Metodos Numericos tema5
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Métodos Numéricos Curso SAI Tema 5 Interpolación.
Tema 5
5. Interpolación
5.1. Introducción
En la practica de la ingeniería y ciencias, es frecuente que la información necesaria para realizar
un calculo ó los resultados del mismo, se encuentren en una tabla de la forma:
Tabla 1. Ejemplo de una tabla de ingeniería
X
Y
x0 y0
x1 y1
•
•
•
xm ym
Esto ocurre al tomar los datos de un experimento, ó al evaluar una función matemática
complicada. También es frecuente que al requerir de la tabla algún valor, este no este tabulado.
Al problema de hallar valores no tabulados se le conoce como interpolación.1
5.2. Tipos de interpolación
El problema puede ser de 2 tipos:
1. El punto de interés cae en el rango de valores de la tabla.
2. El punto de interés esta fuera del rango de valores de la tabla.
1Siempre y cuando x0<x<xm. En caso contrario se conoce como extrapolación.
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El primer caso es el mas común y se conoce propiamente como interpolación. El segundo caso,
se conoce como extrapolación. Cada punto de la tabla se le llama polo, de ahí los nombres.
Como veremos mas adelante, la interpolación es mas confiable que la extrapolación.
5.2.1. Enfoques para realizar la interpolación
Dado que en general la función f(x) no se conoce ó es difícil de evaluar, se busca aproximar la
curva por otra mas simple, que pueda determinarse de los puntos de la tabla. Hay 2 enfoques en
este sentido:
1. Curvas de colocación.
2. Ajuste de curvas.
En el primero la curva que se emplea pasa por 2 ó mas puntos de la tabla. En el segundo la
curva se aproxima, lo mas posible a todos los puntos de la tabla. En esta unidad consideraremos
solo el primer enfoque, el segundo lo trataremos en la siguiente unidad.
5.3. Curvas de colocación
Para encontrar una curva de colocación, requerimos proponerla. Las curvas que mas se usan
para este fin son los polinomios. Esto es, por que los polinomios como se menciono en la
unidad anterior poseen propiedades que los hacen muy atractivos en los cálculos. Por ejemplo
son eficientemente evaluados con la División Sintética.
5.3.1. Polinomios de colocación
Un polinomio de colocación es aquel que coincide en 2 ó mas puntos de una curva, es decir se
coloca en los puntos de otra curva.
Siguiendo con este enfoque comenzaremos con el caso mas simple, que es cuando usamos una
recta. Para una recta requerimos 2 puntos. Si tenemos por ejemplo los puntos (x0, y0) y (x1, y1),
se busca que estos encierren el punto de interés (xi, yi ). La ecuación de la recta que pasa por 2
puntos es:
y y y y x x
x x= −
− −
−
( )( )1 0 0
1 00
Esta formula es la mas simple para interpolar y se conoce como interpolación lineal.
Desafortunadamente no es muy precisa.
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Si usamos un polinomio de grado 2, es decir, una parábola, necesitamos 3 puntos: (x 0, y0), (x1,
y1) y (x2, y2). La ecuación de la general de una parábola es:
y a a x a x= + +
0 1 2
2
Para hallar los coeficientes, sustituimos cada uno de los puntos en la ecuación, obtenemos:
y a a x a x0 0 1 0 2
2= + + 0
1
y
0
1
y a a x a x1 0 1 1 2
2= + +
y a a x a x2 0 1 2 2 2
2= + +
Este es un sistema de ecuaciones lineales para los coeficientes. Resolviendo este sistema, por
cualquiera de los métodos del capitulo anterior, se hallan los coeficientes, con los cuales se
puede realizar la interpolación.
Podemos seguir con una ecuación cúbica, cuartica ,etc. Para el caso general de un polinomio de
grado n tenemos que se requieren n+1 puntos.2 Sustituyendo, se obtiene el sistema lineal:
a a x a x y
a a x a x
a a x a x y
n
n
n
n
n n n
n
n
0 1 0 0
0 1 1 1
0 1
+ • • • + =
+ • • • + =
•
•
•
+ • • • + =
Este se puede resolver por los métodos del capitulo anterior. Cabe una pregunta ¿ el sistema
anterior tiene solución única ? La respuesta es si. Se puede demostrar que el determinante de
este sistema es:
D x x j k
j k
= −<
∏ ( )
2¿ Por qué ?
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El cual se denomina Determinante de Van Der Monde. Como ya sabemos el sistema tiene
solución única si y solo si es ≠ 0. Como podemos apreciar, esto solo no ocurre si al menos 2
x's son iguales. Dado que en una tabla las x's no se repiten,3 el determinante es ≠ 0 y el sistema
tiene solución única.
Esta manera de realizar la interpolación tiene varias desventajas:
1. Hay que resolver un sistema lineal cada vez.
2. Los cálculos realizados para un grado, no sirven para el siguiente.
3. Si se cambia un punto por otro, hay que realizar nuevamente los cálculos.
4. El sistema lineal tiende a ser inestable.
El ultimo problema se debe al hecho de que si bien las x's son distintas y por ende el
determinante es ≠ 0 pueden estar tan juntas que el determinante sea cercano a 0. Como se
mencionó la unidad anterior si el determinante es cercano a 0, el numero de condición tambiénlo será y por ende el sistema será inestable.
Por estos problemas este manera de interpolar no se recomienda. En vez de eso, se pueden
emplear algunos métodos que evitan plantear el sistema lineal y directamente obtienen el valor
buscado. Consideraremos 2 casos:
1. Tabla igualmente espaciada.
2. Tabla desigualmente espaciada.
5.4. Tablas equiespaciadas
Estas se presentan frecuentemente al tabular funciones matemáticas complicadas. Se tiene que
el espaciamiento entre cada punto es constante, en toda la tabla. Para este caso se puede usar el
método de Diferencias Finitas de Newton, Diferencias Progresivas, Diferencias hacia adelante,
o también llamado Formula de Newton Gregory
5.5. Método de la diferencias finitas hacia adelante de Newton
Omitiendo el desarrollo la formula es
y x y yi
s
i
ni( ) ( )= +
=
∑0
1
0∆
3¿ Por qué ?
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Donde:
• n: grado del polinomio a usar.
• y0: y del punto de apoyo para el calculo.
• s: variable auxiliar
• i: índice de la sumatoria.
• : Coeficiente binomial( )i
s
• : i-esima diferencia hacia adelante respeto al punto de apoyo.∆i
s se define como:
s x x H = − 0
donde:
• x: punto de interés.
• x0: x del punto de apoyo.
• H: espaciamiento constante de la tabla.
El coeficiente binomial se define como:
( ) !!( )!i
s si s i
=−
Dado que s es un numero real, no es común usar la formula de arriba.4 En vez de ello, el
coeficiente binomial se calcula como:
( )( )
!i
s s k
ik
i
=∏ −
=
−
0
1
donde:
4Aunque si es posible calcular el factorial de un numero real. Esto se realiza con
la función Gamma. Por ejemplo: ( )− = =12
12! ( )Γ π
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• : productoría. NO la confundas con el numeroΠ π .
• k: índice de la productoría.
Las primeras diferencias hacia adelante se definen como
∆ y yi i
yi
= −+1
Se pueden definir diferencias de orden superior. Las segundas diferencias son:
∆ ∆∆ ∆ ∆2
1 y y y yi i i= = − i =+
( )
y y y yi i i i+ + +
− − − =2 1 1
( )
y yi i+ + yi− +2 12
y en general
∆ ∆ ∆ j
i
j
i y y=−( )1
Para calcularlas mas fácilmente se construye una tabla de diferencias, de la siguiente manera:
Tabla 2 Tabla de diferencias
X
Y
∆Y ∆2Y ∆
3Y ∆mY
x0 y0
∆ y0
x1 y1 ∆2
0Y
∆ y1
∆
3
0Y
•
x2 y2 ∆2
1Y
•
∆ y2
x3 y3 ∆mY
0
• •
• •
• ∆3
3Y
m−
• ∆2
2Y
m−
∆ ym−1
xm ym
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Como podemos ver en cada columna se calcula una diferencia de orden mayor a la de la
columna anterior.
El punto de apoyo es comúnmente el punto inmediato al punto de interés.
Al realizar alguna interpolación, se requiere fijar el grado del polinomio. Este puede
determinarse algunas veces con el siguiente teorema que no demostraremos. Si se tabula un
polinomio de grado n, entonces la diferencia n+1 es 0, es decir, si en la columna n+1 de la
tabla de diferencias se tiene solamente 0's, entonces la función de la cual se genero la tabla es
un polinomio de grado n. Este teorema es útil, ya que nos permite determinar el grado
apropiado del polinomio, si la tabla de diferencias llega a 0. Luego discutiremos que pasa si la
tabla de diferencias no llega a 0.
5.5.1. Ejemplo del método de diferencias finitas hacia adelante de Newton
Consideremos la función definida por la tabla 3
Tabla 3.
X
Y
0 0
1 1
2 8
3 27
4 32
5 125
6 216
Deseamos hallar y(1.5). Primero calculemos la tabla de diferencias:
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Tabla 4. Tabla de diferencias
X
Y
∆Y ∆2Y ∆
3Y ∆4Y ∆
5Y ∆6Y
0 0
1
1 1 6
7 6
2 8 12 0
19 6 0
3 27 18 0 0
37 6 0
4 64 24 0
61 6
5 125 30
91
6 216
Podemos apreciar que la columna 4 es de ceros por lo cual el grado del polinomio es 3.
El espaciamiento constante es 1. El punto de apoyo es (1,1)
s vale:
s = =−1 5 11
0 5. .
Para leer las diferencias necesarias se traza una horizontal en el punto de interés y después una
diagonal hacia abajo, las diferencias arriba de la línea, son las que se emplean.
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Tabla 5 Tabla de diferencias con diagonal para leer diferencias
Realizando cálculos:
y y i
s i
i
( . ) ( )15 0 0
1
3
= +=
∑ ∆ y
y
y y y y s s s( . ) ( ) ( ) ( )15 0 1 0 22
0 33
0= + + +∆ ∆ ∆
y y y y s k s k s k
k k k ( . )( )
!
( )
!
( )
!15 0 1 0 2
2
0 3
3
00
1 1
0
2 1
0
3 1
= +∏
+∏
+∏− − −
=
−
=
−
=
−
∆ ∆ y∆
y y y y s s s s s s( . )
!
( )
!
( )( )
!15 0 1 0
1
2
2
0
1 2
3
3
0= + + +− − −
∆ ∆ y∆
y( . ) ( ) ( ) ( ).!
. ( . )
!
. ( . )( . )
!15 1 7 12 60 5
1
0 5 0 5 1
2
0 5 0 5 1 0 5 2
3= + + +
− − −
( . ) .15 3 375=
Dado que la tabla viene de un polinomio, todas las cifras del resultado son significativas.
5.6. Diferencias finitas hacia atrás
Tenemos un problema ¿ qué pasa si el punto de interés esta al final de la tabla ? Por ejemplo, si
queremos y(5.5), al trazar la diagonal tenemos:
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Tabla 6 Tabla de diferencias con diagonal hacia abajo para leer diferencias
Es decir se nos terminan las diferencias. Este problema lo podemos arreglar si invertimos la
tabla y recalculamos las diferencias. Esto puede tomar tiempo. Si se realiza este procedimiento
es posible modificar la formula de Newton. Al invertir la tabla se puede demostrar que solo las
diferencias nones cambian de signo. Al modificar se obtiene la formula de diferencias finitas
hacia atrás ó formula regresiva:
y x y yi
s
i
n i( ) ( )= + ∇=
∑0
1
0
donde:
• n: es el grado del polinomio.
• y0: es la y del punto de apoyo, en este caso el punto siguiente al punto de interés.
La s se define igual.
El coeficiente binomial se calcula por:
( )( )
!i
s s k
ik
i
=∏ +
=
−
0
1
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Las se llaman diferencia hacia atrás.∇
5.6.1. Ejemplo de diferencias finitas hacia atrás
Calculemos y(5.5). La diagonal ahora se traza en el punto siguiente al punto de interés y haciaarriba.
Tabla 7 Tabla de diferencias con diagonal hacia arriba
Realizando cálculos.
s = = −−5 5 61
0 5. .
y y i
s i
i
( . ) ( )55 0 0
1
3
= + ∇=
∑ y
y
y y y y s s s( . ) ( ) ( ) ( )55 0 1 0 2
2
0 3
3
0= + ∇ + ∇ + ∇
y y y y
s k s k s k
k k k ( . )
( )
!
( )
!
( )
!55 0 1 0 22
0 33
00
1 1
0
2 1
0
3 1
= +
∏
∇ +
∏
∇ +
∏
∇
+ + +
=
−
=
−
=
−
y
y y y y s s s s s s( . )
!
( )
!
( )( )
!55 0 1 0
1
2
2
0
1 2
3
3
0= + ∇ + ∇ + ∇+ + +
y
y( . ) ( ) ( ) ( ).!
. ( . )
!
. ( . )( . )
!55 216 91 30 60 5
1
0 5 0 5 1
2
0 5 0 5 1 0 5 2
3= + + +− − − + − − + − +
y( . ) .55 166 375=
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Como en el caso anterior, dado que la tabla viene de un polinomio, el resultado es correcto en
todas sus cifras.5
5.7. ¿ Que hacer si la tabla de diferencias no converge a 0 ?
Todavía queda el problema de que pasa si la tabla de diferencias no llega a 0. En la practica,
esto es lo que ocurre, en la mayoría de los casos, ya que las tablas no se obtienen de
polinomios, lo que nos genera un error de truncamiento, además de que puede existir error
inherente y error de redondeo. Consideremos por ejemplo la siguiente tabla:
Tabla 8.
X
Y
1.00 1.0000
1.01 1.0050
1.02 1.0100
1.03 1.0149
1.04 1.0198
1.05 1.0247
1.06 1.0296
Calculemos y(1.015). Al calcular la tabla de diferencias
5De hecho como se puede demostrar la tabla es de la función x3.
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Tabla 9. Tabla de diferencias
X
Y
∆Y ∆2Y ∆
3Y ∆4Y ∆
5Y ∆6Y
1.00 1.0000
.005
1.01 1.0050 0
.005 -.0001
1.02 1.0100 -.0001 .0002
.0049 .0001 -.0003
1.03 1.0149 0 -.0001 .0004
.0049 0 .0001
1.04 1.0198 0 0
.0049 0
1.05 1.0247 0
.0049
1.06 1.0296
Tenemos que no se llega a una columna de 0's, pero sin embargo la tabla tiene muchos 0's. El
punto de apoyo es 1.01
Calculemos s:
s = =−1 015 1 0101
0 5. ..
.
Tracemos la diagonal.
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Tabla 10 Tabla de diferencias
¿ Dónde nos paramos ?. Para contestar esto, calculemos cada termino de la formula por
separado:
y y i s i
i
n
( . ) ( )1015 0 0
1
= +=
∑ ∆ y
y +
y y y y y s s s s( . ) ( ) ( ) ( ) ( )1015 0 1 0 2 2 0 3 3 0 4 4 0= + + + +∆ ∆ ∆ ∆
( )5
5
0
s y∆
y y y y
s k s k s k
k k k ( . )
( )
!
( )
!
( )
!1015 0 1 0 2
20 3
30
0
1 1
0
2 1
0
3 1
= +∏
+∏
+∏− − −
=
−
=
−
=
−
∆ ∆ y∆
( )
!
( )
!
s k s k
k k y y− −
=
−
=
−
∏+
∏0
4 1
0
5 1
4
4
0 5
5
0∆ ∆
y y y s s s( . )
!
( )
!1015 0 1 0
1
2
2
0= + +−
∆ ∆ y +
s s s s s s s y y( )( )
!
( )( )( )
!
− − − − −+ +1 2
3
3
0
1 2 3
4
4
0∆ ∆
s s s s s y
( )( )( )( )
!
− − − −1 2 3 4
5
5
0∆
+−++=−
)0001.()005(.005.1)015.1(!2
)15.0(5.0
!15.0 y
0 5 0 5 1 0 5 2
3
0 5 0 5 1 0 5 2 0 5 3
40001 0001
. ( . )( . )
!
. ( . )( . )( . )
!(. ) ( . )
− − − − −+ − +
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0 5 0 5 1 0 5 2 0 5 3 0 5 4
50001
. ( . )( . )( . )( . )
!(. )
− − − −
( . ) .1015 1 0025= + - 0.0000125
-0.00000625- 0.00000390625
-0.000002734375
y( . ) .1015 10025=
Dado que la tabla tiene 4 decimales, el termino es despreciable, respecto a los
decimales de la tabla. Nuestra respuesta debe de darse a 4 decimales que son los que tiene la
tabla. Aunque consideraremos este termino, no afectaría el resultado, es más tampoco afectan
los otros términos. En este caso podemos decir que el grado es 1. El resultado tiene 5 cifras
significativas.
- 0.0000125
6 Resumiendo si el valor absoluto de un termino es despreciable respecto a los
decimales que tenga la tabla, lo consideramos 0 y podemos determinar el grado. Este primer
termino despreciado es el error cometido por la aproximación. Para ver esto considera que:
y x y yn i
s
i
ni( ) ( )= +
=
∑0
1
0∆
y x y yn i
s
i
ni
−
=
−
= + ∑1 0
1
1
0( ) ( )∆
El error esta dado por:
e y x y xn n n= −−
( ) ( )1
e y y y yn i
s
i
ni
i
s
i
ni
= + − −= =
−
∑ ∑0
1
0 0
1
1
0( ) ( )∆ ∆
e yn i
s
i
ni
i
s
i
ni
= −= =
−
∑ ∑( ) ( )1
0
1
1
0∆ ∆ y
y∆
e y yn n
s i
i
s
i
ni
i
s
i
ni
= + −=
−
=
−
∑ ∑( ) ( ) ( )∆ ∆0
1
1
1
1
0
e yn n
s n= ( )∆ 0
Para fines de calculo es mejor fijar un criterio de convergencia basado en el error relativo,
como ya lo comentamos en las unidades anteriores.
Para el método de Newton, el criterio de convergencia será:
6¿ Por qué ?
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cc Tol n
y x y x
y x
e
y x
y
y xn n
n
n
n
n s n
n= = =
− −( ) ( )
( ) ( )
( )
( )1 0∆
≤
Por otro lado, si calculamos y(1.025), tenemos:
y( . ) .1025 10100= + 0.00245 + 0
El grado es 1, porque llegamos a un 0, entonces la función localmente es un polinomio de
grado 1. En pocas palabras, es posible que la tabla de diferencias no llegue a cero, pero puede
ocurrir que localmente si se tengan ceros, con lo cual la función localmente se comporta como
un polinomio. Curiosamente la función de la cual viene la tabla anterior NO es un polinomio es
x .
También puede ocurrir que cuando la tabla de diferencia no llega a 0, es posible que no se logrela convergencia. Puede ocurrir que cada termino sea más pequeño que el anterior en valor
absoluto, pero puede ser que se nos termine la tabla, en cuyo caso, el ultimo termino lo
tomamos para dar el grado. Esto lo veremos mejor con los ejemplos al final de la unidad.
5.8. Ventajas y desventajas del método de Newton
Este método tiene las siguiente ventajas:
1. Nos puede dar el grado del polinomio.
2. Los cálculos de un grado sirven para el siguiente.
3. Es bueno en los extremos de la tabla.
4. Es fácil para cálculos manuales.
Tiene las desventajas:
1. La tabla tiene que estar igualmente espaciada.
2. No es bueno en el centro, al menos que el grado del polinomio sea bajo.
3. No es fácil de programar.
5.9. Tablas no equiespaciadas
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Estas se hallan frecuentemente al tabular datos experimentales. No es posible aplicar el método
de Newton.7 Una formula comúnmente usada en este caso, es la de interpolación de Lagrange.
5.10. Formula de Interpolación de Lagrange
Omitiendo el desarrollo es
y x yi
x x
x x
j j i
n
i
n j
i j( )
( )
( )=
−
−
=≠
=
∏∑00
Donde:
• n: grado del polinomio.
• : Productoría∏
• xi ,yi : Puntos de la tabla.
Esta formula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla, pero tiene el
inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se tiene que
determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la interpolación, se propone el
siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con algún criterio de convergencia, si se
cumple terminamos si no se repite el procediendo. Es decir, se tienen la sucesión
y x y x y x y x y xn1 2 3( ), ( ), ( ), , ( ), , ( )• • • • • •
El cc puede ser:
cc Tol n
y x y x
y xn n
n= ≤
− −( ) ( )
( )1
Aquí la tolerancia esta restringida ya que no podemos pedir mas cifras que las que vienen dadas
en la tabla.
5.10.1. Ejemplo del método de interpolación de Lagrange
Consideremos la tabla
7¿ Por qué ?
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Tabla 11.
X
Y
0 1.0000000
5.0000000E-03 9.9713854E-01
1.0000000E-02 9.9432585E-01
1.5000000E-02 9.9156129E-01
2.0000000E-02 9.8884420E-01
2.5000000E-02 9.8617396E-01
3.0000000E-02 9.8354995E-01
Deseamos y(2.6000000E-02). El criterio de convergencia será
cc xn
y x y x
y xn n
n= ≤
− −−( ) ( )
( )1 5 10 9
Comenzamos con n=1. La formula desarrollada es
y x yi
x x
x x
j j i
i
j
i j( )
( )
( )=
−
−
=≠
=
∏∑0
1
0
1
y x y y x x
x x
x x
x x( )( )
( )
( )
( )= +−
−
−
−0 11
0 1
0
1 0
Los puntos empleados son:
(x0=2.5000000E-02, y0=9.8617396E-01)
(x1=3.0000000E-02, y1=9.8354995E-01)
Sustituyendo valores:
Y1 ( 2.6000000E-02) = 9.8564920E-01
Con n=2. La formula desarrollada es:
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y x yi
x x
x x
j j i
i
j
i j( )
( )
( )=
−
−
=≠
=
∏∑0
2
0
2
y x y y y x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )= + +
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−0 1 21
0 1
2
0 2
0
1 0
2
1 2
0
2 0
1
2 1
Los puntos empleados son:
(x0=2.0000000E-02, y0=9.8884420E-01)
(x1=2.5000000E-02, y1=9.8617396E-01)
(x2=3.0000000E-02, y2=9.8354995E-01)
Sustituyendo valores:
Y2 ( 2.6000000E-02) = 9.8564550E-01
El criterio de convergencia es:
cc2 = 3.6888350E - 06
Como no se cumple se realiza otra iteración. Los cálculos se resumen en la tabla 15
Tabla 12.
n
Y
ccn
1 9.8564920E-01 -
2 9.8564550E-01 3.6888350E - 06
3 9.8564550E-01 0
El grado del polinomio es 2. y(2.6000E-02)= 9.8564550E-01
Es posible que te confundas al desglosar la formula de Lagrange al realizar cálculos. Parachecar si esta bien tu desarrollo ten en cuenta:
1. Hay n+1 términos.
2. Cada termino consta de n factores de x.
3. En cada termino se excluye el factor que coincide con el numero de termino.
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4. Si te confundes al excluir un factor, no te preocupes, te darás cuenta por que tendrías una
división entre 0.
5.11. Ventajas y desventajas del método de Lagrange
Este método tiene las ventajas:
1. Se puede aplicar si la tabla no esta igualmente espaciada.
2. Se puede aplicar en toda la tabla.
3. No requiere tabla de diferencias.
4. Es fácil de programar.
Sus desventajas son:
1. No da el grado del polinomio.
2. Es complicado para cálculos manuales.
5.12. Interpolación Inversa
A veces en vez de buscar la y se desea la x, es decir, x(y). Si Por ejemplo si de la tabla 14, la
cual esta igualmente espaciada deseamos x(.98564455). Aunque la tabla esta igualmente
espaciada en x en y no lo esta, por lo cual usamos el método de Lagrange. El criterio de
convergencia es8
cc xn
y x y x
y xn n
n= ≤
− −−( ) ( )
( )1 5 10 4
Los cálculos se resumen en la tabla 13
Tabla 13. Cálculos del método de Lagrange
n
x
ccn
1 2.6007030E-02 -
2 2.6000130E-02 2.6535400E-04
Por lo cual x(.98564455)=2.6000E-02. El grado del polinomio es 1.
8¿ Por qué ?
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Hay problemas adicionales al hacer interpolación inversa. Es posible que el grado del
polinomio NO sea el mismo que con la interpolación normal. Hay otros problemas pero estos
los veremos en los ejemplos al final de la unidad.
5.13. Oscilación
El caso problemático en interpolación se denomina oscilación. Consideremos la siguiente
gráfica:
Fig. 1
Dado que los polinomios de colocación son: continuos, pasan por 2 ó más puntos de las curva,
tienen n-1 máximos y mínimos. El polinomio a forciori tiene sus máximos o mínimos entre
cada par de puntos de la curva. Esto puede provocar que si la curva es como la de la gráfica, el
error sea muy grande. Esto es mas probable a medida que el polinomio aumenta de grado. Este
fenómeno se conoce como Oscilación, por que el polinomio oscila9 entre cada punto de la
curva. Si la curva no se aproxima bien por polinomios, el error producido por la oscilación
puede ser grande. Por esta razón conviene usar siempre el grado mas bajo posible.
5.14. Extrapolación
La extrapolación es menos confiable que la interpolación, ya que si bien conocemos como se
comporta la curva en el intervalo en que esta tabulada, fuera de el no podemos asegurar nada.
Además si no oscila dentro del intervalo de la tabla, afuera si lo hará. Solo podemos asegurar
que mientras mas lejos extrapolemos peor será el resultado. Para extrapolar, podemos usar
ambos métodos. Para el método de Newton si el punto de interés es mayor al ultimo punto de la
tabla, entonces usamos como punto de apoyo el ultimo y empleamos diferencias finitas hacia
atrás.10
Si el punto de interés es menor al primer punto de la tabla usamos como punto de apoyo
el primero y diferencias finitas hacia delante.11 Para el método de Lagrange, la argumentación
es similar. Para este problema es mas útil el enfoque de la siguiente unidad.12
5.15. Ejemplos prácticos
9 Sube y baja. Como en un subibaja.
10¿ Por qué ?
11¿ Por qué ?
12El de ajuste de curvas.
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A continuación mostramos algunos ejemplos de la interpolación.
5.15.1. ¿ Cuántos lectores potenciales tenía Superman cuando se publico por primera vez?
Consideremos los siguientes datos:
Tabla 14. Censo de USA
Año
Población
1930 123203000
1940 131669000
1950 150697000
1960 179323000
1970 203212000
1980 226505000
Son datos del censo de USA. En el año de 1938 salió la primera revista de Superman ¿ qué
población había entonces ?
Dado que la tabla esta igualmente espaciada usemos el método de Newton. La tabla de
diferencias es:
Tabla 15 Tabla de diferencias
Podemos apreciar que no tiende a 0.
El espaciamiento constante es 10.
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El punto de apoyo es 1930.
s vale:
s = =−1938 193010
0 8.
Realizando cálculos
y y i
s i
i
n
( ) ( )1938 0 0
1
= +=
∑ ∆ y
y y y y y y s s s s( ) ( ) ( ) ( ) ( )1938 0 1 0 2
2
0 3
3
0 4
4
0= + + + + +∆ ∆ ∆ ∆
( )5
5
0
s y∆
y y y y s k s k s k
k k k ( )( )
!
( )
!
( )
!1938 0 1 0 2
2
0 3
3
00
1 1
0
2 1
0
3 1
= + ∏ + ∏ + ∏− − −=
−
=
−
=
−
∆ ∆ y∆
( )
!
( )
!
s k s k
k k y y− −
=
−
=
−
∏+
∏0
4 1
0
5 1
4
4
0 5
5
0∆ ∆
y y y s s s( )
!
( )
!1938 0 1 0
1
2
2
0= + +−
∆ ∆ y +
s s s s s s s y y
( )( )
!
( )( )( )
!
− − − − −+ +
1 2
3
3
0
1 2 3
4
4
0∆ ∆
s s s s s y
( )( )( )( )
!
− − − −1 2 3 4
5
5
0∆
y( ) ( ) ( ).
!
. ( . )
!1938 1232030000 8
1
0 8 0 8 1
2= + +
−
8.466E6 1.0562E7 +
0 8 0 8 1 0 8 2
3
0 8 0 8 1 0 8 2 0 8 3
4
. ( . )( . )
!
. ( . )( . )( . )
!( ) (
− − − − −+ +-9.64E5 -1.3371E7)
0 8 0 8 1 0 8 2 0 8 3 0 8 4
5
. ( . )( . )( . )( . )
!( )
− − − −3.1847E7
( )1938 123203000= + 6773280 - 844960.
-30848.+ 235329.6
+ 358724.608
Podemos apreciar que el 4to termino tuvo un aumento de valor absoluto respecto al anterior,
esto es causado por la oscilación, si aumentamos el grado del polinomio empeoraremos el
resultado. Nos quedamos hasta el 3er
termino, el anterior al que sube de valor. Por lo anterior el
grado es 2. El error cometido es de -30848. El valor es 1.2913080E+08. Redondeando a las
cifras significativas obtenidas conforme al error, tenemos que P(1938)= 129100000.13
13¿ Por qué ?
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Por lo tanto había a lo mas 129100000 lectores potenciales de Superman.14
5.15.2. ¿ Cuántos lectores tuvo Superman en su Boda ?
En 1996, después de un noviazgo de mas de 50 años, Superman se caso con Lois Lane.15
Calculemos la población en ese año en USA con los datos de la tabla 15. Con el método de
Lagrange tenemos los resultados en la tabla 16
Tabla 16.
n
Y
ccn
1 1.7907860E+08 -
2 3.7426430E+08 5.2151840E-01
3 3.4694860E+08 -7.8731290E-02
4 5.9566080E+06 -5.7246000E+01
Como podemos apreciar se tiene oscilación en grado 3 por lo cual nos quedamos con n=2 y un
error de -7.8731290E-02. Por lo anterior P(1996)=3E+08.16
De acuerdo con estos datos hubo aproximadamente 3E+08 lectores potenciales de Superman,
en el año que se caso.
5.15.3. Determinación del volumen del H2O
Una de las propiedades que comúnmente se emplean en mecánica de fluidos es el volumen del
liquido. El volumen de un liquido es una función de la temperatura. El liquido mas utilizado
por el hombre es el H2O. A continuación se muestra el volumen de un gramo de H20, en el
intervalo de 273.15 oK a 279.15 oK.
14Por supuesto hay que descontar a los analfabetas, que había en aquel entonces.
15Hasta que se le hizo.
16¿ Por qué ?
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Tabla 17 Volumen de un 1 gr. de H2O
Temperatura (oK)
Volumen (cm3)
273.15 1.0001329
274.15 1.0000733
275.15 1.0000321
276.15 1.0000078
277.15 1.0000000
278.15 1.0000081
279.15 1.0000318
Deseamos determinar el volumen para las temperaturas de: 274, 275, 277, 278, 279, 280.15,
281.15, 282.15, 283.15 oK . Nota que en los últimos puntos estamos extrapolando.
Considerando que son datos experimentales, el criterio de convergencia será:
cc xn
y x y x
y xn n
n= ≤
− −−( ) ( )
( )1 5 10 8
Dada que la tabla esta igualmente espaciada usaremos el método de Newton. La tabla de
diferencias es:
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Tabla 18. Tabla de diferencias del volumen de 1 gr. de H2O
Temp. Y
∆Y ∆2Y ∆
3Y ∆4Y ∆
5Y ∆6Y
273.15 1.0001329
-5.96E-05
274.15 1.0000733 1.84E-05
-4.12E-05 -1.5E-06
275.15 1.0000321 1.69E-05 1.1E-06
-2.43E-05 -4.E-07 -1.3E-06
276.15 1.0000078 1.65E-05 -2.E-07 1.8E-06
-7.8E-06 -6.E-07 5.E-07
277.15 1.0000000 1.59E-05 3.E-07
8.1E-06 -3.E-07
278.15 1.0000081 1.56E-05
2.37E-05
279.15 1.0000318
Los cálculos se resumen en las siguientes tablas.
Tabla 19 y(274).
n
Y
ccn
1 1.0000820E+00 -
2 1.0000810E+00 -3.6653270E-08
Tabla 20 y(275).
n
Y
ccn
1 1.0000380E+00 -
2 1.0000370E+00 -3.6653270E-08
Tabla 21 y(277).
n
Y
ccn
1 1.0000010E+00 -
2 1.0000000E+00 1.5725000E-08
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Tabla 22 y(278).
n
Y
ccn
1 1.0000280E+00 -
2 1.0000270E+00 2.3587360E-08
Tabla 23 y(279).
n
Y
ccn
1 1.0000070E+00 -
2 1.0000060E+00 1.1793430E-08
Tabla 24 y(280.15).
n
Y
ccn 1 1.0000560E+00 -
2 1.0000710E+00 -2.9997540E-07
3 1.0000710E+00 0
Tabla 25 y(281.15).
n
Y
ccn
1 1.0000790E+00 -
2 1.0001260E+00 -1.1998420E-06
3 1.0001250E+00 1.4997990E-06
Tabla 26 y(282.15).
n
Y
ccn
1 1.0001030E+00 -
2 1.0001960E+00 -2.9994050E-06
3 1.0001930E+00 4.4990820E-06
Tabla 27 y(283.15).
n
Y
ccn
1 1.0001270E+00 -
2 1.0002830E+00 -5.9983170E-06
3 1.0002770E+00 1.0496940E-05
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Podemos observar que en los puntos donde interpolamos los resultados son confiables en 7
cifras significativas y que el grado del polinomio fue de 1, en todos los puntos. Exceptuando en
el primer punto donde se extrapolo, en los demás se presentaron oscilaciones. Además los
resultados fueron menos confiables, ya que de acuerdo al criterio de convergencia solo se
obtuvieron 5 cifras significativas.
Moraleja: Es mas seguro interpolar que extrapolar.
Determinación de la temperatura del H2O
Comúnmente es fácil determinar el volumen de un liquido en función de la temperatura, pero
no viceversa. Esto se debe a que la dependencia del volumen con respecto a la temperatura es
por lo regular muy pequeña. Por esta razón se considera como una aproximación útil para
cálculos de ingeniería que el volumen es casi constante. Si consideramos los datos de la tabla
20, podemos intentar calcular la temperatura en función del volumen. Usaremos los volúmenes
de: 1.00012, 1.00071, 1.000031, 1.000008, 1.000045, 1.0001909, 1.0002719 cm3.
A pesar de que la tabla esta igualmente espaciada NO es posible usar el método de Newton. 17
Usaremos el método de Lagrange.
El criterio de convergencia es de:
cc xn
x y x y
x yn n
n= ≤
− −−( ) ( )
( )1 5 10 5
Los cálculos se resumen en las siguientes tablas:
Tabla 28 x(1.0001200E+00).
n
x
ccn
1 2.7336570E+02 -
2 2.7332100E+02 -1.6346250E-04
3 2.7339850E+02 2.8352260E-04
Tabla 29 x(1.0000710E+00).
n
x
ccn
1 2.7418780E+02 -
2 2.7419810E+02 3.7729870E-05
17¿ Por qué ?
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Tabla 30 x(1.0000310E+00).
n
x
ccn
1 2.7485980E+02 -
2 2.7518030E+02 1.1646750E-03
3 2.7518730E+02 2.5395520E-05
Tabla 31 x(1.0000080E+00).
n
x
ccn
1 2.7525190E+02 -
2 2.7586340E+02 2.2167170E-03
3 2.7615850E+02 1.0684970E-03
4 2.7616670E+02 2.9946630E-05
Tabla 32 x(1.0000450E+00).
n
x
ccn
1 2.7462580E+02 -
2 2.7481120E+02 6.7473520E-04
3 2.7476430E+02 1.7082290E-04
4 2.7505090E+02 1.0419550E-03
Tabla 33 x(1.0000450E+00).
n
x
ccn
1 2.7462580E+02 -
2 2.7481120E+02 6.7473520E-04
3 2.7476430E+02 1.7082290E-04
4 2.7505090E+02 1.0419550E-03
Tabla 34 x(1.00019090E+00).
n
x
ccn
1 2.8586130E+02 -
2 2.1157910E+02 6.7473520E-04
3 -1.9428510E+05 1.0010890E+00
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Tabla 35 x(1.0002719E+00).
n
x
ccn
1 2.8928150E+02 -
2 1.2740430E+02 1.2705790E+00
3 -6.0377190E+05 1.0002110E+00
Podemos observar que el grado del polinomio vario a lo largo de la tabla. Además NO fue el
mismo que cuando interpolamos para hallar el volumen en función de la temperatura. En caso
de la extrapolación obtuvimos valores sin sentido. Esto se debe a la oscilación.
Moraleja: La extrapolación a veces no es posible.
Determinación de la presión de saturación
Una de las propiedades de una sustancia pura que más comúnmente se utiliza en cálculos de
Termodinámica es la presión de vapor o presión de saturación. Esta se define como la presión a
la cual existen en equilibrio una fase líquida y una fase vapor. Si la presión de vapor iguala a la
presión atmosférica, el líquido entrará en ebullición. Solo depende de la temperatura. Existen
diversas ecuaciones para calcular. Pero si están disponibles es mejor determinarla de tablas. La
siguiente tabla muestra la presión de saturación del H2O a diversas temperaturas
Tabla 36 Presión de vapor del H2O
Temperatura (o
R)
Presión (Psia)4.9168880E+02 8.8650000E-02
5.1899300E+02 2.5000000E-01
5.3925600E+02 5.0000000E-01
5.6141000E+02 1.0000000E+00
6.2191000E+02 5.0000000E+00
6.5288000E+02 1.0000000E+01
6.7167000E+02 1.4696000E+01
Deseamos determinar la presión de saturación a las siguientes temperaturas: 500, 530, 555, 615,
650, 666, 672, 672.7, 687.63 oR.
Dado que la tabla no esta igualmente espaciada usaremos el método de Lagrange. La tolerancia
es de 5x10-6. Los cálculos se resumen en la siguientes tablas.
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Métodos Numéricos Curso SAI Tema 5 Interpolación.
Tabla 37 y(500).
n
Y
ccn
1 1.3776380E-01 -
2 1.1643070E-01 1.8322550E-01
3 1.2585800E-01 7.4904320E-02
4 1.2219320E-01 2.9992150E-02
5 1.2320530E-01 8.2145800E-03
6 1.2329140E-01 6.9900120E-04
Tabla 38 y(530).
n
Y
ccn
1 3.8580170E-01 -
2 3.6122680E-01 6.8031880E-02
3 3.7010840E-01 2.3997370E-02
4 3.6624160E-01 1.0557950E-02
5 3.6695100E-01 1.9331050E-03
6 3.6701320E-01 1.6938800E-04
Tabla 39 y(555).
n
Y
ccn
1 8.5533080E-01 -2 8.0216150E-01 6.6282550E-02
3 8.3278830E-01 3.6776250E-02
4 8.2211840E-01 1.2978600E-02
5 8.2363200E-01 1.8377140E-03
6 8.2359830E-01 4.0962000E-05
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Tabla 40 y(615).
n
Y
ccn
1 4.5431400E+00 -
2 4.1572040E+00 9.2835660E-02
3 4.2508120E+00 2.2021180E-02
4 4.2379780E+00 3.0281230E-03
5 4.2367960E+00 2.7911570E-04
6 4.2368660E+00 1.6656630E-05
Tabla 41 y(650).
n
Y
ccn
1 9.5350330E+00 -
2 9.3911940E+00 1.5316360E-02
3 9.4028930E+00 1.2441620E-03
4 9.4054000E+00 2.6657130E-04
5 9.4057380E+00 3.5893060E-05
Tabla 42 y(666).
n
Y
ccn
1 1.3278950E+01 -
2 1.3146690E+01 1.0060790E-02
3 1.3124800E+01 1.6676660E-03
4 1.3119260E+01 4.2212640E-04
5 1.3118410E+01 6.5064190E-05
6 1.3118480E+01 5.8884560E-06
Tabla 43 y(672).
n
Y
ccn
1 1.4778470E+01 -
2 1.4789690E+01 7.5857050E-04
3 1.4791800E+01 1.4267910E-04
4 1.4792370E+01 3.8102190E-05
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Métodos Numéricos Curso SAI Tema 5 Interpolación.
Tabla 44 y(672.7).
n
Y
ccn
1 1.4953420E+01 -
2 1.4989720E+01 2.4214490E-03
3 1.4996640E+01 4.6149100E-04
4 1.4998500E+01 1.2424440E-04
5 1.4998800E+01 1.9965180E-05
Tabla 45 y(687.63).
n
Y
ccn
1 1.8684730E+01 -
2 1.9670830E+01 5.0129940E-02
3 1.9914060E+01 1.2214310E-02
4 1.9988330E+01 3.7153950E-03
5 2.0001730E+01 6.7018430E-04
6 2.0000340E+01 6.9807790E-05
Podemos observar que en la mayoría de los casos casi se logra la convergencia. Esto implica
que si tuviésemos mas puntos si se hubiese logrado. También podemos observar que esta tabla
se aproxima bien por un polinomio de colocación, ya que inclusive en el punto donde se
extrapoló se logro la convergencia.
Moraleja: A veces faltan puntos para lograr la convergencia.
Determinación de la temperatura de saturación.
La temperatura de saturación de una sustancia pura es análoga a la presión de saturación. Esta
se define como la temperatura a la cual existen en equilibrio una fase líquida y una fase vapor.
Es bien sabido que la presión atmosférica es variable y depende de la altura. Por esta razón un
líquido no hierve a la misma temperatura en cualquier parte del planeta. Estimando la
temperatura de saturación, podemos inferir de cierta forma cuanta energía requeriremos parahervir una sustancia. La temperatura de saturación puede estimarse de una tabla para la Pvap.
Con la tabla del problema anterior determinemos la Tsat para las siguientes presiones: 0.1, 0.3,
0.75, 2.4, 7.5, 12, 20 psia, con una tolerancia de 5x10-6 . Los cálculos se muestran en las
siguientes tablas.
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Tabla 46 x(1E-1).
n
x
ccn
1 4.9360950E+02 -
2 4.9397450E+02 7.3882300E-04
3 4.9409800E+02 2.5002160E-04
4 4.9411950E+02 4.3603640E-05
5 4.9413000E+02 2.1122000E-05
6 4.9413690E+02 1.3957620E-05
Tabla 47 x(3E-1).
n
x
ccn
1 5.2304560E+02 -
2 5.2353560E+02 9.3592530E-04
3 5.2359810E+02 1.1948290E-04
4 5.2362650E+02 5.4084950E-05
5 5.2364460E+02 3.4617830E-05
6 5.2471390E+02 2.0378250E-03
Tabla 48 x(75E-2).
n
x
ccn
1 5.5033300E+02 -
2 5.5073830E+02 7.3598380E-04
3 5.5089190E+02 2.7875610E-04
4 5.5098230E+02 1.6405800E-04
5 5.5293150E+02 3.5252440E-03
Tabla 49 x(2.4).
n
x
ccn
1 5.8258500E+02 -
2 5.8619710E+02 6.1619580E-03
3 5.8774470E+02 2.6331290E-03
4 6.0025850E+02 2.0847340E-02
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Métodos Numéricos Curso SAI Tema 5 Interpolación.
Tabla 50 x(7.5).
n
x
ccn
1 6.3739500E+02 -
2 6.3880840E+02 2.2125430E-03
3 6.4132450E+02 3.9232130E-03
4 6.0025850E+02 2.0847340E-02
Tabla 51 x(12).
n
x
ccn
1 6.6088260E+02 -
2 6.6210200E+02 1.8417430E-03
3 6.5999050E+02 3.1992130E-03
4 6.0025850E+02 2.0847340E-02
Tabla 52 x(20).
n
x
ccn
1 6.9289280E+02 -
2 6.8089770E+02 1.7616620E-02
3 7.2540550E+02 6.1355770E-02
4 6.0025850E+02 2.0847340E-02
Podemos observar que en este caso la tabla NO se aproxima bien por polinomios ya se presenta
el fenómeno de oscilación. Solo al principio existe un comportamiento aceptable.
Moraleja: El que una función se aproxime bien por polinomios de colocación NO implica que
la función inversa lo hará.
5.16. Resumen
La interpolación trata de hallar valores de y para x's que no estén tabuladas y estén entre los
limites de la tabla. Si la x esta fuera de los limites el problema se denomina extrapolación.
Si la tabla esta igualmente espaciada se usa el método de diferencias Finitas de Newton.
Si no lo esta se usa la formula de Interpolación de Lagrange.
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El método de diferencias de Newton tiene las siguiente ventajas:
Nos da el grado del polinomio.
Los cálculos de un grado sirven para el siguiente.
Es bueno en los extremos de la tabla.
Es fácil para cálculos manuales.
Tiene las desventajas:
La tabla tiene que estar igualmente espaciada.
No es bueno en el centro, al menos que el grado del polinomio sea bajo.
No es fácil de programar.
La formula de Lagrange tiene las ventajas:
Se puede aplicar si la tabla no esta igualmente espaciada.
Se puede aplicar en toda la tabla.
No requiere tabla de diferencias.
Es fácil de programar.
Sus desventajas son:
No da el grado del polinomio.
Es complicado para cálculos manuales.
La interpolación inversa consiste de intercambiar los papeles de x y se usa el método de
Lagrange. Por lo regular el grado del polinomio NO es el mismo que el caso de la interpolación
normal.
La oscilación implica que el grado del polinomio debe ser bajo. Comúnmente se realiza con elmétodo de Lagrange.
La oscilación se presenta comúnmente cuando:
La función no puede aproximarse bien por polinomios.
Al extrapolar.
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Métodos Numéricos Curso SAI Tema 5 Interpolación.
Al interpolar de manera inversa.
Cuando los datos tienen mucho error.
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5.17. Índice Interpolación
5. Interpolación ____________________________________________________________________ 5-1
5.1. Introducción__________________________________________________________ 5-1
5.2. Tipos de interpolación __________________________________________________ 5-1 5.2.1. Enfoques para realizar la interpolación _________________________________________ 5-2
5.3. Curvas de colocación___________________________________________________ 5-2 5.3.1. Polinomios de colocación ___________________________________________________ 5-2
5.4. Tablas equiespaciadas __________________________________________________ 5-4
5.5. Método de la diferencias finitas hacia adelante de Newton ____________________ 5-4 5.5.1. Ejemplo del método de diferencias finitas hacia adelante de Newton__________________ 5-7
5.6. Diferencias finitas hacia atrás____________________________________________ 5-9 5.6.1. Ejemplo de diferencias finitas hacia atrás ______________________________________ 5-11
5.7. ¿ Que hacer si la tabla de diferencias no converge a 0 ? _____________________ 5-12
5.8. Ventajas y desventajas del método de Newton _____________________________ 5-16
5.9. Tablas no equiespaciadas ______________________________________________ 5-16
5.10. Formula de Interpolación de Lagrange _________________________________ 5-17 5.10.1. Ejemplo del método de interpolación de Lagrange _______________________________ 5-17
5.11. Ventajas y desventajas del método de Lagrange__________________________ 5-20
5.12. Interpolación Inversa________________________________________________ 5-20
5.13. Oscilación _________________________________________________________ 5-21
5.14. Extrapolación ______________________________________________________ 5-21
5.15. Ejemplos prácticos __________________________________________________ 5-21 5.15.1. ¿ Cuántos lectores potenciales tenía Superman cuando se publico por primera vez ? ____ 5-22 5.15.2. ¿ Cuántos lectores tuvo Superman en su Boda ? _________________________________ 5-24 5.15.3. Determinación del volumen del H2O__________________________________________ 5-24
5.16. Resumen __________________________________________________________ 5-35
5.17. Índice Interpolación_________________________________________________ 5-38
5-38