SEMANA 2-B: Rango, Rango Intercuartil, Varianza, Desviación estándar,

Coeficiente de variación, teorema de Chebyshev, La regla empírica, detención

de valores atípicos. Profesor: Jorge Esponda Véliz

MEDIDAS DE VARIABILIDAD

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Se llaman medidas de dispersión aquellas que permiten

retratar la distancia de los valores de la variable a un cierto

valor central, o que permiten identificar la concentración de

los datos en un cierto sector del recorrido de la variable.

Llamadas también medidas de variabilidad. Son útiles

porque:

Permiten juzgar la confiabilidad de la medida de tendencia

central.

Los datos demasiados dispersos tienen un

comportamiento especial.

Es posible comparar dispersión de diversas muestras.

Las principales medidas de dispersión son:

Amplitud de variación

Desviación media

Varianza

Desviación estándar

AMPLITUD DE VARIACIÓN:

Es la medida de dispersión más sencilla, que trata de la

diferencia entre el valor más grande y el más pequeño en

un conjunto de datos.

Un defecto importante de la amplitud de variación es que

se basa sólo en dos valores, el máximo y el mínimo.

Amplitud de Variación = Valor más – Valor más

grande pequeño

EJEMPLO:

Veamos la producción de dos máquinas, una produce en promedio

por hora 13.375 botones y la otra máquina en promedio también

13.375 botones. Veamos la producción por hora:

Horas 1 2 3 4 5 6 7 8

Máquina 1 2 5 12 13 14 16 20 25

Máquina 2 11 12 13 13 13.5 14.5 15 15

Ahora veamos la amplitud de variación de cada máquina:

Máquina 1 25 – 2 = 23

Máquina 2 15 – 11 = 4

Vemos que la media de la máquina 2

es más representativa que la media

de la máquina 1, porque tiene menor

amplitud de variación.

EJEMPLO: Para hallar la amplitud de variación de la

siguiente tabla referida a las edades de los 100 empleados

de una cierta empresa:

Clase ni

16 - 20 2

20 - 24 8

24 - 28 8

28 - 32 18

32 - 36 20

36 - 40 18

40 - 44 15

44 - 48 8

48 - 52 3

100

Entonces hallamos la amplitud de

variación:

Amplitud de variación : 52 – 16 = 36 años

DESVIACIÓN MEDIA:

Es la media aritmética de los valores absolutos de las

desviaciones respecto a la media aritmética. La desviación

media viene a indicar el grado de concentración o de

dispersión de los valores de la variable. Si es muy alta,

indica gran dispersión; si es muy baja refleja un buen

agrupamiento y que los valores son parecidos entre sí.

n

XXDM

X: Es el valor de cada observación.

X : Es la media aritmética de los valores.

n: Es el número de observaciones en la muestra.

| |: Indica el valor absoluto.

EJEMPLO:

Del ejemplo anterior, de las máquinas:

Maquina

1

Maquina

2

Diferencia con la Media

y cada observación

Maquina 1 Maquina 2

2 11 11.375 2.375

5 12 8.375 1.375

12 13 1.375 0.375

13 13 0.375 0.375

14 13.5 0.625 0.125

16 14.5 2.625 1.125

20 15 6.625 1.625

25 15 11.625 1.625

Media 13.375 13.375

Suma de las diferencias 43.0 9.0

Desviación media 5.37543/8 1.1259/8

Esto quiere decir para la máquina 1, la variación (en

promedio) es de 5.375 botones por hora con respecto a la

media de 13.375 botones; y para la maquina 2, la

variación es de 1.125 botones por hora con respecto a la

media de 13.375 botones.

EJEMPLO: Para hallar la desviación media de la

siguiente tabla referida a las edades de los 100

empleados de una cierta empresa:

Clase ni

16-20 2

20-24 8

24-28 8

28-32 18

32-36 20

36-40 18

40-44 15

44-48 8

48-52 3

100

Entonces calculamos:

Clases ni Xi n * X |Media - Xi| |Media - Xi|*n

16-20 2 18 36 16,72 33,44

20-24 8 22 176 12,72 101,76

24-28 8 26 208 8,72 69,76

28-32 18 30 540 4,72 84,96

32-36 20 34 680 0,72 14,4

36-40 18 38 684 3,28 59,04

40-44 15 42 630 7,28 109,2

44-48 8 46 368 11,28 90,24

48-52 3 50 150 15,28 45,84

100 3472 608,64

34.72100

3472X 6.09

100

608.64DM

VARIANCIA.- Es una medida de desviación

promedio con respecto a la media aritmética.

POBLACIONAL MUESTRAL

N

X2

2

1

2

2

n

XXs

2: Es el símbolo para la

variancia de una población (es

la letra griega sigma).

