Medidas de dispercion Lasmedidas de dispersinnos informan sobre cunto se alejan del centro los valores de la distribucin.Lasmedidas de dispersinson:Rango o recorridoElrangoes ladiferenciaentre elmayory elmenorde losdatosde una distribucin estadstica.Desviacin mediaLadesviacin respecto a la mediaes ladiferenciaentre cadavalorde la variable estadstica y lamedia aritmtica.Di= x -xLadesviacin mediaes lamedia aritmticade losvalores absolutos de las desviaciones respecto a la media.Ladesviacin mediase representa por

EjemploCalcular ladesviacin mediade la distribucin:9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Desviacin media para datos agrupadosSi los datos vienen agrupados en unatabla de frecuencias, la expresin de ladesviacin mediaes:

EjemploCalcular ladesviacin mediade la distribucin:xifixi fi|x -x||x -x| fi

[10, 15)12.5337.59.28627.858

[15, 20)17.5587.54.28621.43

[20, 25)22.57157.50.7144.998

[25, 30)27.541105.71422.856

[30, 35)32.526510.17421.428

21457.598.57

VarianzaLavarianzaes lamedia aritmtica del cuadrado de las desviaciones respecto a la mediade una distribucin estadstica.La varianza se representa por.

Varianza para datos agrupados

Para simplificar elclculo de la varianzavamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Varianza para datos agrupados

Ejercicios de varianzaCalcular la varianzade la distribucin:9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la varianzade la distribucin de la tabla:xifixi fixi2 fi

[10, 20)15115225

[20, 30)2582005000

[30,40)351035012 250

[40, 50)45940518 225

[50, 6055844024 200

[60,70)65426016 900

[70, 80)75215011 250

421 82088 050

Propiedades de la varianza1Lavarianzaser siempre unvalor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.2Si a todos losvaloresde la variable se lessumaunnmerolavarianza no vara.3Si todos losvaloresde la variable semultiplicanpor unnmerolavarianzaquedamultiplicadapor elcuadradode dichonmero.4Si tenemos varias distribuciones con la mismamediay conocemos sus respectivasvarianzasse puede calcular lavarianza total.Si todas las muestras tienen el mismo tamao:

Si las muestras tienen distinto tamao:

Observaciones sobre la varianza1Lavarianza, al igual que la media, es un ndice muy sensible a las puntuaciones extremas.2En los casos queno se pueda hallar la mediatampoco ser posible hallar lavarianza.3Lavarianzano viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones estn elevadas al cuadrado.

Desviacin tpicaLadesviacin tpicaes laraz cuadrada de la varianza.Es decir, la raz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviacin.Ladesviacin tpicase representa por.

Desviacin tpica para datos agrupados

Para simplificar el clculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Desviacin tpica para datos agrupados

Ejercicios de desviacin tpicaCalcular ladesviacin tpicade la distribucin:9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la desviacin tpicade la distribucin de la tabla:xifixi fixi2 fi

[10, 20)15115225

[20, 30)2582005000

[30,40)351035012 250

[40, 50)45940518 225

[50, 60)55844024 200

[60,70)65426016 900

[70, 80)75215011 250

421 82088 050

Propiedades de la desviacin tpica1Ladesviacin tpicaser siempre unvalor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.2Si a todos losvaloresde la variable se lessumaunnmeroladesviacin tpica no vara.3Si todos losvaloresde la variable semultiplicanpor unnmeroladesviacin tpicaquedamultiplicadapor dichonmero.4Si tenemos varias distribuciones con la mismamediay conocemos sus respectivasdesviaciones tpicasse puede calcular ladesviacin tpica total.Si todas las muestras tienen el mismo tamao:

Si las muestras tienen distinto tamao:

Observaciones sobre la desviacin tpica1Ladesviacin tpica, al igual que la media y la varianza, es un ndice muy sensible a las puntuaciones extremas.2En los casos queno se pueda hallar la mediatampoco ser posible hallar ladesviacin tpica.3Cuanta ms pequea sea ladesviacin tpicamayor ser laconcentracin de datosalrededor de lamedia.Coeficiente de variacinElcoeficiente de variacines la relacin entre ladesviacin tpicade una muestra y sumedia.

Elcoeficiente de variacinse suele expresar enporcentajes:

Elcoeficiente de variacinpermite comparar lasdispersionesde dos distribuciones distintas, siempre que susmediasseanpositivas.Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre s.Lamayor dispersincorresponder al valor delcoeficiente de variacin mayor.Ejercicio:Una distribucin tienex= 140 y = 28.28 y otrax= 150 y = 24. Cul de las dos presenta mayor dispersin?

La primera distribucin presenta mayor dispersin.Puntuaciones tpicasPuntuaciones diferencialesLaspuntuaciones diferencialesresultan derestarlesa laspuntuaciones directas la media aritmtica.xi= XiXPuntuaciones tpicasLaspuntuaciones tpicasson el resultado dedividirlaspuntuaciones diferencialesentre ladesviacin tpica. Este proceso se llamatipificacin.Laspuntuaciones tpicasse representan porz.

Observaciones sobre puntuaciones tpicasLamedia aritmticade laspuntuaciones tpicases0.Ladesviacin tpicade laspuntuaciones tpicases1.Laspuntuaciones tpicassonadimensionales, es decir, son independientes de las unidades utilizadas.Laspuntuaciones tpicasse utilizan paracompararlaspuntuacionesobtenidas en distintas distribuciones.EjercicioEn una clase hay 15 alumnos y 20 alumnas. El peso medio de los alumnos es 58.2 kg y el de las alumnas y 52.4 kg. Las desviaciones tpicas de los dos grupos son, respectivamente, 3.1 kg y 5.1 kg. El peso de Jos es de 70 kg y el de Ana es 65 kg. Cul de ellos puede, dentro del grupo de alumnos de su sexo, considerarse ms grueso?

Jos es ms grueso respecto de su grupo que Ana respecto al suyo.La varianzaLavarianzaes lamedia aritmtica del cuadrado de las desviaciones respecto a la mediade una distribucin estadstica.La varianza se representa por.

Varianza para datos agrupados

Para simplificar elclculo de la varianzavamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Ejercicios de varianzaEjercicio 1:Calcular la varianzade la distribucin:9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Ejercicio 2:Calcular la varianzade la distribucin de la tabla:xifixi fixi2 fi

[10, 20)15115225

[20, 30)2582005000

[30,40)351035012 250

[40, 50)45940518 225

[50, 6055844024 200

[60,70)65426016 900

[70, 80)75215011 250

421 82088 050

Propiedades de la varianza1Lavarianzaser siempre unvalor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.2Si a todos losvaloresde la variable se lessumaunnmerolavarianza no vara.3Si todos losvaloresde la variable semultiplicanpor unnmerolavarianzaquedamultiplicadapor elcuadradode dichonmero.4Si tenemos varias distribuciones con la mismamediay conocemos sus respectivasvarianzasse puede calcular lavarianza total.Si todas las muestras tienen el mismo tamao:

Si las muestras tienen distinto tamao:

Observaciones sobre la varianza1Lavarianza, al igual que la media, es un ndice muy sensible a las puntuaciones extremas.2En los casos queno se pueda hallar la mediatampoco ser posible hallar lavarianza.3Lavarianzano viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones estn elevadas al cuadrado.