Micro Econom Iacon Excel

Anlisis microeconmico con Excel

MICROECONOMA CON EXCEL 1

MICROECONOMA CON EXCEL

EN EMPRESAS

La criticada impracticabilidad de la teora neoclsica resuelta me-diante su aplicacin en Excel. Una refutacin de errores en la mi-croeconoma clsica. El consumidor, la empresa, optimizacin y programacin, los mercados: anlisis diferencial, operadores de Lagrange, elasticidad media o promedio, ecuacin de Slutsky, nivel de vida, 12 ndices de precios y de cantidades; integracin, exce-dente del consumidor y del productor segn tipo de mercado; mode-lacin clsica, Rapidito, lentito en la estacin Vivitos, Telefocn 4 y 7; econometra: muestreo, probabilidad, combinatoria, series cortas; proyeccin del mercado y estimacin de funciones de demanda mediante correlacin mltiple con Anova, para el reemplazo por una dcima variable representativa; mejor ajustamiento (solo millon-simos de error) con ms de 500 variables; investigacin operativa: programacin lineal, no lineal, dinmica, entera, binomial, Solver; matrices; 6 seis mtodos equivalentes con similar resultado; pro-gramacin de la produccin en sistemas resueltos en Excel con 5, 10, cientos o miles de variables; colas, modelos de simulacin di-nmica en Excel, modelo de la telaraa con el nmero exacto de perodos del ajuste dinmico, VAN y TIR, produccin mltiple, multi-objetivo, multicriterio, teora de los juegos Simplex. Shapley y Banzhaf con Excel, incertidumbre; subastas licitaciones, matemtica difusa (fuzzy) y del caos; modelacin Oman y su asesina; nivel in-termedio asequible para no especialistas mediante aplicaciones simples de Excel y lgebra. Programa de la asignatura Microeconoma I linkeado al material de estudio (al final), a ejercicios resueltos y a archivos Excel y otros, disponibles en:



www.microeconomiaconexcel.com , sitios del curso en la FCE, foros y otros site.

2003 Santiago Eiras Roel T. Isabel Rbora Teresa Eiras

Derechos exclusivos

IMPRESO EN ARGENTINA - PRINTED IN ARGENTINE

MICROECONOMA CON EXCEL EN EMPRESAS

Enfoque terico prctico de microeconoma de la empresa, para no graduados y profesionales, del rea comercial e investigacin de empresas; con ms de 100 ejemplos resueltos paso a paso utilizan-do aplicaciones de Excel -en situaciones bajo cuatro contextos: cierto, aleatorio, hostil e incierto-.

Los autores - Santiago Eiras Roel , 30 aos en anlisis de mercado de Siderurgia Argentina -SOMISA- y profesor de microeconoma en la Universidad de Buenos Aires; Dr. en Ciencias Econmi-cas. - T. Isabel Rbora, 30 aos de docencia; profesora ayudante

del curso. Contadora (CPN) - Teresa Eiras, auxiliar en prctica estadstica y casos micro-econmicos.

http://www.microeconomiaconexcel.com/



INDICE

Este es un enfoque diferente; no es ms de lo mismo: incluye nuevos aportes y refutaciones, junto con una reafirmacin (conputacional) de la microeconoma clsica; por lo cual el ordenamiento no es el convencional.

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PRLOGO .................................................................................................................................................... 14 INTRODUCCIN ................................................................................................................................... 16 CIVILIZACION OCCIDENTAL ........................................................................................................... 16 EVOLUCION DE LA MATEMATICA Y LA ECONOMIA .............................................................. 18 El V POSTULADO EN LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES............................................................. 20 MICROECONOMIA CLASICA ............................................................................................................ 36 DESDE LA GEOMETRIA PLANA DE EUCLIDES HACIA LA GEOMETRIA ANALITICA ..... 38 PRODUCCION, COSTOS, BENEFICIOS ............................................................................................ 41 ERRORES EN LA MICROECONOMIA CLASICA ........................................................................... 49 DESTINATARIOS DE LA MICROECONOMIA ................................................................................ 50 POR QU ES INSUFICIENTE LA MICROECONOMA CLSICA CON ENFOQUE SOLO

FORMAL .................................................................................................................................................. 51 APORTES DE MICROECONOMIA CON EXCEL (MCE) ................................................................ 54 1) Exposiciones simplificadas ................................................................................................................. 54 2) Seis mtodos equivalentes ................................................................................................................... 55 3) Estimacin de funciones ..................................................................................................................... 56 4) Programacin con cientos de variables .............................................................................................. 57 5) Matrices con Excel............................................................................................................................... 57 6) Otros 10 utilitarios ............................................................................................................................... 57 7) Empresa sobredimensionada: .............................................................................................................. 58 8) Casos de antidumping y countervailing duty ..................................................................................... 59 9) Cuatro contextos econmicos ............................................................................................................. 59 10) Elasticidad media ............................................................................................................................... 61 11) Es prcticamente til la ecuacin Slutsky? ................................................................................... 61 12) Como obtener funciones y grficos desde series y viceversa ......................................................... 63 13) Funciones muy complejas ................................................................................................................. 63 14) Anlisis dinmico .............................................................................................................................. 63 15) Modelo de la Telaraa y su nmero de perodos ............................................................................. 63 16) Modelos de simulacin: .................................................................................................................. 64 17) El problema de identificacin ........................................................................................................... 64



18 Mtodos cientficos ............................................................................................................................. 66 19) Un error en la microeconoma clsica, el sujeto .............................................................................. 67 20) Otro error en la microeconoma clsica, las generalizaciones sobre sistemas NxN: ................... 68 21) Visin de la microeconoma como la economa de la empresa ...................................................... 70 22) Simplificacin de la Teora de los Juegos, del S.XXI ..................................................................... 71 23) Omisin tradicional en el MIT, LSE, OXFORD Y SALAMANCA.............................................. 71 CONSENSO DE WASHINGTON ......................................................................................................... 73 DISGRESIN MACROECONMICA ................................................................................................. 74 USO DE FUNCIONES ............................................................................................................................ 76 TRES POSIBLES ENFOQUES MICROECONOMICOS: ................................................................ 80 TEMAS FUNDAMENTALES PARA UN CURSO GENERAL DE MICROECONOMA ............. 82 PARA QU SE ESTUDIA MICROECONOMIA................................................................................. 84 CAPTULO 1 .......................................................................................................................................... 86 SERIES Y FUNCIONES EN LA EMPRESA ....................................................................................... 86 ORIENTACIN Y CONTENIDO ......................................................................................................... 86 HASTA DNDE MICROECONOMA Y HASTA DNDE ESTADSTICA? .............................. 87 ESTUDIAR LA DEMANDA .................................................................................................................. 89 DESDE SERIES OBTENER ECUACIONES Y GRFICOS ........................................................... 90 DESDE ECUACIONES OBTENER SERIES Y GRFICOS ............................................................. 91 FUNCIN DE DEMANDA LINEAL.................................................................................................. 91

FUNCIN DE DEMANDA TERICA (HIPERBLICA) .................................................................. 92 ESTUDIOS DE DEMANDA EN LAS EMPRESAS y ......................................................................... 93 TIPOS DE BIENES ................................................................................................................................. 93 EQUILIBRIO EN MERCADOS COMPETITIVOS ............................................................................. 94 MERCADO COMPETITIVO CON IMPUESTOS ............................................................................... 94 DEMANDA, INGRESO TOTAL Y MARGINAL................................................................................ 96 EXTENDER CLCULOS EN EXCEL ................................................................................................. 96

ESTUDIOS DE DEMANDA Y MERCADO BAJO CUATRO CONTEXTOS ....................... 97 TIPOS DE BIENES, CONTEXTOS Y MTODOS ............................................................................. 97 CAPTULO 2 - ...................................................................................................................................... 99 CONTEXTO CIERTO ............................................................................................................................. 99 ANLISIS DE VARIABLES INDIVIDUALES................................................................................... 99 SERIES SIMPLES ................................................................................................................................... 99 MEDIDAS DE POSICIN. MEDIA ARITMTICA: ........................................................................ 101 MEDIA GEOMTRICA ....................................................................................................................... 101 MEDIA ARMNICA ............................................................................................................................ 102 MEDIANA: ............................................................................................................................................ 104 MODA(O):.............................................................................................................................................. 104 MEDIDAS DE DISPERSIN - VARIANZA: ................................................................................... 105 DESVIO ESTNDAR ........................................................................................................................... 106 DESVIACIN ESTNDAR- EN UNA POBLACIN: .................................................................... 107 SERIES DE FRECUENCIAS ............................................................................................................... 108 MEDIA ARITMTICA ......................................................................................................................... 109 MEDIA GEOMTRICA: ...................................................................................................................... 110 MEDIA ARMNICA: ........................................................................................................................... 111 MODA(O):.............................................................................................................................................. 112



DECILES: ............................................................................................................................................... 112 PERCENTILES ...................................................................................................................................... 113 MEDIDAS DE DISPERSIN .............................................................................................................. 113 DESVIO ESTNDAR Y VARIANZA: ............................................................................................... 113 ASIMETRA Y CURTOSIS ................................................................................................................. 114 MOMENTOS ABSOLUTOS HASTA SU CUARTO GRADO: ....................................................... 114 MOMENTO 0: ....................................................................................................................................... 114 MOMENTO 1: ....................................................................................................................................... 115 MOMENTO 2: ....................................................................................................................................... 116 MOMENTO 3: ....................................................................................................................................... 116 MOMENTO 4: ....................................................................................................................................... 117 MOMENTOS CENTRADOS HASTA CUARTO ORDEN ............................................................... 117 MOMENTO 1......................................................................................................................................... 117 MOMENTO 2......................................................................................................................................... 118 MOMENTO 4......................................................................................................................................... 119 DESVO CUARTLICO ........................................................................................................................ 119 VARIANZA MEDIANTE MOMENTOS ............................................................................................ 120 CONCLUSIN ...................................................................................................................................... 120

ANLISIS DE UNA SERIE CRONOLGICA .................................................................... 121 Mtodo de los promedios mviles ........................................................................................................ 121 CICLOS .................................................................................................................................................. 123 Mtodo de los nueve puntos: ................................................................................................................. 123 RELACIN ENTRE VARIABLES - SIMPLE (DOS VARIABLES) ............................................. 125 AJUSTAMIENTOS ............................................................................................................................... 125 Mtodo de los mnimos cuadrados: ....................................................................................................... 125 COVARIANZA ...................................................................................................................................... 126 DOS RECTAS DE REGRESION ......................................................................................................... 126 COEFICIENTE DE CORRELACIN ................................................................................................. 127

ELASTICIDAD MEDIA O PROMEDIO ............................................................................... 128 CORRELACIN EN UNA POBLACIN ....................................................................................... 128 DEMANDA COMO CORRELACIN PRECIO-CANTIDAD ......................................................... 129

CORRELACIN - EN MUESTRAS .................................................................................. 130 EVALUACIN DE EXMENES........................................................................................................ 131 ANLISIS DE VARIANZA Y COVARIANZA ............................................................................... 132 REGRESIN MLTIPLE .................................................................................................................... 133 ESTIMACIN DE DEMANDA POR CORRELACIN MLTIPLE - PRONSTICOS: ............ 133 DISCOS DE FRENO PARA AUTOS .................................................................................................. 133 ANLISIS DE VARIANZA ................................................................................................................. 135

ANLISIS DE REGRESIN ................................................................................................ 136 ANOVA (en ingls ANLISIS DE VARIANZA ............................................................................... 137 MULTICOLINEALIDAD - FIV........................................................................................................... 138



ESTADISTICA DESCRIPTIVA EXCEL ............................................................................................ 139 ESTIMACIN LINEAL (MLTIPLE) - VENTA DE HELADOS ............................................ 141 MULTICOLINEALIDAD - .................................................................................................................. 143 MATRIZ DE CORRELACION CON EXCEL .................................................................................... 143 MATRIZ DE COVARIANCIA .......................................................................................................... 146 ECONOMIA NO ES MEDICINA NI ES MECNICA ..................................................................... 150 CORRELACIN MULTIPLE Y ANOVA CON SPSS (IBM) .......................................................... 151 CORRELACION CON EVIEWS (ex TSP) ......................................................................................... 153 CORRELACION MLTIPLE CON STATA..................................................................................... 157 ESTIMACION DE FUNCIONES (REGRESION) ............................................................................ 165 AJUSTAMIENTO LINEAL CON EXCEL ........................................................................................ 168 AJUSTAMIENTO LOGARITMICA CON EXCEL ........................................................................... 169 AJUSTAMIENTO POTENCIAL CON EXCEL ................................................................................. 170 AJUSTAMIENTO POLINOMICA CON EXCEL .............................................................................. 172 MEJOR AJUSTAMIENTO CON FINDGRAPH ......................................................................... 173 CAPTULO 3 - ..................................................................................................................................... 176 PROYECCIN Y PROGRAMACIN ................................................................................................ 176 CON SERIES, CON ECUACIONES, MATRICES O CON PROGRAMACIN LINEAL? ....... 176 PARA QU PROYECTAR CON CORRELACIONES?.................................................................. 177 ANLISIS DE COYUNTURA PARA PRONSTICOS ................................................................... 177 MODELOS DE SIMULACION DE LA OFERTA Y DEMANDA GLOBAL PARA ESTIMAR LA

DEMANDA DE CHAPA DE SOMISA:.............................................................................................. 179 3.- ANALISIS DE COYUNTURA ....................................................................................................... 183 5- ETAPAS DEL PROCESO PRODUCTIVO ................................................................................... 186 PROGRAMACIN NO LINEAL O LINEAL - ................................................................................. 188 CON SOLVER DE EXCEL .................................................................................................................. 188 SENSIBILIDAD .................................................................................................................................... 191 PROGRAMACIN LINEAL SIMPLEX ............................................................................................ 192 Contribucin marginal (precios sombra) .............................................................................................. 196 Costo de oportunidad: ............................................................................................................................ 196 Minimizar el costo de produccin: ........................................................................................................ 197 DUALIDAD ........................................................................................................................................... 197 PROGRAMACIN LINEAL SIMPLEX CON SOLVER DE EXCEL ............................................ 199 FBRICA DE MESAS Y SILLAS ZONDA ....................................................................................... 199 PRODUCCIN DE TV, ESTREOS Y ALTAVOCES .................................................................... 201 PROBLEMA DE TRANSPORTE ........................................................................................................ 202 PROGRAMACION CON PRESENTACIONES MATRICIALES ................................................... 205 PLANIFICACIN DEL PERSONAL DE UN PARQUE DE DIVERSIONES ............................... 205 MAXIMIZAR UNA INVERSIN EN BONOS ................................................................................. 207 OPTIMIZAR UNA CARTERA DE VALORES-ACCIONES ........................................................... 210 VALOR DE RESISTENCIA PARA UN CIRCUITO ELCTRICO ................................................. 212 MATRICES Y DETERMINANTES: ................................................................................................... 215 MATRIZ INSUMO-PRODUCTO ........................................................................................................ 215 MATRIZ DETERMINANTE................................................................................................................ 217 NO SIRVE CUALQUIER MATRIZ .................................................................................................... 217 IMPUT-OUTPUT ................................................................................................................................. 219 EQUILIBRIO GENERAL DE PRODUCCIN-INTERCAMBIO .................................................... 220 MATRIZ INSUMO-PRODUCTO ARGENTINA 1997 ..................................................................... 223 METODO SIMPLEX, EN FORMA ESTANDAR Y CANONICA .................................................. 227



SIMPLEX MATRICIAL ..................................................................................................................... 230 INVESTIGACION OPERATIVA CON EXCEL, WINQSB; GAMS, LINDO, TORA Y OTROS

................................................................................................................................................................. 233 PROGRAMACIN LINEAL CON WINQSB .................................................................................... 233 METODO GRAFICO CON WINQSB ................................................................................................. 237 PROGRAMACION LINEAL CON GAMS ........................................................................................ 240 PROGRAMACION LINEAL CON TORA ......................................................................................... 245 PROGRAMACION LINEAL CON LINDO ....................................................................................... 248 SISTEMAS CON 1700 VARIABLES ............................................................................................... 252 SISTEMAS DE ECUACIONES NxN .................................................................................................. 252 SISTEMAS NxN CON SOLVER DE EXCEL .................................................................................... 252 SISTEMAS DE ECUACIONES NxN CON EXCEL, STATA, EVIEWS, MATLAB, SPSS ......... 254 METODO DE DETERMINANTES: .................................................................................................... 254 SISTEMAS NXN CON DETERMINANTES EN EXCEL ................................................................ 255 SISTEMAS DE ECUACIONES NxN CON STATA.......................................................................... 256 SISTEMAS DE ECUACIONES NxN CON EVIEWS ....................................................................... 259 SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES CON MATLAB .............................................. 264 SISTEMAS NxN CON SPSS ................................................................................................................ 269 CAPTULO 4 - .................................................................................................................................... 274 CONTEXTO ALEATORIO .................................................................................................................. 274 TEORA DE LA PROBABILIDAD ..................................................................................................... 274

PROBABILIDAD DE DISTRIBUCIONES ........................................................................................... 275

DISTRIBUCIN BINOMIAL ................................................................................................................. 276

DISTRIBUCIN NORMAL .................................................................................................................... 277

USO DE TABLAS Y DE LAS FUNCIONES INCORPORADAS EN EXCEL ............................... 278 REGLA O TEOREMA DE BAYES ..................................................................................................... 279 ANLISIS COMBINATORIO. Reglas de conteo .............................................................................. 281 PERMUTACIONES .............................................................................................................................. 282 DISTRIBUCIN BINOMIAL .............................................................................................................. 284 DISTRIBUCIN NORMAL ................................................................................................................. 285 PRUEBA Z ............................................................................................................................................. 286 VIDA TIL DE UN PRODUCTO ....................................................................................................... 287 MUESTRA DE 200 ARANDELAS ..................................................................................................... 287 MUESTRA DE 100 TUBOS FLUORESCENTES ............................................................................. 288 TEORA DE LAS COLAS .................................................................................................................... 289 DISTRIBUCIN DE POISSON ........................................................................................................... 290 SIMULACIN DE MONTECARLO .................................................................................................. 291 TAMAO DE LA MUESTRA ............................................................................................................. 295 PROGRAMACIN DINMICA ......................................................................................................... 296 CADENAS DE MARKOV ................................................................................................................... 296 CAPTULO 5 - ..................................................................................................................................... 301 MUESTREO ........................................................................................................................................... 301 ENSAYOS CON UNA Y DOS COLAS .............................................................................................. 302 NMEROS ALEATORIOS.................................................................................................................. 303



PEQUEAS MUESTRAS .................................................................................................................... 304 DISTRIBUCIN STUDENT ................................................................................................................ 304 MUESTRA DE 10 ARANDELAS ....................................................................................................... 304 PRUEBA X

2 (DE ASOCIACIN ENTRE DOS VARIABLES Y DOS O MS MUESTRAS).... 305

MUESTRA DE 16 PIEZAS TORNEADAS ........................................................................................ 306 MUESTRA DE 200 BOMBITAS ......................................................................................................... 307 SALIERON 115 CARAS y 85 CRUCES ............................................................................................. 308 EL KILO DE GUISANTES DE MENDEL ......................................................................................... 309 BONDAD DE UN AJUSTE .................................................................................................................. 310 CAPTULO 6 - .................................................................................................................................... 312 TEORA DE LA DEMANDA .............................................................................................................. 312 Teoras de la demanda y sistemas econmicos .................................................................................... 312 PRIMERA TEORA DE LA DEMANDA: sicolgico-utilitaria ........................................................ 316 SEGUNDA TEORA DE LA DEMANDA: curvas de indiferencia .................................................. 318 CURVA DE INDIFERENCIA Y RECTA DE PRESUPUESTO ....................................................... 319 TERCERA TEORA DE LA DEMANDA: PREFERENCIA REVELADA ..................................... 320 NMEROS NDICE .............................................................................................................................. 323 EQUILIBIO DEL CONSUMIDOR: DEMANDA DERIVADA ........................................................ 323 MAXIMIZACIN SEGN LA UTILIDAD MARGINAL ............................................................... 323 (A. MARSHALL) .................................................................................................................................. 323 PROBLEMA DUAL: ............................................................................................................................. 325 MAXIMIZACIN SEGN LA INDIFERENCIA DE W. PARETO ................................................ 327 (Y LAGRANGE) ................................................................................................................................... 327 DETERMINANTES .............................................................................................................................. 329 EFECTO INGRESO-SUSTITUCIN SEGN HICKS ..................................................................... 330 FUNCIN COMBINADA DE LAGRANGE ..................................................................................... 335 SIGNIFICADO Y VALOR DE : ....................................................................................................... 336 ECUACIN DE SLUTSKY ................................................................................................................. 337 EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DEL BIEN X SOBRE LA DEMANDA DEL BIEN X: . 339 PARADOJA GIFFEN ............................................................................................................................ 339 BIENES SUNTUARIOS ....................................................................................................................... 340 EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DE X SOBRE LA DEMANDA DEL BIEN Y:............... 341 DEDUCCION DE LA ECUACION DE SLUTSKY........................................................................... 342 INDICES DE PRECIOS Y LOS INSTITUTOS DE ESTADISTICAS Y CENSOS (INDEC) ....... 347 TEORA ESTADSTICA DE LOS NMEROS NDICE .................................................................. 349 1. ndice agregativo aritmtico simple, de precios y de cantidades: ................................................... 350 2. ndice promedio aritmtico de relativos: .......................................................................................... 351 3. ndice promedio geomtrico de relativos ......................................................................................... 352 4. ndice mediana de relativos ............................................................................................................... 353 5. ndice promedio aritmtico ponderado de relativos ......................................................................... 353 6. ndice promedio geomtrico ponderado de relativos ....................................................................... 354 7. ndice de Laspeyres ............................................................................................................................ 355 8. ndice de Paasche ............................................................................................................................... 355 9. ndice Ideal de Fisher, aplicado a precios y a cantidades ............................................................... 356 10. ndice de Edgeworth-Marshall para precios y cantidades ............................................................ 357 11. ndice de Walch para precios y a cantidades .................................................................................. 358 12. ndice de Drovish-Bowley para precios y cantidades ................................................................... 359 CAPTULO 7 - ..................................................................................................................................... 363 TEORA DEL EQUILIBRIO DE LA EMPRESA ............................................................................. 363



MAXIMIZACIN DE LA PRODUCCIN ........................................................................................ 363 DUALIDAD ........................................................................................................................................... 365 MNIMO COSTO PARA OBTENER UNA PRODUCCIN DE 200.000 KILOS ......................... 365 TEORA DE LOS COSTOS CON EXCEL ......................................................................................... 368 MINIMIZACIN DE COSTOS CON SOLVER ................................................................................ 368 RESTRICCIONES ADICIONALES CON MATRICES .................................................................... 369 DOS SOFAS SIMPLES MS UNO TRIPLE ..................................................................................... 369 PROGRAMACION ENTERA DE UNA DIETA ............................................................................... 371 PROBLEMA DE LA MOCHILA CON ENTEROS ......................................................................... 372 PROGRAMACION BINARIA ............................................................................................................ 373 OPTIMIZACION DE LA PRODUCCION / MINIMIZACION DEL COSTO ............................... 374 PROGRAMACION DE TURNOS DE TRABAJO ............................................................................. 377 EQUILIBRIO EMPRICO CON HOJA DE CLCULO EXCEL ..................................................... 380 A) AJUSTE LINEAL DE LA DEMANDA ......................................................................................... 381 B) AJUSTE PARABLICO DEL COSTO MEDIO ........................................................................... 382 EQUILIBRIO DE LA EMPRESA CON SOLVER ............................................................................. 385 MTODOS CIENTICOS: ..................................................................................................................... 387 A) FORMAS DE ESTUDIAR ....................................................................................................... 387 B) PRESENTACION TIPO INFORME PROFESIONAL .......................................................... 388 C) METODOS DE DEMOSTRACION ........................................................................................ 388 DUDAS SOBRE MICROECONOMIA Y SUS METODOS CIENTIFICOS: .................................. 391 PRIMERA ) Hace falta gran conocimiento previo de matemtica? ................................................. 392 SEGUNDA ) Para que sirve todo esto de los mtodos? ..................................................................... 393 ARCHIVO CON 6 METODOS: ........................................................................................................... 394 SEIS METODOS EQUIVALENTES .................................................................................................. 397 (UN CASO CON 12 RESULTADOS IGUALES DEL PRIMAL Y DEL DUAL) .......................... 397 Cuadro resumen del ejemplo autos y motos: ........................................................................................ 398 Aproximacin, recordando como derivar: ............................................................................................ 399 1 ) LAGRANGE ..................................................................................................................................... 400 1b ) DUAL: ............................................................................................................................................. 402 DETERMINANTE................................................................................................................................. 403 2 ) METODO GRAFICO - Maximizacin ........................................................................................ 404 2b ) DUAL - Minimizacin ................................................................................................................... 406 3 ) AUTOS y MOTOS SEGN SIMPLEX ........................................................................................ 408 3b) VERIFICACION DE LA ULTIMA TABLA SIMPLEX CON MATRICES .......................... 410 4 ) SOLUCION CON SOLVER de Excel ............................................................................................ 411 5 ) MATRICES (MANUALMENTE) .............................................................................................. 412 AYUDA: ALGEBRA MATRICIAL .................................................................................................... 415 6 ) MATRICES CON EXCEL .......................................................................................................... 416 DUALIDAD: .......................................................................................................................................... 417 MODELACION MATEMTICA ........................................................................................................ 422

CARPINTERIA ..................................................................................................................... 422 MINIMIZACION, ENTERO - MINERA ........................................................................................... 423 MODELACION DE PROGRAMACION CON SOLVER ................................................................. 426 COMPUTADORES ............................................................................................................................... 426 SOLVER EN FORMA TIPO MATRICIAL / SIMIL MATRICIAL / o PARAMATRICIAL ......... 428 REFINERIA AZTECA .......................................................................................................................... 430



MODELACION DEL EQUILIBRIO EMPRESARIO (Y GENERAL) ........................................ 434 OMAN: COMUNIDAD DE PESCADORES Y CAZADORES ........................................................ 434 RESPUESTAS ....................................................................................................................................... 435 5) Programacin lineal con Solver de Excel......................................................................................... 441 7) QUIEN FUE EL ASESINO? .......................................................................................................... 444 8) PROGRAMACION LINEAL -OTRA FORMA DE SOLVER ..................................................... 445 EVALUACIN DE INVERSIONES TIR Y VAN .......................................................................... 449 VAN Y TIR (VALORACION DEL TIEMPO) ................................................................................... 451

EVALUACION CONTABLE DE UNA EMPRESA .............................................................. 454 DEFORMACIONES CONTABLES USUALES ................................................................................ 454

TRES ESTADOS CONTABLES: ........................................................................................ 456 ANLISIS DE BALANCES................................................................................................................. 457 ESTABILIDAD DINAMICA (teorema de la telaraa) ...................................................................... 458 AJUSTE ANTE UNA BAJA EN LA DEMANDA ............................................................................. 460 MEDIDA DE LA RAPIDEZ DEL AJUSTE ....................................................................................... 461 AJUSTE ANTE UNA BAJA DE OFERTA POR SUBA DE COSTOS ............................................ 463 ANALISIS DINAMICO - MODELOS DE SIMULACION .......................................................... 465 ITERACIONES EXCEL ....................................................................................................................... 466 RECALCULAR AUTOMATICO O MANUAL F9............................................................................ 467 CREAR UNA MACRO DINAMICA (BUCLE) ................................................................................. 468 NEWTON RAPHSON........................................................................................................................ 469 CAPTULO 8 ......................................................................................................................................... 471 TEORAS ECONMICAS Y LEGISLACIN OBLIGATORIA ..................................................... 471 TABLAS DE EXTRAS DE PRECIOS Y COSTOS ........................................................................... 472 CONTRATACIN EN COMPETENCIA PERFECTA: .................................................................... 474 CRITERIO DE CONTRATACIN ..................................................................................................... 474 MERCADO COMPETITIVO ............................................................................................................... 476 EQUILIBRIO Y CANTIDAD DE COMPETIDORES ....................................................................... 476 OTROS MERCADOS - MONOPOLIO ........................................................................................... 479 MONOPOLIO QUE ACTA COMPETITIVAMENTE.................................................................... 480 MONOPOLIO DISCRIMINADOR...................................................................................................... 481 MONOPOLIO SIN DISCRIMINACIN ............................................................................................ 483 EMPRESA CON DOS PLANTAS (MULTIPLE FACTORIA) ........................................................ 484 COMPETENCIA MONPOLICA ....................................................................................................... 486 EMPRESA LDER Y SEGUIDORAS ................................................................................................. 489 CARTEL (COLUSIN ENTRE EMPRESAS) ................................................................................... 491 COASE: COSTOS DE TRANSACCION E INSTITUCIONES ADECUADAS ............................. 494 LA TRAGEDIA DE LOS (BIENES) COMUNES: OSTROM .......................................................... 496 OTRO ENFOQUE INSTITUCIONAL DIFERENTE ........................................................................ 496 CONTRATACIN BAJO MONOPSONIO ........................................................................................ 499 CONTRATACIN BAJO MONOPOLIO (CON SINDICATO) ...................................................... 501 MONOPOLIO BILATERAL ................................................................................................................ 502 MODELO DI TELLA SOBRE INTERMEDIARIOS COMERCIALES .......................................... 503 MODELACION NEOCLSICA .......................................................................................................... 505 RAPIDITO Y LENTITO EN LA ESTACION VIVITOS................................................................... 505



TELEFOCOM Ejercicio 4: ................................................................................................................... 509 RESPUESTAS: ...................................................................................................................................... 510 TELEFOCOM **EJERCICIO 7: .......................................................................................................... 514 RESPUESTAS: ...................................................................................................................................... 516 MULTIPRODUCTO.............................................................................................................................. 525 MODELACION Y PROGRAMACION MULTIPRODUCTO.......................................................... 525 EQUILIBRIO Y OPTIMIZACION MULTIPLE PRODUCTO ......................................................... 525 SEIS METODOS EQUIVALENTES ................................................................................................... 525 EQUILIBRIO DE LA EMPRESA CON PRODUCCION DIVERSIFICADA: ................................ 525 -A) Produccin simple: .......................................................................................................................... 525 - B) Producciones mltiples................................................................................................................... 526 - C) producciones mltiples conjuntas o conexas ................................................................................ 527 SUBPRODUCTOS ................................................................................................................................ 528 PRODUCCION CONJUNTA DEPENDIENTE (CONEXA) ............................................................ 531 MODELACION Y PROGRAMACION MULTIPRODUCTO.......................................................... 533 COMPETENCIA DESLEAL ................................................................................................................ 537 ANTIDUMPING .................................................................................................................................... 538 CARGA IMPOSITIVA PARA EXPORTADORES ........................................................................... 540 PROTECCIN EFECTIVA DE UNA INDUSTRIA .......................................................................... 542 Por el contrario, los comerciantes estn interesados en competir con importaciones de productos

manufacturados y reclaman bajos derechos de importacin, alegando favorecer el inters de los

consumidores. ......................................................................................................................................... 542 CAPITULO 9 ......................................................................................................................................... 543 TEORIA DE JUEGOS CONTEXTO HOSTIL ................................................................................. 543 TEORIA DE JUEGOS ........................................................................................................................... 544 TEOREMA MINIMAX: ........................................................................................................................ 549 EJEMPLOS DE JUEGOS NO COOPERATIVOS .............................................................................. 552 EL DILEMA DEL PRISIONERO ........................................................................................................ 552 TOMA Y DACA .................................................................................................................................... 554 ESTRATEGIAS MIXTAS .................................................................................................................... 555 ESTRATEGIAS DOMINADAS ........................................................................................................... 555 AMENAZA CREIBLE .......................................................................................................................... 556 DOMINACION - DOMINANCIA ....................................................................................................... 558 JUEGOS CON PROGRAMACIN LINEAL, GEOMTRICAMENTE, ANALTICAMENTE Y

