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FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO ING. ALBERTO TAMA FRANCO - ESPOL 27 MÉTODO DE LAS IMÁGENES Ideado por Lord Kelvin en 1848. El método de imágenes, es de uso frecuente para deter- minar , E , D y debidos a cargas en presencia de conductores. Este método prescinde de la ecuación de Poisson o Laplace, pues se fundamenta en el supuesto de una superficie conductora equipotencial. Aunque no es aplicable a cualquier problema electrostático, puede simplificar problemas muy complejos. La teoría de las imágenes establece que una configuración de carga dada sobre un plano conductor perfecto e infinito conectado a tierra puede reemplazarse por la propia configuración de carga, su imagen y una superficie equipotencial en sustitución del plano conductor. En la figura (a), se muestran ejemplos comunes de distribuciones de carga puntual, lineal y volumétrica, mientras que en la figura (b), aparecen sus correspondientes configuraciones de imagen. Q Q Q a b La aplicación del método de imágenes, exige invariablemente el cumplimiento de dos condiciones: 1. La carga o cargas de imágenes deben situarse en la región conductora. 2. La carga o cargas de imágenes deben situarse de tal forma que en la superficie o superficies conductoras el potencial sea de cero o constante. La primera condición es necesaria para satisfacer la ecuación de Poisson, en tanto que la segunda garantiza la satisfacción de las condiciones en la frontera. Apliquemos la teoría de las imágenes al caso de una carga puntual sobre un plano conductor a tierra. En la siguiente figura se esquematizan las líneas de campo para la carga original y para el conjunto de carga original + carga imagen. Las líneas de campo son perpendiculares a la superficie límite donde se induce una carga.
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FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMOING. ALBERTO TAMA FRANCO - ESPOL
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MÉTODO DE LAS IMÁGENES
Ideado por Lord Kelvin en 1848. El método de imágenes, es de uso frecuente para deter-minar , E , D y debidos a cargas en presencia de conductores. Este método
prescinde de la ecuación de Poisson o Laplace, pues se fundamenta en el supuesto deuna superficie conductora equipotencial. Aunque no es aplicable a cualquier problemaelectrostático, puede simplificar problemas muy complejos.
La teoría de las imágenes establece que una configuración de carga dada sobre un planoconductor perfecto e infinito conectado a tierra puede reemplazarse por la propiaconfiguración de carga, su imagen y una superficie equipotencial en sustitución del planoconductor.
En la figura (a), se muestran ejemplos comunes de distribuciones de carga puntual, lineal yvolumétrica, mientras que en la figura (b), aparecen sus correspondientes configuracionesde imagen.
Q
Q
Q
a b
La aplicación del método de imágenes, exige invariablemente el cumplimiento de doscondiciones:
1. La carga o cargas de imágenes deben situarse en la región conductora.2. La carga o cargas de imágenes deben situarse de tal forma que en la superficie o
superficies conductoras el potencial sea de cero o constante.
La primera condición es necesaria para satisfacer la ecuación de Poisson, en tanto que lasegunda garantiza la satisfacción de las condiciones en la frontera.
Apliquemos la teoría de las imágenes al caso de una carga puntual sobre un planoconductor a tierra.
En la siguiente figura se esquematizan las líneas de campo para la carga original y para elconjunto de carga original + carga imagen. Las líneas de campo son perpendiculares a lasuperficie límite donde se induce una carga.
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Carga Puntual sobre un plano conductor a tierra
Consideremos la existencia de una carga puntual Q colocada a una distancia h de un plano
conductor perfecto de extensión infinita, tal como se observa en la figura a . La
configuración de imágenes es mostrada en la figura b .
Líneas de
campo eléctrico
h h
h
a b
Se requiere determinar el campo E y el potencial eléctrico producido por dicha carga
puntual en un punto de estudio , ,M x y z . Adicionalmente, se determinará la densidad de
carga superficial inducida por sobre el plano conductor.
M M M E E E
1 23 3
1 2
1 1
4 | | 4 | |
Q QM
r rE
r r
0,0,Q h
, ,M x y z
0,0,Q h
1r
2r
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Donde los vectores 1 2yr r están dados por:
1 , , 0,0, , , x y zx y z h x y z h x y z h r
2 , , 0,0, , , x y zx y z h x y z h x y z h r
3/ 2 3/ 22 22 2 2 24
x y z x y zx y z h x y z hQM
x y z h x y z h
E
Nótese el hecho de que cuando 0z , ME solo cuenta con la componente z , lo que
confirma que el campo eléctrico es normal a la superficie conductora, tal como se aprecia enla siguiente figura.
