Medidas de Tendencia Central

Estadística

Medidas de tendencia

central

Notación de Sumatoria

El símbolo del lado

indica la suma de todos

los Xi desde i=1 hasta

i=N.

N

i

iX1


Es decir:

Propiedades:

N

i

Ni XXXX1

21 ...

N

i

nnii YXYXYXYX1

2211 ...

N

i

i

N

i

ni XaaXaXaXaX11

21 ...


Propiedades:

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

iii ZcYbXacZbYaX1111

Medidas de tendencia central

Ubican e identifican el punto alrededor del cual se centran los datos. Las medidas de tendencia central nos indican hacia donde se inclinan o se agrupan más los datos.

MEDIA

MEDIANA

MODA

PERCENTILES

CUARTILES

Medidas de tendencia central

Medidas de tendencia central para

datos no agrupados: La Media

La Media Aritmética: la media de una muestra de

“n” números x1, x2, x3,…,xn se denota por y se

define:

n

x

n

x

n

xxxxx

n

i

i

n

1321 ...



Ejemplo:

Tenemos los siguientes números:

19, 80, 21, 74, 66

La media se calcula:

525

260

5

6674218019

x



La Media Aritmética Ponderada: A veces se asocia a

los números X1, X2,…, XN ciertos factores de peso (o

pesos) w1, w2,…, wN, dependiendo de la influencia

asignada a cada número. En tal caso,

N

i

i

N

i

ii

N

NN

w

Xw

www

XwXwXwX

1

1

21

2211

...

...



Ejemplo:

Calcule el promedio de las siguientes notas:

5,6 coef. 2; 3,5 coef. 1; 6,4 coef. 1 y 5,2 coef.2

Otra manera de resolver este problema es

calculando un ponderador, que se define:

25.56

5.31

2112

2*2.51*4.61*5.32*6.5

x

N

i

i

ii

w

wponderador

1



En este caso, los ponderadores son:

2/6=0.333

1/6=0.167

entonces, se calcula

25.5333.0*2.5167.*4.6167.0*5.3333.0*6.5

*1

x

Xponderadorxn

i

ii


datos agrupados: La Media

Media aritmética para datos agrupados:

Cuando se cuenta con datos agrupados en

una distribución de frecuencia, todos los

valores que caen dentro de un intervalo de

clase dado se consideran igual a la marca de

clase, o punto medio del intervalo.



Con Xj como marca de la clase j y fj como

frecuencia de la misma, se tiene que:

Nótese que se asume que hay M clases

n

Xf

X

M

j

jj

1



Ejemplo:

A partir de la

siguiente tabla de

distribución de

frecuencia, encuentre

la media.

Linf Lsup

Marca

xi fi hi

0 150 75 285 0.012

150 300 225 5850 0.244

300 450 375 4655 0.194

450 600 525 7382 0.308

600 750 675 856 0.036

750 900 825 4948 0.206

n = 23976



Se puede hacer de dos maneras. Ambas

provienen de la definición de promedio

ponderado.

La primera suma las frecuencias

multiplicadas por su marca y se divide por n.

La segunda simplemente suma la

multiplicación de las marcas por las

frecuencias relativas.



L inf L sup

Marca

xi fi hi xi*fi

0 150 75 285 0.012 21375

150 300 225 5850 0.244 1316250

300 450 375 4655 0.194 1745625

450 600 525 7382 0.308 3875550

600 750 675 856 0.036 577800

750 900 825 4948 0.206 4082100

n = 23976 11618700



60.48423976

11618700x



L inf L sup

Marca

xi fi hi xi*hi

0 150 75 285 0.012 0.892

150 300 225 5850 0.244 54.899

300 450 375 4655 0.194 72.807

450 600 525 7382 0.308 161.643

600 750 675 856 0.036 24.099

750 900 825 4948 0.206 170.258

n = 23976 484.60


datos no agrupados: La Mediana

La Mediana: la mediana de un conjunto de números

ordenados en magnitud es el valor central o la

media de los dos valores centrales.

Cuando hay un número impar de observaciones, es

la observación (n+1)/2:

2

1: nXMediana



Cuando n es par se calcula el promedio entre los dos

valores del medio:

2

122

nn XX

Mediana



Ejemplo:

2, 4, 9, 16, 29, 45, 60, 65, 67, 68

Aquí hay 10 observaciones, luego, se debe

obtener el promedio de las que están “en el

medio”.

Es decir las observaciones 5 y la 6.

372

74

2

4529

Me

A) Si Fi > n/2

Ejemplo: Las calificaciones en la asignatura de Matemática de 39

alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla

xi fi Fi

1 2 2

2 2 4

3 4 8

4 5 13

5 8 21 > 19.5

6 9 30

7 3 33

8 4 37

9 2 39

Primero se hallan las frecuencias absolutas

acumuladas Fi.

Se determina la menor frecuencia absoluta

acumulada Fi que supera a n/2.

Como n/2 = 19,5 y 21 > 19,5

Por tanto la mediana será Xi = 5, con lo que

Me = 5 puntos

INTERPRETACIÓN:

La mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos,

y la otra mitad un 5 o más.

La Mediana para datos agrupados:

variables discretas

B) Si n/2 = Fi

Ejemplo: Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38

alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla:

xi fi Fi

1 2 2

2 2 4

3 4 8

4 5 13

5 6 19 = 19

6 9 28

7 4 32

8 4 36

9 2 38

Primero se hallan las frecuencias absolutas

acumuladas Fi.

Como n/2= 38/2 =19 y 19 = 19.

Con lo cual la mediana será la media aritmética

de los valores xi y xi+1.

INTERPRETACIÓN:

La mitad de la clase ha obtenido un 5,5 o

menos y la otra mitad un 5,5 o más..

5,52

65~

xMediana

La Mediana para datos agrupados:

variables discretas

La mediana se obtiene por interpolación y está

dada por:

mediana clase la de Amplitud C

mediana clase la de absoluta Frecuencia

mediana la de clase la ainferior acumulada Absoluta Frecuencia

total)a(frecuenci datos de Número

mediana) la a contiene que (la mediana clase la deinferior Límite

2

1

inf

1

inf

mediana

mediana

f

F

n

L

Cf

Fn

LMediana

La Mediana para datos agrupados

variables contínuas:

Ejemplo

LI LS Marca fi Fi

0 150 75 285 285

150 300 225 5850 6135

300 450 375 4655 10790

450 600 525 7382 18172

600 750 675 856 19028

750 900 825 4948 23976

N 23976



Lo primero que se debe hacer es determinar la

clase donde está la mediana.

Lo anterior se realiza dividiendo N por 2, es

decir:

23976/2=11988

A continuación se debe encontrar la clase

mediana, la cual es la que tiene la frecuencia

acumulada mayor a la observación mediana.

En este caso:




datos agrupados: La Mediana

Ejemplo

LI LS Marca fi Fi

0 150 75 285 285

150 300 225 5850 6135

300 450 375 4655 10790

450 600 525 7382 18172

600 750 675 856 19028

750 900 825 4948 23976

n = 23976



Luego se debe aplicar la fórmula:

150*7382

107902

23976

450

Mediana

Límite Inferior de

la frecuencia

mediana

n

Frecuencia

acumulada

anterior a la

frec. mediana

Ancho del Intervalo

Frecuencia Mediana



323.474

323.24450

150*162.0450

150*7382

1198450

150*7382

1079011988450

150*7382

107902

23976

450

Mediana

Mediana

Mediana

Mediana

Mediana

Mediana


datos no agrupados: La Moda

La Moda: la moda de un conjunto de

números es el valor que ocurre con mayor

frecuencia; es decir, el valor más frecuente.

La moda puede no existir e incluso no ser

única.

La distribución con una sola moda se llama

unimodal y con dos es bimodal.



Ejemplo: determinar la moda de los

siguientes datos:

10, 19, 21, 21, 32, 47, 47, 47, 71, 71, 73, 84,

89, 98

Dado que el valor que más se repite es el 47,

Moda = 47



Ejercicio, determinar la moda de los

siguientes datos:

15, 23, 25, 30, 30, 41, 67, 78, 78, 79, 81, 84,

87, 89, 99.

Moda = 30 y 78.

11, 14, 21, 36, 38, 39, 41, 42, 43, 48, 51, 65,

72, 95

En este caso, la moda no existe.


datos agrupados: La Moda

La moda, para datos agrupados es simplemente la

marca de la clase con mayor frecuencia.

LI LS Marca fi

0 150 75 285

150 300 225 5850

300 450 375 4655

450 600 525 7382

600 750 675 856

750 900 825 4948

En este caso,

la moda es:

Moda = 525

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