CON SOLVER ....................................................................................................................................... 558 JUEGOS EN FORMA EXTENSIVA ................................................................................................... 561 JUEGOS CON PROGRAMACION LINEAL SIMPLEX .................................................................. 565 JUEGOS REPETIDOS Y SUPERJUEGOS......................................................................................... 565 CON SOLVER DE EXCEL .................................................................................................................. 566 POLICIAS Y LADRONES ................................................................................................................... 585 HALCON Y PALOMA ......................................................................................................................... 589 FOLK THEOREM ................................................................................................................................. 597 OLIGOPOLIO Y LA TEORIA DE JUEGOS ...................................................................................... 602 MODELO DE COURNOT COMO TEORIA DE JUEGOS.............................................................. 605 MODELO DE VON STACKELBERG ................................................................................................ 608 JUEGOS CON COLUSION (CARTEL) .............................................................................................. 610 DUOPOLIO DE CHAMBERLIN ......................................................................................................... 610 MODELO DE HOTELLING (LOCALIZACION) ............................................................................. 611 EL TEOREMA DE LA MEDIANA ..................................................................................................... 612



EMPRESA DOMINANTE .................................................................................................................... 613 DEMANDA QUEBRADA DE SWEEZY .......................................................................................... 614 DUOPOLIO DE BERTRAND .............................................................................................................. 615 DUOPLIO DE EDGEWORTH ............................................................................................................. 616 MODELACION EMPRESA SOBREDIMENSIONADA EN UN PAIS EN DESARROLLO ....... 617 OLIGOPOLIO DE 3 A 9 EMPRESAS ................................................................................................ 624 INFORMACION IMPERFECTA ......................................................................................................... 628 APUESTA DE PASCAL ....................................................................................................................... 632 TEORIA DE LOS ACUERDOS ........................................................................................................... 634 INDICE DE PODER DE SHAPLEY Y DE BANZHAF CON EXCEL ............................................ 636 VALOR DE SHAPLEY ........................................................................................................................ 636 LA OPTIMIZACION SUBJETIVA (Y LOS BANZHAF): ................................................................ 641 INDICE DE PODER DE BANZHAF CON EXCEL .......................................................................... 642 VALOR DE SHAPLEY CON EXCEL ................................................................................................ 647 CAPITULO 10 ....................................................................................................................................... 648 JUEGOS MULTIPLES NO COOPERATIVOS ................................................................................. 648 OPTIMIZACION MULTIOBJETIVO - MULTICRITERIO ............................................................. 649 PROGRAMACION POR METAS ....................................................................................................... 649 PROGRAMACION POR METAS CON EXCEL ............................................................................... 650 PROGRAMACON POR METAS CON WINQSB ............................................................................. 653 ANALISIS ENVOLVENTE DE DATOS (DEA) ............................................................................... 656 LOS ALGORITMOS NO CALCULAN NADA ................................................................................. 661 ALGORITMOS PARETO EFICIENTE ............................................................................................ 662 EJECUTABLE MULTICRITERIO ORDENADOR FCE-UBA ...................................................... 663 MULTICRITERIO MULTIOBJETIVO CON EXCEL 2007 o 2010 ............................................ 666 EQUILIBRIO GENERAL Y TEORIA DE LOS JUEGOS -CAJA DE EDGEWORT- ................... 668 ECONOMIA DEL BIENESTAR .......................................................................................................... 668 RESPONSABILIDAD SOCIAL EMPRESARIA-ESR ...................................................................... 671 CUATRO CONTEXTOS EN EL ANALISIS Y TOMA DE DECISIONES ................................... 672 TEORIA DE LA DECISION ................................................................................................................ 673 PRINCIPIO DE REVELACION........................................................................................................... 676 ECONOMIA DE LA INFORMACION ............................................................................................... 677 INFORMACION ASIMETRICA (CONTRATOS) .......................................................................... 677 RIESGO MORAL .................................................................................................................................. 677 SELECCIN ADVERSA...................................................................................................................... 678 SEALIZACION ................................................................................................................................... 678 AXIOMAS DE LA LGICA NEUMANN-MORGENSTERN ......................................................... 679 CRITERIOS DE BIENESTAR: TEORIA DE LA DECISION .......................................................... 681 RIESGO vs. INCERTIDUMBRE ......................................................................................................... 683 CONTEXTO INCIERTO - SEGUROS ............................................................................................ 684 EVALUACIN DE PROYECTOS INCIERTOS ............................................................................... 686 MERCADOS DE FUTUROS ............................................................................................................... 687 VALOR ESPERADO ............................................................................................................................ 687 UTILIDAD ESPERADA ....................................................................................................................... 688 COMPETENCIA BAJO INCERTIDUMBRE ..................................................................................... 689 EJEMPLO BAJO INCERTIDUMBRE: ............................................................................................... 690 TEORA DE LA INCERTIDUMBRE - SUBASTAS ............................................................. 693 LICITACIONES (SUBASTAS / AUCTIONS) ............................................................................. 694 TEOREMA DEL INGRESO EQUIVALENTE................................................................................... 697



MALDICIN DEL GANADOR .......................................................................................................... 698 SUBASTA VICKREY ........................................................................................................................... 698 EJEMPLO DE SUBASTA VICKREY MULTIPLE OBJETO........................................................... 702 SUBASTA MULTIPLE (PAQUETES ................................................................................................ 703 EJEMPLO SUBASTA VICKREY EN PAQUETES ........................................................................ 704 SUBASTAS CON EXCEL, ............................................................................................................. 707 CON GAMS, WINQSB, MATLAB, TORA, LINDO, VIEWS, SPSS, STATA............................... 707 EJEMPLO DE SUBASTA MULTIPLE ............................................................................................... 707 EJEMPLO DE SUBASTAS REPETIDAS .......................................................................................... 709 SUBASTAS DE UN UNICO BIEN Y DE PAQUETES .................................................................... 711 LOS ALGORITMOS NO CALCULAN NADA (2)........................................................................ 715

ALGUNOS SMBOLOS MATEMTICOS .......................................................................... 717 TEORIA DE CONJUNTOS de Von Neumann-Bernays-Gdel ......................................................... 725 PARADOJA DE SAN PETERSBURGO DE D. BERNOULLI ........................................................ 730 TEORIA DE LA DECISION SEGUN TIPOS DE INCERTIDUMBRE ........................................ 731 UTILIDAD ESPERADA SUBJETIVA SEU: .................................................................................. 731 AXIOMAS DE LA UTILIDAD ESPERADA SUBJETIVA SEU:................................................. 731 PARADOJA DE ALLAIS: ................................................................................................................... 732 PRINCIPIO DE INDETERMINACION DE HEISEMBERG ............................................................ 732 INCERTIDUMBRE SEGN J. M. KEYNES ..................................................................................... 733 URNA DE PLYA ................................................................................................................................ 733 LOGICA DIFUSA (FUZZY) / MATEMATICA BORROSA ............................................................ 734 ANALISIS NUMERICO - CALCULO NUMERICO DEL COS .................................................. 737 FUNCION LOGISTICA DE LORENZ................................................................................................ 737 ATRACTORES FRACTAL CAOS ............................................................................................... 739 ENUNCIADOS DE EJERCICIOS CON 50 TIPOS DE TP .............................................................. 741 EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................................................... 754 50 INFORMES PARA 50 TP (GUIA) ................................................................................................ 755 7 TP OBLIGATORIOS EN EXCEL ................................................................................................... 783 LISTADO DE TP RESUELTOS Y ARCHIVOS ................................................................................ 784 COMPARACIONES DE SOFT ............................................................................................................ 792 AYUDA DE MICROSOFT ON LINE ................................................................................................. 806 EDITOR DE ECUACIONES DEL OFFICE MICROSOFT .............................................................. 807 POTENCIAS Y RACES ...................................................................................................................... 807 RACES EN FUNCIONES CUADRTICAS: RUFFINI .................................................................. 808 RACES EN FUNCIONES CBICAS: RUFFINI .............................................................................. 808 RACES EN POLINOMIOS DE ORDEN SUPERIOR ...................................................................... 810 ORGANIGRAMAS CON MICROSOFT CHART ............................................................................. 810 REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS .................................................................................................. 828 INDICE ALFABTICO ........................................................................................................................ 832 Enfoque prctico del curso: ................................................................................................................... 844



