método simplificado para el análisis y diseño de tanques ...

Ing. Jorge Iván Matiz Chica 2011

“MÉTODO SIMPLIFICADO PARA EL ANÁLISIS Y DISEÑO DE TANQUES RECTANGULARES EN CONCRETO REFORZADO A PARTIR DE LA FORMULACIÓN DE LOS ELEMENTOS FINITOS”

Universidad Nacional de Colombia

MÉTODO SIMPLIFICADO PARA EL ANÁLISIS Y DISEÑO DE

TANQUES RECTANGULARES EN CONCRETO REFORZADO A PARTIR DE LA FORMULACIÓN DE LOS ELEMENTOS FINITOS

JORGE IVÁN MATIZ CHICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AGRÍCOLA

UNIDAD ACADÉMICA DE ESTRUCTURAS

MAESTRÍA EN ESTRUCTURAS BOGOTÁ

2011


“Método simplificado para el análisis y diseño de tanques rectangulares en concreto reforzado a partir de la formulación de los elementos finitos”

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“MÉTODO SIMPLIFICADO PARA EL ANÁLISIS Y DISEÑO DE TANQUES RECTANGULARES EN CONCRETO REFORZADO A PARTIR DE LA FORMULACIÓN DE LOS ELEMENTOS FINITOS”


MÉTODO SIMPLIFICADO PARA EL ANÁLISIS Y DISEÑO DE

TANQUES RECTANGULARES EN CONCRETO REFORZADO A PARTIR DE LA FORMULACIÓN DE LOS ELEMENTOS FINITOS


Trabajo final para optar al título de Magíster en Estructuras

Dirigido por Ing. JUAN MANUEL LIZARAZO MARRIAGA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AGRÍCOLA

UNIDAD ACADÉMICA DE ESTRUCTURAS

MAESTRÍA EN ESTRUCTURAS BOGOTÁ

2011



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NOTA DE ACEPTACIÓN: La tesis de maestría en estructuras titulada:

“MÉTODO SIMPLIFICADO PARA EL ANÁLISIS Y

DISEÑO DE TANQUES RECTANGULARES EN

CONCRETO REFORZADO A PARTIR DE LA

FORMULACIÓN DE LOS ELEMENTOS FINITOS”,

cumple con los requisitos exigidos por la Universidad

Nacional de Colombia.

_______________________________

Ing. Juan Manuel Lizarazo Marriaga

DIRECTOR

_______________________________

Ing. Jorge Ignacio Segura Franco

JURADO

___________________________

Ing. Dorian Luis Linero Segrera

JURADO

Bogotá D.C., 26 de enero de 2011



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(Pagina intencionalmente en blanco)



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Dedicado: A Dios por iluminarme y guiarme para convertirme en la persona que soy actualmente. A mis padres y hermanos por su apoyo y confianza en la obtención de mis logros personales y profesionales. A mi esposa Mari por todo el amor que me da todos los días.



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AGRADECIMIENTOS

A mi esposa, la Ingeniera Maritza Uribe Vallejo quien es el ejemplo de la

persona e ingeniero que debo ser todos los días. Sin su amor, apoyo e insistencia constante no hubiera podido obtener este logro.

A toda mi familia; especialmente a mis padres, Francisco y Martha, mis

hermanos Frank y Adri, y mi cuñadita Ale; que me han apoyado y dado su confianza durante mi desarrollo personal y profesional.

Al Ingeniero Ricardo Parra Arango por compartir sus amplios conocimientos

durante el tiempo compartido en el postgrado; así como por su valiosa colaboración en la conceptualización y desarrollo de esta tesis.

Al Ingeniero Juan Manuel Lizarazo Marriaga por su orientación y apoyo en la

culminación exitosa de mi maestría. Al Ingeniero Dorian Luis Linero Segrera, por su colaboración e incentivo como

coordinador curricular del programa para no perder la oportunidad de obtener el título de maestría. Igualmente agradecerle por sus aportes durante el desarrollo, y como jurado del presente trabajo.

Al Ingeniero Jorge Ignacio Segura Franco, por los valiosos aportes realizados

al presente documento, más que como jurado, como ingeniero de gran experiencia.

A los Ingenieros Plinio Garzón y Malena Amortegui, de la empresa

CONSULOBRAS LTDA, por compartir sus invaluables conocimientos en el área de estructuras y específicamente en el tema de estructuras hidráulicas.

A la Universidad Nacional de Colombia, a los docentes de la Maestría en

Estructuras de la Facultad de Ingeniería Civil y Agrícola; especialmente a los Ingenieros Gabriel Valencia Clement, Juan Tamasco Torres, Caori Patricia Takeuchi Tam y Fernando Spinel por los conocimientos transmitidos en sus clases.

A PROCESOS Y DISEÑOS ENERGÉTICOS por el apoyo financiero y de

tiempo otorgado durante el desarrollo de esta tesis; en especial a los Ingenieros Peter King, Sonia Cardona, Carlos Eduardo Amariles, Gerardo Martinez y Nubby Adarraga.

A los ingenieros y colegas, Adriana Bustamante, Patricia Chappe, Lucio

Guillermo López, Alexander Gómez y Olga Lucia Olmos.



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“MÉTODO SIMPLIFICADO PARA EL ANÁLISIS Y DISEÑO DE TANQUES RECTANGULARES EN CONCRETO REFORZADO A PARTIR DE LA

FORMULACIÓN DE LOS ELEMENTOS FINITOS”


RESUMEN Con la inclusión del capítulo C.23 en el nuevo documento “Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente”, NSR-10 vigente desde julio 15 del 2010, en reemplazo del antiguo C.20 de la NSR-98; se evidencia un cambio en la connotación e importancia de las estructuras de ingeniería ambiental. Aún cuando este capítulo es una condensación de los lineamientos provenientes del documento “Code Requirements for Environmental Engineering Concrete Structures” ACI350-06, del American Concrete Institute; es una guía y ayuda para el ingeniero diseñador en la implementación de requerimientos en las estructuras de ingeniería ambiental y por lo tanto se empieza el reconocimiento de la importancia que este tipo de estructuras deben tener en la ingeniería Colombiana. En complemento a lo anterior y como primera parte, el presente trabajo expone los principales lineamientos y requerimientos, así como de las cargas estáticas y dinámicas que deben ser tenidas en cuenta para el análisis y diseño de estructuras ambientales. Como segunda parte, el trabajo presenta una formulación mediante el método de los elementos finitos, que permite en forma simplificada realizar el análisis y diseño de estructuras ambientales tipo cajón. Esto último se realiza al estudiar diferentes alternativas de modelación, incluyendo tipos de elementos finitos a utilizar y condiciones de borde. Finalmente se presenta una herramienta computacional mediante el uso de Excel, que permite el análisis y diseño de estructuras tipo cajón, en la cual se implementa la formulación de elementos finitos desarrollada. Palabras clave: Tanques Estructuras tipo cajón Estructuras de Ingeniería Ambiental Cargas hidrodinámicas Elementos finitos



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“SIMPLIFIED METHOD FOR THE ANALYSIS AND DESIGN OF RECTANGULAR REINFORCED CONCRETE TANKS USING THE FINITE

ELEMENT FORMULATION”


ABSTRACT With the inclusion of Chapter C.23 in the new document “Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente”, NSR-10, valid since July 15, 2010, replacing the old C.20 of the NSR-98, a change in connotation and importance of environmental engineering structures is demonstrated. Although this chapter is a condensation of the document “Code Requirements for Environmental Engineering Concrete Structures”, ACI350-06, of the American Concrete Institute, is a guide for the design engineer in the requirements implementation in environmental engineering structures and thus begins the recognition of the importance that such structures should take into Colombian engineering. This document, as a first part, presents the main guidelines and requirements, as well as the static and dynamic loads that has to be taken into account in the analysis and design of environmental structures. As a second part, presents a formulation using the finite element method, which allows a simplified perform of the analysis and design of box type environmental structures. This latter is done by studying different modeling alternatives, including finite element types to be used and boundary conditions. Finally, presents a computational tool using Excel, which allows the analysis and design of box type structures, using the developed finite element formulation. Keywords: Tanks Box type structures Environmental engineering structures Hydrodynamic loads Finite elements



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TABLA DE CONTENIDO

CAPÍTULO 1 - INTRODUCCIÓN 1

1.1 2 ESTADO DEL ARTE

1.2 3 PROYECTOS DE INVESTIGACIÓN RELACIONADOS

1.3 4 OBJETIVOS

1.3.1 4 Objetivo General1.3.2 4 Objetivos Específicos

1.4 4 ALCANCE

CAPÍTULO 2 - NORMATIVIDAD ESTRUCTURAS HIDRÁULICAS 5

2.1 6 NOTACIÓN Y DEFINICIONES

2.2 8 REQUISITOS DE DURABILIDAD

2.3 10 CALIDAD DEL CONCRETO, MEZCLADO Y COLOCACIÓN

2.4 11 DETALLES DE REFUERZO

2.5 12 COMBINACIONES DE CARGA

2.6 14 FACTOR DE DURABILIDAD AMBIENTAL

2.7 17 REQUISITOS DE RESISTENCIA Y SERVICIO

2.8 18 FLEXIÓN Y FUERZA AXIAL

2.9 22 CORTANTE

2.10 24 TORSIÓN

2.11 24 VIGAS ALTAS

2.12 25 DESARROLLO Y EMPALMES DE REFUERZO

CAPÍTULO 3 - MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS 27

3.1 27 INTRODUCCIÓN

3.2 27 DESCRIPCIÓN DEL MEF [REF. 25]

3.3 28 PRINCIPIO DE LA ENERGÍA POTENCIAL MÍNIMA [REF. 9]



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3.4 29 TIPOS DE ELEMENTOS PARA MODELACIÓN

3.4.1 30 Elementos tipo pórtico plano (marco) [Ref. 9]3.4.2 34 Elementos tipo membrana o diafragma [Ref. 20]3.4.3 38 Elemento tipo placa [Ref. 20]3.4.4 41 Elemento tipo cascarón (shell) [Ref. 20]

CAPÍTULO 4 - CARGAS EN ESTRUCTURAS HIDRÁULICAS 45

4.1 45 CARGAS GRAVITACIONALES – ESTÁTICAS

4.2 45 CARGAS LATERALES – ESTÁTICAS

4.3 49 EMPUJE HIDRODINÁMICO – ACI350.3-06

4.3.1 49 Clasificación de las estructuras4.3.2 51 Modelo dinámico4.3.3 55 Propiedades dinámicas4.3.4 56 Cargas de diseño sísmico4.3.5 59 Coeficientes de respuesta sísmica4.3.6 61 Distribución de las fuerzas sísmicas4.3.7 63 Altura libre para oleaje

4.4 63 EMPUJE DINÁMICO DE TIERRAS

CAPÍTULO 5 - ANÁLISIS Y DISEÑO ESTRUCTURA TIPO CAJÓN 65

5.1 66 ESTRUCTURA A ANALIZAR

5.2 66 MODELO DE ANÁLISIS

5.3 67 CONDICIONES DE BORDE

5.4 68 AVALÚO DE CARGAS

5.5 69 DESPLAZAMIENTOS

5.6 70 ANÁLISIS Y DISEÑO DE ELEMENTOS

5.6.1 70 Convenciones5.6.2 75 Placa inferior5.6.3 78 Placa superior5.6.4 81 Muro longitudinal5.6.5 83 Muro transversal

5.7 84 RESUMEN DE RESULTADOS

5.8 86 IMPORTANCIA DEL MÓDULO DE REACCIÓN EN EL MODELO TRIDIMENSIONAL

CAPÍTULO 6 - ALTERNATIVAS DE ANÁLISIS 89



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6.1 89 MODELO TRIDIMENSIONAL CON APOYOS SIMPLES

6.2 91 ANÁLISIS UTILIZANDO ELEMENTOS TIPO PLACA

6.3 95 VERIFICACIÓN DE LAS CONDICIONES DE APOYO

6.3.1 95 Condición de apoyo simple – Trabajo como elemento tipo Diafragma6.3.2 98 Condición de restricción parcial al giro – Rigidez al giro

6.4 100 ANÁLISIS BIDIMENSIONAL – ELEMENTOS TIPO MARCO

6.5 105 RESULTADOS GENERALES

CAPÍTULO 7 - FORMULACIÓN PROPUESTA PARA EL ANÁLISIS 107

7.1 107 INTERACCIÓN ENTRE SECCIONES

7.2 109 MODELO EQUIVALENTE

7.3 111 RIGIDEZ EQUIVALENTE

7.3.1 111 Matriz de rigidez global de los elementos7.3.2 115 Condensación7.3.3 116 Matriz de rigidez equivalente7.3.4 118 Matriz equivalente para las secciones en planta y longitudinal

7.4 120 CONSIDERACIONES ESPECIALES

7.4.1 120 Rigidez por unidad de longitud7.4.2 121 Rigidez por ancho unitario

7.5 122 IMPLEMENTACIÓN DE LA SOLUCIÓN

7.5.1 122 Corrección en el modelo de análisis de la sección longitudinal7.5.2 123 Corrección en el modelo de análisis de la sección transversal7.5.3 124 Corrección en el modelo de análisis de la sección en planta7.5.4 124 Presentación de los resultados

CAPÍTULO 8 - IMPLEMENTACIÓN EN UNA APLICACIÓN 127

8.1 127 ALCANCE DE LA APLICACIÓN

8.1.1 127 Normas de Referencia8.1.2 127 Características de Tanques8.1.3 127 Suelos8.1.4 128 Espectro de Diseño8.1.5 128 Cargas Verticales8.1.6 128 Cargas Dinámicas8.1.7 128 Diseño de Elementos

8.2 128 ELEMENTOS FINITOS

8.3 129 PROGRAMACIÓN



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8.3.1 129 Entorno8.3.2 130 Estructura de la aplicación8.3.3 130 Formulario de entrada de datos8.3.4 132 Variables8.3.5 133 Lectura de datos8.3.6 135 Análisis de las tres secciones8.3.7 137 Generación de geometría8.3.8 141 Ensamble de matrices8.3.9 145 Incorporación del trabajo en dos direcciones8.3.10 147 Asignación de cargas8.3.11 149 Solución del sistema8.3.12 152 Salidas del proceso

8.4 154 RESULTADOS OBTENIDOS

8.5 154 DISEÑO DE LOS ELEMENTOS

8.6 155 VERIFICACIÓN – ANÁLISIS DE LA ESTRUCTURA TIPO CAJÓN

CAPÍTULO 9 - EJEMPLO DE DISEÑO 159

9.1 159 GENERALIDADES

9.2 159 DESCRIPCIÓN

9.3 159 MODELO ANALÍTICO

9.3.1 160 Materiales y requisitos de durabilidad9.3.2 160 Características del suelo

9.4 161 AVALÚO DE CARGAS ESTÁTICAS

9.4.1 161 Cargas Gravitacionales9.4.2 161 Cargas laterales por presión de tierras9.4.3 161 Cargas laterales por presión hidrostática

9.5 162 AVALÚO DE CARGAS DINÁMICAS

9.5.1 162 Espectro de Diseño9.5.2 163 Cargas laterales por presión de tierras9.5.3 165 Cargas laterales por presión hidrodinámica

9.6 171 MÉTODO DE ANÁLISIS

9.7 172 COMBINACIONES DE CARGA

9.8 175 REQUISITOS DE RESISTENCIA Y SERVICIO

9.9 175 CONDICIONES DE FRONTERA

9.10 175 DISEÑO DE ELEMENTOS

9.10.1 176 Placa Superior9.10.2 178 Placa Inferior9.10.3 180 Muros



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9.11 184 FACTOR DE DURABILIDAD AMBIENTAL

9.11.1 184 Placa Superior9.11.2 184 Placa Inferior9.11.3 185 Muro Longitudinal9.11.4 185 Muro Transversal

9.12 186 RESUMEN DE DISEÑO

9.13 187 ANÁLISIS Y DISEÑO CON LA HERRAMIENTA COMPUTACIONAL

9.13.1 187 Placa Superior9.13.2 188 Placa Inferior9.13.3 189 Muros perimetrales9.13.4 189 Resumen

9.14 191 COMPARACIÓN DE RESULTADOS

9.15 191 PLANOS DE DISEÑO

CAPÍTULO 10 - CONCLUSIONES 193

CAPÍTULO 11 - RECOMENDACIONES 197

CAPÍTULO 12 - BIBLIOGRAFÍA 199

CAPÍTULO 13 - ANEXOS 203



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(Página intencionalmente en blanco)



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LISTA DE FIGURAS

FIG. NO. 2-1 DISTANCIAS PARA EL CÁLCULO DE B........................................................16

FIG. NO. 2-2 ESFUERZOS LÍMITE PARA SECCIONES CONTROLADAS A COMPRESIÓN.........19

FIG. NO. 2-3 ESFUERZOS LÍMITE PARA SECCIONES CONTROLADAS A TENSIÓN ...............19

FIG. NO. 2-4 RELACIÓN DE ESFUERZOS Y DISTANCIAS EN UN ELEMENTO SOMETIDO A

FLEXIÓN..................................................................................................19

FIG. NO. 2-5 REFUERZO ADICIONAL PARA ELEMENTOS DE ALTURA SUPERIOR A 900MM. .21

FIG. NO. 3-1 SEGMENTO DE ANÁLISIS PARA ELEMENTOS TIPO VIGA...............................30

FIG. NO. 3-2 SEGMENTO DE ANÁLISIS PARA ELEMENTOS TIPO FRAME............................33

FIG. NO. 3-3 (A) ELEMENTO TRIANGULAR SIMPLE; (B) ELEMENTO TRIANGULAR

CUADRÁTICO ...........................................................................................35

FIG. NO. 3-4 TRIÁNGULO DE DEFORMACIÓN CONSTANTE .............................................36

FIG. NO. 3-5 PLACA DELGADA A FLEXIÓN....................................................................39

FIG. NO. 3-6 GRADOS DE LIBERTAD DEL ELEMENTO CASCARÓN....................................42

FIG. NO. 4-1 CARGA MUERTA POR RELLENO SOBRE PLACA SUPERIOR DEL TANQUE ........46

FIG. NO. 4-2 TANQUE PARA SEDIMENTACIÓN ..............................................................46

FIG. NO. 4-3 EMPUJES LATERALES DE TIERRA ACTIVO Y PASIVO ...................................48

FIG. NO. 4-4 CLASIFICACIÓN DE ESTRUCTURAS SEGÚN SU APOYO [REF. 4] ...................50

FIG. NO. 4-5 TANQUE DE ALMACENAMIENTO PLANTA RÍO CALI – EMCALI, TANQUE

PREESFORZADO CIRCULAR CON BASE FLEXIBLE ANCLADA............................51

FIG. NO. 4-6 TANQUE DE ALMACENAMIENTO LA LAGUNA – ACUEDUCTO DE BOGOTÁ, TANQUE RECTANGULAR EN CONCRETO REFORZADO SUPERFICIAL CON BASE

EMPOTRADA ............................................................................................51

FIG. NO. 4-7 REPRESENTACIÓN DEL MODELO DE HOUSNER .........................................52

FIG. NO. 4-8 ESPECTRO NSR-10..............................................................................61

FIG. NO. 4-9 DISTRIBUCIÓN DE PRESIÓN HIDRODINÁMICA EN LOS MUROS DEL TANQUE –

CORTE EN PLANTA ...................................................................................62

FIG. NO. 4-10 DISTRIBUCIÓN VERTICAL DE LAS CARGAS HIDRODINÁMICAS E INERCIALES 62

FIG. NO. 4-11 REPRESENTACIÓN DE LA CARGA DINÁMICA POR EMPUJE LATERAL DE

TIERRAS..................................................................................................63

FIG. NO. 5-1 ESTRUCTURA PARA ANÁLISIS Y DISEÑO ...................................................66



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FIG. NO. 5-2 MODELO ESPACIAL................................................................................67

FIG. NO. 5-3 CARGAS ACTUANTES EN LA ESTRUCTURA................................................68

FIG. NO. 5-4 DESPLAZAMIENTOS PLACAS SUPERIOR E INFERIOR...................................70

FIG. NO. 5-5 DIRECCIÓN DE ANÁLISIS DE MOMENTOS ..................................................70

FIG. NO. 5-6 DEFINICIÓN DE LA CONVENCIÓN POSITIVA DE MOMENTOS .........................71

FIG. NO. 5-7 PLACA SUPERIOR..................................................................................71

FIG. NO. 5-8 PLACA INFERIOR ...................................................................................71

FIG. NO. 5-9 MURO LONGITUDINAL ............................................................................72

FIG. NO. 5-10 MURO TRANSVERSAL ..........................................................................72

FIG. NO. 5-11 SECCIÓN LONGITUDINAL PARA EL ANÁLISIS ............................................73

FIG. NO. 5-12 DIAGRAMA ESQUEMÁTICO DE MOMENTOS PARA EL ANÁLISIS DE LA SECCIÓN

LONGITUDINAL.........................................................................................73

FIG. NO. 5-13 SECCIÓN TRANSVERSAL PARA ANÁLISIS ................................................73


TRANSVERSAL .........................................................................................74

FIG. NO. 5-15 SECCIÓN EN PLANTA PARA ANÁLISIS .....................................................74


EN PLANTA ..............................................................................................74

FIG. NO. 5-17 DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS EN LA PLACA INFERIOR M11 Y M22...........75

FIG. NO. 5-18 DISTRIBUCIÓN DE CORTANTES EN LA PLACA INFERIOR V13 Y V23 ...........76

FIG. NO. 5-19 DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS EN LA PLACA SUPERIOR M11 Y M22..........78

FIG. NO. 5-20 DISTRIBUCIÓN DE CORTANTES EN LA PLACA SUPERIOR V13 Y V23 ..........79

FIG. NO. 5-21 DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS EN EL MURO LONGITUDINAL M11 Y M22 ....81

FIG. NO. 5-22 DISTRIBUCIÓN DE CORTANTES EN EL MURO LONGITUDINAL V13 Y V23 ....81

FIG. NO. 5-23 DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS EN EL MURO TRANSVERSAL M11 Y M22 ....83

FIG. NO. 5-24 DISTRIBUCIÓN DE CORTANTES EN EL MURO TRANSVERSAL V13 Y V23.....83

FIG. NO. 5-25 ESQUEMA DE REFUERZO SECCIÓN TRANSVERSAL ..................................85

FIG. NO. 5-26 ESQUEMA DE REFUERZO SECCIÓN LONGITUDINAL ..................................86

FIG. NO. 5-27 LOCALIZACIÓN DE MOMENTOS EN LA PLACA INFERIOR M11 Y M22 –

MODELOS CON RESORTES........................................................................87

FIG. NO. 6-1 EQUIVALENCIA EN EL MODELO CON APOYOS ............................................90

FIG. NO. 6-2 MODELO INDIVIDUAL DE LA PLACA SUPERIOR ...........................................92



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FIG. NO. 6-3 RESTRICCIÓN DEL MURO TRANSVERSAL POR LOS MUROS LONGITUDINALES 95

FIG. NO. 6-4 REPRESENTACIÓN DE LOS ELEMENTOS QUE TRABAJAN COMO DIAFRAGMA..96

FIG. NO. 6-5 CASOS DE ESTUDIO PARA LOS ELEMENTOS TIPO DIAFRAGMA.....................96

FIG. NO. 6-6 DISTRIBUCIÓN DE LAS FUERZAS HORIZONTALES INTERNAS........................98

FIG. NO. 6-7 MODELO MURO LONGITUDINAL PARA ANÁLISIS DE LA RIGIDEZ AL GIRO........99

FIG. NO. 6-8 CORTE DEL MODELO ESPACIAL EN SENTIDO TRANSVERSAL Y MODELO

BIDIMENSIONAL CORRESPONDIENTE ........................................................100

FIG. NO. 6-9 MODELO DE ANÁLISIS POR ELEMENTOS FINITOS .....................................101

FIG. NO. 6-10 MODELOS DE ANÁLISIS CON ELEMENTOS TIPO MARCO ..........................102

FIG. NO. 6-11 AFERENCIA DEL NODO PARA RESTRICCIÓN ..........................................102

FIG. NO. 7-1 REPRESENTACIÓN TRIDIMENSIONAL DE LA ESTRUCTURA.........................107

FIG. NO. 7-2 DISCRETIZACIÓN DE ELEMENTOS QUE INTERACTÚAN CON UNA FRANJA

LONGITUDINAL .......................................................................................108

FIG. NO. 7-3 INTERACCIÓN ENTRE LA SECCIÓN LONGITUDINAL A ANALIZAR Y LA SECCIÓN

CENTRAL TRANSVERSAL .........................................................................109

FIG. NO. 7-4 CONFIGURACIÓN DE ANÁLISIS – SECCIÓN TRANSVERSAL.........................110

FIG. NO. 7-5 MARCO EN PLANTA..............................................................................119

FIG. NO. 7-6 MARCO LONGITUDINAL DE ANÁLISIS CORREGIDO ....................................119

FIG. NO. 7-7 EQUIVALENCIA DE CARGAS ASOCIADAS CON LA MATRIZ CONDENSADA......120

FIG. NO. 7-8 DISCRETIZACIÓN DE ELEMENTOS EN LA SECCIÓN LONGITUDINAL..............121

FIG. NO. 7-9 REPRESENTACIÓN DE LA SECCIÓN LONGITUDINAL CON LA INCORPORACIÓN DE

LOS RESORTES......................................................................................123

FIG. NO. 8-1 ENTORNO DE LA COMPONENTE VBA DE EXCEL .....................................129

FIG. NO. 8-2 DIAGRAMA DE LA APLICACIÓN...............................................................130

FIG. NO. 8-3 FORMULARIO PARA ENTRADA DE DATOS ................................................131

FIG. NO. 8-4 HOJA DE SALIDA CON LAS COORDENADAS DE LA SECCIÓN DE ANÁLISIS.....140

FIG. NO. 8-5 LISTA DE SALIDA CON LOS DESPLAZAMIENTOS NODALES DE LA SECCIÓN DE

ANÁLISIS ...............................................................................................152

FIG. NO. 8-6 LISTADO DE SALIDA DE FUERZAS INTERNAS ...........................................152

FIG. NO. 8-7 RESULTADO DE GRAFICAR EL LISTADO DE RESULTADOS..........................153

FIG. NO. 8-8 HOJA DE DISEÑO DE LA APLICACIÓN ......................................................155

FIG. NO. 9-1 DIMENSIONES DE LA ESTRUCTURA PARA EL EJEMPLO DE DISEÑO.............159

FIG. NO. 9-2 MODELO TRIDIMENSIONAL DE LA ESTRUCTURA.......................................160



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FIG. NO. 9-3 ESQUEMA PARA CARGAS ESTÁTICAS.....................................................161

FIG. NO. 9-4 CARGA VIVA .......................................................................................162

FIG. NO. 9-5 DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES LATERALES DE AGUA (IZQUIERDA) Y DE

TIERRAS (DERECHA)...............................................................................162

FIG. NO. 9-6 ESPECTRO DE DISEÑO EQUIVALENTE ....................................................163

FIG. NO. 9-7 CARGAS POR PRESIÓN DINÁMICA DE TIERRAS........................................164

FIG. NO. 9-8 ESQUEMA PARA CARGAS DINÁMICAS.....................................................164

FIG. NO. 9-9 DISTRIBUCIÓN DE CARGA IMPULSIVA .....................................................171

FIG. NO. 9-10 DISTRIBUCIÓN DE CARGA CONVECTIVA................................................171

FIG. NO. 9-11 DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS EN LA PLACA SUPERIOR M11 Y M22........176

FIG. NO. 9-12 DISTRIBUCIÓN DE CORTANTES EN LA PLACA SUPERIOR V13 Y V23 ........176

FIG. NO. 9-13 DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS EN LA PLACA INFERIOR M11 Y M22.........178

FIG. NO. 9-14 DISTRIBUCIÓN DE CORTANTES EN LA PLACA INFERIOR V13 Y V23 .........178

FIG. NO. 9-15 DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS PARA EL MURO LONGITUDINAL M11 Y M22............................................................................................................180

FIG. NO. 9-16 DISTRIBUCIÓN DE CORTANTES PARA EL MURO LONGITUDINAL V13 Y V23............................................................................................................180

FIG. NO. 9-17 DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS PARA EL MURO TRANSVERSAL M11 Y M22............................................................................................................182

FIG. NO. 9-18 DISTRIBUCIÓN DE CORTANTES PARA EL MURO TRANSVERSAL V13 Y V23............................................................................................................182

FIG. NO. 9-19 ESQUEMA DEL DESPIECE EN SECCIÓN VERTICAL – SAP2000................186

FIG. NO. 9-20 ESQUEMA DEL DESPIECE EN SECCIÓN PLANTA – SAP2000 ..................187

FIG. NO. 9-21 ESQUEMA DEL DESPIECE EN SECCIÓN VERTICAL – SAP2000................190

FIG. NO. 9-22 ESQUEMA DEL DESPIECE EN SECCIÓN PLANTA – SAP2000 ..................190



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LISTA DE TABLAS

TABLA NO. 2-1 CONTENIDO MÍNIMO DE MATERIAL CEMENTANTE (NSR-10 [REF. 7] TABLA C.23-C.4.1.1) .....................................................................................................8

TABLA NO. 2-2 REQUERIMIENTOS PARA CONDICIONES ESPECIALES DE EXPOSICIÓN (NSR-10 [REF. 7] TABLAS C.23-C.4.2.1 Y C.23-C-4.3.1) ...................................................9

TABLA NO. 2-3 RESISTENCIA PROMEDIO A LA COMPRESIÓN REQUERIDA (NSR-10 [REF. 7] TABLA C.5.3.2.1) .........................................................................................10

TABLA NO. 2-4 RESISTENCIA PROMEDIO A LA COMPRESIÓN REQUERIDA CUANDO NO HAY

DATOS DISPONIBLES PARA ESTABLECER UNA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA MUESTRA (ACI350-06 [REF. 2] TABLA 5.3.2.2) ...................................................11

TABLA NO. 2-5 CUANTÍA MÍNIMA POR SECCIÓN BRUTA PARA ACERO FY = 420MPA.........12

TABLA NO. 2-6 COMBINACIONES ACI-350 NUMERAL 9.2.1..........................................13

TABLA NO. 2-7 COMBINACIONES NSR-10 NUMERAL B.2.4.2.......................................14

TABLA NO. 4-1 DESPLAZAMIENTOS PARA DESARROLLAR UN ESTADO PASIVO EN EL

TERRENO ................................................................................................47

TABLA NO. 4-2 CLASIFICACIÓN DE ESTRUCTURAS EN CONCRETO SOPORTADAS EN

TERRENO SEGÚN ACI350.3-06 [REF. 4]....................................................50

TABLA NO. 4-3 FACTOR DE IMPORTANCIA – ACI350.3-06 [REF. 4]...............................58

TABLA NO. 4-4 FACTOR DE MODIFICACIÓN DE RESPUESTA – ACI350.3-06 [REF. 4].......59

TABLA NO. 5-1 RESUMEN DEL DISEÑO .......................................................................85

TABLA NO. 5-2 VARIACIÓN DE LOS MOMENTOS PARA DIFERENTES MÓDULOS DE REACCIÓN

..............................................................................................................87

TABLA NO. 6-1 COMPARACIÓN RESULTADOS MODELOS ESPACIALES.............................90

TABLA NO. 6-2 COMPARACIÓN DE RESULTADOS PLACA SUPERIOR................................92

TABLA NO. 6-3 COMPARACIÓN DE REFUERZO EN LA PLACA SUPERIOR...........................93

TABLA NO. 6-4 COMPARACIÓN DE RESULTADOS TODOS LOS MODELOS CON ELEMENTOS

TIPO PLACA .............................................................................................94

TABLA NO. 6-5 COMPARACIÓN DE DE REFUERZO DE TODOS LOS MODELOS CON

ELEMENTOS TIPO PLACA ...........................................................................94

TABLA NO. 6-6 VALOR DE RESORTES POR MODELO .....................................................97

TABLA NO. 6-7 RESUMEN FUERZAS INTERNAS – MODELOS DIAFRAGMA .........................98

TABLA NO. 6-8 RIGIDEZ AL GIRO PARA CADA ANÁLISIS ...............................................100



Universidad Nacional de Colombia xxvi

TABLA NO. 6-9 COMPARACIÓN DE RESULTADOS TODOS LOS MODELOS CON ELEMENTOS

TIPO MARCO..........................................................................................103

TABLA NO. 6-10 COMPARACIÓN DE DE REFUERZO DE TODOS LOS MODELOS CON

ELEMENTOS TIPO MARCO........................................................................104

TABLA NO. 7-1 COMPARACIÓN DE RESULTADOS MODELOS CON ELEMENTOS TIPO MARCO

CORREGIDOS ........................................................................................125

TABLA NO. 7-2 COMPARACIÓN DE REFUERZO MODELOS CON ELEMENTOS TIPO MARCO

CORREGIDOS ........................................................................................125

TABLA NO. 8-1 COMPARACIÓN DE MAGNITUD DE MOMENTOS – PROGRAMA SIN

CORRECCIÓN ........................................................................................156

TABLA NO. 8-2 COMPARACIÓN DE MAGNITUD DE MOMENTOS – PROGRAMA CORREGIDO

............................................................................................................156

TABLA NO. 8-3 COMPARACIÓN DE REFUERZO – PROGRAMA CORREGIDO.....................157

TABLA NO. 9-1 CLASIFICACIÓN DE LA ESTRUCTURA...................................................160

TABLA NO. 9-2 CASOS DE CARGA SAP2000 ............................................................172

TABLA NO. 9-3 COMBINACIONES SAP2000..............................................................172

TABLA NO. 9-4 COMBINACIONES DE DISEÑO Y SERVICIO SAP2000 ...........................173

TABLA NO. 9-5 RESUMEN DE DISEÑO CON SAP2000 ................................................186

TABLA NO. 9-6 RESUMEN DE RESULTADOS PROGRAMA TESIS ....................................190

TABLA NO. 9-7 COMPARACIÓN DE RESULTADOS.......................................................191



Universidad Nacional de Colombia 1

CAPÍTULO 1 - INTRODUCCIÓN

Los requerimientos y lineamientos del diseño estructural en Colombia han estado enfocados principalmente hacia dos tipos de estructuras: puentes y edificaciones. Para los puentes, el documento “Código Colombiano de Diseño Sísmico de Puentes”, CCDSP-95 [Ref. 14], vigente desde 1995, cuenta con los lineamientos para el análisis y diseño de estructuras cuya función principal es la de trabajar como paso elevado o puente, bajo un conjunto de cargas denominadas camión. Para el caso de edificaciones, hasta diciembre del 2010 se encuentra vigente el documento “Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo Resistente”, NSR-98 [Ref. 6], vigente desde 1998. La nueva norma denominada “Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente”, NSR-10 [Ref. 7], publicada el 19 de marzo de 2010 bajo el decreto 926 de 2010 y vigente desde julio 15 del 2010; abarca los lineamientos y requisitos únicamente para estructuras denominadas como edificaciones, las cuales se definen como aquellas construcciones cuyo principal uso es la habitación u ocupación de seres humanos. ¿Y entonces qué pasa con las estructuras de ingeniería ambiental, estructuras hidráulicas, tanques, etc.?. La nueva norma colombiana cambia el anterior capítulo C.20 y lo reemplaza por el C.23 “Tanques y estructuras de ingeniería ambiental de concreto”, e incluye recomendaciones y criterios que modifican los requerimientos convencionales usados en la norma de edificaciones. Adicionalmente en el apéndice A-1 “Recomendaciones sísmicas para algunas estructuras que se salen del alcance del reglamento”, incluye referencias bibliográficas así como criterios básicos para el análisis sísmico de diferentes tipos de estructuras, incluyendo, entre otros, los lineamientos de fuerzas convectivas e impulsivas para el análisis de tanques de almacenamiento. La NSR-10 esta basada principalmente en el estudio del ACI318-08 “Building Code Requirements for Structural Concrete” [Ref. 1], del American Concrete Institute (ACI); y particularmente para el caso de estructuras hidráulicas o ambientales, en el ACI350-06 “Code Requirements for Environmental Engineering Concrete Structures” [Ref. 2]. Por lo anterior, ya tenemos en Colombia una norma que tiene en cuenta los requerimientos y criterios específicos para las estructuras hidráulicas o ambientales, dándoles la importancia que requieren; permitiendo ignorar,




únicamente para éstas, lo enunciado en el articulo 3 de la Ley 400 de 1997 (modificada Ley 1229 de 2008): “Excepciones.- Las disposiciones de esta Ley y sus reglamentos no comprenden el diseño y construcción de estructuras especiales como puentes, torres de transmisión, torres y equipos industriales, muelles, ESTRUCTURAS HIDRÁULICAS1 y todas aquellas estructuras cuyo comportamiento dinámico difiera del de edificaciones convencionales, o no estén cubiertas dentro de las limitaciones de los materiales estructurales prescritos.”. Con el presente proyecto de investigación se busca presentar una metodología simplificada mediante la formulación de los elementos finitos, que permita realizar el análisis de estas estructuras hidráulicas de una manera sencilla y confiable; y a su vez, que sea aplicable a una herramienta de uso común como lo es una hoja de cálculo de Microsoft Office Excel. Como complemento a lo anterior, se consignan los lineamientos básicos que permitan realizar el análisis y diseño de tanques de concreto reforzado, teniendo en cuenta los requisitos de la nueva norma NSR-10, e incluyendo aquellos aspectos faltantes de las normas internacionales, pero adoptados a nuestro país.

1.1 ESTADO DEL ARTE

Varias organizaciones e instituciones cuentan dentro de su documentación lineamientos propios para el análisis y diseño de tanques, tales como:

ACI – “American Concrete Institute” AWWA – “American Water Works Association” API – “American Petroleum Institute” CEN – “Comité Européen de Normalisation” NZSEE – “New Zealand Society for Earthquake Engineering” FEMA – “Federal Emergency Management Agency” GSDMA – “Gujarat State Disaster Management Authority”

Éste último organismo, realizó un completo estudio comparativo entre las metodologías del análisis hidrodinámico de cada una de las normas, con el fin de documentar y fundamentar su propia normatividad con base en las condiciones locales de la India, [Ref. 12, 15 y 16]. Como se mencionó anteriormente, uno de los aspectos más importantes de la nueva norma NSR-10, es que incorpora los criterios para el análisis y diseño estructural específicos para estructuras hidráulicas; sin embargo, y teniendo en cuenta su alcance, la norma no cubre los lineamientos o metodologías para el comportamiento dinámico del líquido contenido en la estructura; pero hace referencia al código ACI350.3-06 “Seismic Design of Liquid-Containing Concrete 1 Las mayúsculas, negrilla y subrayado de las palabras “estructuras hidráulicas”, corresponden al autor del presente documento.




Structures” [Ref. 4]; abarcando así todos los aspectos relevantes del comportamiento de estructuras de ingeniería ambiental.

1.2 PROYECTOS DE INVESTIGACIÓN RELACIONADOS

Es importante mencionar, que no es común que se incluyan dentro de las asignaturas de los postgrados en estructuras de las universidades colombianas, y mucho menos en el pregrado de ingeniería civil, temas relacionados con el análisis y diseño de este tipo de estructuras; razón por la cual, son muy contadas las investigaciones o proyectos de grado que sean afines a esta línea de investigación. A continuación se describen algunas: Giraldo Isaza, Luis Fernando; “Tanques rectangulares de concreto: Guía para

su diseño estructural y de sus juntas” – Universidad Nacional, 1990 [Ref. 10]: En el documento se presentan aspectos muy importantes sobre las características del concreto y de las juntas en los tanques.

Caro Olarte, Raúl Antonio; “Aplicación de las estructuras laminares al diseño

de tanques rectangulares” – Universidad Nacional, 1996 [Ref. 8]: Desarrolla un modelo matemático para el análisis y diseño de tanques bajo el método de las series, utilizando elementos laminares; realizando un análisis estático de la estructura. Se incluyen parámetros relevantes para el análisis y diseño de tanques.

Ardila Roa, Edgar; “Diseño de tanques en concreto reforzado para el

almacenamiento de líquidos conceptos básicos y normativa” – Universidad Nacional, 2002 [Ref. 5]: El documento es una referencia muy completa para el análisis y diseño de estructuras hidráulicas, particularmente tanques. Realiza una comparación entre la norma británica (BS-8007/1987) y la norma americana (ACI350-1989).

Santos Gordillo, Martín; “Estudio de teorías sobre diseño sísmico de tanques

superficiales” – Universidad Nacional, 2004 [Ref. 21]: Presenta un estudio de las teorías o metodologías más utilizadas para el análisis hidrodinámico de estructuras hidráulicas, realizando comparaciones y discusiones acerca de las mismas.

Velásquez, César A.; “Análisis hidrodinámico de tanques de almacenamiento

de líquidos” – Universidad de los Andes, 2004 [Ref. 24]: Investigación de las diferentes metodologías para el análisis y diseño de tanques circulares de almacenamiento. Incluye un modelo experimental a escala para comparación de los resultados.




1.3 OBJETIVOS

1.3.1 Objetivo General

Desarrollar una metodología simplificada para el análisis y diseño de tanques tipo cajón (una y dos celdas) en concreto reforzado mediante el método de los elementos finitos, acorde a la normatividad vigente en Colombia.

1.3.2 Objetivos Específicos

1. Desarrollar una formulación simplificada mediante la metodología de los elementos finitos que permita modelar estructuras tipo cajón con un comportamiento más cercano a la realidad. Este objetivo se desarrolla en el Capítulo 7.

2. Presentar los requerimientos generales para el análisis, diseño y construcción de estructuras hidráulicas de acuerdo con lo establecido por la nueva NSR-10 [Ref. 7]. Este objetivo se desarrolla en el Capítulo 2.

3. Exponer la metodología para el análisis de carga hidrodinámica de la norma ACI350.3-06 [Ref. 4]; considerando las solicitaciones sísmicas establecidas para Colombia, indicadas en la NSR-10. Este objetivo se desarrolla en el Capítulo 4.

4. Realizar el análisis de un tanque tipo cajón de concreto reforzado utilizando diferentes tipos de elementos finitos, tanto bidimensionales como tridimensionales. Este objetivo se desarrolla en los Capítulos 5 y 6.

5. Implementar en una aplicación computacional la metodología simplificada que permita realizar el análisis y diseño de tanques de concreto, tanto enterrados, como semienterrados y superficiales; incluyendo los efectos de cargas estáticas, y de cargas dinámicas comunes a este tipo de estructuras. Este objetivo se desarrolla en el Capítulo 8.

6. Realizar la comparación de un diseño realizado con un modelo tridimensional, con el diseño realizado por la aplicación computacional. Este objetivo se desarrolla en el Capítulo 9.

1.4 ALCANCE

La presente investigación está limitada a los requerimientos para estructuras hidráulicas de la nueva norma NSR-10 y de las normas ACI350-06 “Code Requirements for Environmental Engineering Concrete Structures” [Ref. 2], y ACI350.3-06 “Seismic Design of Liquid-Containing Concrete Structures” del ACI. La aplicación computacional, se limita al análisis y diseño de tanques rectangulares de concreto reforzado tipo cajón, de una o dos celdas; considerando los casos de enterrado, semienterrado y superficial; reglamentados, bajo la NSR-10.




CAPÍTULO 2 - NORMATIVIDAD ESTRUCTURAS HIDRÁULICAS

En el presente capítulo se exponen los principales requerimientos a tener en cuenta, para el análisis y diseño de estructuras hidráulicas, de acuerdo con lo consignado en la nueva norma Colombiana, NSR-10 [Ref. 7], especialmente lo relacionado en el Capítulo C.23, “Tanques y estructuras de ingeniería ambiental de concreto”. Recordemos que éste capítulo está basado en el estudio de la norma ACI350-06 [Ref. 2]. Es importante anotar que en el primer párrafo del numeral C.23.0 de la NSR-10 se expone lo siguiente: “Todos los requisitos del Título C de la NSR-10 son aplicables a estructuras de ingeniería ambiental de concreto excepto donde se modifican en el presente Capítulo C.23. Si en C.23 no se hace referencia a un ordinal del Título C, este requisito debe cumplirse y es igualmente aplicable a estructuras ambientales. Cuando un requisito contenido en el Título C no es aplicable a estructuras ambientales esto se indica explícitamente en el C.23.". Sin embargo se debe entender que el documento del ACI350-06 es un documento completo e independiente del documento para edificios ACI318-08 [Ref. 1], mientras que en Colombia solo tenemos como guía la NSR-10, la cual esta enfocada a edificios, exceptuando por lo indicado en el capítulo C.23. Por lo anterior es muy difícil abarcar todos los criterios y recomendaciones incluidos en un documento y resumirlos para condensarlos en un solo capítulo. El documento ACI350 hace parte del resultado de estudios e investigaciones lideradas por el comité 350 del Instituto Americano del Concreto, constituido desde 1964, el cual tiene la misión de desarrollar y documentar la información de estructuras de ingeniería ambiental de concreto, excluyendo las estructuras nucleares. Este comité está compuesto por subcomités, los cuales se enfocan en aspectos específicos de los temas relacionados con este tipo de estructuras. Estos son:

350-0A – Generalidades y concreto 350-0B – Durabilidad 350-0C – Refuerzo y desarrollo 350-0D – Estructural 350-0E – Prefabricado y preesforzado 350-0F – Provisiones sísmicas 350-0G – Pruebas de Estanqueidad 350-0H – Editorial 350-0J – Educación




350-0K – Materiales dañinos 350-0L – Especificaciones 350-SC – Manejo

Actualmente se encuentra vigente la versión 2006 tanto de los requerimientos generales como del análisis hidrodinámico, las cuales están disponibles desde marzo de 2007. En esta última versión se realizaron cambios significativos con respecto a la versión anterior (Versión 2001), resaltando, entre otros, la modificación de los factores de carga y el cálculo del factor de servicibilidad para el correspondiente diseño; los cuales son acordes con las modificaciones efectuadas en la reciente versión del código ACI318-08 [Ref. 1].

2.1 NOTACIÓN Y DEFINICIONES

La nomenclatura que se lista a continuación se utiliza en el presente capítulo: av = luz de cortante, igual a la distancia del centro de una carga

concentrada a (a) la cara del apoyo para elementos continuos o en voladizo, o (b) el centro del apoyo para elementos simplemente apoyados, mm

Ab = área de una barra individual de refuerzo horizontal, mm2 Acp = área encerrada por el perímetro exterior de la sección transversal

de concreto, mm2 Ag = área de la sección bruta del elemento, mm2 Ask = área total de refuerzo lateral, mm2 At = área de una rama de un estribo cerrado que resiste la torsión con

un espaciamiento s, mm2 Av = área de refuerzo transversal para resistencia a cortante, mm2 bw = ancho del alma de la sección, mm c = distancia desde la fibra extrema en compresión al eje neutro, mm Cc = recubrimiento de la cara a tensión más cercana a la superficie del

refuerzo a tensión por flexión, mm d = distancia de la fibra extrema en compresión al centroide del

refuerzo a tensión, mm db = diámetro nominal de la barra de refuerzo, mm D = carga por peso propio o cargas permanentes (carga muerta) E = carga por efectos sísmicos dividido por el coeficiente de disipación

de energía (R) f’c = resistencia a la compresión nominal del concreto, MPa f’cr = resistencia promedio requerida a la compresión del concreto

utilizada como base para dosificar las mezclas, MPa fct = resistencia promedio a la tracción por hendimiento del concreto

liviano, MPa fs = esfuerzo en el refuerzo calculado bajo cargas de servicio, MPa




fy = esfuerzo especificado de fluencia del acero de refuerzo a tracción, MPa

fyv = esfuerzo especificado de fluencia del acero de refuerzo a cortante, MPa

F = carga por fluido G = carga por granizo h = altura o espesor total del elemento de análisis, mm H = cargas debidas al peso y empuje del suelo, así como el agua

contenida en el suelo ld = longitud de desarrollo a tensión del refuerzo, mm ldh = longitud de desarrollo a tensión del refuerzo, medida desde la

sección crítica hasta el extremo exterior del gancho, mm L = carga viva Lr = carga de cubierta Nu = carga axial última normal a la sección transversal, que ocurre

simultáneamente con Vu o Tu; debe tomarse como positiva para compresión y negativa para tensión, N

Pcp = perímetro exterior de la sección transversal de concreto, mm R = carga por lluvia s = espaciamiento centro a centro del refuerzo, mm s2 = espaciamiento centro a centro del refuerzo longitudinal de cortante

o torsión, mm ssk = separación entre barras longitudinales del refuerzo de superficie,

mm S = Carga por nieve Se = desviación estándar, MPa Sd = factor de durabilidad ambiental T = carga por temperatura Tu = momento torsional último de la sección, N-mm vu = esfuerzo mayorado de cortante, N Vc = fuerza resistente del concreto a cortante, N Vn = fuerza resistente nominal a cortante, N Vs = fuerza resistente del acero a cortante, N Vu = fuerza cortante última, N W = carga por viento = factor de amplificación del gradiente de deformación c = deformación unitaria neta del extremo del elemento de concreto a

compresión s = deformación unitaria en el extremo del refuerzo a tensión t = deformación unitaria neta en el extremo del refuerzo a tensión

producido por el esfuerzo nominal del acero = factor de reducción de resistencia correspondiente al esfuerzo de

análisis




= relación entre magnitud de la carga mayorada y la carga sin mayorar

= factor por utilización de concreto que tiene en cuenta las propiedades reducidas del concreto de agregado liviano

b = cuantía de refuerzo que produce condiciones de deformación balanceada en el elemento estructural

e = factor de modificación para la longitud de desarrollo con base en el revestimiento del refuerzo

2.2 REQUISITOS DE DURABILIDAD

Se incluyen requerimientos para estructuras ambientales con características y propiedades que son sensibles para su comportamiento a largo plazo. Estos requerimientos buscan controlar las mezclas de concreto, las cuales deben demostrar una adecuada permeabilidad, durabilidad, manejabilidad, compactibilidad y acabado. En la Tabla No. 2-1 se establecen límites en los porcentajes del material cementante con base en el tamaño máximo del agregado a usar en la mezcla, buscando obtener una mezcla más densa y un concreto de menor permeabilidad.

TAMAÑO MÁXIMO DE AGREGADO (mm)

TAMIZ QUE PASA EL AGREGADO GRUESO

MÍNIMO MATERIAL CEMENTANTE (kg/m3)

38 467 320

25 57 330

20 67 350

13 7 360

10 8 370

Tabla No. 2-1 Contenido Mínimo de Material Cementante (NSR-10 [Ref. 7] Tabla C.23-C.4.1.12) Adicionalmente se modifican los requisitos para estructuras que tengan condiciones especiales de exposición como ambientes corrosivos, condiciones de congelamiento y deshielo, y sulfatos, entre otros; para lo cual se definen categorías de acuerdo a la condición a controlar. Estas categorías se dividen en clases, teniendo en cuenta el nivel de severidad de la condición que se esté estipulando

(Ver Tabla No. 2-2). Dentro de estos requerimientos se resalta el cambio en las condiciones de baja permeabilidad para exposición al agua, agua residual y gases corrosivos, para lo cual la relación agua cemento se reduce de 0.50 a 0.45; mientras que la resistencia mínima a la compresión cf se aumenta de 24MPa a 28MPa. Con lo

anterior se busca asegurar, en cierta medida, una alta calidad en la mezcla de concreto a utilizar en la estructura. 2 En el presente capítulo se hace referencia entre paréntesis y con formato de letra itálica, a los numerales, ecuaciones o tablas que corresponden a las normas NSR-10 [Ref. 7] o ACI350-06 [Ref. 2].




CATEGORÍA CLASE SEVERIDAD CONDICIONES DE EXPOSICIÓN a/c (*) cf (MPA )

F0 No es

aplicable Concreto no expuesto a ciclos de congelamiento y deshielo

No aplica 28

F1 Moderada Concreto expuesto a ciclos de congelamiento y deshielo y exposición ocasional a la humedad

0.45 31

F2 Severa Concreto expuesto a ciclos de congelamiento y deshielo y en contacto continuo a la humedad

0.45 31

F Congelamiento

y deshielo

F3 Muy severa

Concreto expuesto a ciclos de congelamiento y deshielo que estará en contacto continuo con la humedad y expuesto a productos químicos descongelantes

0.42 31

P0 No es

aplicable En contacto con el agua donde no se requiere baja permeabilidad

No aplica 28 P Requiere baja permeabilidad

P1 Requerida En contacto con el agua donde se requiere baja permeabilidad

0.45 28

C0 No es

aplicable Concreto seco o protegido contra la humedad

No aplica 28

C1 Moderada Concreto expuesto a la humedad, pero no a una fuente externa de cloruros

0.50 28 C Protección del refuerzo para la corrosión

C2 Severa

Para la protección contra la corrosión del refuerzo de concreto expuesto a cloruros, sal, agua salina o que puede ser salpicado por agua del mismo origen

0.40 35

Q0 No es

aplicable Concreto que no esta expuesto a químicos corrosivos

No aplica 28 Q

Exposición a químicos

corrosivos Q1 Severa Concreto expuesto a químicos corrosivos diferentes a aquellos que impidan el congelamiento

0.42 31

(*) Máxima relación agua - material cementante, por peso para concretos de peso normal

Tabla No. 2-2 Requerimientos para Condiciones Especiales de Exposición (NSR-10 [Ref. 7] Tablas C.23-C.4.2.1 y C.23-C-4.3.1)




2.3 CALIDAD DEL CONCRETO, MEZCLADO Y COLOCACIÓN

Manteniendo la filosofía reflejada en los numerales anteriores, en cuanto al control de las características y materiales que aseguren un adecuado comportamiento de durabilidad en el largo plazo de la estructura, el documento del ACI (ACI350-06 [Ref. 2] Numeral C.5.1.1), establece una resistencia mínima a la compresión de 28MPa, para usar en este tipo de estructuras. Es importante anotar que en el capítulo C.23 de la NSR-10 no se incluye la modificación al numeral C-5.1.1, en donde indica que el mínimo es de 17MPa y no lo indicado por el ACI. Sin embargo, con lo

expuesto en la cf

Tabla No. 2-2 de éste documento, ya se está limitando la resistencia mínima a la compresión a 28MPa. En adición a lo anterior y como requerimientos direccionados en asegurar que la resistencia a la compresión del concreto establecida en los diseños se cumpla en obra, se resalta la inclusión de los siguientes lineamientos: La resistencia promedio crf , que se utiliza para dosificar el concreto, debe ser

la determinada por la Tabla No. 2-3, utilizando la desviación estándar, Se, obtenida según los numerales 5.3.1.1 o 5.3.1.2 de la norma NSR-10 [Ref. 7]. Estas ecuaciones están basadas en una probabilidad de 1/100 de que el promedio de tres ensayos consecutivos se encuentren inferior al valor de f’c requerido (Ecuaciones 2-1 y 2-3), un ensayo individual sea inferior a 35MPa del valor de f’c requerido (Ecuación 2-2); y que un ensayo individual sea inferior a 0.90f’c (Ecuación 2-4), garantizando así un factor de seguridad adicional para el concreto producido con resultados fallidos. (NSR-10 [Ref. 7] Numeral C.5.3.2.1)

RESISTENCIA A LA COMPRESIÓN

REQUERIDA, f’c, MPa RESISTENCIA A LA COMPRESIÓN PROMEDIO REQUERIDA, f’cr, MPa

f’c ≤ 35

Usar el mayor valor obtenido de las siguientes ecuaciones f’cr = f’c +1.34Se (2-1) f’cr = f’c +2.33Se – 3.5 (2-2)

> 35

Usar el mayor valor obtenido de las siguientes ecuaciones f’cr = f’c +1.34Se (2-3) f’cr = 0.90 f’c +2.33Se (2-4)

Tabla No. 2-3 Resistencia promedio a la compresión requerida (NSR-10 [Ref. 7] Tabla C.5.3.2.1) Teniendo en cuenta el manejo poco común de concretos de alta resistencia

(>35MPa), la Tabla No. 2-4 aumenta la resistencia promedio requerida, cuando no hay datos disponibles para establecer una desviación estándar de la muestra, para el diseño de la mezcla; ayudando a garantizar el cumplimiento de la resistencia f’c asumida en el diseño, en el momento de su elaboración en obra. Esta tabla difiere con la incluida por la NSR-10, en razón a que el límite




inferior para la resistencia a la compresión del concreto es de 28MPa y no de 21MPa.

RESISTENCIA ESPECIFICADA A LA

COMPRESIÓN, f’c, MPa RESISTENCIA PROMEDIO REQUERIDA A

LA COMPRESIÓN, f’cr, MPa

28 ≤ f’c ≤ 35 f’cr = f’c + 8.3

f’c > 35 f’cr = 1.10f’c + 5.0

Tabla No. 2-4 Resistencia promedio a la compresión requerida cuando no hay datos disponibles para establecer una desviación estándar de la muestra (ACI350-06 [Ref. 2] Tabla 5.3.2.2)

2.4 DETALLES DE REFUERZO

En razón a que las estructuras de ingeniería ambiental, normalmente están expuestas a líquidos u otras sustancias de manera constante, es necesario garantizar una mayor protección del refuerzo de los elementos estructurales y con ello la vida útil de estos. Para tal fin, la NSR-10 [Ref. 7] en su numeral C.23-C.7.7, realiza unas modificaciones a los recubrimientos mínimos que se deben utilizar para la protección del acero de refuerzo. Estos requerimientos se presentan a continuación y aplican para concreto fundido en sitio: Recubrimiento mínimo, mm (a) Concreto colocado directamente y en contacto permanente con la tierra 75 (b) Concreto expuesto a tierra, líquido, agua residual, Intemperie o placas soportando rellenos de tierra: Placas y viguetas 50 Vigas y columnas: Estribos y espirales 50 Refuerzo principal 65 Muros 50 Cimentaciones y placas de base: Parte inferior 50 Parte superior 50 Cascarones y losas plegadas 40 (c) Condiciones no cubiertas en (a) y (b): Placas y viguetas: Barras #11 y menores 20




Barras #14 y #18 40 Vigas y columnas: Estribos y espirales 40 Refuerzo principal 50 Muros: Barras #11 y menores 20 Barras #14 y #18 40 Cascarones y losas plegadas: Mallas, Barras #5 y menores 13 Barras #6 y mayores 20 Dentro de estos requerimientos, se resalta el aumento del recubrimiento del refuerzo principal para concreto expuesto a tierra, líquido, agua residual, intemperie o placas soportando rellenos de tierra, el cual aplica prácticamente a todas las estructuras hidráulicas y cuyo valor se aumenta de 50mm a 65mm. Es importante tener en cuenta que para las estructuras hidráulicas la cuantía mínima por retracción y temperatura para muros y losas, debe ser como mínimo lo indicado en la tabla C.23-C.7.12.2.1, aumentándola de 0.0018 a un mínimo de 0.0030. La Tabla No. 2-5 resume la cuantía mínima para acero de refuerzo con esfuerzo de fluencia igual a 420MPa, según la distancia entre juntas para compensar movimientos. Esta cuantía es por sección bruta del elemento estructural, es decir que si se va a utilizar refuerzo en las dos caras del elemento, el acero producto de esta cuantía puede ser dividido por cada cara (por dos).

Distancia entre juntas Cuantía mínima

D < 6m 0.003

6m < D < 9m 0.003

9m < D < 12m 0.004

D > 12m 0.005

Tabla No. 2-5 Cuantía mínima por sección bruta para acero fy = 420MPa

2.5 COMBINACIONES DE CARGA

En la Tabla No. 2-6 y Tabla No. 2-7, se presentan las combinaciones de carga del ACI350-06 [Ref. 2] y NSR-10 [Ref. 7], respectivamente. Uno de los principales cambios encontrados en la NSR-10, corresponde a las combinaciones básicas de diseño, en las cuales se resalta principalmente, reducciones del 15% en las cargas permanentes y del 6% en las cargas transitorias. Lo anterior obedece a que hoy en día el avalúo de cargas es más preciso, así como la mano de obra y los materiales utilizados, son calificados y




certificados, llevando finalmente a que su correspondiente incertidumbre sea menor, especialmente para la carga muerta. De igual manera se puede observar una reducción en el factor de carga para fluido, el cual la NSR-98 [Ref. 6], en sus numerales B.2.4.2.3 (estructuras convencionales) y C.20.3.3-a (estructuras hidráulicas), contemplaba un valor de 1.4 y 1.7 respectivamente; mientras que en las combinaciones de la NSR-10 [Ref. 7] se consigna un factor de 1.4 o 1.2, dependiendo de la ecuación a usar. Es importante observar que, en las combinaciones 9-6 y 9-7, se tienen en cuenta los casos en que las cargas gravitacionales reducen los efectos de las cargas horizontales, tales como sismo, fluido, viento y presión lateral de tierras, para lo cual reduce las cargas permanentes al 90% y no se incluye la carga transitoria (viva). Adicionalmente a estas combinaciones, se debe incluir una combinación que tenga en cuenta la probabilidad de una reducción en las cargas laterales, lo cual se traduciría en un aumento del efecto de las cargas gravitacionales. Para este último aspecto, el ACI350-06 (Numeral 9.2.1-d) indica una reducción del 60% en la magnitud de la carga. Un caso particular son los trabajos de excavación realizados alrededor de una estructura enterrada, generando menores desplazamientos en las paredes de la misma, permitiendo a su vez un mayor giro por carga vertical en la tapa, aumentando los esfuerzos correspondientes.

Combinación Numeral ACI350-06

U = 1.4 (D + F) (9-1)

U = 1.2 (D + F + T) + 1.6 (L + H) + 0.5 (Lr or S or R) (9-2)

U = 1.2D + 1.6 (Lr or S or R) + (1.0L or 0.8W) (9-3)

U = 1.2D + 1.6W + 1.0L + 0.5 (Lr or S or R) (9-4)

U = 1.2D + 1.2F + 1.0E + 1.6H + 1.0L + 0.2S (9-5)

U = 0.9D + 1.2F + 1.6W + 1.6H (9-6)

U = 0.9D + 1.2F + 1.0E + 1.6H (9-7)

Tabla No. 2-6 Combinaciones ACI-350 Numeral 9.2.1 En la Tabla No. 2-7, correspondiente a las combinaciones de carga de la NSR-10 [Ref. 7], se observa su similitud a las combinaciones del ACI350-06. Las diferencias más representativas son el reemplazo de la carga de nieve por la carga de granizo, la eliminación de la carga de lluvia, la eliminación de la carga por fluido y granizo en la combinación B.2.4.5 y la ausencia en las dos últimas combinaciones de la cargas por fluido. Adicional a lo anterior, la NSR-10 no tiene en cuenta la posible reducción del empuje lateral de tierras con un factor de 0.60; pero si incluye en el numeral B.2.4.2.3 que el factor de carga para tierras, debe




igualarse a cero para las combinaciones de carga 6 y 7, cuando ésta carga reduzca o sea contraria a las cargas por sismo o viento.

Combinación Numeral NSR-10

U = 1.4 (D + F) (B.2.4-1)

U = 1.2 (D + F + T) + 1.6 (L + H) + 0.5 (Lr or G) (B.2.4-2)

U = 1.2D + 1.6 (Lr or G) + (1.0L or 0.8W) (B.2.4-3)

U = 1.2D + 1.6W + 1.0L + 0.5 (Lr or G) (B.2.4-4)

U = 1.2D + 1.0E + 1.0L (B.2.4-5)

U = 0.9D + 1.6W + 1.6H (B.2.4-6)

U = 0.9D + 1.0E + 1.6H (B.2.4-7)

Tabla No. 2-7 Combinaciones NSR-10 Numeral B.2.4.2

2.6 FACTOR DE DURABILIDAD AMBIENTAL

El factor de durabilidad ambiental permite obtener una respuesta adecuada para estructuras ambientales, en las cuales la fisuración es el parámetro más importante para el diseño y posterior vida útil de la estructura. Su análisis se realiza teniendo en cuenta que los esfuerzos de estas estructuras, usando los requisitos de los códigos de edificios convencionales, son mayores que lo deseado durante su servicio. En la NSR-98 [Ref. 6], se utilizaban factores de durabilidad que afectan las combinaciones, y cuyo valor dependía del tipo de acción interna a la que esté sometido el elemento estructural (NSR-98 Numerales C.20.3.3 b, c, d y e). Estos lineamientos estaban dados para la distribución del refuerzo, los cuales fueron basados en ecuaciones empíricas usando un ancho de fisuración máximo calculado para condiciones normales de exposición, fijado en 0.254mm. En los numerales C.23-C.9.2 de la NSR-10 [Ref. 7], se indica que la carga de diseño o carga mayorada, debe ser multiplicada por el factor de durabilidad ambiental (Sd), teniendo en cuenta que las consideraciones de durabilidad, impermeabilidad y condiciones de servicio similares, prevalecen en el diseño. Esta metodología es la utilizada en el ACI350-06 [Ref. 2]. Su filosofía esta basada en el espaciamiento del refuerzo principal como metodología para limitar las fisuras superficiales a un ancho admisible usado en la práctica actual, pero que varía notablemente para cierta estructura; y no debe ser usado en diseños que se realicen bajo la metodología de los esfuerzos admisibles o en combinaciones de carga que incluyan fuerzas sísmicas. En el caso del diseño a cortante, el factor de durabilidad debe ser aplicado al exceso de resistencia a cortante aportado por el refuerzo a cortante únicamente. El factor de durabilidad ambiental se calcula entonces con la siguiente ecuación:




0.1

s

yd f

fS

(2-5)

Este esfuerzo fs, se encuentra limitado por los valores que se indican a continuación, dependiendo de la acción interna a la que esté sometido el elemento; y su valor está directamente especificado en función del espaciamiento usado en el refuerzo principal.

Esfuerzo de flexión: El esfuerzo fs calculado en el refuerzo más cercano a la superficie en tensión bajo cargas de servicio, no debe superar los valores que se indican a continuación, pero nunca puede ser mayor a 250MPa.

Para condición de exposición normal:

2

2

,

2504

57000

b

adms

ds

f

(MPa), (2-6)

pero no menor que 140MPa para miembros que trabajan en una dirección, y 170MPa para miembros que trabajan en dos direcciones. Para condición de exposición severa:

2

2

,

2504

46500

b

adms

ds

f

(MPa), (2-7)

pero no menor que 120MPa para miembros que trabajan en una dirección, y 140MPa para miembros que trabajan en dos direcciones. El factor esta definido como la relación entre las distancias del eje neutro a la fibra extrema a tensión al eje neutro y al centroide del refuerzo principal, ver Fig. No. 2-1:

cd

ch

(2-8)

donde “c” es calculado para cargas de servicio. Es permitido usar para el coeficiente , 1.2 para elementos cuya altura h, sea mayor que 400mm, y 1.35 para alturas menores a 400mm.




Igualmente en las anteriores expresiones es permitido usar el valor de 15625 para

el término 2

2504

bd

como simplificación.

Fig. No. 2-1 Distancias para el cálculo de b

Para los casos en que la apariencia del concreto de superficie es de importancia (concreto a la vista) y el recubrimiento del concreto excede los 75mm, el esfuerzo de tensión por flexión bajo cargas de servicio no debe exceder los valores anteriores y el espaciamiento s del refuerzo más cercano a la superficie en tensión no debe exceder el dado por:

mmCf

s cs

3005.2280

380

(2-9)

Es importante anotar que para la mayoría de condiciones, el criterio de control de fisuración para estructuras hidráulicas satisface las consideraciones de apariencia, sin embargo, la anterior limitante es en razón a que en las ecuaciones para el cálculo de fs, es omitido el recubrimiento en exceso considerado al superarse los 50mm.

Esfuerzo de tensión directa y por gancho, en condiciones de exposición normales:

fs = 140MPa

Esfuerzo de tensión directa y por gancho, en condiciones de exposición

severas:

fs = 120MPa

Esfuerzo de cortante resistido por el refuerzo a cortante bajo condiciones normales de exposición:

fs = 170MPa




Esfuerzo de cortante resistido por el refuerzo a cortante bajo condiciones

severas de exposición:

fs = 140MPa Finalmente, Sd debe ser tomado como 1.0 para el diseño de secciones de compresión controlada (ver numeral 2.8), así como todo refuerzo preesforzado y zona de anclaje de refuerzo de pos-tensionamiento, sin importar el tipo de exposición al que esté sometido. En el Anexo A, se realiza un ejemplo para el cálculo del factor de durabilidad ambiental para una tapa de 200mm de espesor.

2.7 REQUISITOS DE RESISTENCIA Y SERVICIO

Como se mencionó anteriormente, se realizaron cambios significativos en los factores de carga para el diseño de los elementos estructurales, por lo tanto era de esperarse que los coeficientes de reducción de resistencia, fueran igualmente modificados. Sin embargo, se puede observar que la proporción no es la misma, en razón a que, para el diseño a tensión, el factor se mantiene igual, mientras que para cortante, torsión y aplastamiento se reduce entre un 5% y 10%; buscando que las fallas que se produzcan en los elementos sean dúctiles (por deformación del acero) y no súbitas. Los coeficientes de reducción de resistencia establecidos en la nueva norma (NSR-10 [Ref. 7] C.9.3.1 y C.9.3.2) son:

Secciones de tensión controlada (Ver numeral 2.8) 0.90 Secciones de compresión controlada (Ver numeral 2.8):

(a) Miembros con refuerzo en espiral 0.75 (b) Miembros con otra configuración de refuerzo 0.65

Cortante y torsión 0.75 Aplastamiento del concreto 0.65

Para secciones en donde la deformación unitaria a tensión en el refuerzo de tensión extremo, en el cual la resistencia nominal está entre los límites de sección de compresión controlada y de tensión controlada (ver numeral 2.8), es permitido incrementarse linealmente desde la resistencia nominal de la sección de compresión controlada hasta 0.90, mientras la deformación unitaria neta a tensión en el refuerzo de tensión en el punto de resistencia nominal, se incrementa desde el límite de deformación unitaria a compresión, 0.002, hasta 0.005.




2.8 FLEXIÓN Y FUERZA AXIAL

Otra de las novedades de la norma NSR-10 [Ref. 7], en relación con su predecesora, es el concepto de secciones de compresión y tensión controladas, para el manejo de los lineamientos de diseño (como el caso de los coeficientes de reducción de resistencia del numeral anterior). Anteriormente los límites de deformación unitaria a tensión para miembros a flexión no estaban establecidos explícitamente, pero estaban implícitos en la máxima cuantía de refuerzo a tensión dada en fracción de b, la cual es dependiente del esfuerzo a la fluencia del refuerzo. Con estos nuevos conceptos, se busca que los diseños no estén basados únicamente en fórmulas y ecuaciones empíricas, sino que adicionalmente se realice un estudio detallado de la sección encontrando las deformaciones unitarias relacionadas con el nivel de carga al cual está sometido el elemento. Igualmente esta definición busca mejorar la falla dúctil para elementos cuyo comportamiento sea de tensión, limitando la cantidad máxima de acero de refuerzo en el elemento obligando a que se presente la fluencia del refuerzo antes o al mismo tiempo que la falla de la fibra extrema por compresión. Las secciones de compresión controlada (principalmente elementos a compresión), son aquellas cuando la deformación unitaria neta en el refuerzo de tensión extremo es menor o igual que la deformación unitaria de compresión controlada en el momento en que el concreto en compresión llega a una deformación unitaria de 0.003. El límite de deformación unitaria por compresión controlada es la deformación unitaria neta a tensión en el refuerzo para las condiciones de cuantía balanceada. Para refuerzo Grado 60, se permite usar la deformación unitaria límite de compresión controlada igual a 0.002. Las secciones son de tensión controlada (principalmente elementos a flexión), cuando la deformación unitaria neta a tensión en el refuerzo extremo a tensión es igual o mayor a 0.005, justo cuando el concreto en compresión llega a su deformación unitaria límite de 0.003. Secciones con deformación unitaria neta a tensión en el refuerzo extremo a tensión, entre el límite de deformación unitaria por compresión controlada y 0.005, pertenecen a una región de transición entre secciones de compresión controlada y tensión controlada. Con base en los nuevos requerimientos de control, para elementos no preesforzados a flexión y carga axial menor a Agfc 10.0 , la deformación unitaria

neta a tensión t en el punto de resistencia nominal, no puede ser menor que 0.004 (NSR-10 [Ref. 7] C.10.3.5); modificando los lineamientos basados en la cuantía balanceada, contemplados en la NSR-98 [Ref. 6]. Lo anterior se traduce en un límite de cuantía de refuerzo determinado, mínimo o máximo, según si el elemento se encuentra en estado de compresión o tensión controlada. Teniendo en cuenta la premisa del análisis de estructuras de concreto




“las secciones planas permanecen planas”, se deducen las cuantías mínimas y máximas para alcanzar los diferentes estados mencionados anteriormente.

Fig. No. 2-2 Esfuerzos límite para secciones controladas a compresión

Fig. No. 2-3 Esfuerzos límite para secciones controladas a tensión

Utilizando la Fig. No. 2-4 se obtiene la siguiente relación:

tc

c

d

c

(2-10)

Fig. No. 2-4 Relación de esfuerzos y distancias en un elemento sometido a flexión

resolviendo para cada uno de los estados límite:

002.0

003.0

t

c

60.0d

c (2-11)

004.0

003.0

t

c

43.0d

c (2-12)

005.0

003.0

t

c

375.0d

c (2-13)

c=0.003

s≥0.005

c=0.003

s≤0.002

c

t

d

c




obteniendo las relaciones entre el bloque efectivo de concreto, “c”, y la distancia al refuerzo a tensión, “d”, necesarias para garantizar cada estado límite. Utilizando las ecuaciones de la teoría convencional de concreto:

bf

fAsc

c

y

185.0 (2-14)

reemplazando en las ecuaciones anteriores,

dbf

fAs

d

c

c

y

185.0 ,

y teniendo en cuenta que

db

As;

se reemplaza cada una de las condiciones límite:

y

c

f

f185.060.0

(2-15)

y

c

f

f185.043.0

(2-16)

y

c

f

f185.0375.0

(2-17)

Estas ecuaciones corresponden al valor máximo o mínimo de cuantía de refuerzo a flexión para garantizar los estados límites de compresión controlada, deformación unitaria neta a tensión t mayor o igual a 0.004 para cargas axiales bajas, y tensión controlada; respectivamente. Para una sección rectangular, con

85.0 ,21 1 MPafc y MPaf y 420 ,

se tienen los siguientes límites: Cuantía mínima: 0033.0 Cuantía para secciones de tensión controlada: 0135.0




Cuantía para elementos con baja carga axial: 0155.0 Cuantía balanceada: 0213.0 Cuantía para secciones de compresión controlada: 0217.0 Dentro de los nuevos requisitos de distribución del refuerzo, se incluye los esfuerzos de servicio máximos admisibles para elementos estructurales sometidos a flexión, indicados en el numeral 2.6 del presente documento. Estas expresiones modifican la metodología de cálculo de la norma NSR-98 [Ref. 6], la cual estába basada en el cálculo del parámetro z, cuando la resistencia nominal a la fluencia del acero de refuerzo fy excede los 300 MPa; donde su valor no debe exceder los 30 MN/m para concreto que no se encuentra expuesto a la intemperie y los 25 MN/m para concreto expuesto a la intemperie, dimensionando de tal manera las secciones transversales de máximo momento positivo y negativo. Para los elementos de gran altura (altura del alma mayor de 900mm), debe colocarse refuerzo longitudinal de superficie distribuido uniformemente en ambas caras del elemento dentro de la distancia vertical d/2 más cercana al refuerzo de flexión a tracción, ya sea superior o inferior. A diferencia de la NSR-98, en la cual establecía como elemento de control la cantidad Ask de refuerzo lateral, el ACI350-06 [Ref. 2] utiliza la separación ssk, la cual no debe exceder el menor valor de (Ver Fig. No. 2-5):

d/6, 12in (300mm) y

30

1000

d

Ab .

Fig. No. 2-5 Refuerzo adicional para elementos de altura superior a 900mm.

Este refuerzo puede incluirse en los cálculos de resistencia si se hace un análisis de compatibilidad de deformaciones para determinar los esfuerzos en las barras o alambres individuales. No hay necesidad de que el área total de refuerzo de




superficie de ambas caras exceda la mitad del área requerida de refuerzo de flexión en tracción. En la NSR-10 [Ref. 7], los requerimientos para elementos de gran altura varían cambiando el límite superior del espaciamiento del refuerzo utilizando la ecuación (2-9), en donde el esfuerzo de servicio del acero, fs, se permite tomar como 2/3 de fy.

2.9 CORTANTE

Con el fin de realizar una aclaración en cuanto al punto de análisis para el cortante, el ACI350-06 [Ref. 2] y la NSR-10 [Ref. 7], especifican que para secciones de miembros de concreto no preesforzado, localizadas a menos de una distancia d de la cara del apoyo, puede utilizarse el valor del esfuerzo mayorado de cortante, vu, calculado a una distancia d o altura efectiva de refuerzo del elemento (NSR-10 C.11.1.3). Sin embargo para poder aplicar lo anterior, deben cumplirse simultáneamente las siguientes condiciones: (a) La reacción del apoyo, en la dirección del cortante aplicado, introduce

compresión en las regiones cercanas al apoyo del elemento. (b) Las cargas están aplicadas en o cerca a la parte superior del elemento. (c) No existen cargas concentradas entre la cara de apoyo y el lugar donde

se calcula el esfuerzo vu

Teniendo en cuenta que las normas no incluían requerimientos especiales o recomendaciones de análisis a cortante para elementos circulares, el ACI350-06 [Ref. 2] y la NSR-10 [Ref. 7], contemplan los siguientes dos aspectos importantes para diseño: El área usada para calcular Vc debe ser tomada como el producto del diámetro

y la altura efectiva de la sección de concreto. Se puede utilizar un valor de 0.80 veces el diámetro de la sección de concreto como la altura efectiva. (NSR-10 C.11.3.3)

Cuando se utilice estribos circulares o espirales como refuerzo a cortante, Vs

debe ser calculado usando la ecuación (2-18), donde d debe ser tomado como la altura efectiva definida en el ítem anterior, Av debe ser tomado como dos veces el área de la barra del estribo circular o espiral para un espaciamiento s, y fy es el esfuerzo de fluencia correspondiente al refuerzo usado como estribo circular o espiral. (NSR-10 C.11.5.6.3)




s

dfAV yv

s

(Ecuación C.11-15) (2-18)

El refuerzo mínimo a cortante, indicado en el ACI350-06, así como en la NSR-10, establece que el área mínima de acero de refuerzo para resistencia al cortante, se debe calcular por medio de la ecuación (2-19). Esta ecuación contempla el límite inferior de las versiones anteriores, pero involucra la especificación del concreto de diseño del elemento estructural, como variable dentro del área mínima de refuerzo a cortante (NSR-10 [Ref. 7] C.11.5.5.3).

y

w

y

wcv f

sb

f

sbfA

35.0062.0 (Ecuación NSR-10 C.11-13) (2-19)

Para ménsulas y cartelas, en las cuales el diseño esta dominado principalmente por cortante, ambas normas, disminuyen el valor del coeficiente de reducción de resistencia de 0.85 a 0.75; manteniendo concordancia con lo establecido en el numeral 2.7. (NSR-10 C.11.9.3.1) De igual manera, se establece que para concreto liviano o concreto liviano con arena normal el valor de resistencia a cortante del concreto no puede ser mayor que el indicado en la ecuación (2-20). (NSR-10 C.11.9.3.2.2)

dbd

aó

dbfd

a

V

wv

wcv

n9.1

5.5

07.02.0

(2-20)

En el diseño por cortante para muros, el ACI350-06 [Ref. 2] modifica la separación mínima del refuerzo tanto horizontal como vertical, indicada en la NSR-98 de 500mm, por una separación mínima de 300mm. Se elimina el valor mínimo de tres veces el espesor para ambos refuerzos. (ACI350-06 11.10.9.3 y 11.10.9.5). Los numerales C.11.9.9.3 y C.11.9.9.5 de la NSR-10 [Ref. 7] indica una separación de 450mm y mantiene el límite inferior de tres veces el espesor del elemento. Para elementos tipo placa con refuerzo a cortante, la norma ACI350-06 incluye los siguientes límites de espaciamiento: la distancia entre la cara de la columna y la primera línea de estribos no debe ser mayor a d/2 ni 300mm, el espaciamiento entre las ramas adyacentes de estribos no debe ser mayor a 2d ni 300mm y el espaciamiento entre estribos no puede ser mayor a d/2 o 300mm. (NSR-10 C.11.12.3.3). Lo anterior teniendo en cuenta que este tipo de configuraciones y requerimientos han demostrado ser efectivos en diferentes estudios realizados. La




NSR-10 incluye los anteriores requerimientos eliminando el límite de 300mm en todos los requisitos.

2.10 TORSIÓN

En cuanto al diseño a torsión las normas ACI350-06 y la NSR-10, adicionan para una estructura estáticamente determinada sometida a fuerza axial, tanto de tensión como de compresión, la siguiente ecuación para el cálculo del momento torsional último Tu.

cg

u

cp

cpcu

fA

N

P

AfT

33.01083.0

2

(Ecuación NSR-10 C.11.6.2.2(c))

(2-21)

Esta reducción de Tu es permitida, teniendo en cuenta la redistribución de fuerzas internas después del agrietamiento si la torsión proviene del giro del elemento necesario para mantener la compatibilidad de deformaciones. La NSR-10 [Ref. 7] incluye en la ecuación el factor de modificación, , el cual tiene en cuenta la disminución de las propiedades mecánicas del concreto liviano. Adicionalmente se modifica el área mínima de estribos cerrados, para los casos en donde se requiera refuerzo por torsión, determinada por la ecuación (2-22), la cual es acorde a la modificación del refuerzo mínimo a cortante indicada anteriormente. (NSR-10 C.11.6.5.2)

yv

w

yv

wctv f

sb

f

sbfAA

35.0062.02

(Ecuación NSR-10 C.11-23)

(2-22)

2.11 VIGAS ALTAS

Para vigas altas se intercambian los valores mínimos de área de acero del refuerzo perpendicular (al refuerzo principal) con el refuerzo paralelo (al refuerzo principal). Lo anterior con base en que estudios recientes han demostrado que el refuerzo perpendicular es más efectivo que el refuerzo en paralelo. El área de refuerzo a cortante Av, perpendicular a la luz no debe ser menor de

sbw , ni s puede exceder d/5 ó 300 mm. (NSR-10 C.11.8.9) 0025.0




El área de refuerzo a cortante Avh, paralelo a la luz, no debe ser menor de

2 , ni s0015.0 sbw 2 puede exceder d/5 ó 300 mm. (NSR-10 C. 11.8.10)

2.12 DESARROLLO Y EMPALMES DE REFUERZO

La principal modificación en este aspecto en el ACI35-06 [Ref. 2], es la inclusión del factor en las formulas para el cálculo de la longitud de desarrollo (ld) del refuerzo sometido a esfuerzos de tensión, en cuyo caso, es 1.30. Si la resistencia a la fisuración por tensión del concreto fct es especificada, el valor de corresponde a:

0.156.0

ct

c

f

f (2-23)

En la utilización de concreto normal = 1.0. En el caso de los ganchos a tracción de las barras corrugadas la longitud de desarrollo básica ldh debe ser;

c

be

f

d

24.0

, (2-24)

con e igual a 1.2 para refuerzo con recubrimiento epóxico y, igual a 1.3 para concreto con agregados livianos. Para otros casos e y deben tomarse igual a 1.0. Para lo anterior, la NSR-10 [Ref. 7], modifica el valor del a no mayor a 0.75, a menos que se especifique el valor de fct, para lo cual se utiliza la ecuación (2-23), y cuyo valor no puede ser superior a 1.0. Esto teniendo en cuenta que en la ecuación para el cálculo de la longitud de desarrollo del numeral C.12.2.2 el coeficiente pasa al denominador.




CAPÍTULO 3 -

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

En el presente capítulo, se exponen los fundamentos teóricos y conceptos básicos, necesarios para realizar un análisis mediante el Método de los Elementos Finitos, (MEF), aplicado a tanques rectangulares en concreto reforzado.

3.1 INTRODUCCIÓN3

El método de los elementos finitos, es un procedimiento numérico para obtener soluciones a algunos de los problemas de ingeniería, generalmente formulados mediante ecuaciones diferenciales, principios energéticos y variacionales. El método tiene dos subdivisiones: la primera utiliza elementos discretos para obtener los desplazamientos en las uniones y las fuerzas en los elementos de un arreglo estructural. La segunda utiliza elementos continuos para obtener soluciones aproximadas a problemas de la mecánica de sólidos, transferencia de calor y mecánica de fluidos. La formulación que utiliza elementos discretos es la que se denomina “análisis matricial de estructuras”. El segundo enfoque modela la verdadera naturaleza de la metodología de los elementos finitos, por medio de la cual se obtienen resultados aproximados de los parámetros deseados en puntos específicos llamados nodos. Los programas convencionales de elementos finitos son capaces de realizar ambos análisis, razón por la cual denotan su metodología como de elementos finitos, sin diferenciar si el análisis es mediante la formulación de los elementos discretos o de los elementos continuos. El método de los elementos finitos combina numerosos conceptos matemáticos para producir un sistema lineal o no lineal de ecuaciones. El número de ecuaciones es usualmente muy grande, dependiendo de la complejidad de la estructura a analizar, por lo que requiere la ayuda de una herramienta computacional. Es importante anotar que sin la ayuda de la herramienta computacional, la metodología carece de valor práctico.

3.2 DESCRIPCIÓN DEL MEF [REF. 25]

La solución de un problema mecánico estático elástico lineal mediante el MEF se puede resumir mediante el siguiente procedimiento, conocido como el método de los desplazamientos:

3 Traducción de parte de la introducción del libro “Applied Finite Element Analysis”, 1984, del autor Larry J. Segerlind. [Ref. 17]




1. El continuo o la región a analizar, se divide mediante formas geométricas simples denominadas elementos finitos, en los cuales son considerados las propiedades del material y las relaciones gobernantes.

2. La interconexión entre sí de éstos elementos, se realiza mediante un número discreto de nodos, situados en los bordes o contornos, siendo los desplazamientos de estos, las incógnitas principales del problema.

3. Se toma un conjunto de ecuaciones que describen el comportamiento dentro cada elemento finito en función de los desplazamientos nodales de dicho elemento.

4. Las funciones de desplazamiento obtenidas en el paso anterior, definirán de manera única el campo del desplazamiento y de la deformación dentro del elemento en función de los desplazamientos nodales del mismo.

5. Se establecen las condiciones de borde como valores conocidos del desplazamiento en ciertos nodos.

6. Se determina un sistema de fuerzas nodales que representen las condiciones de carga de la región, para la cual se plantea una relación con los desplazamientos nodales correspondientes.

7. Se resuelve el sistema obteniéndose los desplazamientos nodales y con ello toda la información del continuo, con base en las funciones de comportamiento del mismo.

Aunque el proceso es relativamente sencillo, comparable al procedimiento para el análisis matricial de estructuras, su complejidad depende de la selección de las funciones de desplazamiento, en razón a que no es fácil asegurar que cumplan las condiciones de continuidad de los desplazamientos con los elementos adyacentes.

3.3 PRINCIPIO DE LA ENERGÍA POTENCIAL MÍNIMA [REF. 9]

El análisis de estructuras discretizadas o continuas, puede realizarse utilizando diferentes tipos de metodologías y desde diferentes puntos de vista. Una de estas éstas es el principio de la energía potencial mínima, que permite obtener las ecuaciones de los desplazamientos nodales de un sistema estructural. El principio establece que: Dentro de todas las ecuaciones de desplazamiento que satisfacen la compatibilidad interna y las condiciones de frontera; aquellas que también satisfacen las ecuaciones de equilibrio hacen que la energía potencial se minimice en un sistema estable. Con lo anterior, el principio implica:

a. La determinación de una ecuación de desplazamiento para cada elemento, las cuales deben ser compatibles entre si.

b. La incorporación de condiciones de frontera, tales que las ecuaciones de desplazamiento satisfagan todas las condiciones físicas de apoyo.




c. La determinación de una ecuación para la energía potencial dentro del sistema estructural en términos de algunos desplazamientos nodales desconocidos.

d. La minimización de la energía potencial con respecto a los desplazamientos indeterminados dentro de las ecuaciones de desplazamiento.

Una vez se completen los cuatro pasos anteriores, se llega a un sistema de ecuaciones de equilibrio, que se resuelven para los desplazamientos nodales. Una vez sean conocidos los desplazamientos, se pueden calcular todas las demás incógnitas necesarias o requeridas para el análisis de la estructura. El proceso de minimización implica la necesidad de una ecuación de energía potencial en función de los desplazamientos nodales. La energía potencial en una estructura elástica es la energía contenida en las deformaciones elásticas o energía de deformación; y la capacidad de las cargas de realizar trabajo. La energía potencial total está dada por:

W (3-1)

en donde, = energía de deformación W = trabajo realizado por las fuerzas externas.

3.4 TIPOS DE ELEMENTOS PARA MODELACIÓN

La selección de los tipos de elementos finitos a utilizar para un análisis específico de una estructura, varía según el nivel de aproximación de los resultados, así como el nivel de complejidad del mismo para realizarse. Para el análisis particular de estructuras tipo cajón como tanques, se pueden utilizar modelos bidimensionales o tridimensionales, dependiendo principalmente, de la precisión esperada del análisis. En los modelos bidimensionales se utilizan principalmente elementos tipo pórtico plano; mientras que para los modelos tridimensionales se utilizan elementos tipo membrana, placa y cascarón. Igualmente se pueden encontrar elementos de mayor complejidad que los anteriores según lo requiera el análisis a realizar. A continuación se describen brevemente algunos de estos elementos, los cuales son la base de los análisis que se realizan en los capítulos siguientes.




3.4.1 Elementos tipo pórtico plano (marco) [Ref. 9]

Los elementos tipo pórtico plano, denominados en este documento como elementos tipo marco, son principalmente utilizados para el análisis de miembros sometidos a carga transversal, que generen esfuerzos normales y cortantes en un plano; y cuyos desplazamientos sean perpendiculares al eje longitudinal. Estos elementos representan barras rectas, de longitud , cuya sección transversal constante tiene un momento de inercia I, y un módulo de elasticidad E. Se consideran como grados de libertad los desplazamientos transversales y giros en cada uno de sus vértices, obteniendo así, cuatro grados de libertad por elemento; representado en la

Fig. No. 3-1.

Fig. No. 3-1 Segmento de análisis para elementos tipo viga

Para una viga continua, con n elementos, la energía potencial total es:

n

e

Te PU1

; (3-2)

en donde, U = vector nodal

P = vector de fuerzas nodales La energía de deformación de la viga es:

dvE

v

xxe 2

2 (3-3)

asumiendo que la deformación por esfuerzos cortantes es despreciable. La deformación total exx es relacionada con la deflexión de la viga, , por:

1 2

x

y

dx = l

E, I




2

2

dx

dyexx

(3-4)

Para el caso particular de vigas el término exx = xx, en razón a que no se consideran deformaciones por cambios de temperatura. Substituyendo las dos ecuaciones anteriores, reordenando y simplificando, se obtiene la ecuación (3-5), que permite obtener la energía de deformación en términos de la deformación de la viga.

dxdx

dEIe

0

2

2

2

2

(3-5)

En donde: E = módulo de elasticidad, I = Momento de inercia de la sección. Sin embargo, la anterior integral no puede ser evaluada hasta que no se tenga una ecuación, xf , que describa adecuadamente la deflexión de la viga. Para esto se tiene que la ecuación diferencial que gobierna las deflexiones de las vigas, es:

)(4

4

xwdx

d

(3-6)

donde w(x) es la carga sobre el elemento. Las condiciones de frontera permiten establecer que:

1

1

)0(

0

dx

dv

v

2

2

)(

Ldx

dv

vL (3-7)

Para el caso sin cargas, w(x) = 0, la solución de la ecuación (3-6) está dada por

34

2321 xaxaxaav (3-8)

Aplicando las condiciones de frontera a la ecuación (3-8), y reorganizando, se obtiene el siguiente sistema:




eUNv (3-9)

en donde o matriz de funciones de forma, esta dada por: N

2

32

4

3

3

2

2

3

2

32

2

3

3

2

2

1

4321

;23

;2

;23

1

L

x

L

xN

L

x

L

xN

L

x

L

xxN

L

x

L

xN

NNNNN

(3-10)

y, el vector de desplazamientos nodales por:

2

2

1

1

v

v

U e (3-11)

Teniendo la ecuación (3-9) y substituyéndola en la ecuación (3-5), se obtiene la energía de deformación de la viga; la cual conlleva como resultado, a la matriz de rigidez del elemento.

eL

TTee UdxBBEIU

02

1 (3-12)

en donde;

2

2

dx

NdB (3-13)

y el término , corresponde a la matriz de rigidez del elemento L

T dxBBEI0

ek .

La evaluación de la integral conlleva a la siguiente matriz:




22

22

3

4626

612612

2646

612612

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EIk e (3-14)

Finalmente, teniendo en cuenta que las conexiones de los tanques son rígidas y que los miembros conectados a conexiones rígidas deben soportar fuerzas axiales, cortantes y momento flexionante; se debe incluir dentro del elemento viga el efecto de la deformación axial y con ello incorporar un nuevo elemento denominado marco, ver Fig. No. 3-2.

Fig. No. 3-2 Segmento de análisis para elementos tipo frame

Para los elementos axiales, la matriz de rigidez esta dada por:

11

11

L

AEk e (3-15)

donde A es el área de la sección transversal del elemento. En razón a que la deformación axial es independiente de los demás grados de libertad contemplados en el elemento viga, la matriz de rigidez para el elemento tipo marco está dada por la suposición de estos elementos.

22

22

22

22

3

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

LLLL

LLI

AL

I

ALLLLL

LLI

AL

I

AL

L

EIk e

(3-16)

Y la matriz de desplazamientos corresponde a:

1 2

x

y

dx = l

A, E, I




2

2

2

1

1

1

v

u

v

u

U e (3-17)

3.4.2 Elementos tipo membrana o diafragma [Ref. 20]

En la ingeniería es común encontrar problemas que impliquen estructuras que son muy delgadas y cuyas cargas se encuentran aplicadas en la dirección del plano de la estructura; generando un problema típico de elasticidad bidimensional. Se consideran dos problemas de elasticidad bidimensional o plana: (1) estado plano de esfuerzos y (2) estado plano de deformaciones. El primero se considera cuando la estructura o elemento, está sometido a fuerzas en su propio plano; despreciando los esfuerzos en el sentido normal al mismo; 0,0,0 xzyzz y

0z . El segundo estado ocurre en miembros que no son libres de expandirse en

la dirección perpendicular al plano de las cargas aplicadas; 0,0,0 zxyzz y

0z . En razón a lo anterior, cada estado tiene su matriz de elasticidad correspondiente, indicadas en las ecuaciones (3-18) y (3-19), respectivamente.

2

100

01

01

1 2

E

D (3-18)

2

2100

01

01

211

E

D (3-19)

En donde, E = Módulo de elasticidad del material = Relación de Poisson




Para las anteriores condiciones, se pueden usar los elementos tipo membrana, los cuales involucran la generación de una malla de elementos interconectados entre sí, que forman la geometría de la sección o elemento de estudio. La malla se puede generar utilizando elementos triangulares o cuadriláteros, cuya complejidad varia según el orden de la función de forma del elemento; es decir, para el caso triangular un elemento simple consiste en el elemento basado en tres nodos o elemento triangular lineal, Fig. No. 3-3(a), los cuales están ubicados en los tres vértices correspondientes al triángulo. Un elemento de mayor complejidad, y a su vez precisión, consiste en un elemento triangular de seis nodos o elemento triangular cuadrático, el cual presenta adicionalmente a los nodos en sus vértices, nodos en los puntos medios que definen los lados del mismo, tal como se muestra en la Fig. No. 3-3(b).

Fig. No. 3-3 (a) Elemento triangular simple; (b) Elemento triangular cuadrático

El elemento tipo membrana más simple corresponde al triángulo de deformación constante (CST); el cual tiene dos grados de libertad en cada uno de sus nodos (ubicados en sus vértices) correspondientes a los desplazamientos en el plano del elemento, para un total de seis grados de libertad por elemento; como se observa en la Fig. No. 3-4. La energía de deformación del elemento CST, está determinada por:

v

Te

v

Te

dVD

DdV

2

1

2

1

(3-20)

En donde [D], corresponde a la matriz elasticidad para el estado plano de esfuerzos.




Para los campos de desplazamiento en el interior de cada elemento, se puede asumir:

yaxaa

yaxaau

yx

yx

543,

210,

(3-21)

donde es el desplazamiento en la dirección x, y yxu , yx, es el desplazamiento en

la dirección y.

Fig. No. 3-4 Triángulo de deformación constante

Utilizando los valores nodales como condiciones de frontera del elemento se obtienen las funciones de forma:

yxxxyyyxyx

yxxxyyyxyx

yxxxyyyxyx

AN

N

N

12211221

31133113

23322332

3

2

1

2

1

(3-22)

en donde A es el área del elemento y puede ser expresada de la siguiente forma:

2131323212

1yyxyyxyyxA

on las funciones de forma, se reescriben las ecuaciones de desplazamientos:

(3-23)

C




3

3

2

2

1

1

321

321

000

000

,

,

v

u

v

u

v

u

NNN

NNNuN

yxv

yxu

v

u(3-24)

Derivando las componentes del desplazamiento dadas en la ecuación (3-21) como lo establecen las relaciones deformación – desplazamiento, se obtienen los campos de deformación así:

1, ax

uyxx

5, ay

yxy

42, aaxy

uyxxy

(3-25)

Como se puede observar de las anteriores ecuaciones, las deformaciones son independientes de x y y, y son constantes en todo el elemento. Por lo anterior este elemento es llamado elemento triangular de deformaciones constantes (CST). Finalmente; reemplazando la ecuación (3-24) en la ecuación (3-25), se obtiene la matriz de operadores diferenciales actuando sobre las funciones de forma, [B], y con ella la matriz de rigidez del elemento.

211213313223

123123

211332

000

000

2

1,

yyxxyyxxyyxx

xxxxxx

yyyyyy

AyxB (3-26)

v

Tx dvBDBk 66 (3-27)

eniendo en cuenta que en la matriz de operadores diferenciales, [B], y en la

(3-28)

n donde, t es el espesor del elemento.

Tmatriz de elasticidad del material, [D]; todos los términos son constantes, la ecuación de la matriz de rigidez puede reescribirse:

BDBtAk T

e




3.4.3 Elemento tipo placa [Ref. 20]

Se considera un elemento como placa, cuando su espesor es muy pequeño en comparación con las otras dos medidas que conforman el plano de la placa; y su

s:

b. Placas delgadas con deformaciones grandes

ento se considera únicamente el comportamiento de las lacas delgadas con deformaciones pequeñas.

sa en las siguientes suposiciones, onocidas como hipótesis de Kirchoff:

permanece sin alargamiento durante las deformaciones.

a esta, permanecen planas después de flexionarse.

con plano XY como el lano principal. De acuerdo con la teoría de flexión de placas delgadas, la placa se

(3-29)

en donde Mx y My son los momentos en la dirección x y y, respectivamente; y Mxy

s el momento torsor o de perforación (“drilling”).

carga, se encuentra perpendicular a este plano. Se pueden diferenciar tres tipos o clases de placa

a. Placas delgadas con deformaciones pequeñas

c. Placas gruesas Para el presente docump El comportamiento de las placas delgadas se bac

1. La cara media de la placa

2. Caras planas conformadas por cortes transversales en la placa, en dirección normal

3. Los esfuerzos cortantes transversales son muy pequeños comparados con el esfuerzo normal y por ello puede ser despreciado.

Se considera una placa isotrópica de espesor uniforme t, y pencuentra en la condición de estado plano de esfuerzos y por ello todos los esfuerzos varían linealmente por el espesor de la placa. Los momentos de flexión están representados por:

2/

2/

2/

2/

2/

t

t

xyxy

t

t

yy

t

xx

dzzM

dzzM

dzzM

2/t

e




Si w es el desplazamiento transversal de la placa, las relaciones desplazamiento – curvatura para placas delgadas pueden ser escritas como:

yx

w

y

w

x

w

xy

y

x

2

2

2

2

2

2

(3-30)

e considera una pequeña sección de la placa de longitud dx en la dirección x. S

Cuando una carga es aplicada en la dirección normal a ella (dirección z), el punto O de la cara media de la placa, se mueve en la dirección z mientras que la placa se deforma por flexión; tal como se muestra en la Fig. No. 3-5.

X

Z

om

n

u

m

n

Fig. No. 3-5 Placa delgada a flexión

iguiendo las suposiciones de Kirchoff, los desplazamientos pueden ser escritos S

de la siguiente manera:

dy

wzv

dx

wzu

(3-31)




De la ecuación anterior y la relación entre la deformación y los desplazamientos; las deformaciones se obtienen como:

yx

wz

x

v

y

u

y

wz

y

v

x

wz

x

u

xy

y

x

2

2

2

2

2

2

(3-32)

Para la condición plana de esfuerzos, la relación de esfuerzo – deformación está dada por:

xy

y

x

xy

y

x

E

(3-33)

en donde, la matriz [E], corresponde a la determinada en la ecuación (3-18). Substituyendo la ecuación (3-32) y la ecuación (3-33), en la ecuación (3-29); y reordenando, se obtiene:

xy

y

x

xy

y

x

b

D

M

M

M

DM

2

100

01

01 (3-34)

en donde:

2

3

112

EtD (3-35)

que corresponde a la rigidez a flexión de la placa. Finalmente, la energía potencial de deformación de la placa está determinada por:

A

bT dxdyD

2

1 (3-36)




que corresponde finalmente a la matriz de rigidez, multiplicada por la matriz de desplazamientos del elemento, Uk . Existen varios tipos de elementos de placas a flexión, entre los cuales se destacan el elemento triangular (DKT) y el elemento cuadrilátero (DKQ), ambos basados en la teoría de Kirchoff. El primero está compuesto de nueve grados de libertad; mientras que el segundo tiene doce grados de libertad; ambos conformados por la deformación w(x,y) y las rotaciones x y y en cada uno de los nodos

3.4.4 Elemento tipo cascarón (shell) [Ref. 20]

Los elementos tipo cascarón están basados en la mezcla del comportamiento de los elementos tipo membrana y tipo placa; siendo muy eficientes para la modelación del comportamiento de estructuras curvas. Los elementos cascarón se pueden clasificar en:

1. Cascarón delgados 2. Cascarón curvos 3. Cascarón con simetría en un eje

Igualmente estos se pueden clasificar de acuerdo con el espesor del elemento y la curvatura de la cara media del mismo. Dependiendo del espesor, los elementos tipo cascarón se pueden agrupar en elementos cascarón delgados (thin shell) o elementos cascarón gruesos (thick shell); siendo los primeros basados en la teoría de Kirchoff, despreciando las deformaciones transversales a cortante; y los segundos en la teoría de Mindlin, en la cual no se desprecian estas deformaciones. Los elementos cascarón delgados, son desarrollados sobreponiendo la rigidez de los elementos tipo membrana y tipo placa, estudiados previamente. Las fuerzas normales a las caras transversales del elemento, así como las fuerzas por flexión del mismo, son totalmente independientes entre sí, y por ello no hay un acoplamiento que permita establecer una relación entre ellas; siendo esta su mayor desventaja. Dentro de los elementos cascarón delgados más utilizados se encuentran el triangular y el cuadrilátero. El primero basado en la combinación del los elementos CST, para el comportamiento como membrana; y DKT, para el comportamiento como placa. De igual manera, el segundo está basado en los elementos cuadriláteros correspondientes para membrana y placa.




Los elementos cascarón tienen seis grados de libertad en cada nudo representados por:

izyxi wvuU (3-37)

siendo n el número de nodos por elemento, ver Fig. No. 3-6.

Fig. No. 3-6 Grados de libertad del elemento cascarón

La matriz de rigidez del elemento membrana para cada nodo tiene un tamaño de 2x2 y está representado por . De igual manera, la matriz de rigidez del

elemento placa para cada nodo tiene un tamaño de 3x3 y está representado por . La matriz de rigidez para cada nodo del elemento finito tipo cascarón, tiene

un tamaño de 6x6 y está representado por

22xmk

33xbk

66xsk . El ensamblaje de los

componentes de la matriz de rigidez de los elementos membrana y placa, en cada uno de los nodos resulta en una diagonal de valor cero, correspondiente al grado de libertad rotacional z, en razón a que esta rotación no es considerada en ninguno de los dos elementos. Esta rotación o grado de libertad es llamada usualmente como “drilling”. El valor cero para el grado de libertad z, causa singularidad en la estructura de la matriz de rigidez cuando todos los elementos son coplanares y no hay acoplamiento entre las rigideces tipo membrana y tipo placa del elemento. Hay varias maneras de resolver el problema de singularidad. Una primera alternativa para remover la singularidad de la matriz de rigidez de la estructura, es la de sustituir la componente de la diagonal con un valor aproximado de rigidez del grado de libertad z. Aunque lo anterior soluciona el problema de singularidad, en algunos casos no representa el comportamiento real del elemento; en razón a que el artificio utilizado, representa una rigidez no real que ha sido adicionada a la matriz del elemento. Otra alternativa es la de desarrollar un elemento tipo membrana de orden superior, que incluya el grado de libertad, z, en sus ecuaciones. Sin embargo, esta

x

z

y

i

i

i

xi

zi

yi

i




alternativa es menos eficiente, en razón a que se requieren funciones de desplazamiento de orden superior para la matriz de rigidez del elemento membrana y con ello, es requerido un esquema de integración de orden superior. La primera alternativa es mucho más fácil de implementar y es mucho más eficiente. Este enfoque de incluir la matriz de rigidez ficticia para el grado de libertad z, se aproxima de manera cercana al comportamiento del elemento cascarón, pero en algunos casos resulta en una rigidización de la estructura, debido a los límites presentes en los nodos de las esquinas. La matriz de rigidez del elemento tipo cascarón es primero ensamblada mediante la superposición de las matrices de rigidez de los elementos membrana y placa en cada nodo. Luego, los valores nulos de la matriz de rigidez, correspondientes a z, son reemplazados por valores aproximados. El valor de aproximación utilizado corresponde a 1.0E-3 veces el máximo valor de la diagonal en la matriz de rigidez del elemento. Finalmente la matriz de rigidez para cada nodo del elemento cascarón , es representado por: isk

1000

max00

00

00

,

3323

3222

jis

xbx

xxm

is

Kk

k

k (3-38)

en donde Ks es la matriz de rigidez del elemento tipo cascarón.




CAPÍTULO 4 - CARGAS EN ESTRUCTURAS HIDRÁULICAS

Este capítulo presenta un resumen del tipo de cargas que se pueden encontrar en estructuras hidráulicas, particularmente en tanques; dándole una mayor importancia al empuje dinámico del fluido contenido. Igualmente se incluye, la metodología, de mayor uso en la práctica actual, para el cálculo de presión lateral dinámica de tierras. Estas cargas son incluidas en la aplicación computacional que se presentará más adelante.

4.1 CARGAS GRAVITACIONALES – ESTÁTICAS

Las cargas gravitacionales hacen referencia a cargas verticales adicionales al peso propio, aplicadas generalmente sobre la estructura. Estas pueden ser debidas a sobrecargas constantes, tales como rellenos o equipos; y/o cargas propias por uso, operación o evento temporal en la vida útil de la estructura. En la Fig. No. 4-1, se observa la sobrecarga de la placa superior de un tanque de almacenamiento, debida a un espesor de 20cm de relleno, el cual es usado principalmente para proporcionar un aislamiento natural de los rayos solares directos sobre la estructura. En la Fig. No. 4-2, se observa un tanque para sedimentación, el cual en su parte inicial contiene equipos y pasarelas que proporcionan cargas tanto temporales como permanentes, que deben ser incluidas dentro de los análisis realizados a la misma.

4.2 CARGAS LATERALES – ESTÁTICAS

Normalmente las cargas laterales estáticas principales que se pueden encontrar en los tanques son: la presión hidrostática y la carga por presión lateral de tierras, para el caso de tanques enterrados. La carga hidrostática está determinada en función de la altura del líquido y el peso específico del mismo. Es importante tener en cuenta que, para tanques enterrados, la carga hidrostática, así como su peso como carga vertical, no son relevantes; en razón a que éstas compensan o contrarrestan los efectos de los empujes de tierra, así como la deformación de la placa inferior, siendo el caso vacío, uno de los más críticos en el diseño. El empuje lateral de tierras estático, depende de la profundidad de análisis, el peso específico del suelo y del coeficiente de presión lateral propio del terreno, el cual puede ser, según sea el caso, activo (Ka), pasivo (Kp), o en reposo (Ko). La




selección del coeficiente de presión lateral, depende principalmente del caso particular del empuje lateral sobre la estructura.

Fig. No. 4-1 Carga muerta por relleno sobre placa superior del tanque

Fig. No. 4-2 Tanque para sedimentación




El estado en reposo, como su nombre lo indica, es la condición de equilibrio que se genera entre la estructura y el terreno circundante a ella; para lo cual el muro o elemento de contención se considera restringido a movimiento. El empuje activo del terreno se considera, cuando el muro se aleja del terreno y la masa del suelo se “expande” horizontalmente lo suficiente para producir esfuerzos cortantes en el muro que alcanzan la condición de equilibrio plástico. La magnitud aproximada de desplazamiento hacia fuera del muro, necesaria para alcanzar este estado está entre 0.001H y 0.004H para rellenos de suelo granular y entre 0.01H y 0.04H para rellenos de suelo cohesivo. Un ejemplo es el de los muros de contención, para los cuales, en su parte superior se permite un desplazamiento mínimo, en razón a su condición de elemento en voladizo, permitiendo generalmente el desarrollo del estado activo del terreno. La condición pasiva del terreno ocurre cuando la masa del suelo es comprimida horizontalmente, moviendo su esfuerzo cortante completamente. Lo anterior considera, que el terreno es sometido a un estado de compresión o de carga, a la cual el terreno, por su volumen, responde con una reacción, la cual es comparable a la capacidad portante del terreno ante cargas verticales. La cantidad de desplazamiento aproximada para desarrollar la falla bajo condiciones pasivas se presenta en la Tabla No. 4-1.

TIPO DE SUELO MOVIMIENTO DEL MURO x

Arena densa 0.005H

Arena suelta 0.01H

Arcilla firme 0.01H

Arcilla blanda 0.05H

Tabla No. 4-1 Desplazamientos para desarrollar un estado pasivo en el terreno Utilizando la Fig. No. 4-3 como referencia, se presentan las ecuaciones de Coulomb para el cálculo de las presiones activa, pasiva y reposo.

Presión lateral de tierras por unidad de longitud:

2

2HKP

(4-1)

Coeficiente de presión de tierras en reposo:

senKo 1 (4-2)

Coeficiente de presión activa de tierras:




2

2

2

1

sensen

sensensensen

senKa

(4-3)

Coeficiente de presión pasiva de tierras

2

2

2

1

sensen

sensensensen

senK p

(4-4)

Pa

Pp

Fig. No. 4-3 Empujes laterales de tierra activo y pasivo

En donde, = el ángulo de fricción interna del suelo = ángulo de inclinación de la espalda del muro con la horizontal = ángulo de de fricción entre el suelo y el muro. Se puede suponer con un valor

entre 2

y

3

2.

= ángulo de inclinación del talud del terreno = peso específico del relleno Se debe resaltar que en las combinaciones de carga de la norma ACI350-06 [Ref. 2] para las cargas por fluido y por empuje de tierras, se incluyen con el mismo




factor de mayoración, tanto la presión lateral, como el peso dentro del análisis a realizar.

4.3 EMPUJE HIDRODINÁMICO – ACI350.3-06

El empuje hidrodinámico hace referencia al efecto que tiene un evento sísmico, en el líquido contenido en las estructuras de retención. La norma ACI350.3-06, establece los lineamientos y requerimientos de análisis necesarios para evaluar las cargas que representan estos efectos, con el fin de que éstas queden contempladas en el diseño de las estructuras. Es importante anotar que adicional a las fuerzas hidrodinámicas, se incluyen en el análisis, las fuerzas inerciales correspondientes a la aceleración de la estructura como tal.

4.3.1 Clasificación de las estructuras

En cuanto a su procedimiento de análisis y diseño, las estructuras de retención de líquidos se pueden clasificar, en forma general, en dos categorías: La primera categoría abarca las estructuras elevadas, las cuales se componen de una sub-estructura de base o pedestal que permite obtener los niveles hidráulicos requeridos. El análisis hidrodinámico correspondiente está basado en el concepto de elemento en voladizo, y se encuentra consignado en el documento ACI371.R-08 “Guide for the analysis, design and construction of elevated concrete and compositive steel–concrete water storage tanks” [Ref. 3], aprobado por el comité 371 del ACI en el año 2008. En la segunda categoría se incluyen las estructuras soportadas en terreno, tanto enterradas como semi-enterradas y superficiales. Dentro de esta categoría las estructuras se pueden clasificar teniendo en cuenta la geometría general, la conexión muro – base y su método de construcción. Esta última clasificación se puede observar en la Tabla No. 4-2 y en la Fig. No. 4-4. En las Fig. No. 4-5 y Fig. No. 4-6, se presentan ejemplos de tanques en concreto que se incluyen dentro de la clasificación de la norma ACI350.3-06 [Ref. 4]. El primero corresponde a un tanque de almacenamiento de la planta de tratamiento del Río Cali, en la ciudad de Cali, la cual es en concreto preesforzado con base flexible pero anclada mediante torones de preesfuerzo, Fig. No. 4-5. La segunda, correspondiente al tanque rectangular de la Laguna en la ciudad de Bogotá, es en concreto reforzado con base empotrada, debido a la continuidad de los muros con la placa de piso, Fig. No. 4-6.




TANQUES

RECTANGULARES CIRCULARES

Concreto Reforzado Base Empotrada

Concreto Preesforzado Base empotrada

Concreto Reforzado Base Articulada

Concreto Preesforzado

Anclado

No Anclado - Confinado Base articulada Base Flexible

(Solo Preesforzado)

No Anclado - No Confinado

Tabla No. 4-2 Clasificación de estructuras en concreto soportadas en terreno según ACI350.3-06 [Ref. 4]

Fig. No. 4-4 Clasificación de estructuras según su apoyo [Ref. 4]




Fig. No. 4-5 Tanque de almacenamiento Planta Río Cali – EMCALI, tanque preesforzado circular

con base flexible anclada

Fig. No. 4-6 Tanque de almacenamiento La Laguna – Acueducto de Bogotá, tanque rectangular en

concreto reforzado superficial con base empotrada

4.3.2 Modelo dinámico

En el documento ACI350.3-06 [Ref. 4], se adopta el modelo de Housner (1963) para el análisis hidrodinámico, en el cual estipula que las presiones asociadas con




las fuerzas dinámicas del fluido se pueden separar en impulsivas y convectivas. Las primeras corresponden a la fuerza inercial del fluido producida por la aceleración de los muros de la estructura y las cuales son directamente proporcionales a estas aceleraciones. Las presiones convectivas son aquellas generadas por la oscilación del fluido dentro de la estructura, la cual es el resultado de los movimientos producidos por las presiones impulsivas. En la Fig. No. 4-7, se ilustra el modelo dinámico equivalente para el cálculo de las fuerzas sísmicas resultantes actuantes en estructuras de contención de líquidos, soportadas en terreno y muros rígidos. En éste, Wi, representa la resultante de los efectos de la carga impulsiva sobre los muros del tanque; mientras que, Wc, representa el efecto de presión del oleaje o carga convectiva del fluido contenido.

d max

SUPERFICIE DE AGUAEN OSCILACION

NIVEL DE AGUAEN REPOSO

WL

HL

D ó L

Wi

Wc

hi

hc

Fig. No. 4-7 Representación del modelo de Housner

En este modelo, la masa Wi, está unida rígidamente con los muros del tanque a una altura hi, por encima de la base de la estructura, la cual corresponde a la localización de la resultante de la fuerza impulsiva, Pi. La masa Wi, se mueve con los muros de la estructura según como ellos respondan al movimiento sísmico, asumiendo para esto, que el líquido es incompresible y los desplazamientos del fluido son muy pequeños. Las presiones impulsivas son generadas por las aceleraciones sísmicas inerciales de los muros del tanque, por lo tanto, la fuerza Pi es dividida equitativamente, en una presión en el muro acelerado hacia el fluido, y en una presión de succión en el muro que se aleja del fluido. Durante la solicitación sísmica, la fuerza impulsiva, Pi, cambia de dirección varias veces por segundo, debida al cambio en la dirección de la aceleración de la base de la estructura; es por esto que el momento de volcamiento generado por Pi, no es efectivo en el volcamiento del tanque.




L

L

L

i

H

L

H

L

W

W

866.0

866.0tanh

(4-5)

en donde, L = dimensión interna del tanque rectangular, paralela a la dirección del movimiento sísmico bajo investigación HL = altura del líquido contenido en el tanque. Wc es la masa equivalente al líquido en oscilación sinusoidal, que produce las presiones convectivas en los muros del tanque; con una fuerza resultante, Pc, la cual está localizada a una altura hc por encima del nivel de la base del tanque. En el modelo de Housner, la masa Wc, está conectada a los muros del tanque a través de resortes, que producen un periodo de vibración correspondiente al período del oleaje del fluido. Las presiones producidas por el oleaje en los muros del tanque, son el resultado del movimiento del fluido asociado con la oscilación de la ola. Es importante anotar que el amortiguamiento del oleaje del fluido es aproximadamente 0.5% a 1.0% del amortiguamiento crítico; en relación al espectro de diseño de la NSR-10, el cual está dado para un 5% del amortiguamiento crítico. El período de oscilación del oleaje, depende de la relación entre la altura del nivel de agua y el diámetro del tanque o longitud del mismo; y usualmente tiene una duración de varios segundos. Es por esta razón, que el momento de volcamiento ejercido por Pc, puede alcanzar a levantar el muro del tanque si no hay suficiente contrapeso que lo compense.

L

H

H

L

W

W L

LL

c 16.3tanh264.0 (4-6)

Las fuerzas Pi y Pc, actúan de manera independiente y simultanea en el tanque. La fuerza Pi, así como las fuerzas inerciales asociadas, generan los principales esfuerzos en el tanque, mientras que la fuerza Pc, actúa en el levantamiento del muro del tanque. Las aceleraciones verticales del terreno son también transmitidas al fluido, generando presiones adicionales en los muros del tanque. Para las alturas hi y hc, se consideran dos casos: el primero en el cual no se considera el sistema de apoyo o base del muro, EBP (Excluding Base Pressure); y el segundo en el cual se incluye dentro del análisis, IBP (Including Base Pressure), para lo cual se debe tener en cuenta la incidencia de la estructura de soporte.




Altura a centros de gravedad (EBP)

Para tanques con 333.1LH

L

LL

i

H

L

H

h09375.05.0 (4-7)


L

375.0L

i

H

hsenKo 1 (4-8)

Para todos los tanques

L

Hsenh

L

H

L

H

H

h

LL

L

L

c

16.316.3

116.3cosh

1 (4-9)

Altura a centros de gravedad (IBP)


L

45.0ih (4-10)


L

8

1

866.0tanh2

866.0

L

L

L

i

H

L

H

L

H

h (4-11)

Para todos los tanques:

L

Hsenh

L

H

L

H

H

h

LL

L

L

c

16.316.3

01.216.3cosh

1 (4-12)




4.3.3 Propiedades dinámicas

El movimiento impulsivo del líquido contenido, se encuentra relacionado con el movimiento de los muros de la estructura; es por esto que sus propiedades dinámicas lo reflejan al incluir la masa del muro correspondiente para el cálculo de la frecuencia impulsiva del sistema.

m

ki (4-13)

en donde: m = masa del muro más la masa impulsiva del líquido, relacionada con éste (m = mw + mi). Para el caso de muros con espesor uniforme, mw se calcula con la ecuación (4-14). Para muros con espesor no uniforme, se debe realizar un análisis especial que involucre mw, mi y h.

g

tHm cw

ww

310

(SI) (4-14)

gH

L

W

Wm L

LL

ii

2

(4-15)

iw

iiww

mm

mhmhh

(4-16)

Para las anteriores ecuaciones: Hw = corresponde a la altura del muro; = peso específico del concreto o líquido; tw = espesor del muro; hw = centro de gravedad del muro (0.5Hw); y h = altura del centro de masa del sistema impulsivo. La rigidez k se calcula de acuerdo con las condiciones de frontera que presente el muro en particular. Para el caso de muro en voladizo (empotrado en la base y sin tapa) se utiliza la siguiente ecuación:




3

6104

h

t

x

Ek wc (4-17)

donde Ec es el módulo de elasticidad del concreto y h es la altura equivalente del sistema obtenido en la ecuación (4-16). Finalmente el período fundamental del tanque más el sistema impulsivo, Ti, se calcula con la siguiente ecuación:

k

mT

ii

22

(4-18)

A continuación se presentan las ecuaciones correspondientes para el cálculo del periodo natural del primer modo (del sistema convectivo) de oleaje:

Lc

(4-19)

en donde

L

Hg L16.3tanh16.3

Con la anterior ecuación, el período del sistema convectivo es igual a:

LTc

c

22

(4-20)

4.3.4 Cargas de diseño sísmico

Los muros de estructuras de contención de líquidos se diseñan con las siguientes fuerzas, en adición a las fuerzas estáticas, las cuales son acordes a las condiciones de servicio de la estructura:

a. Fuerzas inerciales de los muros, Pw, y de cubierta, Pr; b. Fuerza hidrodinámica impulsiva, Pi, del fluido contenido; c. Fuerza hidrodinámica convectiva, Pc, del fluido contenido; d. Presión dinámica del terreno para la parte enterrada de la estructura (Ver

numeral 4.4); y e. Los efectos de la aceleración vertical.

Las fuerzas laterales dinámicas sobre la base de la estructura, se determina según las siguientes ecuaciones:




i

wiw R

WICP

(4-21)

i

rir R

WICP (4-22)

i

iii R

WICP (4-23)

c

ccc R

WICP (4-24)

n donde Ci y Cc, son coeficientes de respuesta sísmica (Numeral 4.3.5); I es el e

coeficiente de importancia; Ww y Wr, son los pesos de los muros del tanque (o un muro del tanque perpendicular al sentido de análisis, para el caso de rectangulares) y la cubierta, respectivamente; es el coeficiente de masa efectiva, correspondiente a un porcentaje de la masa dinámica equivalente de la estructura del tanque en relación al total de su masa, calculado según la ecuación (4-25); y Ri y Rc son los factores de modificación de respuesta.

0.1021.11908.00151.02

LL H

L

H

L (4-25)

os efectos de la aceleración vertical de la estructura se consideran en adición a

(4-26)

Llas demás cargas, como una carga hidrodinámica aparte, la cual se calcula con la siguiente ecuación:

hyvvy qüp

DSi

tv SR

bICü 20.0

(4-27)

n donde, qhy es la carga hidrostática distribuida del líquido contenido en el

del sitio. El parámetro SDS, se explica en el numeral 4.3.5.

etanque, en función de su altura; ü esta determinado por la ecuación (4-27); y Ct es el coeficiente de respuesta sísmica (Numeral 4.3.5). El parámetro b corresponde a la relación entre la aceleración vertical y la aceleración horizontal, para el cual se puede utilizar un valor de no menos de 2/3, en ausencia de información específica




El coeficiente de importancia definido en el documento ACI350.3-06 [Ref. 4] (ver Tabla No. 4-3), contiene tres categorías, a diferencia de la norma NSR-10 [Ref. 7], la cual contempla cuatro. Entre las diferencias que se presentan entre ambos documentos, se resalta que en la NSR-10 los tanques que pertenecen al sistema de líneas vitales, así como que contengan tóxicos y sean dañinos para el público, les corresponden un factor de importancia de 1.50 (categoría IV), mientras que en el ACI350.3-06 permite menores valores del coeficiente según el uso del tanque. El ACI350.3-06 añade, que el factor de importancia para las estructuras, correspondientes al tipo III, pueda ser mayor, según criterio del diseñador estructural responsable.

FACTOR DE IMPORTANCIA, I Uso del Tanque Factor I

III Tanques que cont tamente contaminantes

ienen materiales peligrosos o al1.50

II después de un evento sísmico ó tanques 1.25 Tanques que deben permanecer en servicio para propósitos de emergenciasque hacen pare del sistema de líneas vitales

I III 1.00 Tanques no identificados en las categorías II y

Tabla No. 4-3 Factor de importancia – ACI350.3-06 [Ref. 4] De acuerdo a la lombiana, está

endiente incluir en ella, la identificación del coeficiente de disipación de energía,

zas sísmicas aplicadas en la base del muro el tanque se calcula, utilizando el método aproximado de la raíz cuadrada de la

evolución que esta teniendo la nueva norma copR, para estructuras hidráulicas. El documento del ACI350.3-06, ver Tabla No. 4-4, consigna valores correspondientes a este factor, que representa los efectos combinados de ductilidad de la estructura, capacidad de disipación de energía y redundancia estructural; los cuales están en función de la clasificación de la estructura. Se resalta el valor máximo de 3.25 adoptado para cualquier tipo de estructura hidráulica, el cual se compara a nivel de magnitud, con un valor típico usado en edificaciones de 5.0 para estructuras con disipación moderada de energía. Es importante anotar que las estructuras consideradas enterradas son las que el nivel de servicio del líquido se encuentra por debajo del nivel de terreno alrededor de la estructura. Para estructuras semi-enterradas se puede realizar una interpolación entre los valores límites. El cortante basal resultante de las fuerdsuma de los cuadrados (SRSS), tal como se indica en la ecuación (4-28); en razón a que las fases de las fuerzas impulsivas o inerciales, no coinciden con las fases de las fuerzas convectivas y verticales.

222egcrwi PPPPPV (4-28)




en donde, Peg corresponde a la presión dinámica lateral de tierras.

FACTOR DE MODIFICACIÓN DE RESPUESTA, R R iTipo de estructura

Superficial Enterrado Rc

Tanques s 1.00 base flexible anclado 3.25 3.25

Tanques base articulada o empotrada

2.00 3.00 1.00

Tanques no anclados confinados o sin confinar

1.50 2.00 1.00

Tanques elevados con pedestales 2.00 - 1.00

Tabla No. 4-4 Factor de modificación de re sta – ACI350 06 [Ref

nálisis de stabilidad), se calcula igualmente utilizando el método SRSS, dependiendo si el

spue .3- . 4]

El momente

o de volcamiento de la sección transversal del tanque (para a

análisis se realiza justo encima de la estructura de soporte o base (EBP) o incluyéndola dentro del análisis (IBP).

222 MMMMMM egcrwib (EBP) (4-29)

222egcrwio MMMMMM (IBP) (4-30)

ponente es el resultado de la multip ión de la result

icientes de respuesta sísmica

Cc y Ct, definen el perfil del espectro de

(4-31)

Cada com(i

licac ante de la fuerza mpulsiva, convectiva o inercial) por la altura correspondiente a la cual actúa la

resultante.

4.3.5 Coef

Los coeficientes de respuesta sísmica Ci, diseño; correspondientes a los períodos Ti, Tc y Tv, respectivamente. Tomando el espectro de diseño de la NSR-10, sin multiplicar por el factor de importancia4, presentado en la Fig. No. 4-8, se definen las siguientes variables: SDS = Aceleración espectral de diseño para períodos cortos

aaDS FAS 5.2

4 No se incluye la amplificación del espectro sísmico de diseño por el factor de importancia, teniendo en cuenta que éste se encuentra incluido posteriormente en las ecuaciones del numeral 4.3.4.




S1.0 = Aceleración espectral de diseño correspondiente a T = 1.0seg

(4-32)

vv FAS 2.10.1

aa

vv

aa

vv

DSs FA

FA

FA

FA

S

ST 48.0

5.2

2.10.1 (4-33)

l coeficiente Ci se determina de la siguiente manera:

Para Ti ≤ Ts

(4-34)

Para Ti > Ts

E

DSi SC

DSi

i ST

SC 0.1 (4-35)

espectivamente el coeficiente Cc, corresponde a:

Para

R

sc T

T60.1

DSc

c ST

SC 5.1

5.1 0.1 (4-36)

Para s

c TT

60.1

2

4.2

c

DSc T

SC (4-37)

l factor de amplificación de 1.5 en la ecuación (4-36), representa, de una manera

l coeficiente Ct, para tanques rectangulares, es igual a:

(4-38)

Eaproximada, la relación entre las amplificaciones espectrales basadas en un amortiguamiento del 0.5% del crítico con aquellas basadas en un amortiguamiento del 5.0% del crítico. E

DSt SC 40.0




. No. 4-8 Espectro NSR-10

4.3.6 Distribución de las fue

ísmico se cargan perpendicularmente a

ico se cargan en su plano, con la

Fig

rzas sísmicas

Los muros perpendiculares al movimiento ssu plano, con la fuerza inercial del propio muro, Pw; la mitad de la fuerza impulsiva, Pi; y la mitad de la fuerza convectiva, Pc, ver Fig. No. 4-9, En adición, en la zona de succión del líquido (o parte “trasera” de carga), se incluye la carga por presión lateral dinámica de tierras de la porción enterrada o totalidad del muro, Peg, en el caso que sea aplicable. os muros paralelos al movimiento sísmL

correspondiente fuerza inercial propia del muro Pw; y con la reacción de la carga hidrodinámica generada en los muros perpendiculares al sentido de análisis.

ualmente, se debe adicionar, la fuerza lateral resultante de la presión Ighidrodinámica del efecto de la aceleración vertical del fluido, Pvy, actuando en cada muro.

BH

Pp

w

wwy (4-39)

n la Fig. No. 4-10, se observa la distribución vertical en los muros E

perpendiculares al movimiento sísmico de análisis, tanto en su distribución exacta, como en su aproximación lineal. Las ecuaciones (4-40) y (4-41) presentan la distribución vertical de las cargas, según la aproximación lineal, por ancho unitario de longitud en la dirección de B.

ESPECTRO ELÁSTICO DE ACELERACIONES NSR-10

Periodo T (S)

Sa

(g)

Ts T=1.0

SDS

S1.0

T

FAS vv

a

2.1

aaa FAS 5.2

2

2.1T

TFAS Lvv

a

TL




2

12664

2 L

LiLiL

iiy H

H

yhHhH

B

Pp

(4-40)

2

12664

2 L

LcLcL

ccy H

H

yhHhH

B

Pp

(4-41)

L

B

Dirección de la fuerza sísmica

Ancho unitariode análisis

Carga de succiónen el muro

Carga de presiónen el muro

Muro paralelo

Muro paraleloMur

o pe

rpen

dicu

lar

Mur

o pe

rpen

dicu

lar

Fig. No. 4-9 Distribución de presión hidrodinámica en los muros del tanque – Corte en planta

HwP'w

hw Pwy

Pi2 Piy

hi

Pc2

Pcyhc

CONVECTIVA IMPULSIVA INERCIAL

Aproximación lineal

Distribución exacta

HL

y

Fig. No. 4-10 Distribución vertical de las cargas hidrodinámicas e inerciales




4.3.7 Altura libre para oleaje

Es importante encontrar la altura máxima del nivel del líquido que éste puede alcanzar debido al movimiento sísmico; con el fin de: dejar una altura libre suficiente entre el líquido y la cubierta; diseñar la cubierta para el levantamiento debido al oleaje; ó, diseñar un sistema de vertedero por exceso en el nivel del líquido. Para tanques rectangulares el nivel máximo de oscilación del líquido, dmax, se calcula con la ecuación (4-42).

ICL

d c2max (4-42)

4.4 EMPUJE DINÁMICO DE TIERRAS

Para las estructuras enterradas o semienterradas, se debe considerar el efecto de la masa inercial del suelo como empuje lateral dinámico de tierras ante una solicitación sísmica. En la Fig. No. 4-11, se observa la representación de las cargas según la metodología de Mononobe – Okabe, (Ver Título H, NSR-10 [Ref. 7]), la cual es básicamente, una extensión de la teoría de la presión activa de Coulomb; en la cual, adicional al empuje lateral estático, ya sea en reposo o activo, se incluye el efecto dinámico como una carga triangular inversa a la carga estática.

+ =

Pa

Pae

Pae

Fig. No. 4-11 Representación de la carga dinámica por empuje lateral de tierras




La carga activa equivalente Pae se determina como

aevae KkHP 12

1 2 (4-43)

donde

sensen

senKae 2

2

cos (4-44)

2

1

sensen

sensen (4-45)

v

h

k

k

1tan 1 (4-46)

kv = componente vertical de la aceleración del sismo en relación con la gravedad kh = componente horizontal de la aceleración del sismo en relación con la gravedad.




CAPÍTULO 5 - ANÁLISIS Y DISEÑO ESTRUCTURA TIPO CAJÓN

Para poder buscar una metodología simplificada para el análisis y diseño de estructuras tipo cajón, primero se debe entender cual es el procedimiento convencional que se utiliza para realizar este tipo de actividades. Para ello, en este capítulo se presenta el análisis y diseño de una estructura tipo cajón en concreto reforzado. Como documento base para los criterios de análisis y diseño, se utiliza la norma NSR-10 [Ref. 7]; y como herramienta de análisis, se utiliza el programa SAP2000 de la empresa Computers & Structures, Inc. El análisis y diseño de la estructura, se limita a cargas estáticas externas, despreciando el peso propio; y considerando la estructura vacía. Lo anterior, teniendo en cuenta que por lo general, este tipo de cargas son las que priman en el diseño. Igualmente no se tiene en cuenta la amplificación de las acciones internas por el factor de durabilidad ambiental y para el diseño del refuerzo solo se considera como límite la cuantía por refuerzo mínimo. Esto último, es con el fin de simplificar los ejercicios que se van a realizar, considerando que se busca resaltar la metodología de análisis más que los resultados propios de diseño. En el siguiente cuadro se resumen las características más relevantes del modelo utilizado en este capítulo y que sirven de base para las comparaciones que se realizan más adelante. ID: Modelo Base “B”

Espacio: Tridimensional

Elementos finitos: Cascarón delgado “shell thin”

Condiciones de borde:

Resortes elástico lineales como restricción en las tres direcciones

Grados de libertad: Desplazamientos y rotaciones en las tres direcciones. (6 GDL)

En el siguiente capítulo se presentan diferentes aproximaciones de solución, las cuales consisten en alternativas de modelación con elementos finitos que permiten encontrar las acciones internas para los diferentes elementos que componen la estructura. Éstas alternativas se determinan teniendo en cuenta el uso de diferentes tipos de elementos finitos y en el uso de diferentes condiciones de frontera de estos elementos; parámetros que hacen variar la precisión del resultado. Igualmente, para los diferentes modelos de análisis se utiliza el programa SAP2000 de la empresa Computers & Structures, Inc.




5.1 ESTRUCTURA A ANALIZAR

La estructura tipo cajón a analizar es en concreto reforzado de f´c = 28MPa, (Ec = 24870MPa), con dimensiones internas 9.7m x 7.7m x 3.2m; y espesor de elementos de 0.3m (Ver Fig. No. 5-1). Se contempla para el análisis una carga permanente uniforme de 5.0kN/m2, así como una carga viva de 5.0kN/m2. La estructura se encuentra enterrada, para lo cual se tienen en cuenta los siguientes parámetros geotécnicos: Peso equivalente: = 20kN/m3 Ángulo de fricción: = 30° Nivel freático = 5m por debajo del nivel del terreno Módulo de reacción = 10000kN/m3 Se utilizan estos parámetros, en razón a que son los más comunes por los tipos de relleno y consideraciones que recomiendan los geotecnistas para este tipo de estructuras.

Fig. No. 5-1 Estructura para análisis y diseño

5.2 MODELO DE ANÁLISIS

Para el análisis de la estructura, se realiza un modelo tridimensional de la estructura, utilizando elementos tipo shell-thin, con comportamiento elástico lineal, con espesor de 0.3m, ver Fig. No. 5-2. El uso de elementos tipo shell-thin permite modelar un comportamiento mixto entre elementos tipo placa y tipo membrana, es decir para elementos con cargas perpendiculares y paralelas al plano. Para la discretización de la estructura se utilizó un tamaño máximo de elementos de 0.50m. En la discretización es importante tener en cuenta que los elementos




deben representar de forma adecuada la geometría de la estructura. Es innecesario hacer una discretización muy pequeña de elementos, ya que la diferencia entre los resultados no es significativa, en comparación con el mayor tiempo y el uso de una máquina de mayores especificaciones para realizar el análisis. Las cargas gravitacionales se incluyen como cargas uniformemente distribuidas en la placa superior, mientras que las cargas horizontales se incluyen como carga de presión hacia el interior en los muros perimetrales, mediante el uso de patrones nodales de carga (denominados “Joint patterns” en el programa).

Fig. No. 5-2 Modelo espacial

5.3 CONDICIONES DE BORDE

Para el análisis se considera que la estructura se encuentra apoyada verticalmente (en dirección Z) sobre un medio elástico lineal y que ésta se encuentra restringida al movimiento en planta (direcciones X y Y) por el confinamiento que le proporcional el terreno. En el modelo para la primera consideración, se utilizan resortes verticales en la placa inferior, de comportamiento elástico-lineal, los cuales modelan adecuadamente la interacción suelo estructura cuando a nivel de estabilidad, priman las cargas gravitacionales sobre las cargas laterales. Lo anterior es importante resaltarlo, porque en el caso de que primen cargas ascendentes sobre las cargas gravitacionales (ejemplo una carga de subpresión), los resortes estarían trabajando a tensión, por lo que su comportamiento y modelación no sería el adecuado para el análisis. El valor del resorte por área corresponde al módulo de reacción indicado por el estudio de suelos. Se aclara que para cargas laterales se debe verificar




Unidades del Módulo de Reacción

mm

kN

m

kN 2

3

Como restricción en planta, y partiendo de la premisa de que la estructura hace parte del volumen de suelo circundante y se cumplen los análisis de estabilidad correspondientes, el modelo se utilizan resortes de área en las direcciones X y Y, de la misma magnitud del módulo de reacción. Es importante anotar que esto no se realizar con el fin de representar una cohesión o fricción entre el suelo y la estructura, sino para no generar puntos de concentración de esfuerzos que permitan una interpretación equívoca de los resultados.

5.4 AVALÚO DE CARGAS

Fig. No. 5-3 Cargas actuantes en la estructura

De acuerdo con las premisas iniciales del capítulo, se tendrán en cuenta únicamente las cargas estáticas actuantes en la estructura. Estas corresponden a cargas gravitacionales (permanentes y peso propio), cargas por uso u operación (viva); y cargas laterales (por presión lateral de tierras), ver Fig. No. 5-3. Carga Muerta: CM = 5.0kN/m2 Carga Viva: CV = 5.0kN/m2

Carga de tierras:

5.03011 sensenKo

hKH o 25.115.0205.01

mkNH

25.3665.3205.02m

kNH




Para el diseño se utilizan las siguientes combinaciones de carga: COMB1 = 1.4CM

COMB2 = 1.2CM + 1.6 (CV + H)

COMB3 = 1.2CM + 1.6 (CV + 0.6H)

COMB4 = 0.9CM + 1.6H

Igualmente se incluyen las combinaciones para la verificación de desplazamientos: COMB5 = CM

COMB6 = CM + CV + H

COMB7 = CM + CV + 0.6H

COMB8 = CM + H

5.5 DESPLAZAMIENTOS

Una vez analizado el modelo propuesto, se observa que los principales desplazamientos que se generan en este tipo de estructuras corresponden a los generados por la carga vertical en las luces de las placas superior e inferior. En la Fig. No. 5-4, se observa una deformada generalizada de la estructura de -1.5mm por los resortes con que fue analizada. Teniendo en cuenta esto, los desplazamientos de las placas superior e inferior, corresponden a los desplazamientos relativos obtenidos del centro de la luz y los muros perimetrales de la estructura.

mm

mm

erior

erior

3.15.12.0

3.25.18.3

inf

sup

Utilizando lo indicado en la Tabla C.9.5(b) de la NSR-10 [Ref. 7], para el cual el límite de deflexión máxima corresponde a:

mmadm 3.33240

8000

240

Por lo que los desplazamientos en las placas son aceptables. Generalizando, y recordando que los anteriores desplazamientos son las de mayor magnitud en la estructura, los desplazamientos en este tipo de estructuras no rigen el diseño de las mismas y su orden de magnitud permite despreciar su análisis.




Fig. No. 5-4 Desplazamientos placas superior e inferior

5.6 ANÁLISIS Y DISEÑO DE ELEMENTOS

A continuación se presentan los momentos flectores y las fuerzas cortantes máximas positivas y negativas (envolventes) para cada dirección de análisis en cada uno de los elementos de la estructura. Se señalan los puntos de mayor magnitud positiva o negativa; y finalmente, se presenta su diseño.

5.6.1 Convenciones

Para el programa SAP2000, ver Fig. No. 5-5, la convención M11 corresponde al momento con respecto al eje local 1 de los elementos de análisis, el cual permite obtener el refuerzo paralelo a éste eje. De manera equivalente, la convención M22, corresponde al momento con respecto al eje local 2 de los elementos de análisis; y por consiguiente al refuerzo que debe ser localizado paralelo al eje 2. Es importante tener presente que se tienen varios elementos finitos que modelan un elemento estructural, ej: la placa superior esta dividida en n elementos finitos; por lo que para una adecuada interpretación de los resultados, todos los elementos discretizados (elementos finitos) que componen un mismo elemento estructural (muro o placa), deben tener la misma orientación de sus ejes locales.

Fig. No. 5-5 Dirección de análisis de momentos

M22

M11Eje 1

Eje 2

U3 = -3.8mm

U3 = -0.2mm

U3 = -1.5mm




Finalmente la indicación de positivo y negativo, corresponde a la cara a tensión del momento interno actuante, de acuerdo a la dirección del eje 3 del elemento discretizado. Un momento positivo corresponde a un desplazamiento en el sentido negativo del eje 3, que produce una curvatura a tensión en la cara opuesta el eje 3, ver Fig. No. 5-6.

Fig. No. 5-6 Definición de la convención positiva de momentos

Con lo anterior se define para cada elemento de la estructura, la convención para lectura de momentos. Ver Fig. No. 5-7 a Fig. No. 5-10.

Fig. No. 5-7 Placa superior

Fig. No. 5-8 Placa inferior




Fig. No. 5-9 Muro longitudinal

Fig. No. 5-10 Muro transversal

Las Fig. No. 5-11 a Fig. No. 5-16 representan esquemáticamente los momentos de diseño según las secciones de análisis en la estructura, relacionadas con el tipo de momento correspondiente al resultado del análisis en SAP2000 y lo indicado anteriormente.




Fig. No. 5-11 Sección longitudinal para el análisis

Fig. No. 5-12 Diagrama esquemático de momentos para el análisis de la sección longitudinal

Fig. No. 5-13 Sección transversal para análisis




Fig. No. 5-14 Diagrama esquemático de momentos para el análisis de la sección transversal

Fig. No. 5-15 Sección en planta para análisis

Fig. No. 5-16 Diagrama esquemático de momentos para el análisis de la sección en planta




5.6.2 Placa inferior

Fig. No. 5-17 Distribución de momentos en la placa inferior M11 y M22

-30.0kN-m 30.0kN-m

37.00 kN-m

M11 M22

-30.0kN-m 30.0kN-m

ENVOLVENTE MÁXIMOS POSITIVOS (pos)

ENVOLVENTE MÁXIMOS NEGATIVOS (neg)

-30.0kN-m 30.0kN-m

M11 M22

-30.0kN-m 30.0kN-m

37.30 kN-m

-12.69 kN-m

-17.95 kN-m




Fig. No. 5-18 Distribución de cortantes en la placa inferior V13 y V23

-30.0kN 30.0kN

39.19 kN

V13 V23

-30.0kN 30.0kN



-30.0kN 30.0kN

V13 V23

-30.0kN 30.0kN

38.55 kN

-39.19 kN

-38.55 kN




DISEÑO PLACA INFERIOR

Materiales Dimensiones fy = 420 MPa h = 300 mm f'c = 28 MPa b = 1000 mm DISEÑO A FLEXIÓN Resistencia Última Mu r d As

As (min)

kN-m mm mm Cuantía

mm2/m mm2/m

M11 (pos) 37.00 60 240 0.0017 414 450

M22 (pos) 37.30 70 230 0.0019 436 450

M11 (neg) 12.69 60 240 0.0006 141 450

M22 (neg) 17.95 70 230 0.0009 208 450

Cuadro de Refuerzo Mu As requerido Barra Área Separación kN-m mm2/m (mm) mm2 mm

37.00 450 4 12.7 127 280

37.30 450 4 12.7 127 280

12.69 450 4 12.7 127 280

17.95 450 4 12.7 127 280 CHEQUEO A CORTANTE Vu max = 39.19 kN Vc = 206.90 kN Vn= 155.17 kN Vu < Vn OK!!




5.6.3 Placa superior

Fig. No. 5-19 Distribución de momentos en la placa superior M11 y M22

-30.0kN-m 30.0kN-m

24.77 kN-m

M11 M22

-30.0kN-m 30.0kN-m



-30.0kN-m 30.0kN-m

M11 M22

-30.0kN-m 30.0kN-m

35.47 kN-m

-45.11 kN-m

-50.16 kN-m




Fig. No. 5-20 Distribución de cortantes en la placa superior V13 y V23

-30.0kN 30.0kN

43.85 kN

V13 V23

-30.0kN 30.0kN



-30.0kN 30.0kN

V13 V23

-30.0kN 30.0kN

47.95 kN

-43.85 kN

-47.95 kN




DISEÑO PLACA SUPERIOR


As (min)

kN-m mm mm Cuantía

mm2/m mm2/m

M11 (pos) 24.77 60 240 0.0011 276 450

M22 (pos) 35.47 70 230 0.0018 415 450

M11 (neg) 45.11 60 240 0.0021 507 450

M22 (neg) 50.16 70 230 0.0026 590 450


24.77 450 4 12.7 127 280

35.47 450 4 12.7 127 280

45.11 507 4 12.7 127 240





5.6.4 Muro longitudinal

Fig. No. 5-21 Distribución de momentos en el muro longitudinal M11 y M22

Fig. No. 5-22 Distribución de cortantes en el muro longitudinal V13 y V23

49.06 kN

V13 V23


V23

-43.99 kN

-30.0kN


30.0kN

56.45 kN

-49.06 kN

V13

-30.0kN 30.0kN

-30.0kN 30.0kN -30.0kN 30.0kN

30.53 kN-m

M11 M22


M22 -25.15 kN-m

-30.0kN-m


30.0kN-m

50.15 kN-m

-8.67 kN-m

M11

-30.0kN-m 30.0kN-m

-30.0kN-m 30.0kN-m -30.0kN-m 30.0kN-m




DISEÑO MURO LONGITUDINAL


As (min)

kN-m mm mm Cuantía

mm2/m mm2/m

M11 (pos) 30.53 60 240 0.0014 341 450

M22 (pos) 50.15 70 230 0.0026 590 450

M11 (neg) 8.67 60 240 0.0004 96 450

M22 (neg) 25.15 70 230 0.0013 293 450


30.53 450 4 12.7 127 280

50.15 590 4 12.7 127 210

8.67 450 4 12.7 127 280





5.6.5 Muro transversal

Fig. No. 5-23 Distribución de momentos en el muro transversal M11 y M22

Fig. No. 5-24 Distribución de cortantes en el muro transversal V13 y V23

49.07 kN

V13 V23


V23

-44.18 kN

-30.0kN


30.0kN

58.08 kN

-49.07 kN

V13

-30.0kN 30.0kN

-30.0kN 30.0kN -30.0kN 30.0kN

30.53 kN-m

M11 M22


M22 -24.52 kN-m

-30.0kN-m


30.0kN-m

45.10 kN-m

-8.69 kN-m

M11

-30.0kN-m 30.0kN-m

-30.0kN-m 30.0kN-m -30.0kN-m 30.0kN-m




DISEÑO MURO TRANSVERSAL


As (min)

kN-m mm mm Cuantía

mm2/m mm2/m

M11 (pos) 30.53 60 240 0.0014 341 450

M22 (pos) 45.10 70 230 0.0023 530 450

M11 (neg) 8.69 60 240 0.0004 96 450

M22 (neg) 24.52 70 230 0.0012 285 450


30.53 450 4 12.7 127 280

45.10 530 4 12.7 127 230

8.69 450 4 12.7 127 280


5.7 RESUMEN DE RESULTADOS

La Tabla No. 5-1 resume el diseño estructural realizado en este capítulo. Las Fig. No. 5-25 y Fig. No. 5-26 presentan esquemáticamente la configuración del refuerzo.




Mu kN-m Refuerzo Descripción Placa Inferior

M11 (pos) 37.00 #4 cada 280mm Interior longitudinal

M22 (pos) 37.30 #4 cada 280mm Interior transversal

M11 (neg) 12.69 #4 cada 280mm Exterior longitudinal

M22 (neg) 17.95 #4 cada 280mm Exterior transversal

Placa Superior M11 (pos) 24.77 #4 cada 280mm Interior longitudinal




Muro Longitudinal M11 (pos) 30.53 #4 cada 280mm Exterior horizontal

M22 (pos) 50.15 #4 cada 210mm Exterior vertical

M11 (neg) 8.67 #4 cada 280mm Interior horizontal

M22 (neg) 25.15 #4 cada 280mm Interior vertical

Muro Transversal M11 (pos) 30.53 #4 cada 280mm Exterior horizontal




Tabla No. 5-1 Resumen del diseño

Fig. No. 5-25 Esquema de refuerzo sección transversal




Fig. No. 5-26 Esquema de refuerzo sección longitudinal

5.8 IMPORTANCIA DEL MÓDULO DE REACCIÓN EN EL MODELO TRIDIMENSIONAL

Como se observó en los resultados presentados anteriormente, los resortes en la estructura afectan principalmente o en mayor relevancia a la placa inferior; razón por la cual se realiza a continuación la comparación de cuatro modelos (tres adicionales al modelo inicial) con variación en la magnitud de los resortes correspondientes al módulo de reacción del suelo de cimentación de la estructura. Los modelos a analizar son los siguientes: Modelo E1: Modulo de reacción = 10000 KN/m3 Modelo E2: Modulo de reacción = 2000 KN/m3 Modelo E3: Modulo de reacción = 5000 KN/m3 Modelo E4: Modulo de reacción = 20000 KN/m3 Utilizando la Fig. No. 5-27 como referencia, en la Tabla No. 5-2 se presentan la magnitud de los momentos en los puntos indicados.




Fig. No. 5-27 Localización de momentos en la placa inferior M11 y M22 – Modelos con resortes

MODELOS

E1 (k=10000) E2 (k=2000) E3 (k=5000) E4 (k=20000)

Punto Mu kN-m kN-m Diferencia kN-m Diferencia kN-m Diferencia

1 M11 (pos) 37.00 43.18 17% 40.30 9% 33.11 -11%

2 M22 (pos) 37.30 46.03 23% 41.90 12% 32.16 -14%

3 M11 (neg) 12.69 20.78 64% 16.33 29% 9.90 -22%

4 M22 (neg) 17.95 30.19 68% 24.39 36% 11.27 -37%

Tabla No. 5-2 Variación de los momentos para diferentes módulos de reacción

-30.0KN-m 30.0KN-m

M11 M22

-30.0KN-m 30.0KN-m

1

2

1

2

-30.0KN-m 30.0KN-m -30.0KN-m 30.0KN-m

M11 M22




De la tabla anterior, se observa entonces que a menor magnitud del módulo de reacción, los esfuerzos sobre la placa inferior se incrementan llegando a un punto en el cual su magnitud puede ser cercana a la representación de la totalidad de la carga en forma directa y ascendente en la placa inferior (Ver Tabla No. 6-1). Obviamente, si la magnitud del módulo es mayor, los esfuerzos sobre está son menores. Es importante resaltar lo sensible que es el comportamiento interno de la placa con la magnitud del módulo de reacción; teniendo incrementos de esfuerzos del orden del 70%. Lo anterior en términos prácticos indica que entre mejor sea el estrato o suelo de fundación, se reflejará en menores esfuerzos de diseño en la estructura y con ello diseños que pueden ser óptimos. Sin embargo, es claro que la incertidumbre en la magnitud de este módulo, es muy incierta y difícil de precisar; siendo el apoyo del Ingeniero Geotecnista muy importante en la definición y aporte de este parámetro.




CAPÍTULO 6 - ALTERNATIVAS DE ANÁLISIS

En el capítulo anterior se presentó el análisis y diseño de una estructura tipo cajón, utilizando un modelo de análisis que se aproxima, al comportamiento real de la estructura. Como referencia, a este modelo se le denomina “modelo base” en el presente capítulo. En este capítulo se presentan alternativas de simplificación para el análisis y diseño de los elementos que componen una estructura tipo cajón, teniendo en cuenta diferentes tipos de elementos finitos, así como diferentes condiciones de frontera. En todos los análisis realizados se considera un comportamiento elástico lineal de la estructura. Para facilidad de interpretación e identificación de los modelos, al inicio de cada alternativa de simplificación, se presenta un cuadro resumen con las características más relevantes de los modelos. ID: Identificación del modelo

Espacio: Indica si el modelo es bidimensional o tridimensional

Elementos finitos: Indica el tipo de elementos finitos utilizados Condiciones de borde:

Resume las condiciones de borde utilizadas

Grados de libertad: Grados de libertad que se tienen en cuenta en el análisis

6.1 MODELO TRIDIMENSIONAL CON APOYOS SIMPLES

ID: Modelo Articulado “A”

Espacio: Tridimensional


Condiciones de borde: Restricción total al desplazamiento en las tres direcciones en la base de los muros perimetrales


En primer lugar se realiza el análisis del mismo modelo base, pero reemplazando los resortes como condición de frontera, por apoyos simples en la base de los muros perimetrales, considerando que los desplazamientos de la estructura en su base tienden a ser despreciables. Sin embargo, esta modificación por si sola, no representaría en el modelo la respuesta del suelo en la placa inferior por las cargas actuantes; razón por la cual, se incluye una carga en sentido vertical como




respuesta del suelo a la totalidad de la carga gravitacional presente en la estructura (muerta + viva), ver Fig. No. 6-1.

Fig. No. 6-1 Equivalencia en el modelo con apoyos

MODELO “B” MODELO “A”

Mu kN-m Refuerzo kN-m Refuerzo Diferencia Placa Inferior

M11 (pos) 37.00 #4 cada 280mm 45.90 #4 cada 240mm 24%


M11 (neg) 12.69 #4 cada 280mm 24.81 #4 cada 280mm 96%


Placa Superior



M11 (neg) 45.11 #4 cada 240mm 44.05 #4 cada 250mm -2%


Muro Longitudinal

M11 (pos) 30.53 #4 cada 280mm 30.04 #4 cada 280mm -2%




Muro Transversal





Tabla No. 6-1 Comparación resultados modelos espaciales En la Tabla No. 6-1 se observa la comparación de los resultados entre el modelo simplificado y el modelo base, resaltando los valores de cambio significativos. Lo que impacta en este resultado es el aumento de las fuerzas internas en la cara




interior de la placa inferior hasta en un 97%, sin embargo este aumento no tiene incidencia en el refuerzo, en razón a que su nueva magnitud no requiere un refuerzo superior al requerido por cuantía mínima. Por otro lado, en la cara exterior de la placa, hay un aumento de las fuerzas hasta en un 34%; con el cual si requiere un refuerzo superior al requerido por cuantía mínima. Los demás elementos estructurales no tienen una variación significativa con relación al modelo base. En general, una simplificación adecuada para diseño debe llevar a diseños más conservadores. El problema es establecer un criterio que determine hasta que punto es adecuado realizar este sobrediseño. Para éste caso en particular, al no tener en cuenta una disipación de la carga por las características propias del suelo, se está sobrediseñando la placa inferior, con un incremento estimado en peso del acero de refuerzo exterior de la placa de un 50%. Sin embargo, aún cuando este valor es importante en magnitud, el costo de este incremento con relación al costo total de la obra puede ser mínimo, y por ende justificable, por la reducción del tiempo a la hora de realizar el diseño. No se analiza el comportamiento del cortante en los diferentes modelos, en razón a que, como se observó en el capítulo anterior, el diseño de los elementos esta regido por flexión, mientras que los cortantes siempre cumplen con respecto al mínimo establecido. Es importante tener presente que para estas estructuras se busca que el cortante actuante siempre este por debajo de la capacidad máxima del concreto únicamente, pues no es común usar refuerzo para resistencia a cortante.

6.2 ANÁLISIS UTILIZANDO ELEMENTOS TIPO PLACA

ID: Modelos Placa “P”

Espacio: Tridimensional analizando de manera individual cada elemento (placas y muros)



“P1”: Restricción total al desplazamiento en las tres direcciones en todo el perímetro de la placa “P2”: Restricción total al desplazamiento y al giro en las tres direcciones en todo el perímetro de la estructura “P3”: Restricción total al desplazamiento y restricción parcial al giro en los dos ejes que componen el plano de la placa


Otra forma de simplificar el análisis es analizando cada elemento que compone la estructura, realizando modelos individuales de los muros y placas representativos del análisis. Sin embargo, para estos modelos se presenta incertidumbre en cuanto a las condiciones de borde a utilizar en los modelos, ya que al considerarse únicamente restricción a los desplazamientos, se perdería el hecho de la




continuidad de la estructura. Mientras que en el caso contrario en el que se considere empotrado, se estaría asumiendo que los bordes son lo suficientemente rígidos como para no permitir el giro en ellos. Es claro que ambas suposiciones no son totalmente válidas, en especial la de apoyo simple (exceptuando el caso de análisis para placa simplemente apoyada); y que es necesario encontrar valores intermedios o restricciones parciales, modeladas por medio de resortes, que permitan llegar a una adecuada modelación del elemento, que al final conduzca a un adecuado análisis de la estructura.

Fig. No. 6-2 Modelo individual de la placa superior

Se realiza primero el análisis de la placa superior de la estructura, ver Fig. No. 6-2, para lo cual se consideran tres modelos: apoyos articulados en todo su perímetro, apoyos empotrados en todo su perímetro, y apoyos con restricción al desplazamiento y resortes para restricción parcial al giro en todo su perímetro. La magnitud del resorte a utilizar se define en el siguiente numeral. Se utilizan elementos tipo shell-thin para estos modelos.

MODELOS CON ELEMENTOS TIPO PLACA

MODELO “B” “P1” “P2” “P3” Mu kN-m kN-m Diferencia kN-m Diferencia kN-m Diferencia

Placa Superior M11 (pos) 24.77 42.92 73% 19.22 -22% 22.85 -8%

M22 (pos) 35.47 60.39 70% 29.17 -18% 33.73 -5%

M11 (neg) 45.11 0.00 -100% 53.42 18% 44.03 -2%

M22 (neg) 50.16 0.00 -100% 63.66 27% 53.02 6%

Tabla No. 6-2 Comparación de resultados placa superior La Tabla No. 6-2 y la Tabla No. 6-3 presentan el resumen de los resultados para cada uno de los modelos, comparándolos con los obtenidos en el modelo base.




Para el modelo articulado era de esperarse que la diferencia de los momentos en la luz se incrementaran notablemente aumentando el refuerzo de #4 cada 280mm a #4 cada 170mm; mientras que el modelo no contempla momentos negativos (cara exterior) obviamente por la condición de articulado en el apoyo. De forma opuesta el modelo con empotramiento lleva a un incremento del refuerzo en la cara exterior de la placa por la tendencia a infinito de la rigidez a momento en el apoyo. Finalmente se tiene el modelo con resortes el cual muestra un comportamiento similar al modelo base.


MODELO “B” “P1” “P2” “P3” Mu Refuerzo Refuerzo Refuerzo Refuerzo

Placa Superior M11 (pos) #4 cada 280mm #4 cada 260mm #4 cada 280mm #4 cada 280mm

M22 (pos) #4 cada 280mm #4 cada 170mm #4 cada 280mm #4 cada 280mm

M11 (neg) #4 cada 240mm #4 cada 280mm #4 cada 210mm #4 cada 250mm


Tabla No. 6-3 Comparación de refuerzo en la placa superior Este procedimiento se repite para la placa inferior, el muro longitudinal y el muro transversal, para lo cual a continuación se presentan los resultados. En el caso de la placa inferior la modelación es igual a la de la placa superior, teniendo en cuenta que se debe realizar la misma simplificación realizada en el numeral 6.1. Es importante recordar el cambio del signo (positivo / negativo) en los valores de momentos de la placa superior e inferior, en razón al desplazamiento asociado a la dirección de la carga actuante; es decir, para la placa superior la deformación por la carga (en dirección de la gravedad), genera una curvatura positiva, mientras que para la placa inferior la dirección de la carga es opuesta a la anterior, y por ello su curvatura es negativa. La Tabla No. 6-4 y Tabla No. 6-5, presentan el resumen de los resultados obtenidos para cada uno de los modelos tipo placa para los elementos restantes que componen las estructura. Se observa que a diferencia de la placa superior, la placa inferior se aleja de los valores obtenidos en el modelo base, principalmente porque en estos modelos no se esta teniendo en cuenta la disipación de carga que se obtiene por la elasticidad del propio suelo, llegando inclusive a refuerzos importantes como #4 cada 160mm y 170mm. En cuanto a los muros, se presentan diferencias importantes en la magnitud de los momentos actuantes para diseño; sin embargo no es tan marcado en el refuerzo obtenido (se debe tener presente que a veces predomina el refuerzo mínimo). Al ver los resultados de los modelos de los muros se puede concluir que estos modelos no son conservadores, porque ninguno presentó un refuerzo vertical




importante en la cara exterior (M22 (pos)), por lo cual el diseño se catalogaría como subdiseñado.


MODELO “B” “P1” “P2” “P3” Mu kN-m kN-m Diferencia kN-m Diferencia kN-m Diferencia

Placa Inferior

M11 (pos) 37.00 0.00 -100% 53.42 44% 44.03 19%

M22 (pos) 37.30 0.00 -100% 63.66 71% 53.02 42%

M11 (neg) 12.69 42.92 238% 19.22 51% 22.85 80%

M22 (neg) 17.95 60.39 236% 29.17 63% 33.73 88%

Muro Longitudinal

M11 (pos) 30.53 0.00 -100% 20.96 -31% 11.27 -63%

M22 (pos) 50.15 0.00 -100% 35.77 -29% 21.12 -58%

M11 (neg) 8.67 19.92 130% 5.90 -32% 9.26 7%

M22 (neg) 25.15 44.79 78% 16.58 -34% 27.79 10%

Muro Transversal

M11 (pos) 30.53 0.00 -100% 20.96 -31% 10.16 -67%

M22 (pos) 45.10 0.00 -100% 35.86 -20% 18.47 -59%

M11 (neg) 8.69 14.11 62% 5.83 -33% 9.76 12%

M22 (neg) 24.52 41.53 69% 16.57 -32% 28.32 15%

Tabla No. 6-4 Comparación de resultados todos los modelos con elementos tipo placa


MODELO “B” “P1” “P2” “P3” Mu Refuerzo Refuerzo Refuerzo Refuerzo

Placa Inferior





Muro Longitudinal M11 (pos) #4 cada 280mm #4 cada 280mm #4 cada 280mm #4 cada 280mm




Muro Transversal M11 (pos) #4 cada 280mm #4 cada 280mm #4 cada 280mm #4 cada 280mm




Tabla No. 6-5 Comparación de de refuerzo de todos los modelos con elementos tipo placa




6.3 VERIFICACIÓN DE LAS CONDICIONES DE APOYO

En el análisis realizado en el numeral anterior se tuvo en cuenta una condición de apoyo simple o restricción total al desplazamiento, la cual indica en los anteriores modelos que los elementos adyacentes en los cuales se están apoyando, son infinitamente rígidos. Un ejemplo es tomar la placa superior, la cual se considera que está apoyada sobre los muros perimetrales. Al hacer el análisis individual e indicar que se tiene una restricción total al desplazamiento, indicaría que los muros perimetrales son infinitamente rígidos, lo cual no es cierto. En el numeral 6.3.1 se evalúa este comportamiento para verificar su validez. En el numeral 6.3.2, se presenta el desarrollo para la obtención de la magnitud de los resortes usados en el análisis con elementos tipo placa.

6.3.1 Condición de apoyo simple – Trabajo como elemento tipo Diafragma

ID: Modelos Diafragma “D”

Espacio: Bidimensional

Elementos finitos: Membrana


“D1”: Libre con restricción longitudinal en ambas caras “D2”: Restringido en la cara vertical y con restricción longitudinal en ambas caras “D3”: Restricción parcial en la cara vertical y con restricción longitudinal en ambas caras “D4”: Libre con restricción longitudinal en una cara “D5”: Restringido en la cara vertical y con restricción longitudinal en una cara “D6”: Restricción parcial en la cara vertical y con restricción longitudinal en una cara

Grados de libertad: Desplazamientos en el plano que forma los muros diafragma. (2 GDL)

Fig. No. 6-3 Restricción del muro transversal por los muros longitudinales

Tomando como referencia la Fig. No. 6-3, si se aplica una carga perpendicular al plano del muro transversal, se presenta una distribución de las fuerzas internas de

Muro de carga

Muros diafragma




los elementos cuya carga es perpendicular, hacia los elementos de borde, haciendo que estos últimos trabajen con cargas cuya dirección se encuentra en el plano del elemento (Ver Fig. No. 6-4). A continuación se presenta el análisis del comportamiento de estos elementos.

Fig. No. 6-4 Representación de los elementos que trabajan como diafragma

Fig. No. 6-5 Casos de estudio para los elementos tipo diafragma

Para el análisis se presentan los siguientes casos de estudio, según la condición de apoyo en el extremo vertical: libre, con restricción total en la dirección longitudinal y con restricción parcial en la dirección longitudinal, utilizando para este último una magnitud en los resortes de 5000kN/m como aproximación inicial.

w

Fuerza en dirección paralela al elemento

Fuerza en dirección paralela al elemento

Elementos que trabajan como diafragma

Muro de carga

Modelo D1: Libre con restricción longitudinal en ambas caras

Modelo D2: Restringido en la cara vertical y con restricción longitudinal en ambas caras

Modelo D3: Restricción parcial en la cara vertical y con restricción longitudinal en ambas caras

Modelo D4: Libre con restricción longitudinal en una cara

Modelo D5: Restringido en la cara vertical y con restricción longitudinal en una cara

Modelo D6: Restricción parcial en la cara vertical y con restricción longitudinal en una cara




Igualmente para cada una de estas condiciones de apoyo se consideran dos alternativas de apoyo: restricción en ambas caras longitudinales y restricción en una cara longitudinal. Estos casos corresponden a las diferentes condiciones de los muros laterales longitudinales de la estructura. Ver Fig. No. 6-5. Se utiliza dentro de los diferentes modelos, elementos tipo membrana, los cuales soportan únicamente cargas en el plano de la misma. Se debe resaltar que se realizaron comparaciones con los elementos tipo cascarón “shell” tanto delgados (thin), como gruesos (thick), obteniéndose los mismos resultados que los elementos tipo membrana. Como se mencionó anteriormente, estos elementos tipo cascarón, mezclan el comportamiento de los elementos membrana y placa, siendo de éste último la derivación de elementos tipo delgado y grueso. En la Tabla No. 6-6, se presentan los valores de los resortes equivalentes a los desplazamientos obtenidas en altura, en la cara donde se encuentra aplicada la carga unitaria, por cada modelo. Los resortes se calculan de acuerdo a la ecuación (6-1).

F

k (6-1)

Altura RESORTE EQUIVALENTE (1x106KN/m)

m D1 D2 D3 D4 D5 D6

0.0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

0.5 2.30 2.30 2.30 1.81 1.84 1.81

1.0 1.64 1.64 1.64 1.16 1.18 1.16

1.5 1.40 1.40 1.40 0.88 0.90 0.88

2.0 1.40 1.40 1.40 0.75 0.76 0.75

2.5 1.64 1.64 1.64 0.67 0.68 0.67

3.0 2.30 2.30 2.30 0.60 0.61 0.60

3.5 ∞ ∞ ∞ 0.29 0.30 0.29

Tabla No. 6-6 Valor de resortes por modelo Los resultados son acordes a los desplazamientos en cuanto a que para los tres primeros modelos los valores son iguales, aumentando del centro de la luz hacia los bordes. Para los modelos con borde libre se observa la disminución de la magnitud a medida que aumenta la altura. Finalmente es importante resaltar que la magnitud de los resortes, en su menor valor, es del orden de 60 veces el valor de 5000 KN/m, usado como aproximación; concluyendo que aún cuando la restricción que puede ejercerle al elemento para el cual sirve de apoyo, no se considera una restricción total, su magnitud en rigidez es muy alta y por consiguiente sus desplazamientos son muy pequeños (8.0E-6m en su mayor valor para una condición de borde libre), a tal punto que se puede despreciar del análisis propio de la estructura; y por consiguiente la




modelación con restricción a desplazamiento total como apoyo de los elementos es válida.

En la Fig. No. 6-6, se observa la variación típica de las fuerzas internas horizontales, siendo rojo los puntos de mayor esfuerzo; y azul los valores cercanos a cero. La Tabla No. 6-7 resume los valores de las lecturas de las fuerzas internas horizontales (F11 en los modelos), indicadas en la figura anterior. Se observa que para los modelos con restricción en el borde superior (modelos D1, D2 y D3), no hay una incidencia en la magnitud de las fuerzas al variar la condición del apoyo en el borde vertical opuesto a la carga. Para el caso de los modelos con borde libre (modelos D4, D5 y D6), se presenta un aumento en la magnitud de la fuerza en la cara donde se aplica la carga, disminuyendo, sin llegar a cero, hacia la cara opuesta. En el modelo D5 se observa la incidencia de la restricción total en la cara opuesta por un aumento significativo de la fuerza en esta área.

Fig. No. 6-6 Distribución de las fuerzas horizontales internas

MODELO LUGAR

FUERZA UN

D1 D2 D3 D4 D5 D6

1 kN / m 10.35 10.35 10.35 12.50 12.51 12.50

2 kN / m 0.75 0.75 0.75 3.84 4.37 3.85

3 kN / m 0.02 0.08 0.00 0.02 1.67 0.02

Tabla No. 6-7 Resumen fuerzas internas – modelos diafragma

6.3.2 Condición de restricción parcial al giro – Rigidez al giro

ID: Modelos Placa “G”

Espacio: Tridimensional analizando de manera individual cada elemento (placas y muros)



“G1”: Restricción total al desplazamiento en las tres direcciones en todo el perímetro de la placa “P2”: Restricción total al desplazamiento y al giro en las tres direcciones en todo el perímetro de la estructura “P3”: Restricción total al desplazamiento y restricción parcial al giro en los dos ejes que componen el plano de la placa


(a) Restricción en el borde superior (a) Borde superior libre

1 2 3

1 23




Para definir la magnitud del resorte a utilizar en el modelo con resortes, se debe evaluar la rigidez al giro del muro perimetral. Para esto, se realiza un modelo del muro longitudinal con restricción al desplazamiento en la parte superior y empotramiento en la parte inferior; ver Fig. No. 6-7. Se aplica un momento unitario (1.0kN-m) longitudinal en la parte superior y se obtiene el giro correspondiente a esa carga.

Fig. No. 6-7 Modelo muro longitudinal para análisis de la rigidez al giro

Teniendo en cuenta que:

M

k (6-2)

se obtiene la rigidez al giro proporcionada por el muro.

radmkNk 55250

0000181.0

1

Es importante anotar que el giro obtenido es del mismo orden de magnitud para todos los nudos del borde superior del muro. La Tabla No. 6-8 presenta la rigidez al giro obtenida para utilizar en cada uno de los modelos para los elementos a analizar. Esta rigidez al giro debe ser, de alguna manera, inversamente proporcional a la longitud del elemento con la cual se realiza su obtención. Como se mencionó anteriormente, para los resortes de la placa superior e inferior, el análisis debe dar igual al realizarlo con el muro longitudinal que con el transversal, pues lo que influye en su variación es la longitud (en este caso la altura del muro) lo que hace que este valor cambie. Lo anterior se ve reflejado en la magnitud del resorte para las placas longitudinal y transversal, para el cual el modelo con el que se obtiene la rigidez corresponde a un elemento tipo placa cuya longitud de análisis corresponde a 8.30m y 10.30m respectivamente; siendo para este último el que tiene menor valor.




GIRO OBTENIDO RIGIDEZ AL GIRO

ELEMENTO A ANALIZAR rad kN-m/rad

Placa Superior 0.0000181 55,249

Placa Inferior 0.0000181 55,249

Muro Longitudinal 0.0000414 24,155

Muro Transversal 0.0000519 19,268

Tabla No. 6-8 Rigidez al giro para cada análisis

6.4 ANÁLISIS BIDIMENSIONAL – ELEMENTOS TIPO MARCO

ID: Modelos Pórtico Plano “F”


Elementos finitos: Marco o pórtico plano


“F1”: Restricción total al desplazamiento en las dos direcciones en los cuatro vértices del modelo “F2”: Restricción total al desplazamiento en las dos direcciones en los dos vértices inferiores del modelo “F3”: Restricción parcial al desplazamiento en las dos direcciones en los dos vértices inferiores del modelo, utilizando resortes elástico lineales

Grados de libertad: Desplazamientos en el plano que conforma el pórtico y el giro normal a este plano. (3 GDL)

Teniendo en cuenta que la modelación con elementos tipo marco es bidimensional, se requiere realizar algunas simplificaciones que permitan aproximar los resultados para un posterior diseño. La modelación bidimensional de esta estructura, consiste en la realización de cortes de análisis tomando elementos con ancho unitario, lo que conlleva a que no se tenga en cuenta el aporte en rigidez de los elementos trabajando en dos direcciones.

Fig. No. 6-8 Corte del modelo espacial en sentido transversal y modelo bidimensional

correspondiente Los cortes de análisis representan las fuerzas internas de los diferentes elementos en la dirección correspondiente, así como en secciones determinadas de la




estructura; es decir, se puede analizar en el sentido transversal (perpendicular al sentido longitudinal), en cualquier plano del sentido longitudinal. En la Fig. No. 6-8, se observa el corte realizado al modelo espacial en el sentido transversal, en el centro de la luz longitudinal, así como su representación utilizando elementos tipo marco de ancho unitario.

Fig. No. 6-9 Modelo de análisis por elementos finitos

Con la simplificación de la estructura al plano bidimensional, solo resta indicar las condiciones de frontera adecuadas en los nodos correspondientes a los vértices de la sección (Ver Fig. No. 6-9). Se debe resaltar, que estas condiciones de frontera están relacionadas únicamente con el desplazamiento en los dos sentidos de análisis; en razón a que una restricción al giro en una estructura enterrada, indicaría que el suelo es lo suficientemente rígido para hacer una restricción total en los vértices correspondientes, lo cual no es válido para los suelos en los cuales se apoyan comúnmente estas estructuras; tendiendo como factor adicional, que es un suelo alterado para la construcción del mismo. Obviamente para el caso de una estructura superficial, esta consideración es inaceptable. Para la sección transversal, se consideran tres alternativas de condiciones de frontera: la primera, con restricción total a los desplazamientos en todos los vértices (modelo F1), la segunda con restricción total a los desplazamientos en los nodos inferiores, nodos 1 y 2 de la Fig. No. 6-9 (modelo F2); y la tercera, con restricción parcial a los desplazamientos (modelo F3), mediante la utilización de resortes en los vértices inferiores. En la Fig. No. 6-10 se presentan los modelos bidimensionales para cada una de las condiciones de apoyo, usando un tamaño máximo de elementos de 0.50m. Teniendo en cuenta que el valor del módulo de reacción del suelo es un parámetro de rigidez por área distribuida, la magnitud de los resortes está dada por la aferencia de área de la zona donde se encuentra la restricción. Para el caso particular de estudio, el área corresponde a 0.25m en la dirección vertical, mas




0.25m en la dirección transversal, por 1.0m en la longitud; para un área total de 0.50m2 de aferencia (Ver Fig. No. 6-11).

Fig. No. 6-10 Modelos de análisis con elementos tipo marco

Fig. No. 6-11 Aferencia del nodo para restricción

Unidades del Módulo de Reacción

mm

KN

m

KN 2

3

mKNKÁreak v 50001000050.0

(a) Modelo F1 (b) Modelo F2

(c) Modelo F3 (d) Cargas aplicadas

0.50m

0.50m

Aferencia del nodo para restricción.




Como se mencionó anteriormente, los resultados de cada análisis representan el comportamiento en una dirección del elemento; por ejemplo para la sección de análisis transversal, se están encontrando las fuerzas internas en el sentido transversal (M22) para la placa superior e inferior, y en el sentido vertical (M22) para los muros longitudinales. Para encontrar las fuerzas restantes y realizar su presentación, se realizan los análisis de las secciones longitudinal y en planta. Para la sección longitudinal, se tienen en cuenta las mismas condiciones de frontera indicadas anteriormente; mientras que para la sección en planta no se tiene en cuenta la segunda condición de apoyos, en razón a que los cuatro vértices de la sección, se encuentran sometidos a las mismas condiciones de frontera. Igualmente para este último análisis, la tercera condición de apoyo (restricción parcial con resortes) se considera para los cuatro vértices del modelo. Las condiciones de carga para las secciones transversal y longitudinal son iguales, realizando cortes en el centro de la luz respectiva. Para la sección en planta, o corte en un plano horizontal en una altura h determinada de la estructura, la magnitud de la carga para análisis depende de la altura a la que se haga el corte. Teniendo en cuenta que la distribución de las cargas en los muros, es de tipo trapezoidal, se considera que al tercio de la altura de la estructura, se encuentra la fuerza resultante de las cargas aplicadas, siendo en este nivel, el punto probable de mayor esfuerzo del elemento. Por lo anterior la carga de análisis para esta sección a una altura de 1.17m, corresponde a 24.8kN/m2. La Tabla No. 6-9 y Tabla No. 6-10, presentan el resumen de los resultados obtenidos en el análisis realizado. Lo primero que se resalta en estos resultados es que, en general, no se acercan a los resultados obtenidos en el modelo base, y por consiguiente, los refuerzos establecidos son completamente diferentes y conservadores. La razón de lo anterior, es que estos modelos no tienen en cuenta el trabajo en dos direcciones de los elementos estructurales, por lo que su rigidez es mucho menor y por consiguiente requiere de un refuerzo mayor. Esto se resalta principalmente en los incrementos de fuerzas internas para el trabajo horizontal de los muros, en donde la relación de la longitud horizontal con la altura de estos es superior a 2.30; generando que estos elementos presenten sus mayores fuerzas internas en la luz corta.

Tabla No. 6-9 Comparación de resultados todos los modelos con elementos tipo marco MODELOS CON ELEMENTOS TIPO MARCO

MODELO “B” “F1” “F2” “F3” Mu kN-m kN-m Diferencia kN-m Diferencia kN-m Diferencia

Placa Inferior

M11 (pos) 37.00 101.23 174% 101.30 174% 101.17 173%

M22 (pos) 37.30 65.82 76% 65.89 77% 65.76 76%

M11 (neg) 12.69 89.72 607% 89.68 607% 89.76 607%

M22 (neg) 17.95 58.25 225% 58.20 224% 58.28 225%




MODELOS CON ELEMENTOS TIPO MARCO

MODELO “B” “F1” “F2” “F3” Mu kN-m kN-m Diferencia kN-m Diferencia kN-m Diferencia

Placa Superior M11 (pos) 24.77 90.44 265% 90.48 265% 90.40 265%

M22 (pos) 35.47 59.12 67% 59.16 67% 59.08 67%

M11 (neg) 45.11 100.04 122% 99.97 122% 100.11 122%

M22 (neg) 50.16 64.37 28% 64.30 28% 64.43 28%

Muro Longitudinal M11 (pos) 30.53 277.76 810% 277.76 810% 277.76 810%

M22 (pos) 50.15 65.82 31% 65.89 31% 65.76 31%

M11 (neg) 8.67 218.24 2417% 218.24 2417% 218.24 2417%

M22 (neg) 25.15 21.36 -15% 21.35 -15% 21.36 -15%

Muro Transversal M11 (pos) 30.53 277.76 810% 277.76 810% 277.76 810%

M22 (pos) 45.10 101.23 124% 101.30 125% 101.17 124%

M11 (neg) 8.69 39.68 357% 39.68 357% 39.68 357%

M22 (neg) 24.52 11.69 -52% 11.68 -52% 11.70 -52%

Un aspecto importante que se observa es que no hay diferencia entre los diferentes resultados de los modelos de elementos tipo marco entre si, por lo que no hay incidencia en las condiciones de borde utilizadas sobre estos resultados.

Tabla No. 6-10 Comparación de de refuerzo de todos los modelos con elementos tipo marco MODELOS CON ELEMENTOS TIPO MARCO

MODELO “B” “F1” “F2” “F3” Mu Refuerzo Refuerzo Refuerzo Refuerzo

Placa Inferior





Placa Superior M11 (pos) #4 cada 280mm #4 cada 120mm #4 cada 120mm #4 cada 120mm




Muro Longitudinal M11 (pos) #4 cada 280mm #4 cada 30mm #4 cada 30mm #4 cada 30mm






MODELOS CON ELEMENTOS TIPO MARCO

MODELO “B” “F1” “F2” “F3” Mu Refuerzo Refuerzo Refuerzo Refuerzo


Muro Transversal M11 (pos) #4 cada 280mm #4 cada 30mm #4 cada 30mm #4 cada 30mm




6.5 RESULTADOS GENERALES

Con las alternativas de simplificación presentadas en este capítulo se puede concluir lo siguiente:

Realizar una simplificación del modelo espacial solo teniendo en cuenta apoyos simples y no la interacción más aproximada con el suelo a través de resortes, no simplifica el análisis a realizar y sus resultados no representan una diferencia en orden de magnitud relevante.

Al tener que realizar los modelos con elementos tipo placa de manera individual, no se esta ahorrando tiempo en la modelación y análisis realmente. Adicional a esto, para tener resultados que se aproximen en mejor medida al comportamiento real, se debe encontrar los resortes necesarios y acordes para ello, lo cual implica trabajo adicional.

Los modelos bidimensionales con elementos tipo marco, son muy sencillos y rápidos, pero sus resultados se alejan en muy buena medida de los resultados reales de la estructura.




CAPÍTULO 7 - FORMULACIÓN PROPUESTA PARA EL ANÁLISIS

En este capítulo se presenta una formulación que permita realizar en forma simplificada el análisis de estructuras tipo cajón utilizando los elementos finitos tipo marco, los cuales tienen una formulación y manipulación más sencilla; pero que por si solos no presentan una aproximación adecuada a la solución. Las operaciones con matrices que se presentan en este capítulo, se realizan con la ayuda de la herramienta computacional, Maple 13, de la empresa Maplesoft.

7.1 INTERACCIÓN ENTRE SECCIONES

Fig. No. 7-1 Representación tridimensional de la estructura

En la Fig. No. 7-1, se observa la estructura tridimensional del Capítulo 5, en la cual se resalta en azul, la franja longitudinal que corresponde al corte longitudinal realizado en los análisis de los elementos tipo marco. Si se discretiza la estructura en un conjunto de marcos longitudinales, transversales y en planta entrelazados, y se resaltaran los marcos que interactúan con la franja longitudinal señalada del modelo tridimensional, obtendríamos lo que se observa en la Fig. No. 7-2a. La Fig. No. 7-2b, representa el marco longitudinal para análisis; mientras que las figuras Fig. No. 7-2c y Fig. No. 7-2d, presentan los elementos en los marcos en planta y transversales, que interactúan con la franja longitudinal, respectivamente. Observando la interacción entre el marco longitudinal y los marcos transversales, se puede deducir que los desplazamientos del marco longitudinal dependen, tanto de su propia rigidez, así como de la rigidez adicional que le proporcionan los marcos transversales. Aislando el marco longitudinal y el marco transversal central (sección en el centro de la luz del sentido longitudinal, ver Fig. No. 7-3), se

X y

z




observan los puntos de interacción de las dos secciones en las placas superior e inferior. Para un modelo tridimensional, cada punto de interacción tiene seis grados de libertad, ver ecuación (7-1); mientras que, cuando se realiza la simplificación para cada sección de análisis, cada punto se reduce a tres grados de libertad por sección. Ver ecuación (7-2) para la sección longitudinal y (7-3) para la sección transversal.

Fig. No. 7-2 Discretización de elementos que interactúan con una franja longitudinal

z

y

x

z

y

x

i

(7-1)

a.) Discretización de la estructura b.) Sección longitudinal a analizar

d.) Elementos transversales c.) Elementos en planta




y

z

x

li

, (7-2)

x

z

y

ti

, (7-3)

Fig. No. 7-3 Interacción entre la sección longitudinal a analizar y la sección central transversal

Al observar las ecuaciones (7-1), (7-2) y (7-3), se puede concluir que los desplazamientos axiales de los nodos y las rotaciones perpendiculares a las secciones de análisis se pueden representar de manera independiente en cada sección correspondiente, sin tener en cuenta el acoplamiento que puede haber entre ellos. Sin embargo, el desplazamiento en el sentido vertical depende de la rigidez de las dos secciones de análisis a la vez, por lo que si se encuentra una formulación que permita representar la rigidez al desplazamiento vertical de una sección de análisis para poder aplicarla en la otra, se estarían acoplando de alguna manera, los desplazamientos de los dos análisis; y por consiguiente, se estaría modelando el trabajo en dos direcciones del elemento. Un aspecto importante de resaltar en los análisis bidimensionales que se presentan en este documento es que no se esta teniendo en cuenta el aporte en rigidez del giro normal al plano que forma el elemento estructural (placa o muro), asociado al momento torsor llamado de perforación o “drilling” (Ver Numeral 3.4.3).

7.2 MODELO EQUIVALENTE

Para buscar la rigidez que aporta el marco transversal en el marco longitudinal (sección con elementos de color naranja en la Fig. No. 7-3), se plantea en la Fig.

X y

z

i




No. 7-4, un modelo de análisis donde los nodos de interés, 1 y 2, corresponden a los puntos de interacción entre las dos secciones.

Fig. No. 7-4 Configuración de análisis – sección transversal

ID: Modelos Pórtico Plano “K”




Restricción total al desplazamiento en las dos direcciones en los cuatro vértices del modelo


Para el modelo se plantean como condiciones de borde, restricciones totales al desplazamiento en los cuatro vértices de la estructura; teniendo como base para esto, los resultados presentados en los elementos tipo marco, en donde para diferentes condiciones de borde, los resultados eran prácticamente iguales. Es decir que en estas secciones prima el trabajo a flexión, que el trabajo axial de los elementos.




Finalmente se definen las propiedades, como variables, para los elementos: Elemento superior: Área (At), Inercia (It) Elemento inferior: Área (Ab), Inercia (Ib) Elementos verticales: Área (Aw), Inercia (Iw)

7.3 RIGIDEZ EQUIVALENTE

7.3.1 Matriz de rigidez global de los elementos

Teniendo ya definida la estructura, se procede a encontrar su matriz de rigidez global. Primero obtenemos las matrices locales de cada elemento, utilizando la ecuación (3-16):




Se obtiene para cada uno de los elementos, la matriz de transformación de coordenadas globales del elemento a coordenadas globales de la estructura, utilizando la ecuación (7-14).

TKTK iTl

i (7-4)

Para el elemento 1 y 6:

Para el elemento 2




Para los elementos 3 y 4:

Para el elemento 5:

Con lo anterior se procede a armar la matriz global de rigidez de la estructura.




Finalmente encontramos la matriz de rigidez reducida, eliminando los grados de libertad correspondientes a las condiciones de apoyo definidas previamente (grados de libertad 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16 y 17 Fig. No. 7-4).




7.3.2 Condensación

Como únicamente nos interesa el grado de libertad, asociado a los desplazamientos verticales de los nodos 1 y 2 (grados de libertad 2 y 5 Fig. No. 7-4); es necesario realizar la condensación de la matriz de rigidez para “ocultar” los nodos restantes, generando una matriz de rigidez asociada a estos grados de libertad en función de toda la estructura. La técnica de la condensación consiste en reducir el tamaño de un sistema de ecuaciones mediante la eliminación de grados de libertad innecesarios para un análisis particular. Las ecuaciones finalmente condensadas se expresan en función de los grados de libertad de interés c , que junto con los grados de

libertad eliminados d , forman el conjunto completo de grados de libertad de la

estructura original. (Ver [Ref. 23]). Tomando la ecuación (7-5), como ecuación general de la estructura, se procede a su subdivisión en la indicada en la ecuación (7-6), generando las dos ecuaciones del sistema (Ecuaciones (7-7) y (7-8)).

KF (7-5)

d

c

dddc

cdcc

d

c

KK

KK

F

F

(7-6)

dcdcccc KKF (7-7)




dddcdcd KKF (7-8)

Despejando d de la anterior ecuación,

cdcdddd KFK 1 (7-9)

y reemplazando en la ecuación (7-7),

cdcdddcdcccc KFKKKF 1 (7-10)

se obtiene la ecuación del sistema condesado a continuación,

cdcddcdcccc KKKKF 1 (7-11)

la cual, en términos matriciales queda como:

ccc KF * (7-12)

en donde,

dcddcdccc KKKKK 1* (7-13)

Encontrando, que la matriz *

cK , representa la rigidez asociada a los grados de

libertad de interés en función de la matriz de rigidez de la estructura.

7.3.3 Matriz de rigidez equivalente

Utilizando la matriz de rigidez reducida, se obtienen las submatrices para realizar el proceso de condensación.




La matriz de rigidez equivalente se obtiene reemplazando en la ecuación (7-17).




Agrupando y utilizando variables definidas en el anterior resultado, la matriz de rigidez se puede presentar como la expuesta en la ecuación (7-14), en donde representa la rigidez por desplazamiento vertical que proporciona el marco transversal, en los nodos de intersección con el marco longitudinal.

IbLHItIwIb

LHItIwIbIt

L

EKc 43

34123

*(7-14)

en donde;

222

2

1

16

3HItIbItIbLIwHLIw

,

222

4

12

4

3HItIbIbItLHIwLIw

,

222 42

1

4

3HItIbIbItLHIwLIw

.

ara el caso en que los elementos de la estructura tengan el mismo espesor, la P

ecuación se reduce a la siguiente expresión:

43

34123

*

LH

LH

L

IEKc (7-15)

n donde; e

LHLH

4

3

4

1 y 22

2

5

4

3HHLL .

as expresiones de rigidez encontradas, representan un vínculo axial acoplado

7.3.4 Matriz equivalente para las secciones en planta y longitudinal

Solo resta tener en cuenta el aporte de los marcos en planta de la Fig. No. 7-2c,

Lentre la placa superior e inferior del marco longitudinal para el desplazamiento vertical. Este vínculo se replica en cada uno de los puntos de análisis (o discretización) del marco longitudinal, obteniéndose una modelación continua de las placas.

sobre el marco longitudinal. Observando la Fig. No. 7-5, en donde se presenta el marco en planta, se puede modificar las ecuaciones anteriores teniendo en cuenta que la distancia L y la altura H de la Fig. No. 7-4, se reemplazan por la distancia B




y la distancia L, respectivamente. En razón a que se consideran todos los muros del mismo espesor, se puede usar directamente la ecuación (7-15), con las correspondientes modificaciones.

Fig. No. 7-5 Marco en planta

inalmente en la Fig. No. 7-6, se integran los tres modelos; el marco longitudinal

Fig. No. 7-6 Marco longitudinal de análisis corregido

L

Fcomo estructura de análisis, y los marcos transversales y en planta con sus vínculos de equivalencia; representando una sección longitudinal de análisis, que tiene en cuenta el comportamiento en dos direcciones de sus elementos.

B/2

B/2

B

Vínculos que representan marcos en planta Vínculos que representan marcos transversales




7.4 CONSIDERACIONES ESPECIALES

Para involucrar las secciones de análisis en un solo modelo, se deben tener en cuenta los aspectos que se indican a continuación

7.4.1 Rigidez por unidad de longitud

Fig. No. 7-7 Equivalencia de cargas asociadas con la matriz condensada

En primer lugar se debe analizar el nivel de carga al que está asociada la rigidez anteriormente encontrada. En la Fig. No. 7-7 (a) se observa la carga W asociada al elemento superior de la estructura de análisis; mientras que en la Fig. No. 7-7 (b) se observa la equivalencia de las cargas distribuidas a cargas nodales para el correspondiente análisis de la estructura. Teniendo en cuenta que el desplazamiento es proporcional a la carga sobre la rigidez,

K

F (7-16)

en donde, la carga F corresponde a la carga WL/2 indicada en la figura; y la rigidez K corresponde a la ya encontrada con la metodología de la condensación. Reemplazando se obtiene,

a) Carga distribuida

b) Cargas equivalentes




K

LW

2

(7-17)

reorganizando,

2LKW

(7-18)

K

W

(7-19)

Siendo L

KK

2 , la rigidez por carga distribuida del marco de análisis.

7.4.2 Rigidez por ancho unitario

En segundo lugar, debe haber equivalencia entre los modelos para poder combinarlos. Para esto se debe tener en cuenta la discretización utilizada en el modelo original de análisis; la cual, en este caso para la sección longitudinal (en azul en la Fig. No. 7-3), corresponde a un s, de 0.50m. Ver Fig. No. 7-8. Es importante recordar que las secciones de análisis utilizadas tienen un ancho unitario.

Fig. No. 7-8 Discretización de elementos en la sección longitudinal

Para el caso de la rigidez encontrada para el marco transversal o en planta, se debe tener en cuenta que ésta corresponde a una rigidez por un ancho

s s

s




determinado de análisis, establecido en el momento en que se calcula la inercia de las secciones de los elementos. Utilizando un ancho unitario, para facilitar los cálculos, al incorporar esta rigidez al modelo longitudinal en cada uno de sus puntos de discretización se estaría incurriendo en un error, en razón a que se está representando una rigidez unitaria (por metro de análisis) en una estructura que esta discretizada cada 0.50m, lo cual generaría una doble rigidez en toda la longitud del marco de análisis. Es por esto que esta rigidez debe ser acorde al modelo a analizar y por ello se debe multiplicar por la aferencia o discretización correspondiente; en este caso por 0.50m.

7.5 IMPLEMENTACIÓN DE LA SOLUCIÓN

Para ilustrar más claramente lo indicado en este capítulo, se presenta la implementación de las formulaciones en los modelos “F1” del capítulo anterior. ID: Modelos Pórtico Plano “J”




Restricción total al desplazamiento en las dos direcciones en los cuatro vértices del modelo. Restricción parcial al desplazamiento transversal de los elementos mediante el acoplamiento de los nodos igualmente localizados en el elemento paralelo. Ver Fig. No. 7-6


7.5.1 Corrección en el modelo de análisis de la sección longitudinal

Como se mencionó anteriormente, la sección longitudinal interactúa en sentido vertical con secciones transversales, y en sentido horizontal, con secciones en planta; por lo que se deben obtener las rigideces correspondientes para su uso en el modelo longitudinal. Utilizando la ecuación (7-15), con L = 8.0m, H = 3.5m, ancho unitario e I = 0.00225m4, se obtiene la matriz de rigidez para la sección transversal:

mkNK tc

110421780

178011042*,

Convirtiendo ésta rigidez por metro lineal de carga, se obtiene:

mL

KK m

kNtctc

2760445

4452760

2

*,

,




Y multiplicando por la aferencia o discretización utilizada en la sección longitudinal de 0.5m:

mkNK tc

1380222

2221380,

Igualmente para la sección en planta, utilizando L = 8.0m, H = 10.0m, ancho unitario e I = 0.00225m4, se obtiene:

mkNK pc

80281384

13848028*,

mL

KK m

kNtcpc

2007346

3462007

2

*,

,

mkNK pc

1003173

1731003,

A manera de simplificación no se tendrá en cuenta el acoplamiento entre los dos nodos, K1,2 = K2,1 =0; permitiendo el uso de un resorte simple vertical en el modelo, de la misma magnitud, aplicado individualmente en cada nodo. Ver Fig. No. 7-9.

Fig. No. 7-9 Representación de la sección longitudinal con la incorporación de los resortes

7.5.2 Corrección en el modelo de análisis de la sección transversal

Aplicando el mismo procedimiento y teniendo en cuenta que:




Para la sección longitudinal: L = 10.0m, H = 3.5m, ancho unitario e I = 0.00225m4. Para la sección en planta: L = 10.0m, H = 8.0m, ancho unitario e I = 0.00225m4. Se obtienen las matrices de rigidez:

mkNK lc

60090

90600,

mkNK pc

47283

83472,

7.5.3 Corrección en el modelo de análisis de la sección en planta

Para la sección longitudinal: L = 3.5m, H = 10.0m, ancho unitario e I = 0.00225m4. Para la sección transversal: L = 3.5m, H = 8.0m, ancho unitario e I = 0.00225m4. Se obtienen las matrices de rigidez:

mkNK lc

216512889

288921651,

mkNK tc

229493365

336522949,

7.5.4 Presentación de los resultados

En la Tabla No. 7-1 se presentan los resultados de los modelos corregidos con elementos tipo marco y las diferencias porcentuales con los modelos base y espacial con apoyos (Dif_1 y Dif_2, respectivamente). En razón a que los modelos con elementos tipo marco, en forma conservadora y como simplificación, no tienen en cuenta la respuesta real del suelo, mediante la modelación de resortes; su comportamiento es más similar al modelo espacial con apoyos simples; lo cual se resalta en el comportamiento de la placa inferior, principalmente. En la Tabla No. 7-2, se compara los refuerzos obtenidos de los análisis, observándose la similitud principalmente del refuerzo de los elementos con elementos tipo marco, al refuerzo del modelo espacial con apoyos. Finalmente se puede concluir que utilizando la matriz obtenida en este capítulo, se puede simular en modelos bidimensionales de ancho unitario y de forma conservadora, el comportamiento de placas que trabajan en dos direcciones.

MODELOS “A” “J” “B”




Mu kN-m kN-m kN-m Dif_1 Dif_2 Placa Inferior

M11 (pos) 37.00 45.90 47.84 29% 4%

M22 (pos) 37.30 49.83 52.92 42% 6%

M11 (neg) 12.69 24.81 24.41 92% -2%

M22 (neg) 17.95 35.31 39.04 117% 11%

Placa Superior M11 (pos) 24.77 25.38 24.10 -3% -5%

M22 (pos) 35.47 36.19 39.43 11% 9%

M11 (neg) 45.11 44.05 44.46 -1% 1%

M22 (neg) 50.16 48.33 50.51 1% 5%

Muro Longitudinal M11 (pos) 30.53 30.04 39.70 30% 32%

M22 (pos) 50.15 49.83 50.51 1% 1%

M11 (neg) 8.67 8.57 7.00 -19% -18%

M22 (neg) 25.15 25.08 22.21 -12% -11%

Muro Transversal M11 (pos) 30.53 30.04 39.70 30% 32%

M22 (pos) 45.10 45.90 47.84 6% 4%

M11 (neg) 8.69 8.63 7.45 -14% -14%

M22 (neg) 24.52 24.53 21.15 -14% -14%

Tabla No. 7-1 Comparación de resultados modelos con elementos tipo marco corregidos

Tabla No. 7-2 Comparación de refuerzo modelos con elementos tipo marco corregidos MODELO “B” MODELO “A” MODELO “J”

Mu Refuerzo Refuerzo Refuerzo Placa Inferior

M11 (pos) #4 cada 280mm #4 cada 240mm #4 cada 230mm


M11 (neg) #4 cada 280mm #4 cada 280mm #4 cada 280mm

M22 (neg) #4 cada 280mm #4 cada 280mm #4 cada 270mm Placa Superior M11 (pos) #4 cada 280mm #4 cada 280mm #4 cada 280mm




Muro Longitudinal M11 (pos) #4 cada 280mm #4 cada 280mm #4 cada 280mm







MODELO “B” MODELO “A” MODELO “J” Mu Refuerzo Refuerzo Refuerzo

Muro Transversal M11 (pos) #4 cada 280mm #4 cada 280mm #4 cada 280mm







CAPÍTULO 8 - IMPLEMENTACIÓN EN UNA APLICACIÓN

8.1 ALCANCE DE LA APLICACIÓN

La aplicación se limita al análisis y diseño de tanques rectangulares en concreto reforzado, bajo los siguientes criterios:

8.1.1 Normas de Referencia

Las recomendaciones de norma, metodologías y formulaciones desarrolladas están basadas en los siguientes documentos:

NSR-10 “Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente”, Asociación de Ingeniería Sísmica – 2010 [Ref. 7]

ACI350.3-06 “Seismic Design of Liquid-Containing Concrete Structures”, American Concrete Institute – 2006 [Ref. 4]

8.1.2 Características de Tanques

Los tanques a los cuales se limita la aplicación, están compuestos por placa de fondo, muros y placa superior continuos con las siguientes configuraciones:

Tanques de una celda Tanques de dos celdas (paralela a la longitud larga) Tanques de dos celdas (paralela a la longitud corta)

Para los tanques de una celda se incluyen las siguientes condiciones para la placa superior:

Sin placa superior Continua con los muros

8.1.3 Suelos

El análisis estático del suelo se realiza con las ecuaciones de Coulomb, y el análisis dinámico según la metodología de Mononobe-Okabe; teniendo en cuenta las siguientes variables:

Ángulo de fricción del suelo de relleno lateral () Peso específico del suelo de relleno lateral () Sin Nivel Freático.




Igualmente se considera que las condiciones de cimentación corresponden a una cimentación rígida, asumiendo una distribución uniforme de la reacción del suelo sobre la estructura.

8.1.4 Espectro de Diseño

Se utiliza el espectro de diseño de la NSR-10 [Ref. 7].

8.1.5 Cargas Verticales

Se considera para la formulación, las cargas por peso propio de los elementos que componen el tanque, así como, las cargas vivas y/o muertas verticales (rellenos, acabados, etc), distribuidas uniformemente sobre la placa superior. No se consideran cargas verticales puntuales, cargas de camión o cargas hidráulicas especiales.

8.1.6 Cargas Dinámicas

Las cargas dinámicas como empuje dinámico de tierras, fuerzas hidrodinámicas e inerciales por sismo, se aplican dentro de los modelos de manera pseudo-estática, con distribución uniforme o trapezoidal, según el caso de carga.

8.1.7 Diseño de Elementos

Los diferentes elementos que componen la estructura a analizar, se diseñan con base en la metodología de la resistencia última; siguiendo los lineamientos y recomendaciones de la norma NSR-10.

