1

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

TRABAJO FIN DE MASTER

“METODO MULTICAPA CON LEYES DE

ELASTICIDAD NO LINEAL”

Elaborado por:

Randy Rodolfo Tejada Jiménez

Dirigido por:

Dr.-Ing. Celso Iglesias Pérez

Máster Universitario en Ingeniería de las Estructuras, Cimentaciones y Materiales

Madrid, Junio-Julio 2010

2

ÍÍ nn dd ii cc ee

1 Agradecimientos: 3

2 Introducción 4

3 Metodología de trabajo 5

4 Antecedentes 6

4.1 Método multicapa 6

4.2 Campo de aplicación 6

5 Definiciones generales 7

5.1 Tensión deformación del hormigón: 7

5.2 Tensión deformación de las armaduras pasivas: 8

5.3 Tensión deformación de las armaduras activas: 9

5.4 Tensión deformación de Acero Estructural: 10

6 Deducción de las ecuaciones equilibrio y compatibilidad. 11

6.1 Esfuerzos internos en el hormigón. 11

6.2 Esfuerzos internos en los aceros. 18

6.3 Ecuaciones de equilibrio en la sección: 21

6.4 Resolución del sistema de ecuaciones. 21

7 Algoritmo computacional 24

7.1 Manual de usuario: 24

7.2 Programa principal: 26

7.3 Subrutinas: 28

8 Ejemplo 35

9 Futuro del método 37

10 Conclusiones 38

11 Bibliografía 39

3

1 Agradecimientos:

En primer lugar y de manera especial quisiera expresar mi satisfacción por haber realizado

este trabajo junto a mi tutor, Celso Iglesias Pérez, quien me ha guiado, aconsejado y tratado de

manera excepcional.

Agradecer hoy y siempre a mi familia porque a pesar de no estar presentes físicamente, se

que procuran mi bienestar desde mi país, Republica Dominicana, y está claro que si no fuese por

el esfuerzo realizado por ellos, mis estudios no hubiesen sido posible.

A la Secretaria de Estado de Educación Superior Ciencia y Tecnología (SEESCYT) porque sin

su ayuda esto no sería posible, gracias sinceramente por haberme dado esta gran oportunidad de

desarrollarme en el área que tanto me gusta.

A mis compañeros de máster por estar presente en esta travesía que hemos realizado juntos

y que esperando que le haya sido de provecho.

A los profesores de esta gran institución por esforzarse en transmitirnos los conocimientos

necesarios para ser mejor profesional en el presente y en el futuro.

4

2 Introducción

El método multicapa se puede definir como un cálculo a nivel sección que utiliza una

subdivisión de la sección en capas de un único material homogéneo o con capas de distintos

materiales homogenizados para el análisis. El método permite unificar el cálculo de secciones

generales de hormigón armado, pretensado, mixtas (acero estructural y hormigón) y cualquier

otro material de que se conozca su ley tensión-deformación.

Este método permite tener en cuenta deformaciones impuestas (retracción, fluencia y

temperatura) así como esfuerzos impuestos (axil y momento) en secciones con eje de simetría

vertical. En este desarrollo se plantea el método para el caso de material elástico no lineal, lo que

en hormigón equivale a superar tensiones de compresión del orden de 40-45% de su resistencia

característica, lo que coincide también con el límite de la denominada fluencia lineal.

En particular, esto permitirá por tanto estudiar el efecto de los fenómenos de fluencia en

rangos no lineales de tensiones. La introducción de otros efectos no lineales a nivel sección, tales

como la fisuración y rigidización por tracción (tensión-stiffening) es también posible, así como la

extensión del estudio a nivel de sección al estudio a nivel de estructura de todos los problemas

anteriores.

El alcance de este estudio es analizar secciones sometidas a esfuerzos impuestos y

deformaciones impuestas en el rango tanto lineal como no lineal de leyes generales tensión-

deformación, no se tiene en cuenta la fisuración del hormigón, siendo esto último una futura

ampliación a realizar al método.

El trabajo se inscribe en una línea de investigación iniciada por Celso Iglesias (1996), tesis

doctoral en la que se utiliza precisamente el método.

5

3 Metodología de trabajo

El método de trabajo a seguir será:

Deducir a partir de las leyes tensión-deformación las ecuaciones necesarias para

satisfacer las condiciones de compatibilidad entre los diferentes materiales

(hormigón, acero pasivo, acero activo y acero estructural).

La condición de compatibilidad será la habitual, hipótesis de Navier de resistencia

de Materiales

Resolución de los sistemas de ecuaciones no lineales que se generan al trabajar en

el rango no lineal (método Newton-Raphson).

Creación de algoritmos computacionales a partir de los pasos anteriores.

Ejemplo de aplicación.

6

4 Antecedentes

4.1 Método multicapa

Consiste en realizar un cálculo a nivel sección utilizando una subdivisión de la sección en

capas de un único material homogéneo o con capas de distintos materiales homogenizados para

el análisis.

En un principio el método fue desarrollado entre otras por Iglesias (1996) para el análisis de

secciones con leyes elásticas lineales para los materiales involucrados en la sección, por este

motivo para la comprobación de secciones ya construidas en estado límite último no podía ser

aplicado por ejemplo, si se comprueba una estructura que haya sido afecta por una solicitación en

rotura, en el rango elástico lineal de los materiales, el método no resulta aplicable.

Este trabajo consiste en la adaptación del método para el análisis no lineal por el material,

procediendo al desarrollo de las ecuaciones y algoritmos necesarios para la adaptación del

método a las a las leyes elásticas no lineales de los materiales.

4.2 Campo de aplicación

El campo de aplicación que puede tener el método puede ir desde el comportamiento de

secciones sometidas a ambientes agresivos que puedan provocar pérdida de sección o resistencia

hasta incendios en estructuras, a saber:

Efecto de incendios en estructuras.

Estudio de los gradientes térmicos.

Análisis de solicitaciones accidenta en ELU (evento extremo).

Estudio de inestabilidades a nivel estructura, con no linealidades acopladas de tipo

geométrico o de segundo orden (pandeo).

Estudio de la transición de rango elástico al rango plástico en estructuras.

7

5 Definiciones generales

5.1 Tensión deformación del hormigón:

Diagrama experimental

El diagrama tensión-deformación de una probeta de hormigón en el ensayo de compresión

rápido presenta el aspecto de la figura, donde el modulo de deformación Eij representa la

pendiente de la recta que pasa por el origen y corta a la curva en el punto de ordenada 0.5σ’j. Se

observa que el acortamiento último en rotura de la probeta es del orden del 3.5/1000.

Diagrama cálculo.

La relación entre deformación y tensión en el hormigón σ se puede definir por la función:

En la práctica, para evaluar la influencia de la ley de tensión-deformación del hormigón, se

puede plantear con una la ley cúbica, de la cual la ley parábola-rectángulo es un caso particular.

Ley cúbica

A y( )3

B y( )2

C y( ) D

Siendo A, B, C y D constantes que se calculan de la siguiente manera:

A

co

Eco

cm

2c

cm

co3

B

3c

cm

2 coEco

cm

co2 C

Eco

cm

D 0

Eco: Modulo elasticidad de hormigón.

co: Deformación inicial del hormigón. σc: Resistencia característica del hormigón. ϒcm: Coeficiente de reducción del hormigón.

8

5.2 Tensión deformación de las armaduras pasivas:

El diagrama tensión-deformación de cálculo del acero pasivas (en tracción o en compresión)

se deduce del diagrama característico mediante una afinidad oblicua, paralela a la recta de Hooke,

de razón 1/γs. Cuando se utiliza el diagrama de la figura, se obtiene el diagrama de cálculo de la

figura en la que se observa que se puede considerar a partir de fyd una segunda rama con

pendiente positiva, obtenida mediante afinidad oblicua a partir del diagrama característico, o bien

una segunda rama horizontal, siendo esto último suficientemente preciso en general. Se pueden

emplear otros diagramas de cálculo simplificados, siempre que su uso conduzca a resultados que

estén suficientemente avalados por la experiencia.

Diagrama tensión-deformación de cálculo en las armaduras pasivas.

Se adoptara una deformación máxima del acero en tracción en el cálculo εmax = 0,01

Es: Modulo de elasticidad de la primera rama en la curva bilineal.

fyd : Resistencia de fluencia del acero.

fyk : Resistencia característica del acero.

9

5.3 Tensión deformación de las armaduras activas:

El diagrama tensión-deformación de cálculo del acero activo, se deducirá del

correspondiente diagrama característico, mediante una afinidad oblicua, paralela a la recta de

Hooke, de razón 1/γs .

Como simplificación:

Se asume para el acero activo que solamente elásticamente debido a la incertidumbre que existe

sobre la ductilidad que puede alcanzar.

10

5.4 Tensión deformación de Acero Estructural:

El diagrama característico tensión-deformación del acero estructural es el que se adopta

como base de los cálculos. Tiene la propiedad de que los valores de la tensión presentan un nivel

de confianza del 95 por 100 con respecto a los correspondientes valores obtenidos en el ensayo

de tracción.

En compresión se adopta el mismo diagrama que en tracción.

Diagrama tensión-deformación de cálculo del acero es el que se deduce del diagrama

característico mediante una afinidad oblicua, paralela a la recta de Hooke, de razón 1/γM, siendo

γM el coeficiente parcial para la resistencia de que se trate.

Se puede utilizar también el diagrama tensión-deformación bilineal, con segunda rama

horizontal (figura A), si bien, en el caso de análisis no lineal puede utilizarse como alternativa el

diagrama tensión-deformación bilineal, con segunda rama inclinada (figura B)

Figura A diagrama tensión deformación bilineal.

Figura B diagrama tensión deformación bilineal con segunda rama inclinada.

11

6 Deducción de las ecuaciones equilibrio y compatibilidad.

6.1 Esfuerzos internos en el hormigón.

Siendo el eje de referencia la fibra inferior de la capa inferior.

Ley tensión-deformación del hormigón:

A y( )3

B y( )2

C y( ) D

y( ) 0 0 y

Nint A

d

y1

y2

y b

d b

y1

y2

yA y( )3

B y( )2

C y( ) D

d

Separando en 4 integrales tenemos que:

I1 A

y1

y2

y y( )3

d A

y1

y2

y 0 0 y 3

d

de donde

y1

y2

y 0 0 y 3

d

0 0 y 3

0 3 3 0 2 0 y 3 0 2 y2

0 0 3 y3

0 3 3

3 2

0 3 02

03

3 0 2

0 y 3 2

y 3 2

0 y 6 0 y 6 0 0 y 3 02

y 3 02

0 y

3 0 2 y2

0 3 2

3 0 2

6 0 6 0 0 3 02

3 02

0

y

2

0 3 y3

3

3 2

0 3 02

03

y

3

Integrando elemento a elemento y sustituyendo la integral definida:

Valores Variables

AC19 y2 y1 3

AC18y2

4y1

4

4

3

AC173 y2

2y1

2

2

2

AC16 y23

y13

2

12

AC15 3 0 y2 y1 3 0y2

2y1

2

2

2

AC14 3 0y2

4y1

4

4 0 y2

3y1

3

2

AC13 3 0 y22

y12

2 0 y2

3y1

3

AC12 3 02

y2 y1 30 0 y22

y12

0

2y2

3y1

3

AC11 3 02

y2

2y1

2

2 20 0 y2

3y1

3

30

2y2

4y1

4

4

AC10 03

y2 y1 3 02

0y2

2y1

2

2 0

20 y2

3y1

3

0

3y2

4y1

4

4

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I2 B

y1

y2

y y( )2

d B

y1

y2

y 0 0 y 2

d

de donde

y1

y2

y 0 0 y 2

d

0 0 y 2

0 2 2 0 0 y 0 2 y2

0 2

2

2 0 02

2 0 0 y 2 y 2 0 y 2 0 y 2 0 0 y

0 2 y2

2

y2

2 0 y2

02

y2

Integrando elemento a elemento y sustituyendo la integral definida :

Valores Variables

AC25 y2 y1 2

13

AC24y2

3y1

3

3

2

AC23 y22

y12

AC22 y22

y12

0 2 0 y2 y1

AC21 y22

y12

0 2 0

y23

y13

3

AC20 02

y23

y13

3 0 0 y2

2y1

2

0

2y2 y1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I3 C

y1

y2

y y( )

d C

y1

y2

y 0 0 y

d

y1

y2

y 0 0 y

d

0 0 y 0 y 0 y

Integrando elemento a elemento y sustituyendo la integral definida :

Valores Variables

AC32 y2 y1

AC31y2

2y1

2

2

AC30 0 y2 y1 0 y2

2y1

2

2

14

AC40 y2 y1

En resumen

Valores Variables

A19 AC19 A b ------------------------------------------------------------------------------ 3

A18 AC18 A b ------------------------------------------------------------------------------ 3

A17 AC17 A b ------------------------------------------------------------------------------ 2

------------------------------------------------------------------------------A16 AC16 A b

2

A15 AC15 A AC25 B( ) b --------------------------------------------------------------- 2

A14 AC14 A AC24 B( ) b --------------------------------------------------------------- 2

A13 AC13 A AC23 B( ) b ---------------------------------------------------------------

A12 AC12 A AC22 B AC32 C( ) b -----------------------------------------------

A11 AC11 A AC21 B AC31 C( ) b -----------------------------------------------

A10 AC10 A AC20 B AC30 C AC40 D( ) b

Axil interno en el hormigón

Nint A19 3

A18 3

A17 2

A16 2

A15 2

A14 2

A13 A12 A11 A10

15

Determinación del momento interno analogamente como el axil .

A y( )3

B y( )2

C y( ) D

y( ) 0 0 y

Mint A y

d

y1

y2

y b y

d b

y1

y2

yA y( )3

B y( )2

C y( ) D y

d

Apartir de los resultados obtenidos en el axil podemos intuir los resultado de las integrales

I5y1

y2

yA y( )3

y

d A

y1

y2

y 0 0 y 3

y

d

Integrando elemento a elemento y sustituyendo la integral definida:

Valores Variables

BC19y2

2y1

2

2

3

BC18y2

5y1

5

5

3

BC17 y23

y13

2

BC163 y2

4y1

4

4

2

BC15 3 0y2

2y1

2

2 0 y2

3y1

3

2

BC14 3 0y2

5y1

5

5 30

y24

y14

4

2

BC13 0 y23

y13

30

y24

y14

2

16

BC12 3 02

y2

2y1

2

2 0 0 y2

3y1

3

30

2y2

4y1

4

4

BC11 0

2y2

3y1

3

30 0

y24

y14

2 30

2y2

5y1

5

5

BC10 03

y2

2y1

2

2 0

20 y2

3y1

3

3 0

2 0

y24

y14

4 0

3y2

5y1

5

5

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I6 B

y1

y2

y y( )2

y

d B

y1

y2

y 0 0 y 2

y

d

y1

y2

y 0 0 y 2

y

d

Integrando elemento a elemento y sustituyendo la integral definida :

Valores Variables

BC25y2

2y1

2

2

2

BC24y2

4y1

4

4

2

BC232 y2

3y1

3

3

BC222 y2

3y1

3

30 0 y2

2y1

2

BC212 y2

3y1

3

30 0

y24

y14

2

BC20 02

y24

y14

4 20 0

y23

y13

3 0

2y2

2y1

2

2

17

B17 BC17A b ------------------------------------------------------------------------------ 2

------------------------------------------------------------------------------B16 BC16A b

2

B15 BC15A BC25B( ) b --------------------------------------------------------------- 2

B14 BC14A BC24B( ) b --------------------------------------------------------------- 2

B13 BC13A BC23B( ) b ---------------------------------------------------------------

B12 BC12A BC22B BC32C( ) b -----------------------------------------------

B11 BC11A BC21B BC31C( ) b -----------------------------------------------

B10 BC10A BC20B BC30C BC40D( ) b

Momento interno en el hormigón

Mint B193

B183

B172

B16 2

B152

B142

B13 B12 B11 B10

18

6.2 Esfuerzos internos en los aceros.

6.2.1 Ley tensión-deformación del Acero activo:

E y( )

y( ) 0 0 y 0

yd

EA: Area del acero activo

Nint A

d A Nint E y( ) A E 0 0 y A

Valores Variables

APA12 E A

APA11 E A y

APA10 A E 0 A E y 0

Axil interno en el acero activ o

Nint APA12 APA11 APA10

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Momento interno en e l acero Activ o

Mint A y

d y A Mint E y( ) y A E 0 0 y y A

Valores Variables

BPA12 E A y

BPA11 E A y2

BPA10 A E 0 y A E y2

0

Momento interno en el acero activo

Mint BPA12 BPA11 BPA10

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6.2.2 Leyes tensión-deformación del Acero Pasiv o:

E y( ) E1

yk

y E2

u yk

u y y( ) 0 0 y

E1: Modulo elasticidad en la primera recta del digrama s-d

E2: Modulo de elasticidad de la segunda recta del diagrama s-d

19

E E1Para 0 y

E E2 u

Nint A

d A Nint E y( ) A E 0 0 y A

Valores Variables

AP12 E A

AP11 E A y

AP10 A E 0 A E y 0

Axil interno en el acero Pasivo

Nint AP12 AP11 AP10

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Momento interno en el Acero Pasivo

Mint A y

d y A Mint E y( ) y A E 0 0 y y A

Valores Variables

BP12 E A y

BP11 E A y2

BP10 A E 0 y A E y2

0

Momento interno en el Acero Pasivo

Mint BPA12 BPA11 BPA10

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

6.2.3 Leyes tensión-deformación del Acero Estructural:

E y( ) E1

yk

y E2

u yk

u y y( ) 0 0 y

E1: Modulo elasticidad en la primera recta del digrama s-d

E2: Modulo de elasticidad de la segunda recta del diagrama s-d

20

E E1Para 0 y

E E2 u

Nint A

d

y1

y2

yE 0 0 y b

d

Nint b E

y1

y2

y 0 0 y

d

Valores Variables

APE12 b E y2 y1

APE11 E b

y22

y12

2

APE10 E b 0 y2 y1 b E 0y2

2y1

2

2

Axil interno en el Acero Estructural

Nint APE12 APE11 APE10

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Momento interno en e l Acero Estructural

Mint A y

d

y1

y2

yE 0 0 y b y

d

Mint b E

y1

y2

y 0 0 y y

d

Valores Variables

BPE12 b Ey2

2y1

2

2

BPE11 E b

y23

y13

3

21

BPE10 E b 0y2

2y1

2

2 b E 0

y23

y13

3

Axil interno en el Acero Estructural

Mint BPE12 BPE11 BPE10

6.3 Ecuaciones de equilibrio en la sección:

Si Next, Mext son los esfuerzos aplicados en el centro de gravedad de la sección resultantes

de un cálculo a nivel estructura:

Next

Concreto

NintAceropasivo

Nint

Aceroactivo

Nint

Aceroes truc

Nint

Donde se toma momento respecto de la fibra superior(y) de la sección.

