Mejor Respuesta Induccion
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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Mejor respuesta - Elegida por la comunidad
Mira:
La inducción es un método muy util cuando uno quiere probar propiedades que se
cumplen para todos los números NATURALES Esto consta de tres pasos importantes
!amos a describirlos con un e"emplo
#uiero probar que$ para todos los números naturales se cumple que
% &' & ( & ) & & n * n +n&',-(
+', El primer paso es el .AS/ 0AS12/
en el cual tu demuestras que la propiedad se cumple para el numero %
.ara el caso de n*% tenemos
% * +%,+%&',-( entonces se cumple para n*%
+(, El si3uiente paso es 4ormular la 51./TES1S 6E 1N6U221/N$ es decir$ 7amos a
suponer que la propiedad se cumple para un natural n Es decir$ asumamos que
% &' & ( & ) & & n * n +n&',-($ par un natural n
+), 8 en el último paso$ 7amos a probar la propiedad para el caso n&'$ asumiendo la9ipotesis de inducción$ es decir$ asumiendo que ya se cumple para n
.robemos que se cumple para n&'$ 9aciendo la sumatoria 9asta el término n&'$ y
7iendo que el resultado concuerda con el de la propiedad:
% &' & ( & ) & & n & +n&',
* + % &' & ( & ) & & n , & +n&', simplemente asocié con un parentesis todos los
termins 9asta n
.ero$ en la 9ipótesis de inducción asumamos que$ lo que est; dentro del parentesis3rande tena como reusltado
n+n&',-($ entonces esa eando +n&', queda i3ual a
* +n&',+n&(,-(
* +n&',++n&', &', -(
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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Si tu 7es este es el resultado de la propiedad
es decir$ esto es n+n&',-($ pero en 7es de n$ est; +n&',$ entonces la proiedad se cumple
para +n&',
8 de estos tres pasos concluimos que la propiedad se cumple para todos los naturales$
pues lo probamos para %$ y tambien probamos que$ si se cumple para al3un natural n$tambien se cumple para el si3uiente +n&', entonces
si se cumple para %$ se cumple para el si3uiente que es '
si se cumple para '$ se tiene para ($
entonces se tiene para +(&', * )
para ?
para @
y asi in4initamente para todos los naturales
asi mas o menos se utili>a el metodo de indución en los Naturales
• 9ace ( aos
• La 1nducción Matem;tica se aseme"a a una 9ilera de 4ic9as de dominó alineadas$
tumbas las primeras y las dem;s se tumban solas
El procedimiento es el si3uiente:
', .ruebas para n*'$ n*($ n*) +los primeros casos,
(, Supones que el problema es cierto para n*B$ un número cualquiera en 4orma
3eneral
), A9ora$ pruebas que el problema es cierto para n*B&'
ListoCC Si es cierto para B y para B&'$ entonces es cierto para todos los Naturales$
porque probaste que era cierto para '$ ( y )
E"emplo: +los números después de la DaD son subndices,
a' * (%%
a' & a( * (=a(a' & a( & a) * )=a)
:
:
a' & a( & a) & & an * n=an
.robar que
an * (%%-+nFn&'G-(,
', resuel7es para los primeros casos:
n * '
a' * (%%HH
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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a' * (%%+'F(G-(, * (%% correcto
III
n * (
a' & a( * (=a(
a' * )a(
a( * a'-) * (%%-)HH
(%%-+(F)G-(, * (%%-) correcto
III
(, A9ora suponemos que es cierto para n * B
a' & a( & a) & & aB * B=aB
aB * (%%-+BFB&'G-(,
), .robar para B&'
a' & a( & a) & & a+B&', * +B&',=a+B&',
Sabes que
a' & a( & a) & & aB * B=aB+paso (,
Entonces sustituyes lo de la derec9a de la i3ualdad arriba
B=aB & a+B&', * +B&',=a+B&',
B=aB & a+B&', * FB=& (B & 'Ga+B&',no te con4undas con los paréntesis$ B&' es
subndice
B=aB & a+B&', * B=a+B&',& (Ba+B&', & a+B&',
B=aB * B=a+B&',& (Ba+B&',
B=aB * FB= & (BGa+B&',
a+B&', * B=aB - FB= & (BG
a+B&', * BaB - FB & (G
Sustituyes aB * (%%-+BFB&'G-(,
a+B&', * B(%%-+BFB&'G-(, - FB & (G
a+B&', * (%%-FFB&'G-(, - FB & (GG
a+B&', * (%%-F FB&'GFB & (G-(, G
ListoCC 2on esto se prueba que si es 7;lido para B$ entonces es 7;lido para B&'$
ya que probaste los primeros casos
HH
Saludos
• Supon3o que 9ablas de inducción matem;tica
', 6emuestras la proposición para i * '
(, Supones cierta para i * n
), 8 demuestra que es cieta para i * n & '
2omo e"emplo :
La sumatoria ' & ( & i & n * n + n&', -(
', para i * i queda :
' * ' &+ '& ', - ( lo cual es cierto (, Supones cierto para i * n
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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), lo complicado 7iene eneste punto demostrar para i * n & '
para el paso anterior sumas + n &' , a ambos lados y te queda :
La sumatoria ' & ( & i & n &+ n &' , * n + n&', -( & + n & ' ,
.ara el lado derec9o tienes
n + n & ', -( & + n & ' , * + n &', F n - ( & ' ,
n + n & ', -( & + n & ' , * + n &' ,F + n & ( , - ( G JJ.ero n & ( lo puedes poner como Fn &'G & '
Si cambio m por n & ' es decir 9a3o m * n & '
La e
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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Vemos que se cumple para n=1, y ahora suponiendo que se cumple
para n veamos que pasa con n +1:
que vuelve a cumplir la ley prevista, luego debe cumplirse para todos
los valores de n, ya que si se cumple para uno cualquiera debe
cumplirse para el siguiente.
Saludos, Jabato.
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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INDUCCIÓN COMPLETATeorema de inducción completa# .rincipio de inducción completaSmbolo de sumatoria# .ropiedades de las sumatorias DII!I"ILIDAD - M#$IMO COM%N DII!O& 6i7isores y múltiplos# .ropiedades#Al3oritmo de Euclides# .ropiedad lineal del M;
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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PRINCIPIO DE INDUCCIÓN COMPLETA
Sea la función proposicional %(n)& donde n ∈ N# Si ocurre que %(1) eserdadera& y adems %(*) es erdadera& y de aqu se deduce que %(*=1) eserdadera& entonces %(n) es erdadera (7ideo de 1nducción Matem;tica de 8ou
Tube)
2ipótesis%(1) es erdadera∀*!%(*) ⇒ %(*=1)
+esis∀n!%(n) es Eerdadera
>emostración
+eniendo en cuenta el teorema anterior & si %(n) es erdadera para un n,merofinito de naturales de S⊂N# F como por *ipótesis %(1) es erdadera& entonces1∈S& y *∈S ⇒ *=1∈S& entonces N⊂S& lo que significa %(n) es erdadera paratodos los n de N
%or e-emplo!
>emostrar que los n primeros n,meros naturales es (,'+ +nn
%ara ello *acemos!
%ara n81
''(
('
(
,''+'' =⇒=⇒
+=
$sto significa que %(1) es erdadero
%lanteamos una *ipótesis donde n8* (%(*) erdadera)& entonces
(
,'+@?)('
+=+++++
hhh
*ora la tesis para n8*=1
(
,'',+'+,'+?)('
+++=+++++++
hhhh
>emostración
%or *ipótesis& y teniendo en cuenta los * primeros términos tenemos!
(,(,+'+,'+
(,'+ ++=+++ hhhhh
http://www.youtube.com/watch?v=mwYudS5KN1k&eurl=http://www.truveo.com/Inducci%C3%B3n-Matem%C3%A1tica/id/3697227725&feature=player_embeddedhttp://www.youtube.com/watch?v=mwYudS5KN1k&eurl=http://www.truveo.com/Inducci%C3%B3n-Matem%C3%A1tica/id/3697227725&feature=player_embeddedhttp://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#.http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#.http://www.youtube.com/watch?v=mwYudS5KN1k&eurl=http://www.truveo.com/Inducci%C3%B3n-Matem%C3%A1tica/id/3697227725&feature=player_embeddedhttp://www.youtube.com/watch?v=mwYudS5KN1k&eurl=http://www.truveo.com/Inducci%C3%B3n-Matem%C3%A1tica/id/3697227725&feature=player_embeddedhttp://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#.
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F sacando com,n denominador& tenemos!
(
,(,+'+
(
,'+(,'+ ++=
+++ hhhhh
F sacando factor com,n (*=1) queda!
(
,(,+'+
(
,(,+'+ ++=++ hhhh
$sto indica que %(*=1) es erdadera& lo que significa que esta se cumple paratodos los naturales#<
EL SÍMBOLO DE SUMATORIA
$n ms de una oportunidad debemos resumir una suma de términos ya sea
infinita o finita& para ello recurrimos a un smbolo llamado de sumatoria (∑)# %or e-emplo sea!
@?)(' aaaaa ++++ la que la escribimos resumida de la siguiente forma!
∑=
@
'i
ia
>onde G1&5&:&H&J∈I (con-unto de ndices)& i81 se denomina e'tremo inferior& e'tremo superior#<
Sea por e-emplo!
n
n
i
i aaaaa ++++=∑=
)('' & o sea la suma de los términos desde a1 *asta an
ariando de 1 en 1#
*ora& sea por e-emplo!
((((( @?)(' ++++ & el problema es encontrar una e'presión que nos permitae'presar esta fórmula como sumatoria& y aqu obseramos que el que aumentede 1 en 1 es la base de la potencia& o sea que es i 5& lo que significa que la
sumatoria queda!∑
=
@
'
(
i
i
%ara desarrollar la sumatoria *acemos!
L(
'@
(
'?
(
')
(
'(
(
''
(
'%
(
'
(
'L
%
+++++⋅+⋅=∑=i
i
y se resolemos obtenemos el alor de la sumatoria#<
PROPIEDADES DE LA SUMATORIA
1) La sumatoria de la suma es igual a la suma de las sumatorias
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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∑ ∑∑= ==
+=+n
i
n
i
ii
n
i
ii baba' ''
,+
>emostración!
>esarrollando la sumatoria se tiene!
,+,+,+,+ (('''
nn
n
i
ii babababa ++++++=+∑=
grupando las AaB y las AbB tenemos
,+,+,+ ('(''
nn
n
i
ii bbbaaaba +++++++=+∑=
F transformando cada uno de los paréntesis en sumatoria queda!
∑ ∑∑ = == +=+n
i
n
i
ii
n
i
ii baba' ''
,+
5) La sumatoria de una constante por término genérico& es igual a laconstante por la sumatoria
∑∑==
=n
i
i
n
i
i ak ak ''
>emostración!
Sea!
n
n
i
i ak ak ak ak ak )(''
++++=∑=
Sacando factor com,n K & queda!
,+ )(''
n
n
i
i aaaak ak ++++=∑=
F transformando el paréntesis en sumatoria& se tiene!
∑∑==
=n
i
i
n
i
i ak ak
''
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
DIVISORES Y MÚLTIPLOS
Sean los n,meros enteros AaB y AbB& se dice que AaB diide a AbB s y solosi e'iste otro entero AcB tal que b8a'c# $n smbolos!
cab Z cba Z b Z a ×=∈∃⇔⇒∈∧∈ -Sean
aKb! se lee Aa diide a bB
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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*ora& si AaB diide a AbB& entonces se dice AbB es m,ltiplo de AaB& y se
denota•
= ab
PROPIEDADES%ropiedad 1Si un n,mero diide a otro& entonces diide al producto de este por otron,mero& o sea!
aKb ⇒ aKb#n
>emostración
Si aKb ⇒ ∃cb8a#c *ora& multiplicamos ambos miembros por el n,mero AnB&
entonces se tiene!
b#n8a#(c#n) pero c#n es un n,mero entero& lo que significa que b#n8a#c1 ⇒ aKb#n
%ropiedad 5Si un n,mero diide a otro& entonces diide a su opuesto& o sea!
aKb ⇒ aKemostración
+eniendo en cuenta la propiedad 1 se tiene que si aKb ⇒ aKb#(
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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$l lgoritmo de $uclides es un procedimiento paso a paso que nospermite determinar el m'imo com,n diisor de los n,meros a y b,denotndose MCD(a,b)# Las siguientes propiedades -ustifican este algoritmo#
%ropiedad 1
Si a, b y r son n,meros enteros tales que a=c.b+r, entoncesMCD(a,b)=MCD(b,r)
>emostración!
%artimos de la suposición de que el MCD(a,b)=p ⇒ b pa p ∧
& y teniendo en
cuenta la de4inición de di7isores& se tiene que s pbt pa Z s Z t -$ =∧=∈∃∈∃
*ora& despe-ando de la *ipótesis el n,mero r, y reempla;ando por lodemostrado anteriormente y operando& se tiene!
,+ c st pc s pt pcbar −=−=−=
$sto significa quer p pc st r ⇒−= ,+
& lo que concluimos quer pb p ∧
⇒MCD(b,r)=p.Luego por propiedad transitia de la igualdad& tenemos que!
MCD(a,b)=MCD(b,r)
%ropiedad 5
Si a y b son dos n,meros enteros no nulos tales que bKa& entonces MCD(a,b)=b
Indudablemente& si bKa ∧ bKb ⇒ MCD(a,b)=b
Masndonos en estas dos propiedades desarrollaremos el lgoritmo de$uclides& y para esto recordaremos la definición de cociente!
Dividendo = divisor x Cociente + Resto.
*ora& sean a∈Z ∧ b∈Z, a≠ 0 ∧ b≠ 0, el algoritmo de la diisión implica lae'istencia de dos n,meros naturales c4 y r 1& tales que podamos *acer elcociente entre a y b!
br r bca ≤≤+= ''% % $
Si r 184& entonces el MCD(a,b)=b, esto -ustificndolo con la .ropiedad (& casocontrario *acemos nueamente la diisión entre b y r 1, obteniendo c 1 y r 2 & yteniendo en cuenta que la .ropiedad ' nos dice que MCD(a,b)=MCD(b,r 1 ),entonces:
'(('' % $ r r r r cb ≤≤+=
http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#DIVISORES_Y_M%C3%9ALTIPLOS_http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#Propiedad_2_http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#Propiedad_2_http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#Propiedad_1_http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#DIVISORES_Y_M%C3%9ALTIPLOS_http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#Propiedad_2_http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#Propiedad_2_http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#Propiedad_1_http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#Propiedad_1_
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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Si r 5 8 4& entonces el MCD(a,b)=c 1& caso contrario seguimos con el mismora;onamiento y llegamos al paso i & donde!
'''( % $ −−−− ≤≤+= iiiiii r r r r cr
*ora& como%(' ≥>>> r r b & es eidente que en un n,mero finito AnB de
pasos conbn ≤
& llegaremos a un resto r n84& es decir que ''( −−− = nnn r cr & esto
implica que (' −− nn r r
& y por la %ropiedad 5 ''(,$+ −−− = nnn r r r MCD & y teniendo en
cuenta la %ropiedad 1& queda!
''(('' ,$+,$+,$+,$+ −−− ===== nnn r r r MCDr r MCDr b MCDba MCD
*ora& para determinar el m'imo com,n diisor por este algoritmo *acemos elsiguiente cuadro!
c1 c5 c: NNNNNNN# cn cn=1a b r 1 r 5 NNNNNNN# r n(a&b)8Kr n(HH1&5H)
2acemos el cociente entre HH1 y 5H
'M
%%N
(%'
(???'
'MN% $N'M(???'
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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>e acuerdo a lo que establece el algoritmo& tenemos!
),)$L+,L$N+,N$(?+,(?$??'+ ==== MCD MCD MCD MCD
2aciendo el cuadro e'puesto anteriormente& se tiene!
18 2 1 2441 24 9 6 9 6 !
O>(HH1& 5H) 8 :
%R/%I$>> LI.$L >$L O0IO/ /OT. >IEIS/RSi a y b son dos n,meros enteros no nulos y MCD(a,b)=p& e'isten dos n,merosenteros u y & tales que p=a.u+.b
>emostraciónSupongamos que p=r n!1. %uesto que para todo i & r i
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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ECUACIONES DIO"ANTICAS
Wna ecuación de ariable A'B e AyB se llama diofntica si y sólo si,$+ ba MCD yb xa =+
%ropiedades de las ecuaciones diofnticas
%ropiedad 1
Sean a, b y c tres n,meros enteros con MCD(a,b)=" & la ecuación a.# + b.y = c tiene solución entera s y sólo si dKc#
>emostraciónSi la ecuación a.# + b.y = c tiene soluciones enteras& e'isten u∈Z y ∈Z talesque a.u + b. = c # omo MCD(a,b)=", entonces a=p." y b=$." con p, $
n,meros enteros& entonces!c=a.u + b. = p.".u + $.". = (p.u + $.)."
