MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS. Preproceso y Postproceso...
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Pre y Postproceso Felipe Gabald´ on Introducci´ on Generaci´ on de mallas Estimaci´ on de error Remallaje adaptativo h Suavizado de tensiones Referencias GMC M ´ ETODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS. Preproceso y Postproceso de Resultados Felipe Gabald´on Castillo Madrid, 18 de Enero de 2007 Pre y Postproceso Felipe Gabald´ on Introducci´ on Generaci´ on de mallas Estimaci´ on de error Remallaje adaptativo h Suavizado de tensiones Referencias GMC ´ Indice 1 Introducci´on 2 Generaci´on de mallas 3 Estimaci´on de error 4 Remallaje adaptativo h 5 Suavizado de tensiones 6 Referencias
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Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldon
Introduccion
Generacion de
mallas
Estimacion de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
GM
C
METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS.
Preproceso y Postproceso de Resultados
Felipe Gabaldon Castillo
Madrid, 18 de Enero de 2007
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldon
Introduccion
Generacion de
mallas
Estimacion de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
GM
C Indice
1 Introduccion
2 Generacion de mallas
3 Estimacion de error
4 Remallaje adaptativo h
5 Suavizado de tensiones
6 Referencias
Pre y
Postproceso
Felipe
Gabaldon
Introduccion
Generacion de
mallas
Estimacion de
error
Remallaje
adaptativo h
Suavizado de
tensiones
Referencias
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C Introduccion
En la simulacion computacional de un problema medianteelementos finitos, todos los pasos referentes a la definiciondel modelo (previos a la solucion de las ecuacionesalgebraico-diferenciales) constituyen el preproceso.
Dentro del preproceso, la generacion de la malla es unaparte clave ya que para geometrıas complejas requiere untiempo importante y no se trata de una operacion trivial.
Por otra parte la malla debe estar correctamente disenadaya que la calidad de los resultados depende de la calidadde aquella.
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C Tipos de malla
Malla conforme/no conforme. En una malla conforme loselementos adyacentes comparten nodos o caras.
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C Tipos de malla
Malla estructurada/no estructurada. En una mallaestructurada cada nodo del interior es compartido por elmismo numero de elementos.
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C Propiedades de los elementos
Propiedades de tipo geometrico:
La variacion de tamano entre elementos adyacentes debeser progresiva.
La densidad de elementos en algunas regiones de la malladebe ser mas alta (gradientes elevados de la solucion).
En las mallas de elementos triangulares se deben evitar losangulos obtusos.
En general, los elementos deben ser suficientementeregulares y satisfacer ciertas propiedades relativas a suforma (distorsion, esbeltez, etc).
Propiedades de tipo fısico:
Puede haber aspectos fısicos del problema que condicionenla geometrıa de los elementos: anisotropıa, formas de loselementos impuestas, etc.
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C Algoritmos de generacion de mallas
1 Manual o semi-automatico.
2 Metodos basados en la transformacion de un dominio congeometrıa simple.
3 Metodos basados en la solucion de un sistema deecuaciones en derivadas parciales.
4 Metodos basados en la deformacion y modificacion localde una malla sencilla.
5 Metodos basados en la composicion de mallados desubconjuntos del dominio a mallar, obtenidos por metodosdel tipo 2 o del tipo 3.
6 Metodos automaticos que obtienen la malla final, elementopor elemento, a partir de la definicion del contorno:
Metodos de avance frontalAlgoritmos basados en la construccion de Voronoi-Delauny
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C Metodos de avance frontal
Desarrollado originalmente por Cavendish [1] y Lo [2] paraelementos triangulares, y generalizado posteriormente porPeraire et al. [3] para elementos tetraedricos.
La extension para elementos cuadrilateros o hexaedricosno es facil. Existen trabajos para cuadrilateros (Zhu yZienkiewicz [1] y Rank et al. [2]), pero no para hexaedros.
El dato de partida es una discretizacion del contorno(segmentos en 2D y triangulos en 3D).
El procedimiento es iterativo: se parte de un frente al quese le anaden elementos volviendo a actualizar el frente.
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C Metodos de avance frontal. Ejemplo
Patrones tipo para la redefinicion del frente
Ejemplo de propagacion del frente
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C Triangulacion de Voronoi-Delauny
Una triangulacion de Delauny verifica que lascircunferencias (esferas) circunscritas a cada triangulo(tetraedro) no contienen vertices de otros elementos.
T T TTT TT t TT tv T t t e t vt w t ee v w e Ve ee e
Uniendo los centros de las circunferencias (esferas)circunscritas a todos los triangulos (tetraedros) quecomparten un vertice se obtienen los polıgonos (poliedros)de Voronoi.
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C Triangulacion de Voronoi-Delauny. Ejemplo
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C Introduccion
El metodo de los elementos finitos proporciona unasolucion aproximada del problema de contorno analizado.En consecuencia, dicha solucion esta afectada por diversasfuentes de error.
Tipos de error en la solucion de elementos finitos:1 Error de discretizacion.2 Error de aproximacion de la geometrıa.3 Error en el calculo de las integrales del elemento.4 Errores en la solucion del sistema de ecuaciones.5 Errores asociados a la ecuacion constitutiva.
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C Definicion del error
El error es la diferencia entre la solucion exacta y lasolucion aproximada
Esta definicion puede expresarse mediante:
Eu(x) = u(x) − uh(x) (1)
Eε(x) = ε(x) − εh(x) (2)
Eσ(x) = σ(x) − σh(x) (3)
La determinacion del error local mediante (1), (2) o (3) noes conveniente en general.
Es conveniente introducir normas del error que representenuna cantidad escalar integral del mismo:
E = ||E|| (4)
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C Definicion del error
Norma energetica del error:
||Eε|| =
(∫
Ω
Eε · CEεdΩ
) 12
, ||Eσ|| =
(∫
Ω
Eσ · C−1EσdΩ
) 12
(5)
Norma L2 del error:
||Eu|| =
(∫
Ω
Eu · EudΩ
)1/2
(6)
Localizando la expresion (4) sobre un elemento se obtieneel error local E e :
E e = ||Ee ||, ||Ee || =
(∫
Ωe
)1/2
(7)
Con estas normas, la relacion entre el error global y loserrores locales viene dada por un sumatorio.
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C Estimadores de error para analisis lineal
1 Extrapolacion de Richardson (Zienkiewicz y Morgan,1983) [3]
2 Estimadores residuales (Babuska y Rheinboldt, 1978) [1]
3 Estimadores basados en problemas locales de Neumann(Bank y Weiser, 1985) [2]
4 Estimadores basados en problemas locales de Dirichlet(Babuska y Rheinboldt, 1978) [3]
5 Estimadores basados en tecnicas de suavizado(Zienkiewicz y Zhu, 1987) [1]
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C Estimador Z2
Parte de la idea de que el campo de tensiones alisado σ∗
es una aproximacion mejor que la solucion obtenida con elMEF (con proyeccion discontinua en los nodos).
El estimador de error en cada punto se define como:
Eσ = σ∗ − σ (8)
Existen diversos procedimientos para obtener el campo detensiones alisado.
Se demuestra que la tasa de convergencia con esteestimador de error es ||Eσ|| = O(h
m), siendo m el grado
de las funciones de forma del campo de desplazamientos, yh el tamano medio de los elementos.
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C Estimador Z2
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C Solucion“aceptable”
Generalmente se dice que la solucion es“aceptable” si sesatisfacen las dos siguientes condiciones:
1 Condicion de error global. La norma energetica del errorglobal debe ser menor que un tanto por ciento de laenergıa de deformacion total:
||Eσ|| ≤ η||U||, ||U|| ≈(∫
Ω
σ∗ · C−1σ∗dΩ
)1/2
(9)
2 Condicion de malla optima. La distribucion de loselementos en la malla ha de satisfacer un“criterio de mallaoptima”:
||Eeσ|| = ||Ee
σ||r (10)
siendo ||Eeσ||r el valor requerido de la norma de error del
elemento e, y que esta definido de acuerdo con el criteriode malla optima elegido.
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C Condicion de error global
La desigualdad (9) permite definir un parametro de errorglobal ξg como:
ξg =||Eσ||η||U|| (11)
ξg = 1 indica que se verifica la condicion de error global.ξg > 1 y ξg < 1 indican que el tamano de los elementosdebe refinarse o desrefinarse, respectivamente.
El nuevo tamano del elemento he sera:
he =he
ξ1/mg
(12)
Como el valor de ξg es el mismo para toda la malla, todoslos elementos modificarıan su tamano en igual proporcion.
En consecuencia es necesario introducir un criterio de errorlocal que permita modificar el tamano de los elementos demanera selectiva en diversas partes de la malla.
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C Condicion de malla optima
De la expresion (10) se puede definir un parametro deerror local como:
ξe
=||Ee
σ||||Ee
σ||r(13)
ξe
= 1 indica que el tamano de elemento es optimo,ξe
> 1 y ξe
< 1 indican que el tamano del elemento debedisminuirse o agrandarse, respectivamente.
Se puede definir unico parametro de refinamiento del
elemento que englobe los dos anteriores:
ξe = ξgξe
=||Eσ||||Ee
σ||η||U||||Ee
σ||r(14)
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C Estrategia de refinamiento de la malla
De acuerdo con los conceptos anteriores, se puede disenaruna estrategia de refinamiento con los siguientes objetivos:
1 Obtener una distribucion optima de tamanos de elemento,que satisfaga (10).
2 Conseguir que el error global satisfaga (11)
Con el primer criterio, se hace la modificacion del tamano:
he
ξ= he(ξ
e)−1/q (15)
y la segunda modificacion es:
he
= he
ξξ−1/mg (16)
En todo lo anterior, la definicion del error requerido encada elemento es clave. Esta definicion puede basarse endiferentes criterios de malla optima.
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C Criterios de malla optima
1 Equidistribucion del error globalEste criterio de malla optima supone que la distribucion deelementos en una malla es optima si el error global sereparte por igual en todos los elementos:
||Eeσ||r =
||Eσ||√n
(17)
2 Equidistribucion del error especıficoUna alternativa al criterio anterior es suponer que unamalla es optima si el error por unidad de area (o volumen)es el mismo en toda la malla:
||Eeσ||√Ωe
=||Eσ||√
Ω(18)
Comparando (10) y (18) se obtiene que el error elementalrequerido es:
||Eeσ||r = ||Eσ||
(Ωe
Ω
)1/2
(19)
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C Introduccion
En la practica tiene interes obtener el valor de las tensionesen los nodos: dibujo de contornos, estimacion de error, etc.
Por ejemplo, para el nodo i del elemento e:
σi = CB(ξi )de (20)
El inconveniente de la expresion anterior es que en laformulacion estandar del MEF los requisitos decontinuidad se exigen al campo de desplazamientos y no alas tensiones.
Para obtener un solo valor de las tensiones en cada nodoes necesario alisar las tensiones nodales.
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C Extrapolacion y alisado global
Con este procedimiento se extrapolan a los nodos losvalores de las tensiones en todos los puntos de Gauss de lamalla.
σ∗ =
n∑
i=1
σei Ni = Nσe
A (21)
siendo:
Ni = Ni1nσy σe
A =
σe1
σe2...
σen
(22)
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C Extrapolacion y alisado global
El error entre la solucion alisada y la global en cada puntoes:
e = σ∗ − σ = NσeA − CBd
e (23)
El problema se transforma ahora en uno de mınimoscuadrados, en el que se minimiza el error medio dado porla expresion integral:
F =
∫
Ωe
(σ∗ − σ) · (σ∗ − σ)dΩ (24)
resultando:
∂F
∂σeA
= 2
∫
Ωe
NT · (σ∗ − σ)dΩ = 0 (25)
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C Extrapolacion y alisado global
En la ecuacion (25), llamaremos:
Me =
∫
Ωe
NTNdΩ; r
e =
∫
Ωe
NTσdΩ (26)
Las matriz Me y el vector re se ensamblan en la formaestandar:
Mdef=
nelm
Ae=1
Me , r
def=
nelm
Ae=1
re (27)
obteniendose las tensiones nodales alisadas:
σA = M−1
r (28)
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C Extrapolacion y alisado local
El procedimiento explicado en el apartado anterior seaplica a cada elemento por separado:
σeA = M
e−1re (29)
Las tensiones nodales obtenidas son discontinuas. El valorfinal de cada nodo es el valor medio de las tensiones decada uno de los elementos que comparten el nodo.Un metodo mas directo es la extrapolacion de lastensiones en los puntos de Gauss a los nodos del elementomediante las funciones de forma modificadas para quevalgan uno o cero en los puntos de Gauss:
n∑
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C Bibliografıa
Cavendish, J.C.Automatic triangulation of arbitrary planar domains for thefinite element method.International Journal for Numerical Methods in
Engineering. Vol 8. pp 679–696, 1974.
Lo, S.H.A new mesh generation scheme for arbitrary planardomains.International Journal for Numerical Methods in
Engineering. Vol 21. pp 1403–1426, 1985.
Peraire, J., Vahdati, M., Morgan, K. and Zienkiewicz, O.C.Adaptive remeshing for compressible flow computations.Journal of Computational Physics. Vol 72. pp 449–466.
1987.
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Referencias
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C Bibliografıa (cont.)
Zhu, J.Z., Zienkiewicz O.C., Hinton. E. and Wu, J.A new approach to the development of automaticquadrilateral mesh generation.International Journal for Numerical Methods in
Engineering. Vol 32. pp 849–866, 1991.
Rank, E., Schweingruber, M. and Sommer, M.Adaptive mesh generation.Communications in Applied Numerical Methods. Vol 9. pp
121–129. 1993.
Zienkiewicz, O. y Morgan, K.Finite elements and approximation.John Wiley and Sons, 1983.
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Referencias
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C Bibliografıa (cont.)
Babuska, I. y Rheinboldt, W.Error estimates for adaptive finite element computations.SIAM Journal of Numerical Analysis,tomo 15:pags. 736–754, 1978a.
Bank, R. y Weiser, A.Some a posteriori error estimators for elliptic partialdifferential equations.Mathematics of Computation, tomo 44:pags. 283–301,1985.
Babuska, I. y Rheinboldt, W.A posteriori error estimates for the finite element method.International Journal for Numerical Methods in
Engineering , tomo 12:pags. 1597–1613, 1978b.
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Referencias
GM
C Bibliografıa (cont.)
Zienkiewicz, O. y Zhu, J.A simple error estimator and adaptive procedure forpractical engineering analysis.International Journal for Numerical Methods in
Engineering , tomo 24:pags. 337–357, 1987.
Onate, E.Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos
Finitos. Analisis estatico lineal.
CIMNE. Segunda edicion, 1995.
George, P.L.Automatic Mesh Generation. Application to Finite Element
Methods.
Wiley. 1991.
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C Paginas web
Scientific Applications on Linux (Discrete Methods &Related Tools):http://ceu.fi.udc.es/SAL/index.shtml
Meshing Research Cornerhttp://www.andrew.cmu.edu/user/sowen/mesh.html
Pre y postprocesador GIDhttp://gid.cimne.upc.es
Generador de mallas EMC2http://www-rocq1.inria.fr/gamma/cdrom/www/emc2/eng.
