Medidas de Tendencia Central

Prof. Rogelio Larico H.

Medidas de Tendencia Central

Valor que se presenta con mayor frecuencia en un conjunto de datos de una variable.

Si existe puede no ser la única (unimodal), puede tener 2 (bimodal) o más modas (multimodal).

1. MODA (Mo)

Para calcular la moda usaremos dos procedimientos:

a) Cálculo directo o empírico

b) Cálculo a partir de una distribución de frecuencias de datos agrupados.

MODA (Mo)

Es el valor más frecuente en la distribución de datos.

La moda puede no existir y cuando existe puede no ser única

¿Cuál es la moda para este conjunto de instrumento musicales?

La moda es en este conjunto es la Maraca, por que es la que más se repite.

Moda (Mo)

La moda de un conjunto de datos es el dato que más se repite.

Las calificaciones de los estudiantes de 1º de secundaria de la I.E. Gran Pachacutec:

Ejemplo.

La moda es 14.

Notas 08 11 12 14 15 16 17 18

Nº de estudiantes 6 10 8 12 7 5 4 2

La calificación que se repite más, el dato con mayor frecuencia absoluta, es el 14.

Lo tienen 12 estudiantes

La moda

La modaSe ordena la serie en forma creciente o decreciente y luego se determina cual es el término que se repite más.

Ejemplo: Calcular el modo o valor modal de los siguientes calificativos:

13, 15, 15, 17, 16, 19, 15, 18, 15, 17, 16, 14Solución: ordenamos la serie en forma creciente:

13, 14, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 19

Mo

El término que más veces se repite es 15, por lo tanto:

Mo = 15 (es una distribución unimodal)

La media aritmética de un conjunto de datos es el cociente entre la suma de todos los datos y el número de estos.

Ejemplo: las notas de Juan el año pasado fueron:

5, 6, 14, 7, 8, 14, 16

La nota media de Juan es:

Nota media = 10770

71614871465 ==++++++

que suman 70

Hay 7 datos

Media aritmética

Cálculo de la media aritmética cuando los datos se repiten.

Ejemplo. Las notas de un grupo de alumnos fueron:

Notas Frecuencia absoluta

Notas x F. absoluta

5 5 25 8 8 64

12 10 120

16 2 32 Total 25 241

64,925241

Media ==

Datos por frecuencias

Total de datos

1º. Se multiplican los datos por sus frecuencias absolutas respectivas, y se suman.2º. El resultado se divide por el total de datos.

Media aritmética (Ma)

Consideremos la edad de 5 personas miembros de un grupo infantil.

4.105

52

5

87151210

1

==++++== ∑=

n

i

i

n

XX

La edad promedio de los miembros de un grupo infantil es de 10.4 años.

Ejemplo:

10 12 15 7 8

Es la medida de tendencia central que divide a la distribución en dos partes exactamente iguales, siempre que los datos estén ordenados en forma creciente.

Para calcular la mediana puede, también, presentarse dos casos: a partir de datos no agrupados y a partir de datos agrupados.

3. LA MEDIANA (Me)

x1 xn

50% 50%

Me

Ordenamos los datos de menor a mayor, esto es: x1, x2, x3, …, xn

21)2/(2/ ++

= nn xxMe

2/)1( += nxMe

A) Si “n” es par:

B) Si “n” es impar:

La mediana

EJEMPLO (1): Calcular la mediana de la muestra, cuyas observaciones son: 5, 8, 3, 6, 9, 4, 10

SOLUCIÓN: Ordenando la serie de menor a mayor, resulta:

X1 x2 x3 x4 x5 x6 x73 4 5 6 8 9 10

Me

Luego, como “n” es impar, resulta:

2/)1( += nxMe

42/)17( xxMe == +

64 == xMe

Ejemplo (2): calcular la mediana de la siguiente serie: 3, 6, 4, 7, 9, 8

SOLUCIÓN: Ordenamos las observaciones de menor a mayor, resulta:

21)2/(2/ ++

= nn xxMe

X1 x2 x3 x4 x5 x6 3 4 6 7 8 9

Luego, como “n” es par, resulta:

22

431)2/6(2/6 xxxxMe

+=+

= + 5.62

76 =+=Me

Consideremos la talla de 7 estudiantes de un colegio:

1.10 1.25 1.50 1.84 1.60 1.75 1.80

Cálculo:

1. Primero debemos ordenar los datos:

1.10 1.25 1.50 1.60 1.75 1.80 1.84

2. El número de datos es impar, n = 7

3. La mediana es entonces el valor central: 1.60

La mediana es 1.60, es decir la mitad de los estudiantes de un colegio tiene una talla de 1.60 o menos y la otra mitad de 1.60 o más.

Ejemplo 3

1.60

Los pesos, en kilogramos, de 7 jugadores de un equipo de fútbol son:

Ejemplo:72, 65, 71, 56, 59, 63, 72

1º. Ordenamos los datos:

56, 59, 63, 65, 71, 72, 72

2º. El dato que queda en el centro es 65.

La mediana vale 65.

Si el número de datos fuese par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales.

Para el conjunto 56, 57, 59, 63, 65, 71, 72, 72, la mediana es: 642

6563 =+=Me

Caso 2:

La mediana (Me) Si el número de datos fuese par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales.

Caso 1: