RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

UTILIZANDO

EL MÉTODO DE GAUSS

EJEMPLO

RESUELVE EL PROBLEMA POR EL MÉTODO DE GAUSS:

En una reunión hay 60 personas entre altas, medianas y bajas. Se sabe que las bajas y medianas duplican el número de altas. También se sabe que altas y el doble de las medianas son el doble de las bajas.

¿Cuál es el número de personas altas, medianas y bajas?

1.PLANTAMIENTO

X=Nº personas altas.Y=Nº personas medianas.Z=Nº personas bajas.

x+y+z = 60

y + z = 2x

x + 2y = 2z

2.SISTEMA EN FORMA STANDARD

Hemos de poner el sistema en forma standard:incognitas en la parte izquierda , números a la derecha:

x + y + z = 60

- 2x + y + z = 0

x + 2y – 2z = 0

3.APLICAR EL MÉTODO DE GAUSS

Consiste en transformar el sistema mediante operaciones elementales en las ecuaciones, hasta obtener un sistema sencillo de resolver del tipo, en el cual se han anulado algunas incognitas:

a1x + b

1y + c

1z =d

1

b2y + c

2z = d

2

c3z = d

3

3.APLICAR EL MÉTODO DE GAUSS

1º Eliminamos la x de la 2ª y 3ª ecuación:

(1ª) x + y + z = 60 (1ª) x + y + z = 60

(2ª)- 2x + y + z = 0 (2ª) + 2·(1ª)-----> (2ª) 0 +3y+ 3z= 120

(3ª)x + 2y – 2z = 0 (3ª) – (1ª) ------> (3ª) 0 + y – 3z = - 60

3.APLICAR EL MÉTODO DE GAUSS

2º. Eliminamos otra incognita en la 3ª ecuación: (en este caso viene bien eliminar z)

(1ª) x + y + z = 60 x + y + z = 60

(2ª) 0 +3y+ 3z = 120 0 +3y+ 3z = 120

(3ª) 0 + y – 3z = - 60 (3ª) + (2ª) ------> 0 + 4y + 0 = 60

3.APLICAR EL MÉTODO DE GAUSS

Este sistema se resuelve fácilmente, despejando y en la 3ª ecuación, luego z en la 2ª y por último x en la 1ª.

x + y + z = 60 ------------> x = 60 – 15 – 25 = 20

0 +3y+ 3z = 120 ------------> 3·15 + 3z = 120 ----> z=75/3 = 25

0 + 4y + 0 = 60 ------------> y = 60/4 = 15

4. RESUMEN

Por tanto, mediante el método de Gauss se transforma el sistema inicial, en otro cuya

resolución es muy sencilla.

5. EJERCICIO

Tres personas Luis, Beatriz y Carlos le van a hacer un regalo a Sofía. El regalo les cuesta 86 €. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de las siguiente manera: Luis paga el triple de lo que pagan Beatriz y Carlos juntos, y por cada 2 € que paga Beatriz, Carlos paga 3 €. Se pide:

a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada persona.

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss.