Mecanismo 1 formato teoria1 - IFSC Joinvillemigueltbahia/Mecanismos_2017... · 2017-11-13 ·...

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Examen No. 9

Instituto Politécnico Nacional UPIITA

1ER EXAMEN DEPARTAMENTAL MECATRÒNICA II

ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE MECANISMOS Nombres: _______________________________________ EQUIPO #: _______ _______________________________________ Grupo: _______ _______________________________________ Fecha de Entrega: _______ Instrucciones. Modele y simule utilizando el método gráfico, álgebra compleja, método analítico y método matricial apoyándose en el software Mathematica® 8.0, lo siguiente:

a) Grados de libertad. b) Análisis de posición: 𝜃 = 0 a 360. c) Análisis de velocidad: n = 10 rad/s.

Se entregará impreso el desarrollo de la solución, incluyendo:

Redacción del problema incluyendo el dibujo del mecanismo (dimensiones, etc. ).

El impreso deberá contener el desarrollo detallado (Tipo tutorial) de la solución como: fórmulas, gráficas, validación de resultados numéricos, programas, etc. (Memoria Técnica)

Se entregará en un CD el desarrollo de la solución además del código en Mathematica® 8.0. (archivo: *.docx y el archivo *.nb).

Guardar todas las imágenes *.ai de illustrator en una carpeta: figura1.ai, figura2.ai,…,

Prof. Dr. Juan Alejandro Flores Campos.

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Índice Pág

Planteamiento del problema 3 I. Grados de libertad 4 II. Análisis de posición 5

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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

A continuación, se presenta el desarrollo y la memoria técnica del análisis de posición y de velocidad del mecanismo mostrado en la figura 1, se presenta a detalle el desarrollo del análisis de posición, velocidad y aceleración utilizando los métodos: gráfico, analítico, matricial y de álgebra compleja para la parte cinemática (posición y velocidad). Se comparan y se interpretan los resultados obtenidos de los cuatro métodos entre sí, con el fin de validar los resultados. Nos apoyamos en el software de cálculo simbólico formal de Mathematica® 8 y de Matlab® 2010a y Working Model® 2D 2004.

Para la parte dinámica se obtendrán los coeficientes de velocidad, y sus respectivas derivadas, de cada eslabón del mecanismo y la energía cinética del sistema para obtener el modelo dinámico del mecanismo. Finalmente, se implementaran técnicas de control PID para controlar la posición de la manivela en presencia de fuerzas externas actuando en el mecanismo.

Datos:

1=150 La= 0.370 m AB= 0.140 m DC= 0.400 m n= 10 rad/s Lb= 0.550 m BC= 0.650 m EF= 0.350 m Lc= 0.700 m CE= 0.250 m.

Figura 1. Mecanismo de 2 lazos: cuatro barras y biela manivela

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Figura 2. Grados de libertad del mecanismo

I. GRADOS DE LIBERTAD

La movilidad de un mecanismo se puede definir como el número de entradas independientes que tiene un sistema para conocer la posición de todos los puntos de todos sus eslabones, referidos a un sistema inercial (fijo) de coordenadas. En este caso X-Y.

El número de grados de libertad se puede determinar mediante el criterio de Kutzbach-Grübler:

𝑚 = (3𝑛 − 1) − 2𝐽 − 𝐽 (1.1)

donde:

𝐽 : Es el número de pares cinemáticos superiores. En este caso particular,

𝐽 = 0

𝐽 :Denota el número de pares cinemáticos inferiores, marcados con números romanos (i,ii,..,vii)

𝐽 = 7

𝑛: Es el número de eslabones que tiene el mecanismo.

𝑛 = 6

Sustituyendo en la ecuación (1.1)

𝑚 = 3(6 − 1) − 2(7) − 0 = 𝟏 𝑮𝑫𝑳

Estos significa que basta una sola entrada a la manivela (eslabón 2) para conocer la posición de cualquier punto de cualquier eslabón del mecanismo con respecto al sistema de coordenas XY.

Recordando que es necesario haber obtenido el modelo cinemático del mecanismo que relaciona las coordenadas de posición de los eslabones con la variable de entrada, en este caso 𝜃 .

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Figura 3. Método Gráfico

II. ANÁLISIS DE POSICIÓN

Introducción.- El método gráfico se basa en la medición directa de las longitudes y de los ángulos de los eslabones del mecanismo. Es decir, Se puede utilizar una regla y un transportador para trazar la configuración cinemática del mecanismo, y así de obtener los valores de incógnitas que permitan ensamblarlo.

En este método se hace uso de la ecuación vectorial de posición:

𝑅 = 𝑅 + 𝑅 /

Sin embargo, los signos de las coordenadas deben definirse visualmente.

II.1 MÉTODO GRÁFICO

Para determinar las longitudes y ángulos que deben tener los eslabones del mecanismo, para que este pueda ser ensamblado con la configuración mostrada en la figura 3. Se puede utilizar el método gráfico, que consiste en los siguientes pasos:

Supongamos que el mecanismo es el mostrado en la figura 3, con la configuración geométrica presentada, y una incógnita es determinar el vector posición del punto F (RAF), primero se traza un vector de posición 𝑅 desde el origen de coordenadas XY al punto F, se mide con una regla y un transportador, o utilizando un software de CAD, su magnitud y ángulo. De la misma manera se miden los ángulos 𝜃 , 𝜃 𝑦 𝜃 . Midiendo de la figura 4, se obtiene:

𝜃 = 79.02°

𝜃 = 156.02°

𝜃 = 226.41°

𝑅 = {−0.190,0.700}

Es importante señalar, que este método tiene un error considerable en los resultados obtenidos, debido a que la obtención de la información fue de manera visual y depende de la habilidad que se tenga con la regla. Como herramienta alternativa se puede utilizar algún software de CAD, o geogebra® para trazarlo y obtener valores más exactos.

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Figura 4. Lazo I

II.2 MÉTODO ANALÍTICO

Introducción.- Para este método es importante recordar el concepto de vector, debido a que representaremos a los eslabones físicos a través de vectores de posición. Usaremos la representación de Euler 1843, en los sistemas de coordenadas polares y coordenadas cartesianas:

𝑅 = 𝑟 𝑒 = (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃),

Donde: 𝑟 denota la magnitud y 𝑒 su dirección. Nota: En la figura el eje: y=iy.

Para facilitar la obtención de las longitudes y ángulos incógnita del mecanismo utilizando el método analítico, se utiliza el desacoplo cinemático, que consiste en separar en dos lazos el mecanismo a analizar, para plantear las ecuaciones vectoriales de lazo, respectivamente.

Primero se analizará el lazo I, el cual se muestra en la Figura 4.

𝑅 = 𝑅 + 𝑅 (2.1)

𝑅 = 𝑅 + 𝑅 (2.2)

Dónde, en términos de números complejos:

𝑅 = 𝑟 𝑒

𝑅 = 𝑟 𝑒

𝑅 = 𝑟 𝑒

𝑅 = {0.370,0 .550} 𝑚 (dato)

En este caso el único ángulo conocido es 𝜃 = 150°, por lo que es necesario encontrar el valor de los ángulos (𝜃 , 𝜃 ), que suponemos desconocidos. Igualando las ecuaciones (2.1) y (2.2) se obtiene la ecuación de lazo, para el lazo I;

𝑅 + 𝑅 − 𝑅 − 𝑅 = {0,0}

𝑟 𝑒 + 𝑟 𝑒 − 𝑟 𝑒 − {0.370,0.550} = {0,0} (2.3)

Utilizando la representación de Euler, se obtienen los siguientes términos:

𝑒 = cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃 (2.4)



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Sustituyendo las ecuaciones (2.4), (2.5) y (2.6) en (2.3), se obtiene la ecuación de lazo, en coordenadas cartesianas, esto es; para el lazo I.

𝑟 (𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ) + 𝑟 (𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ) − 𝑟 ( 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ) − {0.370,0 .550} = {0,0}

Separando en componentes reales e imaginarias:

𝑟 𝑐𝑜 𝑠 𝜃 + 𝑟 𝑐𝑜 𝑠 𝜃 − 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 0.370 = 0

𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 0.550 = 0

Se formó un sistema de ecuaciones no lineales en términos de sus incógnitas: y , para encontrar la solución se hace uso del programa Demo Wolfram Mathematica®1 8.0, y se plantean los valores iniciales: {2,0}, {2,1}; para iniciar el algoritmo de Newton-Raphson, de ser necesario se puede consultar tutorial de Mathematica® 8.0.

Nota 1: El código mostrado a continuación, se encuentra en el archivo llamado “posición analítico.nb”, ubicado en la carpeta: C:\mecanismo 9\codigos mathematica 8\posicion\...

(*Datos*) rab=.140; rbc=.650; rce=.250; rcd=.400; ref=.350; 1=150 Degree; (*Sistema de ecuaciones*) f1=rab Cos[1]+rbc Cos[2 Degree]-rcd Cos[3 Degree]-.3700; f2=rab Sin[1]+rbc Sin[2 Degree]-rcd Sin[3 Degree]-.5500; (*Solución del sistema de ecuaciones utilizando el comando: FindRoot[]*) sol=FindRoot[{f1,f2},{2,0},{3,1}]; 2=2/.sol[[1]] 3=3/.sol[[2]] 79.0191 156.719

La solución obtenida, es:

𝜃 = 79.0191° y 𝜃 = 156.719° 1 ® Marca Registrada versión Trial.

Figura 5. Código en Mathematica para resolver un sistema de ecuaciones no lineal, utilizando el

método de Newton-Raphson. Recordar que los valores iniciales (data guess): 2=0 y 3=1, son para iniciar el algoritmo de solución.

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Figura 6. Lazo II

Nota 2: Para correr la celda recuerde oprimir las teclas: Shift + Enter simultáneamente, estando el cursor activo dentro de la celda a evaluar.

Ahora que se conocen los ángulos del lazo I, de igual forma se realiza el análisis del lazo II. De lo anterior, se obtienen las siguientes ecuaciones de lazo: Lazo II.

𝑅 + 𝑅 + 𝑅 = 𝑅 (2.7)

𝑅 = {𝑥, 0.700} (2.8)

Igualando las ecuaciones (2.7) y (2.8)

𝑅 + 𝑅 + 𝑅 = {𝑥, 0.700} (2.9)

Tomando en cuenta que cada vector puede ser representado en términos de Euler.

