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Interpolación
MÉTODO DE LAGRANGE Numérico II
MOYOTL-HERNÁNDEZ E., 2017 1
INTERPOLACIÓN
El problema matemático de la interpolación es el siguiente:
Dada una lista de puntos (𝒙𝟎, 𝒚𝟎), …, (𝒙𝒏, 𝒚𝒏) se busca una función 𝒈 𝒙 que pasea través del conjunto de puntos.
(𝒙𝒊, 𝒚𝒊)
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𝒈(𝒙)
INTERPOLACIÓN
EJEMPLO: En la siguiente tabla se muestran datos del número de titulados, en lalicenciatura en matemáticas aplicadas, de 2011 a 2016.
Año Titulados
2011 9
2012 10
2013 12
2014 8
2015 9
2016 9
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INTERPOLACIÓN
Para obtener una estimación del número de titulados que habría en 2010 o en el año2017 se debe obtener una función 𝒈(𝒙) que corresponda a los datos disponibles.
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𝒈(𝒙)
x g(x)
2010
2011 9
2012 10
2013 12
2014 8
2015 9
2016 9
2017
g(2010)
g(2017)
INTERPOLACIÓN
Los valores (𝒙𝒊, 𝒚𝒊) pueden corresponder a:
Datos obtenidos por muestreo o experimentación
Valores de una función conocida pero de evaluación difícil o lenta
Valores de una función desconocida
En la práctica se tiene una tabla de datos (𝒙𝒊, 𝒚𝒊), 𝒊 = 𝟎, 𝟏, … , 𝒏. 𝒙 𝒇(𝒙)
𝒙𝟎 𝒚𝟎
𝒙𝟏 𝒚𝟏
𝒙𝟐 𝒚𝟐
. . .
𝒙𝒏 𝒚𝒏
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INTERPOLACIÓN
DEFINICIÓN
Una función de interpolación 𝒈 es aquella que pasa exactamente por los puntos conocidos [2],
𝒈 𝒙𝒊 = 𝒚𝒊 = 𝒇 𝒙𝒊 , ∀𝒊 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
La función aproximada debe ser sencilla y fácil de calcular; por supuesto, existen diversos métodos para encontrar dicha función.
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INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
En el caso de la interpolación polinomial se busca una función polinomial 𝒑, esdecir, un polinomio que pase a través de los puntos dados.
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𝒑(𝒙)
INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
DEFINICIÓN
La función 𝒚 = 𝒑 𝒙 interpola los 𝒏 + 𝟏 puntos (𝒙𝟎, 𝒚𝟎), …, (𝒙𝒏, 𝒚𝒏)
si 𝒑 𝒙𝒊 = 𝒚𝒊 , ∀𝒊 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝒏, con 𝒙𝒊 ≠ 𝒙𝒋, 𝒊 ≠ 𝒋 y 𝒙𝒊 < 𝒙𝒊+𝟏
(ordenados en las coordenadas 𝒙 y además diferentes) [1].
A cada 𝒙𝒊 se le dice nodo de interpolación y a cada 𝒚𝒊 valor interpolado [5].
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INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
OBSERVACIÓN.
La interpolación polinomial es el proceso inverso de la evaluación polinomial. En laevaluación, dado un polinomio 𝒑(𝒙) se obtiene un conjunto de puntos {(𝒙𝒊, 𝒚𝒊)}.Mientras que en la interpolación, dado un conjunto de puntos {(𝒙𝒊, 𝒚𝒊)} se obtiene unpolinomio 𝒑 𝒙 .
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𝒑(𝒙) {(𝒙𝒊, 𝒚𝒊)}
MÉTODO DE LAGRANGE
Polinomio de interpolación de grado 1
Dados 𝟐 puntos (𝒙𝟎, 𝒚𝟎) y (𝒙𝟏, 𝒚𝟏), el polinomio 𝒑(𝒙) de grado menor o igual a 1que pasa por los dos puntos, es de la forma:
𝒑 𝑥 =𝑥−𝒙𝟏
𝒙𝟎−𝒙𝟏𝒚𝟎 +
𝑥−𝒙𝟎
𝒙𝟏−𝒙𝟎𝒚𝟏
Cuando de evalúan 𝒙𝟎 y 𝒙𝟏:
𝒑 𝒙𝟎 =𝒙𝟎−𝒙𝟏
𝒙𝟎−𝒙𝟏𝒚𝟎 +
𝒙𝟎−𝒙𝟎
𝒙𝟏−𝒙𝟎𝒚𝟏= 𝒚𝟎
𝒑 𝒙𝟏 =𝒙𝟏−𝒙𝟏
𝒙𝟎−𝒙𝟏𝒚𝟎 +
𝒙𝟏−𝒙𝟎
𝒙𝟏−𝒙𝟎𝒚𝟏 = 𝒚𝟏
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MÉTODO DE LAGRANGE
EJEMPLO: Encontrar el polinomio interpolante de grado 1, que pasa por los puntos (2011,9), (2013,12).
SOLUCIÓN: En este caso se tiene que
𝒑 𝑥 =(𝑥−2013)(2011-2013)
9 +(𝑥−2011)
(2013-2011)12
= −4.5(𝑥−2013) + 6(𝑥−2011)
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= 1.5𝑥 − 3007.5
MÉTODO DE LAGRANGE
Polinomio de interpolación de grado 2
Dados 3 puntos (𝒙𝟎, 𝒚𝟎), (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) y (𝒙𝟐, 𝒚𝟐), el polinomio 𝒑(𝒙) de grado menor o igual a 𝟐que pasa por los tres puntos, es de la forma:
𝒑 𝑥 =𝑥−𝒙𝟏 𝑥−𝒙𝟐
𝒙𝟎−𝒙𝟏 𝒙𝟎−𝒙𝟐𝒚𝟎 +
𝑥−𝒙𝟎 𝑥−𝒙𝟐
𝒙𝟏−𝒙𝟎 𝒙𝟏−𝒙𝟐𝒚𝟏 +
𝑥−𝒙𝟎 𝑥−𝒙𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟎 𝒙𝟐−𝒙𝟏𝒚𝟐
Cuando de evalúan 𝒙𝟎, 𝒙𝟏 y 𝒙𝟐:
𝒑 𝒙𝟎 = 𝒚𝟎
𝒑 𝒙𝟏 = 𝒚𝟏
𝒑 𝒙𝟐 = 𝒚𝟐
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MÉTODO DE LAGRANGE
EJEMPLO: Encontrar el polinomio interpolante de grado menor o igual a 2, que pasa por los puntos (2011,9), (2012, 10), (2013,12).
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MÉTODO DE LAGRANGE
SOLUCIÓN: 𝒑 𝒙 = 9 +
= 0.5𝒙𝟐 − 2010.5𝒙 + 2021064
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(x-2012)(x-2013)
(2011-2012)(2011-2013)10 +
(x-2011)(x-2013)
(2012-2011)(2012-2013)12
(x-2011)(x-2012)
(2013-2011)(2013-2012)
MÉTODO DE LAGRANGE
Polinomio de interpolación de grado 𝒏
En general, dados 𝒏 + 𝟏 puntos (𝒙𝟎, 𝒚𝟎), (𝒙𝟏, 𝒚𝟏), …, (𝒙𝒏, 𝒚𝒏). Para cada 𝒌 entre
𝟎 y 𝒏, se construye el polinomio 𝑳𝒏,𝒌 𝒙 [5] como
𝑳𝒏,𝒌 𝑥 =𝑥−𝒙𝟎 𝑥−𝒙𝟏 … 𝑥−𝒙𝒌−𝟏 𝑥−𝒙𝒌+𝟏 …(𝑥−𝒙𝒏)
𝒙𝒌−𝒙𝟎 … 𝒙𝒌−𝒙𝒌−𝟏 𝒙𝒌−𝒙𝒌+𝟏 … 𝒙𝒌−𝒙𝒏
𝑳𝒏,𝒌 𝑥 =ෑ𝑖=0,𝑖≠𝑘
𝑛 𝑥 − 𝒙𝒊𝒙𝒌 − 𝒙𝒊
donde el numerador no incluye 𝑥 − 𝒙𝒌 y el denominador no incluye 𝒙𝒌 − 𝑥 [2].
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MÉTODO DE LAGRANGE
Las funciones 𝑳𝒏,𝒌 𝒙 son polinomios de orden 𝒏. Así, si multiplicamos
𝑳𝒏,𝟎 , 𝑳𝒏,𝟏 , 𝑳𝒏,𝟐 , …, 𝑳𝒏,𝒏
por
𝒚𝟎, 𝒚𝟏, …, 𝒚𝒏,
respectivamente y las sumamos, el resultado será un polinomio de orden a lo más 𝒏[2].
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MÉTODO DE LAGRANGE
Los polinomios de Lagrange [1] 𝑳𝒏,𝟎 , 𝑳𝒏,𝟏 , 𝑳𝒏,𝟐 , …, 𝑳𝒏,𝒏 cumplen
𝑳𝒏,𝒌 𝒙𝒊 = ቊ𝟎, 𝒊 ≠ 𝒌𝟏, 𝒊 = 𝒌
Esta propiedad garantiza 𝒑 𝒙𝒊 = 𝒚𝒊 .
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MÉTODO DE LAGRANGE
DEFINICIÓN
El polinomio de lagrange 𝒑(𝒙) de grado ≤ 𝒏 que pasa por los 𝒏 + 𝟏 puntos
(𝒙𝟎, 𝒚𝟎), (𝒙𝟏, 𝒚𝟏), …, (𝒙𝒏, 𝒚𝒏)
con 𝒙𝒊 ≠ 𝒙𝒋 si 𝒊 ≠ 𝒋, es de la forma [4][5]
𝒑 𝒙 = 𝑳𝒏,𝟎 (𝒙) 𝒚𝟎 + 𝑳𝒏,𝟏 (𝒙) 𝒚𝟏+ …+ 𝑳𝒏,𝒏 (𝒙) 𝒚𝒏
𝒑 𝒙 = σ𝒌𝒏=𝟎 𝑳𝒏,𝒌 (𝒙) 𝒚k
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MÉTODO DE LAGRANGE
El polinomio interpolador de Lagrange se escribe de forma compacta como:
𝒑 𝑥 =
𝒌=𝟎
𝒏
𝒚𝒌 ෑ𝑖=0,𝑖≠𝑘
𝑛 𝑥 − 𝒙𝒊𝒙𝒌 − 𝒙𝒊
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MÉTODO DE LAGRANGE
EJEMPLO: Construir el polinomio interpolador utilizando el método de Lagrangeconsiderando los puntos (1,3), (2, 4), (3,2) y (5,1) [6].
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MÉTODO DE LAGRANGE
SOLUCIÓN: En este caso 𝒏 = 𝟑 entonces se tienen 𝒏 + 𝟏 = 𝟒 puntos.
𝒑 𝒙 = 𝑳𝟑,𝟎 (𝒙) 𝒚𝟎 + 𝑳𝟑,𝟏 (𝒙) 𝒚𝟏+ 𝑳𝟑,𝟐 (𝒙) 𝒚𝟐 + 𝑳𝟑,𝟑 𝒙
= 𝑳𝟑,𝟎 (𝒙) 3 + 𝑳𝟑,𝟏 (𝒙) 4 + 𝑳𝟑,𝟐 (𝒙) 2 + 𝑳𝟑,𝟐 𝒙 1
Y los polinomios de Lagrange son:
𝑳𝟑,𝟎 𝒙 =𝑥−𝟐 𝑥−𝟑 (𝒙−𝟓)
𝟏−𝟐 𝟏−𝟑 𝟏−𝟓= −
𝟏
𝟖(𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟑) (𝒙 − 𝟓)
𝑳𝟑,𝟏 𝒙 =𝑥−𝟏 𝑥−𝟑 (𝒙−𝟓)
𝟐−𝟏 𝟐−𝟑 𝟐−𝟓=
𝟏
𝟑(𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟑) (𝒙 − 𝟓)
𝑳𝟑,𝟐 𝒙 =𝑥−𝟏 𝑥−𝟐 (𝒙−𝟓)
𝟑−𝟏 𝟑−𝟐 𝟑−𝟓= −
𝟏
𝟒(𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟓)
𝑳𝟑,𝟑 𝒙 =𝑥−𝟏 𝑥−𝟐 (𝒙−𝟑)
𝟓−𝟏 𝟓−𝟐 𝟓−𝟑=
𝟏
𝟐𝟒(𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟑)
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y3
MÉTODO DE LAGRANGE
SOLUCIÓN: Se tiene entonces
𝒑𝟑 𝒙 = −𝟑
𝟖(𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟑) (𝒙 − 𝟓) +
𝟒
𝟑(𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟑) (𝒙 − 𝟓)
−𝟏
𝟐(𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟓) +
𝟏
𝟐𝟒(𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟑)
Simplificando
𝒑(𝒙) =𝟏
𝟐𝒙𝟑 −
𝟗
𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 − 𝟒
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MÉTODO DE LAGRANGE
SOLUCIÓN: Si se requiere el polinomio interpolador en sólo un punto, por ejemplo
𝑥 = 𝟒, simplemente se considera
𝒑(𝟒) =𝟏
𝟐(𝟒𝟑) −
𝟗
𝟐(𝟒𝟐) + 𝟏𝟏(𝟒) − 𝟒
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MÉTODO DE LAGRANGE
OBSERVACIÓN.
No se requiere que los nodos estén igualmente espaciados.
El grado de 𝒑 es ≤ 𝒏 pues podría pasar, por ejemplo, que tres puntos estén sobre una recta y así el polinomio tendría grado cero o grado uno.
El polinomio interpolante es único, es decir, solo hay un polinomio que pasa por estos 𝒏 +𝟏 puntos.
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BIBLIOGRAFÍA
1. Mora Escobar H. M., Introducción a C y a métodos numéricos, UniversidadNacional de Colombia, Bogotá (2004).
2. Nakamura S., Métodos numéricos aplicados con software, Prentice Hall, México(1992).
3. Chinea C. S., Interpolación y polinomios de Lagrange.
4. Burden R. L. & Faires J. D., Análisis numérico, Séptima Edición (2002).
5. Mora W., Introducción a los métodos numéricos, Revista digital matemática, CostaRica (2016).
6. Gutierrez J. A., Olmos M. A. & Casillas J. M., Análisis Numérico, McGrawHill(2010).
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