Métodos de Análisis Ingenieril Raíces de Ecuaciones M.C. Fco. Javier de la Garza S. Cuerpo...
-
Upload
estavan-bustamante -
Category
Documents
-
view
222 -
download
0
Transcript of Métodos de Análisis Ingenieril Raíces de Ecuaciones M.C. Fco. Javier de la Garza S. Cuerpo...
SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
Métodos de AnálisisIngenieril
Raíces de EcuacionesM.C. Fco. Javier de la Garza S.
Cuerpo Académico Sistemas Integrados de Manufactura
Gama.fime.uanl.mx/[email protected]
SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
... 2, 1,k ,dados )(
)(0)(
1
okk xxgx
xxgxf
• Los métodos de intervalo son convergentes.
• Los métodos de punto fijo pueden divergir, dependiendo del punto inicial y del comportamiento de la función.
• Reescribir la función para que x esté en el lado izquierdo de la ecuación:
Iteración Simple de Punto Fijo
SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
xxg
ó
xxg
ó
xxg
xxxxf
21)(
2)(
2)(
02)(2
2
Ejemplo
SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
Convergencia
• La función x=g(x) puede ser expresada como un par de ecuaciones:
y1=x
y2=g(x)
• Graficar por separado
SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
Conclusión
• La iteración de punto fijo converge si:
xf(x) línea la de pendiente 1)( xg
• Cuando el método converge, el error es casi proporcional y menor al del paso anterior, por ello se le conoce como linealmente convergente.
SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
Método de Newton-Raphson
• Método más ampliamente usado.• Basado en la serie de Taylor.
)(
)(
)(0
:doReacomodan
0)f(x cuando xde valor el es raíz La!2
)()()()(
1
1
1i1i
32
1
i
iii
iiii
iiii
xf
xfxx
xx)(xf)f(x
xOx
xfxxfxfxf
Fórmula Newton-Raphson
Resolver para
SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
• Un método conveniente para funciones cuya derivada puede evaluarse analíticamente.
SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
• Algunos casos donde el método de Newton-Raphson tiene una convergencia lenta.
SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
El Método de la Secante
• Una variación del método NR para funciones cuya derivada sea difícil de evaluar. En estos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia dividida finita regresiva.
,3,2,1)()(
)(
)()()(
1
1
11
1
1
ixfxf
xxxfxx
xfxf
xx
xf
ii
iiiii
ii
ii
i
SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
• Requiere de dos puntos iniciales de x. Sin embargo, debido a que no se requiere que f(x) cambie de signo entre estos valores, este método no se clasifica como de intervalo.
• El método de la secante tiene las mismas propiedades que el método NR. La convergencia no esta garantizada para todo xo, f(x).
SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
• La raíz de polinomios del tipo
nnon xaxaxaaxf 2
21)(
Siguen las siguientes reglas:
1. Para una ecuación de orden n, hay n raíces reales o complejas.
2. Si n es impar, hay al menos una raíz real.
3. Si las raíces complejas existen, existe un par conjugado (esto es, +i y -i), donde i=raíz(-1).
Raíces de Polinomios
SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
Métodos Convencionales
• La eficacia de los métodos de intervalos y abiertos depende de que el problema a resolver involucre raíces complejas. Si sólo existen raíces reales, cualquiera de los métodos anteriores puede utilizarse.
• Sin embargo,– Encontrar buenos valores iniciales puede ser
complicado y los métodos abiertos pueden divergir.
• Se han desarrollado métodos especiales para encontrar las raíces reales y complejas de polinomios: Los métodos de Müller y el de Bairstow.
SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
Método de Müller• El método de Müller obtiene el estimado de
una raíz proyectando una parábola hacia el eje x a través de tres valores de la función.
SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
Método de Müller
cxxbxxaxf )()()( 22
22
• El método consiste en obtener los coeficientes de tres puntos de la parábola:
1. Escribir la ecuación en forma conveniente:
SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
2. La parábola debe intersectar tres puntos [xo, f(xo)], [x1, f(x1)], [x2, f(x2)]. Los coeficientes de la ecuación pueden evaluarse al sustituir cada uno de esos tres puntos para dar
3. Tres ecuaciones pueden ser resueltas para tres incógnitas que son a, b, c. Ya que dos términos de la tercer ecuación son cero, puede resolverse inmediatamente para c=f(x2).
cxxbxxaxf
cxxbxxaxf
cxxbxxaxf ooo
)()()(
)()()(
)()()(
222
222
212
211
22
2
)()()()(
)()()()(
212
2121
22
22
xxbxxaxfxf
xxbxxaxfxf ooo
SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
)(
)()(
)()()()(
x-xhx-xh
Si
2111
1
112
11
112
11
12
121
1
1
121o1o
xfcahbhh
a
hahbh
hhahhbhh
xxxfxf
xxxfxf
o
o
oooo
o
oo
Resuelto para a y b
SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
• Para encontrar la raíz se usa una fórmula cuadrática alternativa
• El error puede calcularse como
• Los signos ± corresponden a dos raíces, el signo cambia de acuerdo con el signo de b. Este cambio da como resultado un denominador muy grande y por lo tanto da la raíz estimada más cercana a x2.
acbb
cxx
4
2223
%1003
23
x
xxa
SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
• Una vez que se determina x3, se repite el proceso siguiendo las siguientes guías:
1. Si sólo se localizan raíces reales elegimos dos puntos originales que se aproximan a la nueva raíz estimada, x3.
2. Si ambas raíces real y compleja han sido evaluadas, se emplea una aproximación secuencial. Esto es, parecido al método de la secante, x1, x2 y x3 toman el lugar de xo, x1, y x2.