𝑅 = 𝑟 𝑒 = 𝑟 (cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃 )



La ecuación (2.9) se puede reescribir de la siguiente forma:

𝑟 𝑒 + 𝑟 𝑒 + 𝑟 𝑒 = {𝑥, 0.700} (2.10)

Separando la ecuación (2.10) en componentes (coordenadas cartesianas) se obtienen dos ecuaciones:

𝑟 cos 𝜃 + 𝑟 cos 𝜃 + 𝑟 cos 𝜃 = 𝑥 (2.10a)

𝑟 sen 𝜃 + 𝑟 sen 𝜃 + 𝑟 sen 𝜃 = 0.700 (2.10b)

Al sustituir los datos conocidos (y calculados) y resolver el sistema de ecuaciones anterior, se encuentran los valores de la posición del último eslabón del sistema, que es la corredera F, y el ángulo 𝜃 , auxiliándose nuevamente con el software Wolfram Mathematica® 8.0.

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Nota 3: El código mostrado a continuación, se encuentra en el mismo archivo llamado “posición analítico.nb”, ubicado en la misma carpeta: C:\mecanismo 9\codigos mathematica 8\posicion\...

rab=.140; rbc=.650; rce=.250; rcd=.400; ref=.350; 1=150 Degree; (*Sistema de ecuaciones Lazo I*) f1=rab Cos[1]+rbc Cos[2 Degree]-rcd Cos[3 Degree]-.3700; f2=rab Sin[1]+rbc Sin[2 Degree]-rcd Sin[3 Degree]-.5500; (*Solución del sistema de ecuaciones utilizando el comando: FindRoot[]*) sol=FindRoot[{f1,f2},{2,0},{3,1}]; 2=2/.sol[[1]] 3=3/.sol[[2]] 79.0191 156.719 (*Sistema de ecuaciones Lazo II*) f3=rab Cos[1]+(rbc+rce) Cos[2 Degree]+ref Cos[4 Degree]-x0; f4=rab Sin[1]+(rbc+rce) Sin[2 Degree]+ref Sin[4 Degree]-.7000; sol=FindRoot[{f3,f4},{4,100},{x,1}]; 4=4/.sol[[1]] x=x/.sol[[2]] 226.415 -0.191112

La solución obtenida es:

𝜃 = 226.415° , 𝑥 = −0.191112 𝑚

Figura 7. Código en Mathematica® para resolver un sistema de ecuaciones tomando como valores

iniciales, 4=100 y x=1, para iterar el método de Newton-Raphson implementado en el comando FindRoot[].

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II.3 MÉTODO DE ÁLGEBRA COMPLEJA

Introducción.- Este método es muy interesante debido a que utiliza una transformación lineal, ortogonal de determinante positivo. En otras palabras esta transformación representa una rotación. Es decir, cualquier vector que sea transformado sufre una rotación conservándose la norma del vector (magnitud). La notación de la transformación es la siguiente: 𝜌(𝑝,∙): 𝑉 → 𝑉, donde el punto “∙” significa todo el espacio vectorial 𝑉, y la letra 𝑝 = (𝑝1, 𝑝2) ∈ 𝑉 es un parámetro de rotación que contiene la información de la cantidad de rotación y el eje de giro con el que va a rotar el vector. El significado físico de los componentes del parámetro 𝑝 son los siguientes: 𝑝1 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 𝑝2 = 𝑠𝑒𝑛𝜃.

La transformación está definida como: 𝜌(𝑝,∙) =| |

: {𝑝 ∗ 𝑟}, 𝑝 ∈ 𝑉, 𝑒𝑠𝑡á 𝑓𝑖𝑗𝑜, y donde 𝑟 es el

vector a rotar y tiene componentes 𝑟 = (𝑟 , 𝑟 ) ∈ 𝑉, por otro lado la norma |𝑝| = 1 se vuelve unitaria para obtener los parámetros de Euler. La operación binaria ∗: ℛ 𝑥 ℛ →

ℛ , se define como:

(𝑥 , 𝑥 ) ∗ (𝑦 , 𝑦 ) = (𝑥 𝑦 − 𝑥 𝑦 , 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 )

Siendo (𝑥 , 𝑥 ), (𝑦 , 𝑦 ) ∈ 𝑉,

Para utilizar este método se plantea la siguiente metodología, en base a la siguiente ecuación cinemática de posición de un mecanismo dado:

𝑟 = 𝑙 ∙ 𝑒′ ⊕ 𝑙 ∙ 𝑒′′

𝑟 = 𝑙 ∙ 𝜌(𝑝, 𝑒 ) ⊕ 𝑙 ∙ 𝜌(𝑞, 𝑒 )

1) Definir el problema: Cinemática Directa: Dados como datos 𝑙 , 𝑙 , 𝑝 𝑦 𝑞 se debe hallar 𝑟 , que satisface a la ecuación anterior, se obtendrá un sistema de ecuaciones lineal a resolver. Cinemática Inversa: Dados como datos 𝑙 , 𝑙 , 𝑟 . Se debe hallar los parámetros p y q, se obtendrá un sistema no lineal simultáneo de ecuaciones a resolver. Síntesis: dados como datos: 𝑝 𝑦 𝑞 y 𝑟 encontrar: 𝑙 , 𝑙 , se obtendrá un sistema de ecuaciones lineal.

2) Definir las bases para cada eslabón, encontrar la representación de cada base respecto a la base inercial y construir los vectores de posición.

3) Plantear la relación de la posición para resolver el problema: ecuación de

lazo.

Una ventaja al utilizar este método es que el sistema de ecuaciones que se obtiene está en términos de parámetros y no de funciones trigonométricas que son sensibles a las perturbaciones numéricas. Otra ventaja consiste en que los valores iniciales que se utilizan en el método de Newton-Raphson para resolver el sistema de ecuaciones (comando: FindRoot[]), están dentro del rango: -1 a 1. Lo anterior,

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Figura 8. Definición de bases locales y f ija.

permite controlar el conjunto de soluciones a obtener, debido a que existen dos conjuntos de soluciones posibles.

1) Planteamiento del problema.

Se trabajará con la cinemática directa, es decir, dados como datos los ángulos y las longitudes de los eslabones encontrar el vector posición del punto F.

2) Definición de las bases.

En este punto, se define la base global (inercial) alineado paralelamente al sistema de coordenadas xy, luego se define una base local para cada eslabón del mecanismo. Es importante hacer coincidir paralelamente el vector 𝑒 , 𝑖 = 1 … 𝑛(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑠) de cada base con cada eslabón del mecanismo. Número de bases locales: n=4.

Base Inercial:

𝑒 = {𝑒 , 𝑒 }

𝑒 = {1,0}

𝑒 = {0,1}

Bases móviles:

𝑒 = 𝑒(𝑃, 𝑒 )

𝑒 ′ = 𝑒(𝑄, 𝑒 )

𝑒 = 𝑒(𝑅, 𝑒 )

𝑒 = 𝑒(𝑆, 𝑒 )

Datos:

𝑙 = 0.140 𝑚 , 𝑙 = 0.650 𝑚, 𝑙 = 0.400 𝑚, 𝑙 = 0.350 𝑚, 𝑙 = 0.250 𝑚

Entonces:

𝑏 = 𝑙 𝑒 = {𝑙 𝑃 , 𝑙 𝑃 }

𝑏 = 𝑙 𝑒 = {𝑙 𝑄 , 𝑙 𝑄 }

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𝑏 = 𝑙 𝑒 = {𝑙 𝑅 , 𝑙 𝑅 }

𝑏 = 𝑙 𝑒 = {𝑙 𝑆 , 𝑙 𝑆 }

3) Se define la ecuación de lazo y se representa en un sistema de ecuaciones.

𝑟 = 𝑏 + 𝑏 + 𝑟 + 𝑏

𝑏 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑟

Pero

𝑏 + 𝑟 = (𝑙 + 𝑙 )(𝑄 , 𝑄 )

{𝑥, 0.700} = 𝑙 (𝑃 , 𝑃 ) + (𝑙 + 𝑙 )(𝑄 , 𝑄 ) + 𝑙 (𝑆 , 𝑆 ) (2.11)

𝑙 (𝑃 , 𝑃 ) + 𝑙 (𝑄 , 𝑄 ) = 𝑙 (𝑅 , 𝑅 ) + {0.370,0.550} (2.12)

Separando en componentes la ecuación (2.11):

𝑥 = 𝑙 𝑃 + (𝑙 + 𝑙 )𝑄 + 𝑙 𝑆

0.700 = 𝑙 𝑃 + (𝑙 + 𝑙 )𝑄 + 𝑙 𝑆

Separando y reacomodando la ecuación (2.12):

0.370 = 𝑙 𝑃 + 𝑙 𝑄 − 𝑙 𝑅

0.550 = 𝑙 𝑃 + 𝑙 𝑄 − 𝑙 𝑅

Donde 𝑃 y 𝑃 son conocidas, ya que 𝜃 = 150°:

𝑃 = cos 𝜃 = −0.8660

𝑃 = sen 𝜃 = 0.5

Por lo tanto, las variables a determinar son: 𝑄 , 𝑄 , 𝑅 , 𝑅 , 𝑆 , 𝑆 , 𝑥

Eso significa que faltan 3 ecuaciones para completar un sistema de ecuaciones compatible, dichas ecuaciones son las normas unitarias de los parámetros de rotación y son las siguientes:

𝑄 + 𝑄 = 1

𝑅 + 𝑅 = 1

𝑆 + 𝑆 = 1

Entonces el sistema de ecuaciones no lineal del tipo polinomial con 7 ecuaciones y 7 incógnitas, es el siguiente:

𝑥 = 𝑙 𝑃 + (𝑙 + 𝑙 )𝑄 + 𝑙 𝑆

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0.700 = 𝑙 𝑃 + (𝑙 + 𝑙 )𝑄 + 𝑙 𝑆

0.370 = 𝑙 𝑃 + 𝑙 𝑄 − 𝑙 𝑅

0.550 = 𝑙 𝑃 + 𝑙 𝑄 − 𝑙 𝑅

𝑄 + 𝑄 = 1

𝑅 + 𝑅 = 1

𝑆 + 𝑆 = 1

Los valores iniciales que se proponen para iniciar el algoritmo de solución de Newthon-Raphson son: {q1,-0.017}, {q2,0.99}, {r1,-0.17}, {r2,0.98}, {s1,-0.7}, {s2,0.99}, {x,-38}, que en este caso se utilizan minúsculas para representarlos en el programa, (ver figura 9). A continuación se presenta el código desarrollado en Mathematica® 8.0 Nota 4: El código mostrado a continuación, se encuentra en el archivo llamado “posición algebra_comp.nb”, ubicado en la carpeta: C:\CODIGOS\Mecanismo1\Mathematica\ Posición…