Mext Next Y

Concreto

MintAceropasivo

Mint

Aceroactivo

Mint

Aceroes truc

Mint

6.4 Resolución del sistema de ecuaciones.

6.4.1 Método Newton-Raphson

El método Newton Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales es una generalización

del caso de una variable, para la cual utilizamos funciones vectoriales ƒ: Ʀn → Ʀm cuando n=m.

Recurriendo a la forma tradicional de introducirlo si se supone que ƒ Є C1 y en un punto xk

de un proceso iterativo tendente a resolver ƒ(x) =0 se aproxima la función mediante el modelo.

Mk(xk), que define el desarrollo en serie de Taylor alrededor de ese punto, truncándolo a partir de

los términos de segundo orden, se tiene que.

Mk xk x( ) J xk xk x

De donde J(xk) es la matriz Jacobiana del sistema en xk.

22

J xk

1 x x1

.

.

.

n x( )

x1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

1 x( )

xn

.

.

.

n x( )

xn

Si se utiliza esa aproximación lineal de la función y se resuelve el sistema de ecuaciones lineales

que define:

x( ) J xk xk x 0

Su solución es:

x xk Jk xk 1 x( )

Determinará un nuevo punto del proceso iterativo.

La relación de recurrencia del método de Newton-Raphson para sistemas de ecuaciones no

lineales es pues:

x k+1( ) xk Jk xk

1 x( )

El paso de Newton es xk+1-xk: una aproximación de x*-xk.

Volviendo a considerar las ideas que se exponen en el caso de una sola variable, en el

método Newton Raphson para sistema de ecuaciones no lineales cada ecuación ƒi: Ʀn → Ʀ , se

reemplaza o aproxima por el hiperplano tangente en xk a la curva que define esa ƒi . La solución

del sistema de ecuaciones lineales de la expresión anterior determina el punto de intersección de

todos los hiperplanos resultantes.

El algoritmo de Newton-Raphson para resolver sistema de ecuaciones no lineales es el que

se describe a continuación. El paso 1 de este algoritmo comporta la resolución de un sistema de

ecuaciones lineales . Ni que decir tiene que todas las consideraciones que hacíamos al hablar

de los métodos para resolver sistemas lineales de ecuaciones referentes a estabilidad numérica,

23

condicionamiento, etc, tienen, si cabe, una mayor trascendencia aquí puesto que de su buen

tratamiento o toma en consideración depende que el procedimiento funcione adecuadamente.

Algoritmo de Newton-Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.

Definir un x0 Є Ʀn ; hacer k = 1 y xk ← x0

Determinar la solución de

Si , para: el problema está resuelto. Si no, hacer , e

ir al paso 1.

6.4.2 Aplicación al método multicapa con leyes no lineales de tensión-deformación:

El sistema de ecuaciones no lineales a resolver es el siguiente:

A19 3

A18 3

A17 2

A16 2

A15 2

A14 2

A13 A12 A11 A10 Next

B193

B183

B172

B16 2

B152

B142

B13 B12 B11 B10 Mext

Siendo la solución:

1 ( ) A19 3

A18 3

A17 2

A16 2

A15 2

A14 2

A13 A12 A11 A10 Next

2 ( ) B193

B183

B172

B16 2

B152

B142

B13 B12 B11 B10 Mext

J ( )

1 ( )

2 ( )

1 ( )

2 ( )

0

0

1

J11 J22 J12 J21

J22

J21

J12

J11

1 ( )

2 ( )

Repetir los pasos hasta encontrar la convergencia .

24

7 Algoritmo computacional

Para el desarrollo de los algoritmos que implementa el método utilizaremos el fortran 90, en

su versión visual fortran.

Para nuestro caso utilizaremos un programa principal y l diferentes subrutinas para el

desarrollo de los pasos necesarios.

7.1 Manual de usuario:

7.1.1 Objeto:

Este programa calcula la respuesta en deformaciones y tensiones de una sección de un elemento

estructural. Dicho sección puede estar sometido a dos tipos de solicitaciones como son las

deformaciones impuestas entre ellas gradiente de temperatura, retracción, pretensado entre

otras y esfuerzos impuestos.

El grado de precisión del programa se puede controlar si más que sub-dividir la sección en más o

menos capas según su usuario lo desee.

En general este programa estudia cualquier sección estructural que este compuesto por

materiales como el hormigón armado, pretensado, estructura metálica y mixtas.

7.1.2 Datos:

Los datos se organizan en dos ficheros uno de entrada de datos y otro de salida.

1- Fichero de entrada: En un principio tiene el nombre de input pero modificando el nombre

en el algoritmo puede tener cualquier nombre.

2- Fichero de salida: En un principio tiene el nombre de output pero modificando el nombre en

el algoritmo puede tener cualquier nombre.

Fichero de entrada:

TIT: Titulo general (máximo 20 caracteres).

NCAPA: Número de capas.

TPA: Tipo de material de la capa a estudiar; 0: hormigón, 1: Acero

GCM: coeficiente de minoración de la capa

TP: Dentro del material tipo de ley tensión deformación; en el acero 1: Acero pasivo, -1:

Acero activo y 0: Acero estructural.

25

F: Resistencia característica de la capa,

FU: Resistencia ultima de la capa, para el hormigón y acero activo no importa el valor ya que

no lo utiliza mientras que para el acero estructural y pasivo al tener las leyes tensión

deformación bilineal si es utilizado por el cual recomendamos un valor entre 1-10% mayor

de la resistencia característica.

EO: En el caso de que la capa a analizar sea hormigón o acero activo dicho valor es el

modulo de elasticidad y para el caso de acero estructurales y pasivo la deformación donde

se produce el cambio a la segunda rama del diagrama tensión deformación.

ECO: En el caso que la capa a analizar sea hormigón o acero activo dicho valor es la

deformación inicial de la capa por ejemplo en el hormigón 0.002 y en el caso acero

estructural y pasivo es la deformación ultima del material.

AR: Área de la capa para acero estructural y hormigón este valor no tiene importancia.

YI: Distancia desde la fibra de referencia hasta fibra inferior de la capa.

Y: Distancia desde la fibra de referencia hasta el centro de la capa.

YII: Distancia desde la fibra de referencia hasta fibra superior de la capa.

BI: Base de la capa.

EI: Deformación impuesta.

WI: Curvatura impuesta.

NEXT: Axil externo.

MEXT: Momento externo.

YE: Distancia desde la fibra de referencia hasta la ubicación del axil externo.

EF: Valor de la deformación para la primera iteración para el Newton-Raphson.

EF: Valor de la curvatura para la primera iteración para el Newton-Raphson.

7.1.3 Formato del archivo de entrada:

TIT NCAPA TPA,GCM,TP,F,FU,EO,ECO,AR,YI,Y,YII,BI,EI,WI (tantas líneas como NCAPA). NEXT, MEXT, YE. EF, WF

26

7.2 Programa principal:

INTEGER NCAPA,TPA,TA,I,NE,NS CHARACTER (20) ::TIT,INPUT,OUTPUT REAL(8):: ECO,EO,EU,GCM,FC,F,YI,Y REAL(8):: YII,BI,EL,ENL,FU,A,C,EI REAL(8):: WI,B,NEXT,MEXT,EY,AR,EF REAL(8):: WF,DWF,DEF,TOL,CP,F11,F22 REAL(8):: ACC19,ACC18,ACC17,ACC16,ACC15 REAL(8):: ACC14,ACC13,ACC12,ACC11,ACC10 REAL(8):: BCC19,BCC18,BCC17,BCC16,BCC15 REAL(8):: BCC14,BCC13,BCC12,BCC11,BCC10 REAL(8):: A19,A18,A17,A16,A15,A14,A13 REAL(8):: A12,A11,A10,J1,J2,J3,J4,B19 REAL(8):: B18,B17,B16,B15,B14,B13,B12 REAL(8):: B11,B10,YE,EY2,EY1,F1,F2,F3,F4 DIMENSION TPA(100),GCM(100),TP(100),F(100) DIMENSION FU(100),EO(100),ECO(100),YI(100) DIMENSION Y(100),YII(100),BI(100),EI(100) DIMENSION WI(100),EL(100),ENL(100),AR(100) DIMENSION EY(100),EY2(100),EY1(100),ACC19(100) DIMENSION ACC18(100),ACC17(100),ACC16(100) DIMENSION ACC15(100),ACC14(100),ACC13(100) DIMENSION ACC12(100),ACC11(100),ACC10(100) DIMENSION BCC19(100),BCC18(100),BCC17(100) DIMENSION BCC16(100),BCC15(100),BCC14(100) DIMENSION BCC13(100),BCC12(100),BCC11(100) DIMENSION BCC10(100),AP12(100),AP11(100)

DIMENSION AP10(100),BP12(100),BP11(100) DIMENSION BP10(100),APE12(100),APE11(100) DIMENSION APE10(100),BPE12(100),BPE11(100) DIMENSION BPE10(100),APA12(100),APA11(100) DIMENSION APA10(100),BPA12(100),BPA11(100) DIMENSION BPA10(100),APP12(100),APP11(100) DIMENSION APP10(100),BPP12(100),BPP11(100) DIMENSION BPP10(100),APEE12(100),APEE11(100) DIMENSION APEE10(100),BPEE12(100),BPEE11(100) DIMENSION BPEE10(100) COMMON/PART1/NCAPA,TPA,TP,TA,I,F1,F2,F3,F4,A,C COMMON/PART2/ECO,EO,EU,GCM,FC,F,YI,Y,YII,EL,ENL COMMON/PART3/EI,WI,B,NEXT,MEXT,EY,BI,AR,YE,FU COMMON/PART4/TIT,INPUT,OUTPUT,EY2,EY1,NE,NS COMMON/PART5/EF,WF,TOL,CP,F11,F22,DWF,DEF,J1,J2,J3,J4 COMMON/PARTE6/A19,A18,A17,A16,A15,A14,A13,A12,A11,A10 COMMON/PARTE7/B19,B18,B17,B16,B15,B14,B13,B12,B11,B10 COMMON/PARTE8/ACC19,ACC18,ACC17,ACC16,ACC15,ACC14,ACC13,ACC12,ACC11,ACC10 COMMON/PARTE9/BCC19,BCC18,BCC17,BCC16,BCC15,BCC14,BCC13,BCC12,BCC11,BCC10 COMMON/PARTE10/APA12,APA11,APA10,APE12,APE11,APE10,AP12,AP11,AP10 COMMON/PARTE11/BPA12,BPA11,BPA10,BPE12,BPE11,BPE10,BP12,BP11,BP10 COMMON/PARTE12/APP12,APP11,APP10,BPP12,BPP11,BPP10 COMMON/PARTE13/APEE12,APEE11,APEE10,BPEE12,BPEE11,BPEE10 !NCAPA: # CAPAS DE LA SECCION

27

!TPA: TIPO DE MATERIAL DE CAPA !TP: SEGUN EL MATERIAL DE LA CAPA !TIT: TITULO !ncapa: # CAPAS DE LA SECCION !eco: DEFORMACION INICIAL DEL HORMIGON DIAGRAMA TENSION-DEFOR. !Eo: MODULO DE DEFORMACION INICIAL !GCM: COEFICIENTE REDUCION DE RESISTENCIA !F: RESISTENCIA CARACTERISTICA DE LA CAPA !yi: DISTANCIA MEDIDA DESDE LA FIBRA DE REFERENCIA HASTA LA PARTE INFERIOR DE LA CAPA !y: CENTROIDE DE LA CAPA MEDIDA DESDE LA CAPA DE REFERNCIA !yii: DISTANCIA MEDIDA DESDE LA FIBRA DE REFERENCIA HASTA LA PARTE SUPERIOR DE LA CAPA !ei: DEFORMACION IMPUESTA DE LA CAPA !wi: CURVATURA IMPUESTA EN LA CAPA !bi: ANCHO(BASE) DE LA CAPA !FU: RESISTENCIA ULTIMA DE LA CAPA !tpa: IPO DE MATERIAL DE CAPA !TP: TIPO DE LEY DEFORMACION !AR: AREA DE LA CAPA !EF: APROXIMACION DE LA RESPUESTA NEWTON RAPSON !WF:APROXIMACION !YE: UBICACION DEL AXIL Y MOMENTO EXTERNO CORRESPECTO A LA CAPA INFERIOR NE=1 NS=3 OPEN(NE,FILE='INPUT') OPEN(NS,FILE='OUTPUT') READ(NE,*)TIT READ(NE,*)NCAPA WRITE(NS,*)TIT WRITE(NS,*)NCAPA DO I=1,NCAPA READ(NE,*)TPA(I),GCM(I),TP(I),F(I),FU(I),EO(I),ECO(I),AR(I),YI(I),Y(I),YII(I),BI(I),EI(I),WI(I) END DO DO I=1,NCAPA IF (TPA(I)<1) THEN CALL HORMIGON ELSE CALL TDACERO END IF END DO READ(NE,*)NEXT,MEXT,YE READ(NE,*)EF,WF MEXT=MEXT+NEXT*YE 5 CONTINUE CALL INICV DO I=1,NCAPA

