METODOS_II_2015_00

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Autor: Ing. William Chauca Nolasco

METODOS NUMERICOS II

Ing. William Wilfredo Chauca Nolasco

Equacion Diferencial : Ecuaciones que involucran variables dependientes y sus derivadas con respecto a las variables independientes son llamadas ecuaciones diferenciales.

Ecuacion Diferencial Ordinaria : Ecuaciones diferenciales que involucran solamente UNA variable independiente son llamadas ecuaciones diferenciales ordinarias.

Ecuacion Diferencial Parcial: Ecuaciones diferenciales que involucran dos o mas variables independiente son llamadas ecuaciones diferenciales parciales.

EDO- Ecuación Diferencial Ordinaria


Soluciones de EDOs Analítica y Numérica

Resolver la EDO para encontrar una familia de soluciones.Elije la solución que satisface las condiciones iniciales correctas. Encuentra una fórmula analítica para y(t)

Empieza con las condic. inicialesResuelve para pequeños tamaños de paso (t).Resuelve aprox. en cada t Encuentra pares de puntos: (t0,y0), (t1,y1), …

y(0)=b

t

y

Método de Solución Analítica

Método de Solución Numérica



• La solución analítica de la ecuación diferencial ordinaria así como ecuaciones diferenciales parciales se le llama "solución de la forma cerrada”

• Esta solución requiere que las constantes de la integración estén evaluadas usando valores prescritos de variable(s) independiente(s).



• En el mejor de los casos, solamente algunas ecuaciones diferenciales se puede solucionar analíticamente en una forma cerrada.

• En la mayoría de los problemas prácticos de la ingeniería que implican ecuaciones diferenciales requieren el uso de métodos numéricos.


METODOS DE UN SOLO PASO

El objetivo consiste en solucionar una EDO en forma discreta, obteniendo un nuevo punto a partir de un punto anterior

y

x

yi

h

yi+1

xi xi+1

y(x)

(xi+1, yi+1)=Ѳ(xi ,yi, h)


MÉTODO DE TAYLOR DE ORDEN “K”

bax

yxy

yxfy

,

,

00

Sea una EDO de primer orden:

Podemos usar la serie de Taylor para aproximar la solución de la EDO, haciendo:

ii yxy ''


MÉTODO DE TAYLOR DE ORDEN “K”Podemos plantear el algoritmo siguiente:

ki

k

iiiii

ii

yk

hy

hy

hyhyy

hxx

iPara

hyyxDado

!'''

!3''

!2'

,3,2,1

,:

32

1

1

00

Siendo E el error de truncamiento.

1

11

!1

iik

k

xxyk

hE


MÉTODO DE TAYLOR DE ORDEN “K”Ejemplo:- Estime y(x) para x=0.1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5,

usando Taylor de orden 3

Solución

10

12

1' 2

y

yxy

Condición inicial:

2 3

1 ' '' '''2! 3! !

kk

i i i i i i

h h hy y h y y y y

k

' 2 21 1

2 2y y xy


'' ' 2 '

'' ' 2 '

'' 2 '

2 12

2 21 1

22 2

11

2

y yy y x yy

y yy y x yy

y y x yy

''' ' ' ' ' ''

2''' ' ' ''

21 1 1

2

2 1 1

y yy yy x y y x yy

y yy x y x yy


''1'1'2'''

'12

1''

2

2

yyxyxyyy

yyxyy

Finalmente se tiene:

21' 1

2y x y

'''6

''2

'

4...,,0

1

0

32

1

1

0

0

nnnnn

nn

yh

yh

hyyy

hxx

npara

y

x


MÉTODO DE TAYLOR DE ORDEN “K”


CODIGO EN MATLAB PARA EL PROBLEMA

clear allclcx=[0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5];x(1)=0;y(1)=1;h=0.1;fprintf(' x y_taylor\n')fprintf('%8.6f %8.6f\n',x(1),y(1))for i=1:5y(i+1)=y(i)+h*prima(x(i),y(i))+(h^2/2)*segunda(x(i),y(i))+(h^3/6)*tercera(x(i),y(i));

fprintf('%8.6f %8.6f\n',x(i+1),y(i+1))end

function y1=prima(x,y)y1=0.5*(1+x)*y^2;end

function y2=segunda(x,y)y2=0.5*y^2+(1+x)*y*prima(x,y);end

function y3=tercera(x,y)y3=2*y*prima(x,y)+(1+x)*(prima(x,y))^2+(1+x)*y*segunda(x,y);end


x y_taylor0.000000 1.0000000.100000 1.0553750.200000 1.1235050.300000 1.2082710.400000 1.3154270.500000 1.453855

224

4:

xxxyExacto

TAREA 01Modificar el programa anterior de tal modo que los resultados se presenten bajo el siguiente formato:


TAREA 02Para el ejemplo anterior resuelva para h=0.05, presente los resultados así como la grafica correspondiente para los valores obtenidos por la serie de Taylor versus los valores exactos.


MÉTODO DE EULERPermite resolver una EDO de primer orden de la forma:

Valor nuevo = Valor anterior + (Tamaño del paso) * (Pendiente)

y

x

yi

h

yi+1

00

,

yxy

yxfdx

dy

nnnn

nn

yxhfyy

hxx

nPara

hyyxDado

,

,2,1,0

,

1

1

00

xi xi+1


MÉTODO DE EULER

La primera derivada proporciona un estimado directo de la pendiente en xi

La ecuación es aplicada iterativamente, un paso a la vez, sobre una distancia pequeña para reducir el error

Por esto se conoce como método de un solo paso.


EJEMPL0

24=dy

xdx

Para la condición inicial y(1)=1, determine y para h = 0.1 analíticamente y usando el método de Euler:

2

3

3

dy4x

dxCondiciones.Iniciales y 1 , x 1

4y x C

31

C3

4 1y x

3 3y 1.1 1.44133


Usando el método de Euler:

2

i 1 i

2

2

dy4x

dxy y h

y 1.1 y 1 4 1 0.1 1.4

Note :

y 1.1 y 1 4 1 0.1

dy/dxC.I.. Tamaño del

paso


Recordar la solución analítica fue 1.4413.Si reducimos el tamaño del paso a 0,05 y aplicamos Euler dos veces

Recordar la solución analítica es 1.4413

2

2

y(1.05) y(1) 4 1 1.05 1.00 1 0.2 1.2

y 1.1 y 1.05 4 1.05 1.1 1.05 1.4205

Obtenemos:


ANÁLISIS DEL ERROR -MÉTODO DE EULER

Error de truncación - causado por la naturaleza de la técnica empleada para aproximar los valores de y Error local de truncación (a partir de la Serie de Taylor) Propagación del error de truncación Suma de los dos es el error global

Error de Redondeo – causado por el numero limitados de dígitos significativos que pueden ser retenidos por computadora o calculadora


MÉTODO DE EULER – EJEMPLO

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

0.2

5

0.5

0.7

5 1

1.2

5

t

Exact

Numerical

y

tey 1

solución Analítica

1.0

00

1'

h

y

yy


MÉTODO DE EULER – EJEMPLO

n tn yn fn= -

yn+1yn+1= yn+Dt fn

0 0 0.000 1.000 0.100

1 0.1 0.100 0.900 0.190

2 0.2 0.190 0.810 0.271

3 0.3 0.271 0.729 0.344

4 0.4 0.344 0.656 0.410

5 0.5 0.410 0.590 0.469

6 0.6 0.469 0.531 0.522

7 0.7 0.522 0.478 0.570

8 0.8 0.570 0.430 0.613

9 0.9 0.613 0.387 0.651


TAREA 3Para el ejemplo anterior, elaborar un programa en matlab que muestre los resultados de la tabla anterior.


MÉTODO DE EULER MEJORADO O HEUN

oUn error fundamental en el método de Euler es que se asume la derivada en el principio del intervalo para aplicarse a través de todo el intervalo.

oUna simple modificación será demostrada.

oEsta modificación pertenece realmente a una clase más grande de las técnicas de solución llamadas Runge-Kutta que exploremos más adelante.


Método de Heun

Considere la siguiente expansión de Taylor:

i i 2i 1 i i i

f ' x ,yy y f x ,y h h

2

Aproxime f’ con una diferencia progresiva

i 1 i 1 i ii i

f x ,y f x ,y' x ,f y

h


Substituyendo en la expansión de Taylor:2

i 1 i i 1 ii 1 i i i

f f h f fy y f h y h

h 2 2

MÉTODO DE HEUN

Determine las derivadas para el intervalo Punto inicial

Punto final (basado en el paso de Euler a partir del punto inicial)

Use el promedio para obtener una estimación mejorada de la pendiente para el intervalo completo

Podemos pensar en el paso de Euler como paso de prueba.


y

xi xi+1

Evaluar la pendiente en xi

La proyección consigue f(xi+1 )Basado en el tamaño del paso h

h


y

xi xi+1

h


y

xi xi+1

Ahora determine la pendiente en xi+1


y

xi xi+1

Tomar los promedios de estas dos pendientes


y

xi xi+1


y

xi xi+1

Use esta pendiente “promedio” para predecir yi+1

h

yxfyxfyy iiii

ii 2,, 11

1

{


y

xi xi+1

h

yxfyxfyy iiii

ii 2,, 11

1

{

Use esta pendiente “promedio” para predecir yi+1


y

xi xi+1

y

xxi xi+1

h

yxfyxfyy iiii

ii 2

,, 111


y

xxi xi+1

h

yxfyxfyy iiii

ii 2,, 11

1

hyy ii 1


METODO DE EULER MEJORADO (HEUN)

Permite resolver una EDO de primer orden de la forma:

00

,

yxy

yxfdx

dy

2

,,

,

,2,1,0

,

1*

11

1*

1

00

nnnnnn

nnnn

nn

yxfyxfhyy

yxhfyy

hxx

nPara

hyyxDado


METODO DE EULER MEJORADO (HEUN)

Ejemplo

' 2

1 1

0.1

1.5 ??

y xy

y

h

y

232.1

2

22

2

,,

2.12,

1.1

1.0

1

1

1

*1100

01

*1100

01

0000001*

01

0

0

y

yxyxhyy

yxfyxfhyy

yxhyyxhfyy

hxx

h

y

x

La solución analítica es:

2 1xy x e


TAREA 4Elaborar un programa en matlab para el ejemplo anterior y presente el grafico respectivo


METODO DE RUNGE-KUTTA DE ORDEN 2

A partir del método de Heun podemos deducir el método de Runge-Kutta

00

,

yxy

yxfdx

dy

2

,

,

,2,1,0

,

211

12

1

1

00

kkyy

kyhxhfk

yxhfk

hxx

nPara

hyyxDado

nn

nn

nn

nn


Ejemplo

??1.1

11

2

y

y

xydx

dy

232.12

264.02,

2.02,

1.1

1.0

1

1

211

1001002

00001

01

0

0

kk

yy

kyhxhkyhxhfk

yxhyxhfk

hxx

h

y

x

nn

Se obtienen los mismos resultados que el método de Euler Mejorado


TAREA 5Calcular el ejemplo anterior para h=0.01, luego elaborar un programa en matlab


00

,

yxy

yxfdx

dy

6

22

,

2,

2

2,

2

,

,2,1,0

,

43211

34

23

12

1

1

00

kkkkyy

kyhxhfk

ky

hxhfk

ky

hxhfk

yxhfk

hxx

nPara

hyyxDado

nn

nn

nn

nn

nn

nn



11

2

y

xydx

dy

1.23367805exactoValor

23367435.16

22

2715361.02,

234255.022

22

,2

231.022

22

,2

2.02,

1.0

1.011

432101

3003004

200

2003

100

1002

00001

01

00

kkkkyy

kyhxhkyhxhfk

ky

hxh

ky

hxhfk

ky

hxh

ky

hxhfk

yxhyxhfk

hxx

hyx


TAREA 6Calcular el ejemplo anterior para h=0.01, luego elaborar un programa en matlab


Los métodos para solucionar una ecuación diferencial de primer orden pueden ser adaptados a la solución de sistemas de primer orden.

0021

02

02212

2

01

01211

1

,,,,

,,,,

,,,,

nnnnn

n

n

yxyyyyxfdx

dy

yxyyyyxfdx

dy

yxyyyyxfdx

dy

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden


Por ejemplo sea el siguiente sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden:

002

001

,,

,,

zxzzyxfdx

dz

yxyzyxfdx

dy

Donde busca aproximar y(x) y z(x)



Resolver el siguiente Problema de Valor Inicial que consta de dos EDOs de primer orden:

21

11

2

zzyxdx

dz

yzyxdx

dy

Donde busca aproximar y(1.2) y z(1.2)



nnnnn

nnnnn

nn

nnn

nnn

nn

zyxhzz

zyxhyy

hxx

zyx

hzzz

hyyy

hxx

21

1

1

000

1

1

1

211

'

'

Plantearemos el algoritmo para el método de Euler:


21

11

2

zzyxdx

dz

yzyxdx

dy

Donde busca aproximar y(1.2)

y z(1.2)


401.2

87.1

2.1

2.2

4.1

1.1

1.0211

112

112

11112

12

002

001

00001

01

000

zyxhzz

zyxhyy

hxx

zyxhzz

zyxhyy

hxx

hzyx

Reemplazando valores:



Se tiene una solución aproximada en forma discreta:

n xn yn zn

0 1 1 2

1 1.1 1.4 2.2

2 1.2 1.87 2.401



Código para el problemaPor Euler

%Sistema de ecuaciones diferenciales %Eulerclear allclc%dy/dx=x+y+z%dz/dx=x^2-y+z%Condiciones iniciales%y(1)=1, z(1) =2%Donde busca aproximar y(1.2), y z(1.2)%h=0.1%condiciones inicialesx0=1;y0=1;z0=2;h=0.1;n=0;fprintf(' n xn yn zn\n')fprintf('%10.6f %10.6f %10.6f %10.6f\n',n,x0,y0,z0)for n=1:2 xn=x0+h; yn=y0+h*(x0+y0+z0); zn=z0+h*(x0^2-y0+z0); fprintf('%10.6f %10.6f %10.6f %10.6f\n',n,xn,yn,zn) x0=xn; y0=yn; z0=zn;end

n xn yn zn 0.000000 1.000000 1.000000

2.000000 1.000000 1.100000 1.400000

2.200000 2.000000 1.200000 1.870000

2.401000


Tarea 7Desarrollar el problema anterior para un paso de h=0.025Hacer manualmente el proceso repetitivo para 5 procesos repetitivosElaborar el programa respectivo en MatLab.


''2*2/

''1*2/

''*2/'

''*2/'

221

21

1

21

21

1

nnnnnnnn

nnnnnnn

nn

nnnn

nnnn

nn

zyxhzyxhzz

zyhzyxhyy

hxx

zhhzzz

yhhyyy

hxx

Si queremos mejorar la exactitud del resultado podemos usar un paso h mas pequeño o usar Taylor, por ejemplo de orden 2 sería su algoritmo:



Obteniendo los términos de derivadas de la serie de Taylor:

1

21

21

' / 2* ''

' / 2* ''

0,1,2,3,...

n n

n n n n

n n n n

x x h

y y hy h y

z z hz h z

n

1

2

3

4

Reemplazando 1, 2, 3 y 4 en la serie de Taylor para y y z

2

'

'' 1 ' '

'

'' 2 ' '

dyy x y z

dxy y z

dzz x y z

dxz x y z


21

2 21

/ 2* 1 ' '

/ 2* 2 ' '

n n n n n n n

n n n n n n n n

y y h x y z h y z

z z h x y z h x y z

Condiciones iniciales: x0= 1, y0=1 z0=2, n=0,1,2,3,…..

Para n= 0, xn+1 = xn +h entonces => x1 = x0 + h = 1 + 0.1 = 1.1

h= 0.1

21 0 0 0 0 0 0

2 21 0 0 0 0 0 0 0

0.1* 0.1 / 2* 1 ' '

0.1* 0.1 / 2* 2 ' '

y y x y z y z

z z x y z x y z

21

2 2 21

1 0.1*(1 1 2) 0.0050*(2*1 (1 1 2) (1 1 2)) 1.44

2 0.1*(1 1 2) 0.1 / 2*(2*1 (1 1 2) (1 1 2)) 2.24

y

z

x1 = x0 + h = 1 + 0.1 = 1.1


x2 = x1 + h = 1.1 + 0.1 = 1.2 n=1

22 1 1 1 1 1 1

2 22 1 1 1 1 1 1 1

0.1* 0.1 / 2* 1 ' '

0.1* 0.1 / 2* 2 ' '

y y x y z y z

z z x y z x y z

22

2 2 22

1.44 0.1*(1.2 1.44 2.24) 0.0050*(2*1.2 (1.2 1.44 2.24) (1.2 1.44 2.24)) 1.9756

2.24 0.1*(1.2 1.44 2.24) 0.1 / 2*(2*1.2 (1.2 1.44 2.24) (1.2 1.44 2.24)) 2.94

y

z

x2 = x1 + h = 1.1 + 0.1 = 1.2

Tarea 8Desarrollar el problema anterior para un paso de h=0.025Hacer manualmente el proceso repetitivo para 5 procesos repetitivosElaborar el programa respectivo en MatLab.


211

211

112

112

1

1

1

2

12

1

,,

,,

,,

,,

llzz

kkyy

lzkyhxhgl

lzkyhxhfk

zyxhgl

zyxhfk

hxx

nn

nn

nnn

nnn

nnn

nnn

nn

También se puede hacer una adaptación del método de Runge-Kutta 2


21

11

2

zzyxdx

dz

yzyxdx

dy

Donde busca aproximar y(1.2) y z(1.2)


1

1 0

1 0 0 0

2 21 0 0 0

2 0 0 0

2 0 0 1 0 1

0,1,2,3,...

0

1 0.1 1.1

0.1*( ) 0.1*(1 1 2) 0.4

0.1*( ) 0.1*(1 1 2) 0.2

0.1* 0.1, 0.4, 0.2 0.1*((1 0.1) (1 0.4) (2 0.2)) 0.47

0.1* , , 0.1*

n n

n

x x h

n

x x h

k x y z

l x y z

k x y z

l x h y k z l

2((1 0.1) (1 0.4) (2 0.2)) 0.201

1 1 2

1 1 2

1

21

2

n n

n n

y y k k

z z l l

1 0 1 2

1 0 1 2

1 11 (0.4 0.47) 1.435

2 21 1

2 (0.2 0.201) 2.20052 2

y y k k

z z l l


2 1

1 1 1 1

2 21 1 1 1

2 1 1 1

1

1.1 0.1 1.2

0.1*( ) 0.1*(1.2 1.435 2.2005) 0.48355

0.1*( ) 0.1*(1.2 1.435 2.2005) 0.22055

0.1* 0.1, 0.48355, 0.22055 0.1*((1.2 0.1) (1.435 0.48335) (2.2005 0.220

n

x x h

k x y z

l x y z

k x y z

22 1 1 1

55)) 0.56394

0.1* 0.1, 0.48355, 0.22055 0.1*((1.2 0.1) (1.435 0.48355) (2.2005 0.22055)) 0.21925l x y z

2 1 1 2

2 1 1 2

1 11.435 (0.48355 0.56394) 1.958745

2 21 1

2.2005 (0.22055 0.21925) 2.42042 2

y y k k

z z l l

1. Tarea 92. Desarrollar el problema anterior para un paso de h=0.0253. Hacer manualmente el proceso repetitivo para 5 procesos

repetitivos4. Elaborar el programa respectivo en MatLab.


Los problemas de valor inicial de mayor orden pueden ser transformados en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.

1-n

1-n

n

n

,,,,dt

yd

dt

dyytg

dt

yd

Ecuaciones Diferenciales orden Superior


Por ejemplo, sea la EDO de tercer orden:

002

2

00

00

2

2

3

3

''

'

,,,

ytdt

yd

ytdt

dy

yty

dt

yd

dt

dyytg

dt

yd



La EDO de tercer orden se transforma en un sistema de 3 ecuaciones de primer orden:

002

2

0

000

00

''

'

ytdt

ydtw

ytdt

dytz

yty

wzytgdt

dw

wdt

dz

zdt

dy

,,,



Considere una ecuación diferencial de segundo orden de un sistema de masa y resorte vibratorio

Las cond. iniciales son x(0) =x0 y x’(0) =0.

02

2

kxdt

dxc

dt

xdm



Re-escribir la ecuación:

La primera derivada puede ser escrita:

x

m

k

dt

dx

m

c

dt

xd2

2

2

2

y dt

xddtdv

vdtdx



La ecuación puede ser escrita como un conjunto de dos ecuaciones de primer orden.

