Método simplex
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MÉTODO SIMPLEX El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables. El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución. COMO SE APLICA EL MÉTODO SIMPLEX Para la aplicación del método Simplex se transforma el modelo de programación original, formado por restricciones funcionales de desigualdad, en un modelo de forma estándar, integrado por restricciones de igualdad equivalentes. Esta conversión se logra con la introducción de variables de holguras y/o superávit. QUIEN CREO EL MÉTODO SIMPLEX
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MÉTODO SIMPLEX
El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas
de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que
los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de
variables.
El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la
solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en
que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice
vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la
función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de
vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará
solución.
COMO SE APLICA EL MÉTODO SIMPLEX
Para la aplicación del método Simplex se transforma el modelo de programación original, formado por restricciones funcionales de desigualdad, en un modelo de forma estándar, integrado por restricciones de igualdad equivalentes. Esta conversión se logra con la introducción de variables de holguras y/o superávit.
QUIEN CREO EL MÉTODO SIMPLEX
Este famosísimo método fue creado en el año de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables..
PARA QUE SE UTILIZA EL MÉTODO SIMPLEX
El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables.
El álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex.
FASES DEL MÉTODO SIMPLEX
1. Convertir las desigualdades en igualdades
2. Igualar la función objetivo a cero
3. Escribir la tabla inicial simplex
4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base
5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla.
¿QUE ES UNA MATRIZ IDENTIDAD?
Una matriz puede definirse como una ordenación rectangular de
elementos, (o listado finito de elementos), los cuales pueden ser
números reales o complejos, dispuestos en forma de filas y de
columnas.
La matriz idéntica o identidad es una matriz cuadrada (que posee el
mismo número tanto de columnas como de filas) de orden n que tiene
todos los elementos diagonales iguales a uno (1) y todos los demás
componentes iguales a cero (0), se denomina matriz idéntica o
identidad de orden n, y se denota por:
La importancia de la teoría de matrices en el Método Simplex es
fundamental, dado que el algoritmo se basa en dicha teoría para la
resolución de sus problemas.
VARIABLES DE HOLGURA Y EXCESOEl Método Simplex trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones
iniciales que se modelan mediante programación lineal no lo son, para
ello hay que convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas
variables denominadas de holgura y exceso relacionadas con el recurso
al cual hace referencia la restricción y que en el tabulado final representa
el "Slack or surplus" al que hacen referencia los famosos programas de
resolución de investigación de operaciones, estas variables adquieren un
gran valor en el análisis de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la
creación de la matriz identidad base del Simplex.
Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se suman si
la restricción es de signo "<= " y se restan si la restricción es de signo
">=".
Por ejemplo:
Ejemplos de Método simplex.
Despejar:
1)
Z=300x1+500x2 x1+2x2=120 x1+x2+4x=90
Z -300x1-500x2 x1+2x2+x3=120
2)
Z -300x1-500x2=0
x1+2x2+x3=120
x1+x2+x4=90
3)
Tabla simplex
Z X1 X2 X3 X4 Resultados
1 -300 -500 0 0 0
120/2=80
90/1=90
0 1 2 1 0 120
0 1 1 0 1 90
Z X1 X2 X3 X4 Resultados
1 -300 -500 0 0 0
0 1/2 1 1/2 0 60
0 1 1 0 1 90
Z X1 X2 X3 X4 Resultados
0 1/2 1 1/2 0 60
1 -300 -500 0 0 0
1 -50 0 250 0 30000
Z X1 X2 X3 X4 Resultados
0 1/2 1 1/2 0 60
0 1 1 0 1 90
Columna pivote.
Número pivote.
0 1/2 0 -1/2 1 30
Z X1 X2 X3 X4 Resultados
1 -50 0 250 0 30000
0 1/2 1 1/2 0 60
0 1/2 0 -1/2 1 30
Z X1 X2 X3 X4 Resultados
1 -50 0 250 0 30000
0 1/2 1 1/2 0 60
0 1 0 -1 2 60
Z X1 X2 X3 X4 Resultados
1 0 0 200 100 33000
0 0 1 1 1 30
0 1 0 -1 2 60
Resultado=
Z=33000 x1=60 x2=30
Una empresa fabrica ensambles tipo A y tipo B aprovechando las unidades sobrantes que son conectores y tubos.
Ensamble.
Mp Ax1 Bx2 u.disponiblesCon 5 5 35Tubo 6 9 56
El valor de los ensambles
Tipo a $10 USD
60/(1/2)=120
30/(1/2)
Tipo b $12 USD
Función objetivo (Max)
Z=10x1+12x2
Restricciones
5x1+5x2<=35
6x1+9x2<=56
X1+x2>=0
Despejes
Z X1 X2 X3 X4 Resultados
1 -10 -12 0 0 0
0 5 5 1 0 35/5=5
0 6 9 0 1 60
Z X1 X2 X3 X4 Resultados
1 -10 -12 0 0 0
0 5 5 1 0 35
0 2/3 9 0 1/9 56/9
Z X1 X2 X3 X4 Resultados
1 -2 0 0 4/3 224/3
0 5/3 0 1 -5/9 35/9=5/3
0 2/3 1 0 1/9 -56/9=2/3
Z X1 X2 X3 X4 Resultados
1 0 0 6/5 2/3 238/3
0 1 0 3/5 -1/9 7/3
0 0 1 -2/5 3/9 14/3
Z= 238/3
X1=7/3
X2=14/3
Con 7/3 del ensamble tipo a
14/3 del ensamble tipo b se obtiene una ganancia max de 238/3
Maximizar
Z= 150x1 +200x2
Sujeto a 40x1+60x2<=74000
Sujeto b 20x1+25x2<=3300
Sujeto c X1+x2<=150
Despeje
Z= 150x1 +200x2=0
40x1+60x2+x3=74000
20x1+25x2+x4=3300
X1+x2+x5=150
Z X1 X2 X3 X4 X5 resultado1 -150 -200 0 0 0 00 40 60 1 0 0 74000 20 25 0 1 0 330000 1 1 0 0 1 150
Z X1 X2 X3 X4 X5 resultado1 -150 -200 0 0 0 00 2/3 1 1/60 0 0 7400/600 20 25 0 1 0 330000 1 1 0 0 1 150
Z X1 X2 X3 X4 X5 resultado1 -50/3 0 10/3 0 0 74000/30 2/3 1 1/60 0 0 7400/600 10/3 0 -5/12 1 0 650/30 1/3 0 -1/60 0 1 80/3
Z X1 X2 X3 X4 X5 resultado1 -50/3 0 10/3 0 0 257500 2/3 1 1/60 0 0 800 1 0 1/8 3/10 0 650 1/3 0 1/60 -1/10 1 5
Z=25750
X2=80 sujeto a
X1=65 sujeto b
X5=5 sujeto c
Maximizar
Z= 50x1+56x2
Sujeto a x1+2x<=80
Sujeto b 3x1+2x2<=220
Sujeto c 2x1+3x2<=210
Z X1 X2 X3 X4 X5 Resultado1 -50 -56 0 0 0 00 1 1 1 0 0 800 3 2 0 1 0 2200 2 3 0 0 1 210
Z X1 X2 X3 X4 X5 Resultado1 -38/3 0 0 0 56/3 39200 1/3 0 1 0 1/3 100 5/3 0 0 1 -2/3 800 2/3 1 0 0 1/3 70
Z X1 X2 X3 X4 X5 Resultado1 0 0 38 0 6 43000 1 0 3 0 -1 300 0 0 5 1 -4/3 600 0 1 0 0 1 50
Z=4300
X1=30
X2=60
X3=50
Maximizar
Z=2x1+x2-3x3+5x4
Sujeto a x1+7x2+3x3+7x4<=46
Sujeto b 3x1-x2+x3+2x4<=8
Sujeto c 2x1+3x2-x3+x4<=10
Donde
X1,x2,x3,x4>=0
Z-2x1+x2-3x3+5x4=0
x1+7x2+3x3+7x4+x5=46
3x1-x2+x3+2x4+x6=8
2x1+3x2-x3+x4+x7=10
Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 resultado1 -2 -1 3 -5 0 0 0 00 1 7 3 7 1 0 0 4460 3 -1 1 2 0 1 0 80 2 3 -1 1 0 0 1 10
Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 resultado1 11/2 -7/2 6/2 0 0 5/2 0 200 -19/2 -21/2 -1/2 0 1 -7/2 0 180 3/2 -1/2 ½ 1 0 ½ 0 40 1/2 7/2 -3/2 0 0 -1/2 1 2
Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 resultado1 7/3 0 16/3 0 1/3 4/3 0 260 -
19/211 -1/21 0 2/21 -1/3 0 12/7
0 22/21 0 10/21 1 1/21 1/3 0 34/70 11/3 0 -4/3 0 -1/3 2/3 1 0
Z=26
X2=12/7
X4=34/7
X7=0
BIBLIOGRAFÍA
http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-simplex/
http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_s%C3%ADmplex
http://es.slideshare.net/eileen017/el-metodo-simplex-3189293
http://investigaciondeoperacionesind331.blogspot.mx/p/metodo-simplex.html