PRLOGO

En el mbito de investigacin de mercado o ventas de cada empre-sa, as como en el de los profesionales y estudiantes de microeco-noma (o economa de la empresa), es fundamental el estudio de la demanda y de la programacin. Las tcnicas estadsticas y economtricas son laboriosas y presen-tan dificultades importantes, tanto para comprenderlas y memorizar-las, como para la aplicacin concreta de esos mtodos, generalmen-te imposibles de concretar sin ayuda de ordenadores. Desde la aparicin de Excel, se ha simplificado considerablemente el uso de estas tcnicas, ya que esta hoja de clculo facilita muchas operaciones. Adicionalmente Excel tiene incorporadas gran cantidad de funciones estadsticas, financieras y matemticas, dedicadas a estos anlisis. Incluyen breves ayudas conceptuales, pero suelen no ser suficientes para la generalidad de los usuarios, quienes pueden no captar el sentido y practicidad de cada aplicacin al no disponer de un ejem-plo prctico de la misma resuelto. Este trabajo rene una cantidad importante de esos ejemplos re-sueltos paso a paso, sobre las aplicaciones referidas al estudio de demanda, mercado, programacin y otros de la empresa y la micro-economa, que se identifican en el ndice. Se plantea el problema, se lo resuelve con breves pasos Excel y se incluye la evaluacin o identificacin del caso para orientar al lector. No es este trabajo un manual de Excel. Supone tener una idea bsi-ca, mnima, sobre su uso; y no repite indicaciones elementales, tales como abrir o salir de un archivo, imprimirlo, copiarlo, etc que son



conocidas por la generalidad de usuarios de Excel, Word y otros del Office de Microsoft. Lo que s se detalla paso a paso, brevemente, es como imprimir, graficar y aplicar series, funciones y mtodos estadsticos o econo-mtricos. T. I. Rbora



INTRODUCCIN

Algunos economistas (entre ellos Arrow) incluyen como introduccin un breve relevamiento de los principales aportes en la disciplina, como hitos que interesa considerar para la comprensin de esta materia. En este caso se opt aqu por resumir, adems de la teora econmica, tambin una breve evolucin de la propia civilizacin occidental y de los mtodos cientficos, que tanto han influido y con-dicionado la economa segn los maestros: Civilizacin occidental: evolucin de la matemtica y de la ciencia econmica sobre el V postulado de los Elementos de Euclides. La economa clsica. La geometra analtica con Descartes y la micro-economa. Errores en la microeconoma clsica. Aportes de Micro-economa con Excel (MCE). Tres posibles enfoques microeconmi-cos y temas fundamentales para un curso general de microecono-ma: para qu se estudia microeconoma.

CIVILIZACION OCCIDENTAL

El origen de la civilizacin occidental suele ubicarse hace 4000 aos, entre el Mediterrneo y el Golfo Prsico, especialmente en Babilonia, en el ufrates; hubo aportes iniciales de asirios, fenicios y otros y en los siglos posteriores desde Egipto, China e India. El cdigo Hammurabi babilnico (recopilacin en -1760 de otras

leyes anteriores) es un documento describiendo en 282 artculos un completo sistema econmico, conformado por numerosas institu-ciones y normas, todava vigentes en la actualidad: propiedad priva-da de los medios de produccin (tierras, casas), libertad de comer-



ciar, mercados, precios, salarios, moneda, pesas, medidas, tasas de inters, alquileres, consignaciones, armaduras de barcos para co-mercio exterior, controles gubernamentales, impuestos y otras nu-merosas normas, leyes e instituciones. Incluan en su organizacin productiva la esclavitud, que posteriormente se transformara en servilismo agrcola durante la poca feudal medieval. El rea de influencia de Babilonia estaba constituida por Persia, la regin asiria y Balcanes Textos griegos y romanos citan el comercio de fenicios (s.-XI) y griegos hasta la costa atlntica de la pennsula Ibrica (Islas Casitrides o del estao, Galicia) y con Asia central y frica. Su cultura se desarroll hasta la poca de Nabucodonosor y luego confluy con la unin a la griega. Poco despus cay bajo el Imperio Romano y al desmembramiento de este continu como Imperio Romano de Oriente (o bizantino: Constantinopla), que sufri el desmembramiento de Persia, Damasco, Jerusaln y Alejandra durante la gida rabe en el s.VII y finalmente de la propia Constan-tinopla en el s. XV ante el imperio otomano. Aquellos pueblos sumerios y sus vecinos aportantes de estas ideas fueron conquistados en el s.-IV por Alejandro Magno y Grecia (Ate-nas, Nicea, Smirna, Pergamo, Trebisonda, Antioqua, Tesalonia,

Alepo, Constantinopla) remplaz esos gobiernos, agregando tam-bin Egipto y desde el ao -282 centralizando el conocimiento en la Biblioteca de Alejandra sobre la desembocadura del Nilo. El conocimiento haba adquirido en Grecia carcter cientfico, al in-cluir en sus libros no solo los enunciados y principios sino tambin los mtodos de procedimiento y de demostracin (la figura de los modelos debera esperar todava 2000 aos). El inmediato dominio del imperio romano sobre toda la regin agre-g a esto el progreso del derecho civil (no ciudadanos y ciudadanos que reciban predios con esclavos por sus servicios militares, etc) y del derecho comn (relaciones econmicas y otras) como institucin



que confirm jurdicamente aspectos civiles y otros, como el dere-cho de propiedad privada y de herencia (en sus atributos ius utendi, ius fruendi, ius disponendi), aunque congel el progreso del cono-cimiento cientfico griego en materia de economa, matemticas y lgica que aqu nos interesan, hasta que Europa los rescat des-

de las traducciones rabes (e hindes), que ilustres peregrinos eu-ropeos a Santiago de Compostela conseguan en latn desde Cr-doba y la Escuela de Traductores de Toledo durante los siglos XII a XIV; y luego pasaran en los siglos XVI al XVIII hacia Amrica y otras regiones del mundo.

