIDAD

E Diferentes IgualesST Diferentes Correcto Error tipo IU (potencia) Error alfaDI Iguales Error tipo II Correcto

O Error beta


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menos uno de cada variable. Si en alguna casilla de la tablaexisten efectivos esperados entre 3 y 5, se debe utilizar la lla-mada correccin de Yates. Si en alguna de las casillas se ob-tienen efectivos esperados menores de 3, el valor de la Ji-Cua-

drado obtenido no es correcto y la hiptesis no puede contras-tarse. En esta situacin la nica posibilidad es la de colapsarcategoras (unir valores de la variable). El valor de la Ji-Cua-drado representa la diferencia entre los valores observados yesperados de cada casilla.

Cuando los datos son agrupados, se realiza la prueba deMcNemar.

En algunas ocasiones puede darse un caso ligeramente dife-rente. Sabemos la distribucin de una variable categrica enuna poblacin porque se ha estudiado en su totalidad y tene-mos la distribucin de esta variable en una muestra. Se pre-tende saber si la distribucin muestral se ajusta a la poblacio-

nal (se tratara de una prueba de conformidad). En esta hipte-sis tambin se evala mediante la prueba de la Ji-Cuadrado,con la salvedad que el nmero de grados de libertad en estacaso es el nmero de categoras de la variable menos 1.

CONTRASTE VARIABLE CATEGORICA/CUANTITATIVA

En general estos contrastes se resuelven comparando losvalores medios de la variable cuantitativa en los distintos gru-pos definidos por la variable categrica. Por ejemplo, al eva-luar el efecto de dos medicamentos hipoglucemiantes pode-

mos ver las glucemias de los pacientes que reciben cada trata-miento. La decisin del mtodo de contraste a elegir dependedel nmero de grupos definidos por la variable cualitativa, desi se trata de datos apareados o independientes, y de si la dis-tribucin de la variable cuantit ativa sigue una distribucin nor-mal.

Variable categrica dicotmica

Si la variable categora diferencia 2 subgrupos las pruebasque suelen utilizarse son la prueba de Zy la t de Student. Laprimera para muestras grandes (ambos grupos con un nmero

de individuos 30) y la segunda para muestras pequeas. Es-tas pruebas tienen versiones para datos apareados e indepen-dientes, y necesitan que se cumpla el supuesto de normalidad,y de igualdad de varianzas en los dos grupos (en caso de nodarse este ltimo supuesto pueden utilizarse soluciones apro-ximadas).

En ocasiones no pretendemos comparar dos grupos distin-tos, sino que queremos comparar la media en una muestra ob-tenida con una media poblacional conocida (prueba de confor-midad). La sistemtica en este caso es la misma, siendo nica-mente distintas las frmulas de clculo de la Zy de la t.

Si los datos no cumplen el supuesto de normalidad, deben

uti lizarse pruebas no paramtricas. Estas pruebas no comparanla media de los valores, sino que comparan la distribucin desu ordenacin en ambos grupos. Para datos independientes se

137

3

BIOESTADISTICA

20

La p obtenida en la prueba bilateral de contraste utilizada es de 0,01. Qusignifica este resultado?:

1. En el caso de que los tratamientos fuesen similares slo se ha-bra encontrado esta distribucin u otra ms extrema en 1 de ca-da 100 casos.

2. Que si se hubiese utilizado una prueba unilateral la p valdra0,02.

3. Que si los tratamientos fuesen distintos, en 1 de cada 100 casosno encontraramos diferencias entre ellos.

4. La interpretacin del valor de la p es totalmente distinta en fun-cin de la prueba estadstica utilizada.

5. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

En cul de los siguientes estudios no se aplicara una prueba para datosindependientes?:

1. Se compara el efecto de 2 medicamentos sobre la evolucin delesiones existentes en los pliegues interdigitales de los pies. Ca-da paciente recibe 1 tratamiento distinto en cada pie.

2. Se compara el efecto hipotensor de 2 medicamentos. Los enfer-mos reciben secuencialmente los dos medicamentos.

3. Se compara el efecto hipol ipemiante de 2 medicamentos. Ungrupo de pacientes reciben el medicamento A y otro grupo el

medicamento B. Se evala la diferencia entre la colesterolemiaantes de iniciar el tratamiento y la existente tras un mes de tra-tamiento.

4. Se compara el efecto sobre el glaucoma de 2 medicamentos. Lospacientes reciben un medicamento distinto en cada ojo.

5. Se quiere evaluar si un medicamento ti ene algn efecto hipoten-sor. Para ello se compara la tensin sistlica antes de tomar elmedicamento con la que presenta 1 hora despus de haberlo re-cibido.

Ha realizado usted un cuestionario sobre personalidad a 50 pacientes dia-bticos y a 50 controles. Un porcentaje mayor de diabticos presentauna personalidad neurt ica (p


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utiliza la Ude Mann-Whitney, y para datos apareados se utili-za la Tde Wi lcoxon.

Variable categrica politmicaEn el caso de que la variable categrica diferencie ms de

dos grupos (comparar 3 frmacos hipoglucemiantes), podrapensarse que podran realizarse varios pares de comparacio-nes utilizando las pruebas mencionadas en el apartado ante-rior. Sin embargo, esto no es razonable, ya que la posibilidadde cometer un error alfa aumentara proporcionalmente al n-mero de comparaciones realizadas. Por ello debe realizarseuna prueba especial, que recibe el nombre de anlisis de la va-rianza (ANOVA).

La variabilidad de los valores de cada individuo puede de-

berse al azar o al hecho de pertenecer a cada grupo. Este tipode prueba lo que hace es valorar si la variabilidad que aporta alos datos el pertenecer a los distintos grupos es superior a laque podra deberse al azar, es decir, la hiptesis nula sera quela varianza que aporta el pertenecer a los distintos grupos (va-rianza intergrupo) no es mayor que la esperable por el azar,que en este caso estara representada por la llamada varianzaintragrupo (varianza residual). Lgicamente, si el pertenecer acierto grupo explica parcialmente el valor de la variable, susvalores medios en cada grupo sern diferentes.

Esta prueba nos informa de que las medias de los distintosgrupos son diferentes en conjunto, pero no informa especfica-

mente de cules son distintas entre s (por parejas). Para resol-ver este problema se recurre a los llamados contrastes (Sheff,Fisher, Tukey, etc.).

Existen soluciones de esta prueba para datos independien-tes y apareados (ANOVA de medidas repetidas).

El ANOVA requiere que se cumpla el supuesto de normali-

dad y que la varianza en los distintos grupos sea homognea.Si esto no ocurre, puede recurrirse a las pruebas no paramtri-cas. No obstante, los resultados del ANOVA no suelen ser muysensibles a pequeas violaciones de estos supuestos. La prue-ba no paramtrica utilizada en esta situacin es la prueba deKruskall-Wallis.

CONTRASTE VARIABLECUANTITATIVA/CUANTITATIVA

El problema que intentan contestar este tipo de tcnicas essi el cambio del valor de una variable se acompaa de una mo-

dificacin de la otra. Por ejemplo, podemos intentar ver si ladosis de hipoglucemiante administrada se relaciona con eldescenso de las cifras de glucemia.

Las tcnicas empleadas para la solucin de este tipo de du-das se agrupan bajo el nombre de regresin/correlacin. Estastcnicas buscan la recta que mejor se ajusta a la nube de pun-tos originada por la representacin conjunta de ambas varia-bles y nos informa de la ecuacin que mejor la representa(y=a+bx). Evalan el grado de ajuste de la recta terica a lospuntos (coeficiente de correlacin y coeficiente de determina-cin). Estiman los parmetros propuestos (a, b, y coeficientes)y finalmente contrastan su verosimilit ud.

El coeficiente de correlacin (r) es un estadstico que indica laexactitud de la relacin entre dos variables cuantiativas. Oscilaentre -1 y +1. Cuando su valor es 0, no hay relacin entre ellas.

138


TABLA IIPrincipales pruebas de hiptesis bivariantes

Variable Nominal Ordinal Cuantitativa

Nominal Prueba de Fisher Ji-Cuadrado de t de StudentJi-Cuadrado Mantel-Haenszel Prueba de Z

Prueba de McNemar ANOVAU de Mann-Whitney *

T de Wilcoxon *Kruskall-Wallis *

Cuantitativa RegresinCorrelacin

Correlacin Sperman** Pruebas no paramtricas


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Cuando su valor es +1, hay una relacin positiva perfecta (X au-menta de forma exactamente proporcional al aumento de Y).Cuando su valor es -1, hay una relacin negativa perfecta (X dis-minuye de forma exactamente proporcional al aumento de Y).

El coeficiente de determinacin (r2

) nos indica qu porcinde la variabilidad de una variable puede ser explicada por laotra y cunta puede ser explicada por el azar. Es el cuadradodel coeficiente de correlacin, y lgicamente oscila entre 0 y 1.Cuando su valor es 0, ninguna proporcin de la variabilidad decada variable puede ser explicada por la otra. Cuando su valores 1, la modificacin de una variable explica la totalidad delcambio que sufre la otra.

El coeficiente b(coeficiente de regresin) indica la magnituddel incremento de y con cada unidad de incremento de x. El co-eficiente a (trmino independiente) nos indica el valor tericode ycuando xvale 0. Situacin que frecuentemente no tiene

sentido biolgico.Los coeficientes de determinacin y correlacin no depen-

den del tipo de unidades utilizadas en la medicin de las varia-bles. Pero los coeficientes ay bs dependen de estas unida-des.

Una vez que estos estadsticos han sido calculados, debencontrastarse. La hiptesis nula que suele evaluarse es la de noexistencia de relacin, que en este caso equivale a que el coe-ficiente ro el bson distintos de 0. Esto se hace calculando elvalor de t, buscando posteriormente su probabilidad. En el ca-so de 2 variables el contraste de bo raporta el mismo resulta-do. Pero si se incluyen variables existiran varios coeficientes b

(y=a+b1x+b2x+b3x), y cada uno de ellos requerira su contrasteindividualizado. En este caso, el contraste de rnos informarasobre la verosimilt ud global del modelo.

Estas tcnicas requieren para su aplicacin:

Que la relacin entre ambas variables sea lineal (seajuste a una lnea recta); las variables estn asocia-das por otro tipo de ecuacin (exponencial, parbola,etc.), y que los datos no se ajusten a una recta.

Las variables deben ser normales. Ambas deben serloen correlacin, y la dependiente (y) en regresin.

Las variables deben ser homoescedsticas (varianzas

homogneas). Ambas deben serlo en correlacion, y ladependiente en regresin. Los valores de las variables deben ser independien-

tes.

Los trminos correlacin y regresin estn fuertemente em-parentados, pero no significan lo mismo. La regresin implicaun cierto componente causal, existiendo una variable indepen-diente (x), y una dependiente (y), que se modif ica a consecuen-cia del cambio de x. La regresin est emparentada con los di-seos experimentales (el investigador puede modificar la va-riable independiente) y la correlacin con observacionales. Por

otro lado, a la regresin le interesan los coeficientes by a, ysuele tener un objetivo predictivo; por el contrario, a la correla-cin le interesan ry r2.

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BIOESTADISTICA

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Ha realizado usted un ensayo clnico en el que ha comparado el efecto hi-potensor de 3 tratamientos distintos (A, B, C). El tratamiento A origi-

n un descenso medio de 20 mmHg en la tensin diastlica, el B de15 mmHg, y el C de 13 mmHg. El nmero de pacientes incluidos encada grupo no fue homogneo. El anlisis ha sido realizado medianteun ANOVA, y se ha obtenido un p


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ARMITAGE, P.; BERRY, G.: Estadstica para la investigacinbiomdica. Doyma. Barcelona, 1992.

