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Mecánica de Materiales I

______________________________________________________________________________Universidad de los Andes

Facultad de IngenieríaEscuela de Ingeniería Mecánica

Tema 5 - Deflexión en Vigas

Tema 5

Deflexión en vigas

Ecuación diferencial de la elástica

Tema 5 - Deflexión en vigasSección 1 - Ecuación diferencial de la elástica

Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación deducidaen el tema 2, en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra conel momento flector en una viga sometida a flexión pura:

Donde ‘’ es el radio de curvatura, ‘E’ el módulo de elasticidad delmaterial del que se compone la viga, ‘I’ el momento de inercia de la seccióntransversal de la viga y ‘M(x)’ el momento flector al que está sometida lamisma. Observemos que este último término se ha designado comodependiente de la longitud medida desde un extremo de la viga (‘x’).



IExM

)(1

(5.1.1)

Para deducir la ecuación de la elástica es necesario recordar delcálculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto‘P(x,y)’ puede determinarse mediante la expresión

Donde, dada la relación ‘y = f(x)’:



23

2

2

2

1

1

dxdy

dxyd

2

2

dxyd

dxdy Corresponde a la primera

derivada de la función

Corresponde a la segundaderivada de la función

(5.1.2)


Como las deflexiones son muy pequeñas, podemos despreciar eltérmino relativo a la primera derivada; obtenemos entonces que:

Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundoorden, y gobierna el comportamiento de la curva elástica, la cual describelas deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a cargastransversales.



IExM

dxyd

)(12

2

(5.1.3)


Método de Doble Integración

Tema 5 - Deflexión en vigasSección 2 – Método de Doble Integración

Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar pararesolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo envigas estáticamente determinadas e indeterminadas.

Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de losdiagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormentelas ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculointegral.

El método de doble integración produce ecuaciones para lapendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa delpunto de máxima deflexión.



Recordando la ecuación diferencial de la elástica:

El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso deque varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de seccióntransversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar laecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el casoconsiderado, la rigidez a la flexión es constante.

Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación porel módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos:



IExM

dxyd

)(2

2

10

)( CdxxMdxdyIE

x

(5.1.3)

(5.2.1)

Tema 5 - Deflexión en vigasSección 2 - Método de Doble Integración

Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de lascondiciones de frontera, como se explicará más adelante.

Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, essatisfactoria la aproximación:



)(tgdxdy

10

)( CdxxMdxdyIE

x

De modo que con la expresiónanterior se puede determinar lainclinación de la recta tangente a lacurva de la elástica para cualquierlongitud ‘x’ de la viga.

(5.2.1)

(5.2.2)


Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior,tenemos:

Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión paracualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga.

El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que‘C1’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer susvalores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión enalgún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos dondepodemos recoger esta información.



x x

CdxCdxxMxyIE0

20

1)()( (5.2.3)


En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas enun extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:



Del apoyo en ‘A’ puede establecerse:

x = LA → y = 0

Y, debido al apoyo en ‘B’ :

x = LB → y = 0

Debido al empotramiento ‘A’ :

x = LA → y = 0

x = LA → = 0


Método de Área de Momento

Tema 5 - Deflexión en vigasSección 3 - Método de Area de Mometo

El método de área-momento proporciona un procedimientosemigráfico para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntosespecíficos sobre la curva elástica de la viga.

La aplicación de este método requiere el cálculo de áreasasociadas con el diagrama de momento flector de la viga; si el diagramaconsta de formas geométricas sencillas, el método resulta muy fácil de usar.Normalmente este es el caso cuando la viga está cargada con fuerzas ymomentos concentrados.

El método es bastante rápido y simple, pero en general se usa paracalcular la deflexión de solo uno a unos cuantos puntos de la viga. Su usorequiere un elevado nivel de comprensión del principio de momentos y delas técnicas para preparar diagramas de momento flector.



La figura muestra una curva elástica en la que se han seleccionadodos puntos cualquiera (‘A’ y ‘B’) y se han trazado rectas tangentes a losmismos.



Puede observarse que ‘B/A’es el ángulo que forma la tangenteque pasa por el punto ‘B’ respecto a laque pasa por ‘A’. De forma análogase define el ángulo ‘A/B’. Esimportante notar que ambos tienen lamisma magnitud, y se miden ensentido contrario.

Recordando que las deflexiones son muy pequeñas, podemosplantear la ecuación de la elástica de la forma:

IExM

dxd

dxdy

dxd

)( (5.3.1)


Si integramos la expresión anterior, obtenemos:

Planteando que:

Podemos finalmente rescribir la expresión anterior de la forma:



B

A

B

A

x

x

dxIExMd )(

ABAB /

B

A

x

xAB dx

IExM )(

/

(5.3.2)

(5.3.3)

(5.3.4)


Esta ecuación es la base del primer teorema del método de área demomento:



B

A

x

xAB dx

IExM )(

/

“El ángulo entre dos rectastangentes a dos puntos cualquierasobre la curva elástica es igual alárea bajo el diagrama ‘M/(E·I)’entre esos dos puntos”

(5.3.5)


Luego, como se observa en la figura, puede considerarse aceptablela aproximación:

Donde ‘d’ es el ángulo que existe entre dos tangentes de dospuntos separados una distancia ‘dx’ y ‘x’ es la distancia medida desde elpunto ‘A’ hasta el elemento diferencial en cuestión. Al sustituir ‘d’ queda:




dxdt (5.3.6)

dxIExMxdt

)(

(5.3.7)

Finalmente, al integrar la expresión anterior queda:

Lo cual puede rescribirse de la forma:

Donde ‘xA’ es la distancia (medida sobre la dirección ‘x’) que existeentre el punto ‘A’ y el centroide del área bajo la curva ‘M·E/I’.




B

A

x

xBA dx

IExMxt )(

/(5.3.8)

B

A

x

xABA dx

IExMxt )(

/(5.3.9)

La ecuación 5.3.9 supone la base del segundo teorema de áreamomento:

“La desviación vertical de la tangente en un punto ‘A’ sobre la curvaelástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto ‘B’ es igualal momento de área bajo el diagrama ‘ME/I’ entre los puntos ‘A’ y ‘B’. Estemomento se calcula respecto al punto ‘A’ donde va a determinarse ladesviación vertical ‘tA/B’ ”.




De forma análoga, podría hallarse la desviación del punto ‘B’respecto a la tangente que pasa por ‘A’. Para ello, se calcularía el momentode área bajo el diagrama ‘ME/I’ respecto al punto ‘B’, es decir:

Donde ‘xB’ es la distancia que existe desde el punto ‘B’ hasta elcentroide de la figura. Es importante mencionar que, si el resultado de laecuación es positivo, el punto ‘B’ (en el que se calcula la deflexión) seencuentra por encima de la recta tangente que pasa por el ‘A’ (y viceversa).




A

B

x

xBAB dx

IExMxt )(

/ (5.3.9)

Método de Tres Momentos

Tema 5 - Deflexión en vigasSección 4 - Método de Tres Momentos

Con este método puede analizarse una viga sostenida porcualquier número de apoyos. De hecho, el teorema soluciona los momentosflectores en los apoyos sucesivos entre sí, y con las cargas que actúan en laviga. En el caso de una viga con tres apoyos únicamente, este métodopermite el cálculo directo del momento en el apoyo intermedio. Lascondiciones de los extremos proporcionan datos para calcular los momentosen ellos. Luego pueden usarse los principios de estática para determinar lasreacciones.

En el caso de vigas con más de tres apoyos, el teorema se aplicaen sucesión a juegos de tres apoyos adyacentes, para obtener un juego deecuaciones que se puede resolver simultáneamente para los momentosdesconocidos. Se puede usar el teorema de los tres momentos paracualquier combinación de cargas.




Consideremos una viga cargada como se muestra en la figura.

Se han elegido tres puntos cualquiera sobre la viga (‘1’, ‘2’ y ‘3’),donde realizaremos cortes transversales y estableceremos las cargas a lasque están sometidas estas secciones, manteniendo las que están aplicadassobre los tramos ‘L12’ y ‘L23’.




Se tendría entonces:

Note que los momentos flectores (‘M1’, ‘M2’, ‘M3’) se han dispuestoen su sentido positivo, según el convenio establecido. Las fuerzas cortantes‘V2i’ y ‘V2d’ no son necesariamente iguales; depende de la condición deapoyo ó carga que exista en el punto ‘2’.




Luego, planteamos las cargas y los momentos flectores de formaseparada, agregando y quitando fuerzas, como se muestra en la figura. Enel caso mostrado, se ha asumido que ‘M2 < M1’ y ‘M2 < M3’.




Posteriormente, se realizan los diagramas de momento flector paralos casos anteriormente mostrados. Recordamos nuevamente que se haasumido ‘M2 < M1’ y ‘M2 < M3’.




Ahora, observemos una representación exagerada de la curvaelástica entre los puntos 1 y 3. Puede notarse que se cumple la relación detriángulos:



23

32/3

12

2/11

Lht

Lth

(5.4.1)


Posteriormente podemos establecer las expresiones de deflexiónde los puntos ‘1’ y ‘3’ respecto a la tangente que pasa por ‘2’:



2

1

)(12/1

x

x

dxIExMxt

(5.4.2)

2

3

)(12/3

x

x

dxIExMxt

11212122121212/1 3

221

31

211 xALLMLLM

IEt

32323233232322/3 3

121

32

211 xALLMLLM

IEt (5.4.3)


Finalmente, al sustituir ‘t1/2’ y ‘t3/2’ en la ecuación 5.4.1, se obtiene:

Esta ecuación expresa la una relación general entre los momentosflectores en tres puntos cualesquiera de la viga, razón por la cual se llamaecuación de los tres momentos.

Si los puntos ‘1’, ‘2’ y ‘3’ están al mismo nivel en la viga flexionada,los términos ‘h1’ y ‘h3’ se anulan, con lo cual el miembro derecho de laecuación se hace cero.



23

323

12

11223323122121

66)(2L

xAL

xALMLLMLM

(5.4.4)

23

3

12

16Lh

LhIE

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