Medidas numéricas de datos agrupados
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Medidas numericas de datos agrupados.
Rocıo Meza MorenoUniversidad Autonoma Metropolitana, Iztapalapa
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Media de datos agrupados
En ocasiones debemos trabajar con datos que estanresumidos en una distribucion de frecuencias, sin tener el detallede cuantos y cuales valores caen dentro de cada clase.
Por ejemplo, considere la distribucion de frecuencias queresume los datos obtenidos al medir la estatura de 1000 mujeresseleccionadas al azar.
Estatura (cm) Frecuencia[142,147] 10(147,152] 64(152,157] 178(157,162] 324(162,167] 251(167,172] 135(172,177] 32(177,182] 6
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Media de datos agrupados
En ocasiones debemos trabajar con datos que estanresumidos en una distribucion de frecuencias, sin tener el detallede cuantos y cuales valores caen dentro de cada clase.
Por ejemplo, considere la distribucion de frecuencias queresume los datos obtenidos al medir la estatura de 1000 mujeresseleccionadas al azar.
Estatura (cm) Frecuencia[142,147] 10(147,152] 64(152,157] 178(157,162] 324(162,167] 251(167,172] 135(172,177] 32(177,182] 6
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Podemos aproximar la media muestral para datos aprupadosde la siguiente manera:
1 Para cada clase, digamos que el numero de clases es m, secalcula el punto medio (llamado marca de clase).Denotemos por mi la marca de la clase i.
2 Se calcula la suma de las frecuencias de todas las clasespara obtener el total de datos, n, es decir,
n =
m∑i=1
fi,
donde fi es la frecuencia de la clase i.
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Podemos aproximar la media muestral para datos aprupadosde la siguiente manera:
1 Para cada clase, digamos que el numero de clases es m, secalcula el punto medio (llamado marca de clase).Denotemos por mi la marca de la clase i.
2 Se calcula la suma de las frecuencias de todas las clasespara obtener el total de datos, n, es decir,
n =
m∑i=1
fi,
donde fi es la frecuencia de la clase i.
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
3 Se obtiene una aproximacion para la media suponiendo quecada valor en una clase es igual a su marca de clase, esdecir,
x ≈
m∑i=1
fimi
n
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Ilustramos el procedimiento con los datos de la tabla anterior.
Primero debemos obtener la marca de cada clase para las m = 8clases:
Frecuencia Marca deEstatura (cm) fi clase mi
[142,147] 10 144.5(147,152] 64 149.5(152,157] 178 154.5(157,162] 324 159.5(162,167] 251 164.5(167,172] 135 169.5(172,177] 32 174.5(177,182] 6 179.5
Total 1000
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Ilustramos el procedimiento con los datos de la tabla anterior.Primero debemos obtener la marca de cada clase para las m = 8clases:
Frecuencia Marca deEstatura (cm) fi clase mi
[142,147] 10
144.5
(147,152] 64
149.5
(152,157] 178
154.5
(157,162] 324
159.5
(162,167] 251
164.5
(167,172] 135
169.5
(172,177] 32
174.5
(177,182] 6
179.5
Total 1000
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Ilustramos el procedimiento con los datos de la tabla anterior.Primero debemos obtener la marca de cada clase para las m = 8clases:
Frecuencia Marca deEstatura (cm) fi clase mi
[142,147] 10 144.5(147,152] 64
149.5
(152,157] 178
154.5
(157,162] 324
159.5
(162,167] 251
164.5
(167,172] 135
169.5
(172,177] 32
174.5
(177,182] 6
179.5
Total 1000
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Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Ilustramos el procedimiento con los datos de la tabla anterior.Primero debemos obtener la marca de cada clase para las m = 8clases:
Frecuencia Marca deEstatura (cm) fi clase mi
[142,147] 10 144.5(147,152] 64 149.5(152,157] 178 154.5(157,162] 324 159.5(162,167] 251 164.5(167,172] 135 169.5(172,177] 32 174.5(177,182] 6 179.5
Total 1000
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Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Ilustramos el procedimiento con los datos de la tabla anterior.Primero debemos obtener la marca de cada clase para las m = 8clases:
Frecuencia Marca deEstatura (cm) fi clase mi
[142,147] 10 144.5(147,152] 64 149.5(152,157] 178 154.5(157,162] 324 159.5(162,167] 251 164.5(167,172] 135 169.5(172,177] 32 174.5(177,182] 6 179.5
Total 1000
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Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:
n =
8∑i=1
fi = 10 + 64 + · · ·+ 6 = 1000
y calculamos la media como si todos los valores de una clasefueran iguales a su marca de clase, esto es,