A continuación pasaremos a determinar el potencial aplicando nuevamente el principio desuperposición, es decir:
1 24 | | 4 | |
Q QM M M
r r
2 22 2 2 2
1 1
4
QM
x y z h x y z h
, donde , , 0x y z si 0z
Para obtener la densidad de carga inducida en elplano conductor infinito, dicha densidad puede serdeterminada por aplicación del Teorema de Gaussa un cilindro recto de altura muy pequeña y basesparalelas a la frontera, una a cada lado, tal como semuestra en la siguiente figura. Alternativamente,también puede ser determinada mediante lasegunda condición de frontera.
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| | | |sale hinca LibreD D
0 0 3/ 22 2 2
2| | | |
4Libre hinca z z
Q hD E
x y h
2
3/ 22 2 2/
2Libre
QhC m
x y h
Nótese que la densidad de carga inducida es negativa, porque el campo y la normal a lasuperficie gaussiana tienen sentidos opuestos. La siguiente figura esquematiza la ecuaciónde la densidad superficial de carga inducida sobre el plano conductor infinito,
A continuación, vamos a comprobar que la carga inducida en el plano conductor infinito esidéntica a la carga inductora pero con signo opuesto.
3/ 22 2 22
y x
ind Libre
A y x
Qh dx dyQ dS
x y h
Haremos el siguiente cambio de variable para facilitar la obtención de la integral:
2 2 2 , 0,r x y z dx dy r dr d , resultando
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2
3/ 2 3/ 2 3/ 22 2 2 2 2 20 0 0 0
22 2
y r r r
ind
r r r
Qh r dr d Qh r dr r drQ Qh
r h r h r h
02 2|
r
ind r
QhQ Q
r h
. . . .l q q d
2.4 Una carga puntual Q se localiza en el punto ,0,a b entre dos planos conductores
semiinfinitos que intersecan en ángulo recto, tal como se muestra en la figura. Determine el
potencial eléctrico producido en el punto , ,M x y z y la fuerza que actúa sobre Q .
a Q
b
z
x
Los diagramas correspondientes para la determinación del potencial eléctrico y la fuerza
eléctrica, se aprecian en los esquemas a y b siguientes.
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a
Q
z
x
Q
, ,M x y z
Q
Q
a
b
Q
z
Q
x
1F
2F
3F
a b
b
1r2r
3r
4r
La configuración de imágenes se muestra en el esquema a , donde se aprecian que tres
cargas imagen son necesarias para satisfacer las condiciones enunciadas en el presente
capítulo. El potencial eléctrico en el punto de observación , ,M x y z es la superposición
de los potenciales producidos por las cuatro cargas puntuales, es decir:
1 2 3 4
1 1 1 1
4 | | | | | | | |o
QM
r r r r, donde:
1/ 22 22
1| | x a y z b
r
1/ 22 22
2| | x a y z b
r
1/ 22 22
3| | x a y z b
r
1/ 22 22
4| | x a y z b
r
Para la determinación de la fuerza que actúa sobre Q , se tomará como referencia la figura
mostrada en el esquema b , de donde:
1 2 3R F F F F
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2 2 2
2 2 3/ 22 22 2
4 2 4 2 4 2 2R z x x z
o o o
Q Q Qa b
b a a b
F
2 2 2
3/ 22 2 2 22 2
16 16 32R z x x z
o o o
Q Q Qa b
b a a b
F
2
3/ 2 3/ 22 2 2 2 2 2
1 1
16R z x x z
o
Q a b
b a a b a b
F
2
3/ 2 3/ 22 22 2 2 2
1 1
16R x z
o
Q a b
a ba b a b
F
Se deja como ejercicio para el lector, la obtención de la intensidad de campo eléctrico
producido en el punto de observación , ,M x y z , así como también la determinación de la
carga inducida en los planos conductores.
En general, cuando la metodología de las imágenes se aplica a un sistema consistente enuna carga puntual entre dos planos conductores semiinfinitos inclinados en un ángulo ,
medido en grados, el número de imágenes N está dado por:
60o
Q
Q
Q Q
Q
Q
3601
o
N
En la gráfica anexa, se muestra una cargapuntual Q contenida entre dos paredes
conductoras semiinfinitas e inclinadas entre
sí en un ángulo 60o . Se aprecia que elnúmero de cargas imagen son cinco.