μ: Es la media aritmética de la

población.

N: Es el número total de

observaciones en la población.

X: Es el valor de las

observaciones en la población.

s2: Es el símbolo para

representar la variancia

muestral.

X : Es la media de la muestra.

n: Es el número total de

observaciones en la muestra.

X: Es el valor de las

observaciones en la muestra.

Nos damos cuenta que los denominadores no son

semejantes. Aunque el uso de “n” sea lógico, tiende a

subestimar la variancia de la población. Es decir lo vuelve

más pequeño de lo que en realidad es. Los estadísticos

han encontrado que la corrección a esto, es restarle “1”

al número total de observaciones de la muestra.

Ahora para simplificar el cálculo de la variancia, haremos

una pequeña convergencia o equivalencia:

n

X)(XXX

2

22

La fórmula de la desviación muestral cambia, esto es solo

para facilidad del

cálculo. 1n

n

XX

s

2

2

2

EJEMPLO:

Para el ejemplo anterior,

sólo de la maquina 1,

cuya media es 13.375:

X X- X (X- X ) X

2 11.375 129.391 4

5 8.375 70.141 25

12 1.375 1.891 144

13 0.375 0.141 169

14 -0.625 0.391 196

16 -2.625 6.891 256

20 -6.625 43.891 400

25 -11.625 135.141 625

SUMA TOTAL

107 0 387.878 1819

Entones la variancia muestral es:

Con la fórmula normal Con la fórmula directa

411.5518

878.3872s 411.55

18

8

1071819

2

2s

X: dato del ejemplo

DESVIACIÓN ESTÁNDAR.- Llamada también

desviación típica, representa la variabilidad (o desviaciones)

promedio de los datos con respecto a la media aritmética.

Es la raíz cuadrada positiva de la variancia.

Esto quiere decir que para una desviación pequeña, las

observaciones estarán localizadas cerca de la media. Y para

una desviación grande, las observaciones están lejos de la

media. POBLACIONAL MUESTRAL

N

X2

1

2

n

XXs

DESVIACIÓN ESTÁNDAR PARA DATOS AGRUPADOS:

Si los datos que interesan están en forma agrupada (en

una distribución de frecuencias), la desviación estándar

muestral puede aproximarse al sustituir ∑ (ni X2) por ∑

(X^2) y ∑ (ni X) por ∑X. La fórmula para la desviación

estándar muestral se convierte entonces en:

1

*2

N

XXnis

1

*

2

2

N

N

niXXni

s

X

S: Es la desviación estándar muestral.

X: Es el punto medio de una clase.

ni: Es la frecuencia de clase.

N: Es el número total de observaciones en la muestra.

: Es la media aritmética.

EJEMPLO: Para la máquina 2

Maquina 2 X- X (X- X )2 X

2

11 2.375 5.641 121

12 1.375 1.891 144

13 0.375 0.141 169

13 0.375 0.141 169

13.5 -0.125 0.016 182.25

14.5 -1.125 1.266 210.25

15 -1.625 2.641 225

15 -1.625 2.641 225

SUMA TOTAL

107 0 14.375 1445.5

Entones la

desviación

muestral es: 433.1

18

375.142s

Con la fórmula normal Con la fórmula directa

433.118

8

1075.1445

2

2s

Clases n Xi Xi * n Xi - Media (Xi–Media)^2 n* (Xi–Media)^2

150 – 155 3 152,5 457,5 -20,34 413,71 1241,12

155 – 160 6 157,5 945,0 -15,34 235,31 1411,86

160 – 165 12 162,5 1950,0 -10,34 106,91 1282,94

165 – 170 18 167,5 3015,0 -5,34 28,51 513,24

170 – 175 25 172,5 4312,5 -0,34 0,12 2,89

175 – 180 17 177,5 3017,5 4,66 21,72 369,20

180 – 185 10 182,5 1825,0 9,66 93,32 933,19

185 – 190 7 187,5 1312,5 14,66 214,92 1504,45

190 – 195 4 192,5 770,0 19,66 386,52 1546,09

195 – 200 1 197,5 197,5 24,66 608,13 608,13

103 17802,5 9413,11

EJEMPLO: Las alturas en centímetros de un grupo de

103 personas se distribuyen así:

Clases ni Xi Xi * n ni * Xi^2

150 – 155 3 152,50 457,5 69768,75

155 – 160 6 157,50 945,0 148837,5

160 – 165 12 162,50 1950,0 316875,0

165 – 170 18 167,50 3015,0 505012,5

170 – 175 25 172,50 4312,5 743906,25

175 – 180 17 177,50 3017,5 535606,25

180 – 185 10 182,50 1825,0 333062,5

185 – 190 7 187,50 1312,5 246093,75

190 – 195 4 192,50 770,0 148225,0

195 – 200 1 197,50 197,5 39006,25

103 17802,5 3086393,75

Para el calculo de la formula corta:

Para hallar la variancia y la desviación estándar

usaremos las siguientes formulas:

9.611103

9413.11

1N

XX*nis

2

19.61103

103

17802.53086393.75

1NN

X*niX*ni

22

2

s

Método largo:

Método corto:

EJEMPLO:

Una distribución de la duración (en meses)

de una batería para carros.

(Media = 39.71698 meses)

Clases Xi ni ni*X X–media (X-Media)^2 ni *

(X-Media)^2 X2 ni*X^2

0–10 5 3 15 -34.7170 1205.2688 3615.8063 25 75

10–20 15 5 75 -24.7170 610.9292 3054.6458 225 1125

20–30 25 7 175 -14.7170 216.5895 1516.1267 625 4375

30–40 35 10 350 -4.7170 22.2499 222.4991 1225 12250

40–50 45 12 540 5.2830 27.9103 334.9235 2025 24300

50–60 55 9 495 15.2830 233.5707 2102.1360 3025 27225

60–70 65 7 455 25.2830 639.2310 4474.6173 4225 29575

Total 53 2105 15320.75472 11375 98925

La desviación muestral es:

165.17153

75472.15320s

165.17153

53

210598925

2

s

Forma normal Forma rápida

DISPERSIÓN RELATIVA

Cuando queremos comparar dos o más medidas de

dispersión que no están en las mismas unidades

podemos utilizar el coeficiente de variación.

COEFICIENTE DE VARIACIÓN:

Es la razón (cociente) de la desviación estándar y la

media aritmética, llamada también como coeficiente de

Pearson, expresada en porcentaje:

100*X

sCV

EJEMPLO: En una cierta empresa se hizo un estudio de las

notas obtenidas en un curso de capacitación y los años de

servicio de los mismos empleados que tomaron el curso de

capacitación. La calificación media de los empleados fue de 14

puntos, y la desviación estándar de 2 puntos. Y la media de los

años de servicio fue de 18 años y la desviación estándar fue de

3 años. Para las notas Para los años de servicio

%29.14100*14

2CV %67.16100*

18

3CV

Podemos ver que hay menor dispersión relativa con

respecto a las media en la distribución de notas que

en la distribución de años de servicio (14.29% <

16.67%).

ASIMETRÍA: Es la medida de la falta de simetría en una

distribución. Es decir que una distribución es simétrica si no

tienes sesgo, esto se da cuando los valores de tendencia

central (media, moda, mediana) están en un solo punto.

Asimetría Negativa.- Esto se da cuando hay observaciones

muy pequeñas, esto va hacer que la media se vuelva la

menor de las 3 medidas de tendencia central.

Asimetría Positiva.- Esto se da cuando hay observaciones

muy grandes, esto va hacer que la media se vuelva la mayor

de las 3 medidas de tendencia central.

estándarDesviación

MedianaMediaCA

_

*3

Generalmente el coeficiente de asimetría se

encuentra entre -3 y +3.

EJEMPLO:

En un estudio de salarios de empleados de una

cierta empresa. Se encontró que la media se calculó

en S/. 5 000, la moda en S/. 6 800, y la mediana en S/.

5 600 y la desviación estándar en S/. 800.

Para evaluar esto tenemos el coeficiente de asimetría (CA)

o también llamada el coeficiente de Kurtosis:

Ahora nos damos cuenta que el coeficiente de asimetría es

-2.25, esto indica un sesgo negativo importante. Esto indica

que a la mayoría de empleados se le paga un salario mayor

que la media.

25.2800

56005000*3CA

Vemos que la media es la menor de todas, entonces

tiene una asimetría negativa.

SELECCIÓN DE UN PROMEDIO PARA DATOS

DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Obviamente, si todas las observaciones estuvieran

concentradas en un solo valor de la variable, media,

mediana y moda coincidirían en el mismo. Si las

observaciones se fueran distribuyendo en forma simétrica,

a la izquierda y a la derecha de ese valor central, media,

mediana y modo seguirían coincidiendo.

Supongamos ahora que las observaciones de la parte

izquierda se alejan del valor central más que las

observaciones de la parte derecha, generando una

distribución asimétrica hacia la izquierda; en este caso como

la media es la suma de los valores de las observaciones

dividido por la cantidad total de observaciones, su valor se

correrá a la izquierda también y por el mismo motivo, la

media será menor que la mediana y ambas menor que la

moda. En una distribución asimétrica a la derecha, la media,

es mayor que la mediana y que la moda.

