MEDIDAS RELACIONADAS CON SOLIDOS

Medida de la masa de un cuerpo

Medida del volumen de un cuerpo irregular

Cálculo de la densidad

Actividades

 

La balanza es un instrumento básico en el laboratorio de Física. Hay muchos tipos de balanzas, la que simularemos en el programa interactivo es una de las más sencillas de manejar.

Para pesar un determinado objeto, se desplazan masas calibradas a lo largo de cuatro rieles y se fijan en posiciones etiquetadas. Las divisiones en los cuatro rieles de las balanzas del laboratorio de Física de la E.U.I.T.I. de Eibar son las siguientes:

de 100 g hasta 200 g de 10 g hasta 100 g de 1 g hasta 10 g  de 0.1 g hasta 1 g.

 

Medida de la masa de un cuerpo

En el programa interactivo la balanza solamente aprecia gramos, el error que se comete en una medida es  1 g. Por ejemplo, si se ha pesado un cuerpo y de la lectura de los indicadores de la balanza se ha obtenido la cifra de 234. La medida del peso de dicho cuerpo se expresa como

234  1 g

Véase las reglas para expresar una medida y su error

 

Medida del volumen de un cuerpo irregular

Para medir la densidad de un cuerpo es necesario conocer su masa y su volumen.

Si el cuerpo es irregular, no podemos calcular su volumen de forma directa. Pero podemos calcularlo indirectamente aplicando el principio de Arquímedes.

"Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje igual al peso del

volumen de líquido desalojado"

Sumergiendo completamente el cuerpo en agua, el peso del cuerpo disminuye debido al empuje. Lo que nos marca la balanzaF’ es igual a la diferencia entre el peso P y el empuje E.

F’=P-E.

Si el fluido es agua, cuya densidad es la unidad, el peso en gramos coincide numéricamente con el volumen medido en centímetros cúbicos.

El empuje es igual a la diferencia F-F’ entre lo que marca la balanza antes y después de sumergir el cuerpo en agua e igual numéricamente al volumen del cuerpo en centímetros cúbicos.

V=F-F’

Error en la medida del volumen.

De las fórmulas de los errores en las medidas indirectas   se obtiene que el error de una diferencia

Como F=F’=1 , se obtiene que V=1.41 cm3 . Expresando el error con una sola cifra significativa (regla 2),  V=1 cm3

 

Cálculo de la densidad del cuerpo sólido

Se define la densidad como el cociente entre la masa y el volumen de un cuerpo.

De las fórmulas de los errores en las medidas indirectas,   se obtiene que el error de un cociente

donde m=V=1.

Una vez obtenidas las medidas de m y de V, se calcula , mediante la fórmula anterior.

Ejemplo:

Se va a medir la densidad del cobre

1. Pulsando el botón titulado Peso, se genera una pieza hecha de cobre de masa y volumen desconocido.

Con la balanza medimos su masa: m=410 1 g. 

2. Pulsamos el botón titulado Volumen y el cuerpo se sumerge en agua

Efectuamos una nueva medida con la balanza m’=364 g El volumen es numéricamente igual al empuje, la diferencia entre ambas medidas.V=410-364=46  1 cm3

 

3. Cálculo de la densidad

4. La densidad se expresa

 =8.9 0. 2 g/cm3

Finalmente, comparamos el valor calculado con el proporcionado por el programa interactivo pulsando el botón titulado Respuesta.

 

Actividades

Para medir el peso de un cuerpo se pulsa sobre el botón titulado Peso. Se desplazan las flechas a lo largo de las guías actuando con el ratón. Se pulsa el botón izquierdo del ratón cuando el puntero está sobre una flecha, se arrastra el ratón, la flecha se desplaza automáticamente a la siguiente posición sobre la guía. Se deja de pulsar el botón izquierdo del ratón, cuando la flecha está situada en la marca deseada.

La balanza está equilibrada cuando el brazo está en posición horizontal y la flecha azul

apunta a la marca roja situada a su derecha. El mismo procedimiento se emplea para medir el volumen.

Se selecciona una sustancia en el control selección titulado Material. Se pulsa el botón titulado Peso. Medir el peso del cuerpo Se pulsa el botón titulado Volumen. Se mide el volumen del cuerpo, hallando

la diferencia de las medidas de los pesos del mismo cuerpo antes y después de sumergirlo en agua.

Se calcula la densidad y el error en la medida de la densidad, expresando correctamente la medida, el error y la unidad de medida.

Densidad  =                     g/cm3

Finalmente, se compara el resultado obtenido con el valor de la densidad del cuerpo pulsando el botón Respuesta.

CIRCULOS Y SEGMENTOS ASOCIADOS

Trozos de círculos

Hay dos tipos de "trozos" de círculo:

Un trozo "de pizza" se llama sector.

Y un trozo marcado por una cuerda se llama segmento.

Sectores comunes

El cuadrante y el semicírculo son dos tipos especiales de sectores:

Un cuarto de círculo se llama cuadrante.

Medio círculo se llama semicírculo.

El área de un sector

Puedes calcular el área de un sector comparando su ángulo con el ángulo de un círculo completo.

Nota: aquí estoy escribiendo los ángulos en radianes.

Este es el razonamiento:

Un círculo tiene ángulo 2π y área πr2

Así que un sector con ángulo θ (en vez de 2π) debe tener área (θ/2π) × πr2

Esto se puede simplificar: (θ/2) × r2

Área del sector = ½ × θ × r2

= ½ × (θ × π/180) × r2   (si θ está en grados)

Longitud de arco de un sector o segmento

Razonando de la misma manera, la longitud de un arco (de un

sector o segmento) es:

Longitud de arco "L" = θ × r

= (θ × π/180) × r   (si θ está en grados)

Área de un segmento

El área de un segmento es el área de un sector menos el trozo triangular (en el dibujo está en azul claro).

Calcular la fórmula lleva un rato, pero el resultado es una fórmula parecida a la del sector:

Área del segmento = ½ × (θ - sin θ) × r2

= ½ × ( (θ × π/180) - sin θ) × r2   (si θ está en grados)

TIPOS SOLIDOS PROPIEDADES Y CARACTERISTICAS DE LOS SOLIDOS

Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90°

Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180°

Nulo = 0º Completo = 360°  

 

Negativo < 0º Mayor de 360°  

 

Tipos de ángulos según su posición

Ángulos consecutivos

Á

n

g

u

l

o

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c

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n

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e

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v

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Ángulos adyacentes

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o

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F

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n

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.

Ángulos opuestos por el vértice

S

o

n

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L

o

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n

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1 

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3 

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L

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n

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n

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s.

Clases de ángulos según su suma

Ángulos complementarios

D

o

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n

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c

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p

l

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m

e

n

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s

u

m

a

n

9

0

°.

Ángulos suplementarios

D

o

s

á

n

g

u

l

o

s

s

o

n

s

u

p

l

e

m

e

n

t

a

ri

o

s

si

s

u

m

a

n

1

8

0

°.

Ángulos entre paralelas y una recta transversal

Ángulos correspondientes

 

L

o

s

á

n

g

ul

o

s 

1 

y 

2 

s

o

n

ig

u

al

e

s.

Ángulos alternos internos

 

L

o

s

á

n

g

ul

o

s 

2 

y 

3 

s

o

n

ig

u

al

e

s.

Ángulos alternos externos

 

L

o

s

á

n

g

ul

o

s 

1 

y 

4 

s

o

n

ig

u

al

e

s.

Ángulos en la circunferencia

Ángulo central

E

l án

gul

o

cen

tral 

tien

e

su 

vér

tice 

en

el 

cen

tro 

de

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circ

unf

ere

nci

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sus 

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os s

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L

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a

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áng

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Ángulo inscrito

E

l án

gul

o

ins

crit

o ti

ene

su 

vér

tice 

est

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en

la 

circ

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ere

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sus 

lad

os 

son 

sec

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a

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M

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.

Ángulo semiinscrito

E

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rito 

est

á

en

la 

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y el

otr

ota

nge

nte 

a

ella

.

M

ide

la

mit

ad

del

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o

que

aba

rca

.

Ángulo interior

S

u v

érti

ce 

es i

nte

rior 

a la

circ

unf

ere

nci

a y

sus 

lad

os

sec

ant

es 

a

ella

.

M

ide

la 

mit

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de

la

su

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de

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me

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de

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arc

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que

aba

rca

n

sus

lad

os

y

las

pro

lon

gac

ion

es

de

sus

lad

os.

Ángulo exterior

Su vértice es un punto exterior a la

circunferencia y los lados de sus ángulos son:

o secantes a ella, o uno tangente y otro secante,

o tangentes a ella:

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas

de los arcos que abarcan sus lados sobre la

circunferencia.

Ángulos de un polígono regular

Ángulo central de un polígono regular

Es el formado por dos radios consecutivos.

Si n es el número de lados de un polígono:

Ángulo central = 360° : n

Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 =

72º

Ángulo interior de un polígono regular

Es el formado por dos lados consecutivos.

Ángulo interior =180° − Ángulo central

Ángulo interior del pentágono regular = 180° −

72º = 108º

Ángulo exterior de un polígono regular

Es el formado por un lado y la prolongación de un

lado consecutivo.

Los ángulos exteriores e interiores son

suplementarios, es decir, que suman 180º.

Ángulo exterior = Ángulo central

Ángulo exterior del pentágono regular = 72º

RAZONES TRIGONOMETRICAS EN TRIANGULOS OBTUSANGULOS

Para resolver triángulos oblicuángulos  vamos a util izar los teoremas del seno  y del coseno .

Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos

encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos oblicuángulos:

1 º . C o n o c i e n d o u n l a d o y

d o s á n g u l o s a d y a c e n t e s a é l

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.

2 º . C o n o c i e n d o d o s l a d o s y

e l á n g u l o c o m p r e n d i d o

De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.

3 º C o n o c i e n d o d o s l a d o s y

u n á n g u l o o p u e s t o

sen B > 1. No hay solución

sen B = 1 Triángulo rectángulo

sen B < 1. Una o dos soluciones

Supongamos que tenemos a, b y A; al aplicar el teorema de los senos puede suceder:

1. sen B > 1. No

hay solución.

Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.

Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.

 

2. sen B = 1.

Solución única:

triángulo rectángulo

Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.

 

3. sen B < 1. Una o

dos soluciones

Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.

Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.

4 º . C o n o c i e n d o l o s t r e s

l a d o s

Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.

TRIANGULO RECTANGULO

En geometría, se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo recto, es

decir, un ángulo de 90-grados.1 Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana. En particular, en un triángulo rectángulo, se

cumple el llamado teorema de Pitágoras ya conocido por los babilonios

Terminología

Un triángulo rectángulo y sus elementos.

Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto

al ángulo recto. Se llaman catetos a los dos lados menores, los que

conforman el ángulo recto. Si la medida de los lados son números enteros,

estos reciben el nombre de terna pitagórica.

Tipos de triángulo rectángulo

Existen dos tipos de triángulo rectángulo:

Triángulo rectángulo isósceles: los dos catetos son de la misma

longitud, los ángulos interiores son de 45-45-90. En este tipo de

triángulo, la hipotenusa mide   veces la longitud del cateto.

Triángulo rectángulo escaleno: los tres lados y los tres ángulos tienen

diferente medida. Un caso particular es aquél cuyos ángulos interiores

miden 30-60-90, en este tipo de triángulo, la hipotenusa mide el doble

del cateto menor, y el cateto mayor   veces la longitud del cateto

menor.

Triángulo rectángulo isósceles.

 

Triángulo rectángulo escaleno.

TEOREMAS DE SENOS Y DE CONSENOS

Teorema de los senos

Cada lado de un triángulo es directamente

proporcional al seno del ángulo opuesto.

 

Teorema del coseno

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual

a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el

doble producto del producto de ambos por el coseno

del ángulo que forman .

Teorema de las tangentes

Área de un triángulo

El área de un triángulo es la mitad del producto de una

base por la altura correspondiente.

El área de un triángulo es el semiproducto de dos de

sus lados por el seno del ángulo que forman.

El área de un triángulo es el cociente entre el producto

de sus lados y cuatro veces el radio de su circunferencia

circunscrita.

El área de un triángulo es igual al producto del radio

de la circunferencia inscrita por su semiperímetro.

Fórmula de Herón: