Mínimo Común Múltiplo y Máximo común divisor.docx

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Mínimo Común Múltiplo y Máximo común divisor.

Introducción.

Tanto el mínimo común múltiplo como el máximo común divisor, son dos de los

conceptos de suma importancia en el campo de la aritmética. El primero de ellos es de uso

frecuente en la factoriación de un número compuesto en producto de factores primos, el

se!undo de ellos tiene su uso en la suma de fracciones, posteriormente estos dos conceptos

se retomarán en la manipulación de polinomios en el campo del ál!e"ra elemental. Es por

ello #ue a continuación desarrollaremos su concepto, e$emplos y al!unas de sus

aplicaciones en el ám"ito de la vida cotidiana.

El mínimo común múltiplo de dos números naturales es el menor número #ue

cumple con la propiedad de ser múltiplo común de dos números. En lo sucesivo al referirseal mencionado concepto se denotara al mínimo común múltiplo con las si!las m.c.m., es

decir para o"tener el mínimo común múltiplo se %ará uso de d=m.c .m. (a ,b ) . En donde

a ,b∈ N , y d denota al número #ue es el mínimo común múltiplo de dos números.

&clarada la notación, ense!uida pasaremos a a"ordar su concepto, en forma de lista

anotamos los múltiplos de 6 y 15 '

Múltiplos de 6 ' 6,12,18,24,30 ,36,42,⋯

6n , n∈ N .

Múltiplos de 15 ' 15,30 ,45, 60,⋯15n , n∈ N .

(e las listas anteriores, se o"serva #ue el número 30 es el menor común múltiplo

de 6 y 15 . )or lo tanto, m . c . m . (6,15 )=30 .

Esta forma de proceder para %allar el mcm es muy lar!a, por lo #ue descri"iremos

ense!uida un método #ue sea más "reve y práctico.

Método para %allar el mínimo común múltiplo de dos números.

*. +e factoria cada uno de los dos números, expresándolos como un producto

de factores primos en forma de potencia por separado.. El mínimo común múltiplo es el producto de los diferentes factores primos

con su máxima potencia.

1



-/01

*20/21

E$emplo *. 3allar el mínimo común múltiplo de *2 y 45.

)aso *. (escomponemos en sus factores primos a cada uno de los números'

*20/21

45 24 (3)

El m.c.m./*2,451 24 (3 ) (5)=240

Este método se puede extender al cálculo del mínimo común múltiplo de más de dos

números. El si!uiente e$emplo lo ilustra.

E$emplo . 3allar el mínimo común múltiplo de *, *2, y *5. (escomponiendo a

cada uno de los números en sus factores primos, tenemos #ue'

* 22 (3 )

*20/21

*5/ 32

1

6ue!o entonces, el mcm/*,*2,*51 22 (32 ) (5 )=180

Problemas de aplicación del mínimo común múltiplo .

E$emplo *. 7Cuál es la menor capacidad de un estan#ue #ue se puede llenar en un número

exacto de minutos por cual#uiera de tres llaves #ue vierten' la primera, * litros por minuto8

la se!unda, *5 litros por minuto y la tercera, 9 litros por minuto:

Solución. (el enunciado del pro"lema, como se trata de la menor capacidad, es necesario

calcular el mcm de *, *5, y 9. )rocedemos a descomponer en sus factores primos a cada

uno de los números'

12=22 (3 )

18=2 (32 )

20=22 (5 )

2



El mínimo común múltiplo de *, *5, y 9 es 22 (32 ) (5 )=180 . )or lo tanto, el tan#ue se

puede llenar en *59 litros por minuto.

E$emplo . 7Cuál será la menor lon!itud de una varilla #ue se puede dividir en pedaos de 5

cms., ; cms., ó *2 cms. (e lon!itud sin #ue so"re ni falte nada y cuántos pedaos de cadalon!itud se podrían sacar de esa varilla.

Solución. +e procede de forma análo!a al anterior e$emplo, la factoriación de los tres

números es la si!uiente'

8=23

9=32

15=3 (5)

El mínimo común múltiplo de 5, ;, y *2 es 23 (32 ) (5 )=360 . )or lo tanto, 6a lon!itud de

la menor varilla es de 0-9 cms. Como 0-942/51, 0-949/;1, y 0-94/*21, es decir el 5

está contenido 42 veces en 0-9, el ; está contenido 49 veces en 0-9, y el *2 está contenido

4 veces en 0-9, de ello se concluye #ue se tienen 42 pedaos de 5 cms., 49 pedaos de ;

cms., y 4 pedaos de *2 cms.

