Medidas de Dispersión
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MEDIDAS DE DISPERSIN
Prof. L. GALINDEZ
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Dispersin:
Medidas de Desviacin Promedio
Las descripciones ms completas de la
dispersin son aquellas que manejan la
desviacin promedio respecto a alguna
medida de tendencia central.
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Varianza de Poblacin
Cada poblacin tiene una varianza, su
smbolo es (sigma cuadrada). La varianza es el promedio de los cuadrados
de las distancias de las observaciones a la
media.
Para calcular la varianza de una poblacin,
la suma de los cuadrados de las distancias
entre la media y cada elemento de la
poblacin se divide entre el nmero total de
observaciones en poblacin.
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Varianza de Poblacin
2 = 2
= 2
2
Donde: 2: Varianza de la poblacin x: elemento u observacin : media de la poblacin N: nmero total de elementos de la poblacin : sumatoria
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Desviacin Estndar
Es una medida de dispersin de datos, y no
es ms que la raz cuadrada de la Varianza
de la poblacin.
La desviacin estndar es la raz cuadrada
del promedio de los cuadrados de las
distancias entre las observaciones y la
media.
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Desviacin Estndar
NOTA:
La desviacin estndar est en las mismas
unidades que las que se usaron para medir
los datos.
= 2 = 2
=
2
2
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Desviacin Estndar
NOTA:
La desviacin estndar est en las mismas
unidades que las que se usaron para medir
los datos.
= 2 = 2
=
2
2
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Desviacin Estndar La desviacin estndar nos permite determinar, con un buen grado de precisin, dnde estn localizados los valores de una distribucin de frecuencias con relacin a la media. La desviacin estndar es til tambin para
describir cunto se apartan las
observaciones individuales de una
distribucin de la media de la misma.
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Desviacin Estndar Teorema de Chebyshev Establece que independientemente de la forma de la distribucin, al menos 75% de los valores caen dentro de 2 desviaciones estndar a partir de la media de la distribucin, y al menos 89% de los valores caen dentro de 3 desviaciones estndar a partir de la media.
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Teorema de Chebyshev Podemos medir an con ms precisin el porcentaje de
observaciones que caen dentro de un rango especfico de
una curva simtrica con forma de campana, como la
mostrada en la siguiente figura. En estos casos, podemos
decir que:
1. Aproximadamente 68% de los valores de la poblacin
cae dentro de 1 desviacin estndar a partir de la media.
2. Aproximadamente 95% de los valores estar dentro de
2 desviaciones estndar a partir de la media.
3. Aproximadamente 99% de los valores estar en el
intervalo que va desde 3 desviaciones estndar a la
izquierda de la media hasta 3 desviaciones estndar a la
derecha de la media.
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Teorema de Chebyshev
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1.- Ejercicio:
A continuacin se muestran los resultados
de una prueba de pureza de compuestos
qumicos. Determine la Varianza y la
Desviacin Estndar.
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1.- Ejercicio:
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1.- Ejercicio:
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1.- Ejercicio: El Teorema de Chebyshev nos dice que al
menos el 75% de los valores (11 de nuestros
15 frascos) estn entre:
Veamos:
0,166 2 0,058 = 0,050 0,166 + 2 0,058 = 0,282
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1.- Ejercicio: De hecho, 93% de las observaciones (14 de
los 15 valores) estn realmente en el
intervalo. Note que la distribucin es
razonablemente simtrica y que 93% es muy
cercano al 95% terico para un intervalo de
2 desviaciones estndar a partir de la media de una curva con forma de campana.
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Resultado Estndar Nos da el nmero de desviaciones estndar que
una observacin en particular ocupa por debajo o
por encima de la media. Si x simboliza la
observacin, entonces el resultado estndar
calculado a partir de los datos de la poblacin es:
=
Donde: x: observacin tomada de la poblacin : media de la poblacin
: desviacin estndar de la poblacin
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
2. Ejercicio: Calcule resultados estndar para el ejercicio
anterior (1)
Solucin:
Suponga que observamos un frasco de compuesto
que tiene 0.108% de impureza.
Como nuestra poblacin tiene una media de 0.166
y una desviacin estndar de 0.058
=
=0,108 0,166
0,058= 1
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
2. Ejercicio: Calcule resultados estndar para el ejercicio
anterior (1)
Solucin:
Para una impureza observada del 0.282%
=
=0,282 0,166
0,058= 2
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
2. Ejercicio: Calcule resultados estndar para el ejercicio
anterior (1)
Solucin:
El resultado estndar indica que una
impureza del 0.282% se desva de la media
en 2(0.058)= 0.116 unidades, que es igual a
+2, en trminos de del nmero de
desviaciones estndar alejado de la media.
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Clculo de la Varianza y la Desviacin
Estndar utilizando Datos Agrupados
Varianza:
Desviacin Estndar de Datos Agrupados:
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Clculo de la Varianza y la Desviacin
Estndar utilizando Datos Agrupados
Donde:
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Clculo de la Varianza y la Desviacin
Estndar utilizando Muestras
Donde:
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Clculo de la Varianza y la Desviacin
Estndar utilizando Muestras
Varianza de una Muestra:
Desviacin Estndar de una Muestra:
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Resultado Estndar de una Muestra
Donde:
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
3. Ejercicio: Determine la Varianza y la
Desviacin estndar de las ventas de 100
restaurantes de comidas rpidas.
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
3.