Medidas De Localización

Moda

La Moda es el valor que más se repite en un conjunto de datos. Se denota como sigue:

Muestra Población

X̂ ̂

Moda

Ejemplo: ¿Cuál es la moda de 1, 2, 5, 1, 3, 2, 3, 7, 3, 6, 3, 4, y 3?

Moda

3ˆ X

Ventajas De La Moda

• Cuando un valor predomina es fácil de detectar.

• Permite visualizar cuando dos o más grupos distintos aparecen en un mismo grupo de datos. (Distribuciones bimodales, trimodales)

Desventajas De La Moda

• No siempre existe

• Es insensible a la presencia de valores extremos.

• No provee información referente a la distribución de frecuencia de un grupo de datos.

Mediana

Es el valor que ocupa la posición central en un conjunto de datos al ordenarlos de manera ascendente.

Muestra Población

2

1

~ nXX

2

1~

NX

Mediana

Si el número de datos es impar, la mediana será un valor observable y si el número de datos es par, la mediana será el punto medio de los dos valores centrales.

2

1

~ nXX

2

1~

NX

Mediana

Ejemplo: ¿Cuál es la mediana de 10, 12, 5, 9 y 7?n=5 Los datos ordenados quedan: 5, 7, 9, 10, 12

9~

3

2

15

2

1 XXXX n

Mediana

Ejemplo: ¿Cuál es la mediana de 8, 5, 7, 3, 4, 6?n=6 Los datos ordenados quedan: 3, 4, 5, 6, 7, 8.

5.52

65~5.3

2

16

2

16

XXXX

Ventajas De La Mediana

• No es muy sensible a la presencia de valores extremos .

• Reduce el efecto de valores extremos para obtener un valor representativo de centro

Desventajas De La Mediana

• Implica ordenar los datos.

• Insensible a la magnitud de los valores.

• Sensible al tamaño del conjunto de datos.

Media

• La media es un valor central que toma en cuenta las valores que aparecen en un conjunto de datos y las distancias relativas de esos valores

Media

• Su analogía física se puede comparar como el centro de masa de una colección de masas en una dimensión.

Media

Media

La media puede ser:

• Aritmética: cuando los valores tienen la misma importancia en el grupo de datos.

• Ponderada: cuando los valores no tienen la misma importancia en el conjunto de datos.

Media

La media puede ser:

• Geométrica: cuando los valores dependen en el tiempo y varían de manera no lineal. Por ejemplo, cambios porcentuales, crecimientos anualizados de población o ventas etc.

Media

La media puede ser:

• Armónica: cuando los valores representan razones de cambio tales como velocidades, precios por unidades etc.

Media Aritmética

Muestra Población

Datos Dispersos

Datos Agrupados

n

xX

N

x

n

fxX

N

fx

Media Aritmética

Ejemplo: ¿Cuál es la media de 10, 12, 7, 3, 5, 8?

5.7645

685371210

n

xX

Media Aritmética

Ejemplo: Encuentre la media de

x f fx

10 5 50

12 7 84

14 4 56

Total 16 190

Media Aritmética

Ejemplo: Encuentre la media de

875.1116

190

n

fxX

Media Ponderada

Muestra Población

w

wxX

w

wx

Media Ponderada

Encuentre la media

x w wx

9 0.65 5.85

7 0.20 1.40

8 0.15 1.20

Total 1.00 8.45

Media Ponderada

45.81

45.8

w

wxX

Media Geométrica

Muestra

nng XXXXX ...321

Población

NNg XXXX ...321

Media Geométrica

Ejemplo: ¿Cuál es la media geométrica de 10, 12, 7, 3, 5, 8?

822.6

85371210

...

6

321

g

g

nng

X

X

XXXXX

Media Armónica

Muestra Población

x

Nh 1

x

nX h 1

Media ArmónicaEjemplo: ¿Cuál es la media armónica de 10, 12, 5 y 9?

0899.8

49444.0

4

91

51

121

101

41

h

h

X

x

nX

Ventajas De La Media

• Siempre existe.

• Es fácil de calcular.

• Extrae el máximo de información de un conjunto de datos.

Desventaja De La Media

• Se ve seriamente afectada por valores extremos en un conjunto de datos

Otra medida de Tendencia Central

Rango Medio. Es el punto medio entre el máximo y el mínimo valor observado

RM= (DM + dm) / 2.

Ejemplo: Si los datos son 3, 5, 7, 12, 9, 8. El Rango medio sería:

RM = ( 12+3) / 2= 7.5

Rango medio = Mitad de Rango

CUANTILES

Un cuantil es una medida de posición que permite determinar que valor de un grupo de datos es de tal forma que sólo cierto porcentaje del total de datos está por debajo de dicho valor.

CUANTILES

Los cuantiles más utilizados son

Cuartiles: dividen un conjunto de datos en subgrupos de 25%

Deciles: dividen un conjunto de datos en subgrupos de10%

Percentiles: dividen un conjunto de datos en subgrupos de 1%

CUANTILES Las fórmulas para cálculo de estos cuantiles son (Datos No

agrupados):

2

1

4

knk XQ2

1

10

knk XD2

1

100

knk XP

Cuartiles Deciles Percentiles

Como el cálculo es sobre las posiciones de los valores al ordenarlos de manera ascendente se debe tomar en cuenta lo siguiente:

CUANTILES

Como el cálculo es sobre las posiciones de los valores al ordenarlos de manera ascendente se debe tomar en cuenta lo siguiente:

• Si la posición calculada es un número entero se toma el valor que guarda dicha posición.

• Si la posición calculada es un número con decimales entonces se toma el entero superior próximo.

EjemplosPara el siguiente conjunto de datos obtener.El cuartil 1 y 3.El decil 3. y el percentil 95.Solución:n = 70 Para el cuartil uno

89 94 96 99 103 107 109

90 94 97 99 103 107 110

90 95 97 99 104 107 110

90 95 97 100 104 108 111

91 95 97 101 104 108 111

92 95 97 101 105 108 112

92 95 97 102 106 108 114

92 96 98 102 106 108 117

92 96 99 102 106 109 117

93 96 99 103 106 109 1202

1

4

knk XQ

9618

2

1

4

)70)(1(1

XXQ

EjemplosPara el siguiente conjunto de datos obtener.El cuartil 1 y 3.El decil 3. y el percentil 95.Solución:n = 70 Para el cuartil tres

89 94 96 99 103 107 109

90 94 97 99 103 107 110

90 95 97 99 104 107 110

90 95 97 100 104 108 111

91 95 97 101 104 108 111

92 95 97 101 105 108 112

92 95 97 102 106 108 114

92 96 98 102 106 108 117

92 96 99 102 106 109 117

93 96 99 103 106 109 1202

1

4

knk XQ

10753

2

1

4

)70)(3(1

XXQ

EjemplosPara el siguiente conjunto de datos obtener.El cuartil 1 y 3.El decil 3. y el percentil 95.Solución:n = 70 Para el decil tres

89 94 96 99 103 107 109

90 94 97 99 103 107 110

90 95 97 99 104 107 110

90 95 97 100 104 108 111

91 95 97 101 104 108 111

92 95 97 101 105 108 112

92 95 97 102 106 108 114

92 96 98 102 106 108 117

92 96 99 102 106 109 117

93 96 99 103 106 109 120

2

1

10

knk XD

97225.21

2

1

10

)70)(3(3

XXXD

EjemplosPara el siguiente conjunto de datos obtener.El cuartil 1 y 3.El decil 3. y el percentil 95.Solución:n = 70 Para el percentil 95

89 94 96 99 103 107 109

90 94 97 99 103 107 110

90 95 97 99 104 107 110

90 95 97 100 104 108 111

91 95 97 101 104 108 111

92 95 97 101 105 108 112

92 95 97 102 106 108 114

92 96 98 102 106 108 117

92 96 99 102 106 109 117

93 96 99 103 106 109 120

2

1

100

knk XP

11467

2

1

100

)70)(95(

2

1

100

XXXP knk