UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

PRACTICA N° 3

EJERCICIOS

METODO DE LA BISECCION

Propietario:

HAMMERLY ALBERT MAMANI QUISPE

Licenciado:

BRAULIO GUTIERREZ PARI

Juliaca, ABRIL DEL 2015

1) PRACTICA 3

Ejercicio 0.1 Aisle por lo menos una raíz de las funciones dadas en el intervalo [0; 10] (intente aleatoriamente aplicar el teorema de Bolzano) y luego observe gráficamente

1.- f ( x )=√x−5e− x

Solución: debemos verificar el cambio de signo en el intervalo [i; j] de modo que f (i)f (j) <0

Analizando la tabla, vemos que f admite por lo menos una raíz en el intervalo[1; 2]. Para ver si esta raíz es única en ese intervalo, podemos analizar el signo dela derivada de f.

f ' ( x )= 12√x

+5e−x>0 ,∀ x>0

Vemos de f es estrictamente creciente en R+. Por lo tanto, podemos concluir que f admite una única raíz en el intervalo [1; 2].

Aislando gráficamente una raíz con ayuda de Matlab

x 0 1 2 3 4 … 10

f(x)

b) f ( x )=x 4−2 x

La función por intervalos

f ' ( x )=4 x3−2>0 , ∀ x>0La función es positiva en 1

Ejercicio 0.2 En Matlab haga un programa que aisle las raices de la función

f ( x )= ex3

2−sinx

Del intervalo [−10; 10] y que muestre gráficamente.

x 0 1 2 3 4 … 10

f(x)

1. Creamos la función siguiente

function y = f (x)y = 1/2 ∗ exp(x/3) − sen(x);

Programafunction Aisla_Raicesx = -10 :10;y = f(x);plot(x,y), gridaisla = [ ];for i = 1:length(x) - 1if y(i)*y(i + 1)<0, aisla=[aisla; x(i) x(i+1)];endenddisp(’Intervalos que contienen raices...’); disp(aisla)

Continúe...y verifique los ejemplos anteriores modificando el programa

Ejercicio 0.3 Aisle por lo menos una raíz de las funciones dadas en el intervalo [0; 10]

f (x) = ex− 2 – x

f (x) = cos(x) + 1 – x

f (x) = ln(x) − 5 + x

f (x) = x2 − 10x + 23

y = x − 3−x

y = 4 x2− ex

y =x3 − 2x2 − 4x + 3

y = (x−2)2− ln x

Ejercicio 0.4 Determine gráfica y analíticamente, la existencia y unicidad de la raíz, luego aisle la raíz en un itervalo [a, b]

1. f (x) = x − 2 + ln(x)

Analizando analíticamente la existencia de unicidad de raíz de la función.

f ' ( x )=1+ 1x>0 , ∀ x>0

Entonce se puede determinar que la funcionsolo tieneunaraiz yaque suderivadaes creciente

LABORATORIO NUMERO 41. Un ingeniero diseña un tanque esférico como en la figura adjunta, para almacenar agua para un poblado pequeño en un país en desarrollo. El volumen de líquido que puede contener se calcula con

V=πh2∗(3 R−h)

3

Donde V = volumen (m3), h = profundidad en el tanque (m) y R = radio del tanque (m)Si R = 3m. ¿A qué profundidad debe llenarse el tanque de modo que contenga 30m3? Resuelva con el método de la bisección en un intervalo de [1, 3] y con una precisión de 0,01

Sol.

f (h )=90π

−9h2+h3

2) METODO DE BISECCION

Ejercicio n° 1

Encuentre una raíz de una función f (x)=x^2-2=0 lo cual está en el intervalo de [1,2] y con una precisión ε=0.01 hacer 5 iteraciones manualmente usando el logaritmo de bisección.

>> Bisec_Tabla(1,2,0.01)

iter a b c f(a) f(c)

1 1.000000 2.000000 1.500000 -1.000000 0.250000

2 1.000000 1.500000 1.250000 -1.000000 -0.437500

3 1.250000 1.500000 1.375000 -0.437500 -0.109375

4 1.375000 1.500000 1.437500 -0.109375 0.066406

5 1.375000 1.437500 1.406250 -0.109375 -0.022461

6 1.406250 1.437500 1.421875 -0.022461 0.021729

7 1.406250 1.421875 1.414063 -0.022461 -0.000427

ans =

1.4141

Ejercicio n°2

En algún lenguaje de programación de su preferencia implemente el logaritmo de bisección function [c,iter] = Bisec_Tabla(a,b,e)iter=1;

fprintf(' ==========================================================\n')

fprintf(' iter a b c f(a) f(c) \n')

fprintf(' ==========================================================\n')

while abs(b-a) > e &iter<1000

c=(a+b)/2;

fprintf('%5d %10.6f %10.6f %10.6f %10.6f %10.6f \n', iter,a,b,c,f(a),f(c));

if f(a)*f(c) > 0

a=c;else b=c;enditer=iter+1;end;

Ejercicio n° 3

encuentre una raíz de la función f(x)= x^3+4x^2-10=0 .lo cual está en el intervalo [1,2] y con una precisión de ε=0.02 usando el algoritmo de la bisección.

Bisec_Tabla(1,2,0.02)

iter a b c f(a) f(c)

1 1.000000 2.000000 1.500000 -5.000000 2.375000

2 1.000000 1.500000 1.250000 -5.000000 -1.796875

3 1.250000 1.500000 1.375000 -1.796875 0.162109

4 1.250000 1.375000 1.312500 -1.796875 -0.848389

5 1.312500 1.375000 1.343750 -0.848389 -0.350983

6 1.343750 1.375000 1.359375 -0.350983 -0.096409

ans =

1.3594

Ejercicio n°4 encuentre una raíz de la función f(x)=-6*x^3+x-6=0 la cual esta en el intervalo [-2,-1] y con una presión ε=0.02 usando el algoritmo de la bisecicion.

>>Bisec_Tabla(-2,-1,0.02)

iter a b c f(a) f(c)

1 -2.000000 -1.000000 -1.500000 40.000000 12.750000

2 -1.500000 -1.000000 -1.250000 12.750000 4.468750

3 -1.250000 -1.000000 -1.125000 4.468750 1.417969

4 -1.125000 -1.000000 -1.062500 1.417969 0.134277

5 -1.062500 -1.000000 -1.031250 0.134277 -0.450989

6 -1.062500 -1.031250 -1.046875 0.134277 -0.162956

ans =

-1.0469