E$emplo 0. Tres aviones salen de una misma ciudad, el primero cada 5 días, el se!undo

cada *9 días y el tercero cada 9 días. +i salen $untos de ese aeropuerto el día de enero,

7cuáles serán las dos fec%as más próximas en #ue volverán a salir $untos: /el a<o no es

"isiesto1.

Solución. )rimero se de"e determinar el mínimo común múltiplo de 5, *9, y 9. Como el

*9 está contenido en 9, no es necesario considerarlo, por lo #ue únicamente se consideran

los números 5 y 9.

8=23

20=22 (5 )

El mínimo común múltiplo de 5 y 9 es23 (5 )=40

, por lo #ue se de"en contar 49 días a partir del de enero, #ue nos indica la fec%a del ** de fe"rero, y así a partir de esta otra

fec%a, contar otros 49 días, #ue nos marca la fec%a del 0 de maro. )or lo tanto las dos

fec%as son ** de fe"rero y 0 de maro.

Ejercicios propuestos del mínimo común múltiplo. 3allar el m.c.m. de los si!uientes

números.

3



*. 0 y 598 =. *-9. 4- y -;8 =. *050. *5, 4 y 498 =.0-94. 0, 45 y *958 =. 5-42. 2, >, *9 y *48 =. >9-. , 0, -, * y 298 =. 099>. *99, 299, >99, y *9998 =. >9995. *4, 05, 2-, y **4' =. 0*;;. *0, *;, 0; y 048 =. 444-*9. *2, *-, 45 y *298 =. *99

Problemas propuestos del mínimo común múltiplo.

*. 7Con #ué cantidad, menor #ue ?499 podré comprar un número exacto de mananas

de a ?49, ?-9 y ?;9 cada una: =. ?0-9

. 7Con ?099, 7)odré comprar un número exacto de "olí!rafos de a ?09, ?29 y ?-9

cada uno: 7Cuántos de cada precio: =. +í8 *9 de ?09, - de ?29 y 2 de ?-90. 3allar la menor distancia #ue se puede medir exactamente con una re!la de , de 2

ó de 5 pies de lar!o. =. 49 pies.4. 7Cuál es la menor suma de dinero con #ue se puede comprar un número exacto de

li"ros de a ?099, ?499, ?299 u ?599 cada uno y cuántos li"ros de cada precio podría

comprar con esa suma: =. ?*,9998 49 de ?099, 09 de ?499, 4 de ?299 y *2 de

?599.2. 7Cuál es la menor capacidad de un estan#ue #ue se puede llenar en un número

exacto de se!undos por cual#uiera de tres llaves #ue vierten' la primera, litros por

se!undo8 la se!unda, 09 litros por se!undo y la tercera, 45 litros por se!undo: =.

49 litros por se!undo.-. 3allar el menor número de "om"ones necesario para repartir entre tres clases de 9

alumnos, 2 alumnos ó 09 alumnos, de modo #ue cada alumno reci"a un número

exacto de "om"ones y cuántos "om"ones reci"irá cada alumno de la primera, de la

se!unda ó de la tercera clases. =. 099 "om"ones8 *2 de la primera, * de la se!unda

y *9 de la tercera clase, respectivamente.>. Tres !al!os arrancan $untos en una carrera en #ue la pista es circular. +i el primero

tarda *9 se!undos en dar una vuelta a la pista, el se!undo ** se!undos y el tercero

* se!undos, 7al ca"o de cuántos se!undos pasarán $untos por la línea de salida y

cuántas vueltas %a"rá dado cada uno en ese tiempo: =. --9 se!undos8 el primero da

-- vueltas, el se!undo -9 y el tercero 22.5. En un paradero de la ciudad de México, un metro"us pasa con una frecuencia de *5

minutos, otro cada *2 minutos y un tercero cada 5 minutos. 7(entro de cuántos

minutos, como mínimo, se encontrarán en el paradero: =. 0-9.;. =osa tiene cu"os aules de 22 mm de arista y cu"os ro$os de 42 mm de arista.

&pilando los cu"os en dos columnas, una de cu"os aules y otra de cu"os ro$os,

4



#uiere conse!uir #ue las dos columnas sean i!uales. 7Cuántos cu"os, como mínimo,necesita de cada color: =. 4;2

*9. &ndrés tiene en su tienda los "otones metidos en "olsas. En la ca$a & tiene "olsitasde 4 "otones cada una y no so"ra nin!ún "otón. En la ca$a @ tiene "olsitas de 9 "otones cada una y tampoco so"ra nin!ún "otón. El número de "otones #ue %ay en

la ca$a & es i!ual #ue el #ue %ay en la ca$a @. ¿Cuántos "otones como mínimo %ayen cada ca$a: =. *9

5



El Máximo Común (ivisor

Aamos a introducir el concepto de máximo común divisor, atendiendo a susemántica, es decir de"emos %allar el mayor número de entre dos números #ue sea a su vecomún y divisor. )ara ello listaremos todos los divisores de *2 y *5 ense!uida'

Divisores de 15:

*,3, 2, y *2.

Divisores de 1:

*, , 3, -, ;, y *5.

(e las sucesiones de números de *2 y *5 , se o"serva #ue el * y 0 son divisorescomunes8 pero el 0 es el mayor, por lo #ue se concluye #ue el máximo común divisor de *2y *5 es 3. &l máximo común divisor suele denotarse por las si!las M.C.(.

Conceptualmente, el mecanismo referido anteriormente resulta muy fácil deentender8 pero es una forma muy en!orrosa de calcular, es por ello #ue citaremos dosal!oritmos más prácticos #ue son los si!uientes'

I. )or descomposición en factores primos, la re!la a se!uir en la si!uiente'

!eorema 1.

El M.C.D. de varios números descompuestos en sus factores primos es el

producto de sus factores primos comunes, afectados de su menor exponente.

E$emplo *. 3allar el máximo común divisor de 2 y *29

Bactoriando cada uno de los números, tenemos'

25=52

150=2 ⋅3 ⋅52

)or el teorema citado anteriormente, el M.C.(. es 52

.

E$emplo . Calcular el M.C.(. de 5, 4, 2- y >9

Como el 5 está contenido en el 2-, se excluye de los demás números.(escomponiendo los restantes números en sus factores primos'

42=2⋅3 ⋅7

6



56=23⋅7

70=2 ⋅5 ⋅7

6os divisores comunes son y >, por lo tanto, el M.C.(. de 5, 4, 2- y >9

es 2⋅7=14 .

II. =e!la práctica para %allar el M.C.(. de dos números por divisionessucesivas.

!eorema "

Se divide el mayor de los números dados por el menor, si la división es exacta, el

menor es el M.C.D. Si la división no es exacta, se divide el divisor por el primer residuo; el primer residuo por el segundo residuo, este por el tercero y así sucesivamente asta

o!tener una división exacta. El último divisor ser" el M.C.D.

E$emplo 0. 3allar el máximo común divisor de 2* y *5>

187

51=3+

34

51⟺187=51⋅3+34

51

34=1+

17

34⟺51=34 ⋅1+17

34

17=2⟺34=17 ⋅2+0

3asta el tercer procedimiento la división es exacta, se o"serva #ue el último divisor es *>. )or lo tanto, el M.C.(. de 2* y *5> es *>.

)ara %allar el máximo común divisor de dos o más números es necesario considerar el si!uiente'

!eorema 3.

#ara allar el M.C.D de m"s de dos números por divisiones sucesivas se alla primero el de dos de ellos, despu$s el de otro de los números dados y el M.C.D. allado;

despu$s el de otro número y el segundo M.C.D. y así sucesivamente asta el últimonúmero. El último M.C.D. es el M.C.D. de todos los números dados.

E$emplo 4. 3allar el M.C.(. de 09, 4, y 24.

7



)rimero se %allará el máximo común divisor de 09 y 4, se!ún el referido teoremacitado anteriormente.

(ividimos el número mayor por el menor, %asta encontrar un resto cero, como seindica a continuación'

42

30=1+

12

30

30

12=2+

6

12

12

6=2

El M.C.(. de 09 y 4 es -, a%ora se %allara el M.C.(. de - y 24'

546=9

Como la división es exacta, entonces el M.C.(. de - y 24 es -. )or lo tanto, seconcluye #ue el M.C.(. de 09, 4 y 24 es -.

Ejercicios propuestos del #.$.D:

3allar por cual#uiera de los métodos descritos en esta sección el M.C.( de lossi!uientes números'

*. 9 y 59 =. 9. , 00 y 44 =. **0. ;45 y *;>2 =. >;4. *44 y 29 =. 52. 042 y 529 =. 2-. 42, 599 y ;29 =. 2>. 4-4, 5* y 5>9 =. 255. >5, *09 y *5> =. *>;. *-5, 2, 59 y ;*> =. >*9. *-5, >00- y ;*54 =. 5

)ro"lemas de aplicación del máximo común divisor.

E$emplo *. +e tienen tres varillas de -9 cms., 59 cms. y *99 cms. de lon!itudrespectivamente. +e #uieren dividir en pedaos de la misma lon!itud sin #ue so"re ni faltenada. (i!a tres lon!itudes posi"les para cada pedao.

+olución.

=ealiando la descomposición factorial, se tiene lo si!uiente'

8



60 2 80 2 100 2

30 2 40 2 50 2

15 3 20 2 25 5

5 5 10 2 5 5

1 5 5 1

1

El M.C.(. de -9, 59 y *99 es 22⋅5=20 . (e lo anterior, se si!ue #ue para cada

una de las varillas son divisi"les por , 4 y 9. )or lo tanto, se concluye #ue'

*. 6a varilla de -9 cms., se divide en pedaos de 09, *2 y 0, respectivamente.. 6a varilla de 59 cms., se divide en pedaos de 49, 9 y 4, respectivamente.0. 6a varilla de *99 cms., se divide en pedaos de 29, 2 y 2, respectivamente.

E$emplo . n padre da a un %i$o ?5999, a otro ?>299, y a otro ?-999, para repartir entre los po"res, de modo #ue todos den a cada po"re la misma cantidad. 7Cuál es la mayor cantidad #ue podrán dar a cada po"re y cuántos los po"res socorridos.

Solución.

+e %a de determinar el M.C.(. de las cantidades 5999, >299 y -9998 pero como *99es factor común, lo podemos omitir en un principio, para lue!o volverlo a considerar, estocon la finalidad de simplificar la descomposición factorial.

80 2 75 3 60 2

40 2 25 5 30 220 2 5 5 15 3

10 2 1 5 5

5 5 1

1

6a descomposición factorial #ueda así'

8000=100 ⋅24⋅5

7500=100 ⋅3 ⋅52

6000=100 ⋅22⋅3⋅ 5

El M.C.(. de 5999, >299 y -999 es 100 ⋅5=500 . )or lo tanto, la mayor cantidad

#ue da cada %i$o es de ?299. )ara responder a la se!unda pre!unta, "asta con dividir 5999,

>299 y -999 por el M.C.( y sumar, de lo #ue resulta' 16+15+12=43 po"res.

9



)ro"lemas propuestos de aplicación del máximo común divisor.

*. (os cintas de 0- metros y 45 metros de lon!itud se #uieren dividir en pedaos i!uales y de la mayor lon!itud posi"le. 7Cuál será la lon!itud de

cada pedao: =. * metros.

. 7Cuál será la mayor lon!itud de una medida con la #ue se pueden medir exactamente tres dimensiones de *49 metros, 2-9 metros y 599 metros: =.9 metros.

0. +e tienen tres ca$as #ue contienen *-99 li"ras, 999 li"ras y 00; li"ras de $a"ón respectivamente. El $a"ón de cada ca$a está dividido en "lo#ues delmismo peso y el mayor posi"le. 7Cuánto pesa cada "lo#ue y cuántos "lo#ues%ay en cada ca$a: =. *- li"ras8 en la primera ca$a %ay *99 "lo#ues, en lase!unda *2, y en la tercera *.

4. n %om"re tiene tres rollos de "illetes de "anco. En uno tiene ?4299, en otro?249 y en el tercero ?-299. +i todos los "illetes son i!uales y de la mayor denominación posi"le, 7cuánto vale cada "illete y cuántos "illetes %ay encada rollo: =. ?98 2 en el primer rollo, - en el se!undo, y 02 en eltercero.

2. +e #uieren envasar *-* Dilos, 20 Dilos y 9> Dilos de plomo en tres ca$as,de modo #ue los "lo#ues de plomo de cada ca$a ten!an el mismo peso y elmayor posi"le. 7Cuánto pesa cada pedao de plomo y cuántos ca"en en cadaca$a: =. 0 Dilos8 en la primera ca$a %ay 0, en la se!unda ** y en la tercera;.

-. na persona camina un número exacto de pasos andando -29 cms., 599 cms.y *999 cms. 7Cuál es la mayor lon!itud posi"le de cada paso: =. 29 cms.

>. 7Cuál es la mayor lon!itud de una re!la con la #ue se puede medir exactamente el lar!o y el anc%o de una sala #ue tiene 529 cms. de lar!o y2;2 cms. de anc%o. =. 52 cms.

8. María y or!e tienen 2 "olas "lancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas yquieren hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna

bola.

a) ¿Cuános collares iguales !ueden hacer" #. 5 collaresb) ¿$u% número de bolas de cada color endrá cada collar" #. el

!rimero endrá 5 bolas blancas& el segundo ' bolas azules y elercero 18 bolas rojas.

10



;. n campo rectan!ular de 0-9 m de lar!o y *29 m de anc%o, está dividido en parcelas cuadradas i!uales. El área de cada una de estas parcelas cuadradases la mayor posi"le. 7Cuál es la lon!itud del lado de cada parcela cuadrada:=. 0 metros.

*9. uan tiene #ue poner un rodapié de madera a dos paredes de * m y ; m delon!itud. )ara ello %a averi!uado la lon!itud del mayor listón de madera #ueca"e en un número exacto de veces en cada pared. 7Cuál será la lon!itud deeste listón: =. 0 m.

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