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Cálculo de varias variables IIUnidad 1. Integrales múltiples

Evidencia de Aprendizaje. Integrales múltiples.Karla Judith Andrew Méndez.AL12509552

Instrucciones: Resuelve las siguientes integrales, tomando en cuenta los conocimientos en integrales múltiples.

1. Encuentra el volumen de la región sólida encerrada en el primer octante, por el

paraboloide z=x2+ y2 y el plano z=2.

Hacemos el cambio de coordenadas:x=ρ cosθy=ρ senθz=2

∂ (x , y , z )∂(ρ ,θ , z)

∫0

√2

∫0

π2

∫0

ρ2

ρdz dθdρ=∫0

√2

∫0

π2

ρ3dθ d ρ=∫0

√2

ρ3π2d ρ=( π ρ8

4)0

√2=π √24

8= π21.57

el volumen de la región sólida encerrada en el primer octante es de 1.57u3

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2. Calcula el momento de inercia sobre el eje x, de la región plana limitada por la

parábola y2=1−x y las rectas x=0 e y=0, la función densidad es ρ ( x , y )=x

Momento de inercia del eje x:

I x= ∫ A y2 ρ(x , y )dA

∫ x (1−x)3 /2dx=∫−t 3/2+ t5 /2dt=−t 5252

+t7272

=−2¿¿

∫0

1

∫0

√1− x

x y2dydx=∫0

1

x( y33)0

√1− xdx=∫

0

1

x ¿¿¿¿

El momento de inercia en el eje x=8/35

3. Evalúa la siguiente integral, usando coordenadas esféricas

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∫0

1

∫0

√1− x2

∫√x2+ y2

√2− x2− y2

xy dzdydz

x=ρ senθcos∅y=p senθ sen∅x=pcosθJ= ρ2 senθ

0≤ ρ≤√20≤∅ ≤π

0≤θ≤π4

∫0

√2

∫0

π

∫0

π4

ρ senθcos∅ p senθ sen∅ ρ2 senθ dθd∅ dρ=¿∫0

√2

∫0

π

∫0

π4

p4 sen3θ cos∅ sen∅ dθd∅ dρ=∫0

√2

ρ4dp∫0

π

cos∅ sen∅ d∅∫0

π4

sen3θdθ ¿

4. Aplica el teorema del Valor medio, para probar que la integral se encuentra entre

1e≤14π 2

∫−π

π

∫−π

π

esen(x+ y)≤e.

e−1≤esen (x+ y )≤e1

∫−π

π

∫−π

π

e−1dxdy ≤∫−π

π

∫−π

π

esen ¿¿ ¿¿

e−1 (π+π ) (π+π ) e1 (π+π ) (π+π )

e−14 π2≤∫−π

π

∫−π

π

es en¿ ¿¿¿

Por lo tanto:

e−1≤∫−π

π

∫−π

π

esen (x+ y)dxdy ≤e1

La función sen ( x+ y ) toma valoresde−1a1Con lo cual la función:

f ( x , y )=¿esen (x+ y) toma valores de e−1 y e1

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Como exes creciente siendo su valor menor e−1 y el mayor e1

Entonces ( f x0 y0) es un valor comprendido entre ambos

Entonces:

1e≤14π 2

∫−π

π

∫−π

π

esen(x+ y)≤e