BAKKE, O. M.; CARN, X.; GARCIA-ALONSO, F.: Ensayos Cl-nicos con medicamentos. Doyma. Barcelona, 1994.

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TSOKOS, M.: Estadstica para biologa y ciencias de la salud.

Interamericana, 1987.

La tcnica no paramtrica que puede utilizarse cuando no secumplan los supuestos de normalidad es la correlacin de Spe-arman.

ANALISIS DE SUPERVIVENCIA

Bajo este nombre se agrupan una serie de tcnicas que secaracterizan por intentar analizar el tiempo que transcurre has-

ta que aparece un determinado acontecimiento. El nombre deanlisis de supervivencia se debe a que con mucha frecuenciael acontecimiento que se espera es la muerte, pero tambinpueden utilizarse para evaluar el tiempo transcurrido hasta

otro tipo de eventos (aparicin de infarto agudo de miocardio,aparicin de embolismo cerebral, etc.). Los mtodos ms utili-zados son el Kaplam-Meier y el actuarial.

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TABLA IIITabla de contingencia

MEDICAMENTOA B

Normalizacin SI 15 (19,4) 26 (21,5) 41Glucemia NO 13 (8,6) 5 (9,5) 18

28 31 59

() Efectivos esperados

MEDICAMENTOA B

Normalizacin SI a (a) b (b) a+bGlucemia

NO c (c) d (d) c+da+c b+d total

* Clculo de efectivos esperados

(a+b)*(a+c) (a+b)*(b+d)Casilla a = Casilla b =

total total

BIBLIOGRAFIA


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Seccin 3

Amplitud, 129intercuartlica, 129

anlisis de la varianza (ANOVA), 138apuntamiento, 131asimetra, 131Bilaterales, 133Cartograma, 127Coeficiente,

de correlacin, 138de determinacin, 138de regresin, 139

de variacin, 139Comprobacin de hiptesis, 133contrastes, 138correccin de Yates, 137correlacin, 138cuartiles, 129datos apareados, 136datos independientes, 136deciles, 129Desviacin,

estndar, 132media, 129

tpica (desviacin estndar), 129Diagrama de barras, 127

Diagrama de seccin circular, 127Distribucin,

binomial, 132de Poisson, 132normal, 131normal reducida (tipificada), 131

Error,alfa, 135beta, 135de 1. especie, 135de 2. especie, 135

estndar, 132tipo I, 135tipo II, 135

Estadstica descriptiva, 125, 126estadstica inferencial o deductiva, 125Estadsti cos, 126Estadstica analtica, 125Estimacin de parametros, 132estimador, 132Fisher, 138Hiptesis alternativa, 133Hiptesis nula, 133

Histograma, 127intervalo de confianza, 132

141

INDICEINDICE

DEDEMAMATERIASTERIAS


20/20

Kolmogorrov-Smirmov, 135kurtosis, 131Media aritmtica, 128Mediana, 128

Medidas de tendencia central, 127Moda, 128Muestra, 126parmetros, 126percentiles, 129Pictograma, 127poblacin, 126

diana, 126inferencial, 126

Polgono de f recuencias, 127prueba/as,

de Ji -Cuadrado, 136de McNemar, 137de Z, 137exacta de Fisher, 136

no paramtricas, 135paramtricas, 135

regresin, 138Sheff, 138skewness, 131supervivencia, 140

t de Student, 137T de Wilcoxon, 138tablas de contingencia, 136tcnicas de muestreo, 126Tukey, 138U de Mann-Whitney, 138Unilaterales, 133variable/es, 126

aleatoria, 126controlada, 126dependiente, 126independiente, 126

cualitat ivas, 126cuanti tat ivas, 126ordinales, 126

Varianza (variancia), 129

INDICE DE MATERIAS

MIR INTENSIVO - T01_S03

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