Mefenmecfracjr Vm v4

$: Mefenmecfracjr Vm v4$
7/26/2019 Mefenmecfracjr Vm v4

http://slidepdf.com/reader/full/mefenmecfracjr-vm-v4 1/27

Introduccion: calculo del FIT K I Metodos numericos: Fundamentos del MEF Interpolacion isoparametrica Aplicacion del MEF en MFEL

Leccion: Metodos numericos para el calculo del FIT K I

Mecanica de la Fractura

Grupo de Elasticidad y Resistencia de MaterialesUniversidad de Sevilla

Vladislav Mantic, Federico Parıs, Jose Reinoso

5 de mayo de 2016

Jose Reinoso Cuevas1 / 27




Contenidos

1 Introduccion: calculo del FIT K I

2 Metodos numericos: Fundamentos del MEF

3 Interpolacion isoparametrica

4 Aplicacion del MEF en MFEL





Metodos para el Caculo del FIT K I

Existen muy pocos problemas en los que se puedan determinar deforma analıtica G y K I → procedimientos alternativos

Metodos analıticos:Relacion de K I y la flexibilidad C Metodos de funciones de ponderacion (peso)Principo de superposicion

Metodos numericos:Metodo de los Elementos Finitos (MEF)Metodo de los Elementos de Contorno (MEC)

MEF es el mas empleado en aplicaciones practicas debido a su granversatilidad para distintas geometrıas, materiales, condiciones decarga

Sin embargo el MEC puede resultar mas adecuado para ciertos

problemas de la MFEL

Tecnicas experimentalesExtensometrıaFotoelasticidadRelacion de K I y la flexibilidad C Metodo de causticas





Contenidos









Fundamentos del MEF

Metodo de Elementos Finitos: tecnica numerica para la resolucionde ecuaciones diferenciales de forma aproximada

El dominio bajo estudio se discretiza en una serie de subdominios(elementos)

Aplicacion al problema del solido deformable → se discretiza(aproxima)

1 Geometrıa del solido2 Variables elasticas: tensiones, deformaciones y desplazamientos

Ecuaciones de gobierno1 Equilibrio interno2 Compatibilidad: relacion entre deformaciones y desplazamientos

(ε

−u)

3 Ley de comportamiento: relacion entre tensiones y deformaciones(σ − ε)





Fundamentos del MEF

El solido se discretiza en pequenos subdominios = elementos finitos2D: triangulos/cuadrilateros; 3D: tetraedros/prismas

e1

e2

e3

e1

e2

e3 ∪

Discretización

∪

e1

e2

e3

Punto de integración

Nodo

Coordenada nodal

Ingredientes basicos que componen un modelo MEFNodos → grados de libertad nodales (incognitas): desplazamientosElementos

→ Conectividad inter-elemental: malla


K




Fundamentos del MEF

Teorema de los desplazamientos virtuales (TDV): si

D

εψ

ij σij dV =

D

ψi X i dv + ∂ D

ψc

i t

c

i ds

se cumple ∀ εψij y ψi campos de desformaciones y desplazamientoscompatibles ⇒ σij , t

c i y X i estan en equilibrio.

Ecuaciones de equilibrio interno (campo real):

σij , j + X i = 0 en D ; t i = σij n j en ∂ D t

Ecuaciones de compatibilidad (campo virtual):

εψ =

1

2 (ψi , j + ψ j ,i ) en D ; ψi = ψi en ∂ D u

Ley de comportamiento (elastica lineal):

σij = Cijkl εkl ; σ = C : ε

conCijkl = C jikl = Cijlk ; Cijkl = Cklij


I t d i´ ´l l d l FIT K M t d ´ i F d t d l MEF I t l i´ i t i A li i´ d l MEF MFEL




Fundamentos del MEFEn la notacion de Voigt (pseudovectores de orden 6 × 1 en lugar detensores 3× 3)

σ = (σ11, σ22, σ33, σ23, σ13, σ12)T, ε = (ε11, ε22, ε33, γ 23, γ 13, γ 12)T

σ = Cε = CBu, ε = Bu

El operador de compatibilidad desplazamientos-deformacion (3D):

B =

∂ ∂ x

0 0

0 ∂ ∂ y

0

0 0 ∂

∂ z

0 ∂ ∂ z

∂ ∂ y

∂ ∂ z

0 ∂ ∂ x

∂ ∂ y

∂ ∂ x

0

La matriz de rigidez (representa las ecuaciones de Lame):

C =

λ + 2G λ λ 0 0 0λ λ + 2G λ 0 0 0λ λ λ + 2G 0 0 00 0 0 G 0 00 0 0 0 G 0

0 0 0 0 0 G


Introduccion: calculo del FIT K Metodos numericos: Fundamentos del MEF Interpolacion isoparametrica Aplicacion del MEF en MFEL




Fundamentos del MEF

Introduciendo las expresiones anteriores en la ecuacin del TDV

D

(Bψ)T CBu dV = D

ψTXdv + ∂ D

(ψc )Ttc dS (∀ ψ continuos)

Discretizacion de los desplazamientos reales (funcionesaproximantes)

u

= u 1

u 2

u 3

=

ni =1

ai φi (x , y , z )

ni =1

b i φi (x , y , z )

ni =1

c i φi (x , y , z )

= Φa

; n

: n

◦

nodos del modelo

Matriz de funciones aproximantes:

Φ =

φ1 0 0 . . . φn 0 0

0 φ1 0 . . . 0 φn 00 0 φ1 . . . 0 0 φn

, a =

a1

b 1c 1...anb nc n


Introduccion: calculo del FIT KI Metodos numericos: Fundamentos del MEF Interpolacion isoparametrica Aplicacion del MEF en MFEL




Fundamentos del MEF

Agrupamos los desplazamientos virtuales (columnas) en una matriz

(funciones proyectantes)

Ψ =

ψ1 0 0 ψ2 0 0 . . . ψn 0 0

0 ψ1 0 0 ψ2 0 . . . 0 ψn 00 0 ψ1 0 0 ψ2 . . . 0 0 ψn

Operando llegamos a: D

ΨTBTCBΦdV

a =

D

ΨTXdV +

∂ D

(Ψc )Ttc ds

El sistema de ecuaciones anterior puede expresarse como:

Ka = Fext, a→ u→ ε→ σ

donde K es la matriz de rigidez del sistema y Fext identifica lasacciones externas de volumen y de contorno aplicadas al solido bajoestudio






Fundamentos del MEF

1 Las funciones proyectantes y aproximantes: ψi = φ i = N i

K = KT→ simetrıa de la matriz de rigidez

2 Las funciones aproximantes φi se escogen de pequeno soporte -definido por los elementos finitos que comparten un nodo →adaptabilidad a la geometrıa del dominio y a la solucion

La interpolacion del campo de desplazamientos (variables primariasdel problema) a nivel de elemento:

x

= [x , y , z ] coord. espacio real; ξ = [ξ

1

, ξ

2

, ξ

3

] coord. espacio natural

u(x) ≈

nnI =1

N I (x)dI = N(x)de ; nn: n◦ nodos del elemento

N I - las funciones de interpolacion, de - el vector de los despl.nodales del elemento (nodo I : dI = [d x ,I , d y ,I , d z ,I ])

Ejemplo: interpolacion despl. u x en un elemento de 4 nodos:u x (x) = N 1(x)d x ,1 + N 2(x)d x ,2 + N 3(x)d x ,3 + N 4(x)d x ,4

Si definimos Ψ = Φ = N → la expresion final del TDV: D

NTBTCBNdV

d =

D

NTXdV +

∂ D

NTtdS






Contenidos









I p p p

Interpolacion isoparametrica

En un elemento finito se usan las mismas funciones de interpolacionpara la geometrıa y desplazamientos

1 =

nnI =1

N I (x)

x =

x

y

z

≈

nnI =1

N I (x)xI = N(x)xe

u =

u x u y u z

≈ nn

I =1

N I (x)dI = N(x)de

Espacio coordenado parametrico definido en el elemento master)→ Necesitamos la transformacion geometrica entre el espacio real

(x , y , z ) y el espacio parametrico (ξ1

, ξ2

, ξ3

)Dicha transformacion debe ser biunıvoca (Jacobiano > 0)

x =

x (ξ1, ξ2, ξ3)y (ξ1, ξ2, ξ3)z (ξ1, ξ2, ξ3)

=

nnI =1

N I (ξ1

, ξ2

, ξ3)xI (se calcula facil)





I

Interpolacion isoparametrica

e1

e2

e3

∪

Punto de integración

Nodo

e1

e2

e3

Transformacióngeométrica

Espacio real

Espacio paramétrico





Interpolacion isoparametrica (2D)

La matriz Jacobiana de la tansformacion isoparametrica J se define

(det[J] > 0):

J = ∂ (x , y )

∂ (ξ1, ξ2) =

∂ x ∂ξ1

∂ y

∂ξ1

∂ x

∂ξ2∂ y

∂ξ2

Las derivadas de las funciones de interpolacion en el espacio real

∂ N I ∂ x

∂ N I ∂ y

=

∂ξ

1

∂ x ∂ξ

2

∂ x

∂ξ1

∂ y

∂ξ2

∂ y

∂ N I ∂ξ1

∂ N I ∂ξ2

= J

−1 ∂ N

I ∂ξ1

∂ N I ∂ξ2

Relacion desplazamientos-deformacion

ε = B(x)de =

∂ N 1∂ x

0 ∂ N 2∂ x

0 ∂ N 3∂ x

0 ∂ N 4∂ x

0

0 ∂ N 1∂ y

0 ∂ N 2∂ y

0 ∂ N 3∂ y

0 ∂ N 4∂ y

∂ N 1∂ y

∂ N 1∂ x

∂ N 2∂ y

∂ N 2∂ x

∂ N 3∂ y

∂ N 3∂ x

∂ N 4∂ y

∂ N 4∂ x

de





Funciones de interpolacion (2D) en el elemento master

Adaptabilidad a diferentes geometrıas

Repetibilidad en el montaje → programacion computacional

Elemento cuadrilatero lineal:

N I = 1

4

1 + ξ1

I ξ1

1 + ξ2I ξ

2, con ξ1

I , ξ2I = ±1; (I = 1, 2, 3, 4)

e1

e2 [x, y] [x, y]

[x, y][x, y]

Espacio real Espacio paramétrico

[1,-1][-1,-1]

[1,1][-1,1]

1 2

34

1 2

34

1

2

3

4

1

2

3

4






Elemento triangular lineal:

N 1 = 1− ξ1 − ξ2; N 2 = ξ1; N 3 = ξ2

Elemento triangular cuadratico

N 1 = λ(2λ− 1); N 2 = ξ1(2ξ1 − 1); N 3 = ξ2(2ξ2 − 1)

N 4 = 4ξ1λ; N 5 = 4ξ1ξ2; N 6 = 4ξ2λ; λ = 1− ξ1 − ξ2

1 2

3

1 2

3

6

4

5






Elemento cuadrilatero cuadratico (9 nodos)

N I = 1

4 1 + ξ1

I ξ1

1 + ξ2

I ξ2

; (I = 1, 2, 3, 4); N 9 =

1− (ξ1)2

1− (ξ2)2

N I = 1

2(ξ1

I )2

(ξ1)2 + ξ1I ξ

1

(1−ξ2)2+ 12

(ξ2I )

2

(ξ2)2 + ξ2I ξ

2

(1−ξ1)2; (I = 5, 8)

Elemento cuadrilatero cuadratico (8 nodos)

N I = 1

4

1 + ξ1

I ξ1

1 + ξ2I ξ

2

ξ1I ξ

1 + ξ2I ξ

2 − 1

; (I = 1, 2, 3, 4);

N I =

1

21−

(ξ1)2 1 + ξ2

I ξ2 (I = 5, 7)

N I = 1

2

1− (ξ2)2

1 + ξ1

I ξ1

(I = 6, 8)

1 2

8

5

6

4 7 3

9

1 2

8

5

6

4 7 3





Contenidos









Aplicacion del MEF en MFEL: placa a traccion

grieta

nododuplicado

MALLA DEFORMADA

e1

e2

u

Aprox MEF ( valor finito)

Solución MFEL ( valor asintótico

en el entorno de la grieta)

u





Aplicacion del MEF en MFEL: placa a traccion

Aunque se realice un refinamiento de la malla en el entorno de la grieta

→ diferencias basicas con respecto a la solucion teorica se mantendrıan

u MFELy =

4

E K I

r

2π ∼ K I

√ r ; σMFEL

y = K I √

2πr ∼ K I √

r

Elementos de orden superior (cuadraticos): misma problematica

Determinacion de K I (primer termino asintotico del desarrollo de la

solucion teorica de la MFEL) requiere el uso de procedimientosespeciales:

1 Metodo de regresionEnfoque en tensionesEnfoque en desplazamientos

2 Metodo de los elementos singulares3 Metodo de las integrales de lınea4 Metodo de la extension virtual de la grieta

Metodo de la flexibilidadMetodo de la energıa de deformacion





Metodo de regresion

Enfoque en desplazamientos

lgu MFELy

≈ lg

4K I

E √

2π

+

1

2 lg (r ) → y = ax + b

Para determinar K I → zona de ajuste de MEF, siendo a ≈ 0,5 (indica laprecision de la aproximacion)

b = lg

4K I

E √

2π

→ K I =

E √

2π

4 10b

lg (u )

lg ()

1 0.5

Zona de ajuste

Desvío por la influencia de otrostérminos del desarrollo en serie

Desvío por la discretización (no poderrepresentar pendiente infinita)

10-3 10-2 10-1 10-0

Recta de regresión



M´ d d i´



Metodo de regresion

Enfoque en tensiones: Calculo de tensiones via MEF → menor precisional no ser variables primarias (mayor refinamiento en el fondo de la grieta)

lg σMFELy ≈ lg K I

√ 2π− 1

2 lg (r )

→y = ax + b

De nuevo K I → zona de ajuste de MEF, siendo a ≈ −0,5 (indica laprecision de la aproximacion)

b = lg

K I √

2π

→ K I =

√ 2π10b

lg (σ )

lg ()

10.5

Zona de ajuste

Desvío por la influencia de otrostérminos del desarrollo en serie

Desvío por la discretización (no poderrepresentar pendiente infinita)

10-3 10-2 10-1 10-0

Recta de regresión

típicamente la tensión se hace constante y la

recta de regresión va por debajo por esta zona



M´ d d l l i l El i ´ i 1/4



Metodo de los elementos singulares: Elemento isoparametrico a 1/4

Resultados bastante fiables: no requieren un refinamiento excesivo de lamalla en el fondo de la grieta

Degeneracion de los elementos isoparametricos cuadraticos de 8 nodos

Muchos de estos elementos estan implementados en paquetes comercialesde MEF (ANSYS)

Ilustracion: Elemento isoparametrico a 1/4

1 2

8

5

6

4 7 3



M t d d l l t i l El t i t i 1/4




Barsoum (1976) Henshell-Shaw (1975): modificacion de las posicionesnodales correspondientes al centro de las aristas en el fondo de la grieta

N 1(ξ1, ξ2 =

−1) =

1

2

ξ1 1

−ξ1

N 2(ξ1, ξ2 = −1) = 1

2ξ1

1 + ξ1

; N 5(ξ1, ξ2 = −1) =

1− (ξ1)2

Nodo en el fondo de grieta

Nodo

Nodo en la arista que emanael fondo de grieta (posición a1/4)

2 1

3 4

5

8

7

6

5*

8*



Metodo de los ele e tos si la es Ele e to iso a a et ico a 1/4




Tomando: x 1 = 0, x 2 = L, x 5 = L/4 (lado 1-2-5):

x (ξ1, ξ2 = −1) = 1

2ξ1

1− ξ1x 1 +

1

2ξ1

1 + ξ1x 2 +

1− (ξ1)2

x 5

x (ξ1, ξ2 = −1) = L

4

1 + (ξ1)2

; ξ1 = −1 + 2 x

L → ∂ x

∂ξ1 = √ xLNotese como el Jacobiano ∂ x

∂ξ1 |x =0 = 0

Al estar en la frontera del dominio del elemento, el Jacobiano puede sernulo y no se pierde la biyectividad de la transformacion

Interpolacion de los desplazamientos (u y ,1 = 0 ,simetrıa)

u y (ξ1, ξ2 = −1) = 12ξ1

1− ξ1u y ,1 + 1

2ξ1

1 + ξ1u y ,2 +

1− (ξ1)2

u y ,5

Operando:

u y =

x

L

2

x

L− 1

u y ,2 + 4

1−

x

L

u y ,5

u y =

x L

4u y ,5 −

u y ,2 + 0

x L

u y se compone de: (i) termino en √

x (comparar con la solucion teorica)y (ii) termino lineal en x

Se puede estimar K I directamente a partir de los desplaz. nodales

u y =

x

L

4u y ,5 − u y ,2 + 0

x

L

≈ 4

E K I

x

2π → K I ≈ f (u y ,5, u y ,2)



Metodo de los elementos singulares: Elemento a 1/4 con base triangular



Metodo de los elementos singulares: Elemento a 1/4 con base triangular

Se hacen colapsar los nodos 1-4-8 en un unico nodo

Los nodos 5 y 7 se colocan a L/4

Barsoum (1977) establece que esta tipologıa de elemento se comporta

mejor que el elemento a 1/4 cuadrilatero: es capaz de representar laevolucion en funcion de √ r (en el entorno del nodo 1) → u y

Extension 3D

1

2

8

5

6

4

7

3


Mefenmecfracjr Vm v4

Documents

Transcript of Mefenmecfracjr Vm v4