Derivación

La derivada de una función en un punto, representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto.

La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio). Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.

El cálculo de derivadas se puede afrontar desde dos puntos:

a)De una función

b)De datos discretos

Fórmula de Taylor

La seríe de Taylor, tiene un gran valor para el estudio de los métodos numéricos. En esencia, la serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otros puntos.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN:

x

ii

m

i

b

i

y

i xxxf

xfxf 111 )(

!1

)(')()(

El primer término de la serie es y se le conoce como aproximación de orden cero.

)()( 1 ii xfxf

Si la función no cambia da una estimación casi perfecta ≈ cte.

Si la función cambia se requiere términos adicionales.

La aproximación de 1er orden se tiene sumando otro término al anterior.

21

111 )(

!2)("

)(!1

)(')()( ii

iii

iii xx

xfxx

xfxfxf

xixi+1

f(xi+1)=f(xi)

f(xi+1) f(xi) + f’(xi)/1! (xi+1 - xi)1

h

f(xi)

x

orden cero

1er. orden

2do orden

entonces se le agrega un término de segundo orden para obtener una curvatura y tener una mejor aproximación

nn

iii

n

iii

iii

iii

ii

Rxxnxf

xxxf

xxxf

xxxf

xfxf

)(!

)(.......)(

!3)('''

)(!2

)(")(

!1)('

)()(

13

1

21

111

Entonces la Serie de Taylor queda de la siguiente manera:

de igual manera se puede agregar términos adicionales para desarrollar la expansión completa de la serie de Taylor.

nn

iii

n

iii

iii

iii

ii

Rxxnxf

xxxf

xxxf

xxxf

xfxf

)(!

)(.......)(

!3)('''

)(!2

)(")(

!1)('

)()(

13

1

21

111

Truncando la serie después del término con la 1ª deriv:

111 )(

!1)('

)()( iii

ii xxxf

xfxf

iiii xxhhxx 11

APROXIMACION A LA PRIMERA DERIVADA CON DIFERENCIAS HACIA ADELANTE.

Se le llama diferencia " hacia adelante " ya que usa los datos (i) e (i+1) para estimar la derivada

1

11 )(!1

)(')()( ii

iii xx

xfxfxf

ii xxhcomo 1

hxf

xfhxf iii !1

)(')()(

Despejando )(' ixf

h

xfhxfxf iii

)()()('

nn

iii

n

iii

iii

iii

ii

Rxxnxf

xxxf

xxxf

xxxf

xfxf

)(!

)(.......)(

!3)('''

)(!2

)(")(

!1)('

)()(

13

1

21

111

Truncando la serie después del término con la 1ª deriv:

111 )(

!1)('

)()( iii

ii xxxf

xfxf

iiii xxhxhx 11

APROXIMACION A LA PRIMERA DERIVADA CON DIFERENCIAS HACIA ATRÁS

La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior sobre el valor actual, dada por:

)(!1

)(')()( h

xfxfhxf iii

Despejando )(' ixf

h

hxfxfxf iii

)()()('

1

11 )(!1

)(')()( ii

iii xx

xfxfxf ii xxhcomo 1

APROXIMACIONES A LA PRIMER DERIVADA CON DIFERENCIAS CENTRALES

Una tercera forma de aproximar la primer derivada es restar las dos ecuaciones anteriormente deducida:

hxf

xfhxf iii !1

)(')()(

)(!1

)(')()( h

xfxfhxf iii

hhxfhxf

xf

xfhhxfhxf

hxf

hxf

xfxfhxfhxf

iii

iii

iiiiii

2)()(

)('

!1)('

)2()()(

)(!1

)('!1

)(')()()()(

--

Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información práctica de que la diferencia central es la representación mas exacta de la derivada

h

hxfhxfxf iii 2

)()()('

APROXIMACIONES A DERIVADAS DE ORDEN MAS ALTO USANDO DIFERENCIAS FINITAS.

Para hacerlo, se escribe una expansión en la serie de Taylor hacia adelante para en términos de : )( 2ixf )( ixf

22

122 )(

!2)("

)(!1

)(')()( ii

iii

iii xx

xfxx

xfxfxf

La ecuación anterior se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación : )( 1ixf

hxxcomo ii 22

21 )2(!2

)(")2(

!1

)(')()2( ii

iii

iii xhx

xfxhx

xfxfhxf

21 )2(!2

)(")2(

!1)('

)()2( hxf

hxf

xfhxf iiii

21 )2(!2

)(")2(

!1)('

)()2( hxf

hxf

xfhxf iiii

Ahora multiplicando por 2

21

111 )(

!2)("

)(!1

)(')()( ii

iii

iii xx

xfxx

xfxfxf

Aplicando la serie de Taylor hasta la 2º derivada

21 )(!2

)(")(

!1)('

)()( hxf

hxf

xfhxf iiii

ii xxhcomo 1

21 )(!2

)("2)(

!1)('

2)(2)(2 hxf

hxf

xfhxf iiii

Restando

21 )(!2

)("2)(

!1)('

2)(2)(2 hxf

hxf

xfhxf iiii

21 )2(!2

)(")2(

!1)('

)()2( hxf

hxf

xfhxf iiii

--

221 )(!2

)("2)2(

!2)("

)(!1

)('2)2(

!1)('

)(2)()(2)2(

hxf

hxf

hxf

hxf

xfxfhxfhxf

iiii

iiii

2)(")()(2)2( hxfxfhxfhxf iiii

Simplificar

2

)()(2)2()("

h

xfhxfhxfxf iiii

Se pueden usar procedimientos similares para obtener la versión de derivada hacia atrás

2

)2()(2)()("

h

hxfhxfxfxf iiii

Y la versión central

2

)()(2)()("

h

hxfxfhxfxf iiii

Las aproximaciones a tercer orden de las diferencias divididas hacia adelante, hacia atrás y centrales también pueden obtenerse ( véase en fórmulas mas adelante ). En todos los casos, las diferencias centradas dan una mejor aproximación.

FORMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA ADELANTE

FORMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA ATRÁS

FORMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS CENTRALES

Ejemplo: Úsense aproximaciones de diferencias finitas hacia adelante y hacia atrás de y centradas, para estimar la primera derivada de:

en x=0.5 usando un tamaño de paso h=0.5. Repetir los cálculos usando h=0.25. Nótese que la derivada se puede calcular directamente como:

y se puede usar para calcular el valor exacto de f‘(0.5)=-0.9125.

SOLUCIÓN.

Para h=0.5, se puede usar la función para determinar:

Diferencia dividida hacia adelante

h

xfhxfxf iii

)()()('

45.1)5.0('5.0

925.02.0)5.0(' ff

Diferencia dividida Centrales

hhxfhxf

xf iii 2

)()()('

1)('5.0*22.12.0

)(' ii xfxf

Diferencia dividida hacia atrás

55.0)5.0('5.0

2.1925.0)5.0(' ff

h

hxfxfxf iii

)()()('

Para h=0.25, los datos son:

diferencia dividida hacia adelante:

diferencia dividida hacia atrás:

diferencia dividida central:

DERIVADA PARA DATOS DISCRETOS

Si se conocen los valores funcionales de dichos datos discretos, la función se puede expresar de una forma aproximada por medio de una interpolación polinomial. Por lo que, al diferenciar dicho polinomio, se pueden evaluar sus derivadas.

Para la evaluación de derivadas se va a ulilizar diferencias finitas (visto en el anterior Capítulo-Interpolación), en el cual se harán uso de fórmula de diferencias progresivas, regresiva y central para la derivación.

APLICANDO TABLAS - PROGRESIVO

APLICANDO TABLAS - REGRESIVO

APLICANDO TABLAS - CENTRAL

n

yyyy

hDy o

nnoo

oo

132 1..............

32

1

n

yyyy

hDy

n00

30

2

00 ...............32

1

1221

52

32

)!12(

)!1()1(..

!5

)!2(

!3

)!1(1 n

o

n

oooo Yn

nYYY

hDY

..............................

12

111 322

2o

nooo yyy

hyD

..........................

12

11100

30

22

2 yyyh

yD no

.................................

90

1

12

11 642

22

oooo YYYh

yD

SEGUNDA DERIVACIÓN – PROGRESIVO

SEGUNDA DERIVACIÓN – REGRESIVO

SEGUNDA DERIVACIÓN – CENTRAL

DERIVADAS DE SEGUNDO GRADO