Metodos Alternativos Deflexiones
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Universidad Federico Santa María
Departamento de Obras Civiles
Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233)
M. Valdebenito
Método Alternativos Para
Calcular Deflexiones: Aplicación
al Caso de Vigas
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 2
Introducción
• La mayor parte del recurso se ha centrado en el cálculo de deflexiones
mediante el principio de fuerzas virtuales (PFV); más específicamente,
se ha utilizado la técnica de carga unitaria.
• Aplicación de carga unitaria permite resolver problemas isostáticos e
hiperestáticos:
– Enrejados
– Vigas
– Marcos
• Es posible considerar casos particulares como asentamientos, apoyos
elásticos, efectos de temperatura, etc.
Recordatorio
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 3
Introducción
• La técnica de carga unitaria no es la única alternativa existente para
resolver problemas de deflexiones en estructuras
• Objetivo: revisar algunas técnicas alternativas para calcular deflexiones
• Con el objeto de simplificar la presentación, técnicas a ser
presentadas solo se aplicarán a vigas
Objetivos
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 4
Teoría de Vigas Elásticas
• Asuma una viga de material lineal elástico de módulo de Young 𝐸 y
segundo momento de área 𝐼
• Dicha viga se ve sometida a cargas externas que ocasionan fuerzas
internas (corte y momento flector)
• Se asume que los efectos de deformación por corte son despreciables
frente a los efectos de flexión
Aspectos Generales
𝑦
𝑥
𝑞(𝑥)
• Adicionalmente, se asume que las reacciones perpendiculares a la dirección longitudinal permanecen planas en la configuración deformada de la viga
– 𝑑𝑥: longitud de elemento a ser analizado previo a la deformación
– 𝑑𝑠: longitud de línea neutra de elemento analizado en posición deformada
– 𝑑𝑠′: longitud de elemento deformado, depende de coordenada 𝑦
– 𝑑𝜃: ángulo entre secciones planas
– 𝜌: radio de curvatura asociado
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 5
Teoría de Vigas Elásticas
Aspectos Generales
𝑑𝑠
𝜌
𝑑𝜃
𝑑𝑆′
𝑦
𝐿í𝑛𝑒𝑎 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑎
𝑥
𝑦 𝑞(𝑥)
𝛿𝑥
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 6
Teoría de Vigas Elásticas
• La deformación axial que experimenta una fibra de la sección analizada
es:
• Alternativamente
• De las relaciones esfuerzo-deformación y fórmulas de vigas se sabe
que
y
• Por lo tanto
Deducción de la Ecuación Diferencial
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 7
Teoría de Vigas Elásticas
• La curvatura 1/𝜌 es igual a:
• Donde 𝑣 es la deflexión. Habitualmente, la pendiente 𝑑𝑣 𝑑𝑥 es pequeña,
lo que permite despreciarla de la expresión de curvatura. Por lo tanto, la
ecuación diferencial asociada a la deflexión es:
• En vista del último supuesto, 𝑑𝑠 ≈ 𝑑𝑥
Deducción de la Ecuación Diferencial
𝑣(𝑥)
𝑥
𝑦 𝑞(𝑥)
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 8
Método de la Doble Integración
• A partir de la ecuación diferencial de la deflexión, es posible calcular:
– La pendiente θ = 𝑑𝑣𝑑𝑥 integrando una vez
– La deflexión 𝑣 integrando dos veces
• Al momento de integrar, es necesario introducir constantes de
integración que se calculan tomando en cuenta condiciones de borde y
posibles discontinuidades
• Discontinuidades:
– Cambio en la expresión de momento
– Conexión introduce cambio brusco en deflexión
– Para resolver problemas de continuidad, se integra por tramos
imponiendo condiciones correspondientes
Concepto
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 9
Método de la Doble Integración
• Ejemplo 1
– Calcule la deflexión en el extremo de la viga. Considere 𝐸𝐼: constante
• Ejemplo 2
– Calcule la deflexión en el punto B considere 𝐸𝐼: constante. Además
calcule la deflexión del tramo BC
Ejemplos
𝑃
𝐿
𝐴 𝐵 𝐸, 𝐼
𝑞
𝐴 𝐶
𝐿 𝐿
𝐵
𝐸, 𝐼
R:
R:
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 10
Método de la Doble Integración
• Ejemplo 3
– Calcule la reacción en el punto B de la viga. Considere 𝐸𝐼: constante
– Para resolver el problema, libere un vínculo y aplique superposición
Ejemplos
𝑞
𝐴
𝐿
𝐵
R:
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 11
Teoremas de Área - Momento
• Si se designa la pendiente de una viga como 𝜃 = 𝑑𝑣 𝑑𝑥 , es fácil
observar que:
• Si se integra esta ecuación entre 2 puntos A y B, es posible determinar
el cambio de ángulo entre A y B (∆𝜃𝐴𝐵)
• Gráficamente, ∆𝜃𝐴𝐵 representa:
Primer Teorema
𝐴 𝐵
𝜃𝐵
𝜃𝐴
∆𝜃𝐴𝐵= 𝜃𝐵 − 𝜃𝐴 ∆𝜃𝐴𝐵
𝑥𝐴
𝑥𝐵
𝑞(𝑥)
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Teoremas de Área - Momento
• Note que la última integral permite calcular el cambio de ángulo entre
dos puntos y no (necesariamente) el ángulo en un punto
• Formalmente, esta integral se conoce como el primer teorema
área-momento
– El cambio en la pendiente entre dos puntos cualesquiera de una
curva elástica continua es igual al área bajo el diagrama de 𝑀 𝐸𝐼
entre dichos puntos.
Primer Teorema
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 13
Teoremas de Área - Momento
• El segundo teorema de área-momento permite calcular desviaciones
tangenciales.
• Con el objeto de deducir este teorema, considere la representación
gráfica de la desviación tangencial en el punto B respecto de A
• Note que 𝑡𝐵𝐴 no es necesariamente igual a la deflexión en un punto, es
solo la desviación tangencial.
Segundo Teorema
𝑡𝐵𝐴 ∆𝜃𝐴𝐵
𝑥𝐴
𝑥𝐵
𝐴 𝐵
𝑞(𝑥)
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 14
Teoremas de Área - Momento
• Note que la desviación 𝑡𝐵𝐴 puede ser explicada a partir de la
contribución de elementos infinitesimales 𝑑𝑡
• Por geometría, se observa que 𝑑𝑡 = 𝑥𝐵 − 𝑥 𝑑𝜃. Por otro lado, se sabe
que 𝑑𝜃
𝑑𝑥=
𝑀
𝐸𝐼. Por lo tanto:
Segundo Teorema
𝐴 𝐵
𝑞(𝑥)
𝑥𝐴 𝜌 𝜌
𝑥𝐵
𝑥 𝑑𝑥
d𝜃
𝑥𝐵 − 𝑥
𝑑𝑡 𝑡𝐵𝐴 d𝜃
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Teoremas de Área - Momento
• Formalmente, el segundo teorema de área-momento establece:
– La desviación tangencial en un punto B de una curva elástica
continua, con respecto a la tangente a la curva elástica en un
segundo punto A, es igual al primer momento de área bajo el
diagrama 𝑀 𝐸𝐼 entre los dos puntos con respecto a B
• Note que las desviaciones tangenciales 𝑡𝐴𝐵 y 𝑡𝐵𝐴 no son
necesariamente iguales
• Note que la desviación tangencial puede ser positiva o negativa
Segundo Teorema
𝑃
𝐿
𝐴 𝐵
𝐸, 𝐼
𝑡𝐵𝐴
𝑡𝐴𝐵
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Teoremas de Área - Momento
• Para aplicar los teoremas de área-momento, hay que seguir los
siguientes pasos:
– Paso 1: dibujar un esquema de la deformada de la viga
– Paso 2: identificar un punto donde la pendiente sea conocida. Si no
es posible identificar dicho punto por simple inspección, se debe
aplicar los dos teoremas de área-momento entre 2 apoyos cuyo
desplazamiento vertical es conocido (ver ejemplo)
– Paso 3: a partir del punto determinado en el paso 2, se aplican los 2
teoremas de área-momento más consideraciones geométricas para
calcular pendientes y deflexiones
Aplicación
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 17
Teoremas de Área - Momento
• Ejemplo 1
– Calcule la deflexión en el punto B. Asuma 𝐸𝐼: constante.
• Ejemplo 2
– Calcule la deflexión en el punto B. Asuma 𝐸𝐼: constante.
Ejemplos
𝑃
𝐿
𝐴 𝐵 𝐸, 𝐼
𝑞
𝐴 𝐶
𝐿
2
𝐿
2
𝐵
𝐸, 𝐼
R:
R:
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 18
Teoremas de Área - Momento
• Los teoremas área-momento también son aplicables en caso que la
deformada de la viga sea discontinua. Solo es necesario integrar por
tramos y aplicar condiciones de continuidad de manera criteriosa
• Ejemplo 3
– Calcule el giro en B a la izquierda de la rótula. Asuma 𝐸𝐼: constante.
Ejemplos
𝐿
𝑞
𝐴
𝐿 𝐿
𝐵 𝐷 𝐶
𝐸, 𝐼
R:
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Método de la Viga Conjugada
• El cálculo del diagrama de corte y momento de una viga se puede
realizar aplicando condiciones de equilibrio
Introducción
𝐵
𝑞(𝑥)
𝐴
𝑉𝐴 𝑉𝐵
𝑞(𝑥)
𝐴
𝑉𝐴
𝑉(𝑥) 𝑀(𝑥)
𝑥
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 20
Método de la Viga Conjugada
• Alternativamente, el cálculo del diagrama de corte y momento de una
viga puede ser interpretado como la resolución de una ecuación
diferencial
Introducción
𝐵
𝑞(𝑥)
𝐴
𝑉𝐴 𝑉𝐵
𝑞(𝑥)
𝐴
𝑉𝐴
𝑉(𝑥) 𝑀(𝑥)
𝑥
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 21
Método de la Viga Conjugada
• Note la siguiente similitud entre las ecuaciones diferenciales de
equilibrio y las ecuaciones que gobiernan la deflexión
• De estas ecuaciones se observa que:
– Hay una similitud entre el corte 𝑉 y la pendiente 𝜃
– Hay una similitud entre el momento 𝑀 y la deflexión 𝑣
– Hay una similitud entre la carga 𝑞 y la cantidad 𝑀/𝐸𝐼
Introducción
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 22
Método de la Viga Conjugada
• De las comparaciones anteriores se determina que para conocer la
deflexión de una viga, es posible definir una viga conjugada cuya
carga es igual a 𝑀/𝐸𝐼. Luego
– La pendiente en un punto de la viga real es igual al corte en el punto
correspondiente de la viga conjugada
– El desplazamiento en un punto de la viga real es igual al momento
en el punto correspondiente de la viga conjugada
Formulación
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 23
Método de la Viga Conjugada
• Para aplicar el método de viga conjugada, debe considerarse que:
– La longitud de la viga real y conjugada es la misma
– La carga de la viga conjugada es el momento flector de la viga real
dividido por el producto entre el módulo de Young y el segundo
momento de área (𝑞𝑐𝑜𝑛𝑗 𝑥 = 𝑀(𝑥)/𝐸𝐼)
– Los apoyos de la viga conjugada y sus condiciones deben ser
consistentes con las condiciones de desplazamiento y giro de la
viga real
• Ejemplo 1
– Calcule la deflexión vertical en B. Considere 𝐸𝐼: constante
Formulación
𝑃
𝐿
𝐴 𝐵 𝐸, 𝐼
R:
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Método de la Viga Conjugada
• Ejemplo 1 (continuación)
– Apoyos
Aplicación
Viga real Viga conjugada
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 25
Método de la Viga Conjugada
• Ejemplo 1 (continuación)
– Cargas y momentos
Aplicación
Viga real Viga conjugada
Cargas
Diagrama
de fuerzas
internas
𝑃 𝐸, 𝐼 𝑃𝐿
𝐸𝐼
(−) −𝑃𝐿
𝑀(𝑥)
𝑥
(−)
𝑀𝐶𝑜𝑛𝑗(𝑥) = 𝑣(𝑥) 𝑥 𝐿
(−) 𝐿
𝑉𝐶𝑜𝑛𝑗(𝑥) = 𝜃(𝑥)
- 𝑃𝐿2
2𝐸𝐼
- 𝑃𝐿3
3𝐸𝐼
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Método de la Viga Conjugada
• Equivalencia entre apoyos reales y apoyos conjugados
Aplicación
Apoyo Real Apoyo Conjugado
Rotulado o deslizante simple
Rotulado o deslizante simple
Extremo libre
Empotrado
Empotramiento
Extremo libre
Deslizante
Deslizante
𝜃 ≠ 0
∆ = 0
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑗 ≠ 0
𝑀𝑐𝑜𝑛𝑗 = 0
𝜃 ≠ 0
∆ ≠ 0
𝜃 = 0
∆ = 0
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑗 ≠ 0
𝑀𝑐𝑜𝑛𝑗 ≠ 0
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑗 = 0
𝑀𝑐𝑜𝑛𝑗 = 0
𝜃 = 0
∆ ≠ 0
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑗 = 0
𝑀𝑐𝑜𝑛𝑗 ≠ 0
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Método de la Viga Conjugada
• Equivalencia entre conexiones reales y conexiones conjugadas (más
apoyos interiores reales y apoyos interiores conjugados)
Aplicación
Conexión Real Conexión Conjugada
Rotulada
Apoyo deslizante simple
Deslizante
Continua más momento
Apoyo deslizante simple
Rotulada
𝑀∗
𝜃− ≠ 0, 𝜃+ ≠ 0, 𝜃− ≠ 𝜃+
∆ ≠ 0
∆−≠ 0, ∆+≠ 0, ∆−≠ ∆+
𝜃 ≠ 0
𝜃 ≠ 0
∆ = 0
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑗− ≠ 0,𝑉𝑐𝑜𝑛𝑗+ ≠ 0, 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑗− ≠ 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑗+
𝑀𝑐𝑜𝑛𝑗 ≠ 0
𝑀𝑐𝑜𝑛𝑗− ≠ 0,𝑀𝑐𝑜𝑛𝑗+ ≠ 0, 𝑀𝑐𝑜𝑛𝑗− ≠ 𝑀𝑐𝑜𝑛𝑗+
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑗 ≠ 0
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑗 ≠ 0
𝑀𝑐𝑜𝑛𝑗 = 0
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 28
Método de la Viga Conjugada
• Ejemplo 2
– Calcule las reacciones y deflexión máxima de la viga. Considere 𝐸𝐼: constante
• Ejemplo 3
– Calcule la deflexión máxima de la viga. Considere 𝐸𝐼: constante
Ejemplos
𝐵
𝑃
𝐿
2
𝐿
2
𝐴 𝐶
𝑃
6𝐿 6𝐿 6𝐿 6𝐿
𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
𝐸
2𝑃
R:
R:
• Una viga estáticamente determinada tiene asociada una viga
conjugada estáticamente determinada
Viga Real Viga Conjugada
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 29
Método de la Viga Conjugada
Comentarios Finales
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 30
Método de la Viga Conjugada
• Una viga estáticamente indeterminada tiene asociada una viga
conjugada inestable
Comentarios Finales
Viga Real Viga Conjugada
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 31
Método de la Viga Conjugada
• Una viga inestable tiene asociada una viga conjugada estáticamente
indeterminada.
Comentarios Finales
Viga Real Viga Conjugada