Metodos Matematicos. Tarea 1

Nombre: Rafael Mora Vazquez Fecha: 18/02/2015

1. Ejercicio 1

Resolver la ED de primer orden

du (x)

dx=u (x)− 4x

x− u (x). (1)

Dibuja un campo direccional y algunas curvas integrales.

Solucion: Introducimos una nueva variable dependiente dada por

y =u(x)

x, (2)

de modo que

u(x) = xy ⇒ du

dx= y + x

dy

dx. (3)

Al sustituir este cambio de variable en la expresion (1) se obtiene

y + xdy

dx=y − 4

1− y,

la cual se puede arreglar de la siguiente forma

dx

x=

1− yy2 − 4

dy ⇒∫dx

x=

∫1− y

(y + 2)(y − 2)dy. (4)

La integral del miembro derecho se resuelve por fracciones parciales, por lo cual se propone la siguienteforma

∫ (A

y + 2+

B

y − 2

)dy, (5)

al desarrollar por el metodo de fracciones parciales surge el siguiente sistema de dos ecuaciones con dosincognitas

A+B = −1 (6)

−2A+ 2B = 1, (7)

cuya solucion es

A = −3

4y B = −1

4. (8)

Al sustituir estas expresiones en (5) e igualando con la ec. (4) se obtiene∫dx

x= −3

4

∫dy

y + 2− 1

4

∫dy

y − 2. (9)

1

Figura 1: Campo direccional de la ec. (1)

Al integrar en ambos miembros se llega a lo siguiente

ln

∣∣∣∣ C

((y + 2)3(y − 2))1/4

∣∣∣∣ = ln |x|, (10)

donde C es una constante de integracion. Al aplicar la exponencial en ambos miembros de la ecuacion,sustituyendo la forma explıcita de y dada en (2) y aplicando un poco de algebra se llega a

C = |u+ 2x|3|u− 2x| (11)

El campo direccional viene dado por la Figura 1.

2. Ejercicio 2

Encuentre el wronskiano de dos soluciones de la ED dada sin resolver la ecuacion

a)

x2d2u (x)

dx2+ x

du (x)

dx+(x2 + v2

)u (x) = 0.

b) (1− x2

) d2u (x)

dx2− 2x

du (x)

dx+ α (1 + α)u (x) = 0.

¿Reconoces estas ecuaciones?

Solucion: Expresamos la primera ecuacion de la forma estandar

d2u (x)

dx2+

1

x

du (x)

dx+

1

x2(x2 + v2

)u (x) = 0. (12)

Al usar la formula de Liouville vista en clase dada por

W (u1, u2) = C exp

(−∫ x

x0

p(x′)dx′), (13)

2

donde C es una constante. Ahora identificamos de la ec. (12) el siguiente termino

p(x′) =1

x′.

De modo que al usar la formula de Liouville obtenemos

W1 (u1, u2) = C exp

(−∫ x

x0

dx′

x′

),

la cual resulta

W1 (u1, u2) =Cx0x

(14)

Ahora expresamos la segunda ecuacion de forma estandar, esto es

d2u (x)

dx2−(

2x

1− x2

)du (x)

dx+

α

(1− x2)(1 + α)u (x) = 0, (15)

donde identificamos el termino

p(x′) =2x′

1− x′2.

De modo que al usar la formula de Liouville, el wronskiano para dos soluciones de esta segunda ED resulta

W2 (u1, u2) = C exp

(−∫ x

x0

2x′

1− x′2dx′),

al resolver la integral se obtiene lo siguiente

W2 (u1, u2) = C

(1− x201− x2

)(16)

3. Ejercicio 3

Muestre que si p (x) es diferenciable y mayor que cero entonces el wronskiano de dos soluciones de ddx

(p (x) du(u)

dx

)+

q (x)u (x) = 0 es W (x) = constp(x) .

Solucion: Al actuar la derivada en la ED se llega a lo siguiente

p(x)u′′(x) + p′(x)u′(x) + q(x)u(x) = 0.

Ahora expresamos esta ecuacion en su forma estandar

u′′(x) +p′(x)

p(x)u′(x) +

q(x)

p(x)u(x) = 0, (17)

donde identificamos el termino P (x′) = p′(x)p(x) , de modo que al usar la formula de Liouville se obtiene

W (x) = C ′ exp

(−∫ x

x0

p′(x)

p(x)dx

), (18)

3

la cual, despues de integrar resulta

W (x) =C

p(x)(19)

donde se ha definido C = C ′p(x0).

4. Ejercicio 4

Encuentre una solucion particular de las siguiente EDs.

a)d2u (x)

dx2+ 2

du (x)

dx+ u (x) = 3e−x. (20)

b) 4d2u (x)

dx2− 4

du (x)

dx+ u (x) = 16ex/2. (21)

Solucion a): Una ED de segundo orden es de la forma

d2u (x)

dx2+ p(x)

du (x)

dx+ q(x)u (x) = g(x). (22)

Una solucion particular (SP) a esta ED viene dada por

up (x) = u2 (x)

∫u1 (x) g (x)

W (u1, u2) (x)dx− u1 (x)

∫u2 (x) g (x)

W (u1, u2) (x)dx, (23)

donde u1(x) y u2(x) son un conjunto fundamental de soluciones (CFS) que se obtienen resolviendo la ecua-cion homogenea de (22). Para resolver esta ED de segundo orden hay que seguir los siguientes pasos

1) Encontrar el CFS al resolver la ED homogenea asociada.

2) A partir de este CFS, calcular el wronskiano.

3) Sustituir el CFS y el wronskiano de estas en la expresion (23).

La ecuacion caracterıstica para (20) es

r2 + 2r + 1 = 0 ⇒ (r + 1)2 = 0.

Por lo que tenemos el caso de raıces repetidas r1 = r2 = −1, entonces un CFS es

u1(x) = e−x, (24)

u2(x) = xe−x. (25)

4

Las derivadas de este CFS resultan

du1dx

= −e−x, (26)

du2dx

= e−x(1− x). (27)

Ahora calculamos el wronskiano dado por

W (u1, u2) (x) = u1du2dx− u2

du1dx

(28)

= e−2x(1− x) + xe−2x

= e−2x.

De modo que al sustituir el CFS y el wronskiano en (23), la SP viene dada por

up (x) = xe−x∫

(e−x)(3e−x)

e−2xdx− e−x

∫(xe−x)(3e−x)

e−2xdx (29)

= 3xe−x∫dx− 3e−x

∫xdx

= 3x2e−x − 3x2e−x

2

Finalmente la SP para esta ED resulta

up (x) =3x2e−x

2.

Similarmente para el b) debemos encontrar un CFS al resolver la ED homogenea. La ecuacion caracterısticapara esta ED es

r2 − r +1

4= 0 ⇒ (r − 1

2)2 = 0. (30)

De donde se obtienen dos raıces repetidas r1 = r2 = 12 y por tanto un CFS viene dado por

u1(x) = ex/2, (31)

u2(x) = xex/2. (32)

Y las derivadas de este CFS

du1dx

=1

2ex/2, (33)

du2dx

= ex/2(1 +1

2x). (34)

Ahora el wronskiano de este CFS resulta

5

W (u1, u2) (x) = u1du2dx− u2

du1dx

(35)

= ex(1 +1

2x)− 1

2xex

= ex.

De modo que al tomar la ec. (23) y sustituyendo el CFS y el wronskiano, la SP resulta

up (x) = xex/2∫

(ex/2)(4ex/2)

exdx− ex/2

∫(xex/2)(4ex/2)

exdx (36)

= 4xex/2∫dx− 4ex/2

∫xdx

= 4x2ex/2 − 4x2ex/2

2

Lo cual resulta

up (x) = 2x2ex/2.

5. Ejercicio 5

Considere la ED

x2d2u (x)

dx2− 3x

du (x)

dx+ 4u (x) = x2lnx x > 0. (37)

a) Obtenga las funciones u1 y u2 que satisfacen la ED homogenea correspondiente.

Para obtener el CFS correspondiente a la ecuacion homogenea se propone una solucion de la forma

u(x) = Axn ⇒ du

dx= Anxn−1 ⇒ d2u

dx2= An(n− 1)xn−2. (38)

De modo que al sustituir estas expresiones en la ED se obtiene lo siguiente

n(n− 1)− 3n+ 4 = 0 ⇒ (n− 2)2 = 0. (39)

Ası, vemos que hay dos raıces repetidas n1 = n2 = 2, por lo tanto un CFS viene dado por

u1(x) = x2 y u2(x) = x2 lnx (40)

b) Encuentre una solucion particular de la ED inhomogenea.

Solucion: Como ya obtuvimos el CFS para esta ED, basta con calcular el wronskiano. Primero calculemoslas derivadas de este CFS, las cuales resultan

6

du1dx

= 2x, (41)

du2dx

= x+ 2x lnx. (42)

Por lo tanto el wronskiano viene dado como

W (u1, u2) (x) = u1du2dx− u2

du1dx

(43)

= x3lnx+ x3 − 2x3lnx

= x3.

De modo que al sustituir el CFS y el wronskiano en (23) se obtiene

up (x) = x2 lnx

∫(x2)(ln2 x)

x3dx− x2

∫(x2)(ln2 x)

x3dx (44)

= x2 lnx

∫lnx

xdx− x2

∫ln2 x

xdx.

Haciendo el cambio de variable

v = lnx ⇒ dv =dx

x. (45)

Al sustituir este cambio de variable en (45) se llega a

up (x) = x2 lnx

∫vdv − x2

∫v2dv (46)

= x2 lnx

(v2

2

)− x2

(v3

3

)= x2 lnx

(ln2 x

2

)− x2

(ln3 x

3

)=

3

6x2 ln3 x− 2

6x2 ln3

Por lo tanto la SP resulta

up =1

6x2 ln3 x

Referencias

[1] Philippe Dennery and Andre Krzywicki, Mathematics for physicists, Dover Publications Inc., MineolaNY (1995)).

[2] William E. Boyce, Richard C. Diprima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Pro-blems, John Wiley and sons, Inc. NY (2001)

7