8.2 ELEMENTOS FINITOS

Para el análisis estructural se utilizan modelos “J” con elementos finitos tipo marco, de acuerdo con lo desarrollado en el Capítulo 7. Esto permite la simplificación del problema tridimensional a tres problemas simples bidimensionales para abarcar la totalidad de la estructura. Igualmente en el análisis estructural se consideran que los elementos tienen propiedades elástico-lineales. Igualmente, con los resultados obtenidos en el Capítulo 6, se utiliza como condición de frontera, apoyo simple en las cuatro esquinas para modelos en planta y en las esquinas inferiores para los modelos se sección longitudinal y transversal. Para el caso de muros internos o divisores para los tanques de dos celdas, en los análisis de sección transversal, se adiciona un apoyo simple en el nudo inferior al muro interno.




8.3 PROGRAMACIÓN

8.3.1 Entorno

Fig. No. 8-1 Entorno de la componente VBA de Excel

La aplicación computacional consiste en una hoja de cálculo en Excel que utiliza el complemento de Microsoft Visual Basic for Applications (VBA), para la ejecución de las diferentes actividades o funciones que se realizan en el análisis. VBA es un lenguaje computacional basado en el programa Microsoft Visual Basic, que

Hojas de cálculo del libro de Excel

Módulos o secciones para escribir las funciones o código del programa

Propiedades del elemento seleccionado en la parte superior

Código de programación




permite escribir códigos que realizan acciones de manera inmediata en sus libros, hojas, celdas, columnas o cualquier otro elemento o componente de la hoja de cálculo. Ver Fig. No. 8-1. La principal ventaja de utilizar Excel y VBA con respecto a lenguajes como FORTRAN, C++ y BASIC entre otros, es la superioridad en el entorno de desarrollo visual de programación, así como la interacción dinámica que existe entre las hojas de cálculo y la programación de las mismas. Lo anterior se puede resaltar teniendo en cuenta que el lenguaje es muy amigable aún para aquellos que no tienen mayores conocimientos en programación.

8.3.2 Estructura de la aplicación

Fig. No. 8-2 Diagrama de la aplicación

La aplicación se compone de los siguientes elementos, ver Fig. No. 8-2:

Formulario de entrada de datos y opciones de análisis

Proceso o desarrollo del análisis mediante programación en el entorno VBA, el cual se subdivide en una lectura de datos, generación de geometría, ensamblaje de matrices, y solución del sistema con el correspondiente diseño de los elementos.

Impresión de la información de entrada y de los resultados del análisis en diferentes hojas de cálculo del archivo.

8.3.3 Formulario de entrada de datos

El formulario para entrada de datos se compone de cuatro elementos: tabuladores para agrupar la información, cajones de texto para el ingreso de la información,




esquemas visuales para la identificación de las variables usadas en el formulario; y finalmente botones de comando para la ejecución de tareas específicas.

Fig. No. 8-3 Formulario para entrada de datos

Los tabuladores se dividen en:

Información: para el almacenamiento de la información general del proyecto

Geometría y materiales

Condiciones estructura: en donde se consigna las condiciones de suelo, cargas y parámetros sísmicos

Combinaciones: para que el usuario edite las combinaciones que considere necesarias

Análisis: Donde se dan las alternativas que tiene el programa para el análisis de la estructura

Los botones de comando en la parte inferior del formulario permiten al usuario lo siguiente:

Cargar los datos que se encuentran consignados en las hojas de cálculo en las diferentes cajetines como ingreso por el usuario.

Tabuladores agrupando la información de entrada Cajones de texto para ingreso

de la información

Opciones del usuario para ejecutar con la información

Esquema como ayuda para la generación de la geometría




Guardar los datos que ha editado en el formulario en las hojas de cálculo

Realizar el análisis y diseño de la estructura

Salir del menú

8.3.4 Variables

El programa cuenta con variables tanto globales, como locales en todas las subfunciones que la componen. Las variables globales son aquellas cuya información se mantiene constante durante todo el desarrollo de la aplicación; mientras que las locales solo requiere su almacenamiento para funciones en particular, por ejemplo los contadores para ciclos de iteración. Dentro de los tipos de variables usados en el programa, se encuentran los predeterminados por VBA, como los Integer, Double o Boolean, entre otros; así como los definidos para agrupar cierta información dentro de una sola variable.

Public Longitud As Double Public Ancho As Double Public Altura As Double Public Espesor As Double Public Ew As Double Public Et As Double Public Ep As Double Public Nivel_Agua As Double Public fc As Double Public E As Double Public Volumen As Double

A continuación se observa la variable Elementos(), definida como un arreglo tipo prop; en la cual se guarda toda la información relacionada con los elementos finitos, tales como longitud, nudos de conexión, cargas asociadas, matrices de rigidez y fuerzas internas.

Public Type prop L As Double alpha As Double Ni As Integer Nj As Integer Ixx As Double A As Double Kloc(5, 5) As Double Ktrans(5, 5) As Double KGlobal(5, 5) As Double WCM As Double WCV As Double WCT As Double WCDT_SX As Double WCDT_SY As Double WCA As Double WCA_OC As Double WCImp_SX As Double WCImp_SY As Double WCConv_SX As Double




WCConv_SY As Double WCImp_SX_OC As Double WCImp_SY_OC As Double WCConv_SX_OC As Double WCConv_SY_OC As Double WCVert As Double WCVert_OC As Double WIner_SX As Double WIner_SY As Double WCG As Double Tip_Elem As String Forces(5) As Double End Type Public Elementos() As prop

8.3.5 Lectura de datos

Como se mencionó anteriormente, la subrutina “Leer_Datos”, recoge la información introducida por el usuario en el formulario.

Public Sub Leer_Datos() With FrmMain Realizar_Sismo = .Chk_Sismo.Value Chequear_PP = .Chk_PesoPropio.Value 'Leer info del proyecto Info_Proy(0) = .TxtProyecto Info_Proy(1) = .TxtItem Info_Proy(2) = .TxtDescripcion Info_Proy(3) = .TxtDiseno Info_Proy(4) = .TxtReviso ' Tipo de tanque Tipo = .CmbTipoTanque.ListIndex + 1 'Analisis a realizar Analisis = 1 'DEBE REALIZAR ANALISIS EN LAS TRES SECCIONES 'Dimensiones Ew = Val(.Txt_Ew) 'Espesor Muros Ep = Val(.Txt_Ep) 'Espesor Placa inferior Et = Val(.Txt_Et) 'Espesor Placa superior Longitud = Val(.Txt_L) + Ew Altura = Val(.Txt_Hw) + ((Ep + Et) / 2) Ancho = Val(.Txt_B) + Ew Nivel_Agua = Val(.Txt_Nl) Gliquido = Val(.Txt_Gliquido) 'Propiedades Iw = 1 * (Ew ^ 3) / 12 Aw = 1 * Ew




Ip = 1 * (Ep ^ 3) / 12 Ap = 1 * Ep It = 1 * (Et ^ 3) / 12 At = 1 * Et 'Materiales fc = Val(.Txt_Fc) E = Val(.Lbl_Ec.Caption) * 1000 fy = Val(.Txt_Fy) 'Suelo Gamma = Val(.Txt_Gamma) fi = Val(.Txt_Friccion) With DT 'Angulos en radianes .fi = fi * pi / 180 .k0 = 1 - Sin(.fi) End With Tipo_Tierras = .CmbTierras.ListIndex + 1 H_Tierras = Val(.Txt_Ht) If Tipo_Tierras = 2 Then H_Tierras = -1 * H_Tierras 'Semienterrados 'Nivel de tierras NE_Tierras = Altura + H_Tierras + (Et / 2) 'Cargas gravitacionales If Tipo = 1 Then CM = 0 CV = 0 Else CM = Val(.Txt_CM) CV = Val(.Txt_CV) End If 'Si se realiza análisis sísmico If Realizar_Sismo = True Then 'Espectro sísmico With espectro .Aa = Val(FrmMain.Txt_Aa) .Av = Val(FrmMain.Txt_Av) .Fa = Val(FrmMain.Txt_Fa) .Fv = Val(FrmMain.Txt_Fv) .Importancia = Val(FrmMain.Lbl_I.Caption)




.Sds = 2.5 * .Aa * .Fa If 0.48 * (.Av * .Fv) / (.Aa * .Fa) > 1 Then .Sd1 = 2.5 * .Aa * .Fa Else .Sd1 = 1.2 * .Av * .Fv End If .Sa = .Sds * .Importancia End With 'Sismico para tierras DT.kh = espectro.Aa End If 'Tamaño máximo de elementos Div_Elem = Val(.Txt_DivElem) 'Factor de amplificacion de resultados F_Amp = Val(.Txt_Famp) End With End Sub

Igualmente la función asigna valores a variables definidas que son necesarias en las demás subrutinas que componen el programa.

8.3.6 Análisis de las tres secciones

La rutina “Principal” se encarga de realizar los tres análisis, que permite encontrar el comportamiento total de la estructura. Estos análisis corresponden a una sección en planta, una sección longitudinal, y finalmente, una sección transversal.

Public Sub Principal() Call Limpiar 'Selecciona el tipo de tanque a analizar Select Case Tipo Case 1 ' Sin tapa Analisis = 1 ' El primer analisis es en planta Call Coord_1 Analisis = 2 ' Analisis en corte vertical longitudinal Call Coord_2 Analisis = 3 ' Analisis en corte vertical transversal




Call Coord_3 Case 3 ' Tapa continua Analisis = 1 ' El primer analisis es en planta Call Coord_1 Analisis = 2 ' Analisis en corte vertical longitudinal Call Coord_4 Analisis = 3 ' Analisis en corte vertical transversal Call Coord_5 Case 4 ' Dos celdas longitudinal Analisis = 1 ' El primer analisis es en planta Call Coord_6 Analisis = 2 ' Analisis en corte vertical longitudinal Call Coord_4 Analisis = 3 ' Analisis en corte vertical transversal Call Coord_7 Case 5 ' Dos celdas transversal Analisis = 1 ' El primer analisis es en planta Call Coord_8 Analisis = 2 ' Analisis en corte vertical longitudinal Call Coord_9 Analisis = 3 ' Analisis en corte vertical transversal Call Coord_5 End Select End Sub

La función “Limpiar”, incluida al principio del código, borra de las diferentes hojas la información de salida de análisis previos. Para cada tipo de estructura, la rutina llama a las funciones correspondientes que generan la geometría de cada una de las secciones a analizar, denominadas Coord_#.




8.3.7 Generación de geometría

Las funciones Coord_# son las que, según el tipo de tanque a analizar, definen los elementos finitos, su cantidad y propiedades, los nodos y sus coordenadas y la conectividad entre ellos. De igual manera, la función asigna las restricciones que tiene la estructura en los nodos correspondientes.

Public Sub Coord_6() ' Corte en planta DOS CELDAS Longitudinal Dim temp As Integer Dim Nod_Inicial As Integer, Nod_Final As Integer Cant_long = Int((Longitud / Div_Elem)) 'Dividir el ancho en dos para la división de las celdas temp = Int((Ancho / Div_Elem)) Mod 2 If temp = 0 Then Cant_anch = Int((Ancho / Div_Elem)) Else Cant_anch = Int((Ancho / Div_Elem)) + 1 End If Cant_Elementos = ((Cant_long + Cant_anch) * 2) + Cant_long Cant_Nodos = Cant_Elementos - 1 Long_long = Longitud / Cant_long Long_anch = Ancho / Cant_anch ReDim Coord_Nodos(Cant_Nodos - 1) ReDim Elementos(Cant_Elementos - 1) ReDim Matriz_K((Cant_Nodos * 3) - 1, (Cant_Nodos * 3) - 1) ReDim Cargas((Cant_Nodos * 3) - 1) k = 0 Coord_Nodos(0).ux = True Coord_Nodos(0).uy = True For j = 0 To Cant_long - 1 Elementos(k).L = Long_long Elementos(k).alpha = 0 Elementos(k).Ni = k Elementos(k).Nj = k + 1 Elementos(k).Ixx = Iw Elementos(k).A = Aw Elementos(k).Tip_Elem = "Muro" Coord_Nodos(k).x = Long_long * j Coord_Nodos(k).y = 0 k = k + 1




Next j Coord_Nodos(k).ux = True Coord_Nodos(k).uy = True For j = 0 To Cant_anch - 1 Elementos(k).L = Long_anch Elementos(k).alpha = 90 Elementos(k).Ni = k Elementos(k).Nj = k + 1 Elementos(k).Ixx = Iw Elementos(k).A = Aw Elementos(k).Tip_Elem = "Muro" Coord_Nodos(k).x = Long_long * Cant_long Coord_Nodos(k).y = Long_anch * j If Coord_Nodos(k).y = Ancho / 2 Then Nod_Final = k End If k = k + 1 Next j Coord_Nodos(k).ux = True Coord_Nodos(k).uy = True For j = 0 To Cant_long - 1 Elementos(k).L = Long_long Elementos(k).alpha = 180 Elementos(k).Ni = k Elementos(k).Nj = k + 1 Elementos(k).Ixx = Iw Elementos(k).A = Aw Elementos(k).Tip_Elem = "Muro" Coord_Nodos(k).x = Longitud - (Long_long * j) Coord_Nodos(k).y = Long_anch * Cant_anch k = k + 1 Next j Coord_Nodos(k).ux = True Coord_Nodos(k).uy = True For j = 0 To Cant_anch - 1 Elementos(k).L = Long_anch Elementos(k).alpha = 270 Elementos(k).Ni = k Elementos(k).Nj = k + 1 If j = Cant_anch - 1 Then Elementos(k).Nj = 0 Elementos(k).Ixx = Iw Elementos(k).A = Aw Elementos(k).Tip_Elem = "Muro" Coord_Nodos(k).x = 0




Coord_Nodos(k).y = Ancho - (Long_anch * j) If Coord_Nodos(k).y = Ancho / 2 Then Nod_Inicial = k End If k = k + 1 Next j ' Coordenadas muro divisor For j = 1 To Cant_long Elementos(k).L = Long_long Elementos(k).alpha = 0 'Nudo inicial If j = 1 Then Elementos(k).Ni = Nod_Inicial Else Elementos(k).Ni = k - 1 End If 'Nudo final If j = Cant_long Then Elementos(k).Nj = Nod_Final Else Elementos(k).Nj = k End If Elementos(k).Ixx = Iw Elementos(k).A = Aw Elementos(k).Tip_Elem = "Muro_Int" If j < Cant_long Then Coord_Nodos(k).x = Long_long * j Coord_Nodos(k).y = (Cant_anch / 2) * Long_anch End If k = k + 1 Next j Coord_Nodos(Nod_Inicial).ux = True Coord_Nodos(Nod_Inicial).uy = True Coord_Nodos(Nod_Final).ux = True Coord_Nodos(Nod_Final).uy = True




'Imprimir coordenadas de nudos en planta For j = 0 To Cant_Nodos - 1 Coord_Planta.Cells(3 + j, 1) = j + 1 Coord_Planta.Cells(3 + j, 2) = Coord_Nodos(j).x Coord_Planta.Cells(3 + j, 3) = Coord_Nodos(j).y Next j Coord_Planta.Cells(3 + j, 1) = 1 Coord_Planta.Cells(3 + j, 2) = 0 Coord_Planta.Cells(3 + j, 3) = 0 Num_Restricciones = 12 Call Desarrollo Call Imprimir_Datos_Planta Call Imprimir_Fuerzas_Planta End Sub

La línea de programación Elementos(k).Tip_Elem = "Muro_Int", permite identificar el tipo de elemento que se esta generando, sea un muro perimetral, placa inferior o superior; o el muro interno para división de celdas en el tanque. Lo anterior con el fin de poder distinguir el elemento en el momento de realizar la asignación de cargas y facilitar así este proceso.

Fig. No. 8-4 Hoja de salida con las coordenadas de la sección de análisis




En esta función se encuentra una primera salida del programa, correspondiente a las coordenadas de los nudos que hacen parte de la estructura analizada; los cuales son impresos como lista en hojas de cálculo determinadas según el corte que se este analizando. Ver Fig. No. 8-4. Finalmente la función llama a la subrutina Desarrollo, la cual realiza todos procesos y operaciones relacionados con la generación de matrices de rigidez y de cargas; así como la solución del sistema.

Public Sub Desarrollo() Call Matrices_Locales Call Matrices_Transformadas Call Matrices_Globales Call Matriz_Global Call Correccion_Frame Call Matriz_Reducida Call Leer_Cargas Call Cargas_Reducida Call Solucion_Sistema Call Fuerzas_Internas Call Asig_Maximos End Sub

8.3.8 Ensamble de matrices

El proceso de ensamble de las matrices consta de los siguientes pasos:

a. Generar las matrices de rigidez local, transformada y global, de todos los elementos finitos que componen la estructura.

b. Realizar el ensamble de la matriz de rigidez global de la estructura. c. Incorporar la rigidez por trabajo en dos direcciones de los elementos. d. Reducir la matriz de rigidez global para la solución del sistema.

Para esto, dentro de la subrutina Desarrollo, se llaman las siguientes funciones:

Call Matrices_Locales Call Matrices_Transformadas Call Matrices_Globales Call Matriz_Global Call Correccion_Frame Call Matriz_Reducida

siendo las tres primeras para realizar el paso a, la cuarta para el paso b, la quinta para el paso c; y finalmente, la sexta para el paso d. La matriz local se basa en la formulación del elemento finito tipo marco, para lo cual realiza las operaciones necesarias y la asignación en la ubicación específica




en la matriz. La matriz de transformación, como su nombre lo indica, permite realizar la transformación de las coordenadas locales de los elementos, a coordenadas globales para el ensamble de la matriz de rigidez de la estructura; valores que son obtenidos y asignados al llamar la función Matrices_Globales.

Public Sub Matrices_Locales() Dim i As Integer For i = 0 To Cant_Elementos - 1 With Elementos(i) 'Axial .Kloc(0, 0) = .a * E / .L .Kloc(3, 3) = .a * E / .L .Kloc(0, 3) = -.a * E / .L .Kloc(3, 0) = -.a * E / .L '12EI/L3 .Kloc(1, 1) = 12 * .Ixx * E / (.L ^ 3) .Kloc(4, 4) = 12 * .Ixx * E / (.L ^ 3) .Kloc(1, 4) = -12 * .Ixx * E / (.L ^ 3) .Kloc(4, 1) = -12 * .Ixx * E / (.L ^ 3) '6EI/L2 .Kloc(1, 2) = 6 * .Ixx * E / (.L ^ 2) .Kloc(2, 1) = 6 * .Ixx * E / (.L ^ 2) .Kloc(1, 5) = 6 * .Ixx * E / (.L ^ 2) .Kloc(5, 1) = 6 * .Ixx * E / (.L ^ 2) .Kloc(2, 4) = -6 * .Ixx * E / (.L ^ 2) .Kloc(4, 2) = -6 * .Ixx * E / (.L ^ 2) .Kloc(4, 5) = -6 * .Ixx * E / (.L ^ 2) .Kloc(5, 4) = -6 * .Ixx * E / (.L ^ 2) '4EI/L .Kloc(2, 2) = 4 * .Ixx * E / (.L) .Kloc(5, 5) = 4 * .Ixx * E / (.L) '2EI/L .Kloc(2, 5) = 2 * .Ixx * E / (.L) .Kloc(5, 2) = 2 * .Ixx * E / (.L) End With Next i End Sub

La función principal Matriz_Global se encarga de recoger la información de cada uno de los elementos para armar la matriz de rigidez global de la estructura; realizando 4 grupos de iteraciones, cada una de estas asignando nueve posiciones de la matriz, para obtener finalmente, las treinta y seis requeridas para la asignación total.

Public Sub Matriz_Global() Dim i As Integer, j As Integer, h As Integer




For i = 0 To Cant_Elementos - 1 With Elementos(i) 'identificar el nodo i For j = 0 To 2 For h = 0 To 2 Matriz_K(j + (.Ni * 3), h + (.Ni * 3)) = Matriz_K(j + (.Ni * 3), h + (.Ni * 3)) + .KGlobal(j, h) Next h Next j For j = 0 To 2 For h = 0 To 2 Matriz_K(j + (.Nj * 3), h + (.Nj * 3)) = Matriz_K(j + (.Nj * 3), h + (.Nj * 3)) + .KGlobal(j + 3, h + 3) Next h Next j For j = 0 To 2 For h = 0 To 2 Matriz_K(j + (.Ni * 3), h + (.Nj * 3)) = Matriz_K(j + (.Ni * 3), h + (.Nj * 3)) + .KGlobal(j, h + 3) Next h Next j For j = 0 To 2 For h = 0 To 2 Matriz_K(j + (.Nj * 3), h + (.Ni * 3)) = Matriz_K(j + (.Nj * 3), h + (.Ni * 3)) + .KGlobal(j + 3, h) Next h Next j End With Next i End Sub

En el siguiente numeral se presenta la incorporación de la rigidez por trabajo en dos direcciones de los elementos. Por último la subrutina Matriz_Reducida, realiza la reducción de la matriz de rigidez global, para la solución de la estructura; teniendo en cuenta la cantidad de




restricciones definidas de manera previa en la geometría. Para esto se llama a la función Reduccion, que permite identificar los nodos que tienen las restricciones y los grados de libertad restringidos correspondientes; almacenando la información en un arreglo definido como filas().

Public Sub Matriz_Reducida() Dim i As Integer, j As Integer, k As Integer, h As Integer Dim p As Integer, q As Integer ReDim Matriz_Red((Cant_Nodos * 3) - 1 - Num_Restricciones, (Cant_Nodos * 3) - 1 - Num_Restricciones) Call Reduccion p = 0 k = 0 For i = 1 To (Cant_Nodos * 3) If i <> filas(p) Then h = 0 q = 0 For j = 1 To (Cant_Nodos * 3) If j <> filas(q) Then Matriz_Red(k, h) = Matriz_K(i - 1, j - 1) h = h + 1 Else If q < Num_Restricciones - 1 Then q = q + 1 End If Next j k = k + 1 Else If p < Num_Restricciones - 1 Then p = p + 1 End If Next i End Sub Public Sub Reduccion() Dim i As Integer, w As Integer ReDim filas(Num_Restricciones - 1) w = 0 For i = 0 To Cant_Nodos - 1




If Coord_Nodos(i).ux = True Then filas(w) = (i * 3) + 1 w = w + 1 End If If Coord_Nodos(i).uy = True Then filas(w) = (i * 3) + 2 w = w + 1 End If If Coord_Nodos(i).fz = True Then filas(w) = (i * 3) + 3 w = w + 1 End If Next i End Sub

8.3.9 Incorporación del trabajo en dos direcciones

La rutina “Correccion_Frame” se encarga de incluir en la matriz de rigidez global de la sección de análisis, la rigidez correspondiente al trabajo en la dirección perpendicular a la de estudio, de acuerdo con lo definido en el Capítulo 7. Esta rutina se compone de dos subrutinas: “Calcular_resorte”, con la cual se calculan las matrices de rigidez equivalentes de las secciones perpendiculares a la de análisis; y “Asignar_Resorte”, que incluye estas rigideces en la matriz global de la estructura.

Public Sub Calcular_resorte(temp_L As Double, temp_H As Double, temp_It As Double, temp_Ib As Double, temp_Iw As Double, sentido As String, temp_longitud As Double) Dim temp_beta As Double, temp_gamma As Double, temp_lambda As Double Dim const_K As Double Dim temp_K(1, 1) As Double const_K = (2 / temp_L) * (temp_longitud) temp_beta = ((3 / 16) * (temp_Iw * temp_L) ^ 2) + ((1 / 2) * temp_H * temp_Iw * temp_L * (temp_Ib + temp_It)) + (temp_Ib * temp_It * temp_H ^ 2) temp_gamma = ((3 / 4) * (temp_Iw * temp_L) ^ 2) + (2 * temp_H * temp_Iw * temp_L * (temp_Ib + (temp_It / 4))) + (temp_Ib * temp_It * temp_H ^ 2) temp_lambda = ((3 / 4) * (temp_Iw * temp_L) ^ 2) + ((1 / 2) * temp_H * temp_Iw * temp_L * (temp_Ib + (temp_It * 4))) + (temp_Ib * temp_It * temp_H ^ 2) temp_K(0, 0) = const_K * (12 * E / (temp_beta * (temp_L ^ 3))) * 4 * temp_It * temp_gamma temp_K(0, 1) = const_K * (12 * E / (temp_beta * (temp_L ^ 3))) * 3 * temp_Ib * temp_It * temp_Iw * temp_H * temp_L temp_K(1, 0) = const_K * (12 * E / (temp_beta * (temp_L ^ 3))) * 3 * temp_Ib * temp_It * temp_Iw * temp_H * temp_L




temp_K(1, 1) = const_K * (12 * E / (temp_beta * (temp_L ^ 3))) * 4 * temp_Ib * temp_lambda If sentido = "x" Then For i = 0 To 1 For j = 0 To 1 K1(i, j) = temp_K(i, j) Next j Next i Else For i = 0 To 1 For j = 0 To 1 K2(i, j) = temp_K(i, j) Next j Next i End If End Sub Public Sub Asignar_Resorte(cant_x As Integer, cant_y As Integer) Dim i As Integer, Nodo_Eq As Integer, k As Integer, j As Integer Dim Cant_total As Integer Cant_total = cant_x + cant_y For i = 0 To cant_x j = 1 Nodo_Eq = Buscar_Nodo(i, "x") Matriz_K(j + (i * 3), j + (i * 3)) = Matriz_K(j + (i * 3), j + (i * 3)) + K1(0, 0) Matriz_K(j + (Nodo_Eq * 3), j + (Nodo_Eq * 3)) = Matriz_K(j + (Nodo_Eq * 3), j + (Nodo_Eq * 3)) + K1(1, 1) Matriz_K(j + (i * 3), j + (Nodo_Eq * 3)) = Matriz_K(j + (i * 3), j + (Nodo_Eq * 3)) + K1(0, 1) Matriz_K(j + (Nodo_Eq * 3), j + (i * 3)) = Matriz_K(j + (Nodo_Eq * 3), j + (i * 3)) + K1(1, 0) temp_i = i Next i For i = temp_i To Cant_total j = 0




Nodo_Eq = Buscar_Nodo(i, "y") Matriz_K(j + (i * 3), j + (i * 3)) = Matriz_K(j + (i * 3), j + (i * 3)) + K2(0, 0) Matriz_K(j + (Nodo_Eq * 3), j + (Nodo_Eq * 3)) = Matriz_K(j + (Nodo_Eq * 3), j + (Nodo_Eq * 3)) + K2(1, 1) Matriz_K(j + (i * 3), j + (Nodo_Eq * 3)) = Matriz_K(j + (i * 3), j + (Nodo_Eq * 3)) + K2(0, 1) Matriz_K(j + (Nodo_Eq * 3), j + (i * 3)) = Matriz_K(j + (Nodo_Eq * 3), j + (i * 3)) + K2(1, 0) Next i End Sub

8.3.10 Asignación de cargas

La asignación de las cargas en los elementos y la generación de la matriz de cargas correspondiente, se realizan mediante las siguientes subrutinas dentro de la función “Desarrollo”:

Call Leer_Cargas Call Cargas_Reducida

en donde, la primera se encarga de asignar las cargas acorde a la condición del tanque y al tipo de elemento que se este cargando, así como el ensamblaje de la matriz global de cargas. La segunda realiza la reducción de la matriz de carga, con base en la combinación de análisis escogida por el usuario; para poder resolver el sistema. A continuación se presenta el código para cargar la placa superior con el peso propio del elemento. En ella se resalta la función “HACER” en la cual se calcula el valor de la carga nodal correspondiente a cada grado de libertad utilizando la función “Valor _Carga” y un ciclo For. Los valores son almacenados temporalmente en una variable global Cargas_Locales(), para finalmente llamar a la función “Asig_Cargas”, responsable de generar la matriz global de cargas.

Public Sub Peso_Sup(ID As Integer) 'CARGAS POR PESO SOBRE PLACA SUPERIOR If Ent_Datos.Chk_PP = True Then Elementos(ID).WCG = Et * 2.4 Else Exit Sub End If Call HACER(ID, Elementos(ID).WCG, 1)




End Sub Public Sub HACER(ID As Integer, w As Double, carga As Integer) Dim i As Integer, j As Integer Dim Cargas_Local() As Double, Cargas_Global() As Double ReDim Cargas_Local(5) ReDim Cargas_Global(5) For i = 0 To 5 Cargas_Local(i) = Valor_Carga(w, i, Elementos(ID).L) Next i For i = 0 To 5 For j = 0 To 5 Cargas_Global(i) = Cargas_Global(i) + (Elementos(ID).Ktrans(j, i) * Cargas_Local(j)) Next j Next i Call Asig_Cargas(Elementos(ID).Ni, Elementos(ID).Nj, Cargas_Global(), carga) End Sub Public Function Valor_Carga(w As Double, ID As Integer, Le As Double) As Double Select Case ID Case 0 Valor_Carga = 0 Case 1 Valor_Carga = w * Le / 2 Case 2 Valor_Carga = w * (Le ^ 2) / 12 Case 3 Valor_Carga = 0 Case 4 Valor_Carga = w * Le / 2 Case 5 Valor_Carga = -1 * w * (Le ^ 2) / 12 End Select End Function




8.3.11 Solución del sistema

Una vez se ha armado la matriz de cargas reducida, se procede a la solución del sistema encontrando la matriz de desplazamientos Matriz_U. Para esto se utiliza el método directo descrito en el texto “El método de los elementos finitos” del profesor O. C. Zienkiewicz. [Ref. 25]; que se compone de tres pasos (Ver ilustración de la metodología en el Anexo B):

a. Descomposición triangular de la matriz de coeficientes, b. Eliminación hacia delante, y c. Sustitución hacia atrás.

Public Sub Solucion_Sistema() Dim L() As Double, C() As Double, y() As Double Dim temp As Double, temp2 As Double n = (Cant_Nodos * 3) - 1 - Num_Restricciones ReDim L(n, n) ReDim C(n, n) ReDim y(n) ReDim Matriz_U(n) 'DESCOMPOSICION TRIANGULAR DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES C(0, 0) = Matriz_Red(0, 0) L(0, 0) = 1 For j = 1 To n For i = 0 To j - 1 temp = 0 For m = 0 To i - 1 temp = temp + (L(j, m) * C(m, i)) Next m L(j, i) = (Matriz_Red(j, i) - temp) / C(i, i) temp2 = 0 For m = 0 To i - 1 temp2 = temp2 + (L(i, m) * C(m, j)) Next m C(i, j) = Matriz_Red(i, j) - temp2 L(j, j) = 1 temp3 = 0 For m = 0 To j - 1




temp3 = temp3 + (L(j, m) * C(m, j)) Next m C(j, j) = Matriz_Red(j, j) - temp3 Next i Next j 'ELIMINACION HACIA ADELANTE y(0) = Cargas_Red(0) For i = 1 To n temp4 = 0 For j = 0 To i - 1 temp4 = temp4 + (L(i, j) * y(j)) Next j y(i) = Cargas_Red(i) - temp4 Next i 'SUSTITUCIÓN HACIA ATRAS Matriz_U(n) = y(n) / C(n, n) i = n - 1 While i > -1 temp5 = 0 For j = i + 1 To n temp5 = temp5 + (C(i, j) * Matriz_U(j)) Next j Matriz_U(i) = (y(i) - temp5) / C(i, i) i = i - 1 Wend Call Matriz_Def_Completa End Sub

Finalmente la función Solucion_Sistema llama la subrutina Matriz_Def_Completa, en la cual se complementa la matriz de desplazamientos encontrados, con los grados de libertad restringidos.




Al retornar a la función de generación de coordenadas, se llama a la función Imprimir_Datos_Planta, la cual imprime en hojas de salida, los listados de las desplazamientos nodales de la sección de análisis. Para poder graficar los resultados, se realiza una mayoración de los desplazamientos por un factor de amplificación el cual es un dato de entrada en la hoja de inicio. Esto último con el fin de poder apreciar los desplazamientos, cuando éstos son muy pequeños. Fig. No. 8-5. Como última tarea del programa con respecto al análisis de la estructura, se procede al cálculo de las fuerzas internas en cada uno de los elementos finitos que componen la sección de análisis; generando listados de salida en hojas de cálculo independientes por sección.

Public Sub Fuerzas_Internas() Dim i As Integer, j As Integer, k As Integer, temp() As Double For i = 0 To Cant_Elementos - 1 With Elementos(i) ReDim temp(5) For j = 0 To 5 For k = 0 To 5 If k < 3 Then temp(j) = temp(j) + (.Ktrans(j, k) * Matriz_Utotal((.Ni * 3) + k)) Else temp(j) = temp(j) + (.Ktrans(j, k) * Matriz_Utotal((.Nj * 3) + k - 3)) End If Next k Next j For j = 0 To 5 For k = 0 To 5 .Forces(j) = .Forces(j) + (.Kloc(j, k) * temp(k)) Next k Next j End With Next i End Sub




Fig. No. 8-5 Lista de salida con los desplazamientos nodales de la sección de análisis

Fig. No. 8-6 Listado de salida de fuerzas internas

8.3.12 Salidas del proceso

Como se mencionó anteriormente, el programa genera salidas en forma de listados que permiten graficar y consultar datos de manera fácil para el usuario. A continuación se presenta el código para la impresión de los listados de resultados del análisis de la sección en planta. En este se realiza un barrido de todos los elementos que componen la matriz Coord_Nodos() mediante un ciclo




For, comparando si el nodo y grado de libertad se encuentran restringidos o no; asignándole el valor de cero en el caso de que sea afirmativo. De manera simultánea, realiza el cálculo del desplazamiento sumándole la coordenada inicial del nudo y poder así generar la gráfica de desplazamientos como se muestra en la Fig. No. 8-7.

Deformación - Corte en Planta

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

-1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 11.00

(m)

(m)

Deformada

Estructura

Fig. No. 8-7 Resultado de graficar el listado de resultados

Public Sub Imprimir_Datos_Planta() Dim i As Integer, j As Integer Dim p As Integer, k As Integer 'Imprimir Matriz U p = 0 k = 0 For i = 1 To Cant_Nodos Rst_Planta.Cells(i + 2, 1) = i For j = 1 To 3 If (i * 3) - (3 - j) <> filas(p) Then Rst_Planta.Cells(i + 2, 1 + j) = Matriz_U(k) If j = 1 Then Rst_Planta.Cells(i + 2, 6 + j) = Coord_Nodos(i - 1).x + Matriz_U(k) * F_Amp ElseIf j = 2 Then Rst_Planta.Cells(i + 2, 6 + j) = Coord_Nodos(i - 1).y + Matriz_U(k) * F_Amp End If k = k + 1




Else Rst_Planta.Cells(i + 2, 1 + j) = 0 If j = 1 Then Rst_Planta.Cells(i + 2, 6 + j) = Coord_Nodos(i - 1).x ElseIf j = 2 Then Rst_Planta.Cells(i + 2, 6 + j) = Coord_Nodos(i - 1).y End If If p < Num_Restricciones - 1 Then p = p + 1 End If Next j Next i End Sub

8.4 RESULTADOS OBTENIDOS

Del análisis generado por la aplicación, se obtiene la siguiente información:

a. Desplazamientos de las secciones en planta, transversal y longitudinal de la estructura.

b. Fuerzas internas de los elementos que componen las secciones de análisis. c. Envolvente de fuerzas de los elementos que componen la estructura. d. Diseño de los elementos.

8.5 DISEÑO DE LOS ELEMENTOS

El diseño de los elementos se divide en dos etapas: la primera en la cual el programa calcula el refuerzo correspondiente a las envolventes de fuerzas y momentos últimos de la estructura, así como del cálculo del refuerzo mínimo a colocar. La segunda parte corresponde al cálculo del factor de durabilidad ambiental Sd, para el cual se debe tener como entrada el diseño por resistencia última del análisis realizado, los momentos de servicio correspondientes y la barra a utilizar como refuerzo. Para realizar la segunda parte se utiliza un botón de comando en la parte superior que, con base en el momento de servicio calculado por el análisis y la barra a utilizar, busca la separación necesaria para cumplir con el momento de servicio y proceder al cálculo del factor Sd, como se presenta en el ejemplo del Anexo A.




Fig. No. 8-8 Hoja de diseño de la aplicación

8.6 VERIFICACIÓN – ANÁLISIS DE LA ESTRUCTURA TIPO CAJÓN

En este numeral se presentan los resultados de diseño para la estructura del Capítulo 5, utilizando el programa desarrollado; pero teniendo en cuenta dos condiciones: en la primera no se tendrá en cuenta la corrección por trabajo en dos direcciones; y en la segunda si se tendrá en cuenta. Ambos resultados se presentan en el Anexo C. En la Tabla No. 8-1 se observa la comparación de los resultados de análisis de los modelos con elementos tipo marco del Capítulo 6 y los obtenidos con el programa sin tener en cuenta la corrección de los elementos tipo marco para el trabajo en dos direcciones. A excepción del momento y refuerzo vertical en la cara externa del muro longitudinal (M22 (pos)), no se presenta una diferencia mayor al 7% entre el programa y los modelos individuales realizados en SAP2000; indicando que la




formulación de la aplicación es adecuada para modelar este tipo estructuras con elementos tipo marco.

MODELO “F1”

SIMULADO CON SAP2000 SIMULADO CON LA APLICACIÓN

Mu kN-m Refuerzo kN-m Refuerzo Dif Placa Inferior




M22 (neg) 58.25 #4 cada 180mm 54.21 #4 cada 200mm -7% Placa Superior




M22 (neg) 64.37 #4 cada 160mm 60.30 #4 cada 180mm -6% Muro Longitudinal





Tabla No. 8-1 Comparación de magnitud de momentos – programa sin corrección

MODELO “B” MODELO “A”

MODELOS “J” SIMULADOS EN LA

APLICACIÓN Mu kN-m kN-m kN-m Dif_1 Dif_2

Placa Inferior

M11 (pos) 37.00 45.90 49.02 32% 7%

M22 (pos) 37.30 49.83 51.81 39% 4%

M11 (neg) 12.69 24.81 26.80 111% 8%

M22 (neg) 17.95 35.31 38.80 116% 10% Placa Superior

M11 (pos) 24.77 25.38 26.39 7% 4%

M22 (pos) 35.47 36.19 39.19 10% 8%

M11 (neg) 45.11 44.05 45.11 0% 2%

M22 (neg) 50.16 48.33 49.07 -2% 2% Muro Longitudinal

M11 (pos) 30.53 30.04 43.58 43% 45%

M22 (pos) 50.15 49.83 50.93 2% 2%

M11 (neg) 8.67 8.57 9.69 12% 13%

M22 (neg) 25.15 25.08 22.87 -9% -9%

Tabla No. 8-2 Comparación de magnitud de momentos – programa corregido




La Tabla No. 8-2 y Tabla No. 8-3, presentan los resultados de la aplicación, teniendo en cuenta la corrección de los elementos tipo marco para considerar los efectos por trabajo en dos direcciones de los elementos. Estos valores se comparan con el modelo base y el modelo espacial con apoyos. Se resalta la similitud de los resultados con el modelo espacial con apoyos, en razón a que la formulación desarrollada para la aplicación considera la misma condición de frontera que el modelo espacial. No se presenta el resultado del muro transversal, en razón a que la aplicación solo presenta los resultados de los muros perimetrales, sin diferenciarlos entre longitudinal y transversal; lo cual es común en la práctica de diseño.

MODELO “B” MODELO “A” MODELOS “J”

SIMULADOS EN LA APLICACIÓN

Mu Refuerzo Refuerzo Refuerzo Placa Inferior





Placa Superior M11 (pos) #4 cada 280mm #4 cada 280mm #4 cada 280mm




Muro Longitudinal M11 (pos) #4 cada 280mm #4 cada 280mm #4 cada 250mm




Tabla No. 8-3 Comparación de refuerzo – programa corregido




CAPÍTULO 9 - EJEMPLO DE DISEÑO

En este capítulo se presenta un ejemplo de diseño de una estructura tipo cajón, teniendo en cuenta los lineamientos presentados, utilizando un modelo espacial con el programa SAP2000 y el programa desarrollado en esta tesis.

9.1 GENERALIDADES

El ejemplo corresponde al diseño estructural del tanque de almacenamiento de la red de incendios del proyecto de adecuación de la carrera 10 al sistema Transmilenio en la ciudad de Bogotá, D.C.

9.2 DESCRIPCIÓN

La estructura consiste en un tanque de almacenamiento en concreto reforzado con longitudes libres en planta de 9.35m por 3.00m, y 2.55m de altura libre de muros. Los muros y placas de la estructura tienen un espesor de 0.25m. El acceso de inspección es una abertura con tapa en lámina delgada de 1.20m x 0.80m, el cual para efectos de este ejercicio, no se tendrá en cuenta para el análisis.

