Métodos de Integración
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La Integral
Conceptos y propiedades
En la misma forma en que hay funciones inversas tambin existen operacionesinversas. Por ejemplo en matemticas la sustraccin es la inversa de la adicin, y ladivisin es la inversa de la multiplicacin.. As el proceso inverso de la diferenciacin es laintegracin
La la vamos a definir como el proceso inverso de la diferenciacin.integracinEn otras palabras, si tenemos la derivada de una funcin, el objetivo es: "Determinar quefuncin ha sido diferenciada para llegar a esa derivada". Por lo que el proceso deintegracin radica en la comprensin del proceso de la diferenciacin.
Supongamos que dado un funcin , deseamos obtener su derivada, por lo que procedemos del siguiente modo:
dado
f(x)
Funcin OrigenFuncin Primitiva
Funcin Inicial
f '(x)
Obtiene
ddx f x Funcin Derivada
1
Ahora si nuestro problema es el inverso, es decir, dado una funcin derivada de una cierta funcin, encontrar dicha funcin. El objetivo es determinar la funcin , la cual fue derivada (diferenciada).
-
Nota: A esta funcin , la vamos a llamar la funcin origen, funcin primitiva o la funcin inicial.
La idea grfica es:
f(x)
Funcin DerivadaFuncin Primitiva
Funcin Inicial
f '(x)
Dado
f x dx f x'
Obtener
Funcin Derivada
Aplicando elOperador Antiderivada
As por ejemplo: Dado:
Aplicando el operador antiderivada , donde
Aplicando el operador antiderivada , donde
Aplicando el operador antiderivada ,
donde
Intuitivamente podemos pensar que dado una funcin derivada , podemos aplicar un proceso inverso a la derivada o mejor dicho el operador antiderivada paraencontrar la funcin origen o primitiva que fue diferenciada.
-
Por lo tanto, podemos decir que:
f(x)
F uncin D erivadaFuncin Prim itiva
F uncin In icia l
f'(x)
f x dx f x'
F uncin D erivada
A plicando el O peradorAntiderivada(INTE G R AL)
A plicando el O peradorD E RIV AD A
ddx f x
Matemticamente hablando diremos. Sea:
Utilizando la interpretacin de infinitesimal podemos escribir lo anterior como:
Definiendo la operacin de ahora en adelante como , con elantiderivada Integral
smbolo "operador integral" y aplicndolo a nuestra expresin anterior tenemos:
Donde:
Luego la funcin primitiva u origen se puede determinar como:
; "la integral de la derivada es la funcin origen"
A esta expresin se le conoce como la INTEGRAL INDEFINIDA. Debemos notar lo siguiente:
-
f x x3
3
Funcin DerivadaFuncin Primitiva
Funcin Inicial
f x x 2
f x dx f x'
Funcin Derivada
Aplicando el OperadorAntiderivada(INTEGRAL)
Operador DERIVADA
ddx
x x3
2
3
ddx
x x
ddx
x x
ddx
x C x
32
32
32
31
32
3
Conclusin:
- Una funcin derivable tiene una nica funcin derivada el reciproco tiene infinitassoluciones. - La derivada de una funcin tiene una familia de funciones primitivas. -Todas las funciones que difieren entre si por una constante tienen la mismaderivada.
Definicin:
Si es una funcin primitiva de . La expresin define a la integral indefinida y representa todas las funciones primitivas que fueron diferenciadas ydan como resultado a (nica derivada). La cual se escribe como:
; donde es la constante de integracin (puede ser positiva o
negativa)
A esta expresin, que representa el proceso inverso de derivar, se le llama IntegralIndefinida de .
-
Observacin:
(1) La constante de integracin surge del hecho de que cualquier funcin de laforma tiene derivada
(2) La constante de integracin se determinar por las condiciones especificas decada problema particular.
(3) A la cantidad se llama integral indefinida, el nombre sugiere que no se puede asignar valor particular para la integral hasta que no se determine y se asignaun valor a .
(4) La integral indefinida aun cuando se halla determinado , es una funcin dealguna variable y entonces permanece indefinida.
En general decimos que toda funcin tiene un numero infinito de antiderivadas, yaque a cada Antiderivada se le puede agregar una constante de magnitud arbitraria paraobtener otra Antiderivada.
Mtodos de Integracin
Regla de Integracin.
La obtencin de las reglas para integrar formas comunes consiste en determinar lafuncin cuya derivada es una de las formas normales.
Para facilitar el trabajo damos una lista de referencia de Integrales Inmediatasque deben ser memorizadas. Pero antes veremos algunas propiedades bsicas de laintegracin.
Propiedades:
1.La integral de una Sea la funcin Constante:
-
2.La integral de una y una . Sea la funcin funcin constante
3.Sea
Integrales Inmediatas
Formas comunes: Sean las siguientes integrales donde es una constante deintegracin.
1.
2.
3. ; con
4.
5.
6.
Para funciones trigonomtricas
7. 8.
9. 10.
11. 12.
-
13.
14. 15.
16.
17. 18.
Para funciones trigonomtricas inversas
19. 20.
Otras integrales
21.
22.
23.
24.
Ejemplos resueltos de integracin aplicando las reglas bsicas de integracin.
1.
-
2.
3.
4.
Ejemplos propuestos.
1.
2.
3.
4.
5.
Solucin
1.
2.
-
3.
4.
5.
MTODOS DE INTEGRACIN
Integracin Por Cambio De Variables (Integracin por sustitucin)
Definicin:
Este mtodo consiste en transformar una integral dada en una integral inmediata.Para ello se utiliza una variable auxiliar y su correspondiente derivada.
Cundo se utiliza?
Sea una funcin, la cual no puede ser integrada directamente debido a su complejidad, es decir, no puede ser descompuesta en varias funciones para ser integradasen forma directa.
Para resolver este problema se utiliza una y la funcin cambia devariable auxiliarvariable, para posteriormente ser integrada en forma directa.
dxxx
22 Cambio de Variable:Sea
xdxduxu 222
Por lo tanto: , redefiniendo la integral en trminos de la nueva variable
tenemos:
-
Ejemplos resueltos: Integracin por cambio de variables
Caso de la funcin exponencial:
1. Donde:
Para la variable inicial
2.
Sea: Entonces
Para la variable inicial
Nota: Cada vez que aparezca una funcin exponencial como en los casosanteriores, el candidato a variable auxiliar es el exponente
-
3.
Sea:
Para la variable inicial
Caso del logaritmo natural:
1.
Donde
Para la variable inicial
2.
Donde:
-
Para la variable inicial
Nota: en el caso del logaritmo natural la variable auxiliar ser el
denominador siempre que se cumpla con la condicin
Caso de funciones trigonomtricas con argumento:
1.
Sea:
Para la variable inicial
2.
Sea:
Entonces:
-
Para la variable inicial
Nota: en las funciones trigonomtricas el candidato a variable auxiliar es elngulo siempre que su derivada sea consistente con los otros trminos.
Caso de la regla de la cadena:
1.
Sea:
Entonces:
Para la variable inicial
2.
Donde: / Factorizando por
-
Para la variable inicial
Integracin Por Partes.
Cundo se usa?
Cuando una funcin que no puede ser integrada por cambio de variables, la podemos resolver por partes a travs de otra integra. Antes veremos una frmulafundamental para este tipo de integracin.
La regla para determinar la derivada del producto de dos funciones y es:
Reordenando los trminos:
Aplicando el operador integral:
Tenemos:
Esta es la frmula fundamental para la integracin por parte. Esta frmula sugiere
el hecho de que cuando deseamos calcular la integral del tipo , podr realizarse en
funcin de una integral diferente del tipo: .
Definicin:
-
Sea una funcin que no puede ser integrada por cambio de variable. Para integrar esta funcin se puede utilizar la siguiente formula:
Ejemplo aclaratorio:
La formula es
Primero se debe elegir u y dv.
La idea es dejar en la integral la ms directo o
menos complicado que la integral original
dxduxu
vduuvudv
vdu
integralesde formulario ver xdxvxvxdxdv sencossen
xxdx sen
Aplicando la frmula de integracin por partes:
Por frmula tenemos:
vduuvudv
dxxxxxxdx )cos(cossen
cxxx
xdxxcox
sencos
cos
Cxxdx sencos
-
Algunos de los casos ms usuales son
a) En la integral aparece un factor que no tiene integral inmediata, slo se conocede l su derivada. Para resolverla se asigna a este factor y a lo restante
Ejemplos
2
b) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata o porsustitucin simple y uno de ellos es una potencia de . Para esta situacin es la potencia y lo restante.
Ejemplos
-
c) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata o porsustitucin simple, pero ninguno de ellos es una potencia de . Para este caso la eleccinde es arbitraria, pero debe conservarse la caracterstica de la funcin elegida para en todas las integrales que deban desarrollarse por parte en el ejercicio.
Ejemplos
-
Se resolver primero considerando
Se resolver ahora considerando
-
Este ejemplo muestra que la eleccin de es absolutamente arbitraria.
-
Resumen De Algunas Integrales Por Partes Comunes.
Si las integrales a resolver son del tipo:
Si la integral , es: