Meda Bernoulli

1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 3

Práctica nº 1 :

ECUACIÓN DE BERNOULLI

1.1. INTRODUCCIÓN

La denominada ecuación o teorema de Bernoulli representa el principio de conservación de la energía mecánica aplicado al caso de una corriente fluida ideal, es decir, con un fluido sin viscosidad (y sin conductividad térmica). El nombre del teorema es en honor a Daniel Bernoulli, matemático suizo del siglo XVIII (1700-1782), quien, a partir de medidas de presión y velocidad en conductos, consiguió relacionar los cambios habidos entre ambas variables. Sus estudios se plasmaron en el libro “Hidrodynamica”, uno de los primeros tratados publicados sobre el flujo de fluidos, que data de 1738.

Para la deducción de la ecuación de

Bernoulli en su versión más popular se admitirán las siguientes hipótesis (en realidad se puede obtener una ecuación de Bernoulli más general si se relajan las dos primeras hipótesis, es decir, si reconsidera flujo incompresible y no estacionario):

• Flujo estacionario (es decir, invariable en el tiempo).

• Flujo incompresible (densidad ρ constante).

Figura 1. Retrato de Daniel Bernoulli

4 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS

Figura 2. Portada del libro “Hidrodynamica”, y esquema de un ensayo.

• Fluido no viscoso.

• Fuerzas presentes en el movimiento: fuerzas superficiales de presión y fuerzas másicas gravitatorias (= peso del fluido).

• No hay intercambio de trabajo o calor con el exterior del flujo.

Considérese un tubo de corriente como el representado en la Figura 2, con una porción de fluido delimitada por las secciones rectas S1 y S2 en un cierto instante, con áreas A1 y A2, y situadas a cotas z1 y z2 respecto a una referencia de altitud. Como la superficie del tubo de corriente está formada por líneas de corriente, es decir, el vector velocidad es tangente a ellas y el fluido no las puede atravesar, y además la densidad es constante, el caudal Q vA= , circulante por el interior del tubo de corriente habrá de ser el mismo para cualquier sección. Se admitirá que el tubo de corriente es lo bastante estrecho como para que en ambas secciones transversales S1 y S2 la velocidad y la presión del flujo se puedan considerar uniformes, con valores v1 y p1, y v2 y p2 respectivamente (en caso necesario, el tubo de corriente podría quedar reducido a una sola línea de corriente).

Al cabo de un pequeño intervalo de tiempo, dt, la porción de fluido se habrá

desplazado ligeramente hasta quedar delimitada por las nuevas secciones transversales '1S y '

2S . Estas nuevas secciones están separadas respectivamente de S1 y S2 por las distancias 1 1dx v dt= , y 2 2dx v dt= . Este desplazamiento conlleva un cambio en la energía de la porción de fluido considerada, cambio que, según el Primer Principio de la Termodinámica, deberá ser igual al trabajo de las fuerzas actuantes sobre ese

1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 5 elemento, es decir, al trabajo de las fuerzas de presión y de las fuerzas gravitatorias. Para estas últimas, que están generadas por un campo conservativo (el campo gravitatorio), su trabajo se puede interpretar como una variación de energía potencial.

Figura 2. Elemento de fluido considerado.

Así pues, la variación de energía en la porción de fluido considerada, durante el

tiempo dt, se puede expresar como: C PG PdE dE dE dW= + = (1) donde dEC y dEPG son las variaciones de energía cinética y de energía potencial gravitatoria, y dWP es el trabajo de las fuerzas de presión actuantes sobre el elemento de fluido.

La variación de energía cinética es igual a la ganancia de energía cinética habida en la zona de las secciones '

2 2S S− , menos la correspondiente reducción habida en la zona de las secciones '

1 1S S− :

2 2 2 22 1 2 1

2 1 2 1 2 2 1 1

2 2 2 22 1 2 1

2 2 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2

C C Cv v v vdE dE dE dm dm A dx A dx

v v v vA v dt A v dt Qdt

ρ ρ

ρ ρ ρ

= − = − = − =

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

(2)

De modo análogo, la variación de energía potencial gravitatoria es:

v2

'1S

'2S

v1

p1

p2

z1 z2 dx1 dx2

S1

S2


( )

2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1

2 2 2 1 1 1 2 1 PG PG PGdE dE dE dm gz dm gz A dx gz A dx gz

A v dt gz A v dt gz Qdt gz gzρ ρ

ρ ρ ρ= − = − = − =

= − = − (3)

Por su lado, el trabajo de las fuerzas de presión actuantes sobre el contorno se

puede determinar evaluando por separado los trabajos sobre las secciones S1 y S2, como producto de las correspondientes fuerzas de presión por los desplazamientos habidos durante el intervalo de tiempo dt:

( )1 1 1 1 1 1 1 11 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

dW p A dx p A v dt p QdtdW dW dW p p Qdt

dW p A dx p A v dt p Qdt= = = ⎫

⇒ = + = −⎬= − = = − ⎭ (4)

Sustituyendo las ecuaciones (2), (3) y (4) en (1), y dividiendo por Qdt resulta el

teorema o ecuación de Bernoulli:

2 21 2

1 1 2 22 2v vp gz p gzρ ρρ ρ+ + = + + (5)

que puede expresarse en la forma, más habitual en hidráulica:

2 21 1 2 2

1 22 2v p v pz zg g g gρ ρ+ + = + + (6)

donde ϖρ =g· es el peso específico del elemento de fluido. En las ecuaciones (5) y (6) cada uno de los términos representa una energía específica. En el caso de la ecuación (5) se trata de energía por unidad de volumen de fluido en circulación, o lo que es lo mismo, potencia por unidad de caudal o, simplemente, presión (las unidades son: J/m3=W/(m3/s)=Pa). En el caso de la ecuación (6) las unidades son de energía por unidad de peso de fluido, que es equivalente a una longitud (J/N=m). La interpretación de cada término es la siguiente:

Un cuerpo de masa m situado a una altura z, posee una energía potencial o de posición, referida al plano de referencia situado en cota cero: pE mgz= . El término z representa por tanto la energía potencial del fluido por unidad de peso, y se le designa como altura de posición.

El término /p gρ representa la energía necesaria para elevar la unidad de peso

del elemento de fluido hasta la altura /p gρ . Se le denomina altura de presión. A la suma de las alturas de potencial y de presión se le conoce como altura piezométrica, porque se corresponde con la altura de columna observada con un tubo piezométrico conectado a una conducción con un líquido.


Finalmente, el término 2 / 2v g representa la energía cinética por unidad de peso del elemento de fluido y se le llama altura de velocidad.

Se denomina carga o altura de energía, H, a la suma de la altura de velocidad

más la altura piezométrica, es decir, a la suma de los tres términos de cada miembro en la ecuación de Bernoulli:

2

2p vH zg gρ

= + + (7)

La carga representa la energía mecánica del fluido que fluye en la sección por

unidad de peso del mismo. Así pues el teorema de Bernoulli establece que la carga es constante a lo largo de una línea de corriente bajo las hipótesis iniciales consideradas.

En la práctica todos los fluidos reales son viscosos, y la aplicación de la

ecuación de Bernoulli podrá perder validez en función de la importancia relativa de las fuerzas viscosas en cada caso. En efecto, la presencia de los esfuerzos viscosos en el seno del fluido y, en particular, en las zonas inmediatamente adyacentes a los contornos (zonas de capa límite), hace que el fluido deba emplear parte de su energía mecánica en compensar el trabajo de oposición de las fuerzas viscosas; éste es un trabajo no reversible, por lo que paulatinamente se produce una transformación de energía mecánica en energía interna (es decir, calor).

Figura 4. Representación gráfica de las líneas de energía,

piezométrica y de posición.

1z 2z

1pgρ

2pgρ

1

2vg

2

2vg

fh

Altura total

Línea de energía

Línea piezométrica

Línea de posición


Desde el punto de vista de la ecuación de Bernoulli, esta transformación se contabiliza como una disminución progresiva de la altura de energía o pérdida de carga hf. Si H1 es la carga del fluido en la sección S1 y H2 la carga del fluido en la sección S2, se tendrá:

2 21 1 2 2

1 2 1 22 2fv p v ph H H z zg g g gρ ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = + + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (8)

La pérdida de carga hf será tanto mayor cuanto más separadas estén entre sí las

posiciones S1 y S2. Ello significa que, a lo largo de una conducción, la línea de energía, que es la representación gráfica de la altura de energía para cada posición, será una línea con pendiente negativa (Figura 4).

En el caso de una tubería de sección constante la altura de velocidad ha de permanecer invariable, y en ese caso las líneas de energía y piezométrica son paralelas; si además se trata de una tubería horizontal, la pérdida de carga se manifiesta exclusivamente como una pérdida de presión.

1.2. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN

La práctica se lleva a cabo en un dispositivo experimental ubicado en el laboratorio de Hidráulica de la E.T.S. de Ingenieros de Minas de Oviedo. En la Figura 5 se muestran dos fotografías de dicho dispositivo experimental. Como puede observarse en esa figura, el dispositivo consta de nueve tubos verticales, llamados tubos piezométricos o piezómetros, soldados a un tubo horizontal. Las secciones de cada tubo piezométrico se indican en la Tabla I.

Tabla I. Secciones de los tubos piezométricos. Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9

S(cm2) 6.45 5.48 3.81 2.69 2.69 3.48 4.64 5.81 6.45

El conducto horizontal, al que van soldados los tubos piezométricos, presenta un estrechamiento de su sección, similar a un Venturi, como el que se representa en la Figura 6.

La disminución de la sección de paso del fluido en el Venturi, provocará un

aumento de la velocidad del flujo en dichas secciones, que debe ser compensado con una disminución de la altura piezométrica, puesto que el teorema de Bernoulli establece la conservación de la carga o energía mecánica del fluido en cada línea de corriente.


En los extremos del conducto de paso de la corriente de agua se encuentran ubicados dos depósitos: uno a la izquierda, por el que el fluido penetra en la instalación y otro a la derecha, por el que el fluido abandona la instalación.

En la parte posterior de los piezómetros, sobre un panel, se encuentra una escala

graduada en mm, sobre la que se determina la altura piezométrica alcanzada por el fluido en cada tubo.

Figura 5. Dispositivo experimental. Arriba: inclinado. Abajo: horizontal. Nótese en el caso inferior la curva piezométrica definida por la altura del

agua en cada piezómetro


Detrás del dispositivo experimental, se encuentra situada una llave de paso que permite, mediante una menor o mayor apertura, la regulación del caudal que fluye por la instalación. Dicho caudal se determina mediante un método volumétrico, es decir, se dispone de un recipiente tipo probeta para calibrar el volumen de fluido, y se mide mediante un cronómetro el tiempo necesario para alcanzar un volumen determinado de fluido en la probeta. De esta forma se establece el caudal de fluido circulante, y conocida la sección de cada tubo, puede calcularse la altura de velocidad correspondiente a cada uno de ellos.

Figura 6. Posiciones de toma de presión en el conducto.

Finalmente, el dispositivo puede situarse en una posición horizontal o con un

cierto ángulo de inclinación α. En el caso de situar el dispositivo en posición completamente horizontal, la altura de posición para todos los tubos piezométricos es la misma, y se toma cono nivel de referencia con cota cero. Sin embargo, si el dispositivo se inclina un cierto ángulo α, la altura de posición de los tubos piezométricos difiere de unos a otros y debe tenerse en cuenta en la ecuación de Bernoulli. 1.3. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL

El objetivo fundamental de la práctica es comprobar el teorema de Bernoulli experimentalmente. Para ello, será necesario determinar la altura piezométrica, la altura de velocidad y la altura de posición, cuando corresponda, en cada uno de los tubos piezométricos.

2 6 8 1 3 4 5 7 9

1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 11 1.3.1. Comprobación de la ecuación de Bernoulli para conducto horizontal.

Con el dispositivo experimental situado en posición completamente horizontal, de modo que la línea de posición para todos los tubos piezométricos sea la misma (que tomaremos como nivel de referencia cero), se procede a la apertura de la llave de regulación y se espera hasta que el caudal de fluido circulante se haya estabilizado para asegurar que se dispone de un flujo en régimen permanente o estacionario.

Una vez estabilizado el flujo, es necesario en primer lugar establecer el caudal

que fluye por la instalación. Como se ha comentado anteriormente, se dispone para ello de una probeta calibrada en volumen y de un cronómetro. De este modo, determinado el tiempo que el fluido circulante tarda en alcanzar un determinado volumen de la probeta, podemos establecer el flujo volumétrico mediante la simple relación:

VolumenQ Tiempo= (9)

Es obvio que debe satisfacerse la ecuación de continuidad de la masa, por lo que

el caudal se mantiene constante a lo largo de todo el tubo horizontal. De este modo, se puede determinar la velocidad del fluido, y por tanto la altura de velocidad, en cada tubo piezométrico mediante la relación:

1, 2,...,9ii

Qv iA

= = (10)

donde Ai es el área de cada tubo piezométrico indicada en la Tabla I.

Falta tan solo determinar la altura piezométrica, que se obtiene mediante lectura directa de la altura alcanzada por la columna de fluido en cada tubo sobre la escala milimétrica situada detrás de ellos.

Una vez realizadas todas las medidas, deben exponerse en una tabla, que se

incluirá en el informe posterior, y en la que debe indicarse cuál es la pérdida de carga que tiene lugar en cada piezómetro, respecto del primer tubo piezométrico. Se procederá a continuación a realizar una representación gráfica de estos resultados, similar a la que aparece en la Figura 7, comentando las peculiaridades que se observen en la misma. Téngase en cuenta que si no se produjesen pérdidas por rozamiento, la línea de altura total que se obtendría sería una línea horizontal.

El procedimiento descrito debe repetirse, como mínimo, para otro valor del

caudal de fluido circulante por la instalación.

12 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS 1.3.2. Comprobación de la ecuación de Bernoulli para conducto inclinado

Se trata ahora de realizar una comprobación más general del teorema de Bernoulli: cuando la altura de posición de los tubos piezométricos es diferente entre unos y otros. Para ello, se inclina el dispositivo experimental un cierto ángulo α que el alumno debe determinar. Teniendo en cuenta el ángulo de inclinación, se puede determinar la altura de posición de cada tubo piezométrico mediante la aplicación de reglas trigonométricas sencillas.

Repitiendo el procedimiento del apartado anterior, se calibra el caudal que

circula por la instalación y se determina la altura de velocidad de cada piezómetro. Los tubos piezométricos están ahora inclinados, por lo que la lectura directa de la altura de columna de fluido alcanzada en cada uno de ellos no es vertical. La altura piezométrica se obtiene entonces mediante relaciones trigonométricas sencillas.

Comprobación del teorema de Bernoulli

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Número de piezómetro

Altu

ra (c

m)

Altura de velocidadAltura piezométricaAltura total

Figura 7. Ejemplo de evolución de las alturas piezométrica, de velocidad y de energía (o total), a partir de los datos medidos.

Se dispone ya de todos los datos experimentales que deben incluirse en forma

de tabla en el informe, indicando de nuevo, como en el apartado previo, cuál es la

1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 13 pérdida de carga o energía que corresponde a cada posición de medida respecto a la del primer tubo piezométrico.

A continuación debe realizarse una nueva representación gráfica de los datos tal

como la que se encuentra en la Figura 7, pero añadiendo la línea de posición. El procedimiento descrito debe repetirse como mínimo para dos valores distintos del caudal de agua que circula por la conducción.

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