Método de los factores cuadráticos
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28/02/2012
Mtodo de los factores cuadrticosEste mtodo slo es aplicable para resolver ecuaciones algebraicas. El mtodo de los factores cuadrticos o mtodo de Lin facilita la determinacin de las races complejas de una ecuacin algebraica, ya que en la aplicacin del mtodo, una ecuacin de grado n se factoriza en un polinomio cuadrtico por un polinomio de grado n-2. Con el polinomio as factorizado se obtienen las races por parejas del factor cuadrtico y se aplica nuevamente el mtodo tantas veces como se requiera; de lo anterior se deduce que el mtodo tambin es til para obtener races reales.A partir de una ecuacin algebraica P(x)=0, donde P(x) tiene la forma
P ( x) = a0 x n + a1 x n 1 + a2 x n 2 + ... + an 1 x + anse obtiene un factor cuadrtico de la forma
(1)
x 2 + px + qCon lo cual la ecuacin (1) se expresa como
P ( x) = ( x 2 + px + q )(b0 x n 2 + b1 x n 3 + ... + bn 3 x + bn 2 ) + Rx + Sdonde Rx + S representa los residuos.
(2)
Para determinar los coeficientes bi; i =0,1,2,,n-2, del polinomio residuo, se efecta la multiplicacin de la ecuacin (2), esto es
P( x) = b0 x n + pb0 x n1 + qb0 x n 2 + b1 x n1 + pb1 x n 2 + qb1 x n3 + b2 x n 2 ++ pb2 x n3 + qb2 x n 4 + ... + bn 3 x 3 + pbn 3 x 2 + qbn 3 x + bn 2 x 2 + + pbn 2 x + qbn 2 + Rx + SSe igualan los coeficientes de las mismas potencias en las ecuaciones (1) y (2) y se despejan los coeficientes bi:
a0 = b0 a1 = b1 + pb0 . . . an1 = R + pbn 2 + qbn3 an = S + qbn 2
b0 = a0 b1 = a1 pb0 . . . R = an1 pbn 2 qbn3 S = an qbn 2
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En general, los coeficientes del polinomio reducido estn dados por:
bk = ak pbk 1 qbk 2 k = 0,1,2,..., n 2 b1 = b 2 = 0(3)
Ahora bien, en la ecuacin (2), para que x2 +px + q sea un factor del polinomio P(x) se requiere que R y S sean iguales a cero; por lo tanto:
R = 0 = an1 pbn 2 qbn3 S = 0 = an qbn 2Se despejan p y q de las ecuaciones anteriores
(5)
y los residuos por:
R = an1 pbn 2 qbn3 S = an qbn 2
p=(4)
an1 qbn 3 bn 2 an bn 2
(6)
q=
Los coeficientes bi, i=0,1,2,,n-2, del polinomio reducido se pueden obtener de la ecuacin (3), siempre y cuando se conozcan los valores de p y q. A partir de valores iniciales para p y q y mediante un proceso iterativo, se determinan estos valores con la precisin que se requiera. Para ello de definen los incrementos p y q:
donde p y q son las nuevas aproximaciones de p y q. Como estos valores estn dados por las ecuaciones (6), se tiene que
p* = q* =
an 1 qbn3 bn 2 an bn 2
Se sustituyen los valores anteriores en la ecuacin (7)
p = p * p
q = q * q
(7)
p = q =
an 1 qbn 3 p bn 2
an q bn 2
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Se simplifica:
p =
an 1 pbn 2 qbn3 bn 2
Las siguientes ecuaciones definen el mtodo de Lin.
bk = ak pbk 1 qbk 2 k = 0,1,2,..., n 2 b1 = b2 = 0 p= q=
R = an1 pbn 2 qbn3 S = an qbn 2p = q = R bn 2 S bn 2
Como los numeradores de estas ecuaciones corresponden a las expresiones (4), entonces:
a qbn 2 q = n bn 2
an 1 qbn 3 bn 2 an bn 2
p = q =
R bn 2 S bn 2
El mtodo converge cuando R, S, p y q tienden a cero, y para cualquiera de ellos se puede fijar la tolerancia en el error.
Ejemplo 12Obtener una aproximacin a las races complejas de la siguiente ecuacin algebraica, con dos cifras decimales exactas, aplicando el mtodo de Lin, con una tolerancia de 0.01 en los valores de p y q.x 4 x3 + 6 x 2 3x + 4 = 0
Ejercicio 1-7Encuentre los factores cuadrticos de la ecuacin polinomial de grado cuatrox 4 8 x 3 + 39 x 2 62 x + 50 = 0
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