Lo que est en el paréntesis es un n,mero entero& entonces c=%." ⇒ " Kc
%ropiedad 5
Sean a, b y c n,meros enterosX si # 0 ∈Z, y 0 ∈Z es una solución particular de laecuación diofntica a.# + b.y =c, todas las soluciones enteras de esta ecuaciónson de la forma!
nd
b x x O% +=
,n
d
a y y O
% −=& con n∈Z, y "on"e MCD(a,b)="
>emostración
omo '4 e y4 es una solución de a#' = b#y 8c& entonces a#'4 = b#y4 8 c#
*ora *acemos!
−+
+=+ n
d a ybn
d b xa yb xa OO %%
F aplicando la propiedad distributia& se tiene!
nd
ab ybn
d
ab xa yb xa O
O
%% −++=+
F cancelando queda!
%% yb xa yb xa +=+
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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Lo que significa quen
d
b x O% +
en
d
a y O% −
es solución de a#' = b#y 8 c#
%ero como ('4& y4) es solución de la ecuación& entonces ' D '4 8 4 e y D y4 8 4&por lo tanto!
%,+,+%%
=−+− y yb x xa
2aciendo un pasa-e de términos se tiene!
,+,+%%
y yb x xa −−=−
Que es lo mismo que!
,+,+ %% y yb x xa −=−
(1)>iidiendo ambos miembros por AdB& queda!
,+,+ %% y yd
b x x
d
a−=−
(5)
omo el O>(a& b)8d ⇒ '$ =
d
b
d
a MDC
ya que d a
y d b
son primos entre s
%or otro lado& y de acuerdo a la igualdad 5&n
d
a y y Z n y y
d
aO-,+ %% =−∈∃⇒−
& loque significa que!
nd
a y y O% −=
(I)
Sustituyendo el alor de AyB en la igualdad 1 se tiene!
+−=− n
d
a y yb x xa O,+ %%%
ancelando queda!
nd
ab x xa O
,+ % =−
>espe-ando& se tiene!
http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#N%C3%9AMEROS_RELATIVAMENTE_PRIMOS_O_PRIMOS_ENTRE_S%C3%8D_http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#N%C3%9AMEROS_RELATIVAMENTE_PRIMOS_O_PRIMOS_ENTRE_S%C3%8D_
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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nd a
ab x x O
%
//=−
>espe-ando A'B se tiene!
nd
b x x O% +=
(II)
>e I y II& queda demostrado el teorema#<
$-emplo!>eterminar las soluciones positias de la siguiente ecuación diofntica!
54#' = 4#y 8 H:4
/bseramos que el O>(54& 4)814 y como 14KH:4& entonces se asegura quela ecuación tiene soluciones enteras#<
*ora busquemos una solución particular& y lo *aremos teniendo en cuenta elalgoritmo de $uclides& donde! 4 8 5#54 = 14 ⇒ 14 8 4 D 54#5& por lo tanto!
H:4 8 H:#14 8 H:#(4 D 5#54) 8 H:#4 D U#54
Lo que significa que '4 8
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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( ))$'?(%O'%
(%?)$(%O
'%
@%ML ⇒
−+−
( )'$'N('O'%
(%?)$('O
'%
@%ML ⇒
−+−
CONGRUENCIA EN MÓDULO #$%
Los n,meros AaB y AbB son congruentes en módulo AnB si AnB diide a sudiferencia& o sea!
bann Z b Z a −⇔∈∧∈ móduloenscon3ruenteson
%ara denotar que los n,meros AaB y AbB son congruentes en módulo AnB& usamosa ≡ b(n)
%ropiedadLa congruencia en módulo AnB es una relación de equi7alencia
>emostración ntes de todo& definimos la relación!
ban Z Rba −⇔⊂∈ (,$+
%ara demostrar que la congruencia en módulo AnB es una relación deequi7alencia& se debe demostrar que es re4le
-
8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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Refle'ia
+odo n,mero diide al cero& por lo tanto!
Raaaann ∈⇒−⇒ ,$+%
Simétrica
>e acuerdo a lo definido se tiene!
Rababnbanban Rba ∈⇒−⇒−−⇒−⇒∈ ,$+P,',++PP,$+
$sto es teniendo en cuenta las propiedades 1& 5 y : de diisores y m,ltiplos
+ransitia
Supongamos que!
Rcacanabbancbnban Rcb Rba ∈⇒−⇒−/+/−⇒−∧−⇒∈∧∈ ,$+PPPP,$+,$+
Lo que queda demostrada que la congruencia en módulo AnB es una relación deequi7alencia#
ECUACIONES CON CONGRUENCIAS EN MÓDULO #$%
Sea la ecuación
,+nbax ≡
>onde a y b son n,meros enteros y AnB es un entero positio# Wsando lacongruencia en módulo AnB se deduce que la ecuación anterior se satisfacecuando e'iste y∈Y tal que!
n ybax =−
Lo que significa que esta ecuación queda!
bn y xa =− $-emplo!
$ncontrar las soluciones de la ecuación ,L+(? ≡ x #
Si ' es una solución entera de la ecuación& entonces e'iste un entero AyB tal
que y x L(( =− & es decir que (L( =− y x & y como el O>(&5) 8 5# F teniendoen cuenta la propiedad ' de las ecuaciones diofnticas& tiene infinitas soluciones&y la .ropiedad ( nos e'plica como calcularas!
+eniendo en cuenta el Al3oritmo de Euclides& decimos que 8 1#H = 5& y
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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$l resto de las soluciones tienen la forma!n yn x (' )' −−=−−= con n∈Y
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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+RMZ/ %R+I/ .[
• $scribir como sumatoria!• 1) =++++++ '@''NE@)'
• 5) =++++
n
x x x x n)('
• :) =+++++++
M'
'
L?
'
?N
'
)L
'
(@
'
'L
'
N
'
?
'
• H) =+++++ ('ML(LM(%
• ) =++++++ (N'?''M@(
• ) =+++++ E(E(?'EN(LE'
• \) =+−+−
'%%
'
L?
'
)L
'
'L
'
?
'
•
•
• U) >emostrar por el método de inducción completa
• a) ∑
=
+
−=
n
in
ni
'
'
)
((
)
(
• b) ∑
=
++=
n
i
nnni
'
(
L
,'(,+'+
• c) ∑
=
−=−n
i
nn
ini'
( ,'+L
,+
• d) nn
(
''
(
'
M
'
?
'
(
'−=++++
• e) ''%'%)
' +++ nn
• f) nn +((
• g) ∑
=
−+=n
i
nii'
',C'+C
• *)
∑ ∑= =
=
n
i
n
i
ii'
(
'
)
• i) nn @M) −
• -) ∑
−
= −−
='
' '
'n
i
ni
x
x x
si # ≠ 1
• ]) ∑
=
+−=
n
ini
ni
' (
((
(
•
P) >eterminar el O> usando el algoritmo de $uclides dea) : y HPb) 1P y P:c) 51 y 51U\
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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d) 15: y H:e) H\5 y :H
14) %robar que si a& b y m son n,meros enteros positios& O>(m#a&m#b)8m#O>(a& b)
11) %robar que si c8O>(a& b) entonces'$ =
cb
ca MDC
15) Si p y q son dos n,meros primos entre s& demostrar que si pKq#m ⇒ pKm1:) Si O>(a&b&c)& probar que O>(O>(a&b)&c)8O>(a&O>(b&c))1H) Si O>(a& b)81& probar que O>(a=b& a D b)81 ó O>(a=b& a D b)851) 2allar todas las soluciones enteras de las ecuaciones diofnticas!
a) 5#' = :#y 8 \b) 51#' D :#y 8e cuantas formas posibles se pueden tener ^::4 repartidas en billetesde ^14 y ^54?
1\) Si aC4& bC4 y O>(a& b)81& probar que todo 'Ca#b puede escribirse comoa#u = b# 8 '& con u y positios#
1U) Resoler las siguientes ecuaciones!a) ' ≡ 1:(P1)b) ' ≡
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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Hola, este es mi primer post. e gustaria ayuda con esto ... soy principiante
en esto del cálculo
!racias "
#ienvenido"""
#ueno esto de la inducci$n matem%tica debes primer probar que se cumple
para los primeros t&rminos, luego a'irmar que se cumple para el termino ()
esimo, esta suposici$n se denomina *Hip$tesis inductiva* y luego para
'inaliar demuestras que se cumple para (+1.
ntonces para n=1, la sumatoria es cero en ambos miembros, para n=- el
resultado es .
Hip$tesis inductiva .
hora demostraremos para n=(+1
/ara ello debes sumar a lo anterior el termino (+1 y llegar a
Suerte, este 0ltimo paso es cuesti$n que tengas claras las nociones
algebraicas.
Saludos
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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2ola eudemo te agrade;co por la rspta anteriores q me brindaste
como se seria Sn para los sgtes e'persionesSn85_5=H_5=######n_5Sn81_5=:_5=######n_5Sn85_:=H_:=#####n_:Sn81_:=:_:=#####n_:
%d! *ay un lin] acerce de estas e'presiones en general#saludos
%use algunos signos menos en lugar de signos ms# La suma de los cuadrados es!
Sn81_5=:_5=######n_5 8n (n=1)(n=15):
```````````````````Sigo
/bsera como partiendo de la suma de los cuadrados de los n primeros n,meros naturales *asta n!
Sn81_5=:_5=H_5=###=n_5 8 n (n=1)(n=15):
%odemos obtener la suma de los cuadrados de los n primeros n,meros pares *asta n (n par)
Sn85_5=H_5=_5=###=n_5 8H(1_5=5_5=:_5=###=(n5)_5
H# n5 (n5=1)(n5=15):88 n (n=5)(n=1)
Que ocurre si queremos *allar la suma de los cuadrados de los imparesSn81_5=:_5=_5=###=n_5 (n impar)Simplemente *allamos la suma de los cuadrados de todos los naturales *asta n y le restamos la suma de los pares*asta (n
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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Pregunta resuelta
Ver otra »
¿obtener sucesion de sumas parciales y suma de la serie 1/{(2n-1)(2n+1)}
la serie!(sumatoria de 1 a in"nito) 1/{(2n-1)(2n+1)} es con#ergente$
a$ %btener la sucesion de sumas parciales$
b$obtenga la suma de la serie
1/{(2n-1)(2n+1)}& 1/2' 1/(2n-1) - 1/(2n+1)
a1& 1/2' 1/1 - 1/*
a2& 1/2' 1/* - 1/
$$$$a(n-1)& 1/2' 1/(2n-*) - 1(2n-1)
an& 1/2'1/(2n-1)-1/(2n+1)
&&, n & a1+a2+$$$+an & 1/2' 1/1 - 1/(2n+1) & n/(2n+1)
&lim.{n--,in} n& 1/2
0(2n+1)(n+1)/ & a la suma de uadrados
0ecesito aber como se llego a de la ormula n(2n+1)(n+1)/ a
132+232+*32+432+32& y si sustuimos en n por tambien es ¿
cual es la ra5on de ser de esa ormula se saca con deri#adas
No se como se lle3o ori3inalmente a esa 4ormula pero te puedo decir como lle3ar a ella
http://es.answers.yahoo.com/question/nextQuestion;_ylt=AmJbDJKfXedJLxxgjQpuDXqy_At.;_ylv=3?qid=20081201023836AAcaHjO&cid=396545161&state=resolvedhttp://es.answers.yahoo.com/question/nextQuestion;_ylt=AmJbDJKfXedJLxxgjQpuDXqy_At.;_ylv=3?qid=20081201023836AAcaHjO&cid=396545161&state=resolved
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8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion
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+i&',Q) * iQ) & )iQ( & )i & '
Sum +i&',Q) * sum iQ) & ) sum iQ( & ) sum i & sum ' Todas las sumas son de ' a n
sum +i&',Q) H sum iQ) * +n&',Q) H '
sum ' cuando i 7aria de ' a n es n
Asi que te queda:
Sum +i&',Q) H sum iQ) * ) sum iQ( & ) sum i & sum '
+n&',Q) H ' * ) sum iQ( & ) sum i & n
La suma de los n primeros naturales es n+n&',-(
+n&',Q) H ' * ) sum iQ( & ) n+n&',-( & n
nQ) & )nQ( & )n & ' H ' * ) sum iQ( & ) n+n&',-( & n
5acemos denominador comun (
(nQ) & nQ( & n * sum iQ( & ) n+n&', & (n
6e a9i podes despe"ar la suma de los cuadrados
sum iQ( * (nQ) & )nQ( & n
sum iQ( * n+n&',+(n&',-
Ana
http:boo(s.google.com.ecboo(s2id=134umcls5678pg=91)
/18lpg=91)/18dq=5a+sumatoria+de+-n
;-#i8source=bl8ots=#?@@v4m8sig=noegA3?rAm#BnC4q?tD19
ElnF8hl=es8ei=5o-iSuGV7e5tge6FI3>8sa=K8oi=boo(@result8c
t=result8resnum=1?Lv=onepage8q=8'='alse
http://books.google.com.ec/books?id=1DFumclsLWEC&pg=RA1-PA13&lpg=RA1-PA13&dq=La+sumatoria+de+2n%2Bi&source=bl&ots=BO9w0__vFm&sig=noegI3D0rImBNnZFq0tT1R43lnY&hl=es&ei=Lo2iSuKVC8eLtgeW3Yj7Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#v=onepage&q=&f=falsehttp://books.google.com.ec/books?id=1DFumclsLWEC&pg=RA1-PA13&lpg=RA1-PA13&dq=La+sumatoria+de+2n%2Bi&source=bl&ots=BO9w0__vFm&sig=noegI3D0rImBNnZFq0tT1R43lnY&hl=es&ei=Lo2iSuKVC8eLtgeW3Yj7Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#v=onepage&q=&f=falsehttp://books.google.com.ec/books?id=1DFumclsLWEC&pg=RA1-PA13&lpg=RA1-PA13&dq=La+sumatoria+de+2n%2Bi&source=bl&ots=BO9w0__vFm&sig=noegI3D0rImBNnZFq0tT1R43lnY&hl=es&ei=Lo2iSuKVC8eLtgeW3Yj7Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#v=onepage&q=&f=falsehttp://books.google.com.ec/books?id=1DFumclsLWEC&pg=RA1-PA13&lpg=RA1-PA13&dq=La+sumatoria+de+2n%2Bi&source=bl&ots=BO9w0__vFm&sig=noegI3D0rImBNnZFq0tT1R43lnY&hl=es&ei=Lo2iSuKVC8eLtgeW3Yj7Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#v=onepage&q=&f=falsehttp://books.google.com.ec/books?id=1DFumclsLWEC&pg=RA1-PA13&lpg=RA1-PA13&dq=La+sumatoria+de+2n%2Bi&source=bl&ots=BO9w0__vFm&sig=noegI3D0rImBNnZFq0tT1R43lnY&hl=es&ei=Lo2iSuKVC8eLtgeW3Yj7Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#v=onepage&q=&f=falsehttp://books.google.com.ec/books?id=1DFumclsLWEC&pg=RA1-PA13&lpg=RA1-PA13&dq=La+sumatoria+de+2n%2Bi&source=bl&ots=BO9w0__vFm&sig=noegI3D0rImBNnZFq0tT1R43lnY&hl=es&ei=Lo2iSuKVC8eLtgeW3Yj7Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#v=onepage&q=&f=falsehttp://books.google.com.ec/books?id=1DFumclsLWEC&pg=RA1-PA13&lpg=RA1-PA13&dq=La+sumatoria+de+2n%2Bi&source=bl&ots=BO9w0__vFm&sig=noegI3D0rImBNnZFq0tT1R43lnY&hl=es&ei=Lo2iSuKVC8eLtgeW3Yj7Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#v=onepage&q=&f=falsehttp://books.google.com.ec/books?id=1DFumclsLWEC&pg=RA1-PA13&lpg=RA1-PA13&dq=La+sumatoria+de+2n%2Bi&source=bl&ots=BO9w0__vFm&sig=noegI3D0rImBNnZFq0tT1R43lnY&hl=es&ei=Lo2iSuKVC8eLtgeW3Yj7Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#v=onepage&q=&f=false
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