MCVV2_U1_EA_KAAM
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Cálculo de varias variables IIUnidad 1. Integrales múltiples
Evidencia de Aprendizaje. Integrales múltiples.Karla Judith Andrew Méndez.AL12509552
Instrucciones: Resuelve las siguientes integrales, tomando en cuenta los conocimientos en integrales múltiples.
1. Encuentra el volumen de la región sólida encerrada en el primer octante, por el
paraboloide z=x2+ y2 y el plano z=2.
Hacemos el cambio de coordenadas:x=ρ cosθy=ρ senθz=2
∂ (x , y , z )∂(ρ ,θ , z)
=ρ
∫0
√2
∫0
π2
∫0
ρ2
ρdz dθdρ=∫0
√2
∫0
π2
ρ3dθ d ρ=∫0
√2
ρ3π2d ρ=( π ρ8
4)0
√2=π √24
8= π21.57
el volumen de la región sólida encerrada en el primer octante es de 1.57u3
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Cálculo de varias variables IIUnidad 1. Integrales múltiples
2. Calcula el momento de inercia sobre el eje x, de la región plana limitada por la
parábola y2=1−x y las rectas x=0 e y=0, la función densidad es ρ ( x , y )=x
Momento de inercia del eje x:
I x= ∫ A y2 ρ(x , y )dA
∫ x (1−x)3 /2dx=∫−t 3/2+ t5 /2dt=−t 5252
+t7272
=−2¿¿
∫0
1
∫0
√1− x
x y2dydx=∫0
1
x( y33)0
√1− xdx=∫
0
1
x ¿¿¿¿
El momento de inercia en el eje x=8/35
3. Evalúa la siguiente integral, usando coordenadas esféricas
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Cálculo de varias variables IIUnidad 1. Integrales múltiples
∫0
1
∫0
√1− x2
∫√x2+ y2
√2− x2− y2
xy dzdydz
x=ρ senθcos∅y=p senθ sen∅x=pcosθJ= ρ2 senθ
0≤ ρ≤√20≤∅ ≤π
0≤θ≤π4
∫0
√2
∫0
π
∫0
π4
ρ senθcos∅ p senθ sen∅ ρ2 senθ dθd∅ dρ=¿∫0
√2
∫0
π
∫0
π4
p4 sen3θ cos∅ sen∅ dθd∅ dρ=∫0
√2
ρ4dp∫0
π
cos∅ sen∅ d∅∫0
π4
sen3θdθ ¿
4. Aplica el teorema del Valor medio, para probar que la integral se encuentra entre
1e≤14π 2
∫−π
π
∫−π
π
esen(x+ y)≤e.
e−1≤esen (x+ y )≤e1
∫−π
π
∫−π
π
e−1dxdy ≤∫−π
π
∫−π
π
esen ¿¿ ¿¿
e−1 (π+π ) (π+π ) e1 (π+π ) (π+π )
e−14 π2≤∫−π
π
∫−π
π
es en¿ ¿¿¿
Por lo tanto:
e−1≤∫−π
π
∫−π
π
esen (x+ y)dxdy ≤e1
La función sen ( x+ y ) toma valoresde−1a1Con lo cual la función:
f ( x , y )=¿esen (x+ y) toma valores de e−1 y e1
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Cálculo de varias variables IIUnidad 1. Integrales múltiples
Como exes creciente siendo su valor menor e−1 y el mayor e1
Entonces ( f x0 y0) es un valor comprendido entre ambos
Entonces:
1e≤14π 2
∫−π
π
∫−π
π
esen(x+ y)≤e