x ≈ (10)(144.5) + (64)(149.5) + (178)(154.5) · · ·+ (6)(179.5)
1000
=161, 025
1000= 161.03
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:
n =
8∑i=1
fi =
10 + 64 + · · ·+ 6 = 1000
y calculamos la media como si todos los valores de una clasefueran iguales a su marca de clase, esto es,
x ≈ (10)(144.5) + (64)(149.5) + (178)(154.5) · · ·+ (6)(179.5)
1000
=161, 025
1000= 161.03
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Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:
n =
8∑i=1
fi = 10 + 64 + · · ·+ 6 = 1000
y calculamos la media como si todos los valores de una clasefueran iguales a su marca de clase, esto es,
x ≈ (10)(144.5) + (64)(149.5) + (178)(154.5) · · ·+ (6)(179.5)
1000
=161, 025
1000= 161.03
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Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:
n =
8∑i=1
fi = 10 + 64 + · · ·+ 6 = 1000
y calculamos la media como si todos los valores de una clasefueran iguales a su marca de clase, esto es,
x ≈ (10)(144.5) + (64)(149.5) + (178)(154.5) · · ·+ (6)(179.5)
1000
=161, 025
1000= 161.03
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Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:
n =
8∑i=1
fi = 10 + 64 + · · ·+ 6 = 1000
y calculamos la media como si todos los valores de una clasefueran iguales a su marca de clase, esto es,
x ≈ (10)(144.5) + (64)(149.5) + (178)(154.5) · · ·+ (6)(179.5)
1000
=161, 025
1000= 161.03
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:
n =
8∑i=1
fi = 10 + 64 + · · ·+ 6 = 1000
y calculamos la media como si todos los valores de una clasefueran iguales a su marca de clase, esto es,
x ≈ (10)(144.5) + (64)(149.5) + (178)(154.5) · · ·+ (6)(179.5)
1000
=161, 025
1000
= 161.03
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Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:
n =
8∑i=1
fi = 10 + 64 + · · ·+ 6 = 1000
y calculamos la media como si todos los valores de una clasefueran iguales a su marca de clase, esto es,
x ≈ (10)(144.5) + (64)(149.5) + (178)(154.5) · · ·+ (6)(179.5)
1000
=161, 025
1000= 161.03
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Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Cuando se calcula la media de datos agrupados en unadistribucion de frecuencias con el procedimiento descrito, ¿porque decimos que el valor obtenido es una aproximacion a lamedia?
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:
Temperatura Frecuencia
Marca de clase
mınima diaria (◦F) fi
mi fimi
(35, 39] 1
37 37
(39, 45] 3
42 126
(45, 49] 5
47 235
(49, 55] 11
52 572
(55, 59] 7
57 399
(59, 65] 7
62 434
(65, 69] 1
67 67
Total 35 1870
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:
Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi
(35, 39] 1
37 37
(39, 45] 3
42 126
(45, 49] 5
47 235
(49, 55] 11
52 572
(55, 59] 7
57 399
(59, 65] 7
62 434
(65, 69] 1
67 67
Total 35 1870
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Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:
Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi
(35, 39] 1 37
37
(39, 45] 3
42 126
(45, 49] 5
47 235
(49, 55] 11
52 572
(55, 59] 7
57 399
(59, 65] 7
62 434
(65, 69] 1
67 67
Total 35 1870
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:
Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi
(35, 39] 1 37
37
(39, 45] 3 42
126
(45, 49] 5 47
235
(49, 55] 11 52
572
(55, 59] 7 57
399
(59, 65] 7 62
434
(65, 69] 1 67
67
Total 35 1870
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:
Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi
(35, 39] 1 37 37(39, 45] 3 42
126
(45, 49] 5 47
235
(49, 55] 11 52
572
(55, 59] 7 57
399
(59, 65] 7 62
434
(65, 69] 1 67
67
Total 35 1870
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:
Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi
(35, 39] 1 37 37(39, 45] 3 42 126(45, 49] 5 47
235
(49, 55] 11 52
572
(55, 59] 7 57
399
(59, 65] 7 62
434
(65, 69] 1 67
67
Total 35 1870
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:
Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi
(35, 39] 1 37 37(39, 45] 3 42 126(45, 49] 5 47 235(49, 55] 11 52 572(55, 59] 7 57 399(59, 65] 7 62 434(65, 69] 1 67 67
Total 35 1870
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:
Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi
(35, 39] 1 37 37(39, 45] 3 42 126(45, 49] 5 47 235(49, 55] 11 52 572(55, 59] 7 57 399(59, 65] 7 62 434(65, 69] 1 67 67
Total 35 1870
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
La aproximacion a la media es entonces
x ≈
7∑i=1
fimi
n=
1870
35= 53.4
La media muestral real que se obtuvo al utilizar la listaoriginal de datos es 53.8◦F, ¿que puede concluir?
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
La aproximacion a la media es entonces
x ≈
7∑i=1
fimi
n=
1870
35= 53.4
La media muestral real que se obtuvo al utilizar la listaoriginal de datos es 53.8◦F, ¿que puede concluir?
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Para calcular una aproximacion a la desviacion estandar dedatos agrupados usamos la formula
s ≈
√√√√√√n
m∑i=1
fim2i −
(m∑i=1
fimi
)2
n(n− 1)
donde, nuevamente m es el numero de clases, mi y fi son lamarca y la frecuencia de la clase i, respectivamente, y n es lasuma de las frecuencias (es decir, el numero total de datos).
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Para los datos anteriores:
Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi fim
2i
(35, 39] 1 37 37
1369
(39, 45] 3 42 126
5292
(45, 49] 5 47 235
11045
(49, 55] 11 52 572
29744
(55, 59] 7 57 399
22743
(59, 65] 7 62 434
26908
(65, 69] 1 67 67
4489
Total 35 1870
101590
La desviacion estandar aproximada es
s ≈
√35(101590)− (1870)2
35(35− 1)
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Para los datos anteriores:
Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi fim
2i
(35, 39] 1 37 37 1369(39, 45] 3 42 126
5292
(45, 49] 5 47 235
11045
(49, 55] 11 52 572
29744
(55, 59] 7 57 399
22743
(59, 65] 7 62 434
26908
(65, 69] 1 67 67
4489
Total 35 1870
101590
La desviacion estandar aproximada es
s ≈
√35(101590)− (1870)2
35(35− 1)
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Para los datos anteriores:
Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi fim
2i
(35, 39] 1 37 37 1369(39, 45] 3 42 126 5292(45, 49] 5 47 235 11045(49, 55] 11 52 572 29744(55, 59] 7 57 399 22743(59, 65] 7 62 434 26908(65, 69] 1 67 67 4489
Total 35 1870
101590
La desviacion estandar aproximada es
s ≈
√35(101590)− (1870)2
35(35− 1)
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Para los datos anteriores:
Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi fim
2i
(35, 39] 1 37 37 1369(39, 45] 3 42 126 5292(45, 49] 5 47 235 11045(49, 55] 11 52 572 29744(55, 59] 7 57 399 22743(59, 65] 7 62 434 26908(65, 69] 1 67 67 4489
Total 35 1870 101590
La desviacion estandar aproximada es
s ≈
√35(101590)− (1870)2
35(35− 1)
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Para los datos anteriores:
Temperatura Frecuencia Marca de clasemınima diaria (◦F) fi mi fimi fim
2i
(35, 39] 1 37 37 1369(39, 45] 3 42 126 5292(45, 49] 5 47 235 11045(49, 55] 11 52 572 29744(55, 59] 7 57 399 22743(59, 65] 7 62 434 26908(65, 69] 1 67 67 4489
Total 35 1870 101590
La desviacion estandar aproximada es
s ≈
√35(101590)− (1870)2
35(35− 1)
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
s ≈
√35(101590)− (1870)2
35(35− 1)
=
√58750
1156
=√
49.3697479
= 7.0
La desviacion estandar real que se obtuvo al utilizar la listaoriginal de datos es 6.9◦F, ¿que se puede concluir?
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
s ≈
√35(101590)− (1870)2
35(35− 1)
=
√58750
1156
=√
49.3697479
= 7.0
La desviacion estandar real que se obtuvo al utilizar la listaoriginal de datos es 6.9◦F, ¿que se puede concluir?
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
s ≈
√35(101590)− (1870)2
35(35− 1)
=
√58750
1156
=√
49.3697479
= 7.0
La desviacion estandar real que se obtuvo al utilizar la listaoriginal de datos es 6.9◦F, ¿que se puede concluir?
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
s ≈
√35(101590)− (1870)2
35(35− 1)
=
√58750
1156
=√
49.3697479
= 7.0
La desviacion estandar real que se obtuvo al utilizar la listaoriginal de datos es 6.9◦F, ¿que se puede concluir?
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Ejercicio.
Para los siguientes dados agrupados calcule la media y ladesviacion estandar.
Velocidad(mi/h) Frecuencia
42-45 2546-49 1450-53 754-57 358-61 1
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados
Media de datos agrupadosDesviacion estandar de datos agrupados
Referencias
[1] Anderson, D., Sweeney D. y Thomas W., Estadıstica paraadministracion y economıa, Thompson Editores, Mexico,2008.
[2] Lind, D., Marchal, W. y Wathen, S., Estadıstica aplicada alos negocios y la economıa, McGraw-Hill interamericana,Mexico, 2012.
[3] Triola, M., Estadıstica, Pearson Educacion, Mexico, 2009,pp. 75-86.
Rocıo Meza Moreno Datos agrupados