EVOLUCION DE LA MATEMATICA Y LA ECONOMIA

La economa como disciplina cientfica est muy vinculada con el lgebra o matemticas y con la filosofa y lgica, ya que les propor-cionan especficamente los mtodos y procedimientos, utilizados para la administracin de los recursos de las unidades individuales y de los pases. Los avances del conocimiento algebraico (o matemtico) tambin fueron constituyendo hitos para el progreso de las teoras econmi-cas: desde el cambio por los nmeros indo-arbigos, el concepto de de cero, de infinito, etc. hasta las geometras plana y la analtica, la deduccin simblica, la idea de derivada y su integral, la verificacin inductiva, etc., avanzando desde una modalidad inicial retrica (en prosa, textos), que luego se transform a sincopada (con algunas abreviaturas o smbolos) y lleg finalmente al lgebra (o matemti-ca) simblica y al enfoque computacional actuales. Desde esas races mesopotmicas hasta los nuevos desarrollos computacionales, esos hitos fueron permitiendo diferentes teoras y explicaciones microeconmicas, que lograron su mximo desarrollo abarcativo con el enfoque neoclsico computacional que aqu se propone como economa de la empresa, no obstante que continan



apareciendo nuevos mtodos y enfoques para numerosos casos particulares. Finalmente, la microeconoma fue tomando cuerpo individualizado, pero en cuanto a su objeto de anlisis particular y no general. Sin embargo, la ausencia de instrumentos computacionales no permiti una clara individualizacin temprana como disciplina dedicada es-pecficamente a las empresas y conviva en un entorno propedutico de economistas ocupados mayormente en cuestiones macroecon-micas, que se olvidaron de los requerimientos de la empresa, lo cual se intenta aqu superar. El cdigo Hammurabi, de la Mesopotamia del Tigris y ufrates, es

una de las ms importantes y antiguas recopilaciones de la civiliza-cin occidental. Incluye influencias sumerias anteriores, as como de asirios, caldeos y otros pueblos. Los caldeos fijaron las relaciones 3, 4, 5 de los lados de un tringulo rectngulo, segn aclarara luego el teorema de Pitgoras. Tambin interesa especialmente, el papiro del escriba egipcio Ah-mes (comprado por el escocs Rhind) de -1580 (referencias a -

1788), en el que figura la resolucin egipcia del tringulo y una aproximacin al nmero pi () como 3,1604, junto con numerosos conocimientos aritmticos y geomtricos. La medicin de las tierras frtiles para fijarles impuestos y la construccin de monumentos requera conocimientos matemticos (geomtricos y otros) importan-tes, que ya Herodoto seala como el origen de la geometra. En los libros de los Reyes del Antiguo Testamento figuran una pri-maria aproximacin rstica sobre la relacin 1 a 3 entre dimetro y circunferencia; y los codos del templo de Salomn (aunque diver-sos conocimientos aritmticos debieron ser utilizados por los merca-deres fenicios).



En el siglo XI el libro chino de las Permutaciones describe la cir-cunferencia y las relaciones del tringulo rectngulos de lados 3, 4, 5 que conforman el teorema de Pitgoras. En los siglos VII y V el Manual del Constructor indio, de Apas-tamba, tambin fue conocido por los griegos de la era alejandrina. Thales describi en Mileto -570 las propiedades de los tringulos semejantes, segn sus ngulos, lados y reas (que incluso utiliza-ban para su localizacin aquellos navegantes). Pitgoras -532 describi la geometra plana: el punto, la lnea, figu-ras, slidos y el universo, segn la visin de los caldeos. En su teo-rema el cuadrado de los catetos suma como el de la hipotenusa de los tringulos; pero en aquellos de cateto igual a uno la hipotenusa no era 2, presentando as los nmero inexpresables o irracionales. Pitgoras tambin plante la idea de infinito al describir el espacio como un nmero infinito de puntos y al tiempo como un nmero infi-nito de instantes. El V POSTULADO EN LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES Estableci en Grecia (Alejandra -300) la geometra plana que sera divulgada fuente del conocimiento matemtico y como escuela b-sica durante 2300 aos: Por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela; dos parale-las a una tercera lo son entre s; la suma de los ngulos interiores de un tringulo rectngulo suma dos rectos; una recta corta a dos paralelas con ngulos alternos iguales; dos paralelas son equidis-

tantes; por tres puntos no alineados pasa un solo crculo; se pueden construir ngulos semejantes en magnitud arbitraria. Si bien le fue imposible fundamentar filosficamente esta geometra y aunque las nuevas geometras no euclidianas cuestionaron dife-rentes aspectos (sobre la esfrica superficie de la tierra la suma de



los ngulos del tringulo suma ms que dos rectos; en el espacio estelar las paralelas no son equidistantes; etc.) este postulado geomtrico fue la base del desarrollo algebraico y matemtico anti-guo y moderno. Este origen geomtrico de la matemtica antigua se observa tam-bin en Platn, cuando en la Repblica le hace decir a Timoteo que la geometra es ms real que el mundo real, dependiendo solo de la contemplacin del individuo (paradjicamente sin la necesaria expe-rimentacin que por ejemplo ya figuraba en el papiro Ahmes (Rhind). Eudoxio, -400, refut esas ideas, observando la necesidad de una verificacin de esa intuicin ensalzada por Platn. Tambin se acer-c a la idea de infinito quitndole a un nmero ms de su mitad su-cesivamente hasta llegar a otro tan pequeo como se desee. Zenn resolvi por absurdo la paradoja de Aquiles y la tortuga (acla-rndola por requerir la dicotoma de cubrir en sucesivas fases prime-ro la distancia hasta la tortuga y luego el adicional avanzado) con-firmando as la necesidad de la verificacin emprica en las mate-

mticas (hoy induccin estadstica), sin limitarse solamente a los razonamientos lgicos de la intuicin humana (intuicin pura en

Kant; hoy deduccin lgica). En el -400 el general historiador ateniense Jenofonte describe en El Econmico la economa domstica y rural griega y la divisin del trabajo entre sus clases sociales; el abastecimiento de la poblacin y ejrcitos en pocas normales y de conflicto, con algunos primeros anlisis occidentales sobre precios e inflacin. En -390 Platn escribi La Repblica, con una descripcin de tipo ideal de lo que debiera ser una organizacin social, sin propiedad privada de la tierra y considerando al comercio como una actividad improductiva (tal como en la posterior fisiocracia de F. Quesnay)



En -335 Aristteles, maestro de Alejando el Grande, fij los prime-ros enfoques cientficos sobre la naturaleza de los precios, regis-trando que sobre ellos haba una doble influencia conjunta, tanto de la demanda como de la oferta (necesidades, o valor subjetivo y tam-bin costos de produccin, valor objetivo). Frente a la idea de Platn, defendi la propiedad privada de la tierra; y en tica a Nicmaco (su hijo) analiz la justicia distributiva (de los ingresos y propiedad entre los ciudadanos y no ciudadanos) y la justicia conmutativa (del justo precio en los mercados). Distingui el valor de uso del valor de cambio o precio de los bienes (que en su libro Poltica, tambin analiz distinguiendo la riqueza de bienes y su uso como diferente de la crematstica o acumulacin del Rey Midas, que converta en oro todo lo que tocaba pero sin poder gastar y dis-frutar de esos bienes). Tambin hizo los primeros anlisis del con-cepto de inters (que luego tomara Santo Toms de Aquino en el s. XIII, desde una traduccin de Averroes en Crdoba en el XII, apa-rentemente adquirida en Espaa por su maestro San Alberto Magno, ex peregrino a Compostela). Pero adems de sus enfoques ticos sobre la economa (le preocu-paba el tema de la usura, caresta, etc.) nos interesa aqu el com-plemento de su aporte metodolgico: en el libro IV-Segundos Anal-ticos de su rganon analiz Aristteles el mtodo cientfico de la lgica del silogismo hipottico: si todo A es B; y si X es A; entonces X es B.

Luego de la era alejandrina, los Ptolomeos radicaron el conocimien-to en la biblioteca de Alejandra en la desembocadura del Nilo. La aritmtica de Diofanto en +250 fue uno de los pocos aportes griegos desde Alejandra durante su decadencia cientfica de casi diez siglos bajo la era romano cristiana, surgiendo con l la aritmti-ca sincopada (que se ayuda con algunas letras para simplificar clculos).



Durante el medioevo, Brahmagupta en el 628, India, tradujo y per-feccion la aritmtica sincopada de Diofanto, como el arte de expli-car LA COSA (el lgebra o geometra, aritmtica e incluso matri-ces); tambin ide el concepto del cero y los nmeros negativos. En 815 Alkhwaritmi (el corintiano) present los 10 dgitos que pasaran a ser utilizados en occidente (luego que el monje Vigila los expusiera en su Cdex Vigilanicus en Castila en 976 y que Sava-sorda lo tradujera en Catalua en el siglo XII). En 1092 el persa Omar Kayyan perfeccion la matemtica de Eu-

clides (y calcul el tiempo con 365 das, con un mnimo error de un da cada 4000 aos, frente a cada 3300 aos segn el papa Grego-rio en el 1600) El conocimiento griego depositado en la biblioteca de Alejandra era paulatinamente traducido por hindes y por rabes. Estos ltimos lo introdujeron en Crdoba, Espaa y la castellana Escuela de Tra-ductores de Toledo constituy un centro europeo de difusin del conocimiento, aprovechado por las peregrinaciones de monjes, san-tos y otros romeros ilustres a Santiago de Compostela especialmen-te durante los siglos XII a XIV (San Agustn, San Francisco, San Albergo Magno, maestro de Santo Toms de Aquino, etc. y muchos otros doctos santos y gobernantes europeos). En el XIII el mercader italiano L. Fibonacci escribi varios trabajos, entre ellos una completa aritmtica con los nuevos nmeros indo-arbicos, Liber Abaci. Disponiendo ya del invento de Gutemberg de 1450, Luca Pacioli recopil estos conocimientos en una Summa impresa en 1500. En los escolsticos influyeron las ideas aristotlicas sobre precios y salarios: fueron expuestas por Santo Toms de Aquino en el si-glo XIII para la Iglesia, preocupada por la justicia conmutativa y la



distributiva: el justo precio y el justo salario (en Suma Teolgica y Suma para Gentiles), ensendose en las universidades de Bolonia, Oxford, Salamanca y Pars. Posteriores estudios de la Iglesia avanzaron en forma diferente, abandonando esta doble influencia; segn las presiones de cada poca prevaleci un tiempo la influencia de los costos de produccin (salarios, en San Alberto Magno en 1250 y en frai Duns Scoto en 1300, que inclua un beneficio normal para el comerciante; Marx en 1848) y luego su naturaleza subjetiva segn las necesidades del comprador (en el jesuita Lus de Molina, Madrid 1590; H.H.Gossen 1854, L. Walras 1874). En 1240 el jurista Raimundo de Peafort en Barcelona haba anali-zado el concepto griego del inters, distinguiendo la usura del lucro cesante y dao emergente como beneficio resarcitorio del prstamo monetario. Estos postulados de la Iglesia continuaron siendo importantes du-rante los tres siglos del imperio espaol, bajo una administracin que saldaba monetariamente su comercio exterior; el derecho de gentes asegur personera jurdica a todos los integrantes del impe-rio (no obstante algunas rmoras de esclavitud impuestas y promo-vidas por acuerdos internacionales), as como la propiedad privada, leyes de herencia, impuestos, mercados e instituciones del capita-lismo comercial moderno, con una creciente influencia cultural y cientfica de Pars. Paralelamente, en otros pases europeos se promova la generacin de excedentes manufacturados para expor-tacin, junto con nuevas ideas econmicas para apoyarlos (teoras librecambistas), que se impondran en el mundo luego del perodo napolenico. Sin referirnos a las ciencias aplicadas (astronoma, fsica, mecni-ca/ingeniera, arquitectura, nutica, etc) sino a la economa y a las ciencias puras (lgica y matemtica pura) que aportan sus mtodos,



en el s.XVI aparecieron los aportes de Cardano y de Tartaglia sobre la resolucin de ecuaciones de tercer grado (hoy en aparente desuso porque en Excel una cifra se eleva con el smbolo^ a cual-quier potencia). En 1514 Juan Martnez escribi sobre la divisin de la esfera en 360 grados, minutos, segundos; tambin las propieda-des de los nmeros con la media aritmtica, media geomtrica y media armnica; regla de tres, etc. En 1597 surgi el sistema de logaritmos neperianos, como series inversas a las exponenciales

(Napier /Neper). En 1600 aparece el lgebra simblica (logstica especiosa) con Vie-te. En 1637 Rene Descartes public el Discurso del Mtodo y apor-

t la idea de un par de ejes ortogonales: con coordenadas para cada punto de una figura sumables, comenzaba as la geometra analti-ca; y con la idea de funciones graficables (que dependan de alguna variable X, Y, Z y en las que a, b y c representaban constantes, co-mo por ejemplo para medir los registros de un barmetro o para calcular la trayectoria parablica de un proyectil, balstica). Juan Caramuel escribi sobre el clculo de probabilidades y jue-gos de azar (1656, que luego ampliara Pascal), tambin un siste-ma binario (1670, que posteriormente ampliaran Leibniz y Boole) y

otro sistema de logaritmos con base diferente a la de J. Napier / Neper. Tambin en el s. XVII progresaron, con B. Pascal, el anlisis

combinatorio, las probabilidades y el mtodo inductivo; el lgebra con nmeros irracionales segn W.Leibniz o con el complejo de Gauss (sin + i y i la raz de -4 no tena antes sentido). Los aportes sobre lgica y matemticas en 1666 de S. Izquierdo son menciona-dos por Leibniz entre sus antecedentes del clculo infinitesimal. Tambin I. Newton menciona los tratados sobre anlisis geomtrico, trigonometra y aritmtica de Antonio Omerique.



En particular sobre este proceso de acumulacin de conocimien-tos para el clculo infinitesimal cabe mencionar las ideas iniciales

de Arqumides y de Eudoxio sobre integracin por axhauscin; tambin contribuyeron en 976 las de Savasorda y en 1515 las de lvaro Toms, que lo utilizaban para sumar series de potencias; en 1612 el astrnomo Kepler meda el contenido de los toneles de vino

con una aproximacin al concepto (con un vara y las secciones cir-culares); y sobre todo P. Fermat, a quien se lo considera un descu-

bridor del actual clculo infinitesimal o diferencial anterior a Newton y a Leibniz. A mediados de este sigo XVII el cientfico y astrnomo I. Newton en

la Universidad de Cambridge estudiaba el movimiento de los plane-tas y distinguiendo aceleracin de velocidad concluy la idea de incremento relativo o derivada, que buscaba verificar en el universo, llegando por ese camino al clculo infinitesimal (recin en 1890 su compatriota Marshall utilizara este anlisis diferencial para la opti-mizacin microeconmica que usaran los textos del siglo XX). Pero la presentacin final corresponde, a fines de ese siglo XVII a W. Leibniz, quien con numerosos matemticos en Pars como Los

hermanos Bernoulli y el marqus de LHpital, intercambiaban co-rrespondencia sobre la resolucin de ecuaciones y se fijaron as los conceptos de variables, el de funciones, el de las series infinitas y el de lmite mediante la geometra analtica. Leibniz precis la dife-rencia entre una funcin y su lmite como tan pequea como se desee: idea de incremento relativo de una funcin frente al de su variable o el cociente incremental que hoy reconocemos como derivada. W. Leibniz utiliz el anlisis combinatorio para dos mag-

nitudes que difieren infinitamente poco y lleg por esta va a la idea de la derivada, integrales y series infinitesimales, acuando el uso del smbolo integral para reemplazar el uso de series de sumas y el de d para la diferenciacin que hoy utilizamos.



En 1750 el matemtico suizo G. Cramer public trabajos de los

Bernoulli y de Leibniz; y cre un mtodo para resolver sistemas lineales de ecuaciones mediante determinantes.

En 1763 T. Bayes estudi la probabilidad de eventos aleatorios repetibles y verificables (casos favorables sobre los posibles).

En 1800 el suizo Daniel Bernoulli tambin aport el anlisis de las

probabilidades para algunos tipos de fenmenos aleatorios, como en los juegos de dados y similares de azar. Otro suizo, L. Euler escriba entonces sobre polinomios, sobre di-versas ecuaciones que eran graficables (segn Descartes) y sobre

series infinitesimales, utilizando derivadas e integrales segn el l-gebra moderna. En el siglo XX Cobb y Douglas tomaran sus funciones homogneas para explicar con sus exponentes los ren-

dimientos constantes, crecientes o decrecientes, as como la distri-bucin del ingreso generado en una actividad. El italiano J. L. Lagrange hacia 1800 desarrollaba un anlisis alge-braico ya separado de su origen geomtrico: rescatamos aqu su funcin combinada para resolver sistemas de ecuaciones con po-

cas variables (tal como utilizara el ruso Y. Slutsky en 1915 para su terica ecuacin sobre el efecto sustitucin y renta). En 1812 P. S. Laplac

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