Fig. No. 9-1 Dimensiones de la estructura para el ejemplo de diseño

9.3 MODELO ANALÍTICO

El modelo se realizó con el software SAP 2000, en el cual se utilizaron elementos finitos tipo cascarón-delgado para modelar los muros y placas. Ver Fig. No. 9-2. Todos los elementos se modelaron con material de concreto. Se utiliza una discretización de elementos con tamaño máximo de elementos de 0.50mx0.50m.




Fig. No. 9-2 Modelo tridimensional de la estructura

9.3.1 Materiales y requisitos de durabilidad

Teniendo en cuenta las condiciones de exposición de la estructura, corresponden a una estructura en contacto permanente con agua, tanto interna como externamente. Adicionalmente se requiere que esta estructura tenga una baja permeabilidad para garantizar en mayor medida el volumen de agua contenido para una posible emergencia. La Tabla No. 9-1 clasifica la estructura teniendo en cuenta lo indicado anteriormente y de acuerdo a lo especificado en C.23-C.4.2.1 y C.23-C.4.3.1.

CATEGORIA SEVERIDAD CLASE a/c f'c, min (Mpa)

Congelamiento y deshielo (F): No es aplicable F0 No aplica 28

Requiere baja permeabilidad (P): Requerida P1 0.45 28

Protección del refuerzo para la corrosión, (C): Moderada C1 0.50 28

Exposición a químicos corrosivos, (Q): No es aplicable Q0 No aplica 28

Tabla No. 9-1 Clasificación de la estructura Con lo anterior se requiere una máxima relación agua/cemento (a/c) de 0.45 en la mezcla utilizada en la estructura; así como una resistencia mínima a la compresión del concreto de 28MPa. Para el acero de refuerzo se considera un esfuerzo de fluencia, fy, de 420MPa.

9.3.2 Características del suelo

El relleno perimetral a la estructura tiene las siguientes propiedades:




Peso específico, = 20.0kN/m3 Ángulo de fricción del suelo, = 30° Coeficiente de presión lateral de tierras: 50.01 senKo El nivel freático se encuentra por debajo del nivel de cimentación de la estructura.

9.4 AVALÚO DE CARGAS ESTÁTICAS

Fig. No. 9-3 Esquema para cargas estáticas

9.4.1 Cargas Gravitacionales

9.4.1.1 Carga Muerta

Se considera la carga muerta por peso propio de la estructura y es incluida por el programa teniendo un peso específico del concreto de 24kN/m3.

9.4.1.2 Carga Viva

Se contempla una carga viva uniformemente distribuida en la placa superior de 5.0kN/m2. Ver Fig. No. 9-4.

9.4.2 Cargas laterales por presión de tierras

Presión lateral de tierras en nivel superior, t1= 0.0kN/m2 Presión lateral de tierras en nivel inferior (h = 2.675m), t2 = 26.75kN/m2

9.4.3 Cargas laterales por presión hidrostática

Presión hidrostática (h = 1.85m), l = 1.85kN/m2




Fig. No. 9-4 Carga viva

Fig. No. 9-5 Distribución de presiones laterales de agua (izquierda) y de tierras (derecha)

9.5 AVALÚO DE CARGAS DINÁMICAS

9.5.1 Espectro de Diseño

El estudio de suelos realizado para esta estructura esta basado en la NSR-98, por lo que los parámetros establecidos para el espectro son: S = 1.50 y Aa = 0.20




Teniendo en cuenta lo anterior, se encuentran los parámetros Aa y Av, de la NSR-10, que permitan obtener un espectro equivalente al indicado en el estudio de suelos.

PARÁMETROS SÍSMICOS DEL PROYECTO

TIPO DE PERFIL = B I = 1.00 *

Aa = 0.20 Av = 0.30 Fa = 1.00 Fv = 1.00 T0 = 0.15 Tc = 0.72 Tl = 2.40

*El coeficiente de importancia corresponde a 1.25 para estructuras indispensables, pero no se incluye en el espectro, en razón a que se incluye en los cálculos de las correspondientes cargas dinámicas.

ESPECTRO ELÁSTICO DE ACELERACIONES NSR-10

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

Periodo T (S)

Sa

(%g

)

Fig. No. 9-6 Espectro de diseño equivalente

9.5.2 Cargas laterales por presión de tierras

Las cargas laterales por presión dinámica se obtienen utilizando la metodología de Mononobe – Okabe. Grados Radianes

Ángulo de Fricción = 30 0.5236 Tipo de Análisis: activo

Coeficiente lateral de tierras (Reposo) = 0.500 Coeficiente lateral de tierras (Activo) = 0.333




Aceleración Horizontal = 0.20 Kh = 1.00 x 0.20 = 0.20Aceleración Vertical = 0.00 Kv = 0.50 x 0.00 = 0.00

Grados Radianes

Ángulo de Fricción suelo - estribo () = 20.00 0.3491 Grados RadianesÁngulo del talud del terraplen () = 0.00 0.0000 = 11.31 0.1974

Ángulo de falla suelo - estructura () = 90.00 1.5708 = 2.3594 Kae = 0.4540 Keq = Kae - K = 0.4540 - 0.333 = 0.1206

Presión lateral por presión dinámica de tierras (h=2.675m), t = 6.45kN/m2

Fig. No. 9-7 Cargas por presión dinámica de tierras

Fig. No. 9-8 Esquema para cargas dinámicas




9.5.3 Cargas laterales por presión hidrodinámica

Longitud de Análisis (L) = 9.60 m LNivel de Agua (HL) = 1.85 m HL

Longitud Perpendicular = 3.25 m

WL = 57.72 ton

WiWL

Peso Impulsivo Wi = 12.84 ton

WcWL

Peso Convectivo Wc = 42.97 ton

hiHL

Altura Peso Impulsivo hi = 0.69 m

hcHL

Altura Peso Convectivo hc = 0.95 m

= 0.4375

= 0.7444

SENTIDO LONGITUDINAL

= 0.5149

= 5.19

= 0.3750

0.2225

PESOS EQUIVALENTES POR ACELERACIÓN DEL AGUA

ALTURAS AL CENTRO DE GRAVEDAD

=

COEFICIENTE EFECTIVO DE MASA

L

L

L

i

H

L

H

L

W

W

866.0

866.0tanh

L

H

H

L

W

W L

LL

c 16.3tanh264.0

375.0;333.1

09375.05.0;333.1

L

i

L

LL

i

L

H

h

H

L

H

L

H

h

H

L

L

H

L

H

L

H

H

h

LL

L

L

c

16.3sinh16.3

116.3cosh

1

00.1021.11908.00151.02

LL H

L

H

L

LpL HLLW




tw = 250 mmc = 2.4 KN*s2/m4

Hw = 3.05 mhw = 1.525 mEc = 24870.06 MPa

mi = 1.976 KN*s2/m4mw = 1.830 KN*s2/m4m = 3.806 KN*s2/m

h = 1.09 mk = 238053.00 kPa

wi = 250.108 rad/sTi = 0.025 s

4

= 4.104wc = 1.325 rad/sTc = 4.743 s

Ci = 0.5000Cc = 0.0534Ct = 0.2000

Coeficiente de Importancia (I) = 1.25 Tc = 0.72 s

Valor espectral masa impulsiva = 0.25Valor espectral masa convectiva = 0.0668

Factor de Modificación de Respuesta (Rwi) = 2.50Factor de Modificación de Respuesta (Rwc) = 1.00

Fuerza Lateral Impulsiva Pi = 3.21 tonFuerza Lateral Convectiva Pc = 2.87 ton

PROPIEDADES DINÁMICAS

FACTORES DE AMPLIFICACIÓN ESPECTRAL

L

Hg L16.3tanh16.3

Lw c

cwTi

2

iw

iiww

cw

ww

LLL

ii

mm

mhmhh

tHm

HL

W

Wm

310

2

k

m

wT

mmmm

kw

ii

iw

i

2

2

22

3

6104 hHh

tEHk

w

wcw




Distribución Carga Impulsiva

Pyi = 1.52 + -0.70 y

Distribución Carga Convectiva

Pyc = 0.71 + 0.07 y


Pyi = 0.47 + -0.22 y


Pyc = 0.22 + 0.02 y

b = 0.67Ct = 0.20üv = 0.10

Rwi = 2.50üv = 0.10

Distribución Carga Vertical

Phy = 0.19 + -0.10 y

DISTRIBUCIÓN HORIZONTAL DE CARGAS

ACELERACIÓN VERTICAL

DISTRIBUCIÓN VERTICAL DE CARGAS

yBAPy

LL

LL

HhH

PB

hHH

PA

6122

642

3

2

B

PPy

witv

hyvhy

R

bICü

qüp




Longitud de Análisis (L) = 3.25 m LNivel de Agua (HL) = 1.85 m HL

Longitud Perpendicular = 9.60 m

WL = 57.72 ton

WiWL

Peso Impulsivo Wi = 34.48 ton

WcWL

Peso Convectivo Wc = 25.34 ton

hiHL

Altura Peso Impulsivo hi = 0.69 m

hcHL

Altura Peso Convectivo hc = 1.11 m

= 0.7324

COEFICIENTE EFECTIVO DE MASA

= 0.6020

= 1.76

= 0.3750

0.5975

PESOS EQUIVALENTES POR ACELERACIÓN DEL AGUA

ALTURAS AL CENTRO DE GRAVEDAD

=

= 0.4391

SENTIDO TRANSVERSAL

L

L

L

i

H

L

H

L

W

W

866.0

866.0tanh

L

H

H

L

W

W L

LL

c 16.3tanh264.0

375.0;333.1

09375.05.0;333.1

L

i

L

LL

i

L

H

h

H

L

H

L

H

h

H

L

L

H

L

H

L

H

H

h

LL

L

L

c

16.3sinh16.3

116.3cosh

1

00.1021.11908.00151.02

LL H

L

H

L

LpL HLLW




tw = 250 mmc = 2.4 KN*s2/m4

Hw = 3.05 mhw = 1.525 mEc = 24870.06 MPa

mi = 1.796 KN*s2/m4mw = 1.830 KN*s2/m4m = 3.626 KN*s2/m4

h = 1.11 mk = 238053.00 kPa

wi = 256.223 rad/sTi = 0.025 s

= 5.417wc = 3.005 rad/sTc = 2.091 s

Ci = 0.5000Cc = 0.2583Ct = 0.2000

Coeficiente de Importancia (I) = 1.25 Tc = 0.72 s

Valor espectral masa impulsiva = 0.25Valor espectral masa convectiva = 0.3228

Factor de Modificación de Respuesta (Rwi) = 2.50Factor de Modificación de Respuesta (Rwc) = 1.00

Fuerza Lateral Impulsiva Pi = 8.62 tonFuerza Lateral Convectiva Pc = 8.18 ton

PROPIEDADES DINÁMICAS

FACTORES DE AMPLIFICACIÓN ESPECTRAL

L

Hg L16.3tanh16.3

Lw c

cwTi

2

iw

iiww

cw

ww

LLL

ii

mm

mhmhh

tHm

HL

W

Wm

310

2

k

m

wT

mmmm

kw

ii

iw

i

2

2

22

3

6104 hHh

tEHk

w

wcw





Pyi = 4.08 + -1.89 y


Pyc = 0.86 + 1.46 y


Pyi = 0.42 + -0.20 y


Pyc = 0.09 + 0.15 y

b = 0.67Ct = 0.20üv = 0.10

Rwi = 2.50üv = 0.10

Distribución Carga Vertical

Phy = 0.19 + -0.10 y

DISTRIBUCIÓN HORIZONTAL DE CARGAS

ACELERACIÓN VERTICAL

DISTRIBUCIÓN VERTICAL DE CARGAS

yBAPy

LL

LL

HhH

PB

hHH

PA

6122

642

3

2

B

PPy

witv

hyvhy

R

bICü

qüp




Fig. No. 9-9 Distribución de carga impulsiva

Fig. No. 9-10 Distribución de carga convectiva

9.6 MÉTODO DE ANÁLISIS

La estructura se analiza mediante la formulación de elementos finitos, bajo cargas pesudo-estáticas. Los casos de carga incluidos en el modelo corresponden a los indicados en la Tabla No. 9-2.




TABLE: Load Case Definitions LoadCase DesignType SelfWtMult Descripción

Text Text Unitless M DEAD 1 Muerta V LIVE 0 Viva F WATER PR 0 Hidroestática H HOR EARTH PR 0 Tierras Estática IMP_X QUAKE 0 Impulsiva en X IMP_Y QUAKE 0 Impulsiva en Y CONV_X QUAKE 0 Convectiva en X CONV_Y QUAKE 0 Convectiva en Y VERTICAL QUAKE 0 Componente Vertical HD_X QUAKE 0 Tierras Dinámica en X HD_Y QUAKE 0 Tierras Dinámica en Y INER_X QUAKE 0 Inercial en X INER_Y QUAKE 0 Inercial en Y

Tabla No. 9-2 Casos de carga SAP2000

9.7 COMBINACIONES DE CARGA

En primer lugar se agrupan las cargas inercial, impulsiva y vertical, las cuales están asociadas al modo impulsivo de la estructura. En segundo lugar se realizan las combinaciones por el método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (SRSS) de las componentes impulsiva, convectiva y tierras, para el análisis sísmico. Ver

TABLE: Combination Definitions ComboName ComboType CaseType CaseName ScaleFactor

Text Text Text Text Unitless IMPULSIVA_X Linear Add Linear Static IMP_X 1 IMPULSIVA_X Linear Static INER_X 1 IMPULSIVA_X Linear Static VERTICAL 1 IMPULSIVA_Y Linear Add Linear Static IMP_Y 1 IMPULSIVA_Y Linear Static INER_Y 1 IMPULSIVA_Y Linear Static VERTICAL 1 SISMO_X SRSS Response Combo IMPULSIVA_X 1 SISMO_X Linear Static CONV_X 1 SISMO_X Linear Static HD_X 1 SISMO_Y SRSS Response Combo IMPULSIVA_Y 1 SISMO_Y Linear Static CONV_Y 1 SISMO_Y Linear Static HD_Y 1

Tabla No. 9-3 Combinaciones SAP2000 Finalmente se presentan las combinaciones, tanto de diseño como de servicio, para el análisis de la estructura. Ver Tabla No. 9-4.




Tabla No. 9-4 Combinaciones de Diseño y Servicio SAP2000 TABLE: Combination Definitions ComboName ComboType CaseType CaseName ScaleFactor

Text Text Text Text Unitless COMB1 Linear Add Linear Static M 1.4 COMB2 Linear Add Linear Static M 1.4 COMB2 Linear Static F 1.4 COMB3 Linear Add Linear Static M 1.2 COMB3 Linear Static F 1.2 COMB3 Linear Static V 1.6 COMB3 Linear Static H 1.6 COMB4 Linear Add Linear Static M 1.2 COMB4 Linear Static V 1.6 COMB4 Linear Static H 1.6 COMB5 Linear Add Linear Static M 1.2 COMB5 Linear Static V 1.6 COMB5 Linear Static H 0.96 COMB5 Linear Static F 1.2 COMB6 Linear Add Linear Static M 1.2 COMB6 Linear Static V 1.6 COMB6 Linear Static H 0.96 COMB7 Linear Add Linear Static M 0.9 COMB7 Linear Static F 1.2 COMB7 Linear Static H 1.6 COMB8 Linear Add Linear Static M 0.9 COMB8 Linear Static H 1.6 COMB9 Linear Add Linear Static M 1.2 COMB9 Linear Static F 1.2 COMB9 Linear Static V 1 COMB9 Linear Static H 1.6 COMB9 Response Combo SISMO_X 1 COMB10 Linear Add Linear Static M 1.2 COMB10 Linear Static F 1.2 COMB10 Linear Static V 1 COMB10 Linear Static H 1.6 COMB10 Response Combo SISMO_Y 1 COMB11 Linear Add Linear Static M 0.9 COMB11 Linear Static F 1.2 COMB11 Linear Static H 1.6 COMB11 Response Combo SISMO_X 1 COMB12 Linear Add Linear Static M 0.9 COMB12 Linear Static F 1.2 COMB12 Linear Static H 1.6 COMB12 Response Combo SISMO_Y 1 ENVEULT Envelope Response Combo COMB1 1 ENVEULT Response Combo COMB2 1 ENVEULT Response Combo COMB3 1 ENVEULT Response Combo COMB4 1





Text Text Text Text Unitless ENVEULT Response Combo COMB5 1ENVEULT Response Combo COMB6 1ENVEULT Response Combo COMB7 1ENVEULT Response Combo COMB8 1ENVEULT Response Combo COMB9 1ENVEULT Response Combo COMB10 1ENVEULT Response Combo COMB11 1ENVEULT Response Combo COMB12 1SERV1 Linear Add Linear Static M 1SERV2 Linear Add Linear Static M 1SERV2 Linear Static F 1SERV3 Linear Add Linear Static M 1SERV3 Linear Static F 1SERV3 Linear Static V 1SERV3 Linear Static H 1SERV4 Linear Add Linear Static M 1SERV4 Linear Static V 1SERV4 Linear Static H 1SERV5 Linear Add Linear Static M 1SERV5 Linear Static V 1SERV5 Linear Static H 0.6SERV5 Linear Static F 1SERV6 Linear Add Linear Static M 1SERV6 Linear Static V 1SERV6 Linear Static H 0.6SERV7 Linear Add Linear Static M 1SERV7 Linear Static F 1SERV7 Linear Static H 1SERV8 Linear Add Linear Static M 1SERV8 Linear Static H 1SERV9 Linear Add Linear Static M 1SERV9 Linear Static F 1SERV9 Linear Static V 1SERV9 Linear Static H 1SERV9 Response Combo SISMO_X 1SERV10 Linear Add Linear Static M 1SERV10 Linear Static F 1SERV10 Linear Static V 1SERV10 Linear Static H 1SERV10 Response Combo SISMO_Y 1SERV11 Linear Add Linear Static M 1SERV11 Linear Static F 1SERV11 Linear Static H 1SERV11 Response Combo SISMO_X 1SERV12 Linear Add Linear Static M 1





Text Text Text Text Unitless SERV12 Linear Static F 1 SERV12 Linear Static H 1 SERV12 Response Combo SISMO_Y 1 ENVESERV Envelope Response Combo SERV1 1 ENVESERV Response Combo SERV2 1 ENVESERV Response Combo SERV3 1 ENVESERV Response Combo SERV4 1 ENVESERV Response Combo SERV5 1 ENVESERV Response Combo SERV6 1 ENVESERV Response Combo SERV7 1 ENVESERV Response Combo SERV8 1 ENVESERV Response Combo SERV9 1 ENVESERV Response Combo SERV10 1 ENVESERV Response Combo SERV11 1 ENVESERV Response Combo SERV12 1

9.8 REQUISITOS DE RESISTENCIA Y SERVICIO

Para el diseño estructural se tiene en cuenta los siguientes coeficientes de reducción de resistencia: Secciones de tensión controlada = 0.90 Cortante = 0.75

9.9 CONDICIONES DE FRONTERA

La estructura se modela apoyada sobre resortes distribuidos en la placa inferior, con un modulo de reacción de 300ton/m3.

9.10 DISEÑO DE ELEMENTOS

A continuación se consignan los diagramas de fuerzas internas (momentos y cortantes) correspondientes a las envolventes de diseño obtenidos en el análisis estructural. Los valores consignados en paréntesis corresponden a los momentos de servicio. El diseño se realiza por medio del método del estado limite de resistencia y teniendo en cuenta las recomendaciones del código ACI350-06. Una vez obtenidos los esfuerzos y el refuerzo para los diferentes elementos estructurales, se evalúa el factor de durabilidad sanitaria.




9.10.1 Placa Superior

Fig. No. 9-11 Distribución de momentos en la placa superior M11 y M22

Fig. No. 9-12 Distribución de cortantes en la placa superior V13 y V23

M11pos = 3.55kN-m (2.71) M11neg = 8.12kN-m (6.95)

M22pos = 11.91kN-m (9.23) M22neg = 10.91kN-m (7.73)

Vmax = 20.98kN-m (16.25)




DISEÑO PLACA SUPERIOR Materiales Dimensiones fy = 420 MPa h = 250 mm f'c = 28 MPa b = 1000 mm DISEÑO A FLEXIÓN Resistencia Última Mu r d As

As (min)

kN-m mm mm Cuantía

mm2/m mm2/m

M11 (pos) 3.55 60 190 0.0003 50 500

M22 (pos) 11.91 60 190 0.0009 167 375

M11 (neg) 8.12 60 190 0.0006 114 500

M22 (neg) 10.91 60 190 0.0008 153 375

Cuadro de Refuerzo

Mu As requerido Barra Área Separación

kN-m mm2/m (mm) mm2 mm

3.55 500 4 12.7 127 250

11.91 375 4 12.7 127 330

8.12 500 4 12.7 127 250





9.10.2 Placa Inferior

Fig. No. 9-13 Distribución de momentos en la placa inferior M11 y M22

Fig. No. 9-14 Distribución de cortantes en la placa inferior V13 y V23

Vmax = 43.64kN-m (37.38)

M11pos = 16.60kN-m (12.63) M11neg = 7.17kN-m (5.87)

M22pos = 23.09kN-m (18.91) M22neg = 22.35kN-m (18.08)




DISEÑO PLACA INFERIOR Materiales Dimensiones fy = 420 MPa h = 250 mm f'c = 28 MPa b = 1000 mm DISEÑO A FLEXIÓN Resistencia Última Mu r d As

As (min)

kN-m mm mm Cuantía

mm2/m mm2/m

M11 (pos) 16.60 60 190 0.0012 234 500

M22 (pos) 23.09 60 190 0.0017 326 375

M11 (neg) 7.17 60 190 0.0005 100 500

M22 (neg) 22.35 60 190 0.0017 316 375

Cuadro de Refuerzo



16.60 500 4 12.7 127 250

23.09 375 4 12.7 127 330

7.17 500 4 12.7 127 250





9.10.3 Muros

Fig. No. 9-15 Distribución de momentos para el muro longitudinal M11 y M22

Fig. No. 9-16 Distribución de cortantes para el muro longitudinal V13 y V23

M11pos = 9.88kN-m (4.47) M11neg = 11.54kN-m (8.25)

M22pos = 23.35kN-m (19.25) M22neg = 8.62kN-m (3.35)

Vmax = 35.04kN-m (22.95)




DISEÑO MURO LONGITUDINAL


As (min)

kN-m mm mm Cuantía

mm2/m mm2/m

M11 (pos) 9.88 60 190 0.0007 138 375

M22 (pos) 23.35 60 190 0.0017 330 375

M11 (neg) 11.54 60 190 0.0009 162 375

M22 (neg) 8.62 60 190 0.0006 121 375

Cuadro de Refuerzo



9.88 375 4 12.7 127 330

23.35 375 4 12.7 127 330

11.54 375 4 12.7 127 330





Fig. No. 9-17 Distribución de momentos para el muro transversal M11 y M22

Fig. No. 9-18 Distribución de cortantes para el muro transversal V13 y V23

M11pos = 9.83kN-m (4.49) M11neg = 11.53kN-m (8.24)

M22pos = 16.71kN-m (12.80)

M22neg = 5.07kN-m (3.07)

Vmax = 33.06kN-m (22.96)




DISEÑO MURO TRANSVERSAL Materiales Dimensiones fy = 420 MPa h = 250 mm f'c = 28 MPa b = 1000 mm DISEÑO A FLEXIÓN Resistencia Última Mu r d As

As (min)

kN-m mm mm Cuantía

mm2/m mm2/m

M11 (pos) 9.83 60 190 0.0007 138 375

M22 (pos) 16.71 60 190 0.0012 235 375

M11 (neg) 11.53 60 190 0.0009 162 375

M22 (neg) 5.07 60 190 0.0004 71 375

Cuadro de Refuerzo



9.83 375 4 12.7 127 330

16.71 375 4 12.7 127 330

11.53 375 4 12.7 127 330





9.11 FACTOR DE DURABILIDAD AMBIENTAL


Barra S As fs Ms As x Sd # mm mm2/m MPa kN-m

Sd mm2/m

4 300 422 170 12.84 1.31 1.70 85 4 300 422 170 12.84 1.29 1.72 288 4 300 422 170 12.84 1.17 1.90 217 4 300 422 170 12.84 1.41 1.58 241

Barra As As S

# mm2 mm2/m mm

M11 (Pos) 4 127 500 250 M22 (Pos) 4 127 422 300 M11 (Neg) 4 127 500 250 M22 (Neg) 4 127 422 300



Sd mm2/m

4 300 422 170 12.84 1.31 1.69 396 4 200 633 179.02 20.03 1.22 1.73 564 4 300 422 170 12.84 1.22 1.82 182 4 210 603 172.76 18.44 1.24 1.77 559

Barra As As S

# mm2 mm2/m mm





9.11.3 Muro Longitudinal


Sd mm2/m

4 300 422 170 12.84 2.21 1.01 139 4 200 633 179.02 20.03 1.21 1.74 574 4 300 422 170 12.84 1.40 1.59 258 4 300 422 170 12.84 2.57 0.86 105

Barra As As S

# mm2 mm2/m mm


9.11.4 Muro Transversal


Sd mm2/m

4 300 422 170 12.84 2.19 1.02 140 4 300 422 170 12.84 1.31 1.70 400 4 300 422 170 12.84 1.40 1.59 257 4 300 422 170 12.84 1.65 1.35 96

Barra As As S

# mm2 mm2/m mm





9.12 RESUMEN DE DISEÑO

En la Tabla No. 9-5 se presenta el resumen del diseño anteriormente presentado para la estructura.

Mu kN-m Refuerzo Descripción Placa Superior





Placa Inferior M11 (pos) 16.60 #4 cada 250mm Exterior longitudinal

M22 (pos) 23.09 #4 cada 200mm Exterior transversal

M11 (neg) 7.17 #4 cada 250mm Interior longitudinal

M22 (neg) 22.35 #4 cada 210mm Interior transversal

Muro Longitudinal M11 (pos) 9.88 #4 cada 250mm Exterior horizontal




Muro Transversal M11 (pos) 9.83 #4 cada 300mm Exterior horizontal




Tabla No. 9-5 Resumen de diseño con SAP2000

Fig. No. 9-19 Esquema del despiece en sección vertical – SAP2000




Las Fig. No. 9-19 y Fig. No. 9-20 presentan esquemáticamente el despiece el resultado del diseño realizado con el programa SAP2000.

Fig. No. 9-20 Esquema del despiece en sección planta – SAP2000

9.13 ANÁLISIS Y DISEÑO CON LA HERRAMIENTA COMPUTACIONAL

En el Anexo D se presenta el diseño de la estructura utilizando la herramienta computacional desarrollada en esta tesis. A continuación se resumen sus resultados. Es importante tener en cuenta que la convención de momentos positivos y negativos en la herramienta computacional no coincide con la del programa SAP2000.


Diseño a Flexión Mu As As (min) Ms

kN-m mm2/m mm2/m kN-m

M11 (Pos) 2.98 42 500 2.24 M22 (Pos) 13.31 187 375 10.33 M11 (Neg) -9.97 140 500 -6.61 M22 (Neg) -10.21 143 375 -6.63

Barra S As fs Ms As x Sd

# mm mm2/m MPa kN-m Sd

mm2/m

4 300 422 170.00 12.84 1.33 1.67 70 4 300 422 170.00 12.84 1.29 1.73 323 4 300 422 170.00 12.84 1.51 1.47 206 4 300 422 170.00 12.84 1.54 1.44 206




Refuerzo Barra As As S # mm2 mm2/m mm M11 (Pos) 4 127 500 250 M22 (Pos) 4 127 422 300 M11 (Neg) 4 127 500 250 M22 (Neg) 4 127 422 300 Diseño a Cortante

Vc = 150.81 kN Vu max = 20.40 kN Vn = 128.19 kN Vu < Vn





Barra S As fs Ms As x Sd

# mm mm2/m MPa kN-m Sd

mm2/m

4 300 422 170.00 12.84 1.27 1.75 120 4 190 667 185.65 21.83 1.28 1.59 609 4 300 422 170.00 12.84 1.43 1.56 378 4 210 603 172.77 18.44 1.34 1.63 561

Refuerzo Barra As As S # mm2 mm2/m mm M11 (Pos) 4 127 500 250 M22 (Pos) 4 127 667 190 M11 (Neg) 4 127 500 250 M22 (Neg) 4 127 603 210




Diseño a Cortante


9.13.3 Muros perimetrales




Barra S As fs Ms # mm mm2/m MPa kN-m

Sd

4 300 422 170.00 12.84 1.40 1.59 4 300 422 170.00 12.84 2.20 1.01 4 300 422 170.00 12.84 1.60 1.39 4 210 603 172.77 18.44 1.33 1.64

Refuerzo Barra As As S # mm2 mm2/m mm M11 (Pos) 4 127 500 250 M22 (Pos) 4 127 422 300 M11 (Neg) 4 127 500 250 M22 (Neg) 4 127 603 210 Diseño a Cortante


9.13.4 Resumen

En la Tabla No. 9-6 se resumen los resultados presentados anteriormente.




Mu kN-m Refuerzo Descripción Placa Superior





Placa Inferior M11 (pos) 17.23 #4 cada 250mm Exterior longitudinal

M22 (pos) 24.34 #4 cada 210mm Exterior transversal

M11 (neg) 4.89 #4 cada 250mm Interior longitudinal

M22 (neg) 27.04 #4 cada 190mm Interior transversal

Muros M11 (pos) 17.43 #4 cada 250mm Exterior horizontal




Tabla No. 9-6 Resumen de resultados programa tesis

Fig. No. 9-21 Esquema del despiece en sección vertical – SAP2000

Fig. No. 9-22 Esquema del despiece en sección planta – SAP2000




9.14 COMPARACIÓN DE RESULTADOS

En la Tabla No. 9-7 se presenta la comparación de los resultados obtenidos por los dos programas. Se resalta la diferencia en la placa inferior entre un refuerzo cada 210mm de acuerdo con el programa SAP2000, a un refuerzo cada 190mm en el programa desarrollado. Esta variación del 10.6% en cantidad de acero de refuerzo radica en la diferencia en la modelación de las condiciones de apoyo entre programas. Sin embargo, el método aproximado lleva a valores conservadores que se pueden considerar aceptables en la práctica. Es importante anotar que a nivel de momentos, las variaciones pueden ser hasta de un 76%, pero que a nivel de refuerzo, estas variaciones no tienen incidencia en el refuerzo finalmente diseñado.

Programa Tesis SAP2000 Mu kN-m Refuerzo kN-m Refuerzo Descripción

Placa Superior M11 (pos) 2.98 #4 cada 250mm 3.55 #4 cada 250mm Interior longitudinal

M22 (pos) 13.31 #4 cada 300mm 11.91 #4 cada 300mm Interior transversal

M11 (neg) 9.97 #4 cada 250mm 8.12 #4 cada 250mm Exterior longitudinal

M22 (neg) 10.21 #4 cada 300mm 10.91 #4 cada 300mm Exterior transversal

Placa Inferior M11 (pos) 17.23 #4 cada 250mm 16.60 #4 cada 250mm Exterior longitudinal

M22 (pos) 24.34 #4 cada 210mm 23.09 #4 cada 200mm Exterior transversal

M11 (neg) 4.89 #4 cada 250mm 7.17 #4 cada 250mm Interior longitudinal

M22 (neg) 27.04 #4 cada 190mm 22.35 #4 cada 210mm Interior transversal

Muros M11 (pos) 17.43 #4 cada 250mm 9.88 #4 cada 250mm Exterior horizontal

M22 (pos) 24.18 #4 cada 210mm 23.35 #4 cada 200mm Exterior vertical

M11 (neg) 10.80 #4 cada 250mm 11.54 #4 cada 250mm Interior horizontal

M22 (neg) 8.00 #4 cada 300mm 8.62 #4 cada 300mm Interior vertical

Tabla No. 9-7 Comparación de Resultados

9.15 PLANOS DE DISEÑO

En el Anexo E se presentan los planos de refuerzo y detalles típicos que se usan para este tipo de estructuras utilizando los resultados de la aplicación computacional desarrollada en esta tesis.




CAPÍTULO 10 - CONCLUSIONES

1. Con la nueva norma NSR-10, y el reemplazo del anterior capítulo C.20 de la NSR-98, por el capítulo C.23 de la NSR-10, se están dando lineamientos y recomendaciones específicos y de mayor utilidad para el análisis y diseño de estructuras hidráulicas o ambientales. Lo anterior permite mejorar la descripción del comportamiento de las estructuras que están basadas en estos lineamientos, repercutiendo en una mejora de las condiciones económicas y sociales de las estructuras que hacen parte del sistema de saneamiento básico del país.

2. La norma NSR-10 y su capítulo C.23 se encuentran al día con los criterios de diseño y construcción de la normatividad internacional; llevando, através de esta reglamentación, a que la ingeniería en Colombia se encuentre con el estado del arte en el análisis, diseño y construcción de estructuras hidráulicas o ambientales.

3. Es importante recordar que las normas son requerimientos mínimos y/o máximos que permiten que las estructuras tengan un comportamiento adecuado durante su vida útil. Sin embargo es responsabilidad del ingeniero de diseño, tener en cuenta criterios que permitan considerar eventuales comportamientos de la estructura, para los cuales los requerimientos mínimos no son suficientes. Es el caso de la reducción del 60% de la carga lateral de tierras en las combinaciones de carga, para tener en cuenta un aumento de los efectos verticales ante una posible reducción de los efectos laterales. Esta recomendación no esta incluida en la NSR-10, pero si en el ACI350-06.

4. Observando los resultados del Anexo A, se evidenció la importancia de considerar el factor de durabilidad ambiental en los diseños, el cual puede llegar a incrementar las fuerzas para diseño hasta en un factor de 1.9 veces su magnitud. Ahora bien, este factor puede ser disminuido si se tiene como premisa en el diseño, utilizar barras de menor diámetro espaciadas en menor magnitud. En el ejemplo presentado al utilizar barras #6 la amplificación por el factor de durabilidad fue de 1.9 veces, mientras que si se usa barras #4, esta amplificación fue de 1.35 veces, reduciendo en un 60% el peso de acero de refuerzo a utilizar.

5. Como se indicó en el Capítulo 4, y se comprobó en el Capítulo 5, las estructuras tipo cajón presentan desplazamientos muy pequeños, que no permiten desarrollar el estado activo del terreno circundante a la estructura. Es por esto que se debe utilizar, para este tipo de casos, el estado en reposo del terreno alrededor; el cual produce esfuerzos de mayor magnitud sobre la estructura que la condición activa del terreno.




6. Uno de los aspectos importantes a tener en cuenta en el diseño de estructuras que contienen líquidos es la altura libre por el encima del nivel del líquido en reposo que debe tener la estructura. Cuando ocurre un movimiento sísmico, se presenta el efecto convectivo del líquido, que representa el oleaje ante el movimiento, y que conlleva a un aumento cíclico del nivel del líquido. Si esta altura libre es menor que la altura que puede llegar a obtener este oleaje, el líquido golperará la tapa de la estructura generando esfuerzos, que pueden llevar a la falla del mismo. En el caso de una estructura sin tapa, el líquido se derramará al exterior de la estructura, generando una condición de alto riesgo si el líquido es considerado material peligroso o altamente contaminante. El estudio y análisis de estos fenómenos no hacen parte del objetivo de esta Tesis; sin embargo, es importante plantearlos como futuros temas de investigación.

7. Es importante tener el acompañamiento de un estudio de suelos acorde al tipo de estructura, y a su interacción con el suelo. En el diseño de las estructuras que están en contacto permanente con el suelo, su comportamiento y diseño, están supeditados a las condiciones de borde o condiciones de carga que el suelo le puede representar. Como condición de borde, el comportamiento del terreno de cimentación, puede incrementar los esfuerzos en la estructura según sea la magnitud del módulo de reacción que representa el suelo. Como condición de carga, dependiendo de las características del suelo circundante a la estructura, las solicitaciones en la estructura se pueden disminuir o incrementar, determinando en ocasiones, el refuerzo principal de diseño de la estructura. Adicional a lo anterior, el estudio de suelos debe incluir aspectos relevantes para considerar la condición dinámica del suelo y su interacción con el comportamiento dinámico de la estructura. Con la información obtenida de dichos estudios se pueden caracterizar los elementos tipo resorte, incluidos en los modelos numéricos presentados.

8. Con el desarrollo de la presente tesis, se encontró una metodología simplificada para el análisis de estructuras tipo cajón, utilizando como base el método de los elementos finitos. Para esto, se desarrolló una formulación, utilizando elementos finitos tipo marco, que permite modelar de manera adecuada, el comportamiento de estructuras tipo cajón. Esta formulación permite incluir la contribución de los elementos en los planos perpendiculares al plano de análisis. Lo anterior se realiza mediante el uso de una matriz acoplada que representa la rigidez de los puntos de los planos perpendiculares, que interactúan con el plano de análisis.

9. Se evidenció que es necesario realizar una análisis de las cargas impuestas, así como de la forma como se discretizaron los elementos, ya que esto permitió encontrar una estrategia para establecer una rigidez adecuada en los modelos, y poder así, representar el comportamiento real de la estructura.

10. La metodología simplificada encontrada corresponde a un caso específico; por lo que se deben conocer muy claramente sus limitantes. Para este caso se




resalta que para estructuras sin tapa, en la cual se usa la matriz de rigidez encontrada en los muros perimetrales para modelar la rigidez que aporta el sentido vertical del muro; no va a representar el comportamiento adecuado de la estructura, en razón a que la concepción de la matriz de rigidez corresponde a una estructura continua tipo marco o sección cajón y no a una estructura en la cual el comportamiento es en forma de C por la falta de elemento que completa el cajón. Por lo tanto se concluye que su uso es limitado y debe ser acorde a las premisas con la cual fue elaborado.

11. Como se observó en el capítulo 6, hay suposiciones y simplificaciones de análisis que no llevan a un adecuado modelamiento del comportamiento mecánico de una estructura. La rigidez que aporta un elemento por su trabajo en dos direcciones es muy importante como para pasar desapercibido. Se evidenció que el omitir este comportamiento puede llevar a incrementos de los esfuerzos.

12. Para esta tesis, no se incluyó como objetivo considerar en rigidez el efecto torsional que tienen los elementos que trabajan en dos direcciones, por lo que se considera importante futuros estudios que determinen la importancia de este comportamiento en los análisis de estas estructuras y su posible inclusión en la metodología simplificada desarrollada.

13. Otro aspecto importante a resaltar es el modelamiento de las condiciones de continuidad de los elementos. Se comprobó en esta tesis que las condiciones de placa continua con los muros, placa simplemente apoyada y placa empotrada, generan resultados diferentes e incidentes en el diseño final. Se encontraron diferencias de amplificaciones en los esfuerzos hasta en dos veces su magnitud. Es por esto que se deben tener en cuenta las condiciones de continuidad de las estructuras y de acuerdo con el criterio del ingeniero, determinar el nivel del diseño a efectuar.

14. Con el desarrollo de una herramienta computacional, se evidenció que el uso de elementos tipo marco, permite una formulación simple para su implementación en códigos de programación y por consiguiente, en herramientas para el desarrollo de programas.

15. La comparación del funcionamiento de la aplicación computacional se realizó al verificar, en primer lugar, que la aplicación sin la implementación del comportamiento en dos direcciones del elemento tipo marco, arroja resultados similares a los obtenidos en los modelos de alternativas de simplificación del capitulo 6. En segundo lugar, cuando se obtuvieron resultados muy similares, con la implementación del trabajo en dos direcciones de los elementos. Lo anterior permite tener un mayor grado de confiabilidad del funcionamiento de los algoritmos propios de la herramienta para el análisis de estructuras tipo cajón con el uso de elementos finitos tipo marco.




CAPÍTULO 11 - RECOMENDACIONES

1. Teniendo en cuenta que la formulación presentada en este proyecto, está elaborada bajo unas premisas específicas, y por lo tanto, no es aplicable para todos los casos de análisis; se recomienda realizar estudios similares que permitan desarrollar formulaciones equivalentes. Es el caso de tanques sin tapa y tanques con tapa articulada.

2. Los ingenieros estructurales o de diseño deben tener la certeza de que sus herramientas de trabajo están verificadas y validadas de alguna manera con metodologías modelos o programadas certificados; así como de conocer los límites y alcances de cada una de ellas para poder usarlas en los diseños diarios. Que mejor manera de hacer esto cuando se desarrollan de manera personal herramientas, tablas o aplicaciones; con su correspondiente verificación y validación.




CAPÍTULO 12 - BIBLIOGRAFÍA

1. AMERICAN CONCRETE INSTITUTE, ACI. Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-08) and Commentary. ACI Committee 318. First Printing. USA. January 2008.

2. AMERICAN CONCRETE INSTITUTE, ACI. Code Requirements for Environmental Engineering Concrete Structures and Commentary (ACI 350-06). ACI Committee 350. First Printing. USA. July 2006.

3. AMERICAN CONCRETE INSTITUTE, ACI. Guide for the Analysis, Design, and Construction of Elevated Concrete and Composite Steel - Concrete Water Storage Tanks (ACI 371.R-08). ACI Committee 371. USA. 2008.

4. AMERICAN CONCRETE INSTITUTE, ACI. Seismic Design of Liquid-Containing Concrete Structures and Commentary (ACI 350.3-06). ACI Committee 350. First Printing. USA. November 2006.

5. ARDILA ROA, Edgar. Diseño de Tanques en Concreto Reforzado para el Almacenamiento de Líquidos, Conceptos Básicos y Normativa. Universidad Nacional de Colombia sede Bogotá. Facultad de Ingeniería. Bogotá D.C. Colombia. 2002.

6. ASOCIACIÓN COLOMBIANA DE INGENIERÍA SÍSMICA, AIS. Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo Resistente, NSR-98. Cuarta Edición. Bogotá D.C. Colombia. 3R Editores Ltda. 2003.

7. ASOCIACIÓN COLOMBIANA DE INGENIERÍA SÍSMICA, AIS. Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente, NSR-10. Primera Edición. Bogotá D.C. Colombia. Ministerio de Ambiente, Vivienda y Desarrollo. Marzo de 2010.

8. CARO OLARTE, Raúl Antonio. Aplicación de las Estructuras Laminares al Diseño de Tanques Rectangulares. Universidad Nacional de Colombia sede Bogotá. Facultad de Ingeniería. Bogotá D.C. Colombia. 1996.

9. CHANDRUPATLA, Tirupathi R., BELEGUNDU, Ashok D. Introducción al Estudio del Elemento Finito en Ingeniería. Segunda Edición. Prentice Hall S.A. México. 1999.

10. GIRALDO ISAZA, Luis Fernando. Tanques Rectangulares de Concreto: Guía para su Diseño Estructural y de sus Juntas. Universidad Nacional de Colombia sede Bogotá. Facultad de Ingeniería. Bogotá D.C. Colombia. 1990.

11. HANSEN, Steven M. Mastering-Excel 2003 Programming with VBA. SYBEX. USA. 2004.




12. INDIAN INSTITUTE OF TECHNOLOGY KANPUR. IITK-GSDMA Guidelines for Seismic Design of Liquid Storage Tanks. Provisions with Commentary and Explanatory Examples. Gujarat State Disaster Management Authority. Kanpur. India. August 2005.

13. INSTITUTO COLOMBIANO DE NORMAS TÉCNICAS Y CERTIFICACIÓN, ICONTEC. Compendio. Tesis y otros Trabajos de Grado. INCONTEC. Bogotá D.C. Colombia. 2002.

14. INSTITUTO NACIONAL DE VÍAS, INVIAS. Código Colombiano de Diseño Sísmico de Puentes, CCDSP-95. INVIAS. Bogotá D.C. Colombia.1995.

15. JAISWAL, O.R., RAI, Durgesh C., JAIN, Sudhir K., Review of Code Provisions on Design Seismic Forces for Liquid Storage Tanks. IITK-GSDMA-EQ01-V1.0. A-Earthquake Codes. IITK-GSDMA Project on Building Codes. Indian Institute of Technology Kanpur. India. 2003.

16. JAISWAL, O.R., RAI, Durgesh C., JAIN, Sudhir K., Review of Code Provisions on Seismic Analysis of Liquid Storage Tanks.IITK-GSDMA-EQ04-V1.0. A-Earthquake Codes. IITK-GSDMA Project on Building Codes. Indian Institute of Technology Kanpur. India. 2003.

17. LARRY J, Segerlind. Applied Finite Element Analysis. Second Edition. John Willey and Sons Editions. USA. 1984.

18. MUNSHI, Javeed A. Design of Liquid-Containing Concrete Structures for Earthquake Forces. Construction Technology Laboratories, Inc. Portland Cement Association, PCA. USA. 2002.

19. PARRA ARANGO, Ricardo. Notas de Clase: Análisis Estructural por Elementos Finitos. Posgrado en Estructuras. Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional de Colombia sede Bogotá. Bogotá D.C. Colombia. 2006.

20. PARRA ARANGO, Ricardo. Notas de Clase: Análisis Matricial Avanzado. Posgrado en Estructuras. Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional de Colombia sede Bogotá. Bogotá D.C. Colombia. 2005.

21. SANTOS GORDILLO, Martín. Estudio de Teorías sobre Diseño Sísmico de Tanques Superficiales. Universidad Nacional de Colombia sede Bogotá. Facultad de Ingeniería. Bogotá D.C. Colombia. 2004.

22. TIMOSHENKO, S, WOINOWSKY-KRIEGER, S., Theory of Plates and Shells. Engineering Societies Monographs. Second Edition. Mc Graw-Hill, Inc. Singapore.1959.

23. URIBE ESCAMILLA, Jairo. Análisis de Estructuras. Segunda Edición. Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería. Bogotá D.C. Colombia. 2000.

24. VELÁSQUEZ, César A. Análisis Hidrodinámico de Tanques de Almacenamiento de Líquidos. Universidad de los Andes. Facultad de Ingeniería. Bogotá D.C. Colombia. 2004.




25. ZIENKIEWICZ, O.C. El Método de los Elementos Finitos. Tercera Edición. Editorial Reverté S.A. España. 1982.




CAPÍTULO 13 - ANEXOS

ANEXO A – EJEMPLO FACTOR DE DURABILIDAD AMBIENTAL Sd

ANEXO B – MÉTODO DIRECTO PARA RESOLVER SISTEMA DE ECUACIONES

ANEXO C – RESULTADOS DE DISEÑO DE LA ESTRUCTURA TIPO CAJÓN (CAP. 5) UTILIZANDO LA APLICACIÓN DESARROLLADA.

ANEXO D – EJEMPLO DE DISEÑO (CAP. 9) UTILIZANDO LA APLICACIÓN DESARROLLADA.

ANEXO E – PLANOS DE DISEÑO DEL EJEMPLO DEL CAPÍTULO 9




ANEXO A EJEMPLO FACTOR DE DURABILIDAD AMBIENTAL Sd



Universidad Nacional de Colombia A-1

ANEXO A - EJEMPLO FACTOR DE DURABILIDAD AMBIENTAL, Sd

Realizar el diseño a flexión de una tapa en concreto reforzado de 0.20m de espesor y 1.00m de ancho, apoyada simplemente en los bordes transversales; teniendo en cuenta una carga viva de 5.0kN/m2, ver Fig. No. A-1. Los materiales a utilizar son: f´c = 28MPa y fy = 420MPa.

Fig. No. A-1 Geometría y carga para diseño de la tapa

Avalúo de Cargas Carga Muerta Peso Propio = 0.20 x 1.00 x 24 = 4.80 kN/m2 Carga Viva 5.00 kN/m2 Total Carga de Servicio = 4.8 + 5.0 = 9.80 kN/m2 Total Carga Mayorada = 1.20(4.80) + 1.60(5.00) = 13.76 kN/m2 Fuerzas Internas

Momento de Servicio, Ms = mkN

6.198

0.48.9 2

Momento Último, Mu = mkN

52.278

0.476.13 2




Como aproximación del refuerzo a colocar se calcula el área de acero, As, necesario para el momento último, teniendo en cuenta un recubrimiento de 50mm. Mu = 27.52kN-m, b = 1.00m, d = 0.15m = 0.0033 As = 500mm2/m Utilizando barra #4, tenemos un espaciamiento de 250mm (As = 508mm2 y = 0.0034) Con las cargas de servicio se calcula el esfuerzo de trabajo fs, al cual se encuentra sometido el refuerzo en la zona de tensión máxima.

n = 10c

s

E

E

2290.022 nnnk

9237.03

1 k

j

MPadjA

Mf

s

ss 47.278

1509237.0508

1060.19 6

Posteriormente se calcula el esfuerzo admisible, según lo indicado por el Numeral 2.6 de este documento, para una condición de exposición normal y elemento estructural trabajando en una dirección:

= 1.35 y 2

2504

bd= 15625

MPad

s

f

b

adms 06.1511562525035.1

57000

224

5700022

2

,

Verificación de límites inferior y superior 25006.151140 MPa ok!!! Finalmente fs > fs(adm) MPaMPa 06.15147.278 No cumple!!! Por lo tanto se tiene que el esfuerzo de trabajo del acero de refuerzo supera el máximo admisible por la norma; razón por la cual se debe cambiar el diseño de




#4@250mm, hasta encontrar el refuerzo mínimo que cumpla con las condiciones de esfuerzo admisible. Utilizando el fs, calculado en la ecuación de esfuerzo por flexión, se encuentra el As como una aproximación del refuerzo a colocar. Se puede utilizar igualmente el valor calculado de j.

26

9361509237.006.151

1060.19mm

djf

MA

s

ss

,

para el cual podemos colocar las siguientes alternativas de refuerzo: #4@130mm (977mm2) #5@210mm (943mm2). Se realiza el mismo procedimiento utilizando la configuración #5@210mm, obteniendo los siguientes resultados:

0063.0 2975.0k 9008.0j

MPaf s 47.148

MPaf adms 77.172, 25077.172140 MPa ok!!!

fs < fs(adm) MPaMPa 77.17247.148 ok!!!

Cumpliendo los valores admisibles de esfuerzo en el refuerzo principal a tensión. Se continúa entonces con el cálculo de Sd para el cual se tiene: = 0.90 para esfuerzos a flexión

40.160.19

52.27

82.147.14840.1

42090.0

dS

Obteniendo finalmente un factor de durabilidad sanitaria, Sd = 1.82. Por último se calcula el refuerzo por diseño requerido:

mkNM u 09.5052.2782.1 As = 935mm2




En razón a que la condición de control de fisuración del elemento es más crítica que el refuerzo de diseño por resistencia última, el refuerzo principal de la placa corresponde a barra #5@210mm. Es importante anotar que si se utiliza la configuración de refuerzo #4@130mm, el resultado hubiera sido el mismo, ya que para el cálculo del esfuerzo de trabajo los parámetros como cuantía y demás son prácticamente iguales; sin embargo la variación se concentraría en el valor del esfuerzo admisible (fs,(adm) = 234MPa), el cual, particularmente para este caso, no tiene incidencia en el valor de Sd. Como se puede observar el procedimiento tiende a ser iterativo y dispendioso, desde el punto de vista de tiempo de diseño, para la búsqueda de un refuerzo óptimo que cumpla todas las condiciones de diseño requeridas. Lo anterior, teniendo en cuenta que se está limitando el valor del esfuerzo de trabajo, fs, con un resultado que varía a medida que se cambie la configuración del refuerzo. Tomando como premisa que la principal función del cálculo de fs,(adm) es limitar los esfuerzos de tensión del refuerzo principal y con ello controlar las fisuras por esfuerzos de trabajo que se van a generar en la estructura; se recomienda realizar el anterior procedimiento con la ayuda de una tabla cuyo parámetro principal de entrada sea el momento de servicio. Con la ayuda de la Tabla No. A-2, se puede encontrar que hay tres configuraciones de refuerzo que satisfacen el momento de servicio de 19.60kN-m para la placa. Detallando la tabla se encuentra que la variación de la configuración del refuerzo se refleja directamente en el valor del esfuerzo de trabajo a tensión, fs, el cual es calculado con los valores límites admisibles de la norma, y cuyo valor es el parámetro de entrada al momento de servicio, garantizando implícitamente su cumplimiento; optimizando así el refuerzo a utilizar en el elemento. En la Tabla No. A-1, se encuentra el resumen de diseño de la placa, incluyendo la mayoración con el factor de durabilidad correspondiente, para las tres configuraciones posibles encontradas con el momento de servicio.

RESUMEN DE DISEÑO

MOMENTOS DE SERVICIO RESISTENTE MOMENTO ÚLTIMO Peso

Barra Area s As fs, adm Ms Mu*Sd As s

# mm2 mm mm2/m MPa kN-m Sd

kN-m mm2/m mm kg/m/m

6 285 270 1,056 143.09 20.34 1.89 51.93 972 293 8.33

5 198 220 900 169.81 20.72 1.59 43.76 811 244 7.09

4 127 170 745 207.01 21.09 1.30 35.89 659 192 5.88

Tabla No. A-1 Cuadro de resumen de diseño




f'c (MPa)= 28 Ec (Mpa) = 20,637 t (mm)= 200 r (mm)= 50

fy (MPa)= 420 Es (MPa) = 200,000 b (m) = 1.00 d (mm)= 150

= 1.35 n = 9.69

Condición normal? SI 140MPa < fs,adm < 250MPa

Trabaja en una dirección? SI MOMENTOS DE SERVICIO RESISTENTES (kN-m)

Barra s As fs, adm k j Ms # mm mm2/m MPa kN-m

6 300 950 140.00 0.0063 0.294 0.902 17.99 6 290 983 140.00 0.0066 0.298 0.901 18.59 6 280 1,018 140.00 0.0068 0.303 0.899 19.22 6 270 1,056 143.09 0.0070 0.307 0.898 20.34 6 260 1,096 147.65 0.0073 0.312 0.896 21.75 6 250 1,140 152.48 0.0076 0.317 0.894 23.32 5 240 825 158.43 0.0055 0.277 0.908 17.79 5 230 861 163.94 0.0057 0.282 0.906 19.17 5 220 900 169.81 0.0060 0.288 0.904 20.72 5 210 943 176.04 0.0063 0.293 0.902 22.45 5 200 990 182.67 0.0066 0.299 0.900 24.41 5 190 1,042 189.72 0.0069 0.306 0.898 26.63 4 190 667 191.13 0.0044 0.254 0.915 17.50 4 180 704 198.81 0.0047 0.260 0.913 19.17 4 170 745 207.01 0.0050 0.266 0.911 21.09 4 160 792 215.74 0.0053 0.273 0.909 23.29 4 150 845 225.04 0.0056 0.280 0.907 25.84 4 110 1,152 250.00 0.0077 0.318 0.894 38.60 4 100 1,267 250.00 0.0084 0.331 0.890 42.26

Tabla No. A-2 Momentos de servicio resistentes Como conclusión principal de este ejercicio, se observa que si se utiliza barras de menor diámetro, las cuales implican una menor separación, se obtiene una menor cantidad de acero refuerzo; reflejado tanto en un mayor valor del esfuerzo permisible para el cálculo del momento de servicio, como en un menor factor de durabilidad ambiental, Sd, para el refuerzo por resistencia última. Todo esto conlleva en un menor costo de construcción de la estructura, garantizando siempre el cumplimiento de los esfuerzos de servicio para el control del agrietamiento, para un adecuado comportamiento durante su vida útil.




ANEXO B MÉTODO DIRECTO PARA RESOLVER SISTEMA DE ECUACIONES



Universidad Nacional de Colombia B-1

ANEXO B - MÉTODO DIRECTO PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

La metodología de los elementos finitos conlleva finalmente a la solución de sistemas de ecuaciones lineales algebraicas (o no lineales, según sea el caso), de considerable tamaño, que, para el caso de la ingeniería estructural, resulta en encontrar la matriz de desplazamientos U para el modelo analizado. A continuación se describe la metodología para la solución de los sistemas lineales, denominada método directo, en razón a que permite encontrar de manera inicial, el número de operaciones numéricas a realizar para resolver el sistema. Para nuestro caso consideremos la siguiente ecuación,

PUK (B-1)

(la cual consiste en un sistema de ecuaciones lineales que tiene solución), donde K es la matriz de rigidez reducida de la estructura (matriz cuadrada de coeficientes y es simétrica), U la matriz de desplazamientos nodales (matriz columna de incógnitas) y P el vector de cargas actuantes (matriz de cantidades prefijas). El método consiste inicialmente en descomponer la matriz de coeficientes como el producto de una matriz inferior (parte triangular superior nula, con coeficientes igual a la unidad en la diagonal) y de una matriz superior (parte triangular inferior nula).

CLK (B-2)

1

01

001

2,1,

1,2

nn LL

LL

nn

n

C

CC

CCC

C

,

1,22,2

1,1,21,1

00

0

Ahora, la solución al sistema de ecuaciones se puede realizar resolviendo la siguiente pareja de ecuaciones, (Ecuaciones (B-3) y (B-4)):

PYL (B-3)




y

YUC (B-4)

Donde el vector Y, se introduce para facilitar la separación. La solución de estas ecuaciones es trivial. En función de los elementos involucrados en las ecuaciones, la solución es como se describe a continuación:

11 PY

j

i

jijii YLPY

1

1

ni ,...,3,2 (B-5)

y

nm

nn C

YU

ii

j

n

ijiji

i C

UCY

U

1 1,...,2,1 nni

(B-6)

Las dos primeras expresiones que definen a Y1 y Yi, (B-5), constituyen la llamada “eliminación hacia delante”, mientras que las ecuaciones que definen a Un y Ui, (B-6), son las correspondientes a la “sustitución hacia atrás”. El problema entonces se reduce a construir la descomposición triangular de la matriz de coeficientes. Este paso se lleva a cabo usando el método compacto de Crout, que es una variante de la eliminación Gaussiana. La variante de Crout de la eliminación Gaussiana se usa sucesivamente para reducir la matriz de coeficientes original a una forma triangular superior. La parte triangular inferior no se hace cero pero se utiliza para construir la matriz L. Las matrices triangulares superior e inferior sustituyen a la matriz de coeficientes original; en consecuencia, no es posible retener los elementos de la diagonal principal de ambas matrices, L y C. Los elementos de la diagonal de la matriz L son triviales, puesto que por definición se conoce que son todos iguales a la unidad. De acuerdo con esta metodología, es posible considerar la matriz de coeficientes dividida en tres partes: la primera es la región que se reduce totalmente “Zona Reducida”, la segunda región es la que se está reduciendo “Zona Activa” y la tercera región que contiene los coeficientes originales sin reducir “Zona sin




Reducir”. El arreglo general de estas tres zonas, se presenta en la Fig. No. B-1, donde la columna j sobre la diagonal y la fila j por debajo de la diagonal constituyen la zona activa.

Fig. No. B-1 Zonas de división de la matriz de coeficientes

El algoritmo para la descomposición de una matriz cuadrada n x n, puede deducirse de la Fig. No. B-2, planteando las siguientes ecuaciones:

1111 KC

111 L (B-7)

Para cada zona activa j desde 2 a n:

11

11 C

KL j

j

jj KC 11

(B-8)

Por lo tanto,

Kj1, Kj2 . . .

Kj1

Kj2 . . .

Kjj

Zona Reducida

Zona sin Reducir

~

~

C

L

Fila j de la Zona Activa

Columna j de la Zona Activa




ii

mi

i

mjmji

ji C

CLK

L

1

1 1,...,2,1 ji

mj

i

mimijij CLKC

1

1

(B-9)

Y finalmente;

1jjL

mj

j

mjmjjjj CLKC

1

1

(B-10)

La organización del proceso de reducción de la matriz y los términos utilizados se muestran en la Fig. No. B-2

Fig. No. B-2 Zona reducida y zona activa

Una vez efectuada la descomposición triangular de una matriz, pueden calcularse las soluciones para los distintos vectores de cargas actuantes P, utilizando las expresiones de las ecuaciones (B-5) y (B-6). Este proceso se suele llamar “resolución”, ya que no es necesario volver a calcular las matrices L y C

Lj1 Lj2 . . . Lj,i-1 Kji

C1j

C2j . . . Ci-1,j

Kij Li1 Li2 . . . Li,i-1

C1ji

C2i . . . Ci-1,i

Cii




ANEXO C RESULTADOS DE DISEÑO DE LA ESTRUCTURA TIPO CAJÓN (CAP. 5)

UTILIZANDO LA APLICACIÓN DESARROLLADA.

DISEÑÓ: REVISÓ:

Normas de Diseño

1- NSR-10 Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente2- ACI350-06 Code Requirements for Environmental Engineering Concrete Structures3- ACI350.3-06 Seismic Design of Liquid-Containing Structures and Comentary

Geometria del Tanque

Tipo de tanque:

Altura del muro (Hw) = 3.20 m Espesor muros (ew) = 0.30 mLongitud (L) = 9.70 m Espesor placa (ep) = 0.30 m

Ancho (B) = 7.70 m Espesor tapa (et) = 0.30 mNivel del Liquido (HL) = 0.00 m Peso específico = 10.00 kN/m3

Volumen aproximado de líquido = 0.00 m3

Modelo Analítico

Consideraciones:

Especificaciones de Materiales

Concreto f'c = 28 MPa E = 24870.06 MPaAcero de Refuerzo fy = 420 MPa

Tapa continua

ANÁLISIS Y DISEÑO DE ESTRUCTURAS TIPO CAJÓN EN CONCRETO REFORZADO

DESCRIPCIÓN: Anexo C - Diseño estructura Capítulo 5 sin la implementación del modelo tipo "J"

PROYECTO:ITEM:

TESIS DE MAESTRIA - DISEÑO SIMPLIFICADO DE TANQUESANÁLISIS Y DISEÑO ESTRUCTURA TIPO CAJÓN

JORGE IVAN MATIZ CHICA JUAN MANUEL LIZARAZO

- Las cargas dinámicas como empuje dinámico de tierras, fuerzas hidrodinámicas e inerciales porsismo, se aplican dentro de los modelos de manera pseudo-estática, con distribución uniforme otrapezoidal, según el caso de carga.

El análisis de la estructura se compone en el análisis individual de las tres secciones representativasde la misma (planta, transversal y longitudinal). Cada sección se modela mediante el uso deelementos finitos tipo marco con material concreto.

- El análisis contempla únicamente cargas uniformemente distribuidas en la placa superior

- Las condiciones de cimentación corresponden a una cimentación rígida, asumiendo unadistribución uniforme de la reacción del suelo sobre la estructura- El nivel freático se encuentra por debajo del nivel de cimentación de la estructura

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DISEÑÓ: REVISÓ:



PROYECTO:ITEM:



Características del Suelo

Condición del Tanque: Enterrado Ht = 0.00 m

Peso específico del material de relleno, = 20.00 kN/m3Ángulo de fricción del suelo, = 30 grados

MODELO DE ANÁLISIS - SECCIÓN EN PLANTA

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

-1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0

(m)

(m)

MODELO DE ANÁLISIS - SECCIÓN TRANSVERSAL

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

-1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0

(m)

(m)

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DISEÑÓ: REVISÓ:



PROYECTO:ITEM:



Restricciones y Apoyos

Asumiendo una condición de cimentación rígida y una distribución uniforme de las reacción del suelosobre la estructura, la estructura se modela con apoyos simples en la base de los murosperimetrales.

La reacción del suelo con la estructura se modela de manera conservadora, como carga en sentidovertical en la placa inferior de igual magnitud a las cargas muerta y viva gravitacionales incluidas enel modelo.

MODELO DE ANÁLISIS - SECCIÓN LONGITUDINAL

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

-1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0

(m)

(m)

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DISEÑÓ: REVISÓ:

Avalúo de Cargas Estáticas

20

Cargas Verticales

Carga Viva (CV)= 5.00 kN/m2

Carga Muerta (CM)= 5.00 kN/m2

Cargas Laterales

Presión del líquido (l)= 0.00 kN/m2

Coeficiente de presión lateral de tierras en resposo, ko= 0.50

Presión de tierras, nivel superior (t1)= 0.00 kN/m2

Presión de tierras, nivel inferior (t2)= 36.50 kN/m2




PROYECTO:ITEM:


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DISEÑÓ: REVISÓ:

Método de Análisis

Casos de Carga

M MuertaV VivaH Lateral de Tierras (Estática)F Hidrostática (Estática)Sx Sismo en dirección XSy Sismo en dirección YF_OC Hidrostática Una Celda (Estática)Sx_OC Sismo Una celda en dirección XSy_OC Sismo Una celda en dirección Y

Componente inercial: Inercial de la estructuraImpulsiva del líquidoVertical del líquido

Componente convectivo: Convectiva del líquido

Componente de tierras: Lateral de Tierras (Dinámica)

Combinaciones de carga

COMB_1 1.40MCOMB_2 1.40M + 1.40FCOMB_3 1.20M + 1.60V + 1.60H + 1.20FCOMB_4 1.20M + 1.60V + 1.60HCOMB_5 1.20M + 1.60V + 0.96H + 1.20FCOMB_6 1.20M + 1.60V + 0.96HCOMB_7 0.90M + 1.60H + 1.20FCOMB_8 0.90M + 1.60HCOMB_9 1.20M + 1.00V + 1.60H + 1.20F + 1.00SxCOMB_10 1.20M + 1.00V + 1.60H + 1.20F + 1.00SyCOMB_11 0.90M + 1.60H + 1.20F + 1.00SxCOMB_12 0.90M + 1.60H + 1.20F + 1.00SyCOMB_13 1.40M + 1.40F_OCCOMB_14 1.20M + 1.60V + 1.60H + 1.20F_OCCOMB_15 1.20M + 1.60V + 0.96H + 1.20F_OCCOMB_16 0.90M + 1.60H + 1.20F_OCCOMB_17 1.20M + 1.00V + 1.60H + 1.20F_OC + 1.00Sx_OCCOMB_18 1.20M + 1.00V + 1.60H + 1.20F_OC + 1.00Sy_OC



PROYECTO:ITEM:


A continuación se presentan los casos y las combinaciones de carga que son consideradas en elanálisis de la estructura.

Las cargas sísmicas se combinan utilizando el método aproximado de la raíz cuadrada de la suma delos cuadrados (SRSS) de los siguientes componentes:


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DISEÑÓ: REVISÓ:



PROYECTO:ITEM:



COMB_19 0.90M + 1.60H + 1.20F_OC + 1.00Sx_OCCOMB_20 0.90M + 1.60H + 1.20F_OC + 1.00Sy_OC

Combinaciones de servicio

SERV_1 1.00MSERV_2 1.00M + 1.00FSERV_3 1.00M + 1.00V + 1.00H + 1.00FSERV_4 1.00M + 1.00V + 1.00HSERV_5 1.00M + 1.00V + 0.60H + 1.00FSERV_6 1.00M + 1.00V + 0.60HSERV_7 1.00M + 1.00H + 1.00FSERV_8 1.00M + 1.00HSERV_9 1.00M + 1.00V + 1.00H + 1.00F + 1.00SxSERV_10 1.00M + 1.00V + 1.00H + 1.00F + 1.00SySERV_11 1.00M + 1.00H + 1.00F + 1.00SxSERV_12 1.00M + 1.00H + 1.00F + 1.00SySERV_13 1.00M + 1.00F_OCSERV_14 1.00M + 1.00V + 1.00H + 1.00F_OCSERV_15 1.00M + 1.00V + 0.60H + 1.00F_OCSERV_16 1.00M + 1.00H + 1.00F_OCSERV_17 1.00M + 1.00V + 1.00H + 1.00F_OC + 1.00Sx_OCSERV_18 1.00M + 1.00V + 1.00H + 1.00F_OC + 1.00Sy_OCSERV_19 1.00M + 1.00H + 1.00F_OC + 1.00Sx_OCSERV_20 1.00M + 1.00H + 1.00F_OC + 1.00Sy_OC

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DISEÑÓ: REVISÓ:

Resultados para el Diseño Estructural

Solicitación de análisis: ENVOLVENTES DE DISEÑO Y SERVICIO

Convenciones

Sección Longitudinal

Sección Transversal

A continuación se consignan las fuerzas internas (momentos y cortantes) obtenidos en el análisisestructural.


El diseño se realiza por medio del método del estado limite de resistencia y teniendo en cuenta lasrecomendaciones del código ACI350-06. Una vez obtenidos los esfuerzos y el refuerzo para losdiferentes elementos estructurales, se evalúa el factor de durabilidad sanitaria definido en el códigoen mención.



PROYECTO:ITEM:


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DISEÑÓ: REVISÓ:JORGE IVAN MATIZ CHICA JUAN MANUEL LIZARAZO



PROYECTO:ITEM:


Sección en Planta

Tipo de Fuerzas: Últimas Servicio

Placa Superior

M11 (Pos) = 84.45 60.71 kN-m Cara interior longitudinalM22 (Pos) = 55.16 39.86 kN-m Cara interior transversal

M11 (Neg) = -93.51 -66.13 kN-m Cara exterior longitudinalM22 (Neg) = -60.30 -42.30 kN-m Cara exterior transversal

Cortante Máximo = 66.50 47.50 kN

Placa Inferior




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PROYECTO:ITEM:


Muros Perimetrales

M11 (Pos) = 219.36 137.10 kN-m Cara interior longitudinalM22 (Pos) = 22.15 5.73 kN-m Cara interior vertical

M11 (Neg) = -277.31 -173.32 kN-m Cara exterior longitudinalM22 (Neg) = -94.00 -66.47 kN-m Cara exterior vertical


Muro Divisorio

M11 (Pos) = 0.00 0.00 kN-m Momento longitudinalM22 (Pos) = 0.00 0.00 kN-m Momento vertical

M11 (Neg) = 0.00 0.00 kN-m Momento longitudinalM22 (Neg) = 0.00 0.00 kN-m Momento vertical


Página 9 de 13

DISEÑÓ: REVISÓ:

DISEÑO ESTRUCTURAL

PLACA SUPERIOR

fy = 28 MPa e = 300 mm r = 60 mmf'c = 420 MPa b = 1000 mm d = 240 mm

Diseño a Flexión

Mu As As (min) Ms Varilla S As fs Ms As x SdkN-m mm2/m mm2/m kN-m # mm mm2/m MPa kN-m mm2/m

M11 (Pos) 84.45 965 450 60.71 4 0M22 (Pos) 55.16 622 450 39.86 4 0M11 (Neg) -93.51 1073 450 -66.13 4 0M22 (Neg) -60.30 682 450 -42.30 4 0

Refuerzo

Varilla As As S# mm2 mm2/m mm

M11 (Pos) 4 127 965 130M22 (Pos) 4 127 622 200M11 (Neg) 4 127 1073 110M22 (Neg) 4 127 682 180

Diseño a Cortante

Vc = 190.49 kN Vu max = 66.50 kNVn = 161.92 kN Vu < Vn Cumple Cortante



PROYECTO:ITEM:



Sd

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DISEÑÓ: REVISÓ:



PROYECTO:ITEM:



PLACA INFERIOR


Diseño a Flexión



Refuerzo



Diseño a Cortante


Sd

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DISEÑÓ: REVISÓ:



PROYECTO:ITEM:



MUROS PERIMETRALES


Diseño a Flexión



Refuerzo



Diseño a Cortante

Vc = 190.49 kN Vu max = 188.73 kNVn = 161.92 kN Vu > Vn No Cumple Cortante

Sd

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DISEÑÓ: REVISÓ:



PROYECTO:ITEM:



MURO DIVISORIO


Diseño a Flexión


M11 (Pos) 0.00 0 450 0.00 4 0M22 (Pos) 0.00 0 450 0.00 4 0M11 (Neg) 0.00 0 450 0.00 4 0M22 (Neg) 0.00 0 450 0.00 4 0

Refuerzo



Diseño a Cortante


Sd

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DISEÑÓ: REVISÓ:

Normas de Diseño



Tipo de tanque:




Modelo Analítico

Consideraciones:



Tapa continua


DESCRIPCIÓN: Anexo C - Diseño estructura Capítulo 5 con la implementación del modelo tipo "J"

PROYECTO:ITEM:







Página 1 de 13

DISEÑÓ: REVISÓ:



PROYECTO:ITEM:




Condición del Tanque: Enterrado Ht = 0.00 m



-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

-1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0

(m)

(m)


-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

-1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0

(m)

(m)

Página 2 de 13

DISEÑÓ: REVISÓ:



PROYECTO:ITEM:







-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

-1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0

(m)

(m)

Página 3 de 13

DISEÑÓ: REVISÓ:


Cargas Verticales



Cargas Laterales








PROYECTO:ITEM:


Página 4 de 13

DISEÑÓ: REVISÓ:


Casos de Carga









PROYECTO:ITEM:





Página 5 de 13

DISEÑÓ: REVISÓ:



PROYECTO:ITEM:






Página 6 de 13

DISEÑÓ: REVISÓ:



Convenciones








PROYECTO:ITEM:


Página 7 de 13




PROYECTO:ITEM:


Sección en Planta


Placa Superior




Placa Inferior




Muros Perimetrales

M11 (Pos) = 9.69 6.06 kN-m Cara interior longitudinal

Página 8 de 13




PROYECTO:ITEM:


M22 (Pos) = 22.87 8.76 kN-m Cara interior vertical



Muro Divisorio




Página 9 de 13

DISEÑÓ: REVISÓ:

DISEÑO ESTRUCTURAL

PLACA SUPERIOR


Diseño a Flexión

Mu As As (min) Ms Barra S As fs Ms As x SdkN-m mm2/m mm2/m kN-m # mm mm2/m MPa kN-m mm2/m


Refuerzo

Barra As As S# mm2 mm2/m mm


Diseño a Cortante




PROYECTO:ITEM:



Sd

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DISEÑÓ: REVISÓ:



PROYECTO:ITEM:



PLACA INFERIOR


Diseño a Flexión



Refuerzo



Diseño a Cortante


Sd

Página 11 de 13

DISEÑÓ: REVISÓ:



PROYECTO:ITEM:



MUROS PERIMETRALES


Diseño a Flexión



Refuerzo



Diseño a Cortante


Sd

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DISEÑÓ: REVISÓ:



PROYECTO:ITEM:



MURO DIVISORIO


Diseño a Flexión


M11 (Pos) 0.00 0 450 0.00 4 0M22 (Pos) 0.00 0 450 0.00 4 0M11 (Neg) 0.00 0 450 0.00 4 0M22 (Neg) 0.00 0 450 0.00 4 0

Refuerzo



Diseño a Cortante


Sd

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ANEXO D EJEMPLO DE DISEÑO (CAP. 9) UTILIZANDO LA APLICACIÓN

DESARROLLADA.

DISEÑÓ: REVISÓ:

Normas de Diseño



Tipo de tanque:




Modelo Analítico

Consideraciones:







Tapa continua


DESCRIPCIÓN: Anexo D - Ejemplo de Diseño Capítulo 9

PROYECTO:ITEM:



Página 1 de 18

DISEÑÓ: REVISÓ:



PROYECTO:ITEM:




Condición del Tanque: Semienterrado Ht = 0.25 m



-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

-1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0

(m)

(m)


-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

(m)

(m)

Página 2 de 18

DISEÑÓ: REVISÓ:



PROYECTO:ITEM:







-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0

(m)

(m)

Página 3 de 18

DISEÑÓ: REVISÓ:


Cargas Verticales



Cargas Laterales








PROYECTO:ITEM:


Página 4 de 18

DISEÑÓ: REVISÓ:

Avalúo de Cargas Dinámicas

Se tuvo en cuenta el análisis dinámico de la estructura.

Espectro de Diseño

Zona Sísmica NSR-10

Aceleración Picoefectiva (Aa) = 0.20 Fa = 1.00Velocidad Picoefectiva (Av) = 0.30 Fv = 1.00

Coeficiente de Importancia (I) = 1.25 Tc = 0.72Tl = 2.40




PROYECTO:ITEM:


0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

T (seg)

Sa

(g)

Página 5 de 18




PROYECTO:ITEM:


Carga Lateral de Tierras

Coeficiente de presión lateral de tierras equivalente = 0.14

Presión de tierras (t)= 7.34 kN/m2

Carga Hidrodinámica

Peso del líquido, WL = 577.20 kN * Mayor valor por aproximación

Sismo en Sentido Longitudinal

Carga Impulsiva

Peso masa impulsiva, Wi = 128.41 kN

Altura fuerza impulsiva, hi = 0.69 m

Periodo modo impulsivo, Ti = 0.025 s

Coeficiente de respuesta sísmica, Ci = 0.50

Factor de modificación de respuesta, Rwi = 2.50 *ACI350.3-06

Fuerza Impulsiva, Pi = 32.10 kN

Coeficiente de masa efectiva, = 0.44

Carga Convectiva

Peso masa convectiva, Wc = 429.68 kN

Altura fuerza convectiva, hc = 0.95 m

Periodo modo convectivo, Tc = 4.743 s

Coeficiente de respuesta sísmica, Cc = 0.05

Factor de modificación de respuesta, Rwc = 1.00 *ACI350.3-06

Fuerza Convectiva, Pc = 28.65 kN

Nivel máximo de oscilación, dmax = 0.32 m

Carga Vertical

Aceleración vertical, üv = 0.10

Página 6 de 18




PROYECTO:ITEM:


Coeficiente de respuesta sísmica, Ct = 0.20

Presión por aceleración vertical (t)= 1.85 kN/m2

Sismo en Sentido Transversal

Carga Impulsiva

Peso masa impulsiva, Wi = 344.85 kN

Altura fuerza impulsiva, hi = 0.69 m

Periodo modo impulsivo, Ti = 0.024 s

Coeficiente de respuesta sísmica, Ci = 0.50

Factor de modificación de respuesta, Rwi = 2.50

Fuerza Impulsiva, Pi = 86.21 kN

Coeficiente de masa efectiva, = 0.73

Carga Convectiva

Peso masa convectiva, Wc = 253.42 kN

Altura fuerza convectiva, hc = 1.11 m

Periodo modo convectivo, Tc = 2.091 s

Coeficiente de respuesta sísmica, Cc = 0.26

Factor de modificación de respuesta, Rwc = 1.00

Fuerza Convectiva, Pc = 81.81 kN

Nivel máximo de oscilación, dmax = 0.52 m

Carga Vertical

Aceleración vertical, üv = 0.10

Coeficiente de respuesta sísmica, Ct = 0.20

Presión por aceleración vertical (t)= 1.85 kN/m2

Página 7 de 18

DISEÑÓ: REVISÓ:


Casos de Carga












PROYECTO:ITEM:


Página 8 de 18




PROYECTO:ITEM:





Página 9 de 18

DISEÑÓ: REVISÓ:

Desplazamientos

Caso o combinación de análisis: Envolvente de Diseño

Factor de amplificación de desplazamientos: 20


Las gráficas de desplazamientos de las secciones principales de la estructura, se encuentranincrementadas por un factor de amplificación, para una mejor visualización de los efectospresentados.



PROYECTO:ITEM:


Desplazamientos - Corte en Planta

-1.0

0.3

1.5

2.8

4.1

-1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0

(m)

(m)

Deformada

Estructura

Desplazamientos - Corte Transversal

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

(m)

(m)

Deformada

Estructura

Página 10 de 18




PROYECTO:ITEM:


Desplazamientos - Corte Longitudinal

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0

(m)

(m)

Deformada

Estructura

Página 11 de 18

DISEÑÓ: REVISÓ:



Convenciones





PROYECTO:ITEM:





Página 12 de 18

DISEÑÓ: REVISÓ:



PROYECTO:ITEM:



Sección en Planta


Placa Superior




Placa Inferior




Página 13 de 18

DISEÑÓ: REVISÓ:



PROYECTO:ITEM:



Muros Perimetrales

M11 (Pos) = 10.80 7.71 kN-m Cara interior longitudinalM22 (Pos) = 8.00 3.64 kN-m Cara interior vertical



Muro Divisorio




Página 14 de 18

DISEÑÓ: REVISÓ:

DISEÑO ESTRUCTURAL

PLACA SUPERIOR


Diseño a Flexión


M11 (Pos) 2.98 42 500 2.24 4 300 422 170.00 12.84 1.33 1.67 70M22 (Pos) 13.31 187 375 10.33 4 300 422 170.00 12.84 1.29 1.73 323M11 (Neg) -9.97 140 500 -6.61 4 300 422 170.00 12.84 1.51 1.47 206M22 (Neg) -10.21 143 375 -6.63 4 300 422 170.00 12.84 1.54 1.44 206

Refuerzo



Diseño a Cortante



Sd



PROYECTO:ITEM:


Página 15 de 18




PROYECTO:ITEM:


PLACA INFERIOR


Diseño a Flexión



Refuerzo



Diseño a Cortante


Sd

Página 16 de 18




PROYECTO:ITEM:


MUROS PERIMETRALES


Diseño a Flexión



Refuerzo



Diseño a Cortante


Sd

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PROYECTO:ITEM:


MURO DIVISORIO


Diseño a Flexión


M11 (Pos) 0.00 0 375 0.00 4 300 422 170.00 12.84 2.19 1.02 0M22 (Pos) 0.00 0 375 0.00 4 300 422 170.00 12.84 1.31 1.70 0M11 (Neg) 0.00 0 375 0.00 4 300 422 170.00 12.84 1.40 1.59 0M22 (Neg) 0.00 0 375 0.00 4 300 422 170.00 12.84 1.65 1.35 0

Refuerzo



Diseño a Cortante


Sd

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ANEXO E PLANOS DE DISEÑO DEL EJEMPLO DEL CAPÍTULO 9

método simplificado para el análisis y diseño de tanques ...

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