Memoriadelcurso_IngenieriaDeControl
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CAMPUS MORELIA INGENIERÍA DE CONTROL “MEMORIA DEL CURSO” DR. ROSALINO RODRÍGUEZ CALDERÓN VÍCTOR MAURICIO CHÁVEZ MENDOZA A01063205
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CAMPUS MORELIA
INGENIERÍA DE CONTROL
“MEMORIA DEL CURSO”
DR. ROSALINO RODRÍGUEZ CALDERÓN
VÍCTOR MAURICIO CHÁVEZ MENDOZA
A01063205
MORELIA, MICHOACÁN A 7 DE JULIO DE 2013
2
ÍNDICE.
I Introducción a los sistemas de control clásico y moderno. 3
II Modelos matermáticos de sistemas: Función de Transferencia y Espacio de Estados. 5
III Características y desempeño de los sistemas de control retroalimentados. 9
IV Estabilidad de los sistemas lineales con retroalimentación. 14
V Acciones básicas de control regulatorio y servocontrol. 16
VI Método para el análisis y diseño de los sistemas de control basados en el lugar geométrico de las
raíces. 20
VII Método para el análisis y diseño de los sistemas de control basados en la respuesta a la frecuencia.
22
VIII Diseño de la Ley de Control en sistemas diseñados en el espacio de estados. 24
IX Apéndice de funciones Matlab. 25
X Referencias. 27
3
I Introducción a los sistemas de control clásico y
control moderno.
Víctor Mauricio Chávez Mendoza
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Campus Morelia.
4
Morelia, Michoacán, México.
Resumen. Los sistemas de control juegan un papel muy
importante para el avance de la ingeniería y la ciencia. El
control es escencial en las operaciones industriales que
requieren mantener monitoreadas y vigiladas algunas
variables como la temperatura, presión, humedad,
viscosidad y flujo. También muchos de los artefactos o
dispositivos electrónicos con los que tenemos contacto día a
día, el diseño de automóviles, la industria aeroespacial,
incluyen sistemas de control que permiten conseguir un
comportamiento óptimo.
I.I DEFINICIONES.
Antes de comenzar a describir el funcionamiento de los
sistemas de control clásico y moderno, es importante encontrar la
definición de los términos básicos.
Sistema de control. Es aquel que está conformado por elementos y
dispositivos que actúan en conjunto para lograr un objetivo de
control y funcionamiento predeterminado, regulando su propia
conducta o la de otro sistema.
Sistema de control de lazo abierto. Es cualquier sistema en el cual
la salida no tiene ningún efecto sobre la acción de control. También
son conocidos como sistemas no retroalimentados. En estos casos, la
salida no se utiliza para hacer retroalimentación al sistema y la
entrada corresponde a un valor fijo independientemente del estado
que esté presente en la salida. La precisión y funcionamiento de estos
sistemas depende de la calibración del controlador.
Sistemas de control de lazo cerrado. También son conocidos como
sistemas retroalimentados, ya que utilizan la señal de salida para
alimentar al controlador y así reducir el error y llevar a la salida del
sistema a un valor deseado.
Variable de control. Constituye un tipo de variable independiente
que se mantiene constante durante un experimento o proceso para
neutralizar sus efectos sobre la variable dependiente.
Controlador. Dentro de un sistema de control de lazo cerrado, se
asocia con los elementos de la trayectoria directa entre la señal de
error y la variable de control, pero es también común que inlcuya los
elementos de retroalimentación.
Entrada (set-point). Es la salida deseada de un proceso que un
sistema de control automático desea alcanzar.
Error. Se conoce como error a la diferencia entre la variable del
proceso o salida y la señal de entrada o set point.
Planta. Es cualquier objeto físico que se va a controlar. Puede ser
parte de un equipo o un conjunto de elementos de una máquina que
trabajan para conseguir una operación en particular. Ejemplor de
plantas pueden ser un horno de calefacción, una nave aeroespacial y
un reactor químico.
Transductor. Mide la salida y la retroalimenta.
Actuador. Dispositivo que realiza el ajuste en el proceso.
I.II SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO
ABIERTO.
Como se mencionó en la sección anterior, un sistema de
control en lazo abierto son aquellos en lo cuales, la salida no tiene
efecto sobre la acción de control, es decir, la señal de salida no se
compara con la señal de entrada para tomar una u otra acción. Es
importante mencionar que ante la presencia de perturbaciones, un
sistema de control en lazo abierto, no realiza la tarea deseada.
Dentro de las principales características de un sistema de
control en lazo abierto podemos encontrar:
1. No se compara la salida del sistema con un valor de
referencia.
2. A una entrada de referencia le corresponde una condición
de operación fija.
3. La exactitud y funcionamiento del sistema depende de la
calibración del controlador.
4. En presencia de perturbaciones, no cumplen su función
adecuadamente.
5
5. Control de tipo secuencial.
6. Estable.
7. Se requieren modelos que presentan un rango alto de
exactitud.
8. Se utiliza en aplicaciones de poca precisión.
Este tipo de sistemas están compuestos por 5 partes
básicas, la señal de referencia, el controlador, la planta, la señal de
salida y las perturbaciones que alteran el sistema.
Figura 1.1. Sistema de control en lazo abierto.
Un ejemplo práctico de un sistema de control en lazo
abierto es una lavadora (planta), en donde el remojo, el lavado y
centrifugado operan sobre un tiempo fijo (controlador), y la máquina
no mide la señal de salida, que es la limpieza de la ropa.
I.III SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO
CERRADO.
Se conocen como sistemas de control en lazo cerrado o
retroalimentados a aquellos en los que se alimenta al controlador la
señal de error de actuación, misma que es la diferencia entre la señal
de entrada y la señal de retroalimentación, con la finalidad de reducir
el error y llevar la señal de salida del sistema a un valor deseado.
Dentro de las principales características de un sistema de
control en lazo cerrado podemos encontrar:
1. La señal de salida tiene efecto directo sobre la acción de
control.
2. Lleva a cabo una operación ante la presencia de
perturbaciones para reducir el error en la salida.
3. La respuesta del sistema se vuelve relativamente insensible
a las perturbaciones externas.
4. Suelen tener costos y potencias más grandes.
5. No requieren modelos muy exactos, pero tienen especial
cuidado en la estabilidad.
6. Son utilizados en aplicaciones de alta precisión.
7. Los modelos son más complejos que los sistemas en lazo
abierto.
Los sistemas de control en lazo cerrado se componen básicamente
por 6 elementos, señal de referencia, controlador, planta, señal de
salida, señal de retroalimentación y las perturbaciones que alteran el
sistema.
Figura 1.2. Sistema de control en lazo cerrado.
Un ejemplo práctico de un sistema de control en lazo
cerrado es un sistema de aire acondicionado, en donde el sensor
térmico enciende el aparto cuando la temperatura es más alta que la
que se programa por el usuario y lo apaga cuando es igual o más
baja.
I.IV DIFERENCIAS ENTRE CONTROL CLÁSICO
Y CONTROL MODERNO.
Dentro de la teoría de control, existen dos principales
divisiones, el control clásico y el control moderno, cuyas diferencias
radican en la dinámica del proceso que se desea controlar.
El control clásico se distingue por representarse mediante
una función de transferencia, además de que los sistemas deben ser
lineales, contando únicamente con una entrada y una salida en el
diseño del sistema. El modelado, cuando se utiliza control clásico,
debe involucrar solamente sistemas invariantes en el tiempo.
6
Por su parte, el control moderno, siendo un poco más
complejo que el control clásico en cuanto a diseño se refiere,
involucra una representación en espacio de estados, lo que permite
añadir sistemas que cuenten con múltiples entradas y múltiples
salidas, además que el mismo sistema puede ser variante o invariante
en el tiempo, lineal o no lineal.
En muchas ocasiones y debido al grado de complejidad del
control moderno, en el diseño de controladores para sistemas no
lineales, se prefiere hacer una linealización del modelo para
simplificar el diseño y utilizar control clásico que solo permite
sistemas lineales.
II Modelos matemáticos de sistemas: Función de
Transferencia y Espacio de Estados.Víctor Mauricio Chávez Mendoza
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Campus Morelia.
Morelia, Michoacán, México.
Resumen. Al estudiar la ingeniería de control, el
estudiante debe ser capaz de modelar sistemas y analizar
las características que definen su comportamiento. Un
modelo matemático incluye ecuaciones que representan
el comportamiento del sistema, pero también es cierto que
el modelado de sistemas puede optar distintas formas
dependiendo de las especificaciones y circunstancias del
sistema que se trate. Un modelado matemático puede ser
más conveniente que otros para un sistema en específico.
II.I FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PARA EL
MODELADO MATEMÁTICO.
Se conoce como función de transferencia al cociente
entre la transformada de Laplace de salida entre la entrada, lo que
nos permite describir el comportamiento del sistema y entender la
naturaleza del sistema inyectando funciones conocidas.
7
Las funciones de transferencia se utilizan para
caracterizar las relaciones entrada-salida de componentes o de
sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales
lineales e invariantes en el tiempo. La función de transferencia
resulta ser una propiedad de un sistema, independiente de la
magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación.
A partir de la función de transferencia, es posible
representar la dinámica y comportamiento de un sistema mediante
ecuaciones algebraicas en el dominio de Laplace.
Si se desconoce la función de transferencia de un
sistema, puede establecerse experimentalmente inyectando
funciones conocidas y observando el comportamiento que se tiene
a la salida, lo que nos estaría proporcionando una descripción
completa de las características dinámicas del sistema.
Ejemplo 2.1. Obtener la función de transferencia del
siguiente sistema electrónico.
Figura 2.1. Sistema electrónico para el ejemplo 2.1.
Se conoce que el sistema electrónico presentado en la
figura 2.1, corresponde a una topología no inversora de
amplificadores operacionales, en donde la ganancia está dada por
el valor de las resistencias Rf y R1, lo que matemáticamente se
expresaría como:
V o (t)=V i(t )(1+R f
R1)
Ahora bien, si conocemos que la función de
transferencia de un sistema es el cociente del valor de salida entre
el valor de entrada, y que su representación requiere hacerse en el
dominio de Laplace, comenzamos por hacer la transformada del
dominio del tiempo al dominio S.
V o (s)=V i(s)(1+R f
R1)
Por lo que al hacer un despeje para encontrar el
cociente, se obtiene que la función de transferencia del sistema
electrónico es:
V o(s )
V i(s )=1+
R f
R1
Ejemplo 2.2. Obtener la función de transferencia del
siguiente sistema eléctrico.
Figura 2.2. Sistema electrónico para el ejemplo 2.2.
Para encontrar la función de transferencia del sistema
eléctrico descrito en la figura 2.2, existen dos métodos. Uno de
ellos es desarrollar las ecuaciones diferenciales que describen el
comportamiento, realizar la transformada al dominio S así
conocer su función. El método que utilizaremos para dar solución,
que resulta un poco más sencillo debido a que el sistema está en
serie y se puede aplicar un divisor de voltaje, consiste en
transformar los elementos a la frecuencia compleja, es decir:
R = R
C= 1sC
8
Una vez sustituidos estos valores en el circuito
eléctrico, y al aplicar un divisor de voltaje encontramos que:
V o (s)=V i(s)( 1RCs+1 )
Por lo que al hacer el despeje, se tiene que la función de
transferencia del sistema eléctrico es:
V o(s )
V i(s )=
1RCs+1
II.II DIAGRAMA A BLOQUES.
Un sistema de control puede tener varios componentes
que permiten lograr el resultado para el que fue diseñado. Para
mostrar la función que cumple cada uno de los componentes, en
ingeniería de control se utiliza una representación denominada
diagrama a bloques.
Un diagrama a bloques de un sistema es una
representación gráfica de las funciones que lleva a cabo cada
componente, mostrando también el flujo de señales que se dan
entre cada uno de los bloques. Esta representación gráfica, a
diferencia de la representación matemática, tiene la ventaja de
indicar de una forma más realista el flujo de señales del sistema
real.
Figura 2.3. Representación de un diagrama a bloques.
A partir del diagrama a bloques, es posible también
conocer y/o calcular la función de transferencia de un sistema
realizando sencillas operaciones algebraicas. Pero a simple vista,
el cálculo de la función de transferencia de un sistema puede
resultar un poco complicado, por lo que en ocasiones resulta más
sencillo acomodar los bloques de una forma que nos facilite las
operaciones que se deben realizar, para eso se tiene ya una tabla
que nos muestra las equivalencias de realizar estas operaciones.
Figura 2.4. Tabla de equivalencias para las transformaciones de diagrama
a bloques.
Ejemplo 2.3 Obtener la función de transferencia de lazo
abierto y lazo cerrado para el siguiente sistema.
9
Figura 2.5. Diagrama a bloques para el ejemplo 2.3.
Primeramente, al referirnos a la función de transferencia
de lazo abierto, se tiene que el diagrama a bloques resultante es el
mismo que se muestra en la figura 2.5, únicamente eliminando la
señal de retroalimentación, que es la que se toma de C(s) para
introducirse en el punto suma/resta, por lo que se obtendría:
C ( s )=G ( s ) R(s)
C(s)R(s)
=G(s)
De esta forma, observamos que la función de
transferencia, cuando se elimina la retroalimentación, únicamente
es G(s).
Para calcular la función de lazo cerrado del sistema que
se muestra en la figura 2.5, se toma en cuenta el flujo de señal que
se va teniendo en la entrada y salida de cada uno de los bloques,
es decir:
C ( s)=[ R (s )−C ( s ) ]G(s)
C ( s) [1+G(s)]=R (s )G (s)
C(s)R ( s)
=G(s)
1+G(s)
Si analizamos detalladamente la función de
transferencia de lazo cerrado que se obtiene, podemos encontrar
la forma genérica que se podría utilizar en otros sistemas cuando
se requiere de igual forma calcular la función de transferencia de
lazo cerrado.
Ejemplo 2.4. Obtener la función de transferencia de lazo
abierto y lazo cerrado para el siguiente sistema.
Figura 2.6. Diagrama a bloques para el ejemplo 2.4.
De igual forma que en el ejemplo 2.3, para encontrar la
función de transferencia de lazo abierto del diagrama a bloques
que se muestra en la figura 2.6, únicamente se interrumpe el flujo
de la señal de retroalimentación, que en este caso ya también
incluye un nuevo bloque H(s). Por lo tanto, la función de
transferencia de lazo abierto resultante es:
C ( s)=G ( s ) R(s)
C(s)R(s)
=G(s)
Ahora bien, para conocer la función de transferencia de
lazo cerrado de este diagrama a bloques, de igual manera se va
tomando en cuenta todas las señales que entran y salen de cada
uno de los bloques, por lo que se encuentra la ecuación
algebraica:
C ( s)=[ R (s )−H (s )C (s)]G(s)
C ( s) [1+G (s ) H (s)]=R ( s) G(s)
C(s)R(s)
=G(s)
1+G ( s) H (s)
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III Características y desempeño de los sistemas de
control retroalimentados.Víctor Mauricio Chávez Mendoza
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Campus Morelia.
Morelia, Michoacán, México.
Resumen. Dentro de los sistemas de control, existen dos
variantes, aquellos que no presentan una
retroalimentación y los que si tienen una
retroalimentación para reducir el efecto de las
variaciones de los parámetros, para reducir el error y
efecto de las entradas que perturban al sistema, además
de que mejoran la respuesta transitoria y reducen el error
en estado estacionario. Para lograr que el desempeño se
un sistema de control que está retroalimentado cumpla
con ciertas especificaciones de diseño, se deben de tomar
en cuenta algunas características particulares de estos
sistemas que se abordarán en esta sección.
11
III.I SEÑALES DE PRUEBA TÍPICAS.
Dentro de la ingeniería se conocen diferentes tipos de
señales que dependiendo de su comportamiento con respecto del
tiempo y de algunos otros factores que pueden alterar su estado,
es como se utilizan para el desarrollo de otras aplicaciones
prácticas. Para el diseño de sistemas de control retroalimentados
se utilizan principalmente tres tipos de señales, el impulso
unitario, escalón unitario y la rampa unitaria, que como ya
conocemos su comportamiento, nos ayudan a entender y analizar
la respuesta que se obtendría en un sistema de control que está
retroalimentado y se somete ante diferentes tipos de señal de
entrada y así lograr un mejor diseño que cumpla con los objetivos
planteados.
Una de las señales de prueba típicas es el impulso
unitario, que nos ayuda a entender y analizar el comportamiento
de un sistema cuando se someten a una fuerza o a una tensión
externa que solamente actúa durante un tiempo muy corto,
además de que nos permite utilizar la función de transferencia por
medio de un modelado matemático.
Figura 3.1. Impulso unitario.
Otra señal de prueba típica es la función escalón
unitario, que es básicamente una función matemática que tiene
como principal característica, el tener un valor de cero y un valor
de uno a partir de un tiempo en específico. Esta función se utiliza
normalmente para presentar variables que se presentan en algún
instante de tiempo en específico y que no están presentes
permanentemente. Este tipo de señales, para los sistemas de
control retroalimentados, nos ayudan también a caracterizar el
sistema, pues todas las entradas se encuentran inmersas y realizan
un cambio de variable.
Figura 3.2. Escalón unitario.
La tercera y última señal de prueba que utilizaremos
para analizar el desempeño se los sistemas de control
retroalimentados es la rampa unitaria, cuya señal tiene un valor de
cero y un valor final de uno, presentando una pendiente entre la
transición de ambos valores, y que nos ayuda a analizar el error
de estado estable y el cambio de variable.
Figura 3.3. Rampa unitaria.
III.II SISTEMA DE PRIMER ORDEN.
Los sistemas de control se caracterizan y analizan
dependiendo del orden al que pertenezca el denominador de su
función de transferencia. Por ejemplo la siguiente función de
transferencia corresponde a un sistema de control de primer
orden.
F ( s)= 1s+1
Además, el tipo de respuesta del sistema de primer
orden será diferente dependiendo del tipo de retroalimentación
que reciba, es decir, si es positiva o negativa.
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En la figura 3.4 se muestra un diagrama a bloques que
corresponde a la representación de un sistema retroalimentado
negativamente.
Figura 3.4. Sistema de control con retroalimentación negativa.
Al aplicar un escalón unitario como señal de entrada
R(s), la función que describe la señal de salida C(s) en el dominio
S y en el dominio del tiempo son:
C ( s )=1s− T
Ts+1=1
s− 1
s+( 1T
)
C (t )=1−e−tT
Así, al tener una retroalimentación negativa,
observamos que después de haberse transcurrido un tiempo, la
señal de salida se mantiene prácticamente estable sobre un valor.
Figura 3.5. Respuesta al escalón de un sistema con retroalimentación
negativa.
En la figura 3.6 se muestra el diagrama a bloques que
corresponde a la representación de un sistema de control con
retroalimentación positiva.
Figura 3.6. Sistema de control con retroalimentación positiva.
Al aplicar un escalón unitario como señal de entrada
R(s), la función que describe el comportamiento de la señal de
salida C(s) en el dominio S y en el dominio del tiempo, están
dadas por:
C ( s)=1s− T
Ts−1=1
s− 1
s− 1T
C ( t )=1−etT
Así mismo, se puede observar que al contar con una
retroalimentación positiva, el comportamiento de la señal de
salida decrece exponencialmente, por lo que se dice que el
sistema no se podría controlar.
Figura 3.7. Respuesta al escalón de un sistema con retroalimentación
positiva.
13
III.III POLOS Y CEROS.
En el tema correspondiente a la transformada de
Laplace, el comportamiento de un sistema de control puede
interpretarse dependiendo de la ubicación de los polos y ceros en
el plano S, en la que G(s) es una función racional, es decir, es el
cociente de dos polinomios.
Los ceros de la función G(s) son aquellos valores para
los cuales la función G(s) es igual a cero, mientras que los polos
de la función G(s) son aquellos valores para los cuales la función
G(s) es igual a ∞.
Expresando la función G(s) en forma de productos, se
obtiene:
G (s )=C(s)R(s)
=( s−c1 ) ( s−c2 ) …(s−cM )
(s−p1 ) ( s−p2 ) …(s−pN)
Los polos pueden representarse normalmente en el
plano complejo con un círculo, mientras que los polos se
representan mediante cruces.
Ejemplo 3.1. Obtener los polos y ceros del siguiente
sistema. Considere T=1 seg.
Figura 3.8. Diagrama a bloques para el ejemplo 3.1.
Al obtener la función de transferencia del sistema de la
figura 3.8 y sustituyendo el valor de T=1 segundo,
C(s)R(s)
=
1s
1+ 1s
= 1s+1
Se puede observar, que no existe ningún cero en el
sistema, puesto que el numerador únicamente contiene el valor de
1. Pero en lo que respecta a los polos, encontramos que se tiene
un polo en s=-1, puesto que -1 es el valor que haría que el
denominador fuera cero.
Ejemplo 3.2. Obtener los polos y ceros del siguiente
sistema. Considere T=1 seg.
Figura 3.9. Diagrama a bloques para el ejemplo 3.2.
Al obtener la función de transferencia del sistema que
se muestra en la figura 3.9, y sustituyendo el valor de T=1
segundo,
C(s)R(s)
=
1s
1−1s
= 1s−1
Se puede observar que nuevamente no se tiene ningún
cero, puesto que dentro del numerador únicamente se tiene el
valor de 1. Pero por el contrario, tenemos un polo en s=1, ya que
1 es el valor que haría que el denominador fuera cero.
III.IV ESTABILIADAD DE LOS SISTEMAS POR
UBICACIÓN DE POLOS Y CEROS.
La ubicación de los polos y ceros en el plano complejo
S, nos permiten determinar si un sistema de control es estable o
inestable.
Se dice que un sistema de lazo cerrado es estable si
todos los polos y ceros del sistema se encuentran dentro del
semiplano izquierdo de plano complejo S.
14
En la figura 3.10 se muestra la respuesta al escalón
unitario de un sistema que cuenta con retroalimentación negativa,
y por su parte la figura 3.11 nos muestra la ubicación de los polos
de dicho sistema.
Figura 3.10. Respuesta al escalón de un sistema con retroalimentación
negativa.
Figura 3.11. Ubicación de los polos de lazo cerrado de un sistema con
retroalimentación negativa.
A partir de las figuras 3.10 y 3.11 se puede comprobar
la teoría que un sistema con retroalimentación negativa es
completamente estable, y que por lo tanto forzosamente todos los
polos y ceros de lazo cerrado deben estar ubicados en el
semiplano izquierdo del plano complejo S.
En la figura 3.12 se muestra la respuesta al escalón
unitario de un sistema que cuenta con retroalimentación positiva,
y por su parte la figura 3.13 nos muestra la ubicación de los polos
de dicho sistema.
Figura 3.12. Respuesta al escalón de un sistema con retroalimentación
positiva.
Figura 3.13. Ubicación de los polos de lazo cerrado de un sistema con
retroalimentación positiva.
A partir de las figuras 3.12 y 3.13 se puede comprobar
que la respuesta de un sistema con retroalimentación positiva que
decrece exponencialmente y sin poderse controlar, es
completamente inestable y por lo tanto los polos y ceros de lazo
cerrado del sistema deben ubicarse forzosamente dentro del
semiplano derecho del plano complejo S.
III.V SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN.
15
Un sistema de segundo orden es aquel en el que el
mayor exponente de la variable del denominador está elevado a la
segunda potencia.
Los sistemas de control de segundo orden presentan
diferentes características a los de primer orden, y por lo tanto
deben analizarse tomando en cuenta otros parámetros de diseño.
Figura 3.14. Diagrama a bloques de un sistema de segundo orden.
Así, la función de transferencia de lazo cerrado de un
sistema de segundo orden está dada por:
C(s)R(s)
=ωn
2
s2+2δ ωn s+ωn2
Como se explicó en las secciones anteriores, los polos y
ceros de lazo cerrado de un sistema, nos ayudarán a comprender
el comportamiento de un sistema y determinar si este es estable o
inestable. Por lo tanto, para calcular los polos de un sistema de
segundo orden, se utiliza la fórmula de la ecuación cuadrática, es
decir:
s1,2=−2 δ ωn∓√(2 δ ωn )2−4 ωn
2
2
De esta forma, estaríamos conociendo la localización de
los polos de lazo cerrado del sistema, y ahí mismo determinando
la estabilidad del sistema.
Un sistema de segundo orden puede presentar tres
diferentes tipos de respuesta, que dependen de la ubicación de los
polos de lazo cerrado y también del valor que tome la variable
factor amortiguamiento δ .
Una respuesta sub-amortiguada es aquella que presenta
oscilaciones y que los polos de lazo cerrado son complejos
conjugados, es decir s1,2=−σ∓ jω. El factor de
amortiguamiento toma valores mayores a cero pero menores a 1.
La respuesta críticamente amortiguada es aquella que
tiene un comportamiento exponencial, los polos de lazo cerrado
son iguales s1,2=σ y el factor de amortiguamiento es igual a 1.
Una respuesta sobre-amortiguada es aquella que
presenta un comportamiento exponencial pero más rápido que el
de una respuesta críticamente amortiguada, en donde los polos
son reales pero diferentes, y el factor de amortiguamiento es
forzosamente mayor a 1.
Dentro de la ingeniería de control es preferible tener
respuestas transitorias rápidas y amortiguadas, por lo que
típicamente se utilizan factores de amortiguamiento entre 0.4 y
0.8.
Conociendo que ωn es la frecuencia natural no
amortiguada, dentro del diseño se utiliza también la frecuencia
natural amortiguada ωd, y la ecuación matemática que relaciona
ambas frecuencias es:
ωd=ωn √1−δ 2
Las características de un sistema de control se
establecen en función de la respuesta a una entrada del tipo
escalón en el dominio del tiempo, puesto que esta señal es fácil de
generar y es lo suficientemente drástica para proporcionar
información sobre la respuesta transitoria y de estado permanente.
Figura 3.15. Caracterización de la respuesta al escalón.
16
De la imagen de la figura 3.15, tomando como td como
tiempo de retardo, tr como tiempo de subida, tp como tiempo pico,
ts como tiempo de establecimiento y Mp como máximo sobre-
pico, se tienen algunas ecuaciones matemáticas que nos ayudan a
conocer los valores que toman cada una de estas variables.
M p=e−( δ
√1−δ2)π
Para encontrar el tiempo de establecimiento, se utilizan
dos criterios, del 2% y del 5%, lo que indica la tolerancia que se
tiene para considerar como estable una señal de salida.
t s2%= 4
δ ωn
t s5 %= 3
δ ωn
IV Estabilidad de los sistemas lineales con
retroalimentación.Víctor Mauricio Chávez Mendoza
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Campus Morelia.
Morelia, Michoacán, México.
Resumen. La estabilidad de un sistema de control lineal con retroalimentación resulta muy importante cuando se requiere que un sistema cumpla con ciertas especificaciones de diseño, y que además lo realice de una forma óptima. En esta sección se abordarán los sistemas de control lineal con retroalimentación, explorando sus caracterísitcas y método de diseño.
IV.I ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DE
CONTROL.
Como se estudió en la sección anterior, un sistema de
control estable, forzosamente tiene que tener sus polos y ceros de
lazo cerrado dentro del semiplano izquierdo del plano complejo S,
dentro del diseño en ingeniería de control se cuida que los polos y
ceros de lazo cerrado tengan su ubicación dentro de esa posición.
17
Ejemplo 4.1. Para el siguiente sistema con δ=0.6 y ωn=5
rad/seg, calcular la función de transferencia, polos y ceros, indicar
si es estable o inestable. Calcular también el sobre-pico y el
tiempo de establecimiento.
Figura 4.1. Diagrama a bloques del sistema del ejemplo 4.1.
Al calcular la función de transferencia y sustituir los
valores de factor de amortiguamiento y frecuencia natural no
amortiguada, se encuentra que:
C(s)R(s)
=ωn
2
s2+2δ ωn s+ωn2
C(s)R(s)
=25 rad /segs2+6 s+25
A partir de esta función de transferencia podemos
determinar que el sistema no cuenta con algún cero, pero al
aplicar la fórmula de la ecuación cuadrática en el denominador
para encontrar la ubicación de los polos, tenemos que:
s1=−3−4 j
s1=−3+4 j
Para graficar los polos del sistema, se utiliza el software
Matlab, y en particular la función rlocus. El código que se utilizó
para graficar los polos se muestra en seguida.
Figura 4.2. Código en Matlab para graficar los polos del sistema.
Al introducir este código en Matlab, corroboramos que
la ubicación de los polos corresponde a los obtenidos mediante la
ecuación cuadrática.
Figura 4.3. Gráfica de los polos del sistema utilizando Matlab.
Al ubicar los polos, y corroborar que estos se
encuentran dentro del semiplano izquierdo de plano complejo S,
se puede asegurar que es un sistema estable, presentando una
respuesta sub-amortiguada puesto que el factor de
amortiguamiento es de 0.6.
Para calcular el máximo sobre-pico que tiene la señal
del sistema, se utiliza la ecuación matemática:
18
M p=e−( δ
√1−δ2)π
M p=e−( 0.6
√1−0.62 )π
M p=0.09478
Por lo tanto, si la señal de entrada corresponde a un
valor unitario, el máximo sobre pico que se puede presentar
tomaría un valor de 1.09478.
Ahora bien, para calcular el tiempo de establecimiento y
tomando el criterio del 5%, se tiene que:
t s=3
(0.6)(5)=1 segundo .
A forma de corroborar los datos obtenidos a partir de
los cálculos matemáticos, se utilizó el software Simulink, en
donde la señal de respuesta obtenida es:
Figura 4.4. Respuesta al escalón por parte del sistema.
V Acciones básicas de control regulatorio y
servocontrol.Víctor Mauricio Chávez Mendoza
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Campus Morelia.
Morelia, Michoacán, México.
Resumen. Dentro de la ingeniería de control se tiene
como principal función el diseño de controladores
empleando modelos matemáticos y métodos prácticos que
nos permiten encontrar los valores y características
particulares con las que deben de contar los
controladores a desarrollar.
V.I DISEÑO DE CONTROLADORES.
19
El diseño de controladores se basa en el cálculo de las
constantes, aquellas que nos permitan ubicar los polos y ceros de
lazo cerrado en el lugar correcto para obtener la respuesta deseada
del sistema de control.
Figura 5.1. Diseño de controladores.
El diseño de controladores puede llevarse a cabo
empleando métodos heurísticos y métodos matemáticos. El
utilizar uno u otro método depende de las características
particulares del sistema a controlar.
Dentro de los métodos heurísticos podemos encontrar el
procedimiento de sintonización, el práctico-teórico, plantas
complejas y el de Ziegler-Nichols. Por su parte, dentro de los
métodos matemáticos, podemos encontrar métodos analíticos,
función de transferencia y el de lugar de las raíces.
V.II MÉTODO DE LA CURVA DE REACCIÓN
DE ZIEGLER-NICHOLS.
El método de la curva de reacción nos permite conocer
los valores con los que debe de contar un controlador cuando la
planta corresponde a un sistema de primer orden. El
procedimiento que debe seguirse es el siguiente.
1. Obtener la respuesta al escalón a lazo abierto.
2. Trazar una línea tangente en el punto de
inflexión.
3. Medir los parámetros L y T.
4. Utilizar la tabla de Ziegler-Nichols.
Figura 5.2. Caracterización de los parámetros en respuesta a lazo abierto.
Figura 5.3. Tablas Ziegler-Nichols para el método curva de reacción.
Ejemplo 5.1. Calcular las constantes del controlador PID,
para la siguiente planta, para que la respuesta presente un
sobre-pico menor al 25% y tiempo de establecimiento
menor a 10 segundos utilizando el método de la curva de
reacción.
Figura 5.4. Planta a utilizar para el ejemplo 5.1.
Utilizando el software Simulink, se introduce la función
de transferencia de lazo abierto de la planta y se aplica un escalón
unitario para obtener la respuesta.
20
Figura 5.5. Diagrama a bloques para el ejemplo 5.1.
Figura 5.6. Respuesta al escalón de la planta del ejemplo 5.1.
A partir del gráfico de la figura 5.6, se toma como valor
para L=0.1 y T=2.5. Estos valores se utilizan y se sustituyen en
las expresiones algebraicas de las tablas de Ziegler-Nichols, con
lo que resulta:
K p=1.2 T
L=1.2(2.5)
0.1=30
T i=2 L=2 (0.1 )=0.2
T d=0.5 L=0.5 (0.1 )=0.05
Ya que se conocen los valores Kp, Ti y Td, se procede a
transformar los valores Ti y Td en Ki y Kd, respectivamente, que
son los valores con los que deben de contar las constantes del
controlador, así:
K i=K p
T i= 30
0.2=150
Kd=K p T d=30 (0.05 )=1.5
Estos últimos valores son los que se deben utilizar para
implementar el controlador, una vez que se tiene implementado se
mide la señal de respuesta y al ser un método heurístico, se
pueden hacer pequeñas variaciones en los valores de las
constantes para generar el tiempo de establecimiento y el máximo
sobre-pico que se requiere.
V.III MÉTODO DE OSCILACIÓN DE ZIEGLER-
NICHOLS.
El método de oscilación de Ziegler-Nichols nos permite
determinar el valor con el que deben de contar los controladores
para generar una respuesta que va de acuerdo al diseño, que al
tratarse de un método heurístico, se permite modificar un poco lo
valores finales para lograr la respuesta. El procedimiento que
debe seguirse es el siguiente:
1. Se coloca un bloque proporcional con
ganancia pequeña en lazo cerrado, se ve la
respuesta al escalón unitario.
2. Se aumenta la ganancia hasta que se logre una
oscilación sostenida.
3. Se mide el periodo Tu y la ganancia Ku que lo
hizo oscilar.
4. Se utilizan las tablas de Ziegler-Nichols para
obtener las constantes.
Figura 5.7. Diagrama a bloques para el método de oscilación de Ziegler-
Nichols.
La respuesta que se debe tener a la salida c(t) es de
oscilaciones sostenidas, como las que se muestran en la figura
5.8.
21
Figura 5.8. Oscilación sostenida como respuesta al escalón.
Figura 5.9. Tablas de Ziegler-Nichols para el método de oscilación.
Ejemplo 5.2. Calcular las constantes del controlador, del
siguiente sistema de control, para que la respuesta presente
un sobre-pico menor al 25% y tiempo de establecimiento
menor a 10 segundos, utilizando el método de oscilación.
Figura 5.7. Diagrama a bloques para el ejemplo 5.2.
Utilizando el software Simulink, se genera el diagrama
a bloques que involucre la planta de la figura 5.7, y el valor de la
ganancia Ku se comienza a modificar hasta obtener una respuesta
de oscilación sostenida constante.
Figura 5.8. Diagrama a bloques del ejemplo 5.2.
Al aplicar una ganancia de 30, se logró que en la señal
de salida se tuvieran oscilaciones sostenidas constantes, es decir:
Figura 5.9. Respuesta al escalón de la planta del ejemplo 5.2.
Tomando que el valor de Ku que hace oscilar al sistema
es de 30, y que el periodo de la señal es de 3 segundos, se utilizan
las tablas de Ziegler-Nichols para encontrar el valor de las
constantes, es decir:
K p=0.5 K u=(0.6 ) (30 )=1.8
T i=0.5 Tu=(0.5 ) (3 )=1.5
T d=0.125T u=0.125 (3 )=0.375
22
Ya que se conocen los valores Kp, Ti y Td, se procede a
transformar los valores Ti y Td en Ki y Kd, respectivamente, que
son los valores con los que deben de contar las constantes del
controlador, así:
K i=K p
T i=1.8
1.5=1.2
K d=T d K p=(0.375 ) (1.8 )=0.675
Estos últimos valores son los que deberían utilizarse en
la implementación del controlador. Para generar una respuesta
que cumpla con ciertas características se pueden modificar un
poco los valores finales de las constantes, ya que se trata de un
método heurístico.
VI Método para el análisis y diseño de los
sistemas de control basados en el lugar
geométrico de las raíces.Víctor Mauricio Chávez Mendoza
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Campus Morelia.
Morelia, Michoacán, México.
23
Resumen. El lugar geométrico de las raíces es un método
para el diseño de controladores que nos permite predecir
el comportamiento del sistema y ubicar los polos de lazo
cerrado, paso a paso se van añadiendo controladores, ya
sea un proporcional, un proporcional-integral o un
proporcional-integrador-derivador, según sea el caso
para obtener un tipo de respuesta en específico.