Las condiciones iniciales: x(0) = x0 y v(0) = 0.

xm

kv

m

c

dt

dv

vdt

dx



Sistemas de Valor Inicial - Problemas

Las ecuaciones pueden ser definidas:

xm

kv

m

cvxtf

dt

dv

vvxtfdt

dx

,,

,,

2

1


Podemos aplicar Euler:

iii

iii

vxtftvdt

dvtvv

vxtftxdt

dxtxx

,,

,,

2ii1i

1ii

i1i

Sistemas de Valor Inicial - Problemas


Diferenciales mayor-orden Problemas - Ejemplo

Considere una ecuación diferencial de segundo orden para sistemas de masa-resorte vibrante.

Las condiciones iniciales son x(0) =0.2, x’(0) =0 y Dt = 0.02. (Solución Exacta = 0.2 cos(2t))

042

2

2

2

xdt

xdx

m

k

dt

xd


Ejemplo

La ecuación puede ser escrita como un conjunto de dos ecuaciones de primer orden.

Las condiciones iniciales, x(0) = 0.2 y v(0) = 0.

xdt

dv

vdt

dx

4


EjemploEl desarrollo del método de Euler.

t x v dx/dt dv/dt Valor exacto0 0,2 0 0 -0,8 0,2

0,02 0,2 -0,016 -0,016 -0,8 0,199840020,04 0,19968 -0,032 -0,032 -0,79872 0,199360340,06 0,19904 -0,04797 -0,0479744 -0,79616 0,198561730,08 0,198081 -0,0639 -0,0638976 -0,79232205 0,197445460,1 0,196803 -0,07974 -0,07974404 -0,78721024 0,19601332

0,12 0,195208 -0,09549 -0,09548825 -0,78083072 0,194267590,14 0,193298 -0,1111 -0,11110486 -0,77319166 0,192211090,16 0,191076 -0,12657 -0,12656869 -0,76430327 0,189847080,18 0,188544 -0,14185 -0,14185476 -0,75417777 0,187179360,2 0,185707 -0,15694 -0,15693831 -0,74282939 0,1842122

0,22 0,182569 -0,17179 -0,1717949 -0,73027433 0,180950330,24 0,179133 -0,1864 -0,18640039 -0,71653073 0,177398980,26 0,175405 -0,20073 -0,200731 -0,7016187 0,173563840,28 0,17139 -0,21476 -0,21476338 -0,68556022 0,169451020,3 0,167095 -0,22847 -0,22847458 -0,66837915 0,16506712


Ejemplo

Ejemplo

Se puede observar un error que cada vez se irá incrementando.

Euler Example

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.5 1 1.5 2

Time (t)

Dis

pla

cem

ent

x

v

actual value

ii1i

ii1i

4*

*

xtvv

vtxx


Las ecuaciones son definidas como funciones.

Las condiciones iniciales, x(0) = 0.2 and v(0) = 0.

xvxtfdt

dv

vvxtfdt

dx

4,,

,,

2

1

Ejemplo


Los componentes de Runge-Kutta:

ki,j donde i es el paso y j es la función.

2,3i1,3ii11,4

2,2i1,2ii11,3

2,1i1,1ii11,2

iii11,1

,,*

2

1,

2

1,

2*

2

1,

2

1,

2*

,,*

kvkxttftk

kvkxt

tftk

kvkxt

tftk

vxtftk

2,3i1,3ii22,4

2,2i1,2ii22,3

2,1i1,1ii22,2

iii22,1

,,*

2

1,

2

1,

2*

2

1,

2

1,

2*

,,*

kvkxttftk

kvkxt

tftk

kvkxt

tftk

vxtftk

Ejemplo


La actualización de un sólo paso:

Use los valores iniciales x(0) = 0.02 y v(0) = 0

2,42,32,22,1i1i

1,41,31,21,1i1i

*2*26

1

*2*26

1

kkkkvv

kkkkxx

Ejemplo


Ejemplo Metodo de Runge-Kutta de 4th Orden

t x v k11 k12 k21 k22 k31 k32 k41 k42 Exacto

0 0,2 0 0 -0,016 -0,00016 -0,016 -0,00016 -0,01599 -0,00032 -0,016 0,20,02 0,19984 -0,016 -0,00031991 -0,0159872 -0,00047979 -0,01597 -0,00048 -0,01597 -0,000639 -0,016 0,19980,04 0,19936 -0,03197 -0,00063932 -0,01594883 -0,00079881 -0,01592 -0,0008 -0,01592 -0,000958 -0,016 0,19940,06 0,198562 -0,04788 -0,0009577 -0,01588494 -0,00111655 -0,01585 -0,00112 -0,01584 -0,001275 -0,016 0,19860,08 0,197445 -0,06373 -0,00127455 -0,01579564 -0,0014325 -0,01574 -0,00143 -0,01574 -0,001589 -0,016 0,19740,1 0,196013 -0,07947 -0,00158935 -0,01568107 -0,00174617 -0,01562 -0,00175 -0,01561 -0,001902 -0,016 0,196

0,12 0,194268 -0,09508 -0,00190162 -0,01554141 -0,00205704 -0,01547 -0,00206 -0,01546 -0,002211 -0,015 0,19430,14 0,192211 -0,11054 -0,00221085 -0,01537689 -0,00236461 -0,01529 -0,00236 -0,01528 -0,002516 -0,015 0,19220,16 0,189847 -0,12583 -0,00251653 -0,01518777 -0,00266841 -0,01509 -0,00267 -0,01508 -0,002818 -0,015 0,1898

xvxtfdt

dv

vvxtfdt

dx

4,,

,,

2

1


Ejemplo Metodo de Runge-Kutta de 4th Orden

Los puntos tienen menos error que el método de Euler.

La aproximación depende del tamaño del paso del problema

4th order Runge Kutta Example

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Time (t)

Dis

plac

emen

t

v

x

actual value


Sistemas de EDO - Problema Valor Inicial

Estas técnicas pueden trabajar con grandes sistemas de ecuaciones para realizar una serie de integraciónes del problema. Las ecuaciones se pueden solucionar como serie de EDOs.


0

0

12212

222

2

2

111

121

2

1

yykdt

dy

dt

dyc

dt

ydm

ykdt

dyc

dt

ydm

Dando un conjunto de valores iniciales, y1,y2,y’1 e y’2.


122

212

2

22

22

11

11

1

11

11

yym

kvv

m

c

dt

dv

vdt

dy

ym

kv

m

c

dt

dv

vdt

dy

El problema es formado por 4 EDOs de primer orden con cuatro variables y condiciones iniciales.



2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

1

1

1000

00

0010

v

y

v

y

m

c

m

k

m

c

m

k

m

c

m

k

dt

dvdt

dydt

dvdt

dy

El problema puede ser escrito en el formato matricial y solucionado por consiguiente

.



Fuerzas pueden ser añadidas y fijadas para solucionar las ecuaciones.

tF

tF

v

y

v

y

m

c

m

k

m

c

m

k

m

c

m

k

dt

dvdt

dydt

dvdt

dy

22

11

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

1

1

sin

0

sin

0

1000

00

0010


Cuando las condiciones la EDO se dan por lo menos en algún punto diferente del valor inicial de la variable independiente.

Sistemas de EDO - Problema Valor Frontera

EI

xMy "

Condiciones de Frontera Condiciones Iniciales

y(0)=0 y(L)=0 y(0)=0 y’(0)=0



Método de Diferencias Finitas

Sea la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden:

byay

bax

xryxqyxpy

,

'''

Dividiendo el intervalo en (n+1) partes iguales

111100

1210 21

nnnn

n

yxyyxyyxyyxy

bxhaxhaxaxn

abh


Sean las fórmulas de diferenciación numérica para la primera y segunda derivada

211

11

2''

2'

h

yyyy

h

yyy

iiii

iii

Reemplazando en la ecuación diferencial para cada nodo i=1, 2, …, n:

iiiiii xryxqyxpy '''



Se tendrá un sistema de n ecuaciones con n incógnitas:

1

0

112

11

2

2

:1

n

iiiii

iiii

y

y

xryxqh

yyxp

h

yyy

niPara

Agrupando:

1

0

21

21 2

122

1

:1

n

iiiiiii

y

y

xrhyxph

yxqhyxph

niPara



Luego:

1

0

21

21

22

32222

12

12

21112

01

212

21

212

21

212

21

n

nnnnnnn

y

y

xrhyxph

yxqhyxph

xrhyxph

yxqhyxph

xrhyxph

yxqhyxph



Expresado en forma matricial tenemos un sistema tridiagonal:

nn

n

n

n

nn

nn

xph

xrh

xrh

xrh

xph

xrh

y

y

y

y

xqhxph

xph

xqh

xph

xph

xqhxph

xph

xqh

21

21

22

100

212

02

10

212

21

002

12

2

12

22

112

1

2

1

2

112

3

222

2

112



Solucion.-Discretización:

Método de Diferencias FinitasEjemplo.- Resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

y”-y’-2y=0 con condiciones de frontera: y(0)=0.1 e

y(0.5)=0.283. considere h=0.1.


Se usarán las siguientes fórmulas de diferenciación numérica:

211

11

2''

2'

h

yyyy

h

yyy

iiii

iii

Sea la ecuación diferencial para cada nodo “i”:

022

2

4:1

02'"

112

11

i

iiiii

iii

yh

yy

h

yyy

iPara

yyy



Reemplazando para cada nodo:

022

2

022

2

022

2

022

2

435

2345

324

2234

213

2123

102

2012

yh

yy

h

yyy

yh

yy

h

yyy

yh

yy

h

yyy

yh

yy

h

yyy



Teniendo en cuenta que: y0=0.1, y5=0.283 y h=0.1

02283.055283.0100200100

0255100200100

0255100200100

0251.051002001.0100

4343

342432

231321

1221

yyyy

yyyyyy

yyyyyy

yyyy



Planteando y resolviendo el sistema tridiagonal:

1 1

2 2

3 3

4 4

202 95 0 0 10.5 0.1238

105 202 95 0 0 0.1527

0 105 202 95 0 0.1879

0 0 105 202 26.885 0.2308

y y

y y

y y

y y


clear allclcA=[-202 95 0 0;105 -202 95 0;0 105 -202 95 ;0 0 105 -202];b=[-10.5 0 0 -26.885];y=A\b'


Tarea 10

(b) Compare los resultados numéricos de los problemas 1, 2 y 3 con las soluciones analíticas de cada una de ellas.

1

2

3


Método del Disparo

Sea la ecuación diferencial de segundo orden con condiciones de frontera:

Bbu

utu

uutgu

00

',,"

Consiste en transformar el problema de valor frontera en un problema de valor inicial, suponiendo una pendiente s, luego se desarrolla un método numérico para encontrar uN(s), se compara con B, si estos valores no son aproximados se sigue suponiendo pendientes hasta dar en el blanco B.


Método del Disparo

El problema de valor inicial resultante: stu

utu

uutgu

0

00

'

',,"


Método del Disparo


Método de Disparo

Ejemplo.- Resolver la siguiente Ecuacion diferencial ordinaria:

y”-y’-2y=0 con condiciones de frontera: y(0)=0.1 e

y(0.5)=0.283. considere h=0.1.Solución.-

366.005.0

1.0283.0

283.0

5.0

0

00

xb

yBs

B

b

Luego debemos resolver el Problema de Valor Inicial:


Método de Disparo

366.00

1.00

2'

'

z

y

yzz

zy

Mediante un cambio de variable tendremos un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden:

El cual lo resolvemos por Runge-Kutta de orden 4, como se puede ver en la siguiente tabla:


Método de Disparo

Resultados mediante Runge-Kutta de orden 4:

i xi yi zi=y’i

0 0.0 0.1 0.36600

1 0.1 0.13966 0.42952

2 0.2 0.18643 0.50876

3 0.3 0.24204 0.60706

4 0.4 0.30861 0.72849

5 0.5 0.38867 0.87803

0s

05 sy


Método de DisparoCalculando una nueva pendiente aproximada s1:

i xi yi zi=y’i

0 0.0 0.1 0.15466

1 0.1 0.11736 0.19369

2 0.2 0.13901 0.24090

3 0.3 0.16587 0.29815

4 0.4 0.19905 0.36770

5 0.5 0.23991 0.45232

1s

15 sy

15466.0

05.0

38867.0283.0366.0

1

0

0501

s

xb

syBss

Método de DisparoMediante interpolación lineal obtenemos la tercera pendiente s2:

i xi yi zi=y’i

0 0.0 0.1 0.21588

1 0.1 0.12382 0.26200

2 0.2 0.15274 0.31849

3 0.3 0.18793 0.38763

4 0.4 0.23078 0.47221

5 0.5 0.28300 0.57564

2s

25 sy

21588.0

38867.023991.038867.0283.0

366.015466.0366.0

2

0515

050102

s

sysysyB

ssss

625 103 xBsy


METODOS_II_2015_00

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