Mec¶anica y Ondas - USALfnl.usal.es/pilar/MyO/tema1/tema1.pdf14 Cap ‡tulo 1 Apliquemos este...

Mecanica y Ondas

Salamanca, 2007-2008. Primer semestre

Indice

1 . Preliminares Matematicos 11. Sistemas de coordenadas ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1..1 Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21..2 Coordenadas cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51..3 Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Derivada de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113. Gradiente de un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124. Divergencia de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4..1 Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134..2 Integrales de volumen y superficie . . . . . . . . . . . . . . . 15

5. Rotacional de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165..1 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165..2 Integrales de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6. Laplaciana de un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

i

Capıtulo 1 .

Preliminares Matematicos

1. Sistemas de coordenadas ortonormales

Sea {u1, u2, u3} un sistema de ejes coordenados perpendiculares y sean {~j1,~j2,~j3}los respectivos vectores unitarios. Un vector ~r sera, en este sistema:

~r = x1~j1 + x2

~j2 + x3~j3 (1.1)

Dado que, en general, los vectores unitarios (salvo en coordenadas cartesianas)varıan de un punto a otro (dependen de las coordenadas), la diferencial de ~r sera:

d~r = dx1~j1 + dx2

~j2 + dx3~j3 + x1d~j1 + x2d~j2 + x3d~j3 (1.2)

que es otro vector y por tanto ha de escribirse

d~r = dl1~j1 + dl2~j2 + dl3~j3 = hidui~ji (1.3)

donde el indice i recorre los valores 1,2 y 3.Las cantidades hi definidas como

dli = hidui (1.4)

son los parametros de escala que caracterizan a un sistema de coordenadas con-creto. Como puede verse, el problema reside basicamente en determinar las valoresd~ji de los vectores de la base.

Los elementos de longitud, superficie y volumen son por tanto:

elemento de lınea

• dl1 = h1du1 es el elemento de longitud cuando u2 y u3 permanecen constantes


1

2 Capıtulo 1


elemento de superficie

• dS1 = dl2dl3 = h2h3du2du3 es el elemento de superficie cuando u1 permanececonstante



elemento de volumen

dV = dl1dl2dl3 = h1h2h3du1du2du3

1..1 Coordenadas cartesianas

La nomenclatura usual es:

• coordenadas

{u1, u2, u3} = {x, y, z} (1.5)

Preliminares Matematicos 3

��

��

��

��

��

��

��

• vectores unitarios

{~j1,~j2,~j3} = {~i,~j,~k} (1.6)

donde los vectores unitarios son tangentes a la direccion de variacion de las coor-denadas.

4 Capıtulo 1

�

�

�

�

��

�

�

��

��

��

��

• Vector posicion

~r = x~i + y~j + z~k (1.7)

• Variacion de los vectores unitarios

En este caso los vectores unitarios son constantes por lo que la variacion de ~r sedebe solo a la variacion de sus coordenadas

d~i = d~j = d~k = 0 (1.8)

• Variacion del vector posicion

d~r = dx~i + dy~j + dz~k (1.9)

• Parametros de escala

hx = hy = hz = 1 (1.10)


• Elementos de lınea

dlx = dx

dly = dy

dlz = dz (1.11)

• Elementos de superficie

dSx = dydz

dSy = dxdz

dSz = dxdy (1.12)

• Elemento de volumen

dV = dxdydz (1.13)

��

��

��

��

��

��

1..2 Coordenadas cilındricas

La nomenclatura usual es:

6 Capıtulo 1

• coordenadas

�

ρ

��

ϕ

��

�

��

��

{u1, u2, u3} = {ρ, ϕ, z} (1.14)

donde la relacion con las coordenadas cartesianas es

ρ =√

x2 + y2

ϕ = arctgy

xx = ρ cosϕ (1.15)

y = ρ senϕ



�

ρ

��

ϕ

��

��

��

��

{~j1,~j2,~j3} = {~jρ,~jϕ, ~k} (1.16)

Su relacion con los vectores cartesianos es:

~jρ = cos ϕ~i + sin ϕ~j ~i = cos ϕ~jρ − sin ϕ~jϕ

~jϕ = − sin ϕ~i + cos ϕ~j ~j = sin ϕ~jρ + cos ϕ~jϕ (1.17)

• Vector posicion

~r = ρ~jρ + z~k (1.18)


d~jρ = dϕ~jϕ

d~jϕ = −dϕ~jρ (1.19)

8 Capıtulo 1

• Variacion del vector posicion

Puesto que este caso los vectores unitarios dependen de las coordenadas la variacionde ~r se debe tanto a la variacion de sus coordenadas como a la de los vectoresunitarios

d~r = dρ~jρ + ρdϕ~jϕ + dz~k (1.20)


hρ = 1

hϕ = ρ

hz = 1 (1.21)


dlρ = dρ

dlϕ = ρdϕ

dlz = dz (1.22)


dSρ = ρdϕdz

dSϕ = dρdz

dSz = ρdρdϕ (1.23)


dV = ρdρdϕdz (1.24)


1..3 Coordenadas esfericas

�

��θ

ϕ

��

��

��

��

• coordenadas

{u1, u2, u3} = {r, ϕ, θ}donde la relacion con las coordenadas cartesianas es

r =√

x2 + y2 + z2 x = r sin θ cosϕ

ϕ = arctg yx

y = r sin θ sin ϕ

θ = arcos zr

z = r cos θ (1.25)


{~j1,~j2,~j3} = {~jr,~jϕ,~jθ} (1.26)

Su relacion con los vectores cartesianos es:

~jr = sin θ cos ϕ~i + sin θsenϕ~j + cos θ~k~jϕ = − sin ϕ~i + cos ϕ~j

~jθ = cos θ cos ϕ~i + cos θ sin ϕ~j − sin θ~k (1.27)

10 Capıtulo 1

~i = sin θ cos ϕ~jr + cos θ cos ϕ~jθ − sin ϕ~jϕ

~j = sin θ sin ϕ~jr + cos θ sin ϕ~jθ + cos ϕ~jϕ

~k = cos θ~jr − sin θ~jθ (1.28)

• Vector posicion

~r = r~jr (1.29)


d~jr = senθdϕ~jϕ + dθ~jθ

d~jϕ = −dϕ(senθ~jr + cosθ~jθ)

d~jθ = −dθ~jr + cosθdϕ~jϕ (1.30)

• Variacion del vector posicionPuesto que este caso los vectores unitarios dependen de las coordenadas la variacionde ~r se debe tanto a la variacion de sus coordenadas como a la de los vectoresunitarios

d~r = dr~jr + rsenθdϕ~jϕ + rdθ~jθ (1.31)


hr = 1

hϕ = r sin θ

hθ = r (1.32)


dlr = dr

dlϕ = r sin θdϕ

dlθ = rdθ (1.33)


dSr = r2 sin θdϕdθ

dSϕ = rdrdθ

dSz = r sin θdrdϕ (1.34)



dV = r2 sin θdrdϕdθ (1.35)

�

��

2. Derivada de un vector

Sea ~A un vector que, en un determinado sistema de coordenadas ortonormales{u1, u2, u3}, se escribe

~A = A1~j1 + A2

~j2 + A3~j3 (2.1)

y por tanto su derivada sera:

~dA = dA1~j1 + dA2

~j2 + dA3~j3 + A1d~j1 + A2d~j2 + A3d~j3 (2.2)

Teniendo en cuenta los resultados del apartado anterior las expresiones en losdistintos sistemas de referencia son:

• cartesianas~dA = dAx

~jx + dAy~jy + dAz

~jz (2.3)

12 Capıtulo 1

• polares

~dA = dAρ~jρ + dAϕ

~jϕ + dAz~k + Aρd~jρ + Aϕd~jϕ + Azd~k (2.4)

Utilizando las expresiones para las derivadas de los vectores unitarios:

~dA = (dAρ − Aϕdϕ)~jρ + (dAϕ + Aρdϕ)~jϕ + dAz~k (2.5)

• esfericas

~dA = dAr~jr + dAϕ

~jϕ + dAθ~jθ + Ard~jr + Aϕd~jϕ + Aθd~jθ (2.6)

Utilizando las expresiones para las derivadas de los vectores unitarios:

~dA = (dAr − Aϕsenθdϕ− Aθdθ)~jr +

(dAϕ + Ar sin θdϕ + Aθ cos θdϕ)~jϕ +

(dAθ + Ardθ − Aϕ cos θdϕ)~jθ (2.7)

3. Gradiente de un escalar

Sea un escalar B. Se define como gradiente de B y se denota ~∇B al vector queverifica:

dB = ~∇B. ~dr (3.1)

En un sistema de coordenadas ortonormales {u1, u2, u3}, ~∇B sera un vector de laforma:

~∇B = g1~j1 + g2

~j2 + g3~j3 (3.2)

Dado que como vimos anteriormente ~dr se escribe

~dr = h1du1~j1 + h2du2

~j2 + h3du3~j3 (3.3)

y que dB al ser la derivada de un escalar sera simplemente:

dB =∂B

∂u1

du1 +∂B

∂u2

du2 +∂B

∂u3

du3 (3.4)

Substituyendo (3.2-4) en (3.1) obtenemos:

∂B

∂u1

du1 +∂B

∂u2

du2 +∂B

∂u3

du3 = h1g1du1 + h2g2du2 + h3g3du3 (3.5)

luego las componentes de ~∇g son:

( ~∇B)i = gi =1

hi

∂B

∂ui

(3.6)


Por tanto, teniendo en cuenta las expresiones de hi en los diferentes sistemas decoordanadas tenemos:

• cartesianas

~∇B =∂B

∂x~i +

∂B

∂y~j +

∂B

∂z~k (3.7)

• polares

~∇B =∂B

∂ρ~jρ +

1

ρ

∂B

∂ϕ~jϕ +

∂B

∂z~k (3.8)

• esfericas

~∇B =∂B

∂r~jr +

1

r sin θ

∂B

∂ϕ~jϕ +

1

r

∂B

∂θ~jθ (3.9)

4. Divergencia de un vector

4..1 Teorema de Gauss

Sea un vector ~A. Se define como divergencia de ~A al escalar que verifica elTeorema de Gauss:

∫

V

~∇. ~A dV =

∫

S

~A. ~dS (4.1)

14 Capıtulo 1

�

Apliquemos este teorema al elemento de volumen de la figura. Se trata de uncubo de aristas dl1, dl2, dl3 de manera que el elemento de volumen es

dV = dl1dl2dl3 (4.2)

y las seis caras tienen por elemento de superficie

~dS1 = ±dl2dl3~j1

~dS2 = ±dl1dl3~j2

~dS3 = ±dl1dl2~j3 (4.3)

El signo ± se debe a que cada una de las dos caras a ui constantes tiene orientacionpositiva o negativa segun este dirigida en la direccion de ~ji o en la contraria. Laintegral de superficie se hace por tanto sobre las seis caras del elemento de volumen:


4..2 Integrales de volumen y superficie

∫

V

~∇. ~A dl1dl2dl3 =

∫

u1+du1=cte

A1dl2dl3 −∫

u1=cte

A1dl2dl3 +

∫

u2+du2=cte

A2dl1dl3 −∫

u2=cte

A2dl1dl3 +

∫

u3+du3=cte

A3dl1dl2 −∫

u3=cte

A3dl1dl2 (4.4)

Substituyendo los elementos de lınea

∫

V

~∇. ~Ah1h2h3du1du2du3 =

∫

u1+du1=cte

A1h2h3du2du3 −∫

u1=cte

A1h2h3du2du3 +

∫

u2+du2=cte

A2h1h3du1du3 −∫

u2=cte

A2h1h3du1du3 +

∫

u3+du3=cte

A3h1h2du1du2 −∫

u3=cte

A3h1h2du1du2

(4.5)

Teniendo en cuenta que

Aihjhk(ui + dui)− Aihjhk(ui) = dui∂(Aihjhk)

∂ui

(4.6)

la expresion anterior se escribe:

∫

V

~∇. ~Ah1h2h3du1du2du3 =

∫∂(A1h2h3)

∂u1

du1du2du3 +

∫∂(A2h1h3)

∂u2

du1du2du3 +

∫∂(A3h1h2)

∂u3

du1du2du3 (4.7)

de modo que, identificando los integrandos, tenemos:

~∇. ~A =1

h1h2h3

[∂(A1h2h3)

∂u1

+∂(A2h1h3)

∂u2

+∂(A3h1h2)

∂u3

](4.8)

Aplicando esta expresion a los distintos sistemas de coordenadas:• cartesianas

~∇. ~A =∂Ax

∂x+

∂Ay

∂y+

∂Az

∂z(4.9)

16 Capıtulo 1

• polares

~∇. ~A =1

ρ

[∂(ρAρ)

∂ρ+

∂Aϕ

∂ϕ+

∂(ρAz)

∂z

](4.10)

• esfericas

~∇. ~A =1

r2 sin θ

[∂(r2 sin θAr)

∂r+

∂(rAϕ)

∂ϕ+

∂(r sin θAθ)

∂θ

](4.11)

5. Rotacional de un vector

5..1 Teorema de Stokes

Sea un vector ~A. Se define como Rotacional de ~A al vector que verifica el Teoremade Stokes: ∫

S

(~∇× ~A) ~dS =

∮

c

~A. ~dr (5.1)

donde S es el area encerrada por una curva cerrada c.

u2, u3

u2, u3+du3

u2+du2, u3+du3

u2+du2, u3

Apliquemos el teorema a la superficie dS3 (u3=cte) del dibujo


5..2 Integrales de lınea

(~∇× ~A)3dS3 = (A1dl1)u2 + (A2dl2)u1+du1 − (A1dl1)u2+du2 − (A2dl2)u1 (5.2)

o bien:

(~∇× ~A)3 h1h2du1du2 = (A1h1du1)u2 + (A2h2du2)u1+du1

−(A1h1du1)u2+du2 − (A2h2du2)u1 (5.3)

Teniendo en cuenta que:

∂(A1h1)

∂u2

=(A1h1)u2+du2 − (A1h1)u2

du2

∂(A2h2)

∂u1

=(A2h2)u1+du1 − (A2h2)u1

du1

(5.4)

obtenemos:

(~∇× ~A)3 =1

h1h2

[∂

∂u1

(A2h2)− ∂

∂u2

(A1h1)

](5.5)

El mismo proceso se puede aplicar a las superficies dS1 y dS2. El resultado es:

(~∇× ~A)i =1

hjhk

εijk ∂(Akhk)

∂uj

(5.6)

que, escrito en los diferentes sistemas de coordenadas es:

• cartesianas

~∇× ~A =

(∂Az

∂y− ∂Ay

∂z

)~i

+

(∂Ax

∂z− ∂Az

∂x

)~j

+

(∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y

)~k (5.7)

• polares

~∇× ~A =1

ρ

(∂Az

∂ϕ− ∂(ρAϕ)

∂z

)~jρ

+

(∂Aρ

∂z− ∂Az

∂ρ

)~jϕ

+1

ρ

(∂(ρAϕ)

∂ρ− ∂Aρ

∂ϕ

)~k (5.8)

18 Capıtulo 1

• esfericas

~∇× ~A =1

rsenθ

(∂Aθ

∂ϕ− ∂(Aϕsenθ)

∂θ

)~jr (5.9)

+1

r

(∂Ar

∂θ− ∂(rAθ)

∂r

)~jϕ

+1

rsenθ

(∂(rsenθAϕ)

∂r− ∂Ar

∂ϕ

)~jθ (5.10)

6. Laplaciana de un escalar

Sea un escalar B, se define como laplaciana de B al escalar 4B que verifica

4B = ~∇.( ~∇B) (6.1)

Segun esta definicion, combinando los resultados anteriores para la divergencia yel gradiente

4B =1

h1h2h3

[∂

∂u1

(h2h3

h1

∂B

∂u1

)+

∂

∂u2

(h1h3

h2

∂B

∂u2

)+

∂

∂u3

(h1h2

h3

∂B

∂u3

)](6.2)

es decir:

• cartesianas

4B =∂2B

∂x2+

∂2B

∂y2+

∂2B

∂z2(6.3)

• polares

4B =1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂B

∂ρ

)+

1

ρ2

∂2B

∂ϕ2+

∂2B

∂z2(6.4)

• esfericas

4B =1

r2

∂

∂r

(r2∂B

∂r

)+

1

r2senθ

∂

∂θ

(senθ

∂B

∂θ

)+

1

r2sen2θ

∂2B

∂ϕ2(6.5)


7. Problemas

Enunciados

1) Hallar la relacion entre los vectores unitarios en coordenadas polares y carte-sianas. Calcular la variacion de los vectores unitarios en coordenadas polares.

2) Hallar la relacion entre los vectores unitarios en coordenadas esfericas y carte-sianas. Calcular la variacion de los vectores unitarios en coordenadas esfericas.

3) Hallar d~r en los tres sistemas de coordenadas.

4) Hallar la posicion, velocidad y aceleracion en los tres sistemas de coordenadas.

5) Sea el escalar a = x + y2 + z2. Calcular la circulacion de su gradiente cuandose pasa del extremo inferior del diametro vertical de una circunferencia contenidaen una esfera de radio r = 3 con centro en M = (2, 2, 1) al superior, siguiendo lacircunferencia que se encuentra en el plano formado por su centro y el eje Z.

6) Comprobar el teorema de Gauss para el vector ~a = (2x2,−4y2, z), en la regionlimitada por la superficie x2 + y2 = 4 y los planos z = ±2.

7) Comprobar el teorema de Stokes para el vector ~a = (x − 2y, y2z3, y3z2), en elcontorno dado por x2 + y2 = 1, z = 0 y en el hemisferio superior de la superficieesferica que tiene por borde dicha circunferencia.

8) Demostrar que para un vector ~A, se satisface que ∇ · (∇× ~A) = 0. Demostrartambien que para un escalar φ se cumple que ∇× (∇φ) = 0.

9)Escribir en polares la ecuacion de una elipse centrada en un foco

20 Capıtulo 1

1) Hallar la relacion entre los vectores unitarios en coordenadas polares y carte-sianas. Calcular la variacion de los vectores unitarios en coordenadas polares.

Solucion

~jρ se encuentra en el plano XY formando un angulo ϕ con el eje X. Tenemosentonces

~jρ = cos ϕ~i + sen ϕ~j

~jϕ se encuentra tambien en el plano XY formando un angulo (ϕ + π2) con el eje X

y por tanto~jϕ = − sen ϕ~i + cos ϕ~j

~jz se encuentra dirigido segun el eje Z,

~jz = ~k

La variacion de los vectores unitarios en coordenadas polares se determinara derivandolas expresiones anteriores y teniendo en cuenta que los vectores unitarios en coor-denadas carterianas permanecen constantes. Por lo tanto:

d~jρ = (− sen ϕ~i + cos ϕ~j) dϕ = ~jϕdϕ

d~jϕ = −(cos ϕ~i + sen ϕ~j) dϕ = −~jρdϕ

d~jz = 0


2) Hallar la relacion entre los vectores unitarios en coordenadas esfericas y carte-sianas. Calcular la variacion de los vectores unitarios en coordenadas esfericas.

Solucion

El vector unitario ~jϕ esta contenido en el plano XY formando un angulo (ϕ + π2)

con el eje X,~jϕ = − sen ϕ~i + cos ϕ~j

El vector unitario ~jr puede descomponerse en componentes segun el eje Z y en elplano XY , esta ultima formando un angulo ϕ con el eje X. Por lo tanto puedeescribirse:

~jr = cos θ ~k + sen θ(cos ϕ~i + sen ϕ~j)

El vector ~jθ se descompone en su parte segun el eje Z (con el que forma un angulo(θ + π

2)) y su parte en el plano XY (que forma un angulo ϕ con el eje X),

~jθ = − sen θ ~k + cos θ(cos ϕ~i + sen ϕ~j)

Para calcular la variacion de los vectores unitarios en coordenadas esfericas, bastaderivar las expresiones anteriores y tener en cuenta que los vectores unitarios encoordenadas cartersianas permanecen constantes. El resultado es:

d~jϕ = −(sen θ~jr + cos θ~jθ) dϕ

d~jr = dθ~jθ + sen θdϕ~jϕ

d~jθ = −dθ~jr + cos θdϕ~jϕ

22 Capıtulo 1

3) Hallar d~r en los tres sistemas de coordenadas.

Solucion

• Coordenadas cartesianas~r = x~i + y~j + z~k

d~r = dx~i + dy~j + dz~k

• Coordenadas polares

~r = ρ~jρ + z~jz

d~r = dρ~jρ + ρd~jρ + dz~jz = dρ~jρ + ρdϕ~jϕ + dz~jz

• Coordenadas esfericas~r = r~jr

d~r = dr~jr + rd~jr = dr~jr + r sen θdϕ~jϕ + rdθ~jθ


4) Hallar la posicion, velocidad y aceleracion en los tres sistemas de coordenadas.

Solucion

• Coordenadas cartesianas~r = x~i + y~j + z~k

~v =d~r

dt= ~r = x~i + y~j + z~k

~a =d~v

dt= ~r = x~i + y~j + z~k

• Coordenadas polares~r = ρ~jρ + z~jz

~v = ρ~jρ + ρϕ~jϕ + z~jk

~a = (ρ− ρϕ2)~jρ + (2ρϕ + ρϕ)~jϕ + z~jk

• Coordenadas esfericas~r = r~jr

~v = r~jr + r(θ~jθ + sen θϕ~jϕ)

~a = (r − rθ2 − r sen2 θϕ2)~jr + (2rϕ sen θ + 2θϕr cos θ + r sen θϕ)~jϕ

+ (2rθ + rθ − r cos θ sen θϕ2)~jθ

24 Capıtulo 1

5) Sea el escalar a = x + y2 + z2. Calcular la circulacion de su gradiente cuandose pasa del extremo inferior del diametro vertical de una circunferencia contenidaen una esfera de radio r = 3 con centro en M = (2, 2, 1) al superior, siguiendo lacircunferencia que se encuentra en el plano formado por su centro y el eje Z.

Solucion

–20

24

6–2 0 2 4 6

–2

0

2

4

Teniendo en cuenta el centro M de la circunferencia, los puntos A y B en coorde-nadas se escribiran A = (2, 2, 4) y B = (2, 2,−2). Para calcular la circulacion delgradiente de a tendremos en cuenta que este se define como

da = ~∇a. ~dr

La circulacion del gradiente de a = x + y2 + z2 sera entonces

∮~∇a. ~dr =

∫ A

B

da = a(A)− a(B) = 22− 10 = 12

Se concluye que el resultado solo depende de los puntos inicial y final y no delcamino seguido desde A hasta B.


6) Comprobar el teorema de Gauss para el vector ~a = (2x2,−4y2, z), en la regionlimitada por la superficie x2 + y2 = 4 y los planos z = ±2.

Solucion

Sea un vector ~a. Se define como divergencia de ~a al escalar que verifica el Teoremade Gauss,

�

��

��ρ�

∫

V

~∇.~a dV =

∫

S

~a.d~S

siendo V el volumen de la region considerada y S su superficie.Calcularemos por separado ambas integrales. Por la simetrıa del problema es

conveniente utilizar coordenadas polares. Sean Sρ, S+z y S−z las superficies que

rodean la region cosiderada. La integral de superficie sera por tanto∫

S

~a. ~ds =

∫

Sρ

aρdSρ +

∫

S+z

azdSz −∫

S−zazdSz

donde aρ az son las componentes del vector ~a en las direcciones perpendiculares ala superficie, es decir:

~a = 2x2~i− 4y2~j + z~k = aρ~jρ + aϕ

~jϕ + az~k

26 Capıtulo 1

Haciendo uso de las relaciones entre los vectores unitarios en coordenadas carte-sianas y polares se tiene que

aρ = 2ρ2(cos3 ϕ− 2 sen3 ϕ)

aϕ = −2ρ2 cos ϕ sen ϕ(cos ϕ + 2 sen ϕ)

az = z

La integral de superficie puede escribirse entonces como

∫

S

~a. ~ds =

[∫ 2π

0

∫ 2

−2

2ρ3(cos3 ϕ− 2 sen3 ϕ)dϕdz

]

ρ=2

+

+

[∫ 2π

0

∫ 2

0

zρdρdϕ

]

z=2

−[∫ 2π

0

∫ 2

0

zρdρdϕ

]

z=−2

= 16π

donde hemos utilizado que

∫ 2π

0

(cos3 ϕ− 2 sen3 ϕ)dϕ =[sen x

3

{cos2 x + 2

}+

cos x

3

{2 sen2 x + 4

}]2π

0= 0

Calculemos ahora la integral de volumen. El gradiente del vector ~a es

~∇.~a = 4x− 8y + 1

y por lo tanto tenemos que

∫

V

(~∇.~a) dV =

∫ 2π

0

∫ 2

0

∫ 2

−2

(4ρ cos ϕ− 8ρ sen ϕ + 1) ρdρdϕdz = 16π


7) Comprobar el teorema de Stokes para el vector ~a = (x − 2y, y2z3, y3z2), en elcontorno dado por x2 + y2 = 1, z = 0 y en el hemisferio superior de la superficieesferica que tiene por borde dicha circunferencia.

Solucion

Sea el vector ~a. Se define como rotacional de ~a al vector que verifica el Teoremade Stokes

�

�

�

��

∫

S

(~∇× ~a) ~ds =

∮

C

~a.~dr

siendo S el area encerrada por la curva cerrada C.Para el vector

~a = (x− 2y)~i + y2z3~j + y3z2~k

su rotacional es:

~∇× ~a = 2~k

En esfericas

• Sobre la superficie esferica

r = 1, 0 < ϕ < 2π, 0 < θ <π

2

28 Capıtulo 1

El elemento de superficie es a r = cte = 1. Por tanto

~dSr = r2 sin θdθdϕ~jr = sin θdθdϕ~jr

Mientras que~∇× ~a = 2(cos θ~jr − sin θ~jθ)

Por lo tanto

∫

S

(~∇× ~a) ~ds =

∫ π2

θ=0

∫ 2π

ϕ=0

2 cos θ sin θdθdϕ =

(−cos (2θ)

2

)π2

θ=0

(ϕ)2πϕ=0 = 2π

• Sobre la circunferencia

r = 1, , 0 < ϕ < 2π, θ =pi

2

x = cosϕ, y = sin ϕ, z = 0

~i = cos ϕ~jr − sin ϕ~jϕ, ~j = sin ϕ~jr + cos ϕ~jϕ, ~k = −~jtheta

En consecuencia~dr = dr~jr + r sin θdϕ~jϕ + rdθ~jθ = dϕ~jϕ

mientras que~a = (cos ϕ− 2 sin ϕ)(cos ϕ~jr − sin ϕ~jϕ)

Por lo tanto ∫~a. ~dr =

∫ 2π

ϕ=0

(cos ϕ− 2 sin ϕ)(− sin ϕdϕ

∫~a. ~dr =

∫ 2π

ϕ=0

(−sin 2ϕ

2+ 1− cos ϕ

)dϕ = 2π

En polares

En estas coordenadas el vector ~a se escribe

~a = (x− 2y)~i + y2z3~j + y3z2~k =

= (ρ cos2 ϕ− 2ρ sen ϕ cos ϕ + ρ2z3 sen3 ϕ)~jρ

+ (2ρ sen2 ϕ− ρ cos ϕ sen ϕ + ρ2z3 sen2 ϕ cos ϕ)~jϕ

+ ρ3 sen3 ϕz2~k

Calculemos en primer lugar la integral de superficie.

∫

S

(~∇× ~a) ~ds =

∫

S

(~∇× ~a)z~dsz = 2

∫ 2π

0

∫ 1

0

ρdρdϕ = 2π


donde hemos utilizado

(~∇× ~a)z =

(∂ay

∂x− ∂ax

∂y

)= 2.

Calculemos ahora la integral de linea.

∮~a. ~dr =

∫aϕρdϕ

=

∫ 2π

0

(2ρ sen2 ϕ− ρ cos ϕ sen ϕ + ρ2z3 sen2 ϕ cos ϕ) ρdϕ

La integral se lleva a cabo en la linea dada por las ecuaciones z = 0 y ρ = 1 y portanto ∮

~a. ~dr =

∫ 2π

0

(2 sen2 ϕ− cos ϕ sen ϕ)dϕ = 2π

30 Capıtulo 1

8) Demostrar que para un vector ~A, se satisface que ∇ · (∇× ~A) = 0. Demostrartambien que para un escalar φ se cumple que ∇× (∇φ) = 0.

Solucion

Por simplicidad elegimos coordenadas cartesianas.

~∇.(~∇× ~A) =∂

∂x

(∂Az

∂y− ∂Ay

∂z

)+

∂

∂y

(∂Ax

∂z− ∂Az

∂x

)

+∂

∂z

(∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y

)= 0

~∇× ( ~∇φ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k

∂∂x

∂∂y

∂∂z

∂φ∂x

∂φ∂y

∂φ∂z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0


9)Escribir en polares la ecuacion de una elipse centrada en un foco

Solucion

�

�

��

��

��

��

��

��

La ecuacion de la elipse en cartesianas es

(x− c)2

a2+

y2

b2= 1

dondec2 = a2 − b2

o bienc = aε

con

ε =

√1− b2

a2

En tal caso se verifican las sigientes relaciones

r1 = a− c = a(1− ε)

r2 = a + c = a(1 + ε)

a =r2 + r1

2

b2 = r1r2

c =r2 − r1

2

32 Capıtulo 1

Pasando la ecuacion de la elipse a polares

b2(ρ cos ϕ− c)2 + a2ρ2(1− cos2 ϕ) = a2b2

ρ2 cos2 ϕ(b2 − a2)− 2b2cρ cos ϕ + b2c2 − b2a2 + a2ρ2 = 0

c2ρ2 cos2 ϕ + 2b2cρ cos ϕ + b4 − a2ρ2 = 0

Es una ecuacion de segundo grado cuya solucion es:

ρ cos ϕ =±aρ− b2

c

Si tomamos el sino + (el signo − corresponderıa al otro foco)

ρ(a

c− cos ϕ) =

b2

c

o bien escribiendolo en terminos de r1 y r2

ρ =r2(1− ε)

1− ε cos ϕ

Para ϕ = 0, r = r2, perihelioPara ϕ = π, r = r1, afelio

Bibliografıa

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[3] Halpern A., 3000 solved problems in physics, Schaum’s solved problem series,Mc. Graw Hill, (1988)

[4] Holton G., Introduccion a los conceptos y teorıas de las ciencias fısicas, Re-verte (Barcelona), (1964)

[5] Kible T.W.B., Mecanica Clasica, URMO, Bilbao, (1974)

[6] Landau L.D. & Lifshitz E.M., Mecanica, Reverte, (Barcelona), (1978)

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[8] Fernandez Ranada A., Dinamica Clasica, Alianza editorial, Madrid, (1990)

[9] Fernandez Ranada A., Fısica Basica, Alianza editorial, Madrid, (1990)

[10] Resnick R., Introduccion a la Teorıa Especial de la Relatividad , LIMUSA,Mexico, (1977)

[11] Resnick R. & and Halliday D., Fısica, Companıa editorial continental S.A.(Mejico) (1973)

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