Este corrimiento de la media se explica porque si tomamos

un conjunto de datos cualquiera a los cuales calculamos

media, mediana y moda y agregamos un dato extremo y

volvemos a calcular la media, la mediana y la moda, veremos

que la media puede variar notablemente, mientras que la

mediana y la moda permanecen idénticas.

Esta no variación de la mediana y la moda reciben el nombre

de robustez. Las medidas basadas en el orden (la mediana)

gozan de ésta en tanto que las medidas basadas en la suma

(la media) se ven más afectadas por las observaciones

extremas y son, por lo tanto, poco robustas.

ASIMETRÍA

NEGATIVA (-)

ASIMETRÍA

POSITIVA (+)

EJEMPLO:

Una distribución de la duración de una batería para carros.

Intervalos X ni Ni X * ni

0 – 10 5 3 3 15

10 – 20 15 5 8 75

20 – 30 25 7 15 175

30 – 40 35 10 25 350

40 – 50 45 12 37 540

50 – 60 55 9 46 495

60 – 70 65 7 53 455

Total 53 2105

Los resultados son:

72.3953

2105X

25.4110*12

252

53

40Mediana

0.4410*)1012()912(

101240Moda

Media Mediana

Moda

En resumen:

Media Mediana Moda

39.72 41.25 44.0

Asimetría hacia la izquierda

Intervalos Xi ni Ni Xi * ni

0 – 10 5 10 10 50

10 – 20 15 20 30 300

20 – 30 25 30 60 750

30 – 40 35 15 75 525

40 – 50 45 13 88 585

50 – 60 55 9 97 495

60 – 70 65 5 102 325

Total 102 3030

Ejemplo

Los resultados son:

71.29102

3030X 0.2710*

30

302

102

20Mediana

0.2410*)1530()2030(

203020Moda

Media Mediana

Moda

En resumen:

Moda Mediana Media

24.0 27.0 29.7

Asimetría hacia la derecha o positiva

TEOREMA DE CHEBYSHEV

Este teorema permite determinar la proporción mínima de

los valores que se encuentran dentro de un número

específico de desviaciones estándares con respecto a la

media. Es decir para un conjunto cualquiera de

observaciones (puede tomar cualquier forma), la proporción

mínima de los valores que se encuentran dentro de “k”

desviaciones estándares desde la media es al menos (1 –

1/k2), donde k es una constante mayor que 1.

EJEMPLO:

Una distribución de la duración (en meses)

de una batería para carros. Cuya media es 39.72

meses, con una desviación estándar de 17.165 meses.

¿Qué porcentaje de las duraciones de la batería se

encuentra a una distancia de ±2 desviaciones

estándares, respecto a la media y ±3 desviaciones

estándares?

2

11

k

75.02

11

2

8889.03

11

2

Valores de k

K = 2

K = 3

REGLA EMPÍRICA:

Para una curva de distribución simétrica de campana, se

logra ser más precisos al explicar la dispersión con

respecto a la media. Estas relaciones entre la desviación

estándar y la media se incluyen en la Regla Empírica, que

algunas veces se denomina como Regla Normal.

Entonces vemos que si una distribución es simétrica con

forma de campana, prácticamente todas las

observaciones se encuentran entre la media ±3

desviaciones estándares.

EJEMPLO:

Para una distribución de salarios, sigue

aproximadamente una distribución de frecuencias

simétrica de campana. La media se calculó que es S/. 5

000 y la desviación estándar de S/. 500. Utilizando la regla

empírica:

Aproximadamente, ¿entre cuáles dos cantidades está

el 68% de los salarios?

Aproximadamente, ¿entre cuáles dos cantidades está

el 95% de los salarios?

Aproximadamente, ¿entre cuáles dos cantidades están

casi todos los salarios?

Entonces

aproximadamente el

68% están entre:

S/. 4 500 y S/. 5 500 4 500 = 5 000 – 1*500

5 500 = 5 000 + 1*500

Entonces

aproximadamente el

95% están entre:

S/. 4 000 y S/. 6 000 4 000 = 5 000 – 2*500

6 000 = 5 000 + 2*500

Entonces

aproximadamente

casi todo están

entre:

S/. 3 500 y S/. 6 500 3 500 = 5 000 – 3*500

6 500 = 5 000 + 3*500

Gracias

Jack Welch , General Electric

“Nuestra conducta es impulsada por

una creencia central básica: el deseo

y habilidad para aprender

constantemente y de cualquier fuente,

y convertir rápidamente ese

aprendizaje en acción, esta es la

verdadera ventaja competitiva “