MEDIA ARMÓNICA

La media armónica , representada por H, de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos númerosAsí, dados los números a1,a2, ... , an, la media armónica será igual a:

La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.La media armónica no está definida en el caso de la existencia en el conjunto de valores nulos.Si se tiene un conjunto de observaciones tales como: X1, X2, … . Xn; la media armónica, denotada por H, se define como el reciproco de la suma de los valores inversos de la variable estadística divididos entre el número total de.

Propiedades de la media armónica

La media armónica se basa en todas las observaciones por lo que está afectada por todos los valores de la variable. Da a los valores extremadamente grandes un peso menor que el que les da la media geométrica, mientras que a los valores pequeños les da un peso mayor que el que les da tanto la media aritmética como la media geométrica.

La media armónica esta indeterminada si alguno de los valores es cero, pues hallar el recíproco de cero implica dividir entre cero, lo cual no es válido. La media armónica está rígidamente definida y siempre es definitiva, excepto cuando uno de los valores es cero.

La media armónica es el promedio que se ha de usar, cuando lo que se va a promediar son proporciones donde los numeradores de las razones son los mismos para todas las proporciones.

La media armónica se presta a manipulaciones algebraicas posterioresSe utiliza para promediar velocidades, tiempos, rendimiento, etc. (cuando influyen los valores pequeños). su problema: cuando algún valor de la variable es ó próximo a cero no se puede calcular

Ventaja

Considera todos los valores de la distribución y en ciertos casos, es más representativa que la media aritmética.

Desventajas

La influencia de los valores pequeños y el hecho que no se puede determinar en las distribuciones con algunos valores iguales a cero; por eso no es aconsejable su empleo en distribuciones donde existan valores muy pequeños.

H= n

∑nix i

= nn1

x1

+n2

x21

+n3

x3

+. .. .

“Entre la media aritmética la media geométrica y media armónica se da

siempre la siguiente relación: H≤G≤XEjemplos

1. Si un automóvil se desplaza a una velocidad de 40,60,80 km por hora calcular la velocidad promedio.

Solución:

2. calcular la media armónica de la siguiente distribución:

xi ni

100 10

120 5

125 4

140 3

Para poder hallarla, es necesario que calculemos el inverso de x y el inverso de la frecuencia por lo que ampliaremos la tabla con 2 columnas adicionales:

xi ni 1/xi ni/xi xini

100 10 1/100 0.1 1000

120 5 1/120 0.042 600

125 4 1/125 0.032 500

140 3 1/140 0.021 420

N= 22 0.195 2520

H= n

∑nix i

=220 ,195

=112 ,82

X=

∑ x inin

=252022

=114 ,545

MEDIA CUADRÁTICA

La media cuadrática nació con el objetivo de poder obtener el promedio de valores positivos y negativos al mismo tiempo, además de ser una gran ayuda para poder calcular las dispersiones promedio de los datos (ver medidas de dispersión).

DefiniciónSe denomina media cuadrática de una distribución estadística, y se designa por C, a la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores de la variable.

k k∑ xi

2 ∑ xi2. ni k

i=1 i=1 N = ∑ ni

C = ------------ (Tipo I) ; C = ------------------- (Tipos II-III) i=1N N

Datos no agrupados: tipoI

MC=√∑i=1

n

x i2

n

Ejemplo:

Supóngase que se obtienen las ganancias y pérdidas del precio de una acción durante una semana; - 4.00, - 3.50, 2.35, 6.20, 3.25 Calcular el promedio:

MC=√∑i=1

n

x i2

n=√ (−4 .0)2+(−3 .5 )2+2 .352+6 .22+3 . 252

5=√50 .775

5=3 .186691

Datos agrupados : tipo II

MC=√∑i=1

n

f ix i2

n

Ejemplo:

Ahora deseamos obtener el promedio de una tabla de distribución de frecuencias pero con datos positivos y negativos.

Ganancias y pérdidas del precio

de una acción

(x)

No. De días(f)

Esta media como medida de asociación tiene aplicaciones tanto en ciencias biológicas como en medicina.

A veces la variable toma valores positivos y negativos, como ocurre, por ejemplo, en los errores de medida.

En tal caso se puede estar interesado en obtener un promedio que no recoja los efectos del signo. Este problema se resuelve, mediante la denominada media cuadrática.

Consiste en elevar al cuadrado todas las observaciones (así los signos negativos desaparecen), en obtener después su media aritmética y en extraer, finalmente, la raíz cuadrada de dicha media para volver a la unidad de medida original.

Ventaja

Emplea toda la información existente en la distribución.

Desventajas

Sobre todo, hay que citar, la influencia de los valores más altos de la variable.

Relación entre la MEDIAS (Aritmética, Geométrica, Armónica y Cuadrática) _

Para una misma distribución, se verifica: H ≤ G ≤ x ≤ C

Ganancias y pérdidas del precio

de una acción

(x)

No. De días(f)