MECANICA DEL VUELO I

ECUACIONES GENERALES

Damian Rivas RivasCatedratico de Ingenierıa AeroespacialDepartamento de Ingenierıa Aeroespacial y Mecanica de FluidosUniversidad de Sevilla

Sevilla, septiembre de 2012

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ECUACIONES GENERALES DE LAMECANICA DEL VUELO

En este curso se van a analizar las actuaciones del avion y sus trayectorias. Para ello seestudia el movimiento del centro de masas del avion, considerado como un cuerpo puntual demasa variable con 3 grados de libertad.

En la descripcion de las fuerzas que actuan sobre el avion se consideran las 2 hipotesisgenerales siguientes: 1) el avion es simetrico (tiene un plano de simetrıa) y 2) el motor esta fijorespecto al avion.

SISTEMAS DE REFERENCIA

La Mecanica del Vuelo utiliza distintos sistemas de referencia, entre ellos los que se describena continuacion.

Sistema inercial geocentrico (OI , xI , yI , zI)

OI – centro de masas de la Tierra;xI – dirigido hacia el primer punto de Aries ();zI – dirigido segun el eje de rotacion de la Tierra;yI – completa un triedro a derechas (esta contenido en el plano ecuatorial).

Este sistema se considera inercial en problemas de vuelos en las proximidades de la Tierra.Se considera fijo con respecto a la eclıptica (se desprecia la ligera variacion de la orientacion delplano ecuatorial).

En este curso, para describir el vuelo de un vehıculo en las proximidades de la Tierra, se hacela hipotesis de que la Tierra es esferica.

Figura 1: Sistema inercial geocentrico

3

Sistema de ejes tierra (OE , xE , yE , zE)

OE – centro de masas de la Tierra;xE – dirigido hacia el punto de interseccion del ecuador y el meridiano de Greenwich;zE – dirigido segun el eje de rotacion de la Tierra;yE – completa un triedro a derechas (esta contenido en el plano ecuatorial).

Este sistema se considera inercial en problemas de vuelos a baja altitud y baja velocidad(vuelos de aviones). Es fijo con respecto a la Tierra, y gira con respecto al sistema inercialgeocentrico con la velocidad angular de la Tierra (~w). En este curso se considera que el vector~w es constante.

Figura 2: Sistema de ejes tierra

Sistema de ejes geograficos (OG, xG, yG, zG)

OG – centro de masas de la Tierra;xG – en la direccion y sentido del vector de posicion ~r;yG – contenido en el plano ecuatorial, ortogonal a xG, y dirigido hacia el este;zG – completa un triedro a derechas.

Plano horizontal local: plano que pasa por el punto M donde se encuentra el vehıculo y quees ortogonal al vector de posicion ~r (esto es, ortogonal al eje xG).

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Figura 3: Sistema de ejes geograficos

Orientacion de los ejes geograficos respecto de los ejes tierra

Latitud (en ingles, latitude) ϕ: angulo formado por el vector ~r con el plano ecuatorial; positivohacia el norte.

Longitud (en ingles, longitude) λ: angulo formado por la proyeccion del vector ~r sobre elplano ecuatorial con el eje xE ; positivo hacia el este.

Transformacion E → G : los ejes geograficos se obtienen a partir de los ejes tierra medianteuna rotacion de angulo λ alrededor del eje zE seguida de una rotacion de angulo ϕ alrededor deleje −yG. La matriz de transformacion es

[T]GE =

cos ϕ 0 sin ϕ

0 1 0− sinϕ 0 cos ϕ

cos λ sinλ 0− sinλ cos λ 0

0 0 1

=

cos ϕ cos λ cos ϕ sinλ sinϕ

− sin λ cos λ 0− sin ϕ cos λ − sin ϕ sinλ cos ϕ

(1)

En este sistema de referencia, la posicion del vehıculo esta determinada por sus coordenadasgeodeticas (ϕ, λ, r).

5

Sistema de ejes horizonte local (Oh, xh, yh, zh)

Oh – centro de masas del vehıculo;yh – paralelo al eje geografico yG;zh – en la direccion del vector de posicion ~r y en sentido contrario (esto es, segun −xG);xh – completa un triedro a derechas.

Figura 4: Sistema de ejes horizonte local

El plano xhyh es el plano horizontal local.

Transformacion G → H : los ejes horizonte local se obtienen a partir de los ejes geograficosmediante una rotacion de angulo π/2 alrededor del eje −yh. La matriz de transformacion es

[T]HG =

0 0 10 1 0−1 0 0

(2)

Transformacion H → E. La matriz de transformacion es

[T]HE = [T]HG[T]GE =

− sinϕ cos λ − sinϕ sinλ cos ϕ

− sinλ cos λ 0− cos ϕ cos λ − cos ϕ sin λ − sin ϕ

(3)

6

Sistema de ejes velocidad (Ov, xv, yv, zv)

Ov – centro de masas del vehıculo;

xv – dirigido segun el vector velocidad ~Vg y en su mismo sentido;

yv – contenido en el plano horizontal local, ortogonal a xv y dirigido segun “el ala derechadel avion”;

zv – completa un triedro a derechas.

El plano xvzv es un plano vertical local. ~Vg es la velocidad del vehıculo respecto de tierra(en ingles, ground speed), que puede expresarse como ~Vg = ~V + ~Vw, siendo ~V la velocidadaerodinamica y ~Vw la velocidad del viento.

Figura 5: Sistema de ejes velocidad

Orientacion de los ejes velocidad respecto de los ejes horizonte local

Angulo de trayectoria (en ingles, flight-path angle) γ: angulo formado por el vector velocidad~Vg con el plano horizontal local; positivo cuando ~r aumenta.

Angulo de rumbo (en ingles, heading angle) χ: angulo formado por la proyeccion del vectorvelocidad ~Vg sobre el plano horizontal local con la direccion del meridiano local; positivo haciael este.

Transformacion H → V : los ejes velocidad se obtienen a partir de los ejes horizonte localmediante una rotacion de angulo χ alrededor del eje zh seguida de una rotacion de angulo γ

7

alrededor del eje yv. La matriz de transformacion es

[T]V H =

cos γ 0 − sin γ

0 1 0sin γ 0 cos γ

cos χ sinχ 0− sinχ cos χ 0

0 0 1

=

cos γ cos χ cos γ sinχ − sin γ

− sinχ cos χ 0sin γ cos χ sin γ sinχ cos γ

(4)

Sistema de ejes viento (Ow, xw, yw, zw)

Ow – centro de masas del avion;xw – dirigido segun el vector velocidad aerodinamica ~V y en su mismo sentido;zw – contenido en el plano de simetrıa del avion, y dirigido hacia abajo en la actitud normal

de vuelo;yw – completa un triedro a derechas (dirigido segun el ala derecha del avion).

Figura 6: Sistema de ejes viento

En general la velocidad ~V no esta contenida en el plano de simetrıa del avion (en el casode vuelo simetrico sı lo esta). Se llama angulo de resbalamiento (en ingles, sideslip angle) β alangulo formado por el vector ~V con el plano de simetrıa.

Este sistema de ejes permite orientar de forma natural la fuerza aerodinamica, siendo, pordefinicion, la resistencia (D) la componente segun −xw, la fuerza lateral (Q) la componentesegun −yw y la sustentacion (L) la componente segun −zw.

8

Para orientar el empuje respecto de los ejes viento, se definen el angulo de ataque del empuje(ε) y el angulo de resbalamiento del empuje (ν), tal y como se indica en la siguiente figura

Figura 7: Orientacion del empuje

Orientacion de los ejes viento respecto de los ejes horizonte local

Angulo de asiento de velocidad γV : angulo formado por el vector velocidad aerodinamica ~V

con el plano horizontal local; positivo cuando ~r aumenta.Angulo de guinada de velocidad χV : angulo formado por la proyeccion del vector velocidad

~V sobre el plano horizontal local con la direccion del meridiano local; positivo hacia el este.Angulo de balance de velocidad µV : angulo formado por el eje yw con la interseccion del

plano ywzw con el plano horizontal; positivo en el sentido de bajar el ala derecha.

Transformacion H → W : los ejes viento se obtienen a partir de los ejes horizonte localmediante una rotacion de angulo χV alrededor del eje zh, seguida de una rotacion de angulo γV

alrededor del eje intermedio y1, seguida de una rotacion de angulo µV alrededor del eje xw. Lamatriz de transformacion es

[T]WH =

cos γV 0 − sin γV

0 1 0sin γV 0 cos γV

cos χV sinχV 0− sinχV cos χV 0

0 0 1

1 0 00 cos µV sinµV

0 − sin µV cos µV

=

cos γV cos χV cos γV sinχV − sin γV

sin µV sin γV cos χV − cos µV sinχV sin µV sin γV sinχV + cos µV cos χV sinµV cos γV

cos µV sin γV cos χV + sin µV sinχV cos µV sin γV sinχV − sin µV cos χV cos µV cos γV

(5)

9

Orientacion de los ejes viento respecto de los ejes velocidad (Vw = 0)

En el caso particular en que la atmosfera esta en calma (caso en que no hay viento), Vw = 0y por tanto ~Vg = ~V . Ademas se tienen las siguientes coincidencias: xv ≡ xw, γ ≡ γV , χ ≡ χV .

En este caso, se cambia la notacion tomando µ ≡ µV . Este angulo tambien se puede llamarangulo de alabeo (en ingles, bank angle). Notese que tambien es el angulo que forma el planoLD (plano xwzw) con el plano vertical local (plano xvzv).

Figura 8: Relacion entre ejes viento y ejes velocidad (Vw = 0)

Transformacion V → W : los ejes viento se obtienen a partir de los ejes velocidad medianteuna rotacion de angulo µ alrededor del eje xv. La matriz de transformacion es

[T]WV =

1 0 00 cos µ sinµ

0 − sinµ cos µ

(6)

Transformacion H → W . La matriz de transformacion que permite obtener los ejes viento apartir de los ejes horizonte local es

[T]WH = [T]WV [T]V H (7)

que coincide con la ecuacion (5), con los cambios de notacion ya indicados.

10

Sistema de ejes cuerpo (Ob, xb, yb, zb)

Ob – centro de masas del avion;xb – contenido en el plano de simetrıa del avion, segun una lınea de referencia longitudinal,

y dirigido hacia el morro;zb – contenido en el plano de simetrıa del avion, ortogonal a xb, y dirigido hacia abajo en la

actitud normal de vuelo;yb – completa un triedro a derechas (es ortogonal al plano de simetrıa, dirigido segun el ala

derecha del avion).

Figura 9: Sistema de ejes cuerpo

Orientacion de los ejes cuerpo respecto de los ejes viento

Angulo de resbalamiento (en ingles, sideslip angle) β: angulo formado por el vector ~V con elplano de simetrıa; positivo cuando el aire le entra al avion por la derecha.

Angulo de ataque (en ingles, angle of attack) α: angulo formado por el eje xb con la proyecciondel vector ~V sobre el plano de simetrıa; positivo cuando el aire le entra al avion por abajo.

Transformacion W → B : los ejes cuerpo se obtienen a partir de los ejes viento mediante unarotacion de angulo β alrededor del eje −zw, seguida de una rotacion de angulo α alrededor deleje yb. La matriz de transformacion es

[T]BW =

cos α 0 − sinα

0 1 0sinα 0 cos α

cos β − sinβ 0sinβ cos β 0

0 0 1

=

cos α cos β − cos α sinβ − sinα

sinβ cos β 0sinα cos β − sinα sinβ cos α

(8)

11

Orientacion de los ejes cuerpo respecto de los ejes horizonte local

Angulo de asiento (en ingles, pitch angle) θ: angulo formado por el eje xb con el planohorizontal local; positivo hacia arriba.

Angulo de guinada (en ingles, yaw angle) ψ: angulo formado por la proyeccion del eje xb

sobre el plano horizontal local con la direccion del meridiano local; positivo hacia el este.Angulo de balance (en ingles, roll angle) φ: angulo formado por el eje yb con la interseccion

del plano ybzb con el plano horizontal; positivo en el sentido de bajar el ala derecha.

Cuando φ = 0 se dice que el avion vuela con las alas a nivel.

Transformacion H → B : los ejes cuerpo se obtienen a partir de los ejes horizonte localmediante una rotacion de angulo ψ alrededor del eje zh, seguida de una rotacion de angulo θ

alrededor del eje intermedio y1, seguida de una rotacion de angulo φ alrededor del eje xb. Lamatriz de transformacion es

[T]BH =

cos θ 0 − sin θ

0 1 0sin θ 0 cos θ

cos ψ sin ψ 0− sinψ cos ψ 0

0 0 1

1 0 00 cos φ sin φ

0 − sin φ cos φ

=

cos θ cos ψ cos θ sinψ − sin θ

sinφ sin θ cos ψ − cos φ sin ψ sinφ sin θ sinψ + cos φ cos ψ sinφ cos θ

cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ cos φ sin θ sin ψ − sinφ cos ψ cos φ cos θ

(9)

12

ECUACIONES GENERALES DEL VUELO

Se analiza aquı el movimiento del centro de masas de un vehıculo bajo la accion de diversasfuerzas. Este movimiento esta definido en cada instante por la posicion, la velocidad y la masadel vehıculo (considerado como una masa puntual). En cada instante el vehıculo esta sujeto auna fuerza total compuesta por la fuerza gravitatoria m~g, la fuerza aerodinamica ~FA y la fuerzapropulsiva ~FT .

Las ecuaciones del movimiento respecto de un sistema inercial de referencia (en este curso seconsidera el sistema inercial geocentrico) son(

d~r

dt

)I

= ~VI

m

(d~VI

dt

)I

= ~FA + ~FT + m~g

dm

dt= −c

(10)

donde ~r es el vector de posicion, t el tiempo, ~VI la velocidad absoluta del vehıculo (velocidadrespecto del sistema inercial), m la masa del vehıculo y c el gasto masico de combustible (engeneral la masa es una funcion del tiempo, como consecuencia del consumo de combustible); lasderivadas de los vectores ~r y ~VI se efectuan en el sistema inercial de referencia.

Se tiene un sistema de 7 ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, para las 3 componentesdel vector de posicion, las 3 de la velocidad y la masa.

El estudio aerodinamico y propulsivo del vehıculo permitira definir ~FA, ~FT y c. En general,el campo gravitatorio no es uniforme.

En este curso, para definir el movimiento de la aeronave resulta mas adecuado considerar unsistema de ejes fijos respecto a Tierra, ya que en vez de trabajar con la velocidad absoluta ~VI esmas conveniente considerar la velocidad relativa a la superficie terrestre ~Vg. Se considera el siste-ma de ejes tierra. A continuacion se van a reescribir las ecuaciones del movimiento en estos ejes(ejes moviles que giran con respecto al sistema inercial con velocidad angular constante), paralo cual sera necesario utilizar el siguiente resultado de Mecanica correspondiente al movimientoangular relativo:

Sea un sistema de referencia fijo F y otro movil M que gira respecto del fijo con velocidadangular ~ωMF constante. La relacion entre las derivadas temporales de un vector ~A en ambossistemas viene dada por la siguiente relacion:(

d ~A

dt

)F

=

(d ~A

dt

)M

+ ~ωMF × ~A (11)

Para los sistemas inercial geocentrico y de ejes tierra se tienen las siguientes relaciones(d~r

dt

)I

=(

d~r

dt

)E

+ ~ω × ~r(d~VI

dt

)I

=

(d~Vg

dt

)E

+ 2~ω × ~Vg + ~ω × (~ω × ~r)(12)

siendo por definicion~Vg =

(d~r

dt

)E

(13)

Los terminos 2~ω × ~Vg y ~ω × (~ω × ~r) representan las aceleraciones de Coriolis y centrıfuga,respectivamente, correspondientes a la rotacion de la Tierra.

13

Las ecuaciones del movimiento en el sistema no inercial de ejes Tierra son, por tanto, lassiguientes (

d~r

dt

)E

= ~Vg

m

(d~Vg

dt

)E

= ~FA + ~FT + m~g − 2m~ω × ~Vg − m~ω × (~ω × ~r)

dm

dt= −c

(14)

Los terminos −2m~ω × ~Vg y −m~ω × (~ω × ~r) representan las fuerzas de inercia de Coriolis ycentrıfuga, respectivamente, correspondientes a la rotacion de la Tierra. Se puede demostrar queestas fuerzas de inercia son despreciables comparadas con la fuerza gravitatoria para el caso devuelo a baja altitud y baja velocidad (que es el caso de aviones considerado en este curso); elorden de magnitud del cociente entre ambas es 10−3.

Ecuaciones escalares

Para obtener las ecuaciones escalares del movimiento se van a considerar las ecuacionesvectoriales en forma matricial. Para ello los vectores deben proyectarse en un sistema de ejesdado. Si se decidiese proyectar en ejes tierra, las ecuaciones vectoriales en forma matricial serıan[(

dr

dt

)E

]E

= [Vg]E

m

[(dVg

dt

)E

]E

= [FA]E + [FT ]E + m [g]E − 2m [Ω]E [Vg]E − m [Ω]E [Ω]E [r]E

(15)

siendo

[Ω]E =

0 −ω 0ω 0 00 0 0

(16)

la matriz asociada al vector

[ω]E =

00ω

(17)

En general, si en un determinado sistema de referencia es

~ω =

p

q

r

(18)

el tensor que permite escribir ~ω × ~A = Ω· ~A viene dado por

Ω =

0 −r q

r 0 −p

−q p 0

(19)

14

Ecuaciones cinematicas

En primer lugar se van a obtener las ecuaciones cinematicas escalares. Para ello se escribe laecuacion vectorial en ejes horizonte local y se proyecta en ejes horizonte local.

Dado que (d~r

dt

)E

=(

d~r

dt

)H

+ ~ωHE × ~r (20)

se tiene (d~r

dt

)H

+ ~ωHE × ~r = ~Vg (21)

siendo ~ωHE = ~ωGE = λ~kE − ϕ~jG, y por tanto[(dr

dt

)H

]H

+ [ΩHE ]H [r]H = [Vg]H (22)

donde [ΩHE ]H es la matriz asociada a ~ωHE .Las ecuaciones escalares se obtienen a partir de las siguientes expresiones

[r]H =

00−r

(23)

[(dr

dt

)H

]H

=

00−r

(24)

[Vg]V =

Vg

00

(25)

[Vg]H = [T]HV [Vg]

V =

Vg cos γ cos χ

Vg cos γ sinχ

−Vg sin γ

(26)

[ωGE ]G =

sinϕλ

−ϕ

cos ϕλ

(27)

[ωHE ]H = [T]HG [ωGE ]G =

cos ϕλ

−ϕ

− sinϕλ

(28)

[ΩHE ]H [r]H =

rϕ

r cos ϕλ

0

(29)

15

siendo [T]HV la matriz traspuesta de [T]V H . Se tiene el siguiente resultado

(RT + h)dϕ

dt= Vg cos γ cos χ

(RT + h) cos ϕdλ

dt= Vg cos γ sin χ

dh

dt= Vg sin γ

(30)

donde se ha tenido en cuenta la relacion r = RT + h.

Ecuaciones dinamicas

A continuacion se van a obtener las ecuaciones dinamicas escalares. Para ello se escribe laecuacion vectorial en ejes velocidad y se proyecta en ejes velocidad. En lo sucesivo se desprecianlas dos fuerzas de inercia de Coriolis y centrıfuga.

Dado que (d~Vg

dt

)E

=

(d~Vg

dt

)V

+ ~wV E × ~Vg (31)

se tiene (d~Vg

dt

)V

+ ~wV E × ~Vg =1m

~FA,T + ~g (32)

siendo ~ωV E = ~ωV H + ~ωHE con ~ωV H = χ~kh + γ~jv, y por tanto[(dVg

dt

)V

]V

+ [ΩV E ]V [Vg]V =

1m

[FA,T ]V + [g]V (33)

donde [ΩV E ]V es la matriz asociada a ~ωV E .Las ecuaciones escalares se obtienen a partir de la ecuacion (25) y de las siguientes expresiones[(

dVg

dt

)V

]V

=

Vg

00

(34)

[g]H =

00g

(35)

[g]V = [T]V H [g]H =

−g sin γ

0g cos γ

(36)

[ωV H ]V =

− sin γχ

γ

cos γχ

(37)

[ωV E ]V = [ωV H ]V + [T]V H [ωHE ]H =

− sin γχ +

Vg

rtan ϕ sin γ cos γ sinχ

γ − Vg

rcos γ

cos γχ − Vg

rtan ϕ cos2 γ sinχ

(38)

16

[ΩV E ]V [Vg]V =

0

Vg(χ cos γ − Vg

rtanϕ cos2 γ sinχ)

−Vg(γ − Vg

rcos γ)

(39)

En las dos ultimas expresiones se han tenido en cuenta las ecuaciones cinematicas (30). Final-mente, se tiene el siguiente resultado

dVg

dt=

1m

(FA,T )xv− g sin γ

Vg cos γdχ

dt=

1m

(FA,T )yv+

V 2g

rtanϕ cos2 γ sinχ

Vgdγ

dt= − 1

m(FA,T )zv

− g cos γ +V 2

g

rcos γ

(40)

donde (FA,T )xv, (FA,T )yv

, (FA,T )zvson las componentes de las fuerzas aerodinamica y propulsiva

en los ejes velocidad.

Ecuaciones generales

En resumen, las ecuaciones generales del vuelo son

(RT + h)dϕ

dt= Vg cos γ cos χ

(RT + h) cos ϕdλ

dt= Vg cos γ sinχ

dh

dt= Vg sin γ

dVg

dt=

1m

(FA,T )xv− g sin γ

Vg cos γdχ

dt=

1m

(FA,T )yv+

V 2g

rtan ϕ cos2 γ sin χ

Vgdγ

dt= − 1

m(FA,T )zv

− g cos γ +V 2

g

rcos γ

dm

dt= −c

(41)

En estas ecuaciones los terminos proporcionales aV 2

g

rson despreciables para aviones en vuelo

a baja velocidad y baja altitud, por lo que pueden despreciarse al igual que se han despreciadolas fuerzas de inercia debidas a la rotacion de la Tierra. Asimismo, las variaciones de gravedadpara el vuelo de aviones a baja altitud son tambien despreciables, por lo que puede considerarsela gravedad constante igual a su valor al nivel del mar g0.

Hipotesis de Tierra plana

En vuelos de corto recorrido esta justificado hacer la hipotesis de Tierra plana, en la cual lasuperficie terrestre se supone plana y cualquier sistema de referencia fijado a ella (topocentrico)se supone inercial. Ademas la gravedad se supone constante.

Sea un sistema de referencia topocentrico en el que el eje x va en direccion norte, el ejey en direccion este y el eje z forma un triedro a derechas (el plano xy es el plano horizontal).

17

Las ecuaciones cinematicas adoptan la siguiente forma

dx

dt= Vg cos γ cos χ

dy

dt= Vg cos γ sinχ

dh

dt= Vg sin γ

(42)

mientras que las ecuaciones dinamicas no cambian.

Ecuaciones generales para aviones, con atmosfera en calma

Las componentes de las fuerzas aerodinamica y propulsiva en ejes viento vienen dadas por

[FA,T ]W =

T cos ε cos ν − D

T cos ε sin ν − Q

−(L + T sin ε)

(43)

y las componentes en ejes velocidad por

[FA,T ]V = [T]V W [FA,T ]W =

T cos ε cos ν − D

(T cos ε sin ν − Q) cos µ + (L + T sin ε) sin µ

(T cos ε sin ν − Q) sin µ − (L + T sin ε) cos µ

(44)

siendo [T]V W la matriz traspuesta de [T]WV .

Las ecuaciones generales, con todas las hipotesis indicadas, son pues las siguientes

dx

dt= V cos γ cos χ

dy

dt= V cos γ sinχ

dh

dt= V sin γ

mdV

dt= T cos ε cos ν − D − mg sin γ

mV cos γdχ

dt= (T cos ε sin ν − Q) cos µ + (L + T sin ε) sin µ

mVdγ

dt= − [(T cos ε sin ν − Q) sin µ − (L + T sin ε) cos µ] − mg cos γ

dm

dt= −c

(45)

siendo g = g0 = const. En estas ecuaciones se tiene la siguiente dependencia funcional

L = L(h, V, α, β)

D = D(h, V, α, β)

Q = Q(h, V, α, β)

T = T (h, V, π)

c = c(h, V, π)

ε = ε(α, β)

ν = ν(α, β)

(46)

18

siendo π el parametro de control del motor. Se tiene pues un sistema de 7 ecuaciones dife-renciales ordinarias con 11 variables dependientes: 7 variables de estado (variables derivadas),x, y, h, V, χ, γ,m; y 4 variables de control (variables no derivadas), α, β, π, µ. Se tienen por tanto4 grados de libertad matematicos, es decir, se deben especificar 4 condiciones adicionales parapoder integrar el sistema junto con sus condiciones iniciales.

Vuelo simetrico

Se dice que el vuelo es simetrico cuando los vectores ~V y ~T estan contenidos en el plano desimetrıa y Q = 0. Como consecuencia, tambien se tiene β = ν = 0.

Figura 10: Vuelo simetrico

Las ecuaciones del vuelo simetrico son pues

dx

dt= V cos γ cos χ

dy

dt= V cos γ sin χ

dh

dt= V sin γ

mdV

dt= T cos ε − D − mg sin γ

mV cos γdχ

dt= (L + T sin ε) sin µ

mVdγ

dt= (L + T sin ε) cos µ − mg cos γ

dm

dt= −c

(47)

19

En estas ecuaciones se tiene la siguiente dependencia funcional

L = L(h, V, α)

D = D(h, V, α)

T = T (h, V, π)

c = c(h, V, π)

ε = ε(α)

(48)

Se tiene ahora un sistema de 7 ecuaciones diferenciales ordinarias con 10 variables depen-dientes: 7 variables de estado (variables derivadas), x, y, h, V, χ, γ,m; y 3 variables de control(variables no derivadas), α, π, µ. En vuelo simetrico se tienen por tanto 3 grados de libertadmatematicos.

En vuelo simetrico se tienen ademas los siguientes resultados:

— 1) el plano xwzw (plano LD) coincide con el plano de simetrıa del avion;

— 2) los ejes yw e yb coinciden;

— 3) α es el angulo formado por el eje xb con el vector ~V ;

— 4) ε es el angulo formado el vector ~T con el vector ~V .

Vuelo simetrico en un plano vertical

El vuelo en un plano vertival esta definido por la condicion χ = const. Por comodidad sepuede tomar χ = 0 y por tanto y = const. De las ecuaciones dinamicas se deduce µ = 0.

Figura 11: Vuelo simetrico en un plano vertical

20

Las ecuaciones del vuelo simetrico en un plano vertical son pues

dx

dt= V cos γ

dh

dt= V sin γ

mdV

dt= T cos ε − D − mg sin γ

mVdγ

dt= L + T sin ε − mg cos γ

dm

dt= −c

(49)

junto con las relaciones funcionales definidas en la ecuacion (48).

Se tiene ahora un sistema de 5 ecuaciones diferenciales ordinarias con 7 variables dependien-tes: 5 variables de estado (variables derivadas), x, h, V, γ,m; y 2 variables de control (variablesno derivadas), α, π. En vuelo simetrico en un plano vertical se tienen por tanto 2 grados delibertad matematicos.

Caso particular: vuelo horizontal. El vuelo horizontal esta definido por h = const. De lasecuaciones cinematicas se deduce γ = 0.

Las ecuaciones del vuelo simetrico horizontal en un plano vertical son pues

dx

dt= V

mdV

dt= T cos ε − D

0 = L + T sin ε − mg

dm

dt= −c

(50)

junto con las relaciones funcionales definidas en la ecuacion (48).

Se tiene ahora un sistema de 3 ecuaciones diferenciales ordinarias y 1 ecuacion algebraica con5 variables dependientes: 3 variables de estado (variables derivadas), x, V,m; y 2 variables decontrol (variables no derivadas), α, π. En vuelo simetrico en un plano vertical se tiene por tanto1 grado de libertad matematico.

21

Vuelo simetrico en un plano horizontal

El vuelo horizontal esta definido por h = const. De las ecuaciones cinematicas se deduceγ = 0.

Las ecuaciones del vuelo simetrico en un plano horizontal son pues

dx

dt= V cos χ

dy

dt= V sinχ

mdV

dt= T cos ε − D

Vdχ

dt= g tanµ

0 = (L + T sin ε) cos µ − mg

dm

dt= −c

(51)

junto con las relaciones funcionales definidas en la ecuacion (48).

Se tiene ahora un sistema de 5 ecuaciones diferenciales ordinarias y 1 ecuacion algebraica con8 variables dependientes: 5 variables de estado (variables derivadas), x, y, V, χ,m; y 3 variablesde control (variables no derivadas), α, π, µ. En vuelo simetrico en un plano horizontal se tienenpor tanto 2 grados de libertad matematicos.

Figura 12: Vuelo simetrico en un plano horizontal

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Apendice

Obtencion de los angulos ε y ν

Por estar el motor fijo respecto del avion, la orientacion del empuje respecto de ejes cuerpoes conocida. Sea ~T = T~t, y sea

[t]B =

k1

k2

k3

(52)

donde k1, k2, k3 son los cosenos directores del vector unitario ~t, que cumplen k21 + k2

2 + k23 = 1.

Las componentes de ~t en ejes viento son, por definicion (ver Fig. 7),

[t]W =

cos ε cos ν

cos ε sin ν

− sin ε

(53)

A partir de la igualdad[t]B = [T]BW [t]W (54)

se obtienen las siguientes relaciones que definen ε(α) y ν(α, β)

sin ε = k1 sinα − k3 cos α

cos ε sin(β + ν) = k2

(55)

En el caso de vuelo simetrico (β = ν = k2 = 0), la ecuacion (54) se reduce a k1

0k3

=

cos α 0 − sinα

0 1 0sinα 0 cos α

cos ε

0− sin ε

(56)

de donde se obtieneε = α − artan

k1

k3(57)

Es decir, se puede ponerε = α + ε0 (58)

siendo ε0 un parametro de diseno conocido (ver Fig. 10).

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