(*Método Algebra compleja*) (*Se define la función de rotación*) Ro[P_,Q_]:={P[[1]] Q[[1]]-P[[2]] Q[[2]],P[[2]] Q[[1]]+P[[1]] Q[[2]]}; (*Base Inercial*) e1={1,0}; e2={0,1}; (*Datos*) AB=.14;BC=.65;CE=.25;CD=.40;EF=.35;La=.37;Lb=.55;Lc=.70;1=150;w1=10;1=0; p1=Cos[1 Degree]; p2=Sin[1 Degree]; p={p1,p2}; q={q1,q2}; r={r1,r2}; s={s1,s2}; e11=Ro[p,e1]; e12=Ro[q,e1]; e13=Ro[r,e1]; e14=Ro[s,e1]; b1=AB e11; b2=BC e12; b3=CD e13; b4=EF e14; b5=(BC+CE)e12;

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rp=b1+b2-b3-{La,Lb}; rp2=b1+b5+b4-{x,Lc}; f1=rp[[1]]0; f2=rp[[2]]0; f3=q12+q22==1; f4=r12+r221; f5=rp2[[1]]0; f6=rp2[[2]]0; f7=s12+s221; sol1=FindRoot[{f1,f2,f3,f4,f6,f5,f7},{q1,-0.017},{q2,0.99},{r1,-0.17},{r2,0.98},{s1,-0.7},{s2,0.99},{x,-38}]; sol1={q1,q2,r1,r2,s1,s2,x}/.sol1; q1=sol1[[1]]; q2=sol1[[2]]; r1=sol1[[3]]; r2=sol1[[4]]; s1=sol1[[5]]; s2=sol1[[6]]; x=sol1[[7]]; 2=ArcCos[q1]/Degree; 3=ArcCos[r1]/Degree; 4=ArcCos[s1]/Degree; Print[Style["---------------------------------------",15,Blue]]; Print["1=",1]; Print["q1=",q1]; Print["q2=",q2]; Print["r1=",r1]; Print["r2=",r2]; Print["s1=",s1]; Print["s2=",s2]; Print[Style["---------------------------------------",15,Blue]]; Print["2=",2]; Print["3=",3]; Print["4=",4]; Print["x=",x]; --------------------------------------- 1= 150

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q1= 0.190483 q2= 0.981691 r1= -0.918575 r2= 0.395247 s1= -0.689435 s2= -0.724347

--------------------------------------- 2= 79.0191 3= 156.719 4= 133.585 x= -0.191112

Nota 5: El valor del ángulo: 𝜃 se debe al uso de la función ArcCos[ ], notar que: la función ArcCos da el valor del ángulo más pequeño, y este se repite cada intervalo. El valor del ángulo algunas veces no coincide con los resultados de los otros métodos.

s1= Cos[133.585]=-0.68943

Cos[226.415]=-0.68943

Cos[493.585]=-0.68943

II.4 ANALISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES

Tabla 1. Despliegue de resultados numéricos y comparación de los métodos aplicados.

Incógnita Método Gráfico

Método Analítico

Álgebra Compleja

𝜃 79.02° 79.0191° 79.0191°

𝜃 156.02° 156.719° 156.719° 𝜃 226.41° 226.415° 226.415° 𝑥 −0.190 𝑚 −0.191983 𝑚 −0.191112 𝑚

Como se puede observar en la tabla 1, los resultados obtenidos con cada método son muy cercanos entre sí, el método gráfico es el más sencillo de entender pero tienen un error mayor, por otro lado, el método de álgebra compleja genera resultados exactos.

Figura 9. Código en Mathematica® 8.0 para resolver un sistema de ecuaciones polinomial 7X7 utilizando el método de Newton-Raphson implementado en el comando FindRoot[].

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Conclusiones: El uso de los diferentes métodos nos permitió comprar los resultados obtenidos para validarlos. Cabe mencionar, que el método de álgebra compleja utiliza parámetros de rotación, en lugar de sen(), cos(), etc. funciones trigonométricas. Una ventaja de usar parámetros en las rotaciones de cuerpos rígidos es que son insensibles a las perturbaciones numéricas, el valor inicial (data guess) se encuentra entre -1 y 1, por lo que se puede encontrar la una solución de las dos que existen, permitiendo mantener la configuración del mecanismo consistente a su geometría en movimiento.

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Figura 10. Polígonos de Velocidad para el lazo I

III. ANÁLISIS DE VELOCIDAD

III.1 MÉTODO GRAFICO

Introducción.- El método gráfico para analizar la velocidad de un mecanismo, se basa en la ecuación vectorial de velocidad, que se obtiene derivando la ecuación vectorial de posición: 𝑅 = 𝑅 + 𝑅 / con respecto al tiempo.

𝑉 = 𝑉 + 𝑉 /

Donde 𝑉 , denota la velocidad absoluta del punto B referido al origen del sistema de coordenadas inercial (fijo). 𝑉 , denota la velocidad absoluta del punto A referida al origen del sistema de coordenadas fijo, y 𝑉 / es una velocidad relativa, esto es; la velocidad del punto B con respecto al origen del sistema de coordenadas en A.

LAZO I

Por definición la velocidad 𝑉 es perpendicular a la barra AB, ya que el valor de la velocidad angular 𝜔 es conocido, se puede calcular su magnitud.

𝑟 = 0.140 𝑚 𝜔 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑉 = 𝜔 𝑟

𝑉 = (0.140)(10) = 1.400 𝑚/𝑠

La velocidad 𝑉 es perpendicular a la barra CD y la velocidad relativa 𝑉 / es perpendicular a la barra BC. No se conocen las magnitudes de estas velocidades pero si sus direcciones, además 𝑉 = 𝑉 + 𝑉 / ; con esta informacion es posible trazar el polígono de velocidades trasladando 𝑉 𝑦 𝑉 al origen 𝑂 y 𝑉 / al final del 𝑉 . Se toman medidas y se obtiene que:

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Figura 11. Polígonos de velocidad para el lazo II

𝑉 / = 0.174 𝑚/𝑠

𝑉𝑐 = 1.354 𝑚/𝑠

Para conocer la velocidad angular de la barra DC se aplica la siguiente fórmula:

𝜔 =𝑉

𝑟

Donde 𝑟 es la longitud del eslabón DC, por lo tanto

𝜔 =1.354

0.400= 3.3858 𝑟𝑎𝑑/𝑠

LAZO II

Para este lazo se conoce la velocidad 𝑉 / , para conocer la magnitud de la velocidad 𝑉 / es necesario calcular la velocidad angular del eslabón BC.

𝜔 =𝑉 /

𝑟=

0.174 𝑚/𝑠

0.650 𝑚

𝜔 = 0.268𝑟𝑎𝑑

𝑠

𝑟 = 0.900 𝑚

𝑉 / = 𝜔 𝑟

𝑉 / = (0.268)(0.900)

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Figura 12. Polígono de velocidad 01 y velocidades angulares del lazo I

𝑉 / = 0.241𝑚/𝑠

La velocidad 𝑉 / es perpendicular a la barra BE, y se conoce que 𝑉 = 𝑉 + 𝑉 / . Se traza el polígono de velocidad en el origen 𝑂 se mide la magnitud de la velocidad 𝑉 .

𝑉 = 1.342 𝑚/𝑠

Ahora se conoce la magnitud de la velocidad 𝑉 se puede calcular la velocidad 𝑉 . La velocidad 𝑉 / es perpendicular a la barra EF y se sabe que la velocidad 𝑉 tiene dirección paralela al eje 𝑥. Se traza el polígono de velocidad en el origen 𝑂 considerando que 𝑉 = 𝑉 + 𝑉 / . Ahora se miden las magnitudes de 𝑉 y 𝑉 / en el punto en que se intersectan.

Se obtiene que: 𝑉 / = 1.829 𝑚/𝑠 y 𝑉 = 1.797 𝑚/𝑠

Ahora se calcula la velocidad angular de la barra EF. 𝜔 =

Donde 𝑟 es la longitud del eslabón EF, por lo tanto: 𝜔 =.

.= 5.13668 𝑟𝑎𝑑/𝑠

III.2 MÉTODO ANALÍTICO

LAZO I

Para obtener las velocidades angulares del mecanismo se utilizan las siguientes ecuaciones vectoriales de velocidad:

𝑉 = 𝑉 + 𝑉 ⁄ (3.1)

𝑉 = 𝑉 + 𝑉 ⁄ (3.2)

Donde 𝑉 ⁄ y 𝑉 ⁄ , se leen como velocidad relativa del punto C con respecto al punto B y velocidad relativa del punto C con respecto al punto D, respectivamente.

Recordando que la velocidad relativa es el vector diferencia entre los vectores de velocidad de dos objetos o puntos, medidos desde un mismo sistema coordenado, como puede observarse del polígono de velocidad formado en el origen O1 mostrado en la figura 12.

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Del análisis de posición con el método analítico se tiene que:

𝑅 = 𝑟 𝑒

𝑅 = 𝑟 𝑒

𝑅 = 𝑟 𝑒

La velocidad es la derivada con respecto al tiempo de la posición de los puntos del mecanismo, por lo tanto:

𝑉 = 𝑖𝑟 𝜔 𝑒

𝑉 / = 𝑖𝑟 𝜔 𝑒

𝑉 ⁄ = 𝑖𝑟 𝜔 𝑒

Utilizando la representación de Euler se obtiene:

𝑒 = cos 𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑒 = cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃


Igualando las ecuaciones (3.1) y (3.2):

𝑉 + 𝑉 ⁄ − 𝑉 − 𝑉 ⁄ = {0,0}

En este caso la velocidad del punto D es cero, ya que este se encuentra fijo.

𝑟 𝑖𝜔 (cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃 ) + 𝑟 𝑖𝜔 (cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃 ) − 𝑟 𝑖𝜔 (cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃 ) = {0,0} (3.3)

Separando en componentes la ecuación (3.3), toma la forma siguiente

−𝑟 𝜔 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑟 𝜔 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑟 𝜔 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 (3.4)

𝑟 𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑟 𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑟 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 0 (3.5)

de 56

Figura 13. Polígonos de velocidad en O2 y O

3 y

velocidades angulares del lazo II

LAZO II

𝑉 = 𝑉 + 𝑉 ⁄ (3.6)

𝑉 = 𝑉 + 𝑉 ⁄ (3.7)

Despejando 𝑉 de la ecuación (3.7)

𝑉 = 𝑉 − 𝑉 ⁄ (3.8)

Del análisis de posición con el método analítico se tiene que:

𝑅 = 𝑟 𝑒

𝑅 = 𝑟 𝑒

𝑅 = 𝑟 𝑒

𝑅 = {𝑥, 0.700}

Al igual que en el lazo I, se deriva la posición con respecto al tiempo para obtener las ecuaciones velocidad.

𝑉 = 𝑖𝑟 𝜔 𝑒

𝑉 / = 𝑖𝑟 𝜔 𝑒

𝑉 ⁄ = 𝑖𝑟 𝜔 𝑒

𝑉 = {�̇�, 0}

Se igualan las ecuaciones (3.6) y (3.8) y se despeja

𝑉 + 𝑉 ⁄ + 𝑉 ⁄ − 𝑉 = 0 (3.9)

Sustituyendo las ecuaciones de velocidad en la ecuación (3.9):

𝑖𝑟 𝜔 𝑒 + 𝑖𝑟 𝜔 𝑒 + 𝑖𝑟 𝜔 𝑒 − {�̇�, 0} = {0,0} (3.10)

Utilizando la representación Euler




Sustituyendo en la ecuación (3.10)

𝑟 𝜔 𝑖(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃 ) + 𝑟 𝜔 𝑖(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃 ) + 𝑟 𝜔 𝑖(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃 ) − {�̇�, 0} = {0,0} (3.11)

de 56

Separando en componentes reales e imaginarias, la ecuación (3.11) toma la forma siguiente:

−𝑟 𝜔 sen 𝜃 − 𝑟 𝜔 sen 𝜃 − 𝑟 𝜔 sen 𝜃 − �̇� = 0 (3.12)

𝑟 𝜔 cos 𝜃 + 𝑟 𝜔 cos 𝜃 + 𝑟 𝜔 cos 𝜃 = 0 (3.13)

Las ecuaciones (3.4), (3.5), (3.12) y (3.13) forman un sistema de ecuaciones no lineal 4x4.

A continuación, se presenta el código desarrollado en Mathematica ® para resolver dicho sistema.

Nota 6: El código mostrado a continuación, se encuentra en el archivo llamado: “analítico_velocidad.nb”, ubicado en la carpeta: C:\mecanismo 9\codigos mathematica8\Velocidad…

(*Datos*) rab=.140; rbc=.650; rce=.250; rbe=.900; rdc=.400; ref=.350; La=.370; Lb=.550; Lc=.700; 1=150; w1=10; (*Se establecen las ecuaciones de posición para el lazo I y lazo II*) f1=rab Cos[1 Degree]+rbc Cos[2 Degree]-rdc Cos[3 Degree]La; f2=rab Sin[1 Degree]+rbc Sin[2 Degree]-rdc Sin[3 Degree]Lb; f3=rab Cos[1 Degree]+rbe Cos[2 Degree]+ref Cos[4 Degree]x; f4=rab Sin[1 Degree]+rbe Sin[2 Degree]+ref Sin[4 Degree]Lc; (*Se establecen las ecuaciones de velocidad para el lazo I y lazo II*) f5=-rab w1 Sin[1 Degree]-rbc w2 Sin[2 Degree]+rdc w3 Sin[3 Degree]0; f6=rab w1 Cos[1 Degree]+rbc w2 Cos[2 Degree]-rdc w3 Cos[3 Degree]0; f7=-rab w1 Sin[1 Degree]-ref w4 Sin[4 Degree]-rbe w2 Sin[2 Degree]xp; f8=rab w1 Cos[1 Degree]+ref w4 Cos[4 Degree]+rbe w2 Cos[2 Degree]0; (*Algoritmo de solución: Newton-Raphson*) sol=FindRoot[{f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8},{2,91},{3,100},{4,100},{x,0},{w2,0},{w3,1},{w4,0},{xp,0},MaxIterations1000,AccuracyGoal4,PrecisionGoal4]; sol1={2,3,4,x,w2,w3,w4,xp}/.sol; 2=sol1[[1]];

de 56

Figura 15. Lazo I Método Matricial

3=sol1[[2]]; 4=sol1[[3]]; x=sol1[[4]]; w2=sol1[[5]]; w3=sol1[[6]]; w4=sol1[[7]]; xp=sol1[[8]]; Print[Style["---------------Desplegar Resultados----------------",15,Blue]]; Print["w2=",w2]; Print["w3=",w3]; Print["w4=",w4]; Print["xp=",xp];

---------------Resultados---------------- w2= -0.257906 w3= 3.38668 w4= -5.20778 xp= -1.79242

III.3 MÉTODO MATRICIAL

LAZO I

Para encontrar la velocidad del punto F se representará en dos lazos el mecanismo, para la primer parte se tiene la siguiente ecuación de lazo

𝑅 + 𝑅 − 𝑅 − 𝑅 = 0 (3.14)

Donde:

𝑅 = {𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 , 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 }



𝑅 = {0.370,0.550}

Sustituyendo en la ec. (3.14)

{r 𝑐𝑜𝑠𝜃 , r 𝑠𝑒𝑛𝜃 } + {r 𝑐𝑜𝑠𝜃 , r 𝑠𝑒𝑛𝜃 } − {r 𝑐𝑜𝑠𝜃 , r 𝑠𝑒𝑛𝜃 } − {0.370,0.550} = {0,0}

Figura 14. Código en Mathematica® 8.0 para resolver el sistema de ecuaciones de posición y velocidad obtenidas al analizar el mecanismo con el método analítico, utilizando como algoritmo de solución el método de Newton-Rapshon implementado en la función FindRoot[ ].

de 56

Separando en componentes X y Y la ecuación anterior:

𝑥: 𝑟 𝑐𝑜 𝑠 𝜃 + 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 0.370 = 0 (3.15)

𝑦: 𝑟 𝑠𝑖 𝑛 𝜃 + 𝑟 𝑠𝑖 𝑛 𝜃 − 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 0.550 = 0 (3.16)

Las ecuaciones (3.15) y (3.16) definen los ángulos 𝜃 y 𝜃 para conocer las velocidades angulares 𝜃̇ y 𝜃̇ se deriva respecto al tiempo:

�̇� : − 𝑟 𝜔 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑟 𝜃 ̇ 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑟 𝜃̇ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 (3.17)

�̇�: 𝑟 𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑟 𝜃̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑟 𝜃̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 (3.18)

Se representan las ecuaciones (3.17) y (3.18) en forma matricial y se despejan 𝜃̇ y 𝜃̇

−𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑟 cos 𝜃 −𝑟 cos 𝜃

𝜃̇

𝜃 ̇= 𝜔

𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃−𝑟 cos 𝜃

𝜃̇

𝜃 ̇= 𝜔

−𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑟 cos 𝜃 −𝑟 cos 𝜃


(3.19)

Recordando que la matiz inversa [𝐴] = [ ]

𝐴𝑑𝑗 [𝐴]

[𝐴] =−𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑟 cos 𝜃 −𝑟 cos 𝜃

det[𝐴] = 𝑟 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑟 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑟 𝑟 𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝜃 )

𝐴𝑑𝑗[𝐴] =−𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃−𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃

Sustituyendo en la ec. (3.19) obtenemos:

𝜃̇

𝜃 ̇=

𝜔

𝑟 𝑟 𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝜃 )

−𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃−𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃


⎣⎢⎢⎢⎡𝜃 ̇

𝑛

𝜃 ̇𝑛

⎦⎥⎥⎥⎤

=1

𝑟 𝑟 𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝜃 ) −𝑟 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑟 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑟 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑟 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝐾

𝐾=

⎣⎢⎢⎢⎡𝜃 ̇

𝑛

𝜃 ̇𝑛

⎦⎥⎥⎥⎤

= ( )

𝑟 𝑟 𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝜃 )

𝑟 𝑟 𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝜃 ) (3.20)

𝐾 y 𝐾 son llamados coeficientes de velocidad de dependen de la posición de los eslabones del mecanismo. Se resuelve la ec. (3.19).

de 56

Nota 7: El código mostrado a continuación, se encuentra en el archivo llamado “matricial_velocidad.nb”, ubicado en la carpeta: C:\mecanismo 9\codigos mathematica8\Velocidad…

(*Datos*) rab=.140; rbc=.650; rce=.250; rbe=.900; rdc=.400; ref=.350; La=.370; Lb=.550; Lc=.700; 1=150; w1=10; (*Solucion de posición para el lazo I*) f1=rab Cos[1 Degree]+rbc Cos[2 Degree]-rdc Cos[3 Degree]La; f2=rab Sin[1 Degree]+rbc Sin[2 Degree]-rdc Sin[3 Degree]Lb; (*Algoritmo de solución: Newton-Raphson*) sol=FindRoot[{f1,f2},{2,91},{3,100},MaxIterations1000,AccuracyGoal4,PrecisionGoal4]; sol1={2,3}/.sol; 2=sol1[[1]]; 3=sol1[[2]]; (*Creación de las matrices*) Ws={{w2},{w3}}//MatrixForm; A={{-rbc Sin[2 Degree],rdc Sin[3 Degree]},{rbc Cos[2 Degree],-rdc Cos[3 Degree]}}; B=w1 {{rab Sin[1 Degree]},{-rab Cos[1 Degree]}}; (*Ecuación (3.19)*) ks=Simplify[Inverse[A]].B; w2=ks[[1,1]]; w3=ks[[2,1]]; (*Desplegar resultados*) Print[Style["---------------------------------------",15,Blue]]; Print["w2=",w2]; Print["w3=",w3]; --------------------------------------- w2= -0.257906 w3= 3.38668

Figura 11. Código en Mathematica® para resolver la ecuación (3.19)

de 56

Figura 17. Lazo II Método Matricial

Estos resultados coinciden con los obtenido mediante el método analítico. (ver fig. 14)

LAZO II

Partiendo de los ángulos 𝜃 y 𝜃 conocidos, y la velocidad angular �̇� , se obtiene la siguiente ecuación para el lazo II:

𝑅 + 𝑅 + 𝑅 = {𝑥, 0.700} (3.21)

En donde:




𝑅 = {𝑥, 0.700}

Sustituyendo en la ecuación (3.21) y separando en componentes, se obtienen dos nuevas ecuaciones:

𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑥 = 0 (3.22)

𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 0.700 = 0 (3.23)

de 56

Para encontrar la velocidad angular �̇� y la velocidad del punto F, �̇� , se derivan con respecto al tiempo las ecuaciones (3.22) y (3.23), obteniéndose la siguiente expresión:

−𝑟 𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑟 �̇� 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑟 �̇� 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − �̇� = 0

𝑟 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑟 �̇� 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑟 �̇� 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 0

Reacomodando:

−𝑟 �̇� 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − �̇� = 𝑟 𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑟 �̇� 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (3.24)

𝑟 �̇� 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = −𝑟 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑟 �̇� 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (3.25)

Expresando las ecuaciones (3.24) y (3.25) en forma matricial

−𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 −1

𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 0�̇��̇�

= 𝜔𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃

−𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃+ �̇�

𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 −𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃

�̇��̇�

=−𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 −1

𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 0𝑟 𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑟 �̇� 𝑠𝑒𝑛 𝜃

−𝑟 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 −𝑟 �̇� 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (3.26)

Para obtener la inversa, se aplica [𝐴] = [ ]

𝐴𝑑𝑗 [𝐴]

𝑑𝑒𝑡−𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 −1

𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 0= 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃

−𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 −1𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 0

=1

𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃

0 1−𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 −𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃

Sustituyendo en la ec. (3.26)

�̇��̇�

=1


0 1−𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 −𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑟 𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑟 �̇� 𝑠𝑒𝑛 𝜃

−𝑟 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 −𝑟 �̇� 𝑐𝑜𝑠 𝜃

�̇��̇�

=1


−𝑟 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 −𝑟 �̇� 𝑐𝑜𝑠 𝜃

−𝑟 𝑟 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑟 𝑟 �̇� 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑟 𝑟 �̇� 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑟 𝑟 �̇� 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃

La matriz anterior se puede simplificar de la siguiente manera:

�̇��̇�

=−𝑟 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 −𝑟 �̇� 𝑐𝑜𝑠 𝜃

𝑟 𝑟 𝜔 𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝜃 ) 𝑟 𝑟 �̇� 𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝜃 ) (3.27)

El siguiente código desarrollado en Mathematica® 8.0 resuelve la ecuación (3.26)

de 56

Nota 8: El código mostrado a continuación, se encuentra en el mismo archivo llamado: “matricial_velocidad.nb”, ubicado en la carpeta: C:\mecanismo 9\codigos mathematica8\Velocidad…

(*Se debe correr antes el programa para el lazo I, ya que se utilizan los resultado obtenidos*) (*Solución de posición para el lazo II*) f3=rab Cos[1 Degree]+rbe Cos[2 Degree]+ref Cos[4 Degree]x; f4=rab Sin[1 Degree]+rbe Sin[2 Degree]+ref Sin[4 Degree]Lc; (*Algoritmo de Solución: Newton-Raphson*) sol=FindRoot[{f3,f4},{4,91},{x,0},MaxIterations1000,AccuracyGoal4,PrecisionGoal4]; sol2={4,x}/.sol; 4=sol2[[1]]; x=sol2[[2]]; (*Definir Matrices*) C1={{-ref Sin[4 Degree],-1},{ref Cos[4 Degree],0}}; D1={{rab w1 Sin[1 Degree],rbe w2 Sin[2 Degree]},{-rab w1 Cos[1 Degree],-rbe w2 Cos[2 Degree]}}; (*Ecuación (3.26)*) ks1=Simplify[Inverse[C1]].D1; w4=ks1[[1,1]]+ks1[[1,2]]; xp=ks1[[2,1]]+ks1[[2,2]]; Print[Style["----------------Resultados-----------------",15,Blue]]; Print["w4=",w4]; Print["xp=",xp]; ----------------Resultados----------------- w4= -5.20778 xp= -1.79242

III.4 MÉTODO DE ALGEBRA COMPLEJA

Figura 12. Código desarrollado en Mathematica® 8.0 para obtener los resultado de velocidad del lazo II mediante el método matricial.

de 56

Figura 19. Bases de Rotación

Figura 20. Polígono de velocidad lazo I

DEFINICIÓN DE LAS BASES

Número de bases: 4

Base Inercial:

𝑒 = {𝑒 , 𝑒 }

𝑒 = {1,0}

𝑒 = {0,1}

Base móviles:

𝑒 = 𝑒(𝑃, 𝑒 )

𝑒 ′ = 𝑒(𝑄, 𝑒 )

𝑒 = 𝑒(𝑅, 𝑒 )

𝑒 = 𝑒(𝑆, 𝑒 )

Datos:

𝑙 = 0.140 𝑚

𝑙 = 0.650 𝑚

𝑙 = 0.400 𝑚

𝑙 = 0.350 𝑚

𝑙 = 0.250 𝑚

𝜔 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Entonces:

𝑏 = 𝑙 𝑒 = {𝑙 𝑃 , 𝑙 𝑃 }

𝑏 = 𝑙 𝑒 = {𝑙 𝑄 , 𝑙 𝑄 }

𝑏 = 𝑙 𝑒 = {𝑙 𝑅 , 𝑙 𝑅 }

𝑏 = 𝑙 𝑒 = {𝑙 𝑆 , 𝑙 𝑆 }

Las velocidades angulares están representadas vectorialmente por los números duales:

𝑊 = {0, 𝜔 } ;

𝑊 = {0, 𝜔 };

de 56 Figura 21. Polígonos de velocidad lazo II

𝑊 = {0, 𝜔 }

Para establecer el sistema de ecuaciones se define (ver Fig.20):

𝑉 = 𝑉 + 𝑉 / (3.28)

𝑉 = 𝑅 [𝑊 , 𝑏 ] = {0, 𝜔 } ∗ {𝑙 𝑅 , 𝑙 𝑅 }

𝑉 = {−𝜔 𝑙 𝑅 , 𝜔 𝑙 𝑅 } (3.29)

𝑉 / = 𝑅 [𝑊 , 𝑏 ] = {0, 𝜔 } ∗ {𝑙 𝑄 , 𝑙 𝑄 }

𝑉 / = {−𝜔 𝑙 𝑄 , 𝜔 𝑙 𝑄 } (3.30)

𝑉 = 𝑅 [𝑊 , 𝑏 ] = {0, 𝜔 } ∗ {𝑙 𝑃 , 𝑙 𝑃 }

𝑉 = {−𝜔 𝑙 𝑃 , 𝜔 𝑙 𝑃 } (3.31)

Además:

𝑉 = 𝜔 𝑙 = 1.40 𝑚/𝑠

Sustituyendo las ec. (3.29), (3.30) y (3.31) en la ecuación (3.28):

{−𝜔 𝑙 𝑅 , 𝜔 𝑙 𝑅 } = {−𝜔 𝑙 𝑃 , 𝜔 𝑙 𝑃 } + {−𝜔 𝑙 𝑄 , 𝜔 𝑙 𝑄 }

Separando en componentes:

−𝜔 𝑙 𝑃 + 𝜔 𝑙 𝑅 − 𝜔 𝑙 𝑄 = 0 (3.32)

𝜔 𝑙 𝑃 − 𝜔 𝑙 𝑅 + 𝜔 𝑙 𝑄 = 0 (3.33)

En la Figura 21, se muestran los vectores de velocidad y el polígono de velocidades formado en 02, del cual se obtiene:

𝑉 = 𝑉 + 𝑉 / (3.34)

Del polígono de velocidades formado en O3 se obtiene:

𝑉 = 𝑉 + 𝑉 / (3.35)

de 56

Sustituyendo la ecuación (3.34) en (3.35), se obtiene la ecuación cinemática de restricción.

𝑉 = 𝑉 + 𝑉 / + 𝑉 / (3.36)

𝑉 / = 𝑅 [𝑊 , 𝑏 ] = {0, 𝜔 } ∗ {𝑙 𝑄 , 𝑙 𝑄 }

𝑉 / = {−𝜔 𝑙 𝑄 , 𝜔 𝑙 𝑄 } (3.37)

𝑉 / = 𝑅 [𝑊 , 𝑏 ] = {0, 𝜔 } ∗ {𝑙 𝑆 , 𝑙 𝑆 }

𝑉 / = {−𝜔 𝑙 𝑆 , 𝜔 𝑙 𝑆 } (3.38)

Sustituyendo las ec. (3.31), (3.37) y (3.38) en la ec. (3.36) se obtiene:

𝑉 = {−𝜔 𝑙 𝑃 , 𝜔 𝑙 𝑃 } + −𝜔 𝑙 𝑄 , 𝜔 𝑙 𝑄 } + {−𝜔 𝑙 𝑆 , 𝜔 𝑙 𝑆 }

Separando en componentes la ecuación anterior:

−𝑉 = −𝜔 𝑙 𝑃 − 𝑙 𝜔 𝑄 − 𝜔 𝑙 𝑆 (3.39)

0 = 𝜔 𝑙 𝑃 + 𝑙 𝜔 𝑄 − 𝜔 𝑙 𝑆 (3.40)

A continuación, se presenta el código en Mathematica® 8.0.

Nota: El código mostrado a continuación, se encuentra en el archivo llamado: “algebra compleja_velocidad.nb”, ubicado en la carpeta: C:\mecanismo 9\codigos mathematica8\Velocidad…

(*Método Algebra compleja*) (*Se define la función de rotación*) Ro[P_,Q_]:={P[[1]] Q[[1]]-P[[2]] Q[[2]],P[[2]] Q[[1]]+P[[1]] Q[[2]]}; (*Base Inercial*) e1={1,0};e2={0,1}; (*Datos*) rab=.14;rbc=.65;rce=.25;rdc=.40;ref=.35;La=.37;Lb=.55;Lc=.70;1=150;w1=10; (*Componentes de los parámetros de Rotación*) p1=Cos[1 Degree];p2=Sin[1 Degree]; p={p1,p2}; q={q1,q2}; r={r1,r2}; s={s1,s2}; e11=Ro[p,e1];

de 56

e12=Ro[q,e1]; e13=Ro[r,e1]; e14=Ro[s,e1]; b1=rab e11; b2=rbc e12; b3=rdc e13; b4=ref e14; b5=(rbc+rce)e12; (*Velocidades angulares representadas en forma vectorial*) W1={0,w1};W2={0,w2};W3={0,w3};W4={0,w4}; rp=b1+b2-b3-{La,Lb}; rp2=b1+b5+b4-{x,Lc}; f1=rp[[1]]0; f2=rp[[2]]0; f3=q1^2+q2^21; f4=r1^2+r2^21; f5=rp2[[1]]0; f6=rp2[[2]]0; f7=s1^2+s2^21; (*Algoritmo de solución: Newton-Raphson*) sol1=FindRoot[{f1,f2,f3,f4,f6,f5,f7},{q1,-0.017},{q2,0.99},{r1,-0.17},{r2,0.98},{s1,-0.7},{s2,0.99},{x,-38}]; sol1={q1,q2,r1,r2,s1,s2,x}/.sol1; q1=sol1[[1]]; q2=sol1[[2]]; r1=sol1[[3]]; r2=sol1[[4]]; s1=sol1[[5]]; s2=sol1[[6]]; x=sol1[[7]]; 2=ArcCos[q1]/Degree; 3=ArcCos[r1]/Degree; 4=ArcCos[s1]/Degree; Vc=Ro[W3,b3]; Vb=Ro[W1,b1]; Vbc=Ro[W2,b2]; Vbe=Ro[W2,b5]; Vfe=Ro[W4,b4]; Ve=Vb+Vbe; Vf={xp,0}; d=Vb+Vbc-Vc;

de 56

d2=Vb+Vbe+Vfe-Vf; f8=d[[1]]0; f9=d[[2]]0; f10=d2[[1]]0; f11=d2[[2]]0; (*Algoritmo de solución: Newton-Raphson*) sol2=FindRoot[{f8,f9,f10,f11},{w2,0},{w3,0},{w4,0},{xp,0},MaxIterations1000,AccuracyGoal10,PrecisionGoal10]; sol2={w2,w3,w4,xp}/.sol2; w2=sol2[[1]]; w3=sol2[[2]]; w4=sol2[[3]]; xp=sol2[[4]]; Print[Style["--------------Resultados---------------",15,Blue]]; Print["w2=",w2]; Print["w3=",w3]; Print["w4=",w4]; Print["xp=",xp]; --------------Resultados--------------- w2= -0.257906 w3= 3.38668 w4= -5.20778 xp= -1.79242

Tabla 2. Despliegue de resultados numéricos y comparación.

Incógnita Método Gráfico Método Analítico Método Matricial Algebra Compleja

𝜃 ̇ -0.268 𝑟𝑎𝑑/𝑠 −0.2579𝑟𝑎𝑑/𝑠 −0.257906 𝑟𝑎𝑑/𝑠 −0.257906 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝜃 ̇ 3.385 𝑟𝑎𝑑/𝑠 3.386 𝑟𝑎𝑑/𝑠 3.386680 𝑟𝑎𝑑/𝑠 3.38668 𝑟𝑎𝑑/𝑠

�̇� -5.136 𝑟𝑎𝑑/𝑠 −5.20733𝑟𝑎𝑑/𝑠 −5.2073 𝑟𝑎𝑑/𝑠 −5.20778 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑉 −1.797 𝑚/𝑠 −1.7922 𝑚/𝑠 −1.7924 𝑚/𝑠 − 1.79242 𝑚/𝑠

Figura 3. Código en desarrollado en Mathematica® 8.0 para resolver el sistemas de ecuaciones obtenido al analizar el mecanismo mediante el método de algebra compleja, dicho sistema está formado por las ecuaciones (3.32), (3.33), (3.39) y (3.40)

de 56

En la tabla 2 se puede observar que, una vez más, el método gráfico es el que presenta un error mayor, sin embargo la importancia de este método no radica en su exactitud, sino en que ofrece un visión general del comportamiento del mecanismo, en este caso, la dirección y magnitud de las velocidades de cada eslabón, además de ser un método sencillo y fácil de realizar.

V.4 SIMULACIONES DE POSICIÓN Y VELOCIDAD DEL MECANISMO.

A continuación se presentan las simulaciones generadas por los métodos vistos. La manivela gira los 360 grados y se despliegan las posiciones y velocidades del mecanismo: Se despliegan también los vectores de velocidad y se representan en polígonos de velocidad para aludir el método gráfico. El código no se despliega debido al tamaño, sin embargo, se anexa el archivo y la ruta.

de 56

a) Método Analítico:

Archivo: Simu_analitico E9.m

Ruta: C:\mecanismo 9\codigos mathematica8\Simulaciones posicion-velocidad\...

de 56

Figura 22. Frame de simulación del mecasnismo.

b) Método Matricial:

Archivo: Simu_matricial E9.m


de 56

c) Método Algebra Compleja:

Archivo: Simu_matricial E9.m


de 56

FIN

1 er EXAMEN

IV. ANÁLISIS DE ACELERACIÓN

de 56

Figura 23. a) Polígono de aceleración en O1.

b) Componentes

normal y tangencial de aceleración del punto C y del punto C con respecto a B, Aceleración angular de las barras BC y DC

IV.1 MÉTODO GRÁFICO

Para encontrar la aceleración del punto B se utiliza la fórmula

n tB B Ba a a

21 1 1 1Ba r r

La velocidad angular del eslabón AB, ω1, es constante, por lo tanto:

1 0

21B ABa r

2(10) (0.140)Ba

Ahora que se conoce magnitud y sentido de la aceleración del punto B, se traza el vector aB , en el origen O1 (Ver Figura 23 a).

De la ecuación vectorial de velocidad /C B C BV V V

Se deduce /C B C Ba a a ó / /n t n t n tC C B B C B C Ba a a a a a

Esta ecuación es la base para trazar el polígono de aceleración. Se conoce tanto dirección y sentido de las componentes normal de aC y aC/B, pero solo se conoce el sentido de sus componentes tangenciales. Para obtener el valor de las componentes normales de aceleración:

2 2 23 (3.3858) (0.400) 4.58545 /n

C DCa r m s

2 2 2/ 2 (0.268) (0.650) 4.68545 /n

C B BCa r m s

de 56

Figura 24. Polígonos de aceleración en O1

Figura 25 a) Polígono de aceleración en O2.

b) Componentes

normal y tangencial de aceleración del punto E y aceleración angular de la barra BE.

Se traza anC en el origen O1 y se traza una línea punteada al final del vector anC con la dirección de atC, de igual forma se traza anC/B al final del vector aB, y una línea punteada al final de dicho vector con la dirección de atC/B, el punto en que las líneas punteadas se intersectan indica el sentido y magnitud de atC y atC/B. Se realizan las mediciones y se obtiene atC=3.699 m/s2 y atC/B=9.549 m/s2. Ahora que se conocen las aceleraciones tangenciales se calculan las aceleraciones angulares α2 y α3 del eslabón BE y del eslabón DC, respectivamente.

/2

9.549

0.650

tC B

BC

a

r

22 14.6921 /rad s

3

3.699

0.400

tB

DC

a

r

23 9.24985 /rad s

De los polígonos de aceleración en O1 se obtienen aC y aC/B, se mide directamente.

25.850 /Ca m s 2

/ 9.550 /C Ba m s

Para obtener la aceleración del punto E se traza un nuevo polígono de aceleración en el origen 𝑂 (Ver Figura 25 a). Basándose en la ecuación

/E B E Ba a a

2/ 2 2E B BE BEa r r

2/ (0.268) (0.900) (14.6921)(0.900)E Ba

2/ 13.2875 /E Ba m s

de 56

Figura 26. a) Polígono de aceleración en O3.

b) Componentes

normal y tangencial de aceleración del punto E con respecto al punto E, aceleración del punto E y F, y aceleración angular de la barra EF.

Como la dirección del vector aE/B no es conocida, se trazan sus componentes normal y tangencial.

2/

2/

0.06464 /

13.2228 /

nE B

tE B

a m s

a m s

Midiendo

24.6219 /Ea m s

Para el trazo del siguiente polígono de aceleración se tomará como base la ecuación

/F E F Ea a a ó / /n t n t n tF F E E F E F Ea a a a a a

2/ 4

2/ 9.2348 /

nF E EF

nF E

a r

a m s

Se dibuja el vector de aceleración 𝑎 en el origen 𝑂 (Ver Figura 26 a), la aceleración del punto F debe ser paralela al eje X, por lo cual se traza una línea punteada horizontal que también pase por el origen 𝑂 , se traza el vector 𝑎 / al final

del vector 𝑎 y se traza una línea punteada perpendicular a la barra BE, ya que esta es la dirección de 𝑎 / , el punto en que estas líneas se intersectan indica la magnitud y sentido de los vectores de aceleración

28.079 /Fa m s

2/ 3.363 /t

F Ea m s

2/4

3.3639.285 /

0.350

tF E

EF

arad s

r

de 56

Figura 27. Vectores de posición

IV.2 MÉTODO ANALÍTICO

El análisis parte de la siguiente ecuación vectorial

/C B C Ba a a

/ /n t n t n tC C B B C B C Ba a a a a a (4.1)

1 121 1

i iB AB ABa r e i r e

3 323 3

i iC DC DCa r e i r e

2 22/ 2 2

i iC B BC BCa r e i r e

Utilizando la representación de Euler:

2 21 1 1 1cos senB AB ABa r i r

2 23 3 3 3

3 3 3 3

cos sen

cos senC DC DC

DC DC

a r i r

i r r

2 2/ 2 2 2 2

2 2 2 2

cos sen

cos senC B BC BC

BC BC

a r i r

i r r

Sustituyendo en la ecuación (4.1):

2 2 23 3 3 3 3 3 3 3 1 1

2 2 21 1 2 2 2 2 2 2 2 2

cos sen cos sen cos

sen cos sen cos sen

DC DC DC DC AB

AB BC BC BC BC

r i r i r r r

i r r i r i r r

Separando la ecuación anterior en componentes reales e imaginarias

2 2 23 3 3 3 1 1 2 2 2 2cos sen cos cos senDC DC AB BC BCr r r r r

2 2 23 3 3 3 1 1 2 2 2 2sen cos sen sen cosDC DC AB BC BCr r r r r

de 56

Reordenando:

2 2 22 2 3 3 1 1 2 2 3 3sen sen cos cos cosBC DC AB BC DCr r r r r (4.2)

2 2 22 2 3 3 1 1 2 2 3 3cos cos sen sen senBC DC AB BC DCr r r r r (4.3)

Tomando en cuenta las siguientes ecuaciones vectoriales de aceleración:

/E B E Ba a a (4.4)

/F E F Ea a a (4.5)

Sustituyendo la ec. (4.4) en la ec. (4.5)

/ /F B E B F Ea a a a (4.6)

2 22/ 2 2( ) ( )i i

E B BC CE BC CEa r r e i r r e

4 42/ 4 4

i iF E EF EFa r e i r e

Utilizando la representación de Euler:

2 2/ 2 2 2 2 2 2 2 2( ) cos ( )sen ( ) cos ( )senE B BC CE BC CE BC CE BC CEa r r i r r i r r r r

2 2/ 4 4 4 4 4 4 4 4cos sen cos senF E EF EF EF EFa r i r i r r

Sustituyendo en la ec(4.6)

2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 2 2

2 22 2 4 4 4 4 4 4 4 4

cos sen ( ) cos ( )sen ( ) cos

( )sen cos sen cos sen

F AB AB BC CE BC CE BC CE

BC CE EF EF EF EF

a r i r r r i r r i r r

r r r i r i r r

Separando en componentes reales e imaginarias:

2 2 21 1 2 2 2 2 4 4 4 4cos ( )cos ( )sen cos senF AB BC CE BC CE EF EFa r r r r r r r (4.7)

2 2 21 1 2 2 2 2 4 4 4 40 sen ( )sen ( )cos sen cosAB BC CE BC CE EF EFr r r r r r r 4.8)

Las ecuaciones (4.2), (4.3), (4.7) y (4.8) forman un sistemas de 4 ecuaciones y 4 incognitas, dicho sistema se soluciona con el siguiente código desarrollado en Mathematica ® 7.0, el archivo aceleracion_metodo_analitico.nb se encuentra en el siguiente directorio Mecanismo1/Aceleración/Codigo Mathematica

(*Datos*) rab=.140;

de 56

rbc=.650; rce=.250; rdc=.400; ref=.350; La=.370; Lb=.550; Lc=.700; 1=150; w1=10; 1=0; (*Se establecen las ecuaciones de posición para el lazo I y lazo II*) f1=rab Cos[1 Degree]+rbc Cos[2 Degree]-rdc Cos[3 Degree]La; f2=rab Sin[1 Degree]+rbc Sin[2 Degree]-rdc Sin[3 Degree]Lb; f3=rab Cos[1 Degree]+(rbc+rce)Cos[2 Degree]+ref Cos[4 Degree]x; f4=rab Sin[1 Degree]+(rbc+rce)Sin[2 Degree]+ref Sin[4 Degree]Lc; (*Se establecen las ecuaciones de velocidad para el lazo I y lazo II*) f5=-rab w1 Sin[1 Degree]-rbc w2 Sin[2 Degree]+rdc w3 Sin[3 Degree]0; f6=rab w1 Cos[1 Degree]+rbc w2 Cos[2 Degree]-rdc w3 Cos[3 Degree]0; f7=-rab w1 Sin[1 Degree]-ref w4 Sin[4 Degree]-(rbc+rce)w2 Sin[2 Degree]v; f8=rab w1 Cos[1 Degree]+ref w4 Cos[4 Degree]+(rbc+rce)w2 Cos[2 Degree]0; (*Algoritmo de solución: Newton-Raphson*) sol=FindRoot[{f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8},{2,91},{3,100},{4,100},{x,0},{w2,0},{w3,1},{w4,0},{v,0},MaxIterations1000,AccuracyGoal4,PrecisionGoal4]; sol1={2,3,4,x,w2,w3,w4,v}/.sol; 2=sol1[[1]]; 3=sol1[[2]]; 4=sol1[[3]]; x=sol1[[4]]; w2=sol1[[5]]; w3=sol1[[6]]; w4=sol1[[7]]; v=sol1[[8]]; (*Se establecen las ecuaciones para aceleración*) ec1pp:=0-rab Sin[1 Degree](w1^2)+rab Cos[1 Degree]1-(rbc+rce) Sin[2 Degree] (w2^2)+(rbc+rce)Cos[2 Degree]2-ref Sin[4 Degree](w4^2)+ref Cos[4 Degree]4;

de 56

ec2pp:=a-rab Cos[1 Degree](w1^2)-rab Sin[1 Degree]1-(rbc+rce)Cos[2 Degree](w2^2)-(rbc+rce)Sin[2 Degree]2-ref Cos[4 Degree](w4^2)-ref Sin[4 Degree]4; ec3pp:=0-rab Sin[1 Degree](w1^2)+rab Cos[1 Degree]1-rbc Sin[2 Degree](w2^2)+rbc Cos[2 Degree]2+rdc Sin[3 Degree](w3^2)-rdc Cos[3 Degree]3; ec4pp:=0-rab Cos[1 Degree](w1^2)-rab Sin[1 Degree]1-rbc Cos[2 Degree](w2^2)-rbc Sin[2 Degree]2+rdc Cos[3 Degree](w3^2)+rdc Sin[3 Degree]3; (*Algoritmo de solución: Newton-Raphson*) sol=FindRoot[{ec1pp,ec2pp,ec3pp,ec4pp},{a,-1},{2,1},{3,1},{4,-1},MaxIterations1000,AccuracyGoal4,PrecisionGoal4]; sola={a,2,3,4}/.sol; a=sola[[1]]; 2=sola[[2]]; 3=sola[[3]]; 4=sola[[4]]; (*Desplegar resultados*) Print[Style["---------Resultados Numéricos------------",15,Blue]]; Print["2=",2]; Print["3=",3]; Print["4=",4]; Print["aF=",a]; ---------Resultados Numéricos------------

2= 14.6836 3= 9.28363 4= 9.67354 aF= 8.1365

Figura 4. Código en desarrollado en Mathematica ® para resolver el sistemas de ecuaciones obtenido al analizar el mecanismo mediante el método analítico.

de 56

Figura 29. Método matricial, a) Lazo I; b) Lazo II

IV.3 MÉTODO MATRICIAL

Para

este método se derivan las ecuaciones de velocidad antes obtenidas para el lazo I y lazo II

Ecuaciones de velocidad:

Lazo I

de 56

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

: sen sen sen 0

: cos cos cos 0

AB BC DC

AB BC DC

x r r r

y r r r

Lazo II

1 1 1 2 2 3 3

1 1 1 2 2 3 3

: sen sen sen 0

: cos cos cos 0

AB BE EF F

AB BE EF

x r r r x

y r r r

Se derivan respecto al tiempo para obtener las ecuaciones de aceleración:

Lazo I

2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

: sen cos sen cos sen cos 0

: cos sen cos sen cos sen 0

AB AB BC BC DC DC

AB AB BC BC DC DC

x r r r r r r

y r r r r r r

Lazo II

2 2 21 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4

2 2 21 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4

: sen cos sen cos sen cos 0

: cos sen cos sen cos sen 0

AB AB BE BE EF EF F

AB AB BE BE EF EF

x r r r r r r x

y r r r r r r

Reacomodando:

Lazo I

2 2 22 2 3 3 1 1 1 1 2 2 3 3

2 2 22 2 3 3 1 1 1 1 2 2 3 3

: sen sen = sen cos cos cos

: cos cos = cos sen sen sen

BC DC AB AB BC DC

BC DC AB AB BC DC

x r r r r r r

y r r r r r r

Lazo II

2 2 21 2 2 4 4 1 1 1 1 2 2 4 4

2 2 21 2 2 4 4 1 1 1 1 2 2 4 4

: sen sen = sen cos cos cos

: cos cos = cos sen sen sen

F BE EF AB AB BE EF

BE EF AB AB BE EF

x x r r r r r r

y r r r r r r

Una vez obtenidas las ecuaciones de aceleración se representan en forma matricial:

2 3 2

2 3 3

2 4 4

2 4

1 1

1 121 1

1 1

1

sin sin 0 0

cos cos 0 0

cos 0 cos 0

sin 0 sin 1

sin cos

cos sin

cos sin

sin c

BC DC

BC DC

BE EF

BE EF

AB AB

AB AB

AB AB

AB AB

r r

r r

r r

r r x

r r

r r

r r

r r

2 3

22 2 232 3 4

42

41 2

0cos cos

0sin sin

sinsin 0

cosos cos 0

BC DC

BC DC

EFBE

EFBE

r r

r r

rr

rr

Al despejar las incógnitas se tiene:

de 56

1

2 32

2 33

2 44

2 4

1 1

1 121 1

1 1

1

sin sin 0 0

cos cos 0 0

cos 0 cos 0

sin 0 sin 1

sin cos

cos sin

cos sin

sin

BC DC

BC DC

BE EF

BE EF

AB AB

AB AB

AB AB

AB AB

r r

r r

r r

r rx

r r

r r

r r

r r

2 3

22 2 232 3 4

42

41 2

0cos cos

0sin sin

sinsin 0

coscos cos 0

BC DC

BC DC

EFBE

EFBE

r r

r r

rr

rr

(4.9)

A continuación se muestra el código desarrollado en Mathematica ® 7.0 para resolver la ecuación (4.9), el archivo aceleracion_metodo_matricial.nb se encuentra en el siguiente directorio Mecanismo1/Aceleración/Codigo Mathematica

(*Datos*) rab=.140; rbc=.650; rce=.250; rbe=.900; rdc=.400; ref=.350; La=.370; Lb=.550; Lc=.700; 1=150; w1=10; 1=0; (*Solucion de posición y velocidad para el lazo I *) f1=rab Cos[1 Degree]+rbc Cos[2 Degree]-rdc Cos[3 Degree]La; f2=rab Sin[1 Degree]+rbc Sin[2 Degree]-rdc Sin[3 Degree]Lb; (* Algoritmo de solución: Newton-Raphson *) sol=FindRoot[{f1,f2},{2,91},{3,100},MaxIterations1000,AccuracyGoal4,PrecisionGoal4]; sol1={2,3}/.sol; 2=sol1[[1]]; 3=sol1[[2]]; (* Forma Matricial*) Ws={{w2},{w3}}//MatrixForm; A={{-rbc Sin[2 Degree],rdc Sin[3 Degree]},{rbc Cos[2 Degree],-rdc Cos[3 Degree]}}; B=w1 {{rab Sin[1 Degree]},{-rab Cos[1 Degree]}}; ks=Simplify[Inverse[A]].B;

de 56

w2=ks[[1,1]]; w3=ks[[2,1]]; (*Solucion de posición y velocidad para el lazo II *) f3=rab Cos[1 Degree]+(rbc+rce)Cos[2 Degree]+ref Cos[4 Degree]x; f4=rab Sin[1 Degree]+(rbc+rce)Sin[2 Degree]+ref Sin[4 Degree]Lc; (* Algoritmo de solución: Newton-Raphson *) sol=FindRoot[{f3,f4},{4,91},{x,0},MaxIterations1000,AccuracyGoal4,PrecisionGoal4]; sol2={4,x}/.sol; 4=sol2[[1]]; x=sol2[[2]]; (* Forma Matricial*) C1={{-ref Sin[4 Degree],-1},{ref Cos[4 Degree],0}}; D1={{rab w1 Sin[1 Degree],rbe w2 Sin[2 Degree]},{-rab w1 Cos[1 Degree],-rbe w2 Cos[2 Degree]}}; ks1=Simplify[Inverse[C1]].D1; w4=ks1[[1,1]]+ks1[[1,2]]; v=ks1[[2,1]]+ks1[[2,2]]; (*Calculo de las aceleraciones*) (*Matrices*) 1m={{-rab Sin[1 Degree]},{rab Cos[1 Degree]},{rab Cos[1 Degree]},{-rab Sin[1 Degree]}}; 1m={{-rab Cos[1 Degree]},{-rab Sin[1 Degree]},{-rab Sin[1 Degree]},{-rab Cos[1 Degree]}}; 2m={{-rbc Cos[2 Degree]},{-rbc Sin[2 Degree]},{-rbe Sin[2 Degree]},{-rbe Cos[2 Degree]}}; 3m={{rdc Cos[3 Degree]},{rdc Sin[3 Degree]},{0},{0}}; 4m={{0},{0},{-ref Sin[4 Degree]},{-ref Cos[4 Degree]}}; acm={{rbc Sin[2 Degree],-rdc Sin[3 Degree],0,0},{-rbc Cos[2 Degree],rdc Cos[3 Degree],0,0},{-rbe Cos[2 Degree],0,-ref Cos[4 Degree],0},{rbe Sin[2 Degree],0,ref Sin[4 Degree],1}}; (* Ecuacion (4.9) *) sol=Inverse[acm].(1*1m+(w1^2)*1m+(w2^2)*2m+(w3^2)*3m+(w4^2)*4m); a=sol[[4,1]];2=sol[[1,1]];3=sol[[2,1]];4=sol[[3,1]]; (*Desplegar resultados*) Print[Style["-------------Resultados Numéricos---------------",15,Blue]];

de 56

Figura 31. Definición de la bases de rotación inercial y locales móviles

Print["2=",2]; Print["3=",3]; Print["4=",4]; Print["af=",a]; -------------Resultados Numéricos--------------- 2= 14.6836 3= 9.28363 4= 9.67354 af= 8.1365

IV.4 MÉTODO DE ALGEBRA COMPLEJA

Número de bases: 4

Base inercial: 1 {(1,0), (0,1)}e

Bases móviles:

'1 1

''1 1

'''1 1

1 1

( , )

( , )

( , )

( , )IV

e e P e

e e Q e

e e R e

e e S e

Datos:

1

2

3

4

0.140

0.650

0.400

0.350

0.250CEr

l

l

l

l

l

Entonces:

'1 1 1 1 1 1 2

''2 2 1 2 1 2 2

'''3 3 1 3 1 3 2

4 4 1 4 1 4 2

{ , }

{ , }

{ , }

{ , }iv

b l e l P l P

b l e l Q l Q

b l e l R l R

b l e l S l S

Figura 5. Código en desarrollado en Mathematica ® para resolver la ecuación (4.9).

de 56

Para el método de álgebra compleja se forma la ecuación de lazo, en este caso se multiplica por un número dual que contiene la aceleración normal y la aceleración tangencial del mecanismo.

/C B C Ba a a (4.10)

33 ,Ca Ro a b

donde: 23 3 3{ , }a

23 3 3 1 3 2{ , }*{ , }Ca l R l R

2 23 3 1 3 3 2 3 3 1 3 3 2{ , }Ca l R l R l R l R (4.11)

Se tiene que aplicar el mismo procedimiento para todas las aceleraciones implicadas y así obtener sus componentes.

11 ,Ba Ro a b

21 1 1{ , }a

21 1 1 1 1 2{ , }*{ , }Ba l P l P

2 21 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2{ , }Ba l P l P l P l P (4.12)

2/ 2 ,C Ba Ro a b

22 2 2{ , }a

2/ 2 2 2 1 2 2{ , }*{ , }C Ba l Q l Q

2 2/ 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2{ , }C Ba l Q l Q l Q l Q (4.13)

Sustituyendo las ecuaciones (4.11), (4.12) y (4.13) en la ecuación (4.10) y separando en compoentes

2 2 23 3 1 3 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2

2 2 23 3 1 3 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2

l R l R l P l P l Q l Q

l R l R l P l P l Q l Q

de 56

Figura 32. Vectores de aceleración Lazo I

Figura 33. Vectores de aceleración del Lazo II

Ya que se tienen las ecuaciones del lazo I se calculan las del lazo II:

/E B E Ba a a (4.14)

/F E F Ea a a (4.15)

2/ 2[ , ]CEE Ba Ro a b r

22 2 2{ , }a

2/ 2 2 2 1 2 2{ , }*{( ) , ( ) }

CE CEE B r ra l l Q l l Q

2/ 2 2 1 2 2 2

22 2 1 2 2 2

{ ( ) ( ) ,

( ) ( ) }

CE CE

CE CE

E B r r

r r

a l l Q l l Q

l l Q l l Q

(4.16)

4/ 4[ , ]F Ea Ro a b

24 4 4{ , }a

2/ 4 4 4 1 4 2{ , }*{ , }F Ea l S l S

2 2/ 4 4 1 4 4 2 4 4 1 4 4 2{ , }F Ea l S l S l S l S (4.17)

El punto F únicamente tiene desplazamiento sobre el eje X, por lo tanto solo existirá aceleración sobre dicho eje.

De las ecuaciones (4.14) y (4.15) se obtiene

/ /F B E B F Ea a a a (4.18)

Sustituyendo las ecuaciones (4.12), (4.16) y (4.17) en la ecuación (4.18) y separando en componentes:

2 21 1 1 1 1 2 2 2 1

22 2 2 4 4 1 4 4 2

( )

( )

CE

CE

F r

r

a l P l P l l Q

l l Q l S l S

21 1 1 1 1 2 2 2 1

2 22 2 2 4 4 1 4 4 2

0 ( )

( )

CE

CE

r

r

l P l P l l Q

l l Q l S l S

de 56

Se tiene un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: 𝑅 , 𝑅 , 𝑄 , 𝑄 .

2 2 23 3 1 3 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2l R l R l P l P l Q l Q

2 2 23 3 1 3 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2l R l R l P l P l Q l Q

2 2 21 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 4 4 1 4 4 2( ) ( )

CE CEF r ra l P l P l l Q l l Q l S l S

2 2 21 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 4 4 1 4 4 20 ( ) ( )

CE CEr rl P l P l l Q l l Q l S l S

Este sistema se resuelve con Mathematica ®7.0, el archivo aceleracion_metodo_algebra_c.nb se encuentra en el siguiente directorio Mecanismo1/Aceleración/Codigo Mathematica

(*Método Álgebra Compleja*) (*Definimos la función de rotación*) Ro[P_,Q_]:={P[[1]] Q[[1]]-P[[2]] Q[[2]],P[[2]] Q[[1]]+P[[1]] Q[[2]]}; (*Base Inercial*) e1={1,0};e2={0,1};

(*Datos*) rab=.140; rbc=.650; rce=.250; rdc=.400; ref=.350; La=.370; Lb=.550; Lc=.700; 1=150; w1=10; 1=0; (*Componentes de los parámetros de Rotación*) p1=Cos[1 Degree];p2=Sin[1 Degree]; p={p1,p2}; q={q1,q2}; r={r1,r2}; s={s1,s2}; (*Velocidades angulares representadas en forma vectorial*) W1={0,w1}; W2={0,w2}; W3={0,w3}; W4={0,w4}; (*Aceleraciones angulares representadas en forma vectorial*)

de 56

a1={-w1^2,1};a2={-w2^2,2};a3={-w3^2,3};a4={-w4^2,4}; e11=Ro[p,e1];e12=Ro[q,e1];e13=Ro[r,e1];e14=Ro[s,e1]; b1=rab e11; b2=rbc e12; b3=rdc e13; b4=ref e14; b5=(rbc+rce)e12; (*Análisis Posición,Ecuaciones de Lazo I y II*) rp=b1+b2-b3-{La,Lb}; rp2=b1+b5+b4-{x,Lc}; f1=rp[[1]]0; f2=rp[[2]]0; f3=q1^2+q2^21; f4=r1^2+r2^21; f5=rp2[[1]]0; f6=rp2[[2]]0; f7=s1^2+s2^21; (*Algoritmo de solución:Newton-Raphson*) sol1=FindRoot[{f1,f2,f3,f4,f6,f5,f7},{q1,-0.017},{q2,0.99},{r1,-0.17},{r2,0.98},{s1,-0.017},{s2,0.99},{x,-38},MaxIterations1000,AccuracyGoal10,PrecisionGoal10]; sol1={q1,q2,r1,r2,s1,s2,x}/.sol1; q1=sol1[[1]]; q2=sol1[[2]]; r1=sol1[[3]]; r2=sol1[[4]]; s1=sol1[[5]]; s2=sol1[[6]]; x=sol1[[7]]; (*Análisis Velocidad: Ecuaciones de Lazo I y II*) Vc=Ro[W3,b3]; Vb=Ro[W1,b1]; Vbc=Ro[W2,b2]; Veb=Ro[W2,b5]; Vfe=Ro[W4,b4]; Ve=Vb+Veb; Vf={Vx,0}; d=Vb+Vbc-Vc; d2=Vb+Veb+Vfe-Vf; f8=d[[1]]0; f9=d[[2]]0; f10=d2[[1]]0; f11=d2[[2]]0;

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(*Algoritmo de solución: Newton-Raphson*) sol2=FindRoot[{f8,f9,f10,f11},{w2,0},{w3,0},{w4,0},{Vx,0},MaxIterations1000,AccuracyGoal10,PrecisionGoal10]; sol2={w2,w3,w4,Vx}/.sol2; w2=sol2[[1]]; w3=sol2[[2]]; w4=sol2[[3]]; Vx=sol2[[4]]; 2=ArcCos[q1]/Degree; 3=ArcCos[r1]/Degree; 4=ArcCos[s1]/Degree; (*Análisis de Aceleración: Ecuaciones de Lazo I y II*) ac=Ro[a3,b3]; ab=Ro[a1,b1]; acb=Ro[a2,b2]; aeb=Ro[a2,b5]; aef=Ro[a4,b4]; af={a,0}; A1=ab+acb-ac; A2=ab+aeb+aef-af; f12=A1[[1]]0; f13=A1[[2]]0; f14=A2[[1]]0; f15=A2[[2]]0; (*Algoritmo de solución: Newton-Raphson*) sol3=FindRoot[{f12,f13,f14,f15},{2,0},{3,0},{4,0},{a,0},MaxIterations1000,AccuracyGoal10,PrecisionGoal10]; sol3={2,3,4,a}/.sol3; 2=sol3[[1]]; 3=sol3[[2]]; 4=sol3[[3]]; a=sol3[[4]]; (*Desplegar Resultados*) Print[Style["----------------Resultados Numéricos-------------------",15,Blue]]; Print["2=",2]; Print["3=",3]; Print["4=",4]; Print["aF=",a];

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----------------Resultados Numéricos------------------- 2= 14.6836 3= 9.28363 4= 9.67354 aF= 8.1365

Tabla 3. Despliegue de resultados numéricos de aceleración y comparaciones de los métodos utilizados

Método Gráfico Método Analítico Método Matricial Algebra Compleja

𝛼 14.692 𝑟𝑎𝑑/𝑠 14.6836 𝑟𝑎𝑑/𝑠2 14.6836 𝑟𝑎𝑑/𝑠 14.683 𝑟𝑎𝑑/𝑠



𝑎 8.079 𝑚/𝑠 8.1365 𝑚/𝑠2 8.13648 𝑚/𝑠 8.13648 𝑚/𝑠

En la tabla 3 se observan los resultados obtenidos con cada método, al hacer el análisis para aceleración se puede notar como el método de álgebra compleja y matricial se vuelven más complicados, por lo cual se requiere más tiempo para su análisis, por otro lado, el método gráfico conserva una estructura fácil y rápida de entender pero con la desventaja de no ser un método de precisión y exactitud.

Figura 6. Código en desarrollado en Mathematica ® para resolver el sistema de ecuaciones obtenido al analizar el mecanismo 1 mediante el método de algebra compleja.

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