Mec´anica I Tema 4 Ecuaciones Generales de la Din´amica · PDF fileL´ımites...

Mecanica I

Tema 4

Ecuaciones Generales de la Dinamica

Manuel Ruiz Delgado

29 de octubre de 2010

Principios y modelos 3

Leyes de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Comentarios a las leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Sistemas inerciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Limitaciones de las Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Ecuaciones de Newton-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Postulados rigurosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Consecuencias de los postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Lımites de la mecanica clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Sistemas a considerar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Conceptos auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Ecuaciones generales 17

Ecuacion de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Ecuacion del momento cinetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Momento cinetico en punto movil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Momento cinetico absoluto en punto movil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Momento cinetico relativo en punto movil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Ecuacion de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Integral de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Ecuacion de la energıa respecto al centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Ecuaciones generales de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Principio de corte de Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Trabajo y Potencial 33

Trabajo elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Trabajo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Calculo del trabajo: Caso F(r, r, t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Calculo del trabajo: Caso F(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Calculo del trabajo: fuerzas conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Propiedades del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Calculo del potencial: EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Calculo del potencial: integracion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Potenciales simples: peso-centrifuga-muelle-gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Potencial de un par de fuerzas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1

Energıa potencial - Potencial de un campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Trabajo de un par de fuerzas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Trabajo sobre un solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Potenciales no estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Ejemplo: potencial de un solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2

Principios y modelos

Ecuaciones generales

Trabajo y Potencial

Manuel Ruiz - Mecanica I 2 / 64

Principios y modelos 3 / 64

Principios y modelos

Leyes de NewtonComentarios a las leyes de NewtonSistemas inercialesLimitaciones de las Leyes de NewtonEcuaciones de Newton-EulerPostulados rigurososConsecuencias de los postuladosPrincipio de HamiltonLımites de la mecanica clasicaSistemas a considerarConceptos auxiliares


3

Leyes de Newton

Las tres leyes de Newton son los principios de la Mecanica Clasica:a

1. Inercia: Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilıneo a noser en tanto que sea obligado por fuerzas impresas a cambiar su estado.

F = 0 ⇒ m r = 0

2. El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre segun la lınea recta

a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.

F = m r =d

dt(m r)

3. Accion-reaccion: Con toda accion ocurre siempre una reaccion igual y contraria. O sea, las

acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en direcciones opuestas.

Fij = −Fji


a

Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1647

Comentarios a las leyes de Newton

La constante de la segunda ley (masa inerte) es proporcional a la de la ley de la gravitacion(masa gravitatoria). No se ha detectado ninguna desviacion en la relacion. Escogiendo lasunidades adecuadamente, se pueden considerar como la misma magnitud (principio deequivalencia de Einstein).

La primera ley ya fue enunciada por Galileo. Es el comienzo de la ciencia moderna. Aristotelespensaba que el movimiento necesita una accion continua que lo mantenga, lo que daba lugar aideas bizarras y erroneas (torbellinos de aire propulsores).

En la tercera ley se pueden distinguir dos grados o formulaciones:

• debil: igual direccion y sentido contrario, Fij = −Fji

• fuerte: ademas, son colineales, Fij = −Fji = λ rij

bbi j

bbi j

La 3a ley no se cumple en efectos relativistas (fuerzas de Lorentz)


4

Sistemas inerciales

Las leyes de Newton tienen su forma mas sencilla en el espacio absoluto, que no es facilmenteobservable; el consideraba que se podrıa encontrar “en la region de las estrellas fijas”.

Mas tarde (Lange, 1816) se introduce el concepto de sistema inercial, como sistema dereferencia en el que se cumplen las leyes de Newton.

Conocido un sistema inercial, cualquier otro sistema que se mueva con velocidad rectilınea yuniforme, sin girar —transformacion de Galileo— es tambien inercial o galileano. Esto constituyeel principio de relatividad de Galileo, y se deduce directamente de la segunda ley.

En la teorıa especial de la Relatividad de Einstein tambien se postula un sistema de referenciainercial global, pero ahora la transformacion no es la de Galileo sino la de Lorentz.

Finalmente, en la teorıa general de la Relatividad no hay sistemas inerciales globales.


Limitaciones de las Leyes de Newton

Los conceptos de masa y fuerza no estan claros: las definiciones pecan de circulares. Inclusocuando se define una fuerza por la deformacion estatica (dinamometros). Lo que sı es unamagnitud perfectamente clara y medible es la aceleracion.

En la mecanica clasica, las fuerzas pueden depender de la posicion de las partıculas, de suvelocidad, y del tiempo, pero no de las aceleraciones: F(ri, ri, t) (¡lo que observamos sonaceleraciones!)

Por tanto, la segunda ley se puede expresar diciendo que las aceleraciones se pueden expresarmediante una relacion funcional sencilla de las posiciones, velocidades, y del tiempo.

La segunda ley se aplica tambien a sistemas de masa variable. Hay que usar entonces la formaddt(mv), que da lugar al empuje: −mv.

Newton habla solo de cuerpos, sin aclarar mucho, lo que corresponde a la partıcula material. Parapoder tratar solidos o medios continuos hay que hacer hipotesis adicionales, como las de Euler.


5

Ecuaciones de Newton-Euler

Para poder tratar solidos con las ecuaciones de Newton, hacen falta hipotesis adicionales:

Un metodo es suponer que las fuerzas internas entre las partıculas de un solido siguen la terceraley de Newton en su formulacion fuerte.

Otro camino, seguido por Euler, es postular la ecuacion del momento cinetico como principioindependiente.

Por tanto, Euler formula dos principios basicos para la dinamica de cualquier sistema:

1. Cantidad de movimiento: F = ddt (mvG)

2. Momento de la cantidad de movimiento: MG = ddt (HG)

Tambien fue Euler el primero en escribir la segunda ley en la forma hoy conocida, F = m rG


Postulados rigurosos

Para superar las limitaciones de las leyes de Newton, se han buscado principios mas rigurosos; porejemplo:

1. A cada partıcula material se le asigna un escalar positivo, que llamamos masa.

2. En ciertos sistemas inerciales aislados, el sistema de vectores

ΣF = Σmi ri

que llamamos fuerzas, es nulo. Esto supone que se anula la resultante ΣF y el momento encualquier punto MO.

3. Las fuerzas tienen expresiones funcionales simples:

Fi = Fi(rj , rj , t) (≡ 2o Ley de Newton)

Fi =∑

j

Fij

Fij decrecen con la distancia → sistema aislado


6

Consecuencias de los postulados

Masas: dependen de las unidades → masa patron.

Ax1y1z1 InercialBx0y0z0 Inercial

⇔ ω01 = 0 ; rB01 = 0

Partıcula aislada: r = 0 ⇒ r = ~Cte (≡ 1a ley de Newton)

Dos partıculas aisladas: Fij + Fji = 0 (≡ 3a ley de Newton)

Definir que partıculas forman parte del sistema:

• Fuerzas interiores: ejercidas sobre una partıcula del sistema por otra tambien del sistema

• Fuerzas exteriores: ejercidas por partıculas que no son parte del sistema

b

b

b

i

j

kTodasinteriores

b

b

b

i

j

k

ij interiores

ik, jk exteriores


Principio de Hamilton

t

xn

x2

x3

x1

b bt1 t2

La mecanica clasica puede basarse en un solo principio variacional.

Sistema material de coordenadas x1, . . . , xn. El movimiento xi(t) es una curva entre dos puntosdel espacio [x1, . . . , xn, t].

El sistema se mueve de modo que el funcional accion tenga un valor estacionario:

δI = δ

∫ t2

t1

L(xi, xi, t) dt = 0

donde L = T − V (mec. clasica)

Las funciones xi(t) que hacen δI = 0 son las que cumplen las ecuaciones de Euler del calculo devariaciones:

d

dt

∂L

∂xi−∂L

∂xi= 0 , i = 1 . . . n

que en mecanica se llaman ecuaciones de Lagrange.


7

Principio de Hamilton

Ventajas:

Unico, simple, elegante.

Da directamente un numero mınimo de ecuaciones (= GDL)

Mas generalidad: relativista, cuantica, medios continuos.

Inconvenientes

Base matematica no se explica en primeros cursos.

Forma mas sencilla no valida para:

• Fuerzas no potenciales

• Sistemas no holonomos (ej.: rodadura sin deslizamiento)

aunque puede extenderse, pero ya no es unico y simple.

No permite tratar el rozamiento (importante en ingenierıa).

No aparecen las fuerzas de ligadura (puede ser una ventaja, pero es un inconveniente eningenierıa).

Matematico. La fısica esta en la Lagrangiana L , distinta en Mecanica clasica, relativista, etc.:incompleto


Lımites de la mecanica clasica

Teorıa especial de la relatividad: La velocidad de la luz es igual en todos los sistemas inerciales:

transformacion de Lorentz:[

1− v2

c2

]1/2, espacio-tiempo de Minkowski. Apreciable en grandes

distancias y cuando v → c

Teorıa general de la relatividad: Espacio de Riemann (espacio-tiempo-masa) que incorpora la masaen la matriz metrica: la gravedad curva el espacio. No hay sistemas inerciales globales. Valido enla proximidad de grandes masas. Despreciable cuando r r∗ ' KGm/c2 (K ' 105, espacioplano)

Sol: GM/c2 = 1,47 km; Mercurio: rmer

GM/c2 = 260684; r⊕GM/c2 ' 108

Mecanica Cuantica: A nivel de partıculas (atomos, moleculas), los intercambios de energıa estancuantificados: ~ν. Despreciable para un numero grande de partıculas, cuando el momentocinetico sea grande frente a la constante de Plank: H ~

La mecanica clasica es el lımite exacto de estas teorıas cuando la relacion de parametroscaracterısticos tiende a cero: v

c = r∗

r = ~

H → 0.


8

Lımites de la mecanica clasica

rc/(Gm/c2

)

H/

TER

Mec. Cuantica

TGR

10,1

v/c

0 105 108

10

10 80

Tierra

Mercurio

Vehıculosterrestres

Aeronaves

Astronaves

Mercurio

Tierra

Vehıculos

Agujeronegro

Espacio plano


Sistemas a considerar

Partıcula: 3 Grados De Libertad

• 2a Ley de Newton: F = mr 3 ECs ↔ 3 GDL

Sistema de N partıculas: 3N GDL

• 2a Ley de Newton: Fi = miri 3N ECs ↔ 3N GDL

• O bien combinaciones de las 3N ecuaciones:

Cantidad de movimiento:∑

Fi =∑miri 3 Ec

Momento cinetico:∑

ri ∧ Fi =∑

ri ∧miri 3 Ec

Energıa:∑

ri · Fi =∑

ri ·miri 1 Ec

Si no son suficientes, se divide el sistema (principio de corte).

Solido: 6 GDL

• Cantidad de movimiento:∑

F = m rG 3 Ec

• Momento cinetico: MG = HG 3 Ec


9

Conceptos auxiliares

F = m ·r

Trabajo

Potencial

Ligaduras

Centro de masas

Tensor de inercia

Cantidad de movimiento

Momento cinetico

Energıa cinetica

S

i

αM =N∑

i=1

αi mi

Modelo desolido comoN masasdistribuidas

Ω

δm = ρ dxdydz

αM =∫

Ω

α(r) δm

Modelo desolido comocontinuo

Los dos modelos son equivalentes para N →∞, mi → 0

Tratamos el solido como N partıculas: evitamos el teorema del transporte para derivarla integral.


Ecuaciones generales 17 / 64

Ecuaciones generales

Ecuacion de la cantidad de movimientoEcuacion del momento cineticoMomento cinetico en punto movilMomento cinetico absoluto en punto movilMomento cinetico relativo en punto movilEcuacion de la energıaIntegral de la energıaEcuacion de la energıa respecto al centro de masas7 Ecuaciones generales de los sistemasPrincipio de corte de Euler-Cauchy


10

Ecuacion de la cantidad de movimiento

b

b

b

i

j

k

FEi

FIij

FIji En un sistema de N partıculas, el movimiento esta determinado por las

3N ecuaciones de cantidad de movimiento (CM) de las partıculas:

FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij = mi ri i = 1 . . . N

Suele ser util obtener combinaciones lineales de estas ecuaciones. Por ejemplo, sumar para todo elsistema:

N∑

i=1

(

FEi +

3a ley (debil)

N∑

j=1

j 6=i

FIij

)

= RE

N∑

i=1mi ri =

d2

dt2

N∑

i=1mi ri =

d2

dt2M rG =M rG

d

dt(M rG) = RE

Este es el teorema de la cantidad de movimiento, o la ecuacion de la cantidad de movimiento delsistema, M vG; a veces se llama momento lineal, p =M vG.



El sistema se mueve como si toda la masa estuviera en el centro de masas, sometida a laresultante de las fuerzas exteriores.

Las fuerzas interiores no influyen directamente en el movimiento del centro de masas (uno nopuede levantarse tirandose de las orejas).

• ¿Como se mueve una nave en el espacio?

• Si en el sistema rifle-bala se conserva la cantidad de movimiento, ¿por que la bala mata y elrifle no?

• Nube de basura espacial tras la explosion de un satelite.

Pueden influir indirectamente: cambiando la disposicion de las partes del sistema puedencambiar las fuerzas exteriores (mover los alerones → modificar la sustentacion).


11


Se obtiene directamente una integral primera [ f(rj , rj , t) = Cte ] si se anula la resultante exterior enuna direccion fija:

RE · u = 0 =d

dt(M rG) · u

u=0−−−→

d

dt(M rG · u) = 0 ⇒ rG · u = Cte

Si la direccion no es fija, u 6= 0, no hay integral primera por este motivo.

Ejemplo: tiro libre en el vacıo.

m

xyz

=

00−mg

⇒

⇒

F · i = 0 ⇒ x = CteF · j = 0 ⇒ y = CteF · k 6= 0 ⇒ E.D.O. para z

bvx

bvx

bvx

g


Ecuacion del momento cinetico

O

rj

ri

b

b

j

i

FEi

FIij

FIji

Partiendo de las ecuaciones de cantidad de movimiento de cada partıcula,

FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij = mi ri i = 1 . . . N

se toman momentos en un punto fijo O y se suma para todo el sistema.

El momento de las fuerzas interiores se anula dos a dos, si se cumple la tercera ley de Newton ensu formulacion fuerte:

ri ∧ FIij + rj ∧ FI

ji =3a ley fuerte

(rj +rji

)∧ FI

ij + rj ∧ FIji = rj ∧

3a ley debil(

FIij + FI

ji

)= 0

Solo queda el momento resultante de las fuerzas exteriores:

N∑

i=1

ri ∧ FEi = ME

O


12


O

rj

ri

b

b

j

i

FEi

FIij

FIji El momento cinetico de una partıcula Mi en O es:

HMiO = ri ∧mi v

Mi

Como O es un punto fijo, vMi = ri , y al derivar,

d

dtH

MiO =

ri ∧mi ri + ri ∧mi ri

Sumado tenemos la derivada del momento cinetico (MC) del sistema en O:

N∑

i=1

ri ∧mi ri =d

dt

N∑

i=1

ri ∧mi ri = HO

Finalmente tenemos la ecuacion del momento cinetico en un punto fijo O (o teorema del momentocinetico, MC o momento angular):

d

dtHO = ME

O



El momento cinetico del sistema solo puede variar con momentos exteriores

• Conservacion del momento cinetico en el sistema solar

• Maniobras de satelites: cohetes/ruedas de maniobra

• Saltos de trampolın

Si no hay momento en una direccion fija, se obtiene una integral primera:

MEO · u = 0 =

(d

dtHO

)

· uu=0−−−→

d

dt(HO · u) = 0 ⇒ HO · u = Cte

• Momento cinetico constante y velocidad variable, distribuyendo la masa: patinador.

• Separacion del sistema Tierra-Luna al disipar energıa por las mareas.

Ecuacion poco intuitiva: giroscopo.


13

Momento cinetico en punto movil

riO1

r′i

O

S0

b i

FEi

FIij

S2

A veces es util tomar momentos en un punto O movil:

N∑

i=1

r′i ∧ FEi = ME

O =N∑

i=1

r′i ∧mi ri

La parte derecha es mas complicada: ahora r′i 6= ri y el momento cineti-co tiene dos formas:

Momento en O de las cantidades de movimiento absolutas:

H21O =

N∑

i=1

r′i ∧mi rMi21

Momento en O de las cantidades de movimiento relativas:

H20O =

N∑

i=1

r′i ∧mi rMi20

S2 es el sistema de puntos; S0 son paralelos a los fijos con origen en O.


Momento cinetico absoluto en punto movil

ri

rO

O1

r′i

O

S0

b i

FEi

FIij

S2

Buscamos una relacion

MEO =

N∑

i=1

r′i ∧mi rMi21 ←→ H21

O

Por campo de momentos, MEO1

= MEO + rO ∧RE

Partimos de la ecuacion del MC en el punto fijo O1, y sustituimos ri = r′i + rO :

H21O1

=d

dt

∑[(r′i + rO

)∧mi ri

]=

=d

dt

∑

r′i ∧mi ri︸︷︷︸

H21

O

+ rO ∧∑

mi ri︸︷︷︸

vO01∧M vG

21

+ rO ∧∑

mi ri︸︷︷︸

rO∧RE

como MEO1

= H21O1

→ MEO = H21

O + vO01 ∧M vG

21

Por ser O movil, aparece un termino corrector.


14

Momento cinetico relativo en punto movil

ri

rO

O1

r′i

O

S0

b i

FEi

FIij

S2

En la ecuacion del MC absoluto en punto movil,

MEO = H21

O + vO01 ∧M vG

21

aplicamos composicion de movimientos

H21O = H20

O + H01O

La derivada del momento cinetico de arrastre vale:

H01O =

d

dt

∑

r′i ∧mi vO01 =

∑

mi vMi20 ∧ vO

01 +∑

mi r′i ∧ vO

01 =

=∑

mi

(

vMi20 + vO

01

)

∧ vO01 +MOG ∧ vO

01 =M vG21 ∧ vO

01 +MOG ∧ vO01

Sustituyendo, tenemos la ecuacion del MC relativo en punto movil; tambien aparece un terminocorrector, pero distinto:

MEO = H20

O +MOG ∧ vO01


Ecuacion de la energıa

drj

dri

b

b

j

i

FEi

FIij

FIji

Otra manera de obtener combinaciones de las ecuaciones de CM es dar un des-plazamiento a cada partıcula y multiplicar escalarmente:

N∑

i=1

dri ·

[

FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij = mi ri

]

Por definicion, el termino de la izquierda es el trabajo elemental de las fuerzas:

N∑

i=1

dri ·

[

FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij

]

= δWE + δW I

El de la derecha se puede relacionar con la energıa cinetica:

midvi

dt· dri = mi dvi

dridt

= mi dvi vi =1

2mi d

(v2i

)= dTi

Se obtiene la Ecuacion de la energıa: δWE + δW I = dT


15

Integral de la energıa

Se ha obtenido la ecuacion de la energıa en forma diferencial:

δWE + δW I = dT

Se puede expresar como derivada (potencia) o como integral (trabajo finito):

WE + W I = T

∫ 2

1δWE +

∫ 2

1δW I = T2 − T1

En general, δW no es una diferencial exacta. Lo es si las fuerzas derivan de un potencial. Entonces, laecuacion de la energıa se integra directamente para obtener la integral de la energıa:

δW = −dV = dT ⇒ T + V E + V I = E

donde la constante E es la energıa mecanica del sistema.

De las ecuaciones globales (CM, MC, EN), solo la de la energıa recoge el efecto de las fuerzasinteriores.


Ecuacion de la energıa respecto al centro de masas

O1

G

S0

S2

i

Tenemos la ecuacion de la energıa en ejes inerciales:

δWE21 + δW I

21 = dT21

Podemos plantearla respecto a unos ejes S0 paralelos a los fijos (ω01 = 0) conorigen en el centro de masas del sistema G:

N∑

i=1

drMi20 ·

(FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij

)=

N∑

i=1

mi vMi21 · dr

Mi20

Por definicion,∑N

i=1 drMi20 ·

(FEi +

∑Nj=1

j 6=iFIij

)= δWE

20 + δW I20

Por composicion de aceleraciones, vMi21 = v

Mi20 + v

Mi01 + 2ω01 ∧ v

Mi20

Podemos sustituir en el termino de la derecha y aplicar dadt db = dadb

dt :

N∑

i=1

mi

(

vMi20 + v

Mi01

)

· drMi20 =

N∑

i=1

mi

(

dvMi20 + dvMi

01

)

· vMi20


16

Ecuacion de la energıa respecto al centro de masas

O1

G

S0

S2

i

δWE20 + δW I

20 =

N∑

i=1

mi

(

dvMi20 + dvMi

01

)

· vMi20

El movimiento de arrastre es una traslacion: vMi01 = vG

01:

N∑

i=1

mi dvMi01 · v

Mi20 = dvG

01 ·

N∑

i=1

mi vMi20 = dvG

01 ·M

G≡G

vG20 = 0

Solo queda

N∑

i=1

mi dvMi20 · v

Mi20 =

N∑

i=1

1

2mi d

(

vMi20

)2= dT20

Podemos ya plantear la ecuacion de la energıa respecto al centro de masas:

δWE20 + δW I

20 = dT20

Respecto al centro de masas: respecto a unos ejes paralelos a los fijos con origen en el centro demasas del sistema.


7 Ecuaciones generales de los sistemas

Hemos visto siete ecuaciones globales de los sistemas:

CM RE =M rG 3

MCa MEO1= H21

O1

3MCb MEO = H21

O + vO01 ∧M vG

21

MCc MEO = H20

O +MOG ∧ vO01

ENa δWE21 + δW I

21 = dT21 1ENb δWE

20 + δW I20 = dT20

Las tres formas de MC y dos de EN no son independientes:

MCb = f (CM,MCa)

MCc = f (CM,MCa)ENb = f (CM,ENa)

Toda la informacion esta en las 3N ecuaciones de las partıculas.

Las 7 globales pueden ser mas sencillas o convenientes.

Si no son suficientes, se divide el sistema


17

Principio de corte de Euler-Cauchy

Considerando el sistema completo, las fuerzas inter-nas no aparecen en las ecuaciones de CM ni MC:

Fij = −Fji

al sumar para todo el sistema se anula la resultante(3a ley debil) y el momento resultante (3a leyfuerte).

Si se necesitan mas de las 7 ecuaciones generales,se puede dividir el sistema en partes, pero entonceslas fuerzas internas entre partıculas de ambas partesdeben contarse como exteriores.

ij

k

ij

k


Trabajo y Potencial 33 / 64

Trabajo y Potencial

Trabajo elementalTrabajo finitoCalculo del trabajo: Caso F(r, r, t)Calculo del trabajo: Caso F(r)Calculo del trabajo: fuerzas conservativasPropiedades del potencialCalculo del potencial: EDPCalculo del potencial: integracionPotenciales simples: peso-centrifuga-muelle-gravedadPotencial de un par de fuerzasEnergıa potencial - Potencial de un campoTrabajo de un par de fuerzasTrabajo sobre un solidoPotenciales no estacionariosEjemplo: potencial de un solido


18

Trabajo elemental

b

dr

F

α

M

b

dr

F

α

M

Una partıcula M esta sometida a una fuerza F. Se le da a la partıcula un desplaza-miento diferencial dr. Se llama trabajo elemental al producto escalar de la fuerzapor el desplazamiento:

δW = F · dr = |F| · |dr| cosα

El trabajo elemental es positivo (motor), nulo (⊥) o negativo (resistente) segun elangulo de la fuerza con el vector desplazamiento (S π/2)

El trabajo es aditivo respecto a la fuerza y respecto al desplazamiento:

δW =∑

δW i = (F1 + · · ·+ Fn) · dr

δW =∑

δW i = F · (dr1 + · · ·+ drn)

por ser distributivo el producto escalar respecto a la suma de vectores.Se usa δ porque, en general, δW no es la diferencial de una funcion.


Trabajo finito

O

r1

r2

b

b

MC

F

Una partıcula M se mueve a lo largo de la trayectoria C desde el puntor1 al r2 sometida a la fuerza F.Se llama trabajo de la fuerza F en ese desplazamiento a la integral delınea

W12 =

∮ r2

r1

F · dr =

∮ r2

r1

(Fxdx+ Fydy + Fzdz)

calculada a lo largo de la curva C.

Para calcular el trabajo, hay que conocer F y dr como funciones del mismo parametro:

∮ r2

r1

F · dr =

∮ r2(u)

r1(u)F(u) · r′(u)du =

∫ u2

u1

f(u) du

En general, esto solo se conoce una vez resuelto el problema, por lo que esta ecuacion no es muy utilal principio.


19

Calculo del trabajo: Caso F(r, r, t)

En el caso mas general, la fuerza depende de la posicion, la velocidad y el tiempo: F(r, r, t) .Para calcular el trabajo necesitamos conocerlos los tres en funcion del mismo parametro.

Lo normal es que el parametro sea el tiempo: necesitamos las ecuaciones horarias r = r(t) ; esdecir, solo podemos calcular el trabajo cuando el problema esta completamente resuelto.

Conocidas las ecuaciones horarias se calcula el trabajo:

∮ r2(t)

r1(t)F [r(t), r(t), t] · r(t)dt =

∫ t2

t1

f(t) dt =W (t1, t2)

Obviamente, en el caso general esta ecuacion no es muy util para resolver el problema directo,porque para calcularla hay que tenerlo ya resuelto.


Calculo del trabajo: Caso F(r)

Si la fuerza depende solo de la posicion, F(r) , solo necesitamos conocer la trayectoria C sinreferencia al tiempo.

Lo mas comodo es conocer las ecuaciones parametricas de la trayectoria, r(u). No es necesarioque el parametro sea el tiempo ni el parametro natural longitud de arco.

Conocidas las ecuaciones parametricas se calcula el trabajo:

∮ r2(u)

r1(u)F(u) · r′(u)du =

∫ u2

u1

f(u) du

Esta ecuacion es algo mas util que la anterior: la velocidad con que se recorra, o el momento enque se pase por cada punto no influyen en el trabajo. Hay movimientos en que es facil calcular latrayectoria pero no las ecuaciones horarias (orbitas keplerianas, por ejemplo).


20

Calculo del trabajo: fuerzas conservativas

El trabajo elemental es la diferencial exacta de una funcion si la fuerza es conservativa, es decir:

La fuerza es el gradiente de una funcion escalar de la posicion:

F (r) = −∇V (r) = −

[∂V

∂x,∂V

∂y,∂V

∂z

]

Se dicen entonces que la fuerza deriva de un potencial V (r).

El trabajo depende de los puntos inicial y final, pero no del camino recorrido:

W 12 =W 12 (r1, r2) = −V (r2) + V (r1)

El campo de fuerzas es irrotacional:

∇∧ F =

∣∣∣∣∣∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

Fx Fy Fz

∣∣∣∣∣∣

= 0


Calculo del trabajo: fuerzas conservativas

Las tres condiciones son equivalentes (⇔):

F (r) = −∇V (r) ⇒ δW = −

∫ r2

r1

[∂V

∂x,∂V

∂y,∂V

∂z

]

· dr =

= −

∫ r2

r1

(∂V

∂xdx+

∂V

∂ydy +

∂V

∂zdz

)

= −

∫ r2

r1

dV = V (r1)− V (r2)

O bien

∇∧ F =

∣∣∣∣∣∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

Fx Fy Fz

∣∣∣∣∣∣

=

∂Fz∂y −

∂Fy

∂z

∂Fx∂z −

∂Fz∂x

∂Fy

∂x −∂Fx∂y

= −

∂2V∂z∂y −

∂2V∂y∂z

∂2V∂x∂z −

∂2V∂z∂x

∂2V∂y∂x −

∂2V∂x∂y

= 0

que resulta ser la igualdad de derivadas cruzadas; y ası hasta las seis demostraciones. . .


21

Propiedades del potencial

El trabajo de una fuerza conservativa en una curva cerrada es nulo:

W 11 = V (r1)− V (r1) = 0

La funcion potencial esta definida ± una constante arbitraria:

V = V (x, y, z) + Cte.

que no influye para nada porque se usa la derivada o el incremento:

F = −∇V W 12 = V (r1)− V (r2) +C − C

A veces se usa la funcion de fuerzas, que es la misma funcion potencial con el signo cambiado:

F = −∇V = +∇U

Se usa en mecanica orbital y geofısica, mientras que el potencial se usa en mecanica general.


Propiedades del potencial

C1

C2

C3

∇V

dr

La funcion potencial esta definida mas/menos una constante arbitraria:

V = V (r)± Cte.

Dando valores a la constante, se tiene una familia de superficies

fi ≡ V (r) = Ci i = 1, · · · , n

en las que la funcion potencial es constante: las superficies equipoten-ciales.

La fuerza es normal a la superficie equipotencial que pasa por ese punto:

F = −∇V ‖ n

Al moverse por la superficie equipotencial, el trabajo es nulo:

dW =⊥

F · dr = 0


22

Calculo del potencial: EDP

Dos caminos:

Sistema de Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales (EDP).

Integrar el trabajo entre un punto fijo arbitrario y otro generico.

El primer metodo puede ser el mas sencillo si se aprovechan las simetrıas de la fuerza:

Cartesianas: F(x, y, z) = −∇V (x, y, z) =

[∂V

∂x,∂V

∂y,∂V

∂z

]

Cilındricas: F(r, θ, z) = −∇V (r, θ, z) =

[∂V

∂r,1

r

∂V

∂θ,∂V

∂z

]

Esfericas: F(r, θ, φ) = −∇V (r, θ, φ) =

[∂V

∂r,

1

r cosφ

∂V

∂y,1

r

∂V

∂φ

]

Hay que tener cuidado con la definicion de las esfericas: latitud desde el ecuador φ o colatitud desde elpolo ϕ = π

2 − φ.


Calculo del potencial: integracion

Para fuerzas conservativas, el trabajo solo depende del punto inicial y final, no del camino. Se puedecalcular el potencial integrando el trabajo de la fuerza entre un punto fijo r0 y otro generico r :

x

y

z

b

b

r0

r

W (r0, r) = V (r0)− V (r) ⇒

⇒ V (x, y, z) = −W (r0, r) + V (r0)

Como es independiente del camino, se busca el mas sencillo:

W (r0, r) =

∫ x,y,z

x0,y0,z0

F · dr =

=

∫ x,y0,z0

x0,y0,z0

Fx(ξ, y0, z0) dξ +

∫ x,y,z0

x,y0,z0

Fy(x, η, z0) dη +

∫ x,y,z

x,y,z0

Fz(x, y, ζ) dζ =

= −V (r) + V (r0) = −V (x, y, z) + C


23

Potenciales simples: peso

x

y

z

bM

mg

O

Cerca de la superficie, la gravedad se puede considerar constante y ver-tical descendente:

F = −mg k = −∇V (r)

Es trivial calcular el rotacional ∇∧F y comprobar que es nulo, o ver quelas derivadas cruzadas son todas nulas.

El sistema de EDP en cartesianas es trivial:

−∂V

∂x= 0

−∂V

∂y= 0

−∂V

∂z= −mg

⇒ V = V (z) = mg z + C


Potenciales simples: fuerza centrıfuga

x

y

z

bM

ω

Fc

O

Suponemos un sistema de referencia que gira alrededor del eje Oz convelocidad angular ω. La fuerza centrıfuga tiene la forma:

Fc = mω2 (x i+ y j) = −∇V (r)

Por derivadas cruzadas, se ve que es potencial: ∂Fx∂y =

∂Fy

∂z

El sistema de EDP en cartesianas es bastante simple:

−∂V

∂x= mω2 x

−∂V

∂y= mω2 y

−∂V

∂z= 0

⇒ V = f1(x) + f2(y) =

= −1

2mω2

(x2 + y2

)+ C


24

Potenciales simples: fuerza centrıfuga

x

y

z

bM

ω

Fc

θ

r

O

La fuerza centrıfuga es mucho mas simple si se aprovecha la simetrıaaxial: se toman coordenadas cilındricas de eje el de revolucion:

Fc = mω2 rur = −∇V (r, θ, z)

El sistema de EDP en cilındricas es trivial:

−∂V

∂r= mω2 r

−1

r

∂V

∂θ= 0

−∂V

∂z= 0

⇒ V = V (r) = −1

2mω2 r2 +C


Potenciales simples: muelle

x

y

z

b

b

M

F

O

Se tiene un muelle ideal de longitud nula, con un extremo fijo en elorigen:

F = −kOM = −k (x, y, z) = −∇V (x, y, z)

Es obvio que la fuerza es potencial, porque todas las derivadas cruzadasson nulas.

Como la fuerza es lineal, el sistema de EDP en cartesianas es relativamente sencillo:

−∂V

∂x= −k x

−∂V

∂y= −k y

−∂V

∂z= −k z

⇒

V = f1(x) + f2(y) + f3(z) =

=1

2k(x2 + y2 + z2

)+C =

=1

2kOM2 +C


25

Potenciales simples: muelle

x

y

z

b

b

θ

φ

M

F

O

La fuerza de un muelle con un extremo fijo en el origen tiene simetrıacentral, por lo que lo mas simple es tomar coordenadas esfericas:

F = −kOM = −k rur = −∇V (r, θ, φ)

El sistema de EDP en esfericas es trivial:

−∂V

∂r= −k r

−1

r cosφ

∂V

∂θ= 0

−1

r

∂V

∂φ= 0

⇒ V = f(r) =1

2k r2 + C


Potenciales simples: gravitacion

x

y

z

b

b

m2

F

m1

Lejos de la superficie de la tierra, hay que usar la expresion general dela gravitacion. Tomando origen en una de las masas, m1, la fuerza queactua sobre la otra es:

F = −Gm1m2

(x2 + y2 + z2)3/2

xyz

= −∇V (x, y, z)

La fuerza es no lineal, y el sistema de EDP en cartesianas no parece simple:

−∂V

∂x= − Gm1m2

(x2+y2+z2)3/2x

−∂V

∂y= − Gm1m2

(x2+y2+z2)3/2y

−∂V

∂z= − Gm1m2

(x2+y2+z2)3/2z


26

Potenciales simples: gravitacion

x

y

z

b

b

θ

φ

m2

F

m1

Parece conveniente aprovechar la simetrıa central, y usar coordenadasesfericas:

F = −Gm1m2

r2ur = −∇V (r, θ, φ)

El sistema de EDP en esfericas es trivial:

−∂V

∂r= −Gm1m2

r2

−1

r cosφ

∂V

∂θ= 0

−1

r

∂V

∂φ= 0

⇒ V = f(r) = −Gm1m2

r+ C


Potencial de un par de fuerzas

x y

z

x y

z

O

M2

M1

F12 F21

Potencial de un muelle con un extremo en el origen:

V (r2) =1

2kOM2

2 =1

2k(x2

2 + y22 + z2

2)

Trasladando el origen, tenemos el de un muelle con los dos extremosen puntos arbitrarios:

V (r1, r2) =1

2kM1M2

2 =

=1

2k[

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2 + (z2 − z1)2]

El potencial es simetrico respecto los dos puntos: potencial del par.

El mismo potencial genera la accion y la reaccion, derivando respecto a las coordenadas delpunto sobre el que actua la fuerza:

−F12 = ∇1V =

[∂V

∂x1,∂V

∂y1,∂V

∂z1

]

− F21 = ∇2V =

[∂V

∂x2,∂V

∂y2,∂V

∂z2

]

Lo mismo con el potencial gravitatorio: V = −Gm1m2

|r1−r2|


27

Energıa potencial - Potencial de un campo

Potencial: Funcion potencial de una fuerza que actua sobre una partıcula:

Fi = −∇V (ri, . . . )

Es el efecto: solo existe si una partıcula recibe esa fuerza. La causa serıa la partıcula que ejercela fuerza y crea el campo de fuerzas.

Funcion de fuerzas: La misma funcion potencial, cambiada de signo:

Fi = −∇V (ri, . . . ) = +∇U(ri, . . . ) U = −V

Energıa potencial de una partıcula o sistema: Suma de los potenciales de todas las fuerzasconservativas que actuan sobre la partıcula o sistema:

V (ri, . . . ) =

N∑

i=1

[

V E(ri, . . . ) +12

N∑

j=1

j 6=i

V I(ri, rj)

]

1/2 porque sumamos dos veces el potencial del par V I(ri, rj).

(. . . ) por coordenadas de partıculas exteriores al sistema.



Campo de fuerzas: Una masa o carga produce una fuerza sobre cualquier otra carga/masa delespacio. Es la causa; el efecto es la fuerza que experimenta una partıcula, y la funcion potencial.

Potencial del campo: Trabajo que hay que realizar contra el campo para llevar una carga/masaunidad desde ∞ hasta el punto r.

Vc(r) =

∫ r

∞−

F

m· dr =

V (r)

m−V (∞)

m

Vc

r

Se mira la causa, no el efecto: carga/masa unidad (carga de prueba)

Medir el trabajo desde∞ equivale a escoger la constante para que V (∞) = 0.

Tiene sentido para fuerzas que decrecen con la distancia: el potencial tienetangente horizontal en ∞.

Para aplicarlo a fuerzas crecientes (muelle, centrıfuga), habrıa que partir desde0, no de ∞


28


x

y

z

b

b

r

θ

φ

m2

m1

x

y

z

b

bb

m2

m1

m3

Ejemplo: Se tiene una masa m1 fija en el origen, y otra masa m2 en un puntoarbitrario.

Potencial de la fuerza sobre m2: −Gm1m2

|r2|

Potencial del campo creado por m1: −Gm1

r

Energıa potencial de m2: −Gm1m2

|r2|

Anadimos otra partıcula m3 en un punto arbitrario:

Potencial del campo creado por m1: igual −Gm1

r

Energıa potencial de m2: −Gm1m2

|r2|− Gm3m2

|r2−r3|

Energıa potencial del sistema m2,m3: −Gm1m3

|r3|− Gm1m2

|r2|︸︷︷︸

E

−Gm3m2

|r2−r3|︸︷︷︸

I

Energıa potencial del sistema m1,m2,m3: −Gm1m3

|r3|− Gm1m2

|r2|− Gm3m2

|r2−r3|︸︷︷︸

I


Trabajo de un par de fuerzas

x y

zM2

M1

F12 F21u

O

Sean dos partıculas M1 yM2 sometidas a un par de accion reaccion. Porla 3a ley de Newton (fuerte):

F12 = −F21 = f(r)u donde u =r2 − r1

|r2 − r1|

El trabajo del par al moverse las partıculas sera:

δW = F12 · dr1 +F21 · dr2 = f(r)u · (dr1 − dr2) = f(r)u · d (r u) =

= f(r)u · (dr u+ r du) = f(r) dr + f(r) r:⊥u · du ⇒ δW = f(r) dr

Pues u es un vector unitario, u · u = 1, y por tanto, derivando, u · du = 0.

Un par de fuerzas solo trabaja si las partıculas varıan su distancia mutua

En un solido (distancias constantes), las fuerzas internas son pares de accion reaccion y notrabajan.


29

Trabajo sobre un solido

x1

y1

z1

O

MiFi

b

O1

Sea un solido formado por un numero grande de partıculas Mi (en el lımite,∞); sobre cada una actua una fuerza Fi (en el lımite, diferencial). El trabajodel sistema de fuerzas sobre el solido es:

δW =∞∑

i=1

Fi · dri =

∞∑

i=1

Fi · vi dt

Podemos aplicar el campo de velocidades del solido: vi = vO + ω ∧OMi

δW = dt

∞∑

i=1

Fi · vO + dt

∞∑

i=1

Fi · ω ∧OMi =

prod. mixto

=

(∞∑

i=1

Fi

)

· vO dt+ω ·

(∞∑

i=1

OMi ∧ Fi

)

dt ⇒

⇒ δW = RE · vO dt+MEO · ω dt


Trabajo sobre un solido

Propiedades del trabajo sobre un solido:

Las fuerzas internas sobre un solido no trabajan: sus puntos mantienen distancias constantes.

Si las fuerzas son conservativas, el potencial puede depender de la posicion del punto dereferencia y de los parametros de orientacion:

δW = RE · vO dt+MEO · ω dt = RE · drO +ME

O · dΘ =

= −dV (xO, yO, zO, ψ, θ, ϕ)

Un sistema de fuerzas nulo (RE = 0, MEO = 0) puede trabajar sobre un sistema deformable,

pero no sobre un solido.


30

Potenciales no estacionarios

Potencial ordinario estacionario V (r): Depende solo de las posiciones de las partıculas. Seconserva la energıa:

dV = Vxdx+ Vydy + Vzdz = ∇V · dr = −δW

dT − δW = dT + dV = d(T + V ) = 0 → T + V = E

Potencial ordinario no estacionario V (r, t): Depende de la posicion y del tiempo. La fuerza siguesiendo F = −∇V , pero no se conserva la energıa.

dV = Vxdx+ Vydy + Vzdz + Vtdt = ∇V · dr+ Vtdt = −δW + Vtdt

dT − δW = dT + dV − Vtdt = 0 → d(T + V ) = Vt dt 6= 0

Potencial generalizado V (r,v, t): Depende de la posicion, de la velocidad y del tiempo (ej: fuerzasde inercia, como la de Coriolis; fuerzas electromagneticas). No se estudian en este curso.


Potenciales no estacionarios

Un potencial ordinario puede depender del tiempo:

Porque una fuerza externa (un motor) mueva a la partıcula que crea el campo; esta fuerzaaporta o quita energıa al sistema.

Un sistema globalmente conservativo puede convertirse en no conservativo al separar una parte ydespreciar efectos muy pequenos: sistema solar - satelite artificial.

⊕

Sol

Tierra

Sat

ms m,m⊕Sistema completo conservativo: +W −W = 0. Todos los cuerpos se influyen:

V = −Gmm⊕

|r − r⊕|−

−Gmms

|r − rs|−

Gmsm⊕

|rs − r⊕|

Satelite aislado: no conservativo.• Masa muy pequena. El trabajo −Wdel resto tiene un efecto no despreciable• r(t), r⊕(t) conocidas (efemeri-des): se mueven independientemente delsatelite

V (t) = −Gmm⊕

|r(t)− r⊕(t)|−

−Gmms

|r(t)− rs|−

Gmsm⊕

|rs − r⊕(t)|

Sol-Tierra: el trabajo +W del satelite les afecta(no conservativo), pero se desprecia su efectopor la desproporcion de masas (→ conservati-vo)


31

Ejemplo: potencial de un solido

ξ

η

θ

G

s

ds δFUna varilla se mueve en un plano Oxy. El eje Oy repele a cada elementode masa con una fuerza proporcional a la masa y a la distancia al eje, deconstante ω2. Determinar la funcion de fuerzas del solido.La configuracion de la varilla se determina con las coordenadas (ξ, η) delcentro de masas, y el angulo con Ox, θ.

Se necesitan dos integrales: en dr de la fuerza al potencial, y en δm para extenderlo a todo el solido.El orden no importa.Empezaremos por la del potencial. La fuerza elemental δF obviamente deriva de una funcion defuerzas, analoga a la centrıfuga:

δF = ω2x δm i = +∇δU (x) ⇒ δU =1

2ω2x2 δm

tambien elemental, pues afecta solo al elemento de masa δm.Ahora hay que integrar para toda la varilla. Como solo tiene una dimension, usaremos la densidadlineal σ:

δm = σ ds =m

Lds



ξ

η

θ

G

s

ds

δF

La coordenada x del elemento de masa δm tambien depende de la coordenadainterna s que lo identifica:

x = ξ + s cos θ

Sustituyendo, tenemos el potencial elemental en funcion del parametro s:

δU =1

2ω2x2 δm =

1

2ω2 (ξ + s cos θ)2

m

Lds

Integramos ahora para todo el solido. Como es una integral de masa, las coordenadas del solido ξ, θse dejan constantes:

U =

∫

VδU =

ω2m

2L

∫ L/2

−L/2

(ξ2 + 2ξ cos θ s+ cos2 θ s2

)ds =

=ω2m

2L

[

ξ2s+ξ cos θ s2 + cos2 θ

s3

3

]L/2

−L/2

= U =mω2

2

(

ξ2 +L2

12cos θ

)

+ C


32


ξ

η

θ

G

s

ds δFOtro camino es integrar primero el trabajo elemental para todo el solido ens, y luego integrar el potencial. Y para calcular el trabajo tambien hay varioscaminos. Uno es calcular el trabajo de la fuerza elemental al moverse el solido:

δδW = δF · δr(s)

Donde el trabajo es elemental por dos motivos: por dar un desplazamiento elemental al solido,(δξ, δη, δθ), y por ser un elemento de masa δm.La fuerza, la posicion y el desplazamiento son:

δF = ω2 (ξ + s cos θ) δm i

r = (ξ + s cos θ, . . . )δr = (δξ − s sin θδθ, . . . )

δδW = ω2 (ξ + s cos θ) (δξ − s sin θδθ) δm =

= ω2[ξδξ + (cos θδξ − ξ sin θδθ) s− sin θ cos θδθ s2

]δm

Integrando para toda la varilla en la variable s:

δW = ω2m

(

ξδξ −L2

12sin θ cos θδθ

)



ξ

η

θ

G

s

ds δFEl trabajo elemental sobre todo el solido tambien se puede calcular mediantela resultante y el momento resultante en G:

δF = ω2 (ξ + s cos θ) δm i

δMG = −ω2 (ξ + s cos θ) s sin θ δmk

Sustituyendo δm = mL ds e integrando para toda la varilla, se tiene:

R = ω2mξ i MG = −ω2mL2

12sin θ cos θ k

El trabajo elemental, teniendo en cuenta que ω = θ k, sera:

δW = R · δrG +MG · ω dt = ω2m

(

ξδξ −L2

12sin θ cos θδθ

)

naturalmente, el resultado es el mismo.


33


Solo queda comprobar que es una diferencial exacta y calcular el potencial.

δW = ω2m

(

ξδξ −L2

12sin θ cos θδθ

)

= −V ξ dξ − V θ dθ = −dV (ξ, θ)

Las derivadas cruzadas son nulas,V ξθ = V θξ = 0

y el potencial se calcula directamente, porque es la suma de dos funciones de una variable:

V =

∫

V ξ(ξ) dξ +

∫

V θ(θ) dθ = −ω2m

2

(

ξ2 +L2

12cos2 θ

)

+ C

El segundo sumando se podrıa escribir tambien como − sin2 θ, porque la diferencia es una constante.El resultado es, como se esperaba, el opuesto de la funcion de fuerzas U .


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Mec´anica I Tema 4 Ecuaciones Generales de la Din´amica · PDF fileL´ımites...

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