VI. LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES.
Mediante el método del lugar geométrico de las raíces,
el diseñador puede predecir los efectos que tienen en la
localización de los polos de lazo cerrado, el variar la ganancia o
añadir polos y/o ceros en lazo abierto. El gráfico que se obtiene
nos muestra información sobre cómo cada polo o cero en lazo
abierto afectan las posiciones de los polos en lazo cerrado.
El método del lugar geométrico de las raíces nos
permite determinar el valor de la ganancia K que dará el
coeficiente de amortiguamiento de los polos dominantes en lazo
cerrado que se desee.
Tomando en cuenta el sistema del diagrama a bloques
que se muestra en la figura 6.1,
Figura 6.1. Diagrama a bloques del sistema.
Se tiene que la función de transferencia que describe el
comportamiento del sistema es:
C(s)R(s)
=Gc (s )G(s)
1+Gc ( s) G(s )
La ecuación característica de un sistema, se describe
como el polinomio que conforma al denominador de la función de
transferencia igualado a cero, por lo tanto para el sistema que se
mencionó en el paso anterior, la ecuación característica es:
1+Gc ( s )G (s )=0
De esta última ecuación se puede observar que
F ( s)=Gc ( s) G (s ) es la función de transferencia del sistema
en lazo abierto.
Todas las raíces de la ecuación característica al variar K
de cero a infinito conforman el gráfico del lugar geométrico de las
raíces, es decir:
1+KF (s )=0
Para el diseño de controladores utilizando el lugar
geométrico de las raíces, y tomando en cuenta que F(s) es una
cantidad compleja, se puede obtener una ecuación para conocer la
magnitud y el ángulo, por lo que se tienen las ecuaciones:
|F (s )|=1
∠F ( s )=∓180° (2k+1)
Así, mientras se lleva a cabo el diseño del controlador,
se debe cuidar que se cumplan estas dos características para que
sea posible obtener la respuesta que se espera según las
especificaciones.
Ejemplo 6.1. Para la planta dada, construir un controlador
PID que permita obtener una respuesta correspondiente a
un factor de amortiguamiento de 0.5 y frecuencia natural
no amortiguada de 0.5 rad/seg.
G (s )= 110000(s2−1.1772)
Tomando en cuenta las especificaciones, se genera la
función de transferencia deseada, lo que resulta:
H (s )= 0.25s2+0.5 s+0.25
24
Así, a partir de la función de transferencia se toma la
ecuación característica y a esa misma se le aplica la ecuación
cuadrática para conocer la ubicación de los polos deseados, de lo
que se obtiene:
s1,2=−0.25∓0.433013 j
Ahora bien, si conocemos que el controlador será del
tipo PID, se multiplica la función de las variables del controlador
con la función de la planta, es decir:
X ( s)=[K p+K i
s+Kd s] [ 1
10000(s2−1.1772) ]X ( s)=[ K p s+K i+Kd s
10000 (s3−1.1772 s) ]De la ecuación característica resultante, se obtiene que
los polos se localizan en:
s1=1.08499
s2=−1.08499
s3=0
Según la ubicación de los polos, se tiene que el ángulo
existente entre cada polo y el polo deseado son:
∠ s1=27.041 °
∠ s2=120 °
∠ s3=162.028 °
De la función de transferencia X(s), se puede observar
que el sistema con el controlador propuesto, presenta dos ceros,
por lo que uno de ellos se propone esté localizado en -2, para
posteriormente aplicar el teorema del ángulo y encontrar la
posición del otro ángulo.
s4=−2
∠ s4=13.8979°
∠ s5+13.8979 °−120 °−162.028 °−27.041 °=∓180 °
∠ s5=115.171 °
s5=−0.04650
Una vez que se tienen la ubicación de los polos y ceros
del sistema, se formula la nueva función de transferencia:
Z ( s)= (s+2)(s+0.04650)( s+1.08499 ) ( s−1.08499 ) s
Que al igualarse con la función de transferencia X(s), se
encuentran los valores del controlador:
K d=0.76523
K p=1.56604
K i=0.093
VII Método para el análisis y diseño de los
sistemas de control basados en la respuesta a la
frecuencia.Víctor Mauricio Chávez Mendoza
25
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Campus Morelia.
Morelia, Michoacán, México.
Resumen. Al mencionar respuesta a la frecuencia, se
hace referencia a la respuesta de un sistema en estado
estacionario a una entrada sinusoidal. En los métodos de
respuesta en frecuencia, la frecuencia de la señal de
entrada se varía sobre un cierto rango para conocer y
estudiar la respuesta resultante.
VII.I DIAGRAMAS DE BODE.
Los diagramas de Bode se conforman por dos gráficas,
la gráfica del logaritmo de la magnitud de la función de
transferencia sinusoidal y la gráfica del ángulo de fase. Para
lograr el resultado esperado por parte de las gráficas, ambas
deben realizarse en la escala logarítmica.
La representación de la magnitud de la función de
transferencia G(jw) es igual a 20log|G(jw)| y la unidad es el
decibelio (dB). Una de las ventajas que se tienen al utilizar este
tipo de diagramas es que al momento de multiplicar diferentes
magnitudes, se convierten en sumas.
Los factores básicos en una función de transferencia
arbitraria son la ganancia K, los factores de integral y derivada,
los factores de primer orden y los factores cuadráticos.
La ganancia K tiene una curva representativa, misma
que es una recta horizontal cuya magnitud es de 20logK
decibelios y donde el ángulo de fase de la ganancia K es igual a
cero. El efecto que resulta de variar la ganancia en la función de
transferencia, es que sube o baja la curva logarítmica de la
función de transferencia, pero la frecuencia no varía, permanece
constante.
El factor integral (1/jw) tiene una magnitud logarítmica
igual a 20log|1/jw|, que es lo mismo a -20logw dB. La línea recta
pendiente es negativa de -20dB y el ángulo de fase es constante e
igual a -90°.
El factor derivativo cuenta con una magnitud
logarítmica de 20log|jw|, cuya línea recta pendiente es positiva de
20dB y el ángulo de fase es constante e igual a 90°.
Los factores de primer orden cuentan con una magnitud
logarítmica del factor de primer orden, es decir:
Por lo tanto, el cálculo de las asíntotas está en función
de la frecuencia. Así, para frecuencias bajas la curva de magnitud
logarítmica es una línea constante en 0dB. Para frecuencias altas,
la magnitud logarítmica aproximada cuando w=1/T, es igual a
0dB, pero cuando w=10/T, la magnitud es igual a -20dB.
La frecuencia en la cual dos asíntotas se interceptan, se
le conoce como frecuencia de corte, por lo que:
w < 1/T para frecuencias bajas.
w > 1/T para frecuencias altas.
La magnitud logarítmica de los factores cuadráticos se
calcula mediante:
Ahora bien, para encontrar el valor del ángulo de fase
del factor cuadrático, se utiliza la ecuación:
O bien, de una forma más simplificada:
26
En la figura 7.1 se observa que la magnitud logarítmica,
las asíntotas y el ángulo de fase dependen del tipo de
amortiguamiento del factor cuadrático.
Figura 7.1. Magnitud logarítmica, asíntotas y ángulo de fase.
VIII Diseño de la Ley de Control en sistemas
diseñados en el espacio de estados.Víctor Mauricio Chávez Mendoza
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Campus Morelia.
27
Morelia, Michoacán, México.
Resumen. Un sistema moderno es aquel que involucra
varias entradas y múltiples salidas que se relacionan
entre sí de una forma complicada y que se dificultaría
mucho su análisis, por lo que se utiliza el análisis y
modelado de sistemas de control desde el enfoque en el
espacio de estados. En esta sección se abordarán el
análisis y diseño de sistemas de control en espacio de
estados, para representar y controlar sistemas que
cuentan con varias entradas y múltiples salidas.
VIII. ESPACIO DE ESTADOS.
Antes de comenzar a desarrollar la explicación sobre
este método, es necesario definir algunos conceptos que se
emplearán continuamente.
Variable del sistema. Constituye cualquier variable del
sistema que responda ante una entrada o condición inicial.
Variable de estado. Incluye a todas las variables del
sistema, que junto con la excitación o condiciones iniciales
determinen por completo el valor de todas las variables del
sistema.
El espacio de estados, dentro de la teoría de control
moderno, se utiliza para el diseño de controladores ya que dentro
de sus principales ventajas podemos encontrar que se utiliza para
sistemas variantes e invariantes en el tiempo, para sistemas que
cuentan con N entradas y M salidas y que también involucra a
sistemas lineales y no lineales.
La representación en espacio de estados se lleva a cabo
por medio de matrices en donde A, B, C y D son matrices, es
decir:
Figura 8.1. Representación en espacio de estados.
Ejemplo 8.1. Obtener el modelo en espacio de estados del
siguiente sistema. Considere R=1Ω, C=0.25F y L=0.5H, y
que la salida es IR.
Figura 8.2. Sistema a utilizar para el ejemplo 8.1.
Conociendo que las variables de estado de nuestro
sistema son IL y VC, se debe encontrar dos ecuaciones
diferenciales que relacionen ambas variables, por lo que se tiene:
d il (t )
dt=
V i(t)
L−
V c(t )
L
d V c(t )
dt=
I L(t)
C−
V c(t )
RC
Por lo tanto, la ecuación de salida resultante sería:
I R=V C
R
28
[ d V C (t )
dtd I L(t)
dt]=[−1
RC1C
1L
0 ][V C (t )
I L(t ) ]+[ 01L ]V i (t)
I R ( t)=[ 1R
0][V C (t )
I L(t) ]+ [0 ] V i(t )
29
IX Apéndice de funciones Matlab.Víctor Mauricio Chávez Mendoza
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Campus Morelia.
Morelia, Michoacán, México.
IX.I FUNCIÓN RLOCUS.
La función rlocus en Matlab calcula y dibuja el lugar de
las raíces de la entrada única, salida únida. El diagrama del lugar
de las raíces se utiliza para analizar el comportamiento de
sistemas de control con retroalimentación negativa y muestra las
trayectorias de los polos en lazo cerrado cuando la ganancia K
varía de cero a infinito. La función rlocus genera
automáticamente un conjunto de valores positivos que producen
el gráfico de nuestro interés.
Para utilizar esta función en algún código de Matlab se
sigue la secuencia:
rlocus(x,y)
En donde x, y son las funciones del numerador y del
denominador, respectivamente.
Ejemplo 9.1.
Figura 9.1. Código en Matlab para la función rlocus.
Figura 9.2. Gráfico de los polos y de la respuesta al escalón.
IX.II FUNCIÓN STEP.
La función step, en Matlab calcula la respuesta
dinámica y el paso de los sistemas dinámicos. El tiempo de paso y
30
tiempo final se escogen de manera automática para entregar una
señal de salida.
Para utilizar esta función en algún código de Matlab, se
sigue la secuencia:
step(x,y)
En donde x, y son los coeficientes de las funciones del
numerador y denominador, respectivamente.
Ejemplo 9.2
Figura 9.3. Código en Matlab para la función step.
Figura 9.4. Gráfica de la señal de salida utilizando la función step.
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REFERENCIAS.
[1]
«http://prof.usb.ve/mirodriguez/Labcontrol/Practica%202.pdf,» [En línea]. Available: http://prof.usb.ve/mirodriguez/Labcontrol/Practica%202.pdf. [Último acceso: 4 Julio 2013].
[2]
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[3]
«Función impulso unitario,» [En línea]. Available: http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node9.html. [Último acceso: 4 Julio 2013].
[4]
«SEDE BOGOTA,» [En línea]. Available: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001601/cap04/Cap4tem1.html. [Último acceso: 4 Julio 2013].
[5
«http://www.ingenierias.ugto.mx/profesores/ljavier/documentos/Lec02%20-%20Se%C3%B1ales
] %20%20en%20Tiempo%20Discreto.pdf,» [En línea]. Available: http://www.ingenierias.ugto.mx/profesores/ljavier/documentos/Lec02%20-%20Se%C3%B1ales%20%20en%20Tiempo%20Discreto.pdf. [Último acceso: 4 Julio 2013].
[6]
«http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/descargas/transparencias_orden.pdf,» [En línea]. Available: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/descargas/transparencias_orden.pdf. [Último acceso: 4 Julio 2013].
[7]
O. Katsuhiko, Ingeniería de Control Moderna, Madrid: Pearson Educación, 2003.
