Métodos Directos para la resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
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IndiceIndice
Aplicaciones de los Sistemas Lineales
Método de eliminación de Gauss
Limitaciones de los Métodos Directos
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AplicacionesAplicaciones
Una red eléctrica Leyes de Kirchhoff y Ohm Formulación algebraica
Una red de calles Grafo dirigido Matriz de incidencia Formulación algebraica Expresión matricial
La ecuación del calor
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Una red eléctrica Una red eléctrica
R1
R3
R4
R1
R2
R4
R1
R2
R4
R1
R2
R4
V I4I3I2I1
a b
cd
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Leyes de Kirchhoff y Ohm
Ley de los nudos Ibc = I1 I2
Ley de las mallas Vab + Vbc + Vcd = V
Ley de Ohm Vbc = R2 ( I1 I2 )
Formulación algebraicaMalla 1R1 I1 + R2 ( I1 I2 ) + R4 I1 = V
Sistema de ecuaciones
( R1 + R2 + R4 ) I1 R2 I2 = V
R2 I1 + ( R1 + 2R2 + R4 ) I2 R2 I3 = 0
R2 I2 + ( R1 + 2R2 + R4 ) I3 R2 I4 = 0
R2 I3 + ( R1 + R2 + R3 + R4 ) I4 = 0
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Una red de callesUna red de calles
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Grafo dirigidoGrafo dirigido
300 200 100
350 600 400
400
450
600
500x1 x2
x3 x4
x6 x7
x5
A
D
B
E
C
F
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Formulación algebraicaFormulación algebraica
x x
x x x
x x
x x
x x x
x x
1 3
1 2 4
2 5
3 6
4 6 7
5 7
800
200
500
750
600
50
Sistema de ecuaciones lineales Forma matricial
1 0 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 1 1
0 0 0 0 1 0 1
800
200
500
750
600
50
1
2
3
4
5
6
7
x
x
x
x
x
x
x
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Matriz de incidenciaMatriz de incidencia
C a l l e
1 2 3 4 5 6 7
C A 1 0 1 0 0 0 0
r B -1 1 0 -1 0 0 0
u C 0 -1 0 0 1 0 0
c D 0 0 -1 0 0 -1 0
e E 0 0 0 1 0 1 -1
F 0 0 0 0 -1 0 1
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Ecuación del CalorEcuación del Calor
Modelo matemático
Matriz asociada
)/2T(TT
)/2T(TT
)/2T(TT
)/2T(TT
1+n1-nn
423
312
201
21-
1-
21-
1-21-
1-2
T0 T1 T2 . . . Tn Tn+1
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Resolución de Sistemas Lineales por Métodos
directos
Resolución de Sistemas Lineales por Métodos
directos
Teorema de Rouché-Frobenius Operaciones elementales Triangularización Sustitución regresiva Factorización LU
Resolución de múltiples sistemas con la misma matriz
Inversa por el método de Jordan-Gauss
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Teorema de Rouché-Frobenius
Teorema de Rouché-Frobenius
El sistema Amnx = b es compatible si y sólo si
rank(A) = rank(A|b)
Un sistema compatible es determinado siirank(A) = n
Un sistema compatible indeterminado tiene
n - rank(A) variables libres
Solución xc = xp + null(A)
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Operaciones elementalesOperaciones elementales
Eliminar fila i tomando la fila k como pivote lik = aik / akk , aij = aij lik * akj
A(i,:) = A(i,:) - L(i,k)*A(k,:);
Escalar fila i dividiéndola por el pivote aii
aij = aij / aii
A(i,:) = A(i,:)/A(i,i);
Permutar las filas i y j aij aji A([i,j],:) = A([j,i],:);
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Fases de la eliminaciónFases de la eliminaciónEliminación gaussiana
Ax=b
TriangularizaciónArchivo triangul.m
Ux=c
Sustitución regresivaArchivo regresiv.m
x=A-1b
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Factorización LUFactorización LU
Sistema original
Ax = b LUx = b
Sistemas triangulares
Ly = bUx = y
>> [L,U] = lu(a) >> [L,U,P] = lu(a) Resolución de múltiples sistemas con la misma matriz. Inversa por el método de Jordan-Gauss
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Limitaciones de los Métodos Directos
Acumulación del error de redondeoCoste de la eliminación: O(n3)
Sensibilidad al error de redondeoSistemas mal o bien condicionadosNúmero de condición
Estrategia de Pivotación Parcial Llenado de la matriz.
Matrices dispersas
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Sensibilidad al error de redondeo
Sensibilidad al error de redondeo
Sistema mal condicionado : un pequeño cambio la matriz causa un gran
cambio en la solución.
Sistema bien condicionado : pequeños cambios en la matriz causan
pequeños cambios en la solución.
Condicionamiento de una matriz
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Número de condición de una matriz
Número de condición de una matriz
cond mide el mal condicionamiento cond(eye(n))=1 cond(matsingular) = inf
rcond mide el buen condicionamiento rcond(eye(n))=1rcond(matsingular) = 0
malcon1\ti1, malcon2\ti1
rcond y det
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Pivotación parcialPivotación parcial
Un algoritmo deficiente puede arruinar un sistema bien condicionadoMatriz dosb
Estrategia: Elegir como pivote el elemento de mayor valor absoluto del resto de la columnaArchivo pivparc.mArchivo resolver.m
El operador \ para resolver Ax = b
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ConclusiónConclusión
Los métodos directos son apropiados para matrices generales de tamaño moderado
Es preciso aplicar una estrategia de pivotación para evitar que el error de redondeo crezca.
Algunos sistemas son muy sensibles a estos errores: mal condicionados.
Los sistemas dispersos o estructurados merecen un tratamiento especial.