28

CALL VARIABLE END DO CALL NEWRHA DO I=1,NCAPA EY(I)=(EF-EI(I))+(WF-WI(I))*Y(I) EY2(I)=(EF-EI(I))+(WF-WI(I))*YII(I) EY1(I)=(EF-EI(I))+(WF-WI(I))*YI(I) IF(EO(I)>SQRT(EY(I)**2)) THEN CONTINUE ELSE IF(TPA(I))7,7,10 7 GOTO 25 10 IF(TP(I))15,20,20 15 CONTINUE GOTO 25 20 GOTO 5 25 CONTINUE END IF END DO DO I=1,NCAPA EY(I)=(EF-EI(I))+(WF-WI(I))*Y(I) EY2(I)=(EF-EI(I))+(WF)*YII(I) EY1(I)=(EF-EI(I))+(WF)*YI(I) WRITE(NS,*)I WRITE(NS,*)EY2(I),EY1(I) WRITE(NS,*)A*ABS(EY2(I)**3)+B*EY2(I)**2+C*ABS(EY2(I)),A*ABS(EY1(I)**3)+B*EY1(I)**2+C*ABS(EY1(I)) END DO END

7.3 Subrutinas:

SUBROUTINE HORMIGON ()

!LEY TENSION DEFORMACION HORMIGON LEY CUBICA

IF (TP(I)>0) THEN A=EO(I)/(GCM(I)*ECO(I)**2)-2*F(I)/(GCM(I)*ECO(I)**3) B=3*F(I)/(GCM(I)*ECO(I)**2)-2*EO(I)/(GCM(I)*ECO(I)) C=EO(I)/GCM(I) D=0 ELSE ! LEY TENSION DEFORMACION HORMIGON LEY PARABOLA-RECTANGULO A=0 B=-F(I)/(GCM(I)*ECO(I)**2)

29

C=2*F(I)/(ECO(I)*GCM(I)) D=0 END IF ! ESFUERZO INTERNOS SOBRE EL HORMIGON ! INTEGRAL I F1=YII(I)-YI(I) F2=YII(I)**2-YI(I)**2 F3=YII(I)**3-YI(I)**3 F4=YII(I)**4-YI(I)**4 AC19=F1 AC18=F4*0.25 AC17=F2*1.5 AC16=F3 AC15=-3*EI(I)*F1-1.5*WI(I)*F2 AC14=-0.75*WI(I)*F4-EI(I)*F3 AC13=-3*EI(I)*F2-2*WI(I)*F3 AC12=3*(EI(I)**2)*F1+3*EI(I)*WI(I)*F2+(WI(I)**2)*F3 AC11=0.75*F4*WI(I)**2+1.5*F2*EI(I)**2+2*EI(I)*WI(I)*F3 AC10=-F1*EI(I)**3-0.25*F4*WI(I)**3-1.5*WI(I)*F2*EI(I)**2-EI(I)*F3*WI(I)**2 ! INTEGRAL II AC25=F1 AC24=F3/3 AC23=F2 AC22=-2*EI(I)*F1-WI(I)*F2 AC21=-2*WI(I)*F3/3-EI(I)*F2 AC20=F1*EI(I)**2+F3*(WI(I)**2)/3+WI(I)*EI(I)*F2 ! INTEGRAL III AC32=F1 AC31=0.5*F2 AC30=-EI(I)*F1-0.5*WI(I)*F2 ! INTEGRAL IV AC40=F1 ! AXIAL INTERNO EN EL HORMIGON ACC19(I)=BI(I)*A*AC19 ACC18(I)=BI(I)*A*AC18 ACC17(I)=BI(I)*A*AC17 ACC16(I)=BI(I)*A*AC16 ACC15(I)=BI(I)*A*AC15+BI(I)*B*AC25 ACC14(I)=BI(I)*A*AC14+BI(I)*B*AC24 ACC13(I)=BI(I)*A*AC13+BI(I)*B*AC23 ACC12(I)=BI(I)*A*AC12+BI(I)*B*AC22+BI(I)*C*AC32 ACC11(I)=BI(I)*A*AC11+BI(I)*B*AC21+BI(I)*C*AC31 ACC10(I)=BI(I)*A*AC10+BI(I)*B*AC20+BI(I)*C*AC30+BI(I)*D*AC40 ! MOMENTO EN EL HORMIGON

30

! INTEGRAL V F5=YII(I)**5-YI(I)**5 BC19=F2*0.5 BC18=0.2*F5 BC17=F3 !revisar BC16=F4*0.75 BC15=-1.5*EI(I)*F2-WI(I)*F3 BC14=-0.6*WI(I)*F5-0.75*EI(I)*F4 BC13=-EI(I)*F3-1.5*WI(I)*F4 BC12=1.5*F2*EI(I)**2+EI(I)*WI(I)*F3+0.75*F4*WI(I)**2 !revisar BC11=0.6*F5*WI(I)**2+F3*EI(I)**2+1.5*EI(I)*WI(I)*F4 BC10=-0.75*EI(I)*F4*WI(I)**2-EI(I)**2*WI(2)*F3-0.5*F2*EI(I)**3-0.2*F5*WI(I)**3 !REVISAR ! INTEGRAL VI BC25=0.5*F2 BC24=0.25*F4 BC23=1.5*F3 BC22=-EI(I)*F2-2*WI(I)*F3/3 BC21=-0.5*WI(I)*F4-2*EI(I)*F3/3 BC20=0.5*F2*EI(I)**2+0.25*F4*WI(I)**2+2*EI(I)*WI(I)*F3/3 ! INTEGRAL VII BC32=0.5*F2 BC31=F3/3 BC30=-0.5*EI(I)*F2-WI(I)*F3/3 ! INTEGRAL VIII BC40=F2/2 ! MOMENTOS INTERNOS BCC19(I)=BI(I)*A*BC19 BCC18(I)=BI(I)*A*BC18 BCC17(I)=BI(I)*A*BC17 BCC16(I)=BI(I)*A*BC16 BCC15(I)=BI(I)*A*BC15+BI(I)*B*BC25 BCC14(I)=BI(I)*A*BC14+BI(I)*B*BC24 BCC13(I)=BI(I)*A*BC13+BI(I)*B*BC23 BCC12(I)=BI(I)*A*BC12+BI(I)*B*BC22+BI(I)*C*BC32 BCC11(I)=BI(I)*A*BC11+BI(I)*B*BC21+BI(I)*C*BC31 BCC10(I)=BI(I)*A*BC10+BI(I)*B*BC20+BI(I)*C*BC30+BI(I)*D*BC40 END

SUBROUTINE TDACERO()

!1:ACERO PASIVO; -1:ACERO ACTIVO; 0:ACERO ESTRUCTURAL IF(TP(I))5,10,15 5 continue ! LEY TENSION DEFORMACION DEL ACERO ACTIVO ! Axil interno APA12(I)=AR(I)*EO(I) APA11(I)=AR(I)*Y(I)*EO(I) APA10(I)=-AR(I)*EO(I)*EI(I)

31

! Momento interno BPA12(I)=AR(I)*EO(I)*Y(I) BPA11(I)=AR(I)*EO(I)*Y(I)**2 BPA10(I)=-AR(I)*EI(I)*Y(I)*EO(I) GOTO 20 ! LEY TENSION DEFORMACION DEL ACERO ESTRUCTURAL ! Axil interno 10 EL(I)=F(I)/EO(I) ENL(I)=(FU(I)-F(I))/(ECO(I)-EO(I)) APEE12(I)=BI(I)*YII(I)-BI(I)*YI(I) APEE11(I)=BI(I)*YII(I)*YII(I)*0.5-BI(I)*YI(I)*YI(I)*0.5 APEE10(I)=-BI(I)*EI(I)*(YII(I)-YI(I))-BI(I)*WI(I)*(YII(I)*YII(I)-YI(I)*YI(I))*0.5 !revisar ! Momento interno BPEE12(I)=BI(I)*(YII(I)*YII(I)-YI(I)*YI(I))*0.5 BPEE11(I)=BI(I)*(YII(I)**3-YI(I)**3)/3 BPEE10(I)=-BI(I)*EI(I)*(YII(I)**2-YI(I)**2)*0.5-BI(I)*WI(I)*(YII(I)**3-YI(I)**3)/3 GOTO 20 ! LEY TENSION DEFORMACION DEL ACERO PASIVO ! Axil interno 15 EL(I)=F(I)/(EO(I)*GCM(I)) ENL(I)=(FU(I)-F(I))/((ECO(I)-EO(I))*GCM(I)) APP12(I)=AR(I) APP11(I)=AR(I)*Y(I) APP10(I)=-AR(I)*EI(I) ! Momento interno BPP12(I)=AR(I)*Y(I) BPP11(I)=AR(I)*Y(I)*Y(I) BPP10(I)=-AR(I)*EI(I)*Y(I) GOTO 20 20 CONTINUE END

SUBROUTINE VARIABLE() IF(EO(I)>SQRT(EY(I)**2)) THEN APE12(I)=APEE12(I)*EL(I) APE11(I)=APEE11(I)*EL(I) APE10(I)=APEE10(I)*EL(I) AP12(I)=APP12(I)*EL(I) AP11(I)=APP11(I)*EL(I) AP10(I)=APP10(I)*EL(I) BPE12(I)=BPEE12(I)*EL(I) BPE11(I)=BPEE11(I)*EL(I) BPE10(I)=BPEE10(I)*EL(I) BP12(I)=BPP12(I)*EL(I)

32

BP11(I)=BPP11(I)*EL(I) BP10(I)=BPP10(I)*EL(I) ELSE IF(TPA(I))7,7,10 7 GOTO 30 10 IF(TP(I))15,20,25 15 CONTINUE GOTO 30 20 CONTINUE APE12(I)=APEE12(I)*ENL(I) APE11(I)=APEE11(I)*ENL(I) APE10(I)=APEE10(I)*ENL(I)+F(I)*BI(I)*(YII(I)-YI(I)) BPE12(I)=BPEE12(I)*ENL(I) BPE11(I)=BPEE11(I)*ENL(I) BPE10(I)=BPEE10(I)*ENL(I)+F(I)*BI(I)*(YII(I)**2-YI(I)**2)*0.5 EO(I)=ECO(I) GOTO 30 25 CONTINUE AP12(I)=APP12(I)*ENL(I) AP11(I)=APP11(I)*ENL(I) AP10(I)=APP10(I)*ENL(I)+AR(I)*F(I) BP12(I)=BPP12(I)*ENL(I) BP11(I)=BPP11(I)*ENL(I) BP10(I)=BPP10(I)*ENL(I)+AR(I)*F(I)*Y(I) EO(I)=ECO(I) 30 CONTINUE END IF A19=ACC19(I)+A19 A18=ACC18(I)+A18 A17=ACC17(I)+A17 A16=ACC16(I)+A16 A15=ACC15(I)+A15 A14=ACC14(I)+A14 A13=ACC13(I)+A13 A12=ACC12(I)+APA12(I)+APE12(I)+ AP12(I)+A12 A11=ACC11(I)+APA11(I)+APE11(I)+ AP11(I)+A11 A10=ACC10(I)+APA10(I)+APE10(I)+ AP10(I)+A10 B19=BCC19(I)+B19 B18=BCC18(I)+B18 B17=BCC17(I)+B17 B16=BCC16(I)+B16 B15=BCC15(I)+B15 B14=BCC14(I)+B14 B13=BCC13(I)+B13 B12=BCC12(I)+BPA12(I)+BPE12(I)+BP12(I)+B12 B11=BCC11(I)+BPA11(I)+BPE11(I)+BP11(I)+B11 B10=BCC10(I)+BPA10(I)+BPE10(I)+BP10(I)+B10 END

33

SUBROUTINE INICV()

A19=0 A18=0 A17=0 A16=0 A15=0 A14=0 A13=0 A12=0 A11=0 A10=0 B19=0 B18=0 B17=0 B16=0 B15=0 B14=0 B13=0 B12=0 B11=0 B10=0 END SUBROUTINE NEWRHA() TOL=0.01 CALL FX CP=sqrt(F11**2+F22**2) do while (TOL<CP) CALL J CALL SOL EF=EF+DEF WF=WF+DWF CALL FX CP=sqrt(F11**2+F22**2) END DO WRITE(NS,*)EF,WF END

34

SUBROUTINE FX()

F11=A19*EF**3+A18*WF**3+A17*EF*EF*WF+A16*EF*WF*WF+A15*EF**2+A14*WF**2+A13*EF*WF+A12*EF+A11*WF+A10-NEXT F22=B19*EF**3+B18*WF**3+B17*EF*EF*WF+B16*EF*WF*WF+B15*EF**2+B14*WF**2+B13*EF*WF+B12*EF+B11*WF+B10-MEXT END SUBROUTINE SOL() DEF=-(J4*F11-J2*F22)/(J1*J4-J2*J3) DWF=-(-J3*F11+J1*F22)/(J1*J4-J2*J3) END

35

8 Ejemplo

Sección de hormigón calentada hasta llegar a la rotura.

Dimensiones:

Propiedades:

Condiciones iniciales:

En la capa 3 y 4 con un valor de y

Resultado: donde (-) es en la parte inferior de la capa 4

y (+) en la parte superior de la capa 1.

0 σ (Mpa)

0 0 0 0

0.0001 -0.00002014 0.00001967 0.585

0.0003 -0.000047 4.2656E-05 1.259

0.0005 -0.00006 0.0000562 1.653

0.0007 -0.000545 0.000749 16.684

0.0009 -0.000611 0.00088 18.6471

0.0011 -0.000658 0.00103 20.3474

0.0013 -0.000697 0.001179 21.7852

0.0015 -0.0007275 0.001332 22.9575

0.0017 -0.00075 0.00149 23.8624

0.0019 -0.000764 0.001654 24.5004

0.0021 -0.0007726 0.001823 24.876

0.0023 -0.0007736 0.001998 24.99999

0.0025 -0.0007684 0.00217 24.8883

0.0027 -0.0007576 0.0023631 24.5653

0.0029 -0.000742 0.0025531 24.06405

0.0031 -0.0007232 0.002747 23.4261

0.0033 -0.000701 0.002945 22.702

0.0035 -0.0006795 0.0031472 21.9521

0.0037 -0.000658 0.00335 21.2401

0.00385 -0.0006438 0.003503 20.7721

36

0

5

10

15

20

25

30

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004

(M

pa)

-

37

9 Futuro del método

Implementar los efectos de la fluencia y tener en cuenta la fisuración así como también el

proceso constructivos. A partir del estudio seccional y estructural en conjunto obtener el estado

tenso-deformacional a nivel estructural.

Para esto es necesario hacer pruebas de laboratorio para poder a punto el modelo de

fisuración producto del fenómeno de tensión-stiffening.

En la creación de los algoritmos de fisuración en el hormigón se puede considerar sub-

división de capas de este, tomando en consideración que las capas que estén en tracción ser

eliminada para tener únicamente las capas del hormigón comprimido, siendo esto una sugerencia

para localizar las capas a compresión.

38

10 Conclusiones

Atraves del análisis no lineal de las secciones podemos superar tensiones a

compresión en el hormigón superior al 40-45% de su resistencia característica.

Estudio del estado de tensión-deformación de los elementos sometidos a temperatura

extrema como el caso de un incendio.

Análisis y estudiar los fenómenos de fluencia en rangos no lineales, así como otros

efectos no lineales a nivel seccional, tales como la fisuración y rigidización.

Estudio de la transición de rango elástico al rango plástico en estructuras, lo que nos

permite entender mejor el fenómeno.

Se recomienda para tener resultados más exacto hacer una discretización en capas

más finas. Para el método Newton-Raphson se recomienda que los valores iniciales de

deformación y curvatura sean lo más aproximado a la solución para así se pueda

determinar una convergencia más rápida.

Para el caso de fisuración en el hormigón se recomienda discretizarlo en N capas, tal

que las capas que nos den unas tensiones negativas sean eliminadas del análisis para

así tener en cuenta los efectos de la fisuración del material.

39

11 Bibliografía

IGLESIAS PEREZ, C (1993). “Formulation of cracking using the multilayer model (MLM)”.

Proceedings of the 5th international RILEM Symposium on Creep and Shrinkage of

Concrete. Barcelona, pág. (561-566).

IGLESIAS PEREZ, C (1995). “Redistribución de tensiones en secciones transversales

ejecutadas por fases sucesivas”. Hormigón y Acero N 197 pág. (57-76).

IGLESIAS PEREZ, C Y MANTEROLA ARMISEN, J (1996 ). “Estudio de efectos diferidos en

secciones fisuradas mediante el método multicapa”. XV Asamblea Técnica Nacional de la

Asociación Técnica Española del Pretensado. Logroño, pág. (61-64).

IGLESIAS PEREZ, C (1997). “Estudio de efectos diferidos en secciones fisuradas mediante el

método multicapa”. Hormigón y Acero N 206 pág. (27-62).

IGLESIAS PEREZ, C (2006). “Long Term behavior of precast segmental bridges”. Journal of

Bridge Engineering. ASCE (American Society of Engineers), May/June.

Instrucción del hormigón estructural (EHE-08). Ministerio de la Presidencia.

DE LA FUENTE O’CONNOR, J (1998). “Técnicas de cálculo para sistemas de ecuaciones,

programación lineal y programación entera”. Editorial Reverte.

BRAVO BOLIVAR J, BOTERO ARANGO A y BOTERO ARBELAEZ M (2005). “El método de

Newton-Raphson- La alternativa del ingeniero para resolver sistemas de ecuaciones no

lineales”. Scientia et Technica Año XI, No 27, Abril 2005.

ADAMS J, BRAINERD W, MARTIN J, SMITH B Y WAGENER J (1992). “Fortran 90 Handbook

(complete ANSI/ISO reference)”. McGraw-Hill Book Company.

NILSON, A (1999). “Diseño de estructuras de concreto”. McGraw-Hill Book Company.

Instrucción de Acero Estructural (EAE-2010). Ministerio de la Presidencia.