metodositerativos-100728020051-phpapp02

7/23/2019 metodositerativos-100728020051-phpapp02

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MÉTODOSITERATIVOS



MÉTODO DE JACOBIEste método junto con el de gauss Seidel comprenden losmétodos iterativos para la solucin de sistemas deecuaciones lineales!El método parte de un sistema de ecuaciones al cual se le

aplicaran unos arreglos si es necesario para poderimplementar este método! Cuando se tiene el sistema deecuaciones de"inido se de#e $acer lo posi#le para %ue lamatri& tenga la "orma de diagonalmente dominante!Es decir'



(ASOS A SE)*I+,-! (ara emplear este método se nos de#e proporcionar un

vector inicial!.! Este método se #asa en el despeje de cada incgnita de un

sistema de ecuaciones como el siguiente!

a--/- 0 a-./. 0, 0 a-n/n 1 #-a.-/- 0 a../. 0, 0a.n/n 1 #- ! ! !

! ! ! an-/-0 an./. 0 , 0 ann/n 1 #n

2! Despejamos las incgnitas 3varia#le 45 de estas ecuaciones 6empleamos el valor inicial para la primera iteracin!

7! +eali&amos una serie de iteraciones $asta lograr %ue el Easea menor de la tolerancia dada!



EJEM(8O Con un vector inicial

/- 1 9/. 1 9/2 1 9

+esolver por el método de Jaco#i: el siguiente sistema deecuaciones!

;4- 0 .4. 0 42 1 ..<4- 0 =4. 0 .42 129 4- < 4. 0 ;42 1.2



SO8*CI>?

-! Despejamos la varia#le 4 de cada una de las ecuaciones comosigue'

4- 1 3..<.4.<425@;4. 1 32904-<.425@=42 1 3.2<4-04.5@;

.! (ara un vector inicial 39 9 95 $allo los valores de 4-: 4.: 42!

4- 1 ..<.395<395@;4. 1 290395<.395@=42 1 .2<3950395@;

2! Teniendo para nuestra primera iteracin los siguientes valores'

/-1 2:;; /.1 2: /21 2:=2



7! +eempla&amos en las ecuaciones despejadas

inicialmente los valores o#tenidosanteriormente e iteramos $asta %ue EaF-G

! O#servamos %ue en la ; Iteracin se alcan&a laconvergencia!

Iteració

n x1 Ea x2 Ea x3 Ea

0 0 0 0

1 3,67 100,00 3,75 100,00 3,83 100,00

2 1,78 106,25 3,25 15,38 3,85 0,36

3 1,94 8,46 3,01 7,96 4,08 5,68

4 1,98 2,08 2,97 1,26 4,01 1,68

5 2,01 1,18 3,00 0,73 4,00 0,33

6 2,00 0,26 3,00 0,21 4,00 0,01



)A*SS SEIDE8 El método de )auss Seidel es casi idéntico al

método de Jaco#i! Este ultimo encuentra

valores para cada incgnita del sistema deecuaciones lineales 6 en la siguiente iteracinsustitu6e estos valores en el sistema! 8a Hnicadi"erencia entre estos dos métodos esta en %ue:en el método de )auss Seidel una ve& %ue se $a

calculado el valor de /i: este valor se sustitu6einmediatamente en la misma iteracin!



EJEM(8O

+esuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales pormedio del método de )auss Seidel: con una tolerancia de9:-G

;4- 0 .4. 0 42 1 ..<4- 0 =4. 0 .42 129 4- < 4. 0 ;42 1.2

Con un ector inicial

/-19/.19/219



SO8*CI>?

-! Al igual %ue en el método de Jaco#i despejo en cadaecuacin cada una de las incgnitas respectivamente!

4- 1 3..<.4.<425@;4. 1 32904-<.425@=42 1 3.2<4-04.5@;

.! Empleando el vector inicial: $allo el valor de la primeraincgnita!

4- 1 3..<.4.<425@;4-13..<.395<395@;4-12:;;



2! allo la segunda incgnita 3/.5 empleando el valor$allado anteriormente!

4. 1 32904-<.425@=4. 1 29032:;;5<.395@=4.1 7:.-

7! De igual manera $allamos el valor de /2 empleando losvalores de /- 6 4. $allados anteriormente!

42 1 3.2<4-04.5@;42 1 .2<32:;;5037:.-5@;421 2:K.

! Con estos valores empie&o a iterar $asta alcan&ar unEaF9:-G!



+eali&amos la ta#la de iteraciones en E4cel

como se muestra a continuacin'

O#servamos de esta manera %ue aun%ue tomamas iteraciones %ue el método de Jaco#i esté esmuc$o mas preciso!

Iteració

n x1 Ea x2 Ea x3 Ea

0 0 0 0

1 3,67 100,00 4,21 100,00 3,92 100,00

2 1,61 127,75 2,97 41,68 4,06 3,363 2,00 19,50 2,98 0,49 4,00 1,56

4 2,01 0,28 3,00 0,54 4,00 0,04

5 2,00 0,29 3,00 0,04 4,00 0,02

6 2,00 0,01 3,00 0,01 4,00 0,00



)A*SS SEIDE8 CO? +E8AJACI>?Después de calcular un nuevo valor de 4 por laecuacin de )auss Seidel: ese valor se modi"icapor un promedio ponderado de los resultados delas iteraciones $ec$as con )auss<Seidel: esto seconoce como técnica SO+ o de relajacin! El

es%uema es el siguiente'



(asos a seguir,-! (ara $allar los valores de / en el sistema de

ecuaciones empleo la ecuacin "undamental'

/i1L/i 0 3-<L5/i.! +eempla&o el L dado inicialmente: 6 o#tengo

un nuevo sistema de ecuaciones!

2! +eempla&o los valores iniciales: 6 empie&o aiterar $asta alcan&ar un Ea menor a latolerancia dada!



EJEM(8O +esuelva el siguiente sistema de ecuaciones empleando el

método de )auss Seidel +elajado 3SO+5!

;4- 0 .4. 0 42 1 ..

<4- 0 =4. 0 .42 129 4- < 4. 0 ;42 1.2 Con un vector inicial 39 9 95: 6 con "actor de relajacin

de L1-:.



SO8*CI>?

-! (lanteo el sistema de ecuaciones de la siguiente"orma'

/-1 ..L<./.L</2L0;/-3-<L5@; /.129L<./2L0/-L0=/.3-<L5@=

/21.2L</-L0/.L0;/23-<L5@;

.! +eempla&o el valor del L dado 6 o#tengo el nuevosistema de ecuaciones!

/-1 ..3-:.5<./.3-:.5</23-:.50;/-3-<-:.5@; /.1293-:.5<./23-:.50/-3-:.50=/.3-<-:.5@= /21.23-:.5</-3-:.50/.3-:.50;/23-<-:.5@;



8levando a ca#o la operacin anterior se tiene%ue'

/-1 .: < .:/. < -:./2 < -:/-@; /.12: N .:/2 0 -:./- < ./.@=

/21.=: N -:./- 0 -:./. N -:/2@;

2! Empleo los valores iniciales para la primera iteracin:teniendo en cuenta %ue este método tra#aja de igual"orma %ue )auss Seidel!

/-1 .: < .:/. < -:./2 < -:/-@;

/-1 .: < .:395 < -:.395 < -:395@; /-1 7:=



7! +eali&o el mismo procedimiento para /. 6 /2

/.12: N .:/2 0 -:./- < ./.@= /.12: N .:395 0 -:.37:=5 N .395@=

/.1 :79

/21.=: N -:./- 0 -:./. N -:/2@; /21.=: N -:.37:=5 0 -:.3:795 N -:395@; /21 7:K;.

! Empie&o a iterar $asta alcan&ar un Ea F a la toleranciadada!



+eali&amos la ta#la de iteraciones en E4cel como se

muestra a continuacin'

Al llegar a este punto claramente podemos decir %ue elmétodo iterativo con ma6or velocidad de convergencia esel de )auss Seidel!

Iteración x1 Ea x2 Ea x3 Ea

0 0 0 0

1 4,58 100,00 5,40 100,00 4,96 100,00

2 0,15 2913,11 1,81 198,62 3,90 27,373 2,98 94,89 3,48 48,05 3,92 0,67

4 1,57 89,79 2,84 22,80 4,07 3,74

5 2,16 27,32 3,04 6,78 3,96 2,98

6 1,95 10,71 3,00 1,58 4,02 1,57

7 2,01 2,92 3,00 0,04 3,99 0,70

8 2,00 0,47 3,00 